Аналитическое решение задачи о поле температур при

УДК 517.956.4+536.24
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУР ПРИ
ОБТЕКАНИИ ОДНОРОДНЫМ ПОТОКОМ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИСТОЧНИКА
ТЕПЛА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
М.Я. Антимиров, И.М. Володко
Рижский технический университет
Получено аналитическое решение задачи о поле температур при обтекании
однородным потоком жидкости криволинейного источника тепла произвольной
формы. Уравнение линии, на которой расположен источник тепла, задано в
цилиндрических координатах в параметрической форме (параметр – угловая
координата j). Запись уравнения этой линии в уравнении теплопроводности с
помощью дельта-функции позволила получить аналитическое решение данной задачи в
виде однократного интеграла от элементарной функции. В качестве частных случаев
получены решения для источника тепла в форме окружности, спирали, эллипса и
отрезка конечной длины.
Ключевые слова
Уравнение теплопроводности, уравнение Гельмгольца, источник тепла, дельтафункция.
Условные обозначения
Т – температура, К; T
- температура жидкости на бесконечности, К; Т –
безразмерная температура; V
- скорость жидкости, м/сек.; а – температуропроводность, вт/(м град); Q – линейная плотность источников тепла, вт/м.
Введение
В работе 1 получено аналитическое решение задачи о поле температур при
обтекании однородным потоком линейного и точечного источников тепла постоянной
интенсивности при пренебрежении искажением скорости жидкости при обтекании
источника тепла и естественной конвекцией тепла по сравнению с вынужденной
конвекцией. Решение было получено как в точной постановке, так и в приближении
температурного погранслоя, что позволило оценить область применимости
погранслойного приближения.
В данной статье аналитическое решение в точной постановке получено для
случая, когда однородный поток жидкости обтекает криволинейный источник тепла
произвольной заданной формы. Выбор подходящим образом расположенной
прямоугольной системы координат всегда позволяет записать уравнение линии, на
которой расположен источник тепла, в цилиндрических координатах в
параметрической форме. Запись уравнения этой линии в уравнении теплопроводности
с помощью дельта-функции позволяет получить аналитическое решение данной задачи
в виде однократного интеграла с конечными пределами от элементарной функции.
1. Постановка и решение задачи
Однородный поток жидкости
обтекает
с постоянной
r
скоростьюeV
z
криволинейный источник тепла с постоянной линейной плотностью Q. Уравнение
линии, на которой расположен источник тепла, имеет вид ( r, j, z – цилиндрические
координаты):
j,
r
(1)
j ,
zj ,
гдеr
j
, z j - заданные функции, j - параметр. Отметим, что путем поворота и
параллельного переноса системы координат мы можем записать в параметрической
форме (1) уравнение любой линии.
Пренебрегая искажением скорости при обтекании криволинейного источника
тепла и естественной конвекцией по сравнению с вынужденной конвекцией, в
безразмерных величинах (характерный размер длин ы
/V ,
T /T 1
безразмерная температура), имеем задачу
2
2
T
x2
2
T
y2
T
z2
ˆ
0 при
T
где ˆ
z2
yx, z
,
rj d z
где
rj , d
(4) имеет вид
,
(3)
zj h j j
j
hj j
,
(4)
- дельта-функции, h x - единичная функция. Постоянная в
j2
L*
A
(2)
. Функция F j имеет вид
/ lT
jr
d
T
z
j
j2
k *,jrr j
2
j1
,
j dj A
r j dj ,
(5)
j1
где L * - длина источника тепла. Постоянная k выбрана так, чтобы полное количество
тепла, выделенного линейным источником в единицу времени, равнялось ˆ * .
Полагая
y z
U x, y, z exp z / 2 ,
(6)
из (2), (3) получаем задачу
2
U
x2
2
U
y2
2
U
z2
2
Fje
kz
, k
1
, U
2
при
z2
.
(7)
Решение задачи (6), (7) в виде тройного интеграла следует из интегрального
представления решения уравнения Гельмгольца (см. 2 ):
Q*
4p
y z
z
j exp
V
d
r
r
V
,
*
ˆh ,
(8)
где интегрирование ведется по области V , где подинтегральная функция отлична от
нуля, j
arctg y x , r
есть расстояние между точкой наблюдения
y z
и точкой интегрирования
y z :
y
x
M
y
z
2
z
.
(9)
Используя фильтрующее свойство дельта-функции, выполним в (8) интегрирование по
переменной z:
Q*
xdr r j
4p
y z
exp
k z
r
zj
(10)
jh j
hj
j
dy
.
r
Полагая в (10) x
r cosj ,
r sin j ,
r cosj ,
r sin j , xddy
r dr dj и
y
x
y
используя фильтрующее свойство дельта-функции, получаем из (10) решение задачи
(2), (3) в виде однократного интеграла
Q*
exp z / 2
4p
y z
где
j2
exp zk
j1
j
Fj
F
r
j
rr j co j j
dj ,
zj
(11)
2
, k
1
.
2
(12)
2. Применение формул (11), (12) для криволинейных источников тепла заданной
формы
2.1. Криволинейный источник тепла в форме окружности, расположенной в
плоскости z 0 . Уравнение линии, на которой расположен источник тепла, имеет вид:
jr R,
z ,0
j
p
.
В этом случае z j
R
1
,
Q*
(13)
0,
z2 ,
(14)
0 F1
dj .
F1
(15)
R co j j
2p
exp z / 2
4p
R и из формул (11), (12) следует
R,
0
exp
В силу симметрии интеграл (15) не должен зависеть от угловой координаты j. Чтобы
доказать это, достаточно положить под знаком интеграла j j y . Переменная y
будет меняться в пределах между y
j иy
j . Так как функция cosy имеет
2p
период 2p, то постоянную j в пределах интегрирования можно отбросить. В результате
получаем решение задачи в виде
*
exp z / 2
4p
r,
Интеграл (16)
Математика .
2p
exp
2
z2
co y
0
вполне
z2
2 R cosy
доступен
для
вычислений
dy .
с
(16)
использованием
пакета
2.2. Криволинейный источник тепла имеет форму спирали:
jr R
(17)
j
~
hz j
h
~
,
h
j
p.
В этом случае формула (12) принимает вид
R
2
~
z hj 2 ,
R co j j
(18)
а решение дает формула (11), в которой надо положить
2
,
R.
2.3. Криволинейный источник тепла имеет форму эллипса:
cos
r
j
2
sin
2
1
2
2
1
2
,
(19)
z .0
Формула (12) принимает вид
2
F
3
2
1
j
z2 ,
r r1 j co j j
(20)
а решение дает формула (11), в которой надо положить
3
,
r1 j .
2.4. Криволинейный источник тепла имеет форму прямолинейного отрезка:
,1
z ,0
y
l,
или
/1cos ,
j
z ,0
j
j ,
(21)
где j 1 arctg l . В этом случае под интегралом в формуле (10) надо выполнить
преобразование
d
x dy
d r co j
1 r dr dj
d cosj 1 1/ cosj r dr dj
(22)
cos 1
1 1/ cosj r r j .
При получении правой части формулы (22) использовано р авенство ax a 1 x
cons 0 и тот факт, что при интегрировании по r множитель cosj 0
считается постоянным. Тогда из (11), (12) следует
j1
,
1
2p
Q * exp z / 2
exp
0
2
4
1
cos
При l
, т.е. при
решением
,21 Q * exp 0
0 F4 dj
,
F4
cos 2 j
2r2cos j cos j j
1
(23)
.
(24)
2/формула (23) должна совпадать с полученным ранее в 1
z K0 0
r cosj 1
z2 ,
(25)
2
где 0
- модифицированная функция Бесселя второго рода с индексом 0. При r 0 ,
z 0 интеграл (23) действительно оказывается равным правой части формулы (25)
после подстановки cos 1 j t и использования интегрального представления функции
(см. 3 , формула 8.432(3)).
0
Выводы
1. Получено аналитическое решение задачи о поле температур при обтекании
однородным потоком жидкости криволинейного источника тепла произвольной
заданной формы.
2. Запись уравнения линии, на которой расположен источник тепла, в уравнении
теплопроводности с помощью произведения двух дельта функций позволила получить
решение в виде однократного интеграла от элементарной функции (формула (11)).
3. Приведены решения задач о поле температур для источников тепла в форме
окружности, спирали, эллипса и отрезка конечной длины.
Литература
1. Антимиров М.Я. Аналитическое решение задач о поле температур при обтекании
однородным потоком линейного и точечного источников тепла // Теплообмен –
ММФ. Минск: ИТМО АНБ, 2000. Т.3. С. 375-378.
2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.
724 с.
3. Градштей И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, рядов, сумм и произведений. М.:
Физматгиз, 1962. 1100 с.