физика: физические основы молекулярной

ФИЗИКА: ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ
И ТЕРМОДИНАМИКИ
МОДУЛЬ 2
Рабочая тетрадь
для студентов, обучающихся по дистанционной технологии
Екатеринбург 2006
УДК 373:53
Составители Ф.А. Сидоренко, З.А. Истомина, Т.И. Папушина
Научный редактор проф., д-р. физ.-мат. наук А.А. Повзнер
ФИЗИКА: ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ: Рабочая тетрадь. / Ф.А. Сидоренко, З.А. Истомина, Т.И. Папушина. Ека-
теринбург: ООО «Изд-во УМЦ УПИ», 2006. 32 с.
Данная рабочая тетрадь по разделам «Молекулярная физика», «Термодинамика», «Явления переноса» предназначена для оказания помощи студентам, обучающимся по дистанционной технологии в изучении курса «Общая
физика»; составлена в соответствии с рабочей программой курса «Общая
физика» и образовательными стандартами. Изучение материала конспекта
лекций следует вести параллельно с решением задач из рабочей тетради.
Библиогр.: 2 назв.
Подготовлено кафедрой физики ГОУ ВПО УГТУ-УПИ.
ООО "Издательство УМЦ-УПИ", 2006
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
2. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ ... 4
2.1. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МКТ) ............................................. 4
2.1.1. Основные понятия, обозначения, формулы ........................................... 4
2.1.2. Алгоритм решения задач ......................................................................... 6
2.1.3. Примеры решения задач .......................................................................... 6
2.1.4. Задачи для самостоятельного решения ................................................ 10
2.2. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА .............................................................................................. 11
2.2.1. Основные понятия, обозначения, формулы ......................................... 11
2.2.2. Алгоритм решения задач ....................................................................... 12
2.2.3. Примеры решения задач ........................................................................ 13
2.2.4. Задачи для самостоятельного решения ................................................ 16
2.3. ТЕРМОДИНАМИКА .................................................................................................. 18
2.3.1. Основные понятия, обозначения, формулы ......................................... 18
2.3.2. Алгоритм решения задач ....................................................................... 20
2.3.3. Примеры решения задач ........................................................................ 20
2.3.4. Задачи для самостоятельного решения ................................................ 30
2.4. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И
ТЕРМОДИНАМИКА ................................................................................................... 32
3
2. Физические основы молекулярной физики
и термодинамики
2.1. Молекулярно-кинетическая теория (МКТ)
2.1.1. Основные понятия, обозначения, формулы
Модели и абстракции: идеальный газ, равновесное состояние и равновесные процессы в идеальном газе (изотермический, изохорический, изобарический и адиабатический).
Основное уравнение МКТ
р=
2
2 m < υкв > 2
n<ε>, p= n 0
, p = nkT,
3
3
2
где p – давление газа; n – число молекул в единице объема; <ε> - средняя
энергия теплового движения молекулы газа; m0 – масса молекулы;
Т – абсолютная температура; k – постоянная Больцмана
(k = 1,38⋅10-23Дж/К).
k=
R
,
NA
где NA – число Авогадро (NA = 6,02⋅10 23 моль –1); R – универсальная газовая
постоянная (R = 8,31 Дж/(моль⋅К)).
Среднеквадратическая скорость газовых молекул
< υ кв >=
3kT
3RT
=
,
m0
M
где М – масса одного моля газа.
Масса одной молекулы
m0 =
M
.
NA
Плотность газа
ρ=
m
= n ⋅ m0 .
V
Уравнение Клапейрона – Менделеева
(уравнение состояния разреженного газа)
pV = νRT =
m
RT,
M
где ν - число молей газа, m – масса газа, V – объем газа.
4
Закон Бойля – Мариотта (изотермический процесс, Т = const)
p1V1 = p2V2.
Закон Гей – Люссака (изобарический процесс, p = const.)
V1 V2
= .
T1 T2
Закон Шарля (изохорический процесс, V = const.)
p1 p 2
=
.
T1 T2
Закон Дальтона для давления смеси газов
p = p1 + p2 + … + pN ,
где p1, p2, … , pN – парциальные давления газов, находящихся в смеси (парциальное давление – давление газа в отдельности, если бы он при данной температуре один заполнял весь объем).
Внутренняя энергия идеального газа
i
U = ν RT,
2
где i – число степеней свободы молекул.
Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме
i
СV = R .
2
Молярная теплоемкость газа при постоянном давлении
i+2
С P = CV + R =
R.
2
Связь между молярной С и удельной cуд теплоемкостями
С = M ⋅ cуд.
Число молекул dN, относительные скорости которых лежат в интервале от U
до U + dU, позволяет найти закон распределения молекул по скоростям (закон Максвелла)
dN =
4
π
2
Ne −U U 2dU
где U = υ / υв - относительная скорость, υ - данная скорость и
υв = 2kT m0 = 2 RT M - наиболее вероятная скорость газовых молекул; dU – малый, по сравнению со скоростью U, интервал относительных скоростей.
Среднеарифметическая скорость газовых молекул
5
8kT
8RT
=
.
πm0
πM
< υ >=
Барометрическая формула
p = p0 ⋅ e
−
m0 g
⋅h
kT
= p0 ⋅ e
−
Mg
⋅h
RT
,
где р – давление газа на высоте h; р0 – давление газа на высоте h=0;
g – ускорение свободного падения.
Зависимость концентрации молекул газа от высоты
n = n0 ⋅ e
−
m0 g
⋅h
kT
= n0 ⋅ e
−
Mg
⋅h
RT
,
где n – концентрация молекул на высоте h; n0 – концентрация молекул на
высоте h = 0.
2.1.2. Алгоритм решения задач
Выделить объект – идеальный газ с определенным числом степеней
свободы i и массой моля М.
2. В зависимости от химической формулы молекулы газа, используя
таблицу Менделеева, определить численные значения i и М.
3. Найти недостающие термодинамические параметры, используя
уравнение Клапейрона – Менделеева.
4. При наличии изопроцесса написать соответствующее ему уравнение.
5. Для нахождения таких величин, как плотность газа ρ, среднеквадратическая скорость молекул <υкв>, наиболее вероятная скорость молекул υв, среднеарифметическая скорость молекул <υ>, использовать
соответствующие формулы
6. При решении задач на закон распределения молекул по скоростям
использовать упрощенную формулу.
6.
Выразить значения всех физических величин в единицах системы
СИ.
7. Подставить числовые значения в конечные формулы и произвести
расчет.
1.
2.1.3. Примеры решения задач
Пример 1.
10 г кислорода находятся под давлением 3,0⋅105 Па при температуре 10 °С. После расширения, вследствие нагревания при постоянном давлении, кислород занял объем 10 л.
6
Найти: 1) объем газа V1 до расширения, 2) температуру газа Т2
после расширения, 3) плотность газа до расширения ρ1.
Дано:
m = 10г = 10 –2кг;
p1 = 3,0⋅10 5 Па;
Т1 = 283 К;
V2 = 10 –2 м3;
МО2 = 32⋅10–3 кг/моль.
Анализ
Объект – идеальный газ (кислород) с числом степеней
свободы
i
=5,
молярная
масса
М = 32⋅10 –3 кг/моль. В газе происходит равновесный изобарический процесс. Начальное состояние 1 с параметрами Р1,V1,Т1; конечное состояние 2
с параметрами p2, V2, Т2;
p1 = p2
1)
V1 = ?
2) T2
=?
3) ρ1 = ?
Решение
1). Из уравнения Клапейрона – Менделеева выражаем объем газа V1 в
1 состоянии:
p1V1 =
m
RT1 ;
M
V1 =
m RT1
.
µ p1
2). Для нахождения температуры Т2 используем закон Гей – Люссака:
V1 V2
= ;
T1 T2
T2 =
V2T1
;
V1
T2 =
p1V2 ⋅ M
.
mR
3). Для нахождения плотности газа ρ1 используем формулу плотности и
уравнение Клапейрона – Менделеева:
p M
m p1 M
ρ1 =
=
ρ1 = 1 .
,
V1
RT1
RT1
4). Расчет искомых физических величин
10 −2 ⋅ 8,31 ⋅ 283
= 2 ,4 ⋅10 −3 м 3 ;
32 ⋅10 −3 ⋅ 3 ⋅105
3 ⋅105 ⋅10 −2 ⋅ 32 ⋅10 −3
T2 =
= 1155 K ;
10 −2 ⋅ 8,31
V1 =
ρ1 =
3 ⋅105 ⋅ 32 ⋅10 −3
кг
= 4,1 3 .
8,31 ⋅ 283
м
Ответы: V1 = 2,4⋅10 –3 м3, Т2 = 1155 К, ρ1 = 4,1 кг/м3.
7
Пример 2.
В сосуде объемом V = 2 л находится m = 10 г углекислого газа
под давлением р = 9⋅10 4 Па.
Найти: 1) среднеквадратическую скорость молекул газа <υкв>,
2) число молекул N, находящихся в сосуде, 3) плотность газа ρ.
Анализ
Объект – идеальный газ (углекислый газ, СО2) с числом степеней свободы
i=6, молярная масса М = 44⋅10 –3 кг/моль.
Решение
1). Для нахождения среднеквадратической скорости используем ее формулу и уравнение Клапейрона – Менделеева
2).
< υкв >=
3RT
M
< υкв >=
3 pV
.
m
pV =
m
pVM
RT; T =
M
mR
< υкв >=
3RpVM
;
MmR
Для нахождения числа молекул газа количество молей умножаем на
число Авогадро
N = νN A =
m
N A;
M
N=
m
NA.
M
3).
Плотность газа находим по формуле
m
ρ= .
V
4). Расчет искомых физических величин:
< υкв >=
3 ⋅ 9 ⋅ 104 ⋅ 2 ⋅ 10−3
м
= 233 ;
−2
10
с
10− 2
⋅ 6 ,02 ⋅ 1023 = 1,37 ⋅ 1023 ;
44 ⋅10 − 3
10− 2
кг
ρ=
= 5,0 3 .
−3
2 ⋅ 10
м
N=
Ответы: <υкв> = 233 м/с, N = 1,37⋅10 23, ρ = 5,0 кг/м3.
Пример 3.
В сосуде находится идеальный газ, количество вещества ν которого равно 2 моля. Определить число ∆N молекул, относительные скорости U которых меньше 0,001 наиболее вероятной скорости Vв.
8
Анализ
Объект - идеальный газ, находящийся в равновесном состоянии.
Решение
1). Для нахождения числа молекул используем формулу распределения
молекул по относительным скоростям U
dN =
4
π
2
Ne −U U 2 dU
2). По условию задачи максимальная относительная скорость молекул
Umax=0,001, то есть Vmax/Vв=0,001. Для таких малых значений U формулу
распределения молекул по относительным скоростям можно упростить.
При U<<1
2
e −U ≈1-U2. Пренебрегая значением U2 по сравнению с единицей, получаем
−U 2
e ≈1.
В результате чего функция распределения принимает вид:
dN =
4
π
NU 2 dU .
3). Находим число молекул ∆N, интегрируя это выражение по U в пределах
от 0 до Umax,
3
4 N U max
∆N =
.
U dU =
π ∫0
π 3
4N
U max
2
4). Число молекул N находим по формуле
N = ν .NA.
5). Получаем окончательную формулу для
3
4νN A U max
∆N =
.
3
π
6). Рассчитываем ∆N
∆N =
.
4 ⋅ 2 ⋅ 6,02 ⋅ 10 23 ⋅ 10 −9
3 3,14
14
Ответ: ∆N = 9,07 10 молекул.
9
= 9,07 ⋅ 1014 молекул.
Пример 4.
На какой высоте давление воздуха составляет 75% от давления
на уровне моря? Температуру считать постоянной и равной
0 °С.
Анализ
Объект – идеальный газ (воздух) с молярной массой М = 29⋅10 –3 кг/моль.
Атмосферу считаем изотермической, а ускорение свободного падения – не
зависящим от высоты.
Решение
1). Используем барометрическую формулу для нахождения h
p = p0 e
2).
−
Mgh
RT
Mgh
−
p
= e RT .
p0
;
Прологарифмируем полученное равенство
p
Mgh
= ln 0 .
RT
p
3).
Выразим h
RT ⋅ ln
h=
Mg
p0
p
1
p p0
.
Mg
RT ⋅ ln
;
h=
4).
Расчет искомой величины
1
8,31 ⋅ 273 ⋅ ln
0,75 8,31 ⋅ 273 ⋅ 0,28
h=
=
= 2 ,3 ⋅10 3 м .
−3
−3
29 ⋅10 ⋅ 9,8
29 ⋅10 ⋅ 9,8
Ответ: h = 2,3⋅10 3 м.
2.1.4. Задачи для самостоятельного решения
12 г газа занимают объем V = 4⋅10 –3 м3 при температуре t = 7 °C.
После нагревания газа при постоянном давлении его плотность
стала равна ρ = 6⋅10 –4 г/см3. До какой температуры нагрели газ?
Ответ: до температуры 1400 К.
Задача 1.
Задача 2.
Найти среднеквадратическую скорость молекул газа, плотность
которого при давлении р = 10 5 Па равна ρ = 8,2⋅10 –2 кг/м3. Чему
равна молярная масса этого газа, если значение плотности дано
для температуры t = 17 °С?
Ответы: <υ> = 1900 м/с, М = 0,002 кг/моль.
10
Определить относительное число ∆N/N молекул идеального газа,
скорости которых заключены в пределах от нуля до 0,005 наиболее вероятной скорости Vв.
Ответ: ∆N/N = 9,4.10-8.
Задача 3.
Задача 4.
Считая атмосферу изотермической, а ускорение свободного падения не зависящим от высоты, вычислим давление: а) на высоте 5 км, б) на высоте 10 км, в) в шахте на глубине 2 км. Расчет
произвести для Т = 293 К. Давление на уровне моря принять
равным р0.
Ответы: а) р = 0,56 р0, б) р = 0,33 р0, в) р = 1,26 р0.
2.2. Явления переноса
2.2.1. Основные понятия, обозначения, формулы
Модели и абстракции: идеальный газ, неравновесные состояния, в которых
происходит пространственный перенос энергии в виде теплоты Q, массы m и
импульса Р.
Средняя длина свободного пробега молекулы рассчитывается по формуле
1
,
2πσ 2n
< λ >=
где σ – эффективный диаметр молекулы, n – концентрация молекул.
Перенос массы газа происходит в процессе диффузии. Закон Фика для диффузии
∆m = − D
dρ
S∆t ,
dx
где D – коэффициент диффузии, dρ/dx – проекция на ось x градиента плотности газа, S – площадь площадки, расположенной перпендикулярно к
оси x, ∆t – время диффузии.
Перенос импульса молекул происходит в процессе внутреннего трения. Закон
Ньютона для внутреннего трения
P = −η
dυ
S∆t ,
dx
где η – коэффициент внутреннего трения, dυ/dx – проекция на ось x градиента скорости направленного движения молекул.
Перенос энергии молекул происходит в процессе теплопроводности. Закон
Фурье для теплопроводности
11
Q = −χ
dT
S∆t,
dx
где χ – коэффициент теплопроводности, dТ/dx – проекция на ось x градиента
температуры.
Коэффициенты в явлениях переноса рассчитываются по формулам:
1
< λ >< υ >;
3
1
η = < λ >< υ > ρ;
3
1
χ = < λ >< υ > ρ ⋅ cVуд .
3
D=
1.
2.
2.2.2. Алгоритм решения задач
В зависимости от конкретных условий задачи выписать формулы, соответствующие данному явлению переноса.
Среднеарифметическую скорость газовых молекул рассчитать по
формуле
< υ >=
3.
4.
5.
6.
8RT
.
πM
Используя основное уравнение МКТ, найти концентрацию молекул
газа n.
Найти среднюю длину свободного пробега молекул газа < λ >.
Выразить искомую величину или отношение величин.
Подставить численные значения в единицах системы СИ и произвести
расчет.
12
Пример 5.
2.2.3. Примеры решения задач
Найти среднюю длину свободного пробега молекул углекислого
газа при давлении p = 105 Па и температуре t = 0 °С. Эффективный диаметр молекулы σ = 0,4 нм.
Дано:
p = 10 5 Па;
Т = 273 К;
σ = 0,4⋅10 –9 м;
k = 1,38⋅10 –23 Дж/К.
Анализ
Объект – идеальный газ (углекислый газ СО2) с
числом степеней свободы i =6 и М =44⋅10–3 кг/моль.
<λ>=?
Решение
1). Длина свободного пробега молекул
1
< λ >=
2).
2πσ 2 n
Выразим концентрацию молекул из основного уравнения МКТ
p = nkT
3).
n = p/(kT).
Подставим полученное выражение для n в формулу для < λ >
< λ >=
4).
.
kT
2πσ 2 p
.
Расчет искомой физической величины
< λ >=
1,38 ⋅10 −23 ⋅ 273
1,4 ⋅ 3,14 ⋅16 ⋅10 − 20 ⋅10 5
Ответ: < λ > = 79 нм.
Пример 6.
= 79 нм.
Рассчитать среднюю длину свободного пробега молекул азота,
коэффициент диффузии и вязкость при давлении p = 105 Па и
температуре t = 17 °С. Эффективный диаметр молекул азота
σ = 0,37 нм.
Анализ
Объект – идеальный газ (азот N2) с числом степеней свободы i = 5 и
М = 28⋅10–3 кг/моль. Состояние газа неравновесное.
Решение
1). Длина свободного пробега молекулы
< λ >=
1
2πσ 2 n
.
13
2).
Основное уравнение МКТ
p = nkT ,
3).
< λ >=
4).
n = p/(kT).
Расчетная формула для < λ >
kT
2πσ 2 p
.
Коэффициент диффузии
1
< λ >< υ > .
3
8RT
.
< υ >=
πM
D=
5).
6).
Расчетная формула для D
D=
7).
1 8RT
kT
⋅
.
3 πM
2πσ 2 p
Коэффициент внутреннего трения (вязкость)
1
< λ >< υ > ρ ;
3
8). ρ = n ⋅ m0;
m0 = M / N A .
η=
9).
Расчетная формула для η
η=
η=
1 < υ > n/ m0
;
3 2πσ 2 n/
2 MRT
3π π σ 2 N A
η=
1 8 RT
3 πM
M
2πσ 2 N A
;
.
10). Расчет искомых физических величин
< λ >=
D=
η=
1,38 ⋅10 −23 ⋅ 290
2
1,4 ⋅ 3,14 ⋅ ( 0 ,37 ) ⋅10
−18
⋅10
5
= 6,5 ⋅10 −8 м;
1 8 ⋅ 8,31 ⋅ 290
1,38 ⋅10 − 23 ⋅ 290
⋅
= 1,0 ⋅10 −5 м/с 2 ;
3 3,14 ⋅ 28 ⋅10 −3 1,4 ⋅ 3,14 ⋅ ( 0,37 ) 2 ⋅10 −18 ⋅10 5
2 28 ⋅10 −3 ⋅ 8,31 ⋅ 290
3 ⋅ 3,14 3,14 ⋅ ( 0,37 ) 2 ⋅10 −18 ⋅ 6,02 ⋅10 23
= 1,2 ⋅10 −5 кг/(мс).
Ответы: < λ > = 6,5 ⋅ 10 –8 м, D = 1,0 ⋅ 10 –5 м2/с, η = 1,2 ⋅ 10 –5 кг/(м ⋅ с).
14
Пример 7.
Как изменятся коэффициент диффузии D и вязкость η идеального газа, если его объем изотермически увеличить в a раз.
Анализ
Объект – идеальный газ. В газе происходит равновесный изотермический
процесс. Начальное состояние 1, с параметрами p1, V1, Т1; конечное состояние
2, с параметрами p2, V2, Т2; Т1 = Т2.
Решение
1). Длина свободного пробега молекулы
1
< λ1 >=
2).
3).
2
2πσ n1
< υ1 >=
;
8RT1
;
πM
< υ2 >=
2πσ 2 n2
.
8RT2
,
πM
так как Т1 = Т2, то < υ1 > = < υ2 >.
Коэффициент диффузии
1
< λ1 > ⋅ < υ1 > ,
3
D2 < λ2 > n1
=
= .
D1 < λ1 > n 2
D1 =
4).
1
< λ2 >=
D2 =
1
< λ2 > ⋅ < υ2 > ,
3
n = N/V, где N – число молекул в данной массе газа
n1 = N/V1;
n2 = N/V2;
D2/D1 = n1/n2 = V2/V1 = a;
D2/D1 = a.
1
1
5). η1 = < λ1 >< υ1 > ρ1 ,
η2 = < λ2 >< υ 2 > ρ 2 ,
3
3
6). ρ1 = n1 ⋅ m0;
ρ2 = n2 ⋅ m0.
η2 n1 ⋅ n2 ⋅ m0
η2
=
= 1;
= 1.
7).
η1 n2 ⋅ n1 ⋅ m0
η1
Ответы: D2 = a D1, η2 = η1.
Пример 8.
Теплопроводность гелия в 8,7 раза больше, чем у аргона (при
нормальных условиях). Найти отношение эффективных диаметров атомов аргона и гелия.
Анализ
Объект – идеальный газ, находящийся при нормальных условиях (p = 105 Па,
t = 0 °C). Аргон с М2 = 40⋅10 –3 кг/моль, гелий с М1 = 4⋅10 –3 кг/моль.
15
Решение
1). Коэффициент теплопроводности
1
< λ >< υ > ρ ⋅ CV .
3
2). ρ = n ⋅ m0;
m0 = M/NA;
cVуд = CV/M = (i ⋅ R)/(2 ⋅ M).
8 RT
1
3). < υ >=
,
< λ >=
.
πM
2πσ 2 n
χ=
1 8 RT
3 πM
nm0 iR
4).
χ=
5).
M 2  σ2 
χ1
=
⋅  .
χ2
M 1  σ 1 
6).
σ2
=
σ1
2πσ 2 n ⋅ 2 M
=
1 8 RT
3 πM
m0 iR
2πσ 2 2 M
.
2
χ1
χ2
12
 M1 

 .
 M2 
7). Расчет отношения эффективных диаметров
 4 ⋅10 −3
σ2
= 8,7 ⋅ 
 40 ⋅10 −3
σ1





12
= 1,66.
Ответ: σ2/σ1 = 1,66.
2.2.4. Задачи для самостоятельного решения
Задача 5.
Найти эффективный диаметр молекулы азота, если при давлением p = 105 МПа и температуре Т = 273 К значение средней
длины свободного пробега молекул равно <λ> = 95 нм.
Ответ: σ = 297 пм.
Задача 6.
Как изменяется средняя длина свободного пробега молекул азота, находящегося при давлением p = 105 МПа и температуре Т =
290 К, если объем газа увеличится в 2 раза при постоянном давлении. Найти также изменение коэффициента диффузии и вязости.
Ответы: <λ2>/<λ1> = 2; D2/D1 = 23/2; η2/η1 = 21/2.
16
Задача 7.
В результате некоторого процесса вязкость идеального газа увеличилась в α = 2,0 раза, а коэффициент диффузии – в β = 4,0
раза. Как и во сколько раз изменилось давление газа?
Ответы: Р2/Р1 = α3/β = 2.
Задача 8.
Между двумя пластинами, расположенными на расстоянии 1мм
друг от друга, находится воздух. Между пластинами поддерживается разность температур ∆Т = 1 К. Площадь каждой пластины S = 100 см2. Какое количество теплоты передается за счет
теплопроводности от одной пластины к другой за 10 мин? Считать, что воздух находится при нормальных условиях. Диаметр
молекул воздуха принять равным 0,3 нм.
Ответы: Q = 78 Дж.
17
2.3. Термодинамика
2.3.1. Основные понятия, обозначения, формулы
Модели и абстракции: рассматривается термодинамическая система
(ТС) – идеальный газ; равновесные процессы в ТС (изотермический, изохорический, изобарический, адиабатический); обратимые и необратимые процессы; замкнутые и незамкнутые ТС.
Основные формулы:
Первое начало термодинамики в дифференциальной форме
δQ = dU + δA,
то же самое в интегральной форме
Q = ∆U +A,
где δQ и Q – элементарное и конечное количество тепла, сообщенное ТС
или отданное ею; dU и ∆U – элементарное и конечное изменение
внутренней энергии ТС; δА и А – элементарная и полная работы, совершенные ТС.
Работа равновесного расширения газа при переходе из состояния 1 в состояние 2
2
2
1
1
A12 = ∫ δA = ∫ pdV .
Изменение внутренней энергии ТС
∆U =
m i
R(T2 − T1 ),
M 2
где i – число степеней свободы молекулы газа.
I начало термодинамики для изопроцессов в газе.
1.
Изотермический процесс: Т = const., ∆U = 0,
V2
Q = A12 =
∫
V2
V
dV
= νRT ln 2 ,
V
V1
V1
pdV = νRT ∫
V1
где ν = m/M – количество вещества.
2. Изохорический процесс: V = const., A = 0,
Q = ∆U = ν
i
R(T2 − T1 ) = νCV (T2 − T1 ),
2
i
R - молярная теплоемкость идеального газа при постоянном
2
объеме.
где CV =
18
3.
Изобарический процесс: p = const.
Q = ∆U + A =
i
νR∆T + p∆V = νC P (T2 − T1 ) ,
2
i+2
R - молярная теплоемкость идеального газа при постоянном
2
давлении; p∆V = νR∆T – из уравнения Менделеева – Клапейрона.
Адиабатический процесс: Q = 0,
где C P =
4.
A = − ∆U = U 1 − U 2 =
5.
i
νR(T1 − T2 ) .
2
Круговой процесс (цикл): ∆U = U1 – U1 = 0,
Q0 = А0.
Коэффициент полезного действия теплового двигателя (КПД)
η=
Qн − Q х
,
Qн
где Qн и Qх – количества теплоты, полученные от нагревателя и отданные
холодильнику.
Максимальный КПД идеального двигателя
ηmax =
Tн − Tх
,
Tх
где Тн и Тх – температуры нагревателя и холодильника.
δQ
.
T
Изменение энтропии при обратимом процессе в ТС
Приведенная теплота
2
δQ
.
T
∆S обр = ∫
1
Изменение энтропии при необратимом процессе в ТС
2
∆S необр > ∫
1
δQ
.
T
Изменение энтропии в изолированной системе (II начало термодинамики)
∆S = 0,
∆S > 0,
S = const;
S возрастает.
19
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
2.3.2. Алгоритм решения задач
Выделить объект – термодинамическую систему (ТС) – идеальный газ,
молярная масса его М, число степеней свободы молекулы i.
Установить начальное состояние ТС – 1 с параметрами p1,V1,T1; конечное
состояние – х с параметрами pх,Vх,Tх; количество промежуточных состояний – y. Назвать процессы, происходящие в ТС.
Установить, замкнута ли ТС, т.е. Q = 0, или она обменивается с окружающими телами теплом Q или работой А (возможно, что и одновременно). Записать уравнение I начала динамики для каждого процесса.
Изобразить для наглядности процессы в ТС в виде графиков в координатах P – V.
Написать уравнения газовых законов, связывающих между собой состояния 1 и х через промежуточные состояния.
Рассчитать искомые величины (работу А, приращение внутренней энергии ∆U, участвующее в процессах тепло Q, и т.д.) (в общем виде).
Для кругового процесса написать формулу для расчета КПД.
Найти изменение энтропии ∆S для незамкнутой системы в соответствии с
происходящим процессом.
Полное изменение энтропии в конце процессов в ТС равно
N
∆S = ∑ ∆S i ,
i =1
9.
где N – количество происходящих в ТС процессов.
Выразить значения всех величин в системе СИ, подставить числовые
значения в конечные формулы, произвести расчеты и записать окончательный ответ.
Пример 9.
2.3.3. Примеры решения задач
Баллон объемом V = 20л с кислородом под давлением
p1 = 9,8⋅105 Па и температурой t1 = 7 °С нагревают до t2 = 27 °С.
Какое количество тепла Q поглощает газ?
Дано:
V = 20л = 20 ⋅10 –3 м3;
Т1 = 280 К;
Т2 = 300 К;
p1 = 9,8⋅10 6 Па.
Q=?
Анализ
Термодинамическая система – идеальный газ О2. В
молекуле 2 атома, поэтому i =5. Молярная масса
атома 16⋅10 –3 кг/моль, МО2 = 32⋅10 –3 кг/моль.
В ТС идет изохорический нагрев. Начальное состояние 1 с параметрами p1, V1, Т1; конечное состояние 2 с параметрами p2, V2, Т2.
При этом V2 = V1 = V.
Решение
1). I начало термодинамики
20
Q12 = ∆U 12 =
i
i
νR∆T12 = V1 ∆p ,
2
2
где сделана замена из уравнения Менделеева – Клапейрона V∆p = νR∆T.
Формула после подстановки
i
i
Q12 = V1 ( p 2 − p1 ) = V1 P1 ( p 2 p1 − 1).
2
2
2).
3).
Уравнение изохорного процесса
p1 / p2 = Т1 / Т2.
Окончательная формула для Q12
Q12 =
4).
i
p1V (Т 2 Т 1 − 1) .
2
Вычисление искомой величины
Q12 = (5/2) ⋅ 9,8 ⋅ 10 6 ⋅ 2 ⋅ 10 -2 ⋅ (300/280 – 1) = 3,5 ⋅ 10 4 Дж.
Ответ: Q12 = 3,5 ⋅ 10 4 Дж.
2-й способ решения:
1). Количество тепла, сообщенного ТС при постоянном объеме
Q 12 = νCV (T2 − T1 ).
2).
Из уравнения Менделеева – Клапейрона находят ν
ν=
3).
m p1V
=
.
M RT1
Окончательная формула имеет тот же вид
Q12 =
i p1V i
R
= p1V (Т 2 Т 1 − 1).
2 RT1 2
Пример 10. Кислород массой m = 8 г при температуре t1 = 27 °С занимает
объем V1 = 0,41 л. Вычислить работу газа А в следующих процессах:
а) газ адиабатически расширяется до объема V2 = 4,1л, б) газ
изотермически расширяется до объема V2 = 4,1л, а затем изохорически охлаждается до той же температуры, которая получилась в конце адиабатического процесса.
21
Дано:
m = 8г = 8 ⋅10 –3 кг;
V1 = 0,41л = 0,41⋅10 –3 м3;
V = 4,1л = 4,1⋅10–3м3;
Т1 = 300 К.
Справочные данные:
R = 8,3 Дж/(моль⋅К) – универсальная газовая
постоянная. МО2 = 32⋅10 –3 кг/моль - молярная
масса кислорода. i =5 – число степеней свободы.
γ = (i + 2)/i = 1,4 – коэффициент Пуассона.
а) А12 = ?
б) А11′ 2 = ?
Графики процессов
p
p1
1 - 2 – адиабата
1 - 1′ – изотерма
1′ - 2 – изохора
1
1′
2
V1
V
V2
Анализ
Начальное состояние 1 с параметрами p1 ,V1, Т1. Конечное состояние 2 с параметрами p2, V2, Т2. Промежуточное состояние 1′.
В обоих случаях газ совершает при расширении положительную работу.
Решение
1). I начало термодинамики для адиабатического процесса
A12 = U 1 − U 2 =
2).
Уравнение Пуассона для адиабатического процесса в разных вариантах
pV γ = const.,
3).
TV γ - 1 = const.,
γ-1
отсюда T2 / T1 = (V1 / V2)
Окончательная формула работы при адиабатическом расширении
A12 =
4).
i
i
νR(T1 − T2 ) = νRТ 1 (1 − T2 /T1 ).
2
2
[
.
]
i
γ −1
νRТ 1 1-(V1 V2 ) . .
2
Работа газа при изотермическом расширении
V2
A11′ =
V2
V
dV
= νRT1 ln 2 .
V
V1
V1
∫ pdV = νRT ∫
1
V1
Сделана замена
p = νRT1 V - из уравнения Менделеева – Клапейрона.
22
5).
При изохорическом процессе работа не совершается А1′′2 = 0.
6).
7).
А11′2 = А11′
Числовые значения
А12 =
[
]
5 8 ⋅10 −3
⋅
⋅ 8,31 ⋅ 300 ⋅ 1 − (0,41 4,1)1,4 −1 = 930 Дж,
−
3
2 32 ⋅10
А11′ 2 =
8 ⋅10 −3
32 ⋅10 −3
⋅ 8,31 ⋅ 300 ⋅ ln(0 ,41 4,1) = 1435 Дж.
Ответы: А12 = 930 Дж, А11′2 = 1435 Дж.
Пример 11. Два моля (ν = 2,0 моль) идеального двухатомного газа при температуре Т1 = 600К изотермически расширяется до объема V2 =
γV1. Затем газ изобарически сжимается до начального объема.
Найти: а) температуру Т2 в конце изобарического сжатия,
б) приращение ∆U12 внутренней энергии, в) совершенную газом
работу А12, г) количество полученного тепла Q.
Графики процессов
p
p1
P2
1
1 - 1′ – изотерма
1′ - 2 – изохора
2
1′
V1
V
V2
Анализ
Начальное состояние 1 - параметры p1, V1, Т1. Промежуточное состояние 1′ параметры p′ ,V′ ,Т′. Конечное состояние 2 - параметры p2, V2, Т2.
При изотермическом расширении газ совершает положительную работу
А11′ > 0, т.к. V2 > V1. При изобарическом сжатии газ получает энергию в форме механической работы, а отдает в форме тепла. Поэтому работа газа отрицательна А1′2 < 0, т.к. V1 < V′.
Полная работа, совершенная газом при переходе 1-2, равна алгебраической
сумме работ А12 = А11′ + А1′2.
Решение
1). Уравнения изотермического и изобарического процессов
p1V1 = p′ V′
⇒
V′ / V1 = p1 / p′,
23
V′ / T′ = V2 / T2
2).
V′ = V2,
V′ / V1 = γ,
T2 = T1 / γ.
i
i
νR(T2 − T1 ) = νRТ 1 (1/γ − 1) .
2
2
Работа при изотермическом расширении
V2
A11′ =
∫ pdV = νRT
1
V1
5).
отсюда
Приращение внутренней энергии
∆U 12 = U 2 − U 1 =
4).
T2 = T′(V2 / V′).
По условию
T′ = T1,
3).
⇒
ln
V2
= νRT1 ln γ.
V1
Работа при изотермическом сжатии
V2
A1′ 2 = p ′ ∫ dV = p ′(V2 − V ′) = νR(T2 − T1 ) = νRT1 (1 γ-1). .
V1
6).
Полная работа
A12 = A11′ + A1′ 2 = νRT1 (ln γ + 1 γ-1).
7).
8).
Количество полученного тепла
Q12 = ∆U 11′ + A12 = νRT1 [(i 2 + 1) ⋅ (1 γ − 1) + ln γ ].
Числовые значения
а) Т2 = 600/2 = 300 К;
б) ∆U12 = (5/2) ⋅ 2 ⋅ 8,3 ⋅ 600 ⋅ (1/2 – 1) = - 12,0 кДж;
в) A12 = 2,0 ⋅ 8,3 ⋅ 600 ⋅ (ln 2 + 1/2 –1) = 1,9 кДж;
г) Q12 = 2 ⋅ 8,3 ⋅ 600 ⋅ [(5/2) + 1) ⋅ (1/2 –1)] = - 10,1 кДж.
∆U12 < 0 – внутренняя энергия газа уменьшается.
A12 > 0 – газ отдал часть своей энергии в виде работы окружающим телам.
Q12 < 0 – газ отдал окружающим телам часть тепла.
Ответы: Т2 = 300 К; ∆U12 = -12,0 кДж; A12 = 1,9 кДж; Q12 = -10,1 кДж.
Пример 12. Идеальный газ совершает цикл Карно, термический КПД которого η = 0,4. Работа изотермического расширения
А12 = 400 Дж. Найти работу изотермического сжатия А34.
24
График цикла Карно
p
1
Q1
1 - 2 и 3 – 4 – изотермы
2 – 3 и 4 – 1 – адиабаты
2
4
3
Q2
V
Анализ
Цикл Карно – круговой процесс в ТС, состоящий из 2 изотерм и 2 адиабат.
Газ получает тепло Q1 при изотермическом расширении и отдает тепло Q2
при изотермическом сжатии. Таким образом, А12 > 0, А34 < 0. Адиабатическое
расширение и сжатие происходит без теплообмена с окружающей средой.
Решение
1). КПД цикла
η=
2).
A0 Q1 − Q2
=
.
Qн
Q1
Работа цикла
А0 = А12 + (- А34) = А12 – А34.
3).
4).
I начало для изотермических процессов
Q1 =A12, Q2 = A34.
После подстановки в формулу КПД
η=
5).
А12 − А34
,
А12
А12 − А34 = η ⋅ А12 .
Работа изотермического сжатия
A34 = (η - 1) A12.
Числовое значение
А34 = (0,4 – 1) ⋅ 400 = - 240 Дж.
Работа при сжатии отрицательна.
Ответ: А34 = - 240 Дж.
Пример 13. Идеальный двухатомный газ в количестве ν = 3,0 моль занимает
объем V1 = 5 л под давлением p1 = 1,0 МПа. Газ сначала изохорно нагрели до Т2 = 500 К, потом изотермически расширили до
начального давления. Затем изобарным сжатием газ вернули в
25
первоначальное состояние. Постройте график цикла и определите термический КПД цикла η.
2
p
p2
1 - 2 – изохора
2 - 3 – изотерма
3 - 1 – изобара
A
1
p1
3
V1
V3
V
Анализ
Начальное состояние 1 - параметры p1, V1, Т1. Промежуточные состояния 2 параметры p2, V2, Т2 и 3 - параметры p3, V3, Т3. Конечное состояние 1.
Цикл совершается по часовой стрелке, поэтому работа цикла положительна
А0 > 0. На графике работа цикла А численно равна площади заштрихованной
фигуры.
Газ получает тепло Q1 на участках 1-2 и 2-3, а отдает тепло Q2 на участке 3-1.
Решение
1). КПД цикла
η=
2).
3).
4).
5).
Q1 − Q2
.
Q1
Полученное газом тепло
Q1 = Q12 + Q23.
Отданное газом тепло
Q2 = Q31.
Изохорный нагрев: V1 = const, A12 = 0.
p1 V1 = ν R T1
- уравнение Менделеева - Клапейрона
I начало для изохорного процесса
Q12 = ∆U 12 =
6).
pV 
i
i 
νR(T2 − T1 ) = νR T2 − 1 1  .
2
2 
νR 
I начало для изотермического расширения
Q23 = A23 = νRT2 ln
V3
V
= νRT2 ln 3 ,
V2
V1
T2 = T3 .
7).
Количество тепла при изобарном сжатии
26
Q31 = νC P (T1 − T3 ) =
i + 2  p1V1

νR
− T2  = Q 2 .
2
 Rν

pV 
νRT2
i 
νR T2 − 1 1  + νRT2 ln
.
2 
Rν 
P1V1
8).
Q1 =
9).
Числовые значения
Q1 =

5
10 6 ⋅ 5 ⋅10 −3
3 ⋅ 8,3 ⋅  500 −

2
3 ⋅ 8,3

Q1 =
 10 6 ⋅ 5 ⋅10 −3

5+2
3 ⋅ 8,3 ⋅ 
− 500  = −2 ,5 ⋅10 4 Дж;


2
3 ⋅ 8,3



 + 3 ⋅ 8,3 ⋅ 500 ln 3 ⋅ 8,3 ⋅ 500 = 2,9 ⋅10 4 Дж;

10 6 ⋅ 5 ⋅10 −3

2,9 − 2,5
= 0,14.
2,9
Ответ: η,% = 14%.
η=
Пример 14. Водород массой m = 6 г изобарически расширяется от V1 до
V 2 = 2 ⋅ V 1.
Найти изменение энтропии ∆S при расширении.
Решение
1). Система незамкнута
T2
∆S =
2).
δQ
.
T
T1
∫
Начало термодинамики для изобарического процесса
δQ = dU + δA =
3).
Изменение энтропии
T2
∆S = ∫ νR
T1
4).
T
i + 2 dT i + 2
=
νR ln 2 .
T1
2 T
2
Отношение T2/T1 заменяем на V2/V1 из уравнения изобарического процесса
∆S =
5).
i
i+2
νRdT + pdV =
νRdT .
2
2
V
i+2
νR ln 2 ,
2
V1
ν=
Числовое значение
27
m
.
M
5 + 2 6 ⋅10 −3
⋅
⋅ 8,3 ⋅ ln 2 = 61 Дж/К.
2 2 ⋅10 −3
Ответ: ∆S = 61 Дж/К.
∆S =
Пример 15. Азот массой m = 28 г адиабатически расширили в n = 2 раза, а
затем изобарно сжали до первоначального объема.
Найти изменение энтропии ∆S в ходе указанных процессов.
Решение
1). Суммарное изменение энтропии
∆S = ∆S12 + ∆S23 = ∆S23.
2).
3).
Изменение энтропии для адиабатического процесса ∆S12 =0, т. к. δQ = 0.
Элементарное количество тепла при изобарическом сжатии
4).
Изменение энтропии для него
δQ = ν CP dT.
3
∆S 23
T
3
T
dT
dT
= ∫ νС Р
= νC P ∫
= νС Р ln 3 .
T
T
T2
2
T2
5).
Заменим отношение Т3/Т2 на V3/V2 = V1/V2 = 1/n, а также CP = (i + 2)⋅R/2,
ν = m / M.
6).
∆S 23 =
7).
Числовое значение
m i+2
1
R ln .
M 2
n
28 ⋅10 −3 5 + 2
1
⋅
⋅ 8,3 ⋅ ln = −20 ,2 Дж/К.
−3
2
2
28 ⋅10
Энтропия ТС уменьшилась, т.к. при изобарическом сжатии газ отдал тепло
окружающим телам. При этом состояние ТС становится менее вероятным, а
степень беспорядка в ней уменьшается (согласно II началу).
Ответ: ∆S = - 20,2 Дж/К.
∆S =
Пример 16. Найти изменение энтропии ∆S при превращении льда массой
m = 10 г, взятого при температуре t1 = 0 °С, в пар при температуре t2 = 100 °С. Удельная теплоемкость воды
c = 4,2⋅103 Дж/(кг⋅К), удельная теплота плавления льда
λ = 3,3⋅105 Дж/кг, удельная теплота парообразования воды
r = 2,3⋅105 Дж/кг.
Решение
1). Общее изменение энтропии
28
2).
∆S = ∆S1 + ∆S2 + ∆S3.
Изменение энтропии при плавлении льда. Температура Т1 = const
2
∆S 1 = ∫
1
3).
1
∆Q12 λm
δQ 1
= ∫ δQ =
=
.
T
T1 1
T1
T1
Изменение энтропии при нагреве воды, полученной изо льда
2
T
T
δQ 2
dT
∆S 2 = ∫
= ∫ mc
= mc ⋅ ln 2 .
T
T
T1
1
T1
4).
Изменение энтропии при превращении воды в пар. Т2 = const
2
2
∆Q12 r ⋅ m
δQ 1
.
= ∫ δQ =
=
T
T2 1
T2
T2
1
∆S 3 = ∫
5).
 λ
T
r 
∆S = m + c ln 2 + .
T1 T2 
 T1
6).
Числовое значение
 3,3 ⋅10 5
373 2 ,3 ⋅10 5
∆S = 10 − 2 
+ 4,2 ⋅10 3 ln
+
 273
273
373

Ответ: ∆S = 31 Дж/К.

 = 31 Дж/К.


Пример 17. Горячая вода при температуре Т1 смешивается с таким же количеством холодной воды при температуре Т2, после чего их температура становится одинаковой и равной Тсм.
Показать, что после смешения энтропия системы возрастает,
т.е. ∆S > 0.
Решение
1). Две части замкнутой ТС обмениваются между собой теплом
δQ = m⋅c⋅dT.
2).
3).
4).
Суммарное изменение энтропии
∆S = ∆S1 + ∆S2.
Температура смеси
Tсм = (T1 + T2)/2.
Изменение энтропии при охлаждении горячей воды
2
δQ
∆S1 = ∫
=
T
1
Tсм
∫ mc
T1
T
dT
= mc ⋅ ln см .
T
T1
29
5).
Изменение энтропии при нагреве холодной воды
2
δQ
=
T
1
∆S 2 = ∫
6).
Tсм
∫ mc
T2
T
dT
= mc ⋅ ln см .
T
T2
Полное изменение энтропии
2
 Tсм
Tсм 
(
T1 + T2 )
 = mc ln
∆S = mc ln
+ ln
,
T2 
4T1T2
 T1
(T + T2 )2 > 0,
7). ∆S > 0, если ln 1
4T1T2
а это возможно, если выражение
8).
(T1 + T2 )2 > 1.
4T1T2
Докажем неравенство
(T1 + T2 )2
4T1T2
(T1 + T2 )2
− 1 > 0;
-1 =
(T1 − T2 )2
> 0.
4T1T2
4T1T2
Это всегда справедливо. Значит, ∆S > 0, т.е. энтропия возрастает. Значит, в
замкнутой ТС идет необратимый процесс.
2.3.4. Задачи для самостоятельного решения
Задача 9.
Один моль одноатомного идеального газа, находящегося при
давлении p1 = 1,0⋅104 Па, адиабатически расширяется из состояния 1 в состояние 2, совершая работу А = 10 кДж. При этом
средняя кинетическая энергия <wк> молекулы изменилась в n =
2 раза. Затем газ изотермически переходит в состояние 3, причем p3 = p1. Найти температуру Т3 и объем V3 конечного состояния.
Ответы: Т3 = 1250 К, V3 = 0,66 м3.
Задача 10.
Азот массой m = 500 г под давлением p1 = 1,0 МПа при температуре t1 = 127 °C изотермически расширился, в результате чего
давление газа уменьшилось в n = 3 раза. Потом газ адиабатически сжали до начального давления, а затем изобарно сжали до
начального объема. Построить графики процессов и найти работу А, совершенную газом за цикл.
Ответ: А = - 11,5 кДж.
30
Один киломоль (ν = 1,0⋅103 моль) двухатомного газа совершает
замкнутый цикл. Найти:
1). Тепло Q1, полученное от нагревателя; p, МПа
2
3
2). Тепло Q2, отданное холодильнику;
1,6
3). Работу А цикла;
4). КПД η цикла.
1
Ответ: Q1 = 7,6 МДж, Q2 = 7,2 МДж,
1,2
4
Задача 11.
А = 0,4 МДж, η = 5,3%.
2
Задача 12.
3
V, м3
Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя
Т1 = 500 К, холодильника Т2 = 300 К. Работа изотермического
расширения А12 = 2 кДж. Найти: 1) КПД цикла; 2) количество
тепла Q2, отданное газом холодильнику.
Ответы: η = 40%, Q2 = 1,2 кДж.
Задача 13.
Азот массой m = 5 г изобарически расширился от объема
V1 = 2 л до объема V2 = 5 л. Найти изменение энтропии ∆S при
этом процессе.
Ответ: ∆S = 2,9 Дж/К.
Задача 14.
Найти изменение энтропии ∆S при нагреве кислорода массой
m = 8 г от объема V1 = 10 л при температуре t1 = 80°C к объему
V2 = 10 л при температуре t2 = 300°C.
Ответ: ∆S = 5,4 Дж/К.
Задача 15.
Идеальный газ в количестве ν = 2 моль сначала изобарно нагрели так, что его объем увеличился в n1 = 2 раза, а затем изохорно
охладили, после чего его давление уменьшилось в
n2 = 2 раза. Найти полное изменение ∆S энтропии системы.
Ответ: ∆S = 11,5 Дж/К.
Задача 12.
В одном сосуде объемом V1 = 1,6 л находится азот массой
m1 = 14 г. В другом сосуде объемом V2 = 3,4 л находится кислород массой m2 = 16 г. Температуры газов одинаковы. Сосуды
соединили трубкой, газы смешались. Найти изменение энтропии
∆S в ходе процесса.
Ответ: ∆S = 5,9 Дж/К.
31
2.4. Контрольные задания.
Молекулярная физика и термодинамика
Вариант 1
1.1. На рисунке изображены два процесса 1→ 2 и 3→ 2 для одного и того же
количества идеального газа. Проанализируйте, как изменяется объем этого газа при рассматриваемых процессах и укажите номер правильного
соотношения.
P
1 V1 < V2
2 V2 > V3
2
1
V1 = V2
V1 > V2
4
8
3
0
T
1.2. Давление воздуха внетри плотно закупоренной бутылки при температуре 7 °С было 100 кПа. При нагревании бутылки пробка вылетела. До какой температуры нагрели бутылку, если
известно, что пробка вылетела при давлении воздуха в бутылке 130 кПа ?
1.3. Перечислите номера утверждений, касающихся функции распределения
Максвелла f(v), на которые Вы ответите «да».
Функция распределения Максвелла зависит от температуры;
1
2
4
8
Функция f(v)равна нулю при V = 0 и V = ∞$
Каждому значению функции f(v), кроме максимального, соответствуют два значения скорости молекул;
Производная ∂ f(v)/ ∂v при любых значениях скорости молекул не
равна нулю.
1.4. Один моль гелия и один моль азота, находящиеся в закрытом сосуде,
нагрели от температуры Т1 до температуры Т2 .
Верно ли, что …….
1 …. изменение энтропий этих газов не зависит от объема сосудов ?
2 …. изменение энтропий этих газов не зависит от скорости нагрева?
32
4 …. ∆SN = ∆SHe ?
2
8
….∆SN2 > ∆SHe ?
1.5. 10 г кислорода находятся при давлении 300 кПа и температуре 10 °С.
После нагревания при постоянном давлении газ занял объем 10 л. Найти
количество теплоты Q, полученное газом, приращение ∆U внутренней
энергии газа и работу А, совершенную газом при расширении.
Вариант 2
2.1. Кислород и гелий находятся в сосуде и разделены перегородкой. Температуры газов разные, а давления одинаковые. Будут ли одновременно
иметь место после удаления перегородки …..
1
…. внутреннее трение и теплопроводность ?
2
…. диффузия и внутреннее трение?
4
…. теплопроводность и диффузия ?
8
…. перенос импульса направленного движения молекул и их кинетической энергии?
2.2. В баллоне содержится газ при температуре 100 °С. До какой температуры нужно нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в два раза ?
2.3. Перечислите номера правильных утверждений. Как изменится функция
распределения Максвелла f(v) при понижении температуры системы ?
Уменьшатся все характеристические скорости : наиболее вероятная,
средняя арифметическая, средняя квадратическая.
1
2
Уменьшится максимальное значение f(v).
4
Увеличится максимальное значение f(v).
8
Наиболее вероятная скорость не изменится.
33
2.4. Идеальный газ совершает обратимые процессы. Сравните:
Т
B
1
а) количества теплоты Q1 и Q2, полученные
газом;
б) работы А1 и А2, совершенные газом.
Укажите номера правильных ответов на оба вопроса.
2
A
S
1
Q1 = Q2, А1 > А2,
6
Q1 = Q2, А1 > А2,
2
Q1 = Q2, А1 < А2,
7
Q1 = Q2, А1 > А2,
3
Q1 = Q2, А1 = А2,
8
Q1 = Q2, А1 > А2,
Q1 < Q2, А1 > А2,
9
Q1 = Q2, А1 > А2.
4
5
Q1 < Q2, А1 < А2,
2.5. Найти приращение энтропии ∆S при переходе 8 г кислорода от объема
10 л при температуре 80 °С к объему 40 л при температуре 300 °С.
Вариант 3
3.1. Зависит ли коэффициент диффузии идеального газа от ….
1
…. градиента концентраций компонентов смеси ?
2
….плотности газа, при давлениях порядка атмосферного ?
4
….температуры газа ?
8
…. Размеров молекул ?
Укажите номера вопросов, на которые Вы ответили «да, зависит».
34
3.2. При нагревании некоторой массы газа на ∆Т = 1 К при постоянном давлении объем этой массы газа увеличился на 1/350 часть первоначального объема. Найти начальную температуру газа.
3.3. Перечислите номера правильных утверждений о наиболее вероятной
скорости частиц системы, подчиняющейся распределению Максвелла.
Наиболее вероятная скорость зависит от температуры и молярной
1 массы идеального газа;
2
Наиболее вероятную скорость молекул можно найти, приравняв
нулю производную функции распределения Максвелла по скоростям ∂f(v)/∂v = 0;.
4
Чем больше молярная масса системы, тем меньше при данной температуре значение наиболее вероятной скорости;
8
Наиболее вероятная скорость возрастает с увеличением температуры.
3.4. Идеальный газ сначала расширялся адиабатически, затем был сжат изотермически, при этом работа расширения и сжатия газа одинакова по модулю. На какие вопросы Вы ответите «да» . Укажите их номера.
1 Верно ли, что конечный объем газа меньше начального ?
2
Верно ли, что температура газа понизилась ?
4
Верно ли, что при изотермическом сжатии газ отдавал тепло окружающим телам ?
8
Верно ли, что количество тепла, отданное газом, и приращение его
внутренней энергии одинаковы ?
3.5. Найти приращение энтропии ∆S при переходе 6 г водорода от объема
20 л под давлением 150 кПа к объему 60 л под давлением 100 кПа.
Вариант 4
4.1. Водород и гелий находятся в сосуде и разделены перегородкой. Их температура и давление одинаковы. Какие из указанных ниже физических
характеристик системы будут выравниваться в каждой ее точке после
удаления перегородки ? Укажите их номера.
35
1
Давление на стенки сосуда.
2
Парциальное давление газов
4
Концентрация молекул водорода.
8
Скорость хаотического движения молекул водорода.
4.2. Определить сколько молекул содержится в 1мм3 воды и какова масса
молекул воды.
4.3. Перечислите номера правильных утверждений о средней квадратичной
скорости частиц системы, подчиняющей ся распределению Максвелла.
При одинаковой температуре средние квадратичные скорости мо1 лекул различных идеальных газов одинаковы.
Средняя квадратичная скорость молекул аза при любой температу2 ре меньше наиболее вероятной скорости.
Чем больше масса молекул газа, тем меньше средняя квадратичная
4 скорость.
8
При возрастании температуры системы в четыре раза средняя квадратичная скорость молекул увеличивается в два раза.
4.4. Какой из графиков характеризует процесс равновесного изохорического
нагревания идеального газа. Укажите его номер.
P
1
V
Т
2
P
Т
4
P
Т
8
V
4.5. Водород массой 6,6 г расширяется изобарически от объема V1 до объема
V2 = 2 V1. Найти приращение энтропии ∆S при этом расширен.
36
Вариант 5
5.1. На рисунке представлены изобарические процессы для одной и той же
массы идеального газа. Укажите номер правильного соотношения между давлениями Р1 и Р2. Поясните свой ответ.
V
Р1
Р2
1
Р 1 = Р 2,
2
Р 1 < Р 2,
4
Р 1 > Р 2,
Т
5.2. Во сколько раз плотность воздуха, заполняющего помещение зимой (t1=
7 °C), больше его плотности летом (t2= 37 °C). Давление воздуха считать постоянным.
5.3. Верно ли, что ….
1
…. функция распределения Максвелла f(v) зависит от массы молекул
газа?
2
…. функция распределения Максвелла f(v) зависит от температуры ?
4
…. f(v) является величиной размерной ?
8
…. f(v) носит экстремальный характер ?
Перечислите номера вопросов, на которые Вы ответили «да, верно».
5.4. Изотермическое расширение одного моля азота проведено до удвоения
его объема. Точно такой же процесс при той же температуре осуществлен для одного моля гелия.
Верно ли, что
1 …. соотношение между ∆SN2 и ∆SHe зависит от скорости процессов
расширения ?
….
соотношение между ∆SN2 и ∆SHe зависит от температуры ?
2
37
4 …. ∆SN > ∆SHe ?
2
8
….∆SN2 < ∆SHe ?
На какие вопросы Вы ответили «нет»? Укажите их номера.
5.5. Количество ν = 2 кмоль углекислого газа нагревается при постоянном
давлении на 50 К. Найти приращение внутренней энергии газа, работу
расширеня газа и количество теплоты, сообщенное газу.
38
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Трофимова В.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1994. 542 с.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. М.: Наука, 1979. 416 с.
39
ФИЗИКА: ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ
ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ
Рабочая тетрадь
Составители: Сидоренко Феликс Аронович
Истомина Зоя Анатольевна
Папушина Татьяна Ивановна
Редактор
Подписано в печать 22.07.2006
Бумага типографская
Уч.-изд. л. 2,10
Тираж
Н.П. Кубыщенко
Офсетная печать
Заказ
ООО «Издательство УМЦ УПИ»
620002, Екатеринбург, Мира, 17
40
Формат 60х84 1/16
Усл. печ. л. 3,41
Цена «С»