Основные понятия и принципы

Основные понятия и принципы
молекулярно-кинетической теории
Для решения задач молекулярной физики могут потребоваться
молярные массы ряда веществ:
молекулярный водород μ H 2 2 г/моль,
гелий μ He
углерод μ C
4 г/моль,
12 г/моль,
молекулярный азот μ N2
28 г/моль,
молекулярный кислород μ O2
ртуть μ Hg
32 г/моль,
201 г/моль.
Вариант 1
12.1.1. Сравнить число молекул N1 в 1 моль водорода и число
молекул N 2 в 1 моль кислорода.
N1
N2
1
16
N1
N 1
1
4. 1
N2
N2 8
12.1.2. Сравнить число молекул N1 в 1 г водорода и число молекул
N 2 в 1 г кислорода.
N
N
1. 1 16 2. 1
N2
N2
1
16
1.
N1
N2
16
2.
3.
N1
N 1
1
4. 1
N2
N2 8
12.1.3. Сравнить число молекул N1 в одном моле двухатомного
газа - молекулярного кислорода O2 и число молекул N 2 в одном моле
3.
трехатомного газа - озона O3 .
1.
N1
N2
2
2.
N1
N2
3
2
3.
N1
N2
1
4.
N1
N2
2
3
12.1.4. Чему равно отношение молярной массы вещества к массе
одной молекулы этого вещества?
1. Числу Авогадро
2. Постоянной Больцмана
3. Универсальной газовой постоянной
4. Среди приведенных ответов нет правильного
12.1.5. Имеется 10 г одноатомного газа гелия – He. Сколько моль
содержит это количество?
1. 2,5 моль
2. 7,5 10 23 моль
3. 0, 4 моль
4. 7,5 10 26 моль
12.1.6. В сосуде находится 3 1023 молекул некоторого газа. Какое
количество вещества находится в сосуде?
1. 0, 25 моль
2. 0,5 моль
3. 0,75 моль
4. это зависит от газа
12.1.7. Клеточка, отвечающая химическому Ru
44
элементу Ru (рутений1) в таблице Менделеева,
Рутений
показана на рисунке. Чему равна молярная масса
101,07
рутения?
1. 44 г/моль
2. 101,07 г/моль
3. 145,07 г/моль
4. 57,07 г/моль
12.1.8. Какая формула правильно определяет связь абсолютной
температуры T и средней кинетической энергии молекул
mv 2
2
k
1. kT
1
?
ср
3
2
k
2.
3
kT
2
k
3. kT
k
Мы не случайно взяли в качестве примера именно этот элемент. Этот
элемент был открыт в России (в 1844 году в Казанском университете
химиком К.Клаусом) и назван в честь России. Ruthenia – латинское название
России.
4. Для одноатомных молекул
5
kT
2
k
3
kT
2
k
, для двухатомных
(здесь k – постоянная Больцмана).
12.1.9. При какой абсолютной температуре плавится лед?
1. 0 К
2. 263 К
3. 273 К
4. 273 К
12.1.10. Изменение температуры тела составило 27 С. По
абсолютной шкале температур это изменение составляет:
1. 0 К
2. 27 К
3. 246 К
4. 300 К
Вариант 2
12.2.1. Имеется два сосуда. В одном находятся 1 г молекулярного
водорода H2, в другом – 8 г молекулярного кислорода O2. В каком
сосуде находится большее количество вещества?
1. Где водород
2. Где кислород
3. Одинаково
4. Это зависит от объема сосудов
12.2.2. Молярная масса азотной кислоты HNO3 равна:
1. 60 г/моль
2. 61 г/моль
3. 62 г/моль
4. 63 г/моль
12.2.3. Чему равна масса одного моля углерода С в атомных
единицах массы (а.е.м.)?
1. 72 1023 а.е.м.
2. 12 а.е.м.
3. 72 а.е.м.
4. 12 1023 а.е.м.
12.2.4. Плотность некоторого газа ρ 1800 г/м3. При этом
концентрация молекул газа равна n 2, 7 1026 м-3. Какой это газ?
1. Водород
2. Гелий
3. Углекислый газ
4. Кислород
12.2.5. Чему равна средняя скорость молекул водорода при
температуре 300 К? Постоянная Больцмана 1,38 10 23 Дж/К,
1 а.е.м.= 1, 66 10
27
кг.
1. 2 101 м/с
2. 2 102 м/с
3. 2 103 м/с
4. 2 104 м/с
12.2.6. При нагревании идеального газа его абсолютная
температура увеличилась в два раза. Во сколько раз изменилась
средняя скорость движения молекул?
1. Увеличилась в 2 раза
2. Увеличилась в 4 раза
3. Увеличилась в 2 раз
4. Не изменилась
12.2.7. Два газа, массы молекул которых равны m и 16m ,
приводят в тепловой контакт. После установления теплового
равновесия оказалось, что средняя скорость молекул с массой m
равна v . Найти среднюю скорость v1 молекул с массой 16m .
1. v1 v
2. v1 v /16 3. v1 v / 4
4. v1 v / 8
12.2.8. В сосуде находится смесь двухатомного водорода и
одноатомного гелия. Найти отношение средних скоростей молекул
водорода v1 и гелия v2 :
1.
v1
v2
1
2.
v1
v2
2
3.
v1
v2
6
5
4.
v1
v2
10
3
12.2.9. Где содержится больше молекул, в стакане воды или
стакане ртути? Плотность воды ρ H2O 1 г/см3, плотность ртути
ρ Hg
13, 6 г/см3.
1. В стакане воды
2. В стакане ртути
3. Одинаково
4. Это зависит от объема стакана
12.2.10. Температуру газа в сосуде увеличивают от 25 до 125 С.
Во сколько примерно раз возрастает при этом средняя скорость
молекул газа?
1. В 5 раз
2. В
5 раза
3. В 4 / 3 раза
4. В 2 / 3 раза
Газовые законы
Вариант 1
13.1.1. С идеальным газом происходит процесс, в котором
концентрация молекул газа (при неизменной массе) увеличилась в 2
раза, абсолютная температура увеличилась в 3 раза. При этом
давление идеального газа:
1. Увеличилось в 6 раз
2. Увеличилось в 3 раза
3. Увеличилось в 3 / 2 раза
4. Уменьшилось в 3 / 2 раза
13.1.2. При абсолютной температуре T0 и давлении p0 идеальный
газ, взятый в количестве вещества 1 моль, занимает объем V0 . Каков
объем газа, взятого в количестве вещества 2 моль, при давлении 2 p0
и температуре 2T0 ?
1. 2V0
2. 4V0
3. 6V0
4. 8V0
13.1.3. В сосуде неизменного объема содержится идеальный газ в
количестве 2 моль. Как надо изменить абсолютную температуру газа
в сосуде, чтобы при добавлении в сосуд еще одного моля газа
давление в сосуде увеличилось в 3 раза?
1. Уменьшить в 2 раза
2. Увеличить в 2 раза
3. Уменьшить в 3 раза
4. Увеличить в 3 раза
13.1.4. При нагревании идеального газа в сосуде его абсолютная
температура увеличилась в 2,5 раза, а давление выросло в 2 раза. Во
сколько раз уменьшилась масса газа в сосуде? Объем сосуда и
химический состав газа не изменялся.
1. В 5 раз
2. В 8 раз
3. В 1, 25 раза
4. Не изменилась
13.1.5. Если полностью опустить запаянную с одного
конца стеклянную трубку в воду, выпустить из нее
воздух, заполнив водой, и аккуратно вытаскивать из
воды запаянным концом вверх, то вода останется в
трубке и будет подниматься вместе с ней (см. рисунок).
Это происходит:
1. Благодаря тому, что «природа боится пустоты»
2. Благодаря всасывающей силе вакуума
3. Благодаря взаимодействию воды с верхним участком трубки
(выделен жирным на рисунке)
4. Благодаря давлению атмосферного воздуха на поверхность воды
в сосуде и закону Паскаля
13.1.6. На рисунке приведены графики
p
2
четырех процессов – 1 , 2 , 3 и 4 , –
1
3
происходящих с идеальным газом. Масса
4 T
газа не меняется в течение всех этих
процессов. В каком из этих процессов
меняются и давление, и объем, и температура газа?
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
13.1.7. На рисунке приведены графики
p
1
четырех процессов – 1 , 2 , 3 и 4 , –
2
происходящих с идеальным газом. В
4
3
V
процессах 2 и 4 зависимость давления от
объема
прямо
пропорциональная,
в
процессах 1 и 3 – обратно пропорциональная. Масса газа не меняется в
течение всех этих процессов. Какой из них является изотермическим
расширением?
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
13.1.8. На рисунке приведены графики
p
четырех процессов – 1 , 2 , 3 и 4 , –
2
1
происходящих с идеальным газом. Масса газа
3
T
4
не меняется в течение всех этих процессов.
Какой из них является изохорическим
охлаждением?
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
3
13.1.9. В сосуде объемом 2 м находится 0,14 кг азота при
температуре 800 К. Найти давление азота, считая его идеальным
газом.
1. 16, 62 103 Па
2. 33, 24 103 Па
3. 16, 62 104 Па
4. 33, 24 104 Па
13.1.10. В сосуде объемом 8,31 л находится идеальный газ при
температуре 127 С под давлением 100 кПа. Какое количество
вещества газа содержится в сосуде?
1. 0, 25 моль
2. 0,5 моль 3. 0,75 моль
4. 1 моль
Вариант 2
13.2.1. В двух одинаковых сосудах находятся: N молекул
двухатомного газа водорода H2 в одном и N / 2 молекул
одноатомного газа гелия He в другом. Температуры газов одинаковы.
Сравнить давления водорода p1 и гелия p2 .
1. p1 / p2
1
2. p1 / p2
2
3. p1 / p2 1/ 2
4. p1 / p2 3
13.2.2. Цилиндрический сосуд делится на две
части тонким подвижным поршнем. В одну часть
сосуда помещают некоторое количество гелия, в
другую – такое же по массе количество азота. Найти отношение
объемов частей сосуда VHe / VN2 при условии, что температуры газов в
отсеках цилиндра одинаковы.
1. VHe / VN2 4 /14
2. VHe / VN2
3. VHe / VN2
14 / 4
4. VHe / VN2
4 / 28
28 / 4
13.2.3. С идеальным газом происходит
процесс, график которого в координатах
«давление-температура» приведен на рисунке.
Что происходило с объемом газа в этом
процессе?
1. V1 V2
2. V1 V2
3. V1
C
V2
p
2
1
4. Сначала увеличивался, потом уменьшался
Т
13.2.4. В сосуде, закрытом поршнем, находится
A
идеальный газ. С газом происходит процесс, в
V
D
котором объем газа зависит от его температуры
так, как это показано на рисунке. В каком
B
состоянии давление газа наибольшее в течение
Т
всего процесса? Масса газа не изменялась.
1. А
2. B 3. C 4. D
13.2.5. Температуру газа в сосуде увеличивают от 25 до 125 С.
Во сколько примерно раз возрастает при этом его давление? Объем
сосуда и количество вещества газа не изменяются.
1. В
5 раза
2. В 5 раз
3. В 2 / 3 раза
4. В 4 / 3 раза
13.2.6. Имеется смесь газов: азота, кислорода, паров воды, аргона,
углекислого газа. Какие из параметров этих газов обязательно
одинаковы в состоянии теплового равновесия?
1. Температуры компонент
2. Парциальные давления
3. Плотности компонент
4. Концентрации компонент
13.2.7. Сосуд заполнен смесью 2 моль трехатомного углекислого
газа CO2 и 1 моль одноатомного гелия He. Каково отношение
парциальных давлений углекислого газа p1 и гелия p2 в сосуде?
1. p1 / p2
3
2. p1 / p2
2
3. p1 / p2
11
4. p1 / p2
22
13.2.8. Имеется смесь гелия и озона в количестве 1 и 2 молей
соответственно. С течением времени озон превратился в
молекулярный кислород. Изменится ли давление в сосуде, и если да,
то во сколько раз? Температура смеси не изменялась.
1. Не изменится
2. Увеличится в 4 / 3 раза
3. Увеличится в 5 / 3 раза
4. Увеличится в 3 / 2 раза
13.2.9. Имеются два одинаковых сосуда, в которых находятся:
1 моль азота N2 в одном, и смесь 1 г водорода H2 и 3 1023 молекул
гелия He в другом. Температуры газов одинаковы. Где больше
давление?
1. Где азот
2. Где смесь газов
3. Одинаково
4. Зависит от объема сосудов
13.2.10. Найти плотность газа, если известно, что в сосуде объемом
V содержится N молекул. Молярная масса газа .
1. ρ
3. ρ
N AV
Nμ
N Aμ
NV
2. ρ
4. ρ
NV
N Aμ
Nμ
N AV
Ответы
Основные понятия и принципы
молекулярно-кинетической теории
Вариант 1
Номер задачи
12.1.1-12.1.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ
3
1
3
1
1
2
2
2
3
2
Вариант 2
Номер задачи
12.2.1-12.2.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ
1
4
1
2
3
3
3
2
2
4
Газовые законы
Вариант 1
Номер задачи
13.1.1-13.1.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ
1
1
2
3
4
4
3
4
1
1
Вариант 2
Номер задачи
13.2.1-13.2.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ
2
4
2
3
4
1
2
2
3
4
Решения
Основные понятия и принципы молекулярно-кинетической
теории
В задания ЕГЭ по физике всегда включаются задачи, касающиеся
основных принципов молекулярно-кинетической теории. Это задачи,
связанные с молекулярной структурой газов, жидкостей и твердых
тел, с определением температуры, с методами подсчета числа
составляющих тело молекул. В этой главе собраны задачи, связанные
с понятиями моля и температуры.
Молем вещества называется такое количество этого вещества,
которое содержит приблизительно 6 1023 молекул, причем
независимо от того, какое это вещество (точнее 6, 0221367 1023 ).
Приведенное выше число молекул в моле называется числом
Авогадро и обозначается как N A . Как правило, при решении задач
считают, что
N A 6 1023 .
(12.1)
Обратим внимание читателя на то, что моль – макроскопическое
количество вещества (в переводе с латинского языка – языка
средневековой науки – слово moles означает толпа).
Масса одного моля вещества называется молярной массой этого
вещества. И поскольку массы молекул разных веществ – разные, а
число молекул в моле разных веществ одинаковое, то молярные массы
веществ различны. При этом отношение молярных масс двух веществ
равно отношению масс их молекул. Поэтому массы молей
пропорциональны массам молекул. Число Авогадро (12.1) было
подобрано так, чтобы масса моля, выраженная в граммах, численно
совпадала с массой молекулы, выраженной в атомных единицах
массы (а.е.м.). Поэтому массы молей различных веществ легко найти
из периодической системы химических элементов. Например, в
таблице находим, что масса молекулы гелия – 4,0026 а.е.м.,
следовательно, масса моля гелия – 4,0026 4 г, масса двухатомной
молекулы кислорода – 31,986 а.е.м., следовательно, масса моля
кислорода – 31,986 32 г.
Необходимо также знать определение температуры. Температура
тела – величина, пропорциональная средней кинетической энергии
молекулы
mv 2
2
ср
3
kT ,
2
(12.2)
2
где (mv / 2)ср – средняя кинетическая энергия молекулы, T –
абсолютная температура (ее называют также температурой в шкале
Кельвина), k – постоянная, которая называется постоянной
Больцмана. Из формулы (12.2) следует, что температура по шкале
Кельвина не может быть отрицательна, ее минимальное значение
T 0 (абсолютный нуль температуры) достигается, когда все
молекулы имеют нулевые кинетические энергии. 1 градус шкалы
Кельвина (или просто один Кельвин) совпадает с градусом более
привычной в быту шкалы Цельсия, нуль которой определяется как
температура плавления льда, а температура 100 С отвечает
температуре кипения воды при атмосферном давлении. Как
показывает опыт, абсолютному нулю температуры отвечает
температура t
С. Важнейшее свойство температуры
273
заключается в том, что при приведении тел в тепловой контакт их
температуры через некоторое время выровняются и далее (в
отсутствие теплообмена с окружающими телами) не будут
изменяться. Рассмотрим теперь задачи.
В задаче 12.1.1 правильным ответом правильным ответом является
ответ 3, поскольку число молекул в моле не зависит от того, какое это
вещество, и равно числу Авогадро.
Поскольку массы молекул разных веществ – разные, одинаковые
массы разных веществ содержат различные количества молекул.
Найти эти количества можно, зная молярные массы и число Авогадро.
Например, в задаче 12.1.2 можно провести такие рассуждения.
Водород массой 1 г составляет половину моля, и, следовательно,
содержит 6 1023 / 2
часть
1/ 32
23
3 1023 молекул. Кислород массой 1 г составляет
моля,
и,
следовательно,
содержит
23
(3 /16) 10 молекул. Отсюда находим отношение числа
6 10 / 32
молекул N1 в 1 г водорода к числу молекул N 2 в 1 г кислорода:
N1 / N 2
16 (ответ 1).
Согласно определению число молекул в моле одинаково для
любого вещества, причем независимо от того, сколько атомов входят
в состав одной молекулы этого вещества. Другими словами, это число
не зависит от того, являются ли молекулы одно-, двух-, и т.д.
атомными. Поэтому правильный ответ в задаче 12.1.3 – 4.
Поскольку число молекул в моле любого вещества равно числу
Авогадро, то для молярной массы любого вещества
справедливо
соотношение: μ
N A m , где m – масса одной молекулы. Отсюда
находим в задаче 12.1.4, что μ / m N A (ответ 1).
Чтобы понять, сколько молей содержит та или иная масса
вещества, нужно разделить эту массу на молярную массу данного
вещества (или число содержащихся в ней молекул на число
Авогадро). Поскольку молярная масса гелия равна 4 г/моль, то 10 г
гелия в задаче 12.1.5 составляют 4 /10 2,5 моль (ответ 1).
Для характеристики числа молекул в некоторой массе вещества
принято использовать величину, которая называется количество
вещества. Эта величина определяется как число молей, составляющих
данную массу. Для нахождения количества вещества нужно разделить
число молекул этой массы вещества на число Авогадро, (или саму
массу на молярную массу данного вещества). Поскольку в задаче
12.1.6 газ в сосуде содержит 3 1023 молекул, то количество вещества
газа составляет 0,5 моль (ответ 2).
Как указывалась во введении к настоящей главе, молярные массы
веществ можно найти по периодической таблице элементов. Масса
моля, выраженная в граммах, численно совпадает с массой молекулы,
выраженной в атомных единицах массы (а.е.м.). Из приведенной в
условии задачи 12.1.7 клетки таблицы, отвечающей рутению,
находим массу молекулы рутения m 101,07 а.е.м. (второе число в
клетке, которое для всех элементов является обязательно целым,
представляет собой порядковый номер элемента). Поэтому для
рутения находим: μ 101,07 101 г/моль (ответ 2).
Связь температуры и средней кинетической энергии молекул
определяется формулой (12.2) (задача 12.1.8 – ответ 2).
Температурой плавления льда (и замерзания воды) является
температура 0 С. Поскольку нуль шкалы Кельвина (абсолютный
нуль температуры) в шкале Цельсия составляет
273 С (см.
введение к настоящей главе), то температура плавления льда по
абсолютной шкале равна 273 К (задача 12.1.9 – ответ 3).
Изменением температуры тела в некотором процессе называется
разность его конечной и начальной температур тела Tк Tн . Так как
температуры в шкале Цельсия и Кельвина связаны «сдвигом»:
T (K) T ( C) 273 (K) , то разность температур в градусах
Кельвина T (K) и в градусах Цельсия T ( C) совпадает:
Tк (K) Tн (K) Tк ( C) 273
Tн ( C) 273
Tк ( C) Tн ( C) .
Другими словами, изменение температуры тела одинаково при
задании температуры как в шкале Кельвина, так и в шкале Цельсия.
Поэтому правильный ответ в задаче 12.1.10 – 2.
В задаче 12.2.1 нужно снова использовать определение количества
вещества. Напоминаем, что количеством вещества называется число
молей, составляющих данную порцию вещества. Отсюда находим
количество вещества водорода ν H2 mH2 / μ H2 1/ 2 0,5 моль и
количество кислорода ν O2
Поэтому ν H2
mO2 / μ O2
8 / 32 0, 25 моль в сосудах.
ν O2 (ответ 1).
Из периодической таблицы элементов имеем для масс атомов:
mH 1 а.е.м., mN 14 а.е.м., mO 16 а.е.м. (задача 12.2.2). Отсюда
находим массу молекулы азотной кислоты
mHNO3 1 14 3 16 63 а.е.м.
Поэтому μ HNO3
63 г/моль (ответ 4).
Масса одной молекулы углерода mC
углерода
23
содержит
12 а.е.м. А поскольку моль
23
6 10 , то масса моля углерода равна
23
72 10 а.е.м. (задача 12.2.3 – ответ 1).
Поскольку молярная масса – это характеристика вещества, то,
находя эту величину, можно определить вещество. Например, в
задаче 12.2.4 плотность газа ρ (масса единицы объема) и
концентрация молекул n (число молекул в единице объема),
очевидно, связаны друг с другом через массу одной молекулы m :
ρ nm . Умножая правую и левую часть этой формулы на число
12 6 10
Авогадро и учитывая, что N A m μ , получим μ N A ρ / n 4 г/моль.
Поэтому неизвестный газ – гелий (ответ 2).
Используя определение температуры (12.2), получим для средней
скорости молекул водорода в задаче 12.2.5
v
3kT
m
2 103 м/с
(ответ 3).
Из определения температуры (12.2) следует, что при повышении
температуры в 2 раза средняя скорость молекул увеличивается в 2
раз (задача 12.2.6 – ответ 3).
При приведении газов в тепловой контакт их температуры
выровняются (задача 12.2.7). Отсюда согласно определению
температуры следует, что средние кинетические энергии молекул
газов станут равными:
mv 2
2
16mv12
,
2
или v1 v / 4 (ответ 3).
Задача 12.2.8 аналогична предыдущей. Используя определение
температуры (12.2) для каждого газа и учитывая, что независимо от
того, сколько атомов входит в состав молекулы, в правую часть
определения температуры (12.2) входит коэффициент 3 / 2 , получим
mH2 v12
2
mHe v22
,
2
где v1 – средняя скорость молекул водорода, v2 – средняя скорость
молекул гелия. Поскольку масса молекулы гелия в два раза больше
массы молекулы водорода, то
v1
v2
2
(ответ 2).
Поскольку моль любого вещества содержит одинаковое количество
молекул, то для сравнения числа молекул воды и ртути в стакане
(задача 12.2.9) можно сравнить число молей. Число молей воды и
ртути в стакане найдем из следующих цепочек формул. Воды:
H2O
mH2O
ρ H2OV
μ H2O
μ H2O
.
(1)
Ртути:
Hg
mHg
ρ HgV
μ Hg
μ Hg
,
(2)
где m и ρ – массы и плотности веществ,
– молярные массы, V –
объем стакана. Сравнивая величины (1) и (2), заключаем
1
18
0, 055
13, 6
201
0, 067
(здесь использованы плотности и молярные массы воды и ртути).
Поэтому в стакане ртути больше молекул, чем в стакане воды (ответ
2), причем в 67 / 55 1, 2 раза.
Сначала обратим внимание читателя, что предложенные в задаче
12.2.10 значения температур и варианты ответов «подталкивают» к
выбору ответа 5 , поскольку конечная температура в 5 раз больше
начальной. Тем не менее это неправильно, поскольку температуры
заданы в градусах Цельсия, а в формулу (12.2), связывающую
температуру и среднюю кинетическую энергию молекул, входит
абсолютная температура. Поэтому
v2
v1
T2
T1
273 125
273 25
398
298
400
300
2
3
(ответ 4).
Газовые законы
Задачи на газовые законы часто предлагаются школьникам на едином
государственном экзамене. Для решения этих задач вполне достаточно
знать уравнение состояния идеального газа (закон КлапейронаМенделеева) и уметь использовать его алгебраически и геометрически
(для построения графиков зависимости одних параметров газа от других)
в простейших ситуациях. Кроме того, нужно понимать, как описываются
смеси идеальных газов (закон Дальтона).
Уравнение, связывающее параметры газа друг с другом, называется
уравнением состояния. Для идеального газа, взаимодействие молекул
которого мало, уравнение состояния имеет вид
(13.1)
p nkT ,
где p – давление газа, n – концентрация молекул газа (число
молекул в единице объема), k – постоянная Больцмана, T –
абсолютная (в шкале Кельвина) температура. Учитывая, что
n N / V , где N – число молекул газа, V – объем сосуда, в котором
находится газ (часто говорят объем газа), получим из (13.1)
(13.2)
pV NkT .
Число молекул N можно связать с количеством вещества газа :
N
N A , где N A – число Авогадро. Поэтому формулу (13.2) можно
переписать в виде
pV νN A kT νRT ,
(13.2)
где произведение постоянных Авогадро и Больцмана обозначено как
R NAk .
Постоянная
Дж/(К моль)
называется
R 8,31
универсальной газовой постоянной. Количество вещества газа можно
также выразить через его массу m и молярную массу этого газа
ν
m
.
μ
(13.3)
С учетом (13.3) закон (13.2) можно переписать и в таком виде
pV
m
RT .
μ
(13.4)
Уравнение состояния идеального газа (13.1)-(13.4), которое также
называется уравнением (или законом) Клапейрона-Менделеева,
позволяет связывать параметры идеального газа и проследить за их
изменением в тех или иных процессах.
В школьном курсе физики рассматриваются три изопроцесса, в
которых один из трех параметров газа (давление, температура и
объем) не изменяется. В изобарическом процессе не изменяется
давление газа, в изотермическом – температура, в изохорическом –
объем. Изопроцессам отвечают следующие графики зависимости
давления от объема, давления от температуры, объема от
температуры.
Для изобарического процесса
p
p
V
V
T
T
Первые два графика очевидны. Последний получается так. Из
закона Клапейрона-Менделеева следует, что зависимость объема от
температуры при постоянном давлении имеет вид
V
νR
T
p
αT ,
(13.5)
где α – постоянная. Графиком функции (13.5) является прямая,
продолжение которой проходит через начало координат.
Для изохорического процесса
p
p
V
V
T
T
Второй график следует из соотношения
νR
T
V
p
αT ,
(13.6)
где α – постоянная при постоянном объеме.
Для изотермического процесса
p
p
V
T
V
T
Первый график следует из закона Клапейрона-Менделеева,
который при постоянной температуре газа можно привести к виду
p
νR / T
V
α
,
V
(13.7)
где α – постоянная. Отсюда следует, что графиком зависимости p от
V в изотермическом процессе является гипербола.
Важнейшее свойство уравнения состояния идеального газа (13.1)(13.4) заключается в том, что «индивидуальность» газа никак не
проявляется в этих законах – единственный параметр собственно газа,
входящий в уравнение состояния, – это число молекул. Например, 1
моль гелия и 1 моль азота, находящиеся в одинаковых объемах и
имеющие одинаковые температуры, оказывают одинаковое давление.
Отсюда следует, что и давление смеси идеальных газов p
определяется суммарным числом молекул всех компонент смеси:
p
N1
N2
N 3 ...
kT
V
p1
p2
p3 ... ,
(13.8)
где N1 , N 2 , N 3 , … – число молекул первой, второй, третьей и т.д.
компонент смеси, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная
температура смеси, V – объем сосуда. Величины p1 , p2 , p3 , … ,
имеющие смысл давления каждой компоненты смеси при условии, что
она имела бы такую же температуру и занимала бы весь объем,
называются парциальными давлениями компонент. Закон (13.8)
называется законом Дальтона. Рассмотрим теперь в рамках этих
законов предложенные выше задачи.
В задаче 13.1.1 из уравнения состояния в форме (13.1), получаем
для давления в конце процесса p1 :
p1
2n k 3T
6nkT
6p,
т.е. давление газа увеличилось в 6 раз (ответ 1).
Применяя закон Клапейрона-Менделеева (13.2) к первому и
второму газам (задача 13.1.2), получаем
p0V0 1 RT0 ,
2 p0 V 2 R 2T0 ,
где V – искомый объем. Сравнивая первую и вторую формулы,
заключаем, что V 2V0 (ответ 1).
Закон Клапейрона-Менделеева для газа в начальном и конечном
состояниях (задача 13.1.3) дает
3 p V 3 RTx ,
pV 2 RT ,
где Tx – неизвестная температура. Из сравнения этих формул
получаем Tx 2T , т.е. температуру газа в сосуде нужно повысить
вдвое (ответ 2).
Из закона Клапейрона-Менделеева для начального и конечного
состояний газа в задаче 13.1.4 имеем
2 p V ν1R 2,5T .
pV νRT ,
ν1 1, 25ν , т.е. количество вещества газа в сосуде
увеличилось в 1, 25 раза (ответ 3).
Отсюда
Первым, кто понял, почему жидкость поднимается вместе с трубкой
(задача 13.1.5), и почему «природа боится пустоты» (Аристотель), но
только до определенного предела, был знаменитый итальянский физик,
современник
Г. Галилея
Э. Торричелли.
Давайте
рассмотрим
рассуждения Торричелли подробно. Основная идея Торричелли
заключалась в том, что атмосферный воздух оказывает давление на все
поверхности, с которыми он контактирует. В равновесии жидкость
занимает такое положение, чтобы все воздействия на каждый ее элемент
компенсировались. Если бы трубка
была открыта (см. левый рисунок),
то жидкость не поднялась бы в
трубке. Действительно, в этом случае
на бесконечно малый элемент жидкости в трубке около поверхности
(выделен на рисунке) действовали бы сила со стороны атмосферного
воздуха в трубке, направленная вниз. С другой стороны, атмосферный
воздух действует и на остальную поверхность жидкости, и это
воздействие благодаря закону Паскаля передается выделенному элементу
жидкости в трубке снизу. Таким образом, воздействие воздуха на
поверхность жидкости в трубке и на свободную поверхность жидкости
компенсируют друг друга, если уровень жидкости в трубке совпадает с
уровнем жидкости в остальном сосуде. Если же мы поднимаем трубку,
выпустив из нее воздух, на рассматриваемый элемент жидкости воздух
сверху не действует (его нет в трубке), поэтому воздействие воздуха на
свободную поверхность жидкости приведет к тому, что жидкость войдет
в трубку и заполнит ее. При вытаскивании трубки жидкость будет
подниматься вслед за ней. Однако при дальнейшем поднятии трубки
наступит такой момент, когда воздействие воздуха на свободную поверхность и столба жидкости в трубке сравняются (в этот момент
атмосферное давление будет равно гидростатическому давлению
жидкости в трубке на уровне свободной поверхности). Дальнейший
подъем трубки уже не приведет к поднятию жидкости – атмосферное
давление не сможет «держать» столб жидкости большей высоты. Для
воды этот столб составляет около 10 м, для ртути, с которой и
экспериментировал Э. Торричелли, – 76 сантиметров. Таким образом,
жидкость в трубке поднимается благодаря давлению атмосферного
воздуха на поверхность воды в сосуде и закону Паскаля (ответ 4).
Сравнивая графики процессов 1, 2, 3 и 4,
p
данные
в условии задачи 13.1.6, с графиками
2
1
изопроцессов,
приведенными во введении к
3
настоящей
главе,
заключаем, что: процесс 1 –
4 T
изотермический, 2 – изохорический, 3 –
изобарический. В процесс 4 меняются и давление, и объем, и
температура газа (ответ 4).
В изотермическом процессе давление
p
1
2
зависит от объема как p 1/ V ; на диаграмме
4
p V этот процесс изображается гиперболой.
3
V
Поэтому изотермическими являются процессы
1 и 3 (задача 13.1.7), но в процессе 1 объем газа убывает.
Следовательно, изотермическим расширением является процесс 3
(ответ 3).
p
Изохорическим охлаждением в задаче
2
1
13.1.8 является процесс 4 (см. рисунок)
3
В двух последних задачах этого варианта
T
4
нужно с помощью закона КлапейронаМенделеева вычислить один из параметров газа, если даны остальные
параметры. В задаче 13.1.9 из закона Клапейрона-Менделеева
pV
m
RT ,
μ
получим
p
140 8,31 800
16, 62 103 Па
28 2
(ответ 1).
В задаче 13.1.10 при вычислениях следует не забыть перевести
температуру газа в Кельвины. Из закона Клапейрона-Менделеева
находим
ν
pV
RT
105 8,31 10
8,31 400
3
0, 25 моль
(ответ 1).
Из уравнения состояния в форме pV NkT (13.2) следует, что
при одинаковых объемах и температурах давление идеального газа
определяется только полным числом молекул. Поэтому отношение
давления водорода p1 и гелия p2 в задаче 13.2.1 равно 2 (ответ 2).
Поскольку перегородка в задаче 13.2.2 подвижная и находится в
равновесии, давления газа в отсеках сосуда слева и справа от
перегородки равны. Применяя к ним при этом условии закон
Клапейрона-Менделеева, получим
для гелия
pVHe
m
RT , для азота
μ He
pVN2
m
RT ,
μ N2
где температуры T и массы газов m по условию одинаковы. Деля эти
уравнения друг на друга, находим отношение объемов частей сосуда
VHe
VN2
μ N2
μ He
28
4
7
(ответ 4).
Если бы точки, отвечающие
состояниям 1 и 2 в задаче 13.2.3, p
2
лежали
на
одной
прямой,
продолжение которой проходит через
1
начало координат, то эти состояния
принадлежали бы одной и той же
изохоре, и, следовательно, объем газа
Т
в этих состояниях был одинаковым
(см. формулу (13.6)). Поэтому для сравнения объемов этих состояний
построим изохоры, проходящие через точки 1 и 2, и сравним
отвечающие им объемы (см. рисунок; изохоры, проходящие через
точки 1 и 2, показаны пунктиром).
Из формулы (13.6) следует, что чем больше объем, тем меньше
коэффициент перед T в зависимости (13.6), и, следовательно, меньше
наклон соответствующей изохоры к оси температур. Поэтому изохоре
1 отвечает больший объем, чем изохоре 2, и, следовательно, объем
газа в процессе 1-2 уменьшается V1 V2 (ответ 2).
Аналогичные рассуждения в задаче 13.2.4 показывают, что
наибольшему давлению отвечает изобара, проходящая через точку С
(поскольку соответствующая прямая имеет наименьший наклон к оси
температур; см. рисунок ниже). Поэтому правильный ответ в этой
задаче – 3.
V
A
D
B
C
Т
В закон Клапейрона-Менделеева входит абсолютная температура
газа, поэтому данные в задаче 13.2.5 значения нужно перевести в
Кельвины. В результате для отношения давлений газа в конечном p2
и начальном p1 состояниях получаем
p2
p1
T2
T1
273 125
273 25
398
298
400
300
4
3
(ответ 4).
Как следует из опыта, при приведении тел в тепловой контакт
выравниваются их температуры. Это же касается и частей одного тела
или даже компонент смеси газов (задача 13.2.6). Поэтому
температуры компонент смеси будут одинаковы (ответ 1). Что
касается парциальных давлений, плотностей или концентрации
компонент смеси, то их значения зависят от количества молекул
каждой компоненты смеси и могут быть различны.
Парциальное давление компонент смеси – это давление, которое
оказывают только молекулы каждой компоненты. Как следует из
формулы (13.8) парциальное давление любой компоненты можно
найти, применяя только к ней закон Клапейрона-Менделеева и считая,
что она имеет такую же температуру, как и вся смесь, и занимает
такай же объем, как и вся смесь газов. Поэтому отношение
парциальных давлений отдельных компонент смеси равно отношению
количеств вещества (или числа молекул) этих компонент. Поэтому
для отношения парциальных давлений углекислого газа p1 и гелия
p2 в сосуде в задаче 13.2.7 имеем p1 / p2
2 (ответ 2).
Как следует из закона Дальтона, давление смеси газов
определяется полным количеством молекул в ней. Поэтому для
анализа изменения давления смеси газов при протекании в ней
химической реакции (задача 13.2.8) необходимо исследовать
изменение числа молекул. Гелий не участвует в химической реакции –
один моль гелия был и в начальном, и в конечном состоянии смеси. С
озоном происходила реакция
2O3
3O2
т.е. из двух молекул озона в результате реакции получились три
молекулы кислорода. Поэтому два моля озона превратились в три
моля кислорода, и общее количество вещества смеси стало равно
четырем молям. Поэтому давление смеси увеличивается в 4 / 3 раза
(ответ 2).
Поскольку объемы и температуры газов одинаковы (задача 13.2.9),
для сравнения их давлений необходимо сравнить число молекул в
них. По условию в одном сосуде находится один моль азота, в другом
1 г водорода H 2 (т.е. половина моля) и 3 1023 молекул гелия He
(тоже половина моля). Поэтому и в одном и в другом сосуде
находятся одинаковые количества молекул, и, следовательно,
давление газов в них одинаково (ответ 3).
Плотность газа (задача 13.2.10) можно найти из следующей
цепочки формул
Nm1 NN A m1
Nμ
V
N AV
N AV
(ответ 4). Здесь m – масса газа, m1 – масса одной молекулы газа.
ρ
m
V