Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений

Известия вузов. Математика
2010, № 8, c. 16–29
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421000123 \0069
Е.О. БУРЛАКОВ, Е.С. ЖУКОВСКИЙ
НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРОВ РЕШЕНИЙ
УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА С ЛОКАЛЬНО СЖИМАЮЩИМИ
ОПЕРАТОРАМИ
Аннотация. Для уравнения Вольтерра в произвольном функциональном пространстве получены условия существования единственного глобального или предельно продолженного решения и его непрерывной зависимости от параметров уравнения. На основании этих результатов
сформулированы утверждения о разрешимости задачи Коши для дифференциального уравнения с запаздыванием и непрерывной зависимости решений от правой части, запаздывания,
начального условия и предыстории.
Ключевые слова: вольтерровы операторы, непрерывная зависимость решений уравнений от
параметров, локально сжимающие операторы, дифференциальные уравнения с запаздыванием.
УДК: 517.988
Abstract. For a Volterra equation in a functional space we obtain conditions for the unique
existence of a global or maximally extended solution and its continuous dependence on equation
parameters. Based on these results, we state conditions for the solvability of the Cauchy problem
for a differential equation with delay and the continuous dependence of solutions on the right-hand
side of the equation, on the delay, on the initial condition, and the history.
Keywords: Volterra operators, continuous dependence of solutions to equations on parameters,
locally contracting operators, differential equations with delay.
Введение
Проблеме непрерывной зависимости решений различных классов операторных уравнений
посвящены многочисленные исследования (см., например, обзор [1], а также важнейшие результаты для функционально-дифференциальных уравнений и библиографию в книге [2],
с. 203–210). Кроме теоретического интереса, данная проблема имеет и прикладное значение,
связанное с корректностью математических моделей реальных процессов. Действительно,
в прикладных задачах параметры модели могут быть найдены лишь приближенно, поэтому важным свойством, обеспечивающим применимость модели, является ее корректность
(непрерывная зависимость решений модельных уравнений от параметров). В данной работе
Поступила 16.09.2008
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 09-01-97503, 07-01-00305), Министерства образования и науки Российской Федерации (программа РНП № 2.1.1/1131), Норвежской национальной программы научных исследований
FUGE (грант PRO 06/02) при Совете научных исследований Норвегии и Норвежского комитета по
развитию университетской науки и образования (NUFU).
16
НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРОВ
17
сформулированы условия локальной разрешимости, продолжаемости и непрерывной зависимости от параметров решений общих уравнений Вольтерра. На основании полученных
результатов изучается задача Коши для дифференциального уравнения с запаздывающим
аргументом. Предлагаются условия, гарантирующие единственность решения и его непрерывную зависимость от параметров. Кроме того, исследована зависимость области определения решения от параметров уравнения. Обсуждается связь полученных результатов
с известными для обыкновенных дифференциальных уравнений теоремами, авторами которых являются J. Kurzweil, Z. Vorel, Z. Artstein, K. Kartak, М.Ф. Бокштейн, Н.Н. Петров и
другие [3]–[11]. Доказанные в работе утверждения применены к исследованию корректности
управляемых систем с запаздыванием.
1. Постановка задачи
Будем пользоваться следующими обозначениями: N, Z, R – множества соответственно
натуральных, целых и действительных чисел; Rn — пространство векторов, имеющих n
действительных компонент, с нормой | · |; µ — мера Лебега на отрезке [a, b]; L([a, b], µ, Rn ) —
b
пространство измеримых суммируемых функций y : [a, b] → Rn с нормой yL = |y(s)|ds;
a
L∞ ([a, b], µ, Rn ) — пространство измеримых существенно ограниченных функций y : [a, b] →
Rn с нормой yL∞ = vrai sup|y(t)|; AC([a, b], µ, Rn ) — пространство таких абсолютно непреt∈[a,b]
рывных функций x : [a, b] → Rn , что ẋ ∈ L([a, b], µ, Rn ), с нормой xAC = |x(a)| + ẋL . В
обозначении функциональных пространств будем опускать информацию об областях определения и значений функций, если это не вызовет недоразумений.
Пусть B = B([a, b], Rn ) — банахово пространство функций, определенных на [a, b], со
значениями в Rn и нормой · B .
Определение 1. Оператор F : B → B называется вольтерровым (по А.Н. Тихонову [12]),
если для всякого ξ ∈ (0, b−a) и любых y, u ∈ B из того, что y(t) = u(t) на [a, a+ξ], следует
(F y)(t) = (F u)(t) на [a, a+ξ].
В работе рассматривается уравнение
y(t) = (F y)(t), t ∈ [a, b],
(1)
с вольтерровым оператором F : B → B.
Всюду ниже предполагается, что в пространстве B выполнено следующее условие: для
произвольных y ∈ B, {yi } ⊂ B, таких, что yi − yB → 0, и любого γ ∈ (0, b−a), если
yi (t) = 0 на [a, a+γ], то y(t) = 0 на [a, a+γ].
Для каждого ξ ∈ (0, b−a) обозначим B([a, a+ξ], Rn ) линейное пространство сужений yξ
на [a, a+ξ] функций y ∈ B. Зададим yξ B[a,a+ξ] = inf yB , где нижняя грань вычисляется
по всевозможным продолжениям y ∈ B функции yξ . Тогда пространство B([a, a+ξ], Rn )
становится банаховым.
Возьмем любое ξ ∈ (0, b−a). Пусть оператор Pξ : B([a, a+ξ], Rn ) → B произвольным
образом доопределяет каждый yξ ∈ B([a, a+ξ], Rn ) на весь отрезок [a, b]. Далее зададим
операторы Eξ : B → B([a, a+ξ], Rn ), (Eξ y)(t) = y(t), t ∈ [a, a+ξ]; Fξ : B([a, a+ξ], Rn ) →
B([a, a+ξ], Rn ), Fξ yξ = Eξ F Pξ yξ . Отметим, что для всякого вольтеррова оператора F :
B → B оператор Fξ : B([a, a+ξ], Rn ) → B([a, a+ξ], Rn ) также вольтерров, кроме того, для
каждого m ∈ N имеем (Fξ )m = (F m )ξ = Fξm .
Определение 2. Локальным решением уравнения (1), определенным на [a, a+γ], γ ∈
(0, b−a), будем называть функцию zγ ∈ B([a, a+γ], Rn ), удовлетворяющую на [a, a+γ] уравнению yγ = Fγ yγ . Предельно продолженным решением уравнения (1), определенным на
18
Е.О. БУРЛАКОВ, Е.С. ЖУКОВСКИЙ
[a, a+η), η ∈ (0, b−a], будем считать функцию zη : [a, a+η) → Rn , сужение которой zγ на
[a, a+γ] при любом γ < η является его локальным решением и lim zγ B[a,a+γ] = ∞.
γ→η−0
Глобальным решением уравнения (1) назовем функцию z ∈ B, удовлетворяющую этому
уравнению на всем [a, b].
Вопрос о корректности уравнения (1) ставится следующим образом: при каких условиях
на последовательность вольтерровых операторов Fi : B → B уравнения
y(t) = (Fi y)(t), t ∈ [a, b], i ∈ N,
(1i)
однозначно разрешимы, решения определены на некотором фиксированном отрезке e ⊂
[a, b], и их последовательность сходится по норме B(e, Rn ) к решению уравнения (1) (определение 2 будем, естественно, применять и к уравнениям (1i)).
2. Основной результат
Определим ряд свойств операторов F и Fi , необходимых для решения поставленной задачи.
Определение 3. Вольтерров оператор F : B → B назовем локально сжимающим, если
существует такое q < 1, что для любого r > 0 найдется δ > 0, при котором для элементов
y, u ∈ B, удовлетворяющих неравенствам yB r, uB r, выполнены два условия:
Eδ F y − Eδ F uB[a,a+δ] qEδ y − Eδ uB[a,a+δ] ,
q1 )
q2 ) для любого γ ∈ (0, b−a−δ] из того, что Eγ y = Eγ u, следует
Eγ+δ F y − Eγ+δ F uB[a,a+γ+δ] qEγ+δ y − Eγ+δ uB[a,a+γ+δ] .
Класс локально сжимающих операторов довольно широк. Ему принадлежат не только
сжимающие, но и, например, τ -вольтерровы операторы.
Определение 4. Оператор F : B → B называется τ -вольтерровым, если для любых y, u ∈
B имеет место (F y)(t) = (F u)(t) на [a, a+τ ] и для всякого ξ ∈ [0, b−a−τ ], если y(t) = u(t)
на [a, a+ξ], то (F y)(t) = (F u)(t) на [a, a+ξ+τ ].
Для τ -вольтерровых операторов выполнены условия q1 ), q2 ) при значениях q = 0 и δ = τ ,
которые не зависят от выбора r.
Определение 5. Вольтерровы операторы Fi : B → B, i ∈ N, назовем в совокупности
локально сжимающими, если существует такое q < 1, что для любого r > 0 найдется δ > 0,
при котором для элементов y, u ∈ B, удовлетворяющих неравенствам yB r, uB r,
выполнены условия
Eδ Fi y − Eδ Fi uB[a,a+δ] qEδ y − Eδ uB[a,a+δ] при всех i ∈ N,
Q1 )
Q2 ) для любого γ ∈ (0, b−a−δ] из того, что Eγ y = Eγ u, следует
Eγ+δ Fi y − Eγ+δ Fi uB[a,a+γ+δ] qEγ+δ y − Eγ+δ uB[a,a+γ+δ] при всех i ∈ N.
Понятия локальной сжимаемости и совокупной локальной сжимаемости были предложены в [13] для абстрактных вольтерровых операторов в менее общем виде: не предполагалось,
что константа δ может зависеть от r.
Определение 6 ([9]). Последовательность операторов Fi : B → B называется непрерывно
сходящейся к оператору F : B → B, если для произвольных y ∈ B, {yi } ⊂ B, таких, что
yi − yB → 0, выполнено Fi yi − F yB → 0.
НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРОВ
19
Очевидно, из непрерывной сходимости операторов Fi к F следует поточечная сходимость
Fi y − F yB → 0 при каждом y ∈ B. Для линейных операторов в банаховом пространстве эти сходимости равносильны. Отметим, что если вольтерровы операторы Fi : B → B
поточечно сходятся к оператору F : B → B, то F также является вольтерровым [14]. Далее, пусть вольтерровы операторы Fi являются в совокупности локально сжимающими и
Fi y − F yB → 0 для всех y ∈ B. Покажем, что оператор F : B → B будет локально сжимающим. Для произвольного r > 0 и любых y, u ∈ B, yB r, uB r, оценим Eγ+δ F y−
Eγ+δ F uB[a,a+γ+δ] Eγ+δ F y − Eγ+δ Fi yB[a,a+γ+δ] + Eγ+δ Fi y − Eγ+δ Fi uB[a,a+γ+δ] +
Eγ+δ Fi u − Eγ+δ F uB[a,a+γ+δ] . Учитывая Q2 ) и сходимость Fi y → F y, Fi u → F u, для
любого ε > 0 имеем Eγ+δ F y − Eγ+δ F uB[a,a+γ+δ] (q + 2ε)Eγ+δ y − Eγ+δ uB[a,a+γ+δ] , т. е.
выполнено q2 ). Аналогично проверяется справедливость q1 ).
Теорема 1. Пусть последовательность вольтерровых, в совокупности локально сжимающих операторов Fi : B → B непрерывно сходится к оператору F : B → B. Тогда при
каждом i уравнения (1i) и уравнение (1) локально разрешимы, всякое локальное решение
продолжаемо до единственного глобального или предельно продолженного решения соответствующего уравнения. Если уравнение (1) глобально разрешимо, то, начиная с некоторого номера, уравнения (1i) также глобально разрешимы, и для глобальных решений z и
zi уравнений (1) и (1i) справедливо zi − zB → 0 при i → ∞. Если же уравнение (1) имеет
предельно продолженное решение zη , определенное на [a, a + η), то при каждом γ ∈ (0, η)
найдется номер, начиная с которого уравнения (1i) имеют определенные на [a, a + γ] локальные решения ziγ , и для локальных решений zγ и ziγ уравнений (1) и (1i) имеет место
ziγ − zγ B[a,a+γ] → 0 при i → ∞.
Доказательство. Покажем сначала существование единственного глобального или предельно продолженного решения уравнения (1). Из условий теоремы следует вольтерровость и локальная сжимаемость оператора F : B → B. Пусть r > 0, ξ ∈ (0, b − a),
y , r) — множество таких функций y ∈ B,
yξ ∈ B([a, a + ξ], Rn ), y ∈ B. Обозначим UB (
что y − yB r; Byξ ([a, b], Rn ) — множество таких функций y ∈ B, что Eξ y = yξ ;
y , r) = UB (
y , r) ∩ Byξ ([a, b], Rn ). Положим r1 = (1 − q)−1 F 0B + 1, найдем всевозUByξ [a,b] (
можные δ > 0, удовлетворяющие оценкам q1), q2) при r = r1 . Для δ1 = 12 sup{δ} выполнено
Eδ1 F y − Eδ1 F uB[a,a+δ1 ] qEδ1 y − Eδ1 uB[a,a+δ1 ] при любых y, u ∈ UB (0, r1 ). По теореме
Банаха о сжимающем отображении ([15], c. 75) в шаре UB[a,a+δ1 ] (0, r1 ) существует неподвижная точка zδ1 отображения Fδ1 , являющаяся локальным решением уравнения (1). Используя
теорему Банаха, несложно также показать, что для произвольного θ1 ∈ (0, δ1 ) и любого локального решения zθ1 уравнения (1), определенного на [a, a + θ1 ], справедливо zθ1 (t) = zδ1 (t)
при всех t ∈ [a, a + θ1 ]. Далее, возьмем r2 = (1 − q)−1 F Pδ1 zδ1 B[a,a+δ1 ] + 1 и найдем всевозможные δ > 0, удовлетворяющие оценкам q1), q2) при r = r2 . Для δ2 = 12 sup{δ} при
любых y, u ∈ UBzδ [a,b] (Pδ1 zδ1 , r2 ) выполнено Eδ1 +δ2 F y −Eδ1 +δ2 F uB[a,a+δ1 +δ2 ] qEδ1 +δ2 y −
1
Eδ1 +δ2 uB[a,a+δ1 +δ2 ] . По теореме Банаха в UBzδ [a,a+δ1 +δ2 ] (Eδ1 +δ2 Pδ1 zδ1 , r2 ) существует непо1
движная точка zδ1 +δ2 отображения Fδ1 +δ2 . Это определенное на [a, a + δ1 + δ2 ] локальное
решение уравнения (1) является продолжением локального решения zδ1 . Для любого θ2 ∈
(0, δ2 ) и всякого локального решения zδ1 +θ2 уравнения (1), определенного на [a, a + δ1 + θ2 ],
при всех t ∈ [a, a + δ1 + θ2 ] выполнено zδ1 +θ2 (t) = zδ1 +δ2 (t). Далее продолжаем аналогичные построения. Если нормы получаемых локальных решений в совокупности ограничены
некоторым числом M, то для r = M + 1, пользуясь локальной сжимаемостью оператора
F : B → B, найдем такое δ, что на каждом из вышеописанных шагов δi 2δ . Таким образом,
20
Е.О. БУРЛАКОВ, Е.С. ЖУКОВСКИЙ
проделав конечное число построений, получим единственное глобальное решение уравнения (1). Если же такого M не существует, то число данных построений будет бесконечным,
и в результате получим единственное предельно продолженное решение уравнения (1).
Аналогично доказывается существование единственного глобального или предельно продолженного решения каждого из уравнений (1i).
Рассмотрим случай, когда уравнение (1) глобально разрешимо. Пусть z ∈ B – решение
(1). Положим r = zB + 1, найдем q < 1 и δ > 0, удовлетворяющие условиям Q1 ), Q2 ).
Обозначим ∆l = lδ, k = [ b−a
δ ] + 1. Так как последовательность операторов Fi : B → B
непрерывно сходится к оператору F : B → B, то для любого ε > 0 найдутся такие σ1 > 0
и номер I1 , что при каждом i > I1 выполнено Fi y − F zB < (1 − q)ε/6 для всех таких
y ∈ B, что y − zB < σ1 . Будем считать σ1 < (1 − q)ε/6. Найдем σ2 > 0 и I2 так, что
для произвольного i > I2 имеет место Fi∆k−1 y∆k−1 − F∆k−1 z∆k−1 B[a,a+∆k−1 ] < (1 − q)σ1 /6
при всех y∆k−1 ∈ B([a, a + ∆k−1 ], Rn ), y∆k−1 − z∆k−1 B[a,a+∆k−1 ] < σ2 . Будем считать
σ2 < (1 − q)σ1 /6, I2 I1 . Далее, существуют такие σ3 > 0 и I3 , что для всякого i > I3
Fi∆k−2 y∆k−2 − F∆k−2 z∆k−2 B[a,a+∆k−2 ] < (1 − q)σ2 /6 при любом y∆k−2 ∈ B([a, a + ∆k−2 ], Rn ),
y∆k−2 −z∆k−2 B[a,a+∆k−2 ] < σ3 ; σ3 < (1 − q)σ2 /6, I3 I2 , и т. д. Всего сделаем k вычислений
и на последнем шаге найдем σk и Ik , 0 < σk < (1 − q)σk−1 /6, Ik Ik−1 .
Обозначим z∆1 — локальное решение уравнения (1), являющееся неподвижной точкой
оператора F∆1 : B([a, a + ∆1 ], Rn ) → B([a, a + ∆1 ], Rn ). Для произвольного
y∆1 − z∆1 B[a,a+∆1 ] < σk
при всех i > Ik выполнено Fi∆1 y∆1 − F∆1 z∆1 B[a,a+∆1 ] < (1 − q)σk−1 /6. Учитывая совокупную локальную сжимаемость операторов Fi : B → B, для любого m ∈ N имеем
m−1
m z
m z
− z∆1 B[a,a+∆1 ] Fi∆
− Fi∆
z∆1 B[a,a+∆1 ] + · · · + Fi∆1 z∆1 − z∆1 B[a,a+∆1 ] Fi∆
1 ∆1
1 ∆1
1
m−1
+ · · · + q + 1)(1 − q)σk−1 /6 σk−1 /6. Вследствие сходимости последовательных при(q
m z
ближений Fi∆
к неподвижной точке zi∆1 оператора Fi∆1 : B([a, a + ∆1 ], Rn ) → B([a, a +
1 ∆1
∆1 ], Rn ) получаем zi∆1 − z∆1 B[a,a+∆1 ] σk−1 /6 для каждого i > Ik . Далее, пусть z∆2
— локальное решение уравнения (1), определенное на [a, a + ∆2 ]. Следовательно, при всех
i > Ik Ik−1 для любого y∆2 ∈ UBzi∆ [a,a+∆2 ] (z∆2 , σk−1 ) имеем Fi∆2 y∆2 − z∆2 B[a,a+∆2 ] =
1
Fi∆2 y∆2 − F∆2 z∆2 B[a,a+∆2 ] < (1 − q)σk−2 /6. Тогда Fi∆2 y∆2 − y∆2 B[a,a+∆2 ] < σk−1 +
(1 − q)σk−2 /6 < (1 − q)σk−2 /3. При всех m ∈ N выполнено
m−1
m
m
y − y∆2 B[a,a+∆2 ] Fi∆
y − Fi∆
y∆2 B[a,a+∆2 ] + · · · + Fi∆2 y∆2 − y∆2 B[a,a+∆2 ] Fi∆
2 ∆2
2 ∆2
2
(q m−1 + · · · + q + 1)(1 − q)σk−2 /3 σk−2 /3.
m y
к zi∆2 — неподвижной точке
Учитывая сходимость последовательных приближений Fi∆
2 ∆2
n
n
оператора Fi∆2 : B([a, a + ∆2 ], R ) → B([a, a + ∆2 ], R ), получаем
m
m
y + Fi∆
y − y∆2 B[a,a+∆2 ] +
zi∆2 − z∆2 B[a,a+∆2 ] zi∆2 − Fi∆
2 ∆2 B[a,a+∆2 ]
2 ∆2
+ y∆2 − z∆2 B[a,a+∆2 ] σk−2 /3 + σk−1 σk−2 /2.
Далее, при каждом i > Ik Ik−1 Ik−2 и любом y∆3 ∈ UBzi∆ [a,a+∆3 ] (z∆3 , σk−2 ), вос2
m y
к неподвижной точпользовавшись сходимостью последовательных приближений Fi∆
3 ∆3
ке zi∆3 оператора Fi∆3 : B([a, a + ∆3 ], Rn ) → B([a, a + ∆3 ], Rn ), получаем оценку zi∆3 −
z∆3 B[a,a+∆3 ] σk−3 /2, и т. д. На k-м шаге аналогично докажем, что при всех i > Ik имеет
место неравенство zi − zB < ε. Таким образом, zi − zB → 0 при i → ∞.
Пусть теперь решение zη уравнения (1) предельно продолженное. Зафиксируем произвольное γ ∈ (0, η) и обозначим zγ — сужение на [a, a + γ] решения zη уравнения (1). Для
уравнения yγ = Fγ yγ функция zγ ∈ B([a, a + γ], Rn ) является глобальным решением. Как
НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРОВ
21
показано выше, начиная с некоторого номера уравнения yγ = Fiγ yγ имеют глобальные ре
шения ziγ , и zγ − ziγ B[a,a+γ] → 0 при i → ∞.
Отметим, что в отличие от результатов работ [13], [14] теорема 1 позволяет устанавливать существование и непрерывную зависимость не только глобальных, но и предельно
продолженных решений.
Из доказательства теоремы 1 вытекает
Замечание 1. Для существования глобального решения уравнения (1) достаточно, чтобы
в условиях q1 ) и q2 ) константа δ не зависела от выбора r. Как отмечалось выше, таким
свойством обладают, например, τ -вольтерровы операторы.
Замечание 2. Существование предельно продолженного решения уравнения (1) не гарантирует наличие предельно продолженных решений уравнений (1i), о чем свидетельствует
Пример 1. Пусть операторы Fi : L([0, π], µ, R) → L([0, π], µ, R), i ∈ N, определены равенствами
⎧
⎪
если t ∈ [0, 1/i);
⎨0,
t−1/i
2
(Fi y)(t) =
⎪
y(s)ds + 1, если t ∈ [1/i, π].
⎩
0
Эти операторы являются вольтерровыми и в совокупности локально сжимающими (для
q = 1/2 и любого r > 0 можно взять δ = 1/(4r), и условия Q1 ), Q2 ) будут выполнены).
Последовательность операторов Fi непрерывно сходится к оператору F : L([0, π], µ, R) →
L([0, π], µ, R),
2
t
y(s)ds + 1, t ∈ [0, π].
(F y)(t) =
0
Уравнение y(t) = (F y)(t), t ∈ [0, π], имеет единственное предельно продолженное решение
y(t) = 1/cos2 t, определенное на [0, π/2). А так как каждый оператор Fi является τ -вольтерровым, то уравнения y(t) = (Fi y)(t), t ∈ [0, π], глобально разрешимы при каждом i.
Анализируя теорему 1, естественно поставить вопрос: могут ли области определения предельно продолженных решений уравнений (1i) иметь сколь угодно малую длину.
Замечание 3. Пусть выполнены условия теоремы 1 и пусть уравнение (1) и уравнения
(1i) при некоторых значениях i имеют предельно продолженные решения zη и zηi , определенные на [a, a + η) и [a, a + ηi ). Объединим в множество I все такие номера i. Тогда
β = min{η, inf ηi } > 0, причем либо β = η, либо β = ηi0 для некоторого номера i0 ∈ I.
∀i∈I
Доказательство. Положительность β следует из Q1 ). Далее, без ограничения общности
рассуждений считая I = N, покажем, что среди η, η1 , η2 , . . . найдется число, равное β. Возьмем произвольные ε > 0 и последовательность γj ∈ (0, β), γj → β, j → ∞. Для каждого
γj ∈ (0, β) существует конечный sup ziγj B[a,a+γj ] , иначе β = γj . Поставим числу γ1 в соот∀i
ветствие локальное решение zi1 γ1 уравнения (1i1 ), где i1 — наименьший номер, при котором
max{zγ1 B[a,a+γ1 ] , sup ziγ1 B[a,a+γ1 ] } − zi1 γ1 B[a,a+γ1 ] < ε; числу γ2 поставим в соответ∀i
ствие локальное решение zi2 γ2 уравнения (1i2 ), где i2 – наименьший номер, при котором
max{zγ2 B[a,a+γ2 ] , sup ziγ2 B[a,a+γ2 ] } − zi2 γ2 B[a,a+γ2 ] < ε, и т. д. Получим такую подпосле∀i
довательность {ij } номеров локальных решений ziγj уравнений (1i), что zij γj B[a,a+γj ] → ∞
при j → ∞. Если подпоследовательность {ij } ограничена, то найдется такой номер ij0 , что
lim zij0 γ B[a,a+γ] = ∞, т. е. ηij0 = β. В противном случае, воспользовавшись тем, что
γ→β−0
22
Е.О. БУРЛАКОВ, Е.С. ЖУКОВСКИЙ
zij γ − zγ B[a,a+γ] → 0 при j → ∞ для любого γ ∈ (0, η), получим
т. е. η = β.
lim zγ B[a,a+γ] = ∞,
γ→β−0
3. Корректность задачи Коши для дифференциального уравнения
с запаздыванием
Рассмотрим задачи Коши
ẋ(t) = f t, x(t − τ1 (t)), x(t − τ2 (t)), . . . , x(t − τm (t)) , t ∈ [a, b],
x(ζ) = ϕ(ζ), ζ ∈
/ [a, b], x(a) = α;
ẋ(t) = fi t,x(t − τ1i (t)), x(t − τ2i (t)), . . . , x(t − τmi (t)) , t ∈ [a, b],
x(ζ) = ϕi (ζ), ζ ∈
/ [a, b], x(a) = αi , i ∈ N,
(2)
(2i)
где функции τj , τji : [a, b] → [0, +∞), j ∈ Nm = {1, 2, . . . , m}, i ∈ N, измеримы, α, αi ∈ Rn ,
функция ϕ : (−∞, a) → Rn равномерно непрерывна и ограничена, функции ϕi : (−∞, a) →
Rn ограничены и B-измеримы при каждом i, функции m + 1 аргументов f, fi : [a, b] × Rn ×
Rn × · · · × Rn → Rn при всех i ∈ N удовлетворяют условиям Каратеодори. В интересах дальнейшего изложения сформулируем эти условия в несколько более общем виде, чем требуется
здесь. Функция f : [a, b] × Rn1 × Rn2 × · · · × Rnm → Rn считается удовлетворяющей условиям
Каратеодори, если при любых xj ∈ Rnj , j ∈ Nm , она измерима по первому аргументу, при
почти всех t ∈ [a, b] непрерывна по совокупности остальных аргументов, и для любого числа
r > 0 существует такая суммируемая функция gr ∈ L([a, b], µ, R), что для всех xj ∈ Rnj ,
удовлетворяющих условиям |xj | r, j ∈ Nm , выполнено |f (t, x1 , x2 , . . . , xm )| gr (t) при
почти всех t ∈ [a, b].
Под локальным решением задачи (2) или (2i), определенным на [a, a+γ], понимаем функцию zγ ∈ AC([a, a + γ], µ, Rn ), удовлетворяющую соответствующему уравнению при почти
всех t ∈ [a, a + γ] и начальному условию. Предельно продолженным решением задачи (2)
или (2i), определенным на [a, a + η), будем считать функцию zη : [a, a + η) → Rn , если
при всех γ < η ее сужение zγ на [a, a + γ] является локальным решением соответствующей
γ
|żγ (s)|ds = ∞. Глобальным решением задачи (2) или (2i) назовем функзадачи и lim
γ→η−0 a
цию z ∈ AC([a, b], µ, Rn ), удовлетворяющую соответствующему уравнению при почти всех
t ∈ [a, b] и начальному условию. В связи с тем, что заданная выше норма в пространстве
B([a, a + ξ], Rn ), ξ ∈ (0, b − a), в случае Лебегова пространства L([a, a + ξ], µ, Rn ) совпадает
a+ξ
|yξ (s)|ds, приведенные определения согласуются
с “традиционной” нормой yξ L[a,a+ξ] =
a
с определением 2.
Зададим операторы Kα : L([a, b], µ, Rn ) → AC([a, b], µ, Rn ), Sτϕj : AC([a, b], µ, Rn ) →
L∞ ([a, b], µ, Rn ), Nf : L∞ ([a, b], µ, Rn )×L∞ ([a, b], µ, Rn )×· · ·×L∞ ([a, b], µ, Rn ) → L([a, b], µ, Rn )
равенствами
t
y(s)ds;
(Kα y)(t) = α +
a
ϕ(t − τj (t)), если t − τj (t) < a;
(Sτϕj x)(t) =
x(t − τj (t)), если t − τj (t) a,
(Nf (x1 , x2 . . . xm ))(t) = f (t, x1 (t), x2 (t) . . . xm (t)).
Аналогично зададим операторы Kαi , Sτϕjii , Nfi , i ∈ N. Положим ẋ = y. Тогда задачи (2) и
(2i) равносильны операторным уравнениям (1) и (1i), где операторы F : L([a, b], µ, Rn ) →
НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРОВ
23
L([a, b], µ, Rn ), Fi : L([a, b], µ, Rn ) → L([a, b], µ, Rn ) определяются равенствами:
F y = Nf (Sτϕ1 Kα y, Sτϕ2 Kα y, . . . , Sτϕm Kα y),
i
Kαi y).
Fi y = Nfi (Sτϕ1ii Kαi y, Sτϕ2ii Kαi y, . . . , Sτϕmi
Обозначим Mi =
m
j=1
(3)
{t ∈ [a, b] | t − τj (t) = a, t − τji (t) < a}, i ∈ N. Для любых ∆ > 0, I ∈ N
определим множества
Θ(I) =
m
{t ∈ [a, b] | τji (t) = 0}, Tj (∆, I) =
i>I j=1
{t ∈ [a, b] | τji (t) < ∆}, j ∈ Nm .
i>I
Для произвольного P ⊆ Nm обозначим
ΥP =
Tj (∆, I) \
j∈P
Tj (∆, I) \ Θ(I).
j∈Nm \P
Теорема 2. Пусть
1) существуют ∆ > 0, I ∈ N, для которых при любом r > 0 найдется такая функция λ ∈ L([a, b], µ, Rn ), что для всякого j ∈ Nm при почти всех t ∈ Tj (∆, I), при любых
j ∈ Rn , удовлетворяющих неравенствам |x1 | r, ..., |xj | r, ..., |xm | r,
x1 , . . . , xj , . . . , xm , x
|
xj | r, при каждом i > I выполнено
j , . . . , xm )| λ(t)|xj − x
j |;
|fi (t, x1 , x2 , . . . , xj , . . . , xm ) − fi (t, x1 , x2 , . . . , x
далее, при i → ∞
2) µ(Mi ) → 0 либо α = ϕ(a − 0);
3) последовательность функций τji сходится к функции τj по мере для j = 1, 2, . . . , m;
4) αi → α;
5) sup |ϕi (t) − ϕ(t)| → 0;
t<a
6) если µ(Θ(I)) > 0, то для любого x ∈ Rn последовательность функций fi (·, x, x, . . . , x)
сходится к функции f (·, x, x, . . . , x) по мере на Θ(I);
7) для любого подмножества номеров P ⊆ Nm , каждого j ∈ P и любого xj ∈ Rn , а также для каждого j ∈ Nm \ P и произвольной последовательности {xji (·)} ⊂ L∞ ([a, b], µ, Rn ),
сходящейся по мере на [a, b] к любой функции xj (·) ∈ L∞ ([a, b], µ, Rn ), имеет место сходимость по мере на множестве ΥP последовательности fi (·, . . . , xj , . . . , xji (·), . . . ) к функции
f (·, . . . , xj , . . . , xj (·), . . . ).
Тогда при каждом i > I задачи (2i) и задача (2) локально разрешимы, всякое локальное
решение продолжаемо до единственного глобального или предельно продолженного решения соответствующей задачи. Если задача (2) глобально разрешима, то, начиная с некоторого номера, задачи (2i) также глобально разрешимы, и для глобальных решений z и zi
задач (2) и (2i) выполнено z −zi AC[a,b] → 0 при i → ∞. Если же задача (2) имеет предельно продолженное решение zη , определенное на [a, a+η), то при каждом γ ∈ (0, η) найдется
номер, начиная с которого задачи (2i) имеют определенные на [a, a+γ] локальные решения
ziγ , и для локальных решений zγ и ziγ задач (2) и (2i) справедливо zγ − ziγ AC[a,a+γ] → 0
при i → ∞.
Доказательство. 1. Покажем, что последовательность операторов Fi : L → L, определенных формулой (3), непрерывно сходится к оператору F : L → L.
Пусть α = ϕ(a − 0) и µ(Mi ) → 0, i → ∞. Обозначим
+
−
= {t ∈ [a, b] | t − τj (t) > a, t − τji (t) < a}, Mji
= {t ∈ [a, b] | t − τj (t) < a, t − τji (t) a},
Mji
24
Е.О. БУРЛАКОВ, Е.С. ЖУКОВСКИЙ
−
i ∈ N. Покажем, что µMji
→ 0, i → ∞. Пусть T = {t ∈ [a, b] | t − τj (t) < a}, δ > 0,
Tδ , то для
Tδ = {t ∈ [a, b] | t − τj (t) < a − δ}. Так как множества Tδ вложены и T =
δ>0
любого ε > 0 существует такое δ > 0, что µ(T \ Tδ ) < ε ([15], с. 261). Зафиксируем эти
значения δ, ε. Вследствие выполнения условия 2) существует такой номер I1 , что µ{t ∈
−
−
< 2ε, т. е. µMji
→ 0 при
[a, b] | t − τji (t) a} ∩ Tδ < ε при всех i > I1 . Таким образом, µMji
+
i → ∞. Аналогично доказывается, что µMji → 0, i → ∞.
Возьмем произвольные y ∈ L, {yi } ⊂ L, yi − yL → 0 при i → ∞. Докажем, что
i
Kαi yi ))(·) сходится по мере
последовательность функций (Nfi (Sτϕ1ii Kαi yi , Sτϕ2ii Kαi yi , . . . , Sτϕmi
ϕ
ϕ
ϕ
к функции (Nf (Sτ1 Kα y, Sτ2 Kα y, . . . , Sτm Kα y))(·) на множестве [a, b] \ Θ(I). Множества ΥP
осуществляют разбиение отрезка [a, b]. Возьмем произвольное ε > 0. Для непрерывной на
[a, b] функции x = Kα y и равномерно непрерывной на (−∞, a) функции ϕ найдем такое
δ > 0, что при любых t1 , t2 ∈ [a, b], ζ1 , ζ2 ∈ (−∞, a), если |t1 − t2 | < δ, то |x(t1 ) − x(t2 )| < ε, и
j : [a, b] → Rn , ϕ
j : (−∞, a) →
если |ζ1 − ζ2 | < δ, то |ϕ(ζ1 ) − ϕ(ζ2 )| < ε. Определим функции x
n
R , j ∈ Nm , следующим образом: на каждом множестве ΥP , для j ∈ Nm \ P, полагаем
j (t) = ϕ(t); а если j ∈ P, то считаем x
j (t) = εl, l ∈ Z, при таких t, что
x
j (t) = x(t), ϕ
j
εl x(t) < ε(l + 1), и аналогично задаем ϕ
(t) = εl, при таких t, что εl ϕ(t) < ε(l + 1).
Отметим, что для построенных функций для всех j ∈ Nm , при любых t ∈ [a, b], ζ ∈ (−∞, a)
j (ζ)| < ε, и |xi (t) − x
j (t)| < 2ε, |ϕi (ζ) − ϕ
j (ζ)| < 2ε при
выполнено |x(t) − x
j (t)| < ε, |ϕ(ζ) − ϕ
достаточно больших i. Кроме того, при любых t1 , t2 ∈ [a, b], ζ1 , ζ2 ∈ (−∞, a), если |t1 −t2 | < δ,
j (t2 )| < ε, и если |ζ1 − ζ2 | < δ, то |ϕ
j (ζ1 ) − ϕ
j (ζ2 )| < ε. На множестве ΥP \ Θ(I)
то |
xj (t1 ) − x
имеем
|(Nfi (. . . , Sτϕjii Kαi yi , . . . , Sτϕjii Kαi yi , . . . ))(t) − (Nf (. . . , Sτϕj Kα y, . . . , Sτϕj Kα y, . . . ))(t)| j
|(Nfi (. . . , Sτϕjii Kαi yi , . . . , Sτϕjii Kαi yi , . . . ))(t) − (Nfi (. . . , Sτϕji x
j , . . . , Sτϕjii Kαi yi , . . . ))(t)|+
j
j
j , . . . , Sτϕjii Kαi yi , . . . ))(t) − (Nfi (. . . , Sτϕj x
j , . . . , Sτϕjii Kαi yi , . . . ))(t)|+
+ |(Nfi (. . . , Sτϕji x
j
j
+ |(Nfi (. . . , Sτϕj x
j , . . . , Sτϕjii Kαi yi , . . . ))(t) − (Nf (. . . , Sτϕj x
j , . . . , Sτϕj Kα y, . . . ))(t)|+
j
+ |(Nf (. . . , Sτϕj x
j , . . . , Sτϕj Kα y, . . . ))(t) − (Nf (. . . , Sτϕj Kα y, . . . , Sτϕj Kα y, . . . ))(t)|.
При достаточно больших i первое слагаемое, стоящее в правой части данного неравенства,
согласно условию 1) не превосходит величины λ(t)2pε, где p = |P|. Далее, из условия 3)
следует, что µGji → 0, где Gji = {t ∈ [a, b] | |τj (t) − τji (t)| δ}. Следовательно, согласно
+
−
условию 1) второе слагаемое при почти всех t ∈ (ΥP \Θ(I))\(Mi ∪Mji
∪Mji
∪Gji ) не превос+
−
∪ Mji
∪ Gji ) → 0. Последовательность функций
ходит величины λ(t)pε, причем µ(Mi ∪ Mji
{Sτϕjii Kαi yi } сходится по мере на [a, b] к функции Sτϕj Kα y. Поэтому условие 7) обеспечивает
для третьего слагаемого сходимость к нулю по мере на множестве ΥP \ Θ(I). Наконец, заметим, что для функции f из предположений 1), 7) следует выполнение условия, аналогичного
1). Поэтому последнее слагаемое при достаточно больших i не превосходит величины λ(t)pε.
i
Kαi yi ))(·)
Таким образом, последовательность функций (Nfi (Sτϕ1ii Kαi yi , Sτϕ2ii Kαi yi , . . . , Sτϕmi
ϕ
ϕ
ϕ
сходится по мере к функции (Nf (Sτ1 Kα y, Sτ2 Kα y, . . . , Sτm Kα y))(·) на каждом из множеств
ΥP \ Θ(I), т. е. на [a, b] \ Θ(I). Доказательство этого факта в случае α = ϕ(a − 0) аналогично.
Доказательство сходимости указанной последовательности по мере на множестве Θ(I)
повторяет приведенное выше, так как Θ(I) ⊂ ΥNm .
i
Kαi yi ))(·)
Таким образом, последовательность функций (Nfi (Sτϕ1ii Kαi yi , Sτϕ2ii Kαi yi , . . . , Sτϕmi
ϕ
ϕ
ϕ
сходится к функции (Nf (Sτ1 Kα y, Sτ2 Kα y, . . . , Sτm Kα y))(·) по мере на всем [a, b]. Далее,
НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРОВ
25
вследствие сходимости Kαi yi − Kα yAC → 0 и равномерной сходимости последовательности функций ϕi к ограниченной функции ϕ существует такое r ∈ R, что |(Kαi yi )(t)| r,
|(Kα y)(t)| r и |ϕi (t)| r, |ϕ(t)| r при всех t ∈ [a, b]. Очевидно, та же оценка справедлива
для (Sτϕjii Kαi yi )(t) и (Sτϕj Kα y)(t), j ∈ Nm , при почти всех t ∈ [a, b]. Тогда, учитывая условия
Каратеодори, по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла ([15], с. 302),
при i → ∞ получим
i
|(Ni (Sτϕ1ii Kαi yi , Sτϕ2ii Kαi yi , . . . , Sτϕmi
Kαi yi ))(t)−(N (Sτϕ1 Kα y, Sτϕ2 Kα y, . . . , Sτϕm Kα y))(t)|dt → 0.
[a,b]
Итак, Fi yi − F yL → 0.
2. Покажем, что операторы Fi , заданные равенствами (3), в совокупности локально сжиγ ∈ (0, b − a − ∆] и y(t) = u(t)
мающие. Возьмем произвольные q0 < 1, r > 0 и, предполагая
|(Fi y)(t) − (Fi u)(t)|dt. В силу
при t ∈ [a, a + γ], где yL r и uL r, оценим
[a,a+γ+δ]∩[a,b]
условия 1) получим
i
|fi (t, (Sτϕ1ii Kαi y)(t), (Sτϕ2ii Kαi y)(t), . . . , (Sτϕmi
Kαi y)(t))−
[a,a+γ+δ]∩[a,b]
i
− fi (t, (Sτϕ1ii Kαi u)(t), (Sτϕ2ii Kαi u)(t), . . . , (Sτϕmi
Kαi u)(t))|dt i
|fi (t, (Sτϕ1ii Kαi y)(t), (Sτϕ2ii Kαi y)(t), . . . , (Sτϕmi
Kαi y)(t))−
[a,a+γ+δ]∩[a,b]
i
− fi (t, (Sτϕ1ii Kαi u)(t), (Sτϕ2ii Kαi y)(t), . . . , (Sτϕmi
Kαi y)(t))|dt
+ ···+
i
|fi (t, (Sτϕ1ii Kαi u)(t), . . . , (Sτϕjii Kαi y)(t), . . . , (Sτϕmi
Kαi y)(t))−
+
[a,a+γ+δ]∩[a,b]
i
− fi (t, (Sτϕ1ii Kαi u)(t), . . . , (Sτϕjii Kαi u)(t), . . . , (Sτϕmi
Kαi y)(t))|dt
+ ···+
i
|fi (t, (Sτϕ1ii Kαi u)(t), (Sτϕ2ii Kαi u)(t), . . . , (Sτϕmi
Kαi y)(t))−
+
[a,a+γ+δ]∩[a,b]
i
Kαi u)(t))|dt − fi (t, (Sτϕ1ii Kαi u)(t), (Sτϕ2ii Kαi u)(t), . . . , (Sτϕmi
m
λ(t)
|y(s) − u(s)|ds dt j=1
[a,a+γ+δ]∩Tj (∆,I)
mλ(t)
[a,a+γ+δ]∩[a,b]
|y(s) − u(s)|ds dt =
[a,t]
[a+γ,a+γ+δ]∩[a,b]
[a+γ,a+γ+δ]
|y(s) − u(s)|ds dt =
mλ(t)
[a+γ,a+γ+δ]∩[a,b]
|y(s) − u(s)|
=
Здесь q =
[a−∆,t−τji (t)]∩[a,b]
[a+γ,t]
mλ(t)dt ds q
[s,a+γ+δ]
|y(s) − u(s)|ds.
[a+γ,a+γ+δ]∩[a,b]
mλ(t)dt. Вследствие абсолютной непрерывности интеграла найдется
такое δ > 0, что q q0 . Таким образом, выполнено условие Q2 ). Аналогично проверяется
справедливость Q1 ).
Для операторов F : L → L и Fi : L → L выполнены условия теоремы 1.
Продемонстрируем существенность условий теоремы 2.
26
Е.О. БУРЛАКОВ, Е.С. ЖУКОВСКИЙ
Пример 2. Для скалярных задач
ẋ(t) = x(t − τ (t)), t ∈ [0, 1], x(0) = 1;
(4)
ẋ(t) = x(t − τi (t)), t ∈ [0, 1], x(0) = 1,
(4i)
x(ζ) = 0, если ζ ∈
/ [0, 1], i ∈ N,
t + 1/i, если t ∈ [0, 1/2];
t,
если t ∈ [0, 1/2];
где τ (t) =
выполнены все
τi (t) =
t − 1/2, если t ∈ (1/2, 1],
t − 12, если t ∈ (1/2, 1],
условия теоремы 2, за исключением 2). Решениями задач (4) и (4i) являются соответственно
1,
если t ∈ [0, 1/2];
1 + t,
если t ∈ [0, 1/2];
z(t) =
zi (t) =
1/2 + t, если t ∈ (1/2, 1].
3/4 + 3/2t, если t ∈ (1/2, 1],
Очевидно, zi − zAC[0,1] = 3/4 при всех i.
Пример 3. Для задач Коши
ẋ(t) = 3 x(t), t ∈ [0, 1], x(0) = 0,
ẋ(t) = 3 x(t − 1/i), t ∈ [0, 1], x(0) = 0,
x(ζ) = 0, если ζ ∈
/ [0, 1], i ∈ N,
(5)
(5i)
выполнены все условия теоремы 2, кроме условия 1). Задача (5i) при каждом фиксированном i имеет единственное глобальное решение z(t) ≡ 0, а задача (5) имеет бесконечно много
глобальных решений.
Пример 4. Рассмотрим задачи
ẋ(t) = 0, t ∈ [0, 1], x(0) = 0;
ẋ(t) = fi (t, x(t − τ )), t ∈ [0, 1], x(0) = 0,
x(ζ) = 1, если ζ ∈
/ [0, 1], i ∈ N.
(6)
(6i)
График функции fi изображен на рис. 1. Отметим, что для любой сходящейся последовательности xi → x ∈ R имеет место сходимость fi (·, xi ) → f (·, x) ≡ 0 по мере на [0, 1], но не
выполнено “более жесткое” условие 7). Решением задачи (6i) является zi (t) = t, а решением
задачи (6) — функция z(t) ≡ 0.
НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРОВ
27
Рассмотрим теперь некоторые частные случаи уравнений (2), (2i).
Для дифференциального уравнения с постоянным запаздыванием возьмем за τj , τji положительные числа, j = 1, 2, . . . , m, i ∈ N, т. е. задачи (2) и (2i) принимают вид
ẋ(t) = f t,x(t − τ1 ), x(t − τ2 ), . . . , x(t − τm ) , t ∈ [a, b],
(7)
x(ζ) = ϕ(ζ), ζ ∈
/ [a, b], x(a) = α;
ẋ(t) =fi t, x(t − τ1i ), x(t − τ2i ), . . . , x(t − τmi ) , t ∈ [a, b],
(7i)
/ [a, b], x(a) = αi , i ∈ N.
x(ζ) = ϕi (ζ), ζ ∈
Здесь достаточно предполагать, что функции ϕ, ϕi удовлетворяют приведенным выше условиям не на всей полуоси (−∞, a), а на любом интервале (−ω, a), где ω > max {τj }.
j∈Nm
Следствие 1. Пусть при i → ∞
1) τji → τj для всех j ∈ Nm ;
2) αi → α;
3) sup |ϕi (t) − ϕ(t)| → 0;
t∈(−ω,a)
4) для каждого j ∈ Nm , произвольной последовательности {xji (·)} ⊂ L∞ ([a, b], µ, Rn ),
сходящейся по мере к любой функции xj (·) ∈ L∞ ([a, b], µ, Rn ), последовательность функций
fi (·, x1i (·), x2i (·), . . . , xmi (·)) сходится к функции f (·, x1 (·), x2 (·), . . . , xm (·)) по мере на [a, b].
Тогда, начиная с некоторого номера, задачи (7i) и задача (7) имеют единственные глобальные решения zi и z, являющиеся продолжениями всяких их локальных решений, причем z − zi AC[a,b] → 0 при i → ∞.
Приведем еще одно следствие для обыкновенного дифференциального уравнения. Пусть
запаздывания равны нулю, тогда задачи (2) и (2i) принимают вид
ẋ(t) = f t, x(t) , t ∈ [a, b], x(a) = α;
(8)
(8i)
ẋ(t) = fi t, x(t) , t ∈ [a, b], x(a) = αi , i ∈ N.
Здесь (как и выше) предполагается, что функции f, fi : [a, b] × Rn → Rn при всех i ∈ N
удовлетворяют условиям Каратеодори. Для задач (8) и (8i) имеет место
Следствие 2. Пусть при i → ∞ последовательность αi → α, и для любых x ∈ Rn последовательность функций fi (·, x) сходится к функции f (·, x) по мере на [a, b]. Пусть также для
∈ Rn ,
произвольного r > 0 существует такая функция λ ∈ L([a, b], µ, Rn ), что при любых x, x
)| λ(t)|x − x
|, i ∈ N.
|x| r, |
x| r, при почти всех t ∈ [a, b] выполнено |fi (t, x) − fi (t, x
Тогда для задач (8) и (8i) справедливо заключение теоремы 2.
Этот результат аналогичен утверждениям о непрерывной зависимости решения обыкновенного дифференциального уравнения от параметров и начальных данных, приведенным
в ([16], с. 198–201). Отметим, что в [16] функция f задана на произвольном открытом подмножестве пространства Rn+1 . Мы же рассматриваем менее общую ситуацию, определяя
эту функцию на [a, b] × Rn . Некоторые преимущества сформулированного следствия 2 заключаются в предположении липшицевости (а не дифференцируемости) по переменной x
и более удобному при проверке требованию сходимости fi (·, x) к f (·, x) на любом x ∈ Rn
(а не на любой функции x(·)). Сравнивая следствие 2 с условиями корректности дифференциальных уравнений, полученными в [3]–[10], отметим, что не предполагаются, а устанавливаются наличие, единственность и продолжаемость решений задач (8) и (8i). Кроме
того, авторами упомянутых работ доказывается равномерная сходимость решений задач
(8i). В утверждениях, позволяющих из такой сходимости решений вывести сходимость их
28
Е.О. БУРЛАКОВ, Е.С. ЖУКОВСКИЙ
производных по норме пространства суммируемых функций, обычно используется сходимость fi (t, x) → f (t, x) при всех x ∈ Rn и почти всех t ∈ [a, b] ([3]; [6], c. 13). Здесь мы
требуем лишь сходимость по мере последовательности {fi (·, x)}. Дальнейшее ослабление
сходимости, как, например, в [11], уже не гарантирует сходимости производных решений
задач (8i).
Теорема 2 позволяет исследовать корректность управляемых систем. Рассмотрим задачи
Коши
ẋ(t) = f t, x(t−τ1 (t)), x(t − τ2 (t)), . . . , x(t − τm (t)), u(t) , t ∈ [a, b],
(9)
x(ζ) = ϕ(ζ), ζ ∈
/ [a, b], x(a) = α,
ẋ(t) = f t, x(t − τ1i (t)), x(t − τ2i (t)), . . . , x(t − τmi (t)), ui (t) , t ∈ [a, b],
(9i)
/ [a, b], x(a) = αi , i ∈ N,
x(ζ) = ϕi (ζ), ζ ∈
где α, αi ∈ Rn , функции τj , τji , ϕ, ϕi удовлетворяют приведенным выше требованиям, управления u, ui : [a, b] → Rk , i ∈ N, измеримы и существенно ограничены, функция m + 2
аргументов f : [a, b] × Rn × Rn × · · · × Rn × Rk → Rn удовлетворяет условиям Каратеодори.
Следствие 3. Пусть при i → ∞
1) µ(Mi ) → 0 либо α = ϕ(a − 0);
2) последовательность функций τji сходится к функции τj по мере для всех j ∈ Nm ;
3) последовательность функций ui сходится к функции u по мере;
4) αi → α;
5) sup |ϕi (t) − ϕ(t)| → 0.
t<a
Пусть также
6) существуют ∆ > 0, I ∈ N, для которых при любом r > 0 найдется такая функция λ ∈ L([a, b], µ, Rn ), что для каждого j ∈ Nm при почти всех t ∈ Tj (∆, I) и любых
j ∈ Rn , u ∈ Rk , удовлетворяющих неравенствам
x1 , . . . , xj , . . . , xm , x
xj | r, |u| r,
|x1 | r, . . . , |xj | r, . . . , |xm | r, |
при каждом j > I выполнено
j , . . . , xm , u)| λ(t)|xj − x
j |.
|f (t, x1 , x2 , . . . , xj , . . . , xm , u) − f (t, x1 , x2 , . . . , x
Тогда для задач (9) и (9i) имеет место заключение теоремы 2.
Для доказательства данного утверждения достаточно положить fi t, x1 , x2 , . . . , xm =
f t, x1 , x2 , . . . , xm , ui (t) и заметить, что сходимость по мере последовательности управлений
ui (·) к u(·) и непрерывность функции f : [a, b]×Rn ×Rn ×· · ·×Rn ×Rk → Rn по совокупности
2-го, . . . , (m + 2)-го аргументов обеспечивают выполнение условия 7) теоремы 2.
Литература
[1] Вайникко Г.М. Регулярная сходимость операторов и приближенное решение уравнений, Итоги науки
и техники. Математический анализ, Bып. 16, 5–53 (1979).
[2] Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функциональнодифференциальных уравнений (Наука, М., 1991).
[3] Бокштейн М.Ф. Теоремы существования и единственности решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, Учен. записки МГУ. Матем., Bып. 15, 3–72 (1939).
[4] Vorel Z. Continuous dependence on parameters, J. Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. 23 (2), 373–380
(1981).
[5] Петров Н.Н. Некоторые достаточные условия непрерывной зависимости решений дифференциального
уравнения от параметра , Вестн. ЛГУ. Сер. матем. 4 (19), 26–40 (1962).
[6] Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (Наука, М., 1985).
НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРОВ
29
[7] Kartak K. A theorem on continuous dependence on a parameter , Časopis pěstov. matem. 91 (2), 178–184
(1966).
[8] Kartak K. Continuous dependence on parameters and generalized solutions of ordinary differential equations,
Beitr. Anal. 9, 39–41 (1976).
[9] Artstein Z. Continuous dependence of solutions of operator equations. I, Trans. Amer. Math. Soc. 231 (1),
143–166 (1977).
[10] Jarnik J. On a certain modification on the theorem on the continuous dependence on a parameter, Časopis
pěstov. matem. 86 (4), 415–424 (1961).
[11] Курцвейль Я., Ворель З. О непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметра, Чехосл. матем. журн. 7 (4), 568–583 (1957).
[12] Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам
математической физики, Бюл. Моск. ун-та. Секц. А 1 (8), 1–25 (1938).
[13] Жуковский Е.С. Нелинейное уравнение Вольтерра в банаховом функциональном пространстве, Изв.
вузов. Математика, № 10, 17–28 (2005).
[14] Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра, Матем. сб.
197 (10), 33–56 (2006).
[15] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, (Наука, М.,
1976).
[16] Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление (Наука, М., 1979).
Е.О. Бурлаков
аспирант,
Тамбовский государственный университет,
ул. Интернациональная, д. 33, г. Тамбов, 392000,
e-mail: [email protected]
Е.С. Жуковский
профессор, директор Института математики, физики и информатики,
Тамбовский государственный университет,
ул. Интернациональная, д. 33, г. Тамбов, 392000,
e-mail: [email protected]
E.O. Burlakov
Postgraduate,
Tambov State University,
33 Internatsional’naya str., Tambov, 392000 Russia,
e-mail: [email protected]
E.S. Zhukovskii
Professor, Director of Institute of Mathematics, Physics and Information Science,
Tambov State University,
33 Internatsional’naya str., Tambov, 392000 Russia,
e-mail: [email protected]