12. Элементы механики жидкостей и газов

12. Элементы механики жидкостей и газов
12.1. Давление в жидкости и газе. Закон Паскаля
Многие из известных веществ, в зависимости от внешних условий, могут находиться в
четырёх агрегатных состояниях твёрдом, жидком, газообразном и плазменном (рис. 12.1). В
физике принято особенности строения и состояния веществ характеризовать отношением
средней величины кинетической энергии поступательного движения молекул к величине их
потенциальной энергии. Для газов такое отношение на много меньше единицы, для твёрдых
тел − на много больше единицы, а для жидкостей соотношение между энергиями близко к
единице
ε Пост. >> U(r0 ) − для газа,
ε Пост. << U(r0 ) − для твёрдого тела ,
ε Пост. ≈ U(r0 ) . (12.1)
Рис. 12.1. Фазовые состояния вещества
Частицы, составляющее вещество: ионы, молекулы или атомы в большей или меньшей
степени находятся в постоянном взаимодействии друг с другом, которое, собственно и
определяет состояние. При относительно низких температурах частицы расположены в виде
правильных геометрических фигур. Вещество находится в твёрдом состоянии, частицы
совершают тепловые колебания, которые не нарушают взаимного расположения структурных
элементов. Если температуру повышать, то амплитуда колебаний начинает возрастать, т.е.
увеличивается кинетическая энергия частиц. При некоторых значениях температуры энергия
колебаний становится равной или превосходит энергию взаимодействия, связи при этом
постоянно разрываются и снова восстанавливаются. К колебательным степеням свободы
добавляются вращательные и даже поступательные. Строгая геометрическая конфигурация
относительного расположения частиц нарушается. Вещество из твёрдого состояния переходит
в жидкое состояние. В этом случае говорят о фазовом переходе первого рода. Дальнейшее
повышение температуры сопровождается ещё большими амплитудами колебаний частиц, в
конце концов, частицы удаляются друг от друга и перестают взаимодействовать. Вещество
становится газообразным. Структурные элементы движутся исключительно поступательно «не
замечая друг друга». Взаимодействие происходит только при столкновениях. При дальнейшем
увеличении температуры до нескольких сот тысяч градусов энергия, которой обмениваются
частицы при столкновениях, становится настолько большой, что атомы начинают терять
электроны. Ядра и электроны существуют независимо друг от друга. Это состояние вещества
принято называть плазмой.
264
Жидкости занимают промежуточное положение между твердым и газообразным
состоянием. Жидкостям присущи как свойства твердых тел, так и веществ, находящихся в
газовом состоянии. Как твёрдые тела, жидкости характеризуются определённым объёмом,
способны образовывать поверхности раздела, обладают некоторой прочностью на разрыв, но
вместе с тем, одновременно располагают свойствами типичными для газов. Жидкости не
способны сохранять, подобно газам, свою форму, принимая форму сосуда. Отличительными от
других состояний является текучесть и упругость жидкостей.
Структурные элементы материи (молекулы и атомы) могут участвовать одновременно в
нескольких типах теплового движения, поступательном, вращательном и колебательном. Набор
движений, которые совершает молекула или атом определяется числом степеней свободы. У
газообразных веществ в условиях близких к нормальным молекулы или атомы
характеризуются тремя поступательными степенями свободы. Структурные элементы веществ,
находящихся в твёрдом состоянии вследствие значительных сил межмолекулярного
взаимодействия совершают только колебательные движения вокруг положения равновесия.
Полная упорядоченность структуры твёрдого состояния материи и абсолютный беспорядок
её газообразного состояния являются крайними, посередине располагается вещество «в
несколько упорядоченном беспорядке». Исследования жидкостей путём рассеяния нейтронов
позволили Дж. Берналу сформулировать качественную модель поведения молекул вещества в
жидком состоянии. Вот суть этой модели. В объёме жидкости можно выделить ансамбли
молекул, которые колеблются вокруг центров, образующих определённую геометрическую
конфигурацию. Упорядоченные области расположены в объёме случайным образом, причём
влияние отдельных упорядоченностей, друг на друга незначительно. В результате тепловых
колебаний некоторые молекулы в результате разрыва связей с данным сообществом
приобретают поступательные степени свободы и примыкают к другому сообществу, как бы
меняя партнёров взаимодействия. Происходит внутренняя диффузия. В результате
поступательного
перемещения
молекулы
образуется
нарушение
геометрической
упорядоченности в виде вакансии, которую часто называют «дыркой». Таким образом, в
жидкости постоянно возникают и замещаются вакансии.
Жидкостью, таким образом, называется такое состояние вещества, которое обладает
следующими механическими свойствами:
• сохраняет объём;
• образует поверхность;
• обладает прочностью на разрыв;
• принимает форму сосуда;
• обладает текучестью.
Вследствие текучести поверхность покоящейся жидкости под действием силы тяжести
всегда принимает горизонтальное положение.
Газообразное состояние ввиду полной неупорядоченности движения атомов и молекул и
слабого их взаимодействия друг с другом характеризуется свойством полностью заполнять весь
предоставленный им объём
Несмотря на значительные субъективные различия, газы и жидкости с позиций
классической механики можно отнести к категории сплошных сред, т.е. сред, непрерывно
распределённых в некоторой части пространства. При изучении механических свойств
жидкостей или газов особенности их структурного строения не учитываются. При
рассмотрении даже самых малых объёмов количество атомов или молекул в них будет
огромным. Так, например, V = 1 мм3 воздуха при нормальных условиях содержит N ≅ 10 16
молекул.
Гидростатика и аэростатика изучают процессы равновесия жидкости и газа и их
воздействие на погруженные тела [18]. При сжатии или растяжении газов и жидкостей
(сплошных сред) в них возникают силы упругости, которые уравновешивают внешнее
воздействие. При изменении геометрической конфигурации жидкостей и газов силы упругости
не возникают. Газы и жидкости обладают только объёмной упругостью, т.е. упругая реакция
возникает только при изменении объёма, но не при изменении формы этого объёма.
Характерной особенностью упругих напряжений является их перпендикулярность площадке, к
которой приложены распределённые силы, т.е. силы, действующие не в фиксированной точке,
а в пределах некоторой площади
265
r
σ n = − pn ,
(12.2)
r
где р − давление, определяемое как сила, отнесённая к площади её действия, n − внешняя
нормаль к этой поверхности. Давление, таким образом, определяется как
p=
F
,
s
[p] =
Н
кг
= Па =
.
2
м
м ⋅ с2
(12.3)
Давление в жидкостях и газах в равновесном состоянии подчиняется закону Блеза Паскаля
(1623 − 1662): в состоянии равновесия давление р не зависит от ориентации площадки, на
которую оно действует.
Выделим в безграничном объёме жидкости элементарный объём толщиной dy и рассмотрим
условие его равновесия. На выделенный объём жидкости действует система трёх сил
{F1 = (p + dp )s; F2 = ps; d(mg )} ,
(12.4)
под действием которой равновесие элементарного объёма
можно представить следующим уравнением
ps - (p + dp )s + ρgsdy = 0 ,
(12.5)
где ρ − плотность жидкости, sdy − объём выделенного
элемента. Преобразуем последнее уравнение
(12.6)
ps - ps + dps = −ρgsdy ,
или
dp
= −ρg .
dy
(12.7)
Уравнение (12.7) определяет изменение давления с
высотой, знак минус показывает, что с уменьшением
высоты столба жидкости или газа гидростатическое
давление уменьшается. Разделим в последнем уравнении переменные и проинтегрируем
Рис. 12.2. Определение давления в
безграничной жидкости
dp = -ρgdy, ⇒
p2
y2
p1
y1
∫ dp = -ρg ∫ dy ,
p 2 − p1 = −ρg (y 2 − y1 ) .
(12.8)
Если величину давления р2 принять за нулевой уровень, а почему бы и нет, то уравнение (12.8)
можно переписать следующим образом
(12.9)
p = p 0 + ρg (y 2 − y1 ) = p 0 + ρgh .
Закон Паскаля успешно объяснил целый ряд гидростатических эффектов. Так, например,
если жидкость в сосуде вращается, то гидростатическое давление определится уравнением
p = p 0 + ρgh +
ρω2 r 2
,
2
(12.10)
где р0 − внешнее давление, приложенное к поверхности жидкости, ω − угловая частота
вращения, r − расстояние до оси вращения. Это уравнение, в частности, показывает, что
поверхность вращающейся жидкости в равновесном состоянии не может быть горизонтальной,
т.к. вращательная составляющая давления пропорциональна расстоянию до оси вращения в
квадрате. Поверхность будет иметь в профиль вид параболы.
Принцип действия гидравлического пресса так же основан на проявлении обсуждаемого
закона (рис. 12.3). Если между двумя поршнями,
большим и малым поместить жидкость и
прикладывать к поршням силы, оставляя систему в
равновесии, то вследствие закона Паскаля
F1s1 = F2s 2 , ⇒
Рис. 12.3. Гидравлический пресс
F1 s1
= ,
F2 s 2
(12.11)
т.е. действие малой силы на больший по площади
поршень, способно инициировать большую силу на
поршне с малой площадью.
Уравнение (12.11) лежит в основе действия
гидравлических
тормозов
современных
266
автомобилей, состоящих из относительно большого по площади поршня, привод которого
соединён с педалью тормоза и одного или нескольких малых поршней, прижимающих
фрикционные элементы к колодкам или дискам.
Закон Паскаля позволил теоретически объяснить эффект, проявляющийся в сообщающихся
сосудах. Рассмотрим два сосуда, заполненных жидкостями с плотностями ρ1 и ρ2 до уровней h1
и h2 (рис. 12.4). Предположим, что первоначально между сосудами расположена
непроницаемая перегородка. В этом случае
p1 = ρgh1 , p 2 = ρgh 2 , p 2 > p1 .
(12.12)
Поскольку разные давления действуют на одно и
то же общее сечение, соединяющее сосуды, то при
убирании перегородки равновесие системы
нарушится, возникнут силы, которые станут
перемещать жидкость плотностью ρ2 до тех пор,
пока уровни в сосудах не станут одинаковыми.
Закон сообщающихся сосудов имеет следующую
распространённую интерпретацию
h1 ρ 2
=
.
h 2 ρ1
(12.13)
Рис. 12.4. Сообщающиеся сосуды
Одним из интересных приложений
закона Паскаля стало объяснение, так
называемого,
гидростатического
парадокса. Три сосуда А,В и С
различной формы и объёма заполнены
одинаковой жидкостью до некоторого
уровня h (рис. 12.5). При одинаковой
плотности жидкости в сосудах её
масса буден разной, причём m1 > m2 >
m3, естественно, если эти сосуды
последовательно поставить на весы, то
в каждом отдельно взятом случае
Рис. 12.5. Гидростатический парадокс
показания будут различными. Однако
если у всех трёх сосудов площадь
основания равна s, то гидростатическое давление на дно сосуда будет
одинаковым, потому что в соответствие с законом Паскаля давление
определяется только величиной внешних распределённых сил ( в
данном случае это силы, вызванные гидростатическим давлением) и
высотой столба жидкости
(12.14)
p1 = p 2 = p 3 = p 0 + ρgh .
В средневековой Европе в ходу был «фокус» который
демонстрировали прилюдно (рис. 12.6). В прочную дубовую бочку,
заполненную водой, вставлялась длинная трубка малого диаметра. При
заполнении трубки, например до высоты, h = 4 м, бочка внезапно
теряла сплошность, её корёжило, иногда даже разрывались стальные
обручи. Народ ликовал и недоумевал. А на самом деле объяснение
было простым
F = ρghs
т.е. сила, действующая на поверхность, зависит от высоты столба и
площади поверхности. Для типичной бочки площадь её поперечного
сечения примерно равна s2 ≅ 0,8 м2, а трубки s1 ≅ 1⋅10 − 4 м2, т.е.
s2
= 8 ⋅103 .
s1
Рис. 12.6. Разрушение
бочки
267