Уравнение прямой

Уравнение прямой
Пусть даны точки A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 )
 x  x y  y2 
Середина отрезка:  1 2 ; 1
.
2 
 2
Это концы средней линии трапеции, треугольника, точка пересечения диагоналей (если они
делятся пополам).
Длина отрезка: d  AB  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2 .
Для определения вида фигуры (равносторонний, равнобедренный треугольник, квадрат и т.д.),
нахождения элементов фигур, нахождение углов и т.д.
1)Уравнение прямой, проходящей через две точки A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 )
Как мы знаем, через две различные точки можно
провести одну и только одну прямую. Поэтому две
заданные точки однозначно определяют прямую и
должны позволить составить уравнение этой прямой.
Пусть даны точки A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) . Рассмотрим
векторы AB  ( x2  x1 , y2  y1 ) и AM  ( x  x1 , y  y1 ) .
Тогда точка М(х, у) лежит на прямой АВ в том и
только том случае, когда векторы AB и
AM коллинеарны (параллельны), т.е. когда
x - x1
y - y1
=
x2 - x1 y 2 - y1
Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В.
Пример: A(2;3) B(1; 4)
x  (2) y  3
x  2 y 3



  7( x  2)  3( y  3)  7 x  3 y  5  0
1  (2) 4  3
3
7
2) Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей заданный направляющий
вектор.
Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, будем
называть направляющим вектором этой прямой. Всякая прямая
полностью определяется какой-нибудь своей точкой точкой А и
направляющим вектором s . Действительно, через точку А можно
провести бесконечно много различных прямых. Из этого
множества прямых вектором s выделяется одна прямая, а именно
та, для которой этот вектор является направляющим.
Выведем уравнение прямой, проходящей через точку A( x1 ; y1 ) и
имеющей заданный направляющий вектор c  ( p, q) . Пусть М(х, у) – произвольная точка
плоскости. Тогда точка М лежит на рассматриваемой прямой в том и только том случае, когда
векторы AM  ( x  x1 , y  y1 ) и c  ( p, q) коллинеарны, т.е.
x  x1 y  y1

p
q
Полученное уравнение и является искомым уравнением прямой, проходящей через данную точку в
заданном направлении.
Угловой коэффициент прямой
Рассмотрим две прямые, изображенные на рисунке.
Положительный угол α, который прямая образует с
положительным направлением оси Ох (если считать
эту ось начальной стороной угла), называется углом
наклона данной прямой к оси Ох (или короче,
углом наклона прямой). При этом, очевидно,
0    180 . Если прямая параллельна оси Ох или
совпадает с ней, то угол наклона этой прямой
считается равным нулю. Если угол наклона прямой
α является острым углом, то прямую можно называть восходящей прямой. Если же 90    180 ,
то можно говорить о нисходящей прямой.
Вместо угла α наклона прямой к оси Ох значительно удобнее оказывается пользоваться тангенсом
этого угла, т.е. величиной tan  . Тангенс угла наклона прямой называется угловым коэффициентом
прямой и обозначается буквой k.
Если 0    90 , то k  tan   0 ,
если 90    180 , то k  tan   0 ,
если   0 , то k  tan   0 .
Таким образом, восходящая прямая имеет положительный угловой коэффициент, а
нисходящая прямая – отрицательный угловой коэффициент.
Если прямая задана своими двумя точками A( x1 ; y1 ) B( x2 ; y2 ) , то угловой коэффициент как для
восходящей, так и для нисходящей прямой можно найти по формуле
y y
tan   k  2 1
x2  x1
Пример:
A(2; 3) B(1; 4)
k
4  (3) 7
1

 2
1  2
3
3
3) Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей заданный угловой
коэффициент
Отметим, что угловой коэффициент выделяет в точности одну
прямую из всего множества прямых, проходящих через точку А.
Поэтому точка и угловой коэффициент (или угол наклона)
определяют прямую однозначно.
Пусть М(х; у) – произвольная точка искомой прямой. Тогда, как мы
уже знаем, угловой коэффициент k можно выразить через
координаты двух точек прямой:
y2  y1
x2  x1
А уравнение прямой, определенной точкой и угловым коэффициентом надо запомнить в виде
y  y1  k ( x  x1 ) .
k
Пример
если A(2; 3), k  1, то
y  (3)  1( x  2)
y  3  x  2
y   x 1
4) Прямая, определенная угловым коэффициентом и начальной ординатой
(абсцисса – координата х, ордината – координата у)
Предположим, что прямая пересекает ось Оу в точке А. Тогда
абсцисса точки А равна нулю, т.е. A(0; b) . Число b, т.е. ордината
точки пересечения прямой с осью Оу, называется начальной
ординатой данной прямой.
Если даны угловой коэффициент прямой k и ее начальная ордината b,
то значит даны угловой коэффициент k и точка А(0; b) этой прямой.
Поэтому мы можем воспользоваться уравнением
y  y1  k ( x  x1 ) .
Теперь, учитывая, что x1  0 и y1  b получим y  b  k ( x  0) , откуда
y  kx  b
Вид уравнения
прямой
Общее уравнение
прямой
Уравнение
Обозначения
Ax  By  C  0
A , B и C - коэффициенты
Пример:
Уравнение прямой с
угловым
коэффициентом и
начальной ординатой
5x  3 y  4  0
Пример:
Уравнение прямой,
проходящей через
заданную точку и
имеющей заданный
угловой коэффициент
Пример:
если k  3, b  4, то y  3x  4,
y  kx  b
y  y1  k x  x1 
k - угловой коэффициент прямой
y  y1
A
k  tan   2
 ,
x2  x1
B
b - начальная ордината
x1 ; y1  - координаты заданной точки
k  tan  - угловой коэффициент
прямой
если A(2; 3), k  1, то
y  (3)  1( x  2)
y  3  x  2
y   x 1
Уравнение прямой,
проходящей через две
заданные точки
Пример:
Уравнение прямой,
проходящей через
заданную точку и
имеющей заданный
нормальный вектор
x  x1
y  y1

x2  x1 y2  y1
x1 ; y1  и x2 ; y2  - координаты
заданных точек
Пример: A(2;3) B(1; 4)
x  (2) y  3
x  2 y 3



  7( x  2)  3( y  3)  7 x  3 y  5  0
1  (2) 4  3
3
7
x  x1 y  y1

p
q
x1 ; y1  - координаты заданной точки
s   p; q  - направляющий вектор
прямой
s  x2  x1; y2  y1 
Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно ( -но) данной прямой.
Дано: т.М ( x1 ; y1 ) и прямая y  kx  b, k  угловой коэффициент
y  y1  k ( x  x1 )
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно (  -но) данной прямой.
Дано: т.М ( x1 ; y1 ) и прямая y  kx  b, k  угловой коэффициент
1
y  y1   ( x  x1 )
k
Пример: Дано т.А(2;-1) и прямая y  4 x  3
1) через точку А -но прямой: y  (1)  4( x  2)
y 1  4x  8
y  4x  9
2) через точку А  -но прямой:
1
y  (1)   ( x  2)
4
1
1
y 1   x 
4
2
1
1
y  x
4
2
3) если прямая параллельна оси ОХ, то она выглядит у = 5 или у = 3
если прямая параллельна оси ОY, то она выглядит x = 5 или x = 3
условие параллельности ( ) прямых
--- если прямые даны в виде A1 x  B1 y  C1  0 и A2 x  B2 y  C2  0 , то условие
A
B
C
параллельности: 1  1  1 ,
A2 B2 C2
--- если в виде y  k1 x  b1 и y  k2 x  b2 , то условие параллельности k1  k2 .
Условие перпендикулярности (  ), если k1  k2  1
6) Чтобы найти точку пересечения прямых y  k1 x  b1 и y  k2 x  b2 нужно решить систему
 y  k2 x  b1
уравнений 
 y  k2 x  b2