6_Показательные уравнения

Молодечненский государственный политехнический техникум
Инструкция к практическому занятию: Показательные
уравнения.
Разработчик:
И. А. Кочеткова
Цель работы:
1) Отработать некоторые приѐмы решения показательных уравнений.
2) Научиться приводить показательные уравнения к известным
алгебраическим уравнениям, используя свойства степеней,
свойства показательной функции и алгебраические преобразования.
Оборудование: карта индивидуального задания,
микрокалькулятор.
Порядок выполнения работы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Изучить указания к выполнению практической работы.
Ответить на контрольные вопросы.
Изучить условия заданий. Определить способ решения.
Решить неравенства.
Оформить отчѐт.
Для выполнения практической работы используйте следующие сведения:
Показательным уравнением называется уравнение, содержащее
переменную в показателях степеней при некоторых постоянных основаниях.
Например: 1)
; 2)
При решении показательных уравнений полезно помнить о некоторых
свойствах показательной функции:
1) Множеством значений показательной функции является множество
всех положительных действительных чисел.
Пример: Уравнение
решений не имеет, т. к. 5 x 0 при любом х.
2) Если равны две степени с равными основаниями а, то равны и их
показатели, т. е. если
.
Пример: В уравнении
, переменная x=2.
1
Указания к выполнению практической работы
При выполнении работы, используйте рассмотренные ниже способы решения
показательных уравнений.
1 способ. Способ приведения обеих частей уравн-я к одному основанию.
1.1. Привести обе части уравнения к одному основанию:
(*),
тогда f(x)=g(x)
При решении уравнений можно пользоваться формулами:
1)
3)
7)
5)
4)
2)
8)
6)
Пример 1.
Решение. Приведѐм уравнение к виду (*). Для этого у степеней должно быть одно
основание 6.
, применим формулу 4 и получим:
Из равенства двух степеней с одним основанием 6 следует равенство их
показателей
1-x= -2x, x= -1.
Ответ: x= -1.
Пример 2.
Решение. Приведѐм степени к одному основанию 5, для этого применим формулы 6
и 4:
, затем применим формулы 3 и 1, получим:
;
;
6x-8=-2x; 8x=8; x=1.
Ответ: x=1.
Пример 3.
Решение. Применим формулу 1 и десятичную дробь представим в виде обыкновенной дроби:
.
Применим формулу 7 и разделим обе части уравнения на 5:
;
;
; x=-2.
Ответ: х= -2.
1.2.
Привести
уравнение
к
виду
a f (x)
bf (x) .
Затем,
чтобы
уравнять
f (x)
. Получим
основания, необходимо разделить обе части уравнения на b
a
b
уравнение
Пример. a
нить на b
0
f (x)
1
2x
.
2
. В правой части уравнения единицу необходимо заме52
x
2
Решение. Применим формулу 4, чтобы у данных степеней был одинаковый показатель:
2
x 2
5
( x 2)
2x 2 5x 2
10 x 2 1 ;
x-2=0;
2
;
x 2
1
5
x 2
, умножим уравнение на 5 x
2
и получим:
1;
по формуле 5
x= 2.
10 x
2
10 0 ;
Ответ: х=2.
1.3. Способ вынесения общего множителя за скобки.
Этот
способ
применяется,
если
уравнение
f (x)
f (x)
имеет
вид
f (x)
, где 1 , 2 ,..., n - любые действительные числа.
Тогда общий множитель можно вынести за скобки и найти его численное
значение.
Пример.
4 x 2 3 4 x 1 122
Решение. Применим формулу 1 a x y a x a y , тогда уравнение примет вид:
1
a
2
a
...
n
a
4x 42
4x
3 4 x 4 1 122;
3 x
16
4
122
4
Вынесем неизвестную степень 4 x за скобки и разделим уравнение на число, получившееся в скобках:
4x
4x
4x
2x
16
3
4
122;
61
122;
4
8; 2 2 x
3;
x
4x
122
4
;
61
23 ;
3
2
Ответ: x=1,5.
2 способ. Способ введения новой переменной.
a 2f ( x )
a f (x)
0, ( , , - числа) заменой a f ( x )
t2
t
0.
сводится к квадратному уравнению
Пример.
9 x 3x 72
Решение. 3 2x 3 x 72 0 ;
.
Заменим 3x t, t 0 , тогда уравнение примет вид:
2.1. Уравнение вида
t2
t 72
t , t>0
0.
Решаем квадратное уравнение и получаем: t1= -8, t2=9.
Т. к. t>0, то t1= -8 не подходит.
Значит 3 x 9 , x=2.
Ответ: х=2.
3
a
2.2. Уравнение вида
a
f (x)
f (x)
f (x)
a
0
или
t , t>0 сводится к квадратному уравнению
Пример.
2
x
2 2
x
2
2
уравнение примет вид:
t2
t1
t
t2
0,
t
0
a f (x)
заменой
t
0
.
3.
Решение. Перепишем уравнение в виде 2 x
t
a f (x)
3 0 и заменим 2 x
x
t, t
0 , тогда
2
3 0 . Умножим на t и получим квадратное уравнение:
t
3t 2 0;
2; t 2 1
Значит 2 x 2 или 2 x 1
x=1
или x=0.
Ответ: 0; 1.
a
2.3. Уравнение вида
2f ( x )
a
f (x)
b
f (x)
b
уравнением второй степени относительно a
f (x)
2f ( x )
и b
сводится к квадратному. Для этого его делят на b
уравнение:
a
b
2f ( x )
a
b
квадратному уравнению
t
2
, затем заменой
t
является однородным
f (x)
2f ( x )
f (x)
0
0
. Это уравнение также
или на a 2f ( x ) и получают
a
b
f (x)
t
(t>0) сводится к
0.
Пример.
8 9 x 19 6 x 27 4 x 0
Решение. Приведѐм уравнение к нужному виду:
Разделим его на 2 2 x , получим:
8 3 2x 19 2 x 3 x 27 2 2x 0 .
8
3 2x
19
2 x 3x
2 2x
2x 2x
2x
x
3
3
8
19
2
2
27
27
2 2x
2 2x
Сократим и применим формулу 8
0;
3
Заменим
2
0
8t 2 19t 27 0;
27
t1
; t2
1 (неподходит)
8
x
x
3
27
3
Значит
или
2
8
2
3
2
x
t, t
0
3
Итак, x=3.
Ответ:3.
Контрольные вопросы:
1) Какое уравнение называется показательным?
4
2) О каких свойствах показательной функции полезно помнить при решении показательных уравнений?
3) Приёмы решения показательных уравнений?
4) Какими способами можно уравнять основания?
5) Какие уравнения сводятся к квадратному? Какое уравнение называется однородным и как оно решается?
5