нахождение плотности распределения вероятностей релейной

СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ. – 2008. – № 4(54) – 17–24
УДК 519.218.1
НАХОЖДЕНИЕ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ РЕЛЕЙНОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ
С ГИСТЕРЕЗИСОМ ПУТЕМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
ФОККЕРА–ПЛАНКА–КОЛМОГОРОВА*
К.С. КИРЯКИН
Путем численного решения уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова исследована релейная следящая система с гистерезисом, описываемая стохастическим дифференциальным уравнением. Для решения уравнения использован прямой метод Монте-Карло.
Полученное численным путем решение в установившемся режиме сопостаавлено с известным стационарным аналитическим решением.
ВВЕДЕНИЕ
При анализе стохастических динамических систем важной задачей является нахождение плотности распределения вероятностей вектора состояний
системы. Для нелинейных систем аналитически вычислить ее можно лишь в
редких частных случаях, не охватывающих всего круга возникающих в реальности задач. Важным является частный случай линейного уравнения состояния системы. Тогда при нормальном распределении начального состояния
плотность вектора состояний также будет нормальной. Но в некоторых случаях (мы увидим это здесь для рассматриваемой системы) истинное распределение нелинейной системы может отличаться от нормального и весьма значительно. В данной работе для вычисления плотности на примере релейной следящей системы с гистерезисом используется численное решение уравнения
Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК), связанного с исходной моделью состояний, прямым методом Монте-Карло. Полученная плотность даёт представление о динамики системы, и ее можно использовать для вычисления,
например для нахождения маргинальных распределений, математического
ожидания, дисперсионной матрицы и других характеристик.
*
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ (код проекта
РНП.2.1.2.43)

Магистр прикладной математики, аспирант кафедры вычислительных технологий
К.С. Кирякин
18
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Приведем модель релейной следящей системы с гистерезисом в пространстве состояний, согласно [1, с. 163], которая может быть описана стохастическим дифференциальным уравнением вида

x2  t 

 x1  t   
   0  w t  , t


  1
1
 
 x2  t     x2  t   z  x1 (t ), x2 (t )   0 
 T
T

0,
(1)
где функция z ( x1, x2 ) может принимать только два значения
 k , если x1   0 и x2  0 или x1  0 и x2  0,
z ( x1 , x2 )  
 k , если x1  0 и x2  0, или x1  0 и x2  0.
T – постоянная времени; w(t) – стандартный белый гауссовский шум.
Будем считать, что начальное состояние x(0) имеет нормальное распре-
деление с математическим ожиданием m0 и дисперсионной матрицей P0 и не
коррелирует с w(t) при любых значениях t.
Используя известные в теории марковских процессов соотношения, запишем уравнение ФПК для плотности распределения вероятностей f ( x, t ) слу x1  t  
чайного процесса x(t )  
:
 x2  t  
 1
1


   x2  z  x1 , x2   f ( x, t ) 
2
T
T
f ( x, t )
[ x2 f ( x, t )]


  0  f ( x, t ) . (2)

 
t
x1
x2
2 x2 x2
Здесь начальная плотность – нормальная с параметрами ( m0 , P0 ).
Необходимо найти плотность распределения вероятностей вектора состояний модели (1). Для этого решим уравнение ФПК. Используемый в данной работе метод решения описан ниже.
Нахождение плотности распределения…
19
2. ПРЯМОЙ МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
ФПК
Применение обычных методов решения дифференциальных уравнений в
частных производных, таких как конечно-разностный метод и метод конечных элементов, для данной задачи, как нам представляется, сопряжено с рядом сложностей ввиду разрывного характера функции z  x1 , x2  . Возможность их применения для данной модели будет рассмотрена нами в дальнейшем. В данной же работе для решения уравнения ФПК воспользуемся прямым методом Монте-Карло. Данный алгоритм уже исследовался нами в [2]
для решения уравнения ФПК применительно к задаче непрерывно-дискретной
фильтрации. Кратко изложим здесь идею метода, следуя [3] с незначительными изменениями. Метод нахождения плотности в момент времени T состоит
из следующих шагов.
1. Решение ищем не во всей области определения, а в выделенной ограниченной области   [a1 , b1 ][a2 , b2 ] , прямоугольнике, из пространства R 2 .
Выбираем  так, чтобы развитие процесса на рассматриваемом временном
интервале практически целиком протекало в этой области.
2. Разбиваем область  на M  m1m2 внутренних подобластей прямоугольной формы  j , j  1,..., M .
3. Моделируем L случайных величин xl (0) с заданной плотностью начального распределения xl (0)  N ( x0 , P0 ) , l = 1, 2, ..., L.
4. Решаем L стохастических дифференциальных уравнений (1) с начальными условиями xl (0) , l = 1, 2, ... L на отрезке [0, T ] , получаем массив точек
xl (T ) , l = 1, 2, ..., L. Для решения стохастического дифференциального уравнения (1) будем использовать явный слабый метод Эйлера [4]. Отличие его
вычислительного соотношения от обычного сильного метода Эйлера состоит
в том, что вместо нормальной величины используется дискретная случайная
величина, принимающая два значения 1 с равной вероятностью.
5. Подсчитываем количество точек xl (T ) : L j , попадающих в каждый прямоугольник  j . Значение функции плотности f j в каждом j-м прямоугольнике  j , j  1...M вычисляем следующим образом: f j 
Lj
LS   j 
, где S   j  –
К.С. Кирякин
20
M
L   Lj
площадь прямоугольника  j . По величине
j
можно судить о качестве
L
выбранной области – если она не сильно отлична от нуля, то область выбрана
надлежащим образом.
3. ИССЛЕДОВАНИЯ
Вначале покажем пару траекторий случайного процесса (1). Для этого
смоделируем траекторию процесса (1) сильным методом Эйлера [4]. На рис. 1
приведен фазовый портрет реализаций, исходящих из двух различных точек,
колебаний в релейной следящей системе на отрезке t [0, 5] при параметрах
T = 0.4,   0.4 , k  1 , 0  0.4 . Шаг для метода Эйлера выбран равным 0.001.
Видно, что в точках x1   характер поведения процесса меняется, а с течением времени траектории приближаются к некоторому предельному циклу.
Рис. 1. Фазовый портрет колебаний
Найдем решение уравнение ФПК (2) прямым методом Монте-Карло на
временном
интервале
t [0; 2.5] .
Зададим
0  0.4 ,
T
m0   0 0  ,
P0  diag(0.1, 0.1) и выберем следующие параметры метода: область поиска
решения   [1.2,1.2][1.2,1.2] , m1  300 , m2  300 , количество реализации
процесса (1) L = 300 000. Приведем графики плотностей в виде линий уровня
(чем светлее, тем значение плотности выше) в некоторые моменты времени на
рис. 2–6.
Нахождение плотности распределения…
Рис. 2. Плотность в момент времени t = 0.1
Рис. 3. Плотность в момент времени t = 0.3
Рис. 4. Плотность в момент времени t = 0.6
21
К.С. Кирякин
22
Рис. 5. Плотность в момент времени t = 1.2
Рис. 6. Плотность в момент времени t = 2.5
По графикам, а также путем анализа разности полученных решений видно, что для данных параметрах плотность в момент времени t = 1.2 можно
считать близкой к стационарной, а это соответствует известному в теории
автоматического управления правилу трёх тау. То есть для данной модели к
этому моменту времени практически завершаются переходные процессы.
Также по графикам получаемой плотности видно, что распределение вектора
состояний системы нельзя считать нормальным даже приближенно, т. е. никакие аппроксимации плотности нормальным распределением нельзя считать
адекватными.
В [1, с. 166] приведено аналитическое выражение, полученное методом
разделения переменных, для стационарной плотности распределения вероятностей, которое имеет вид
Нахождение плотности распределения…
fst ( x1 , x2 ) 
23
 2 x sign( z ( x1, x2 )) x22 
exp   1

.

 2 k 0 
T 2 0 2
T 20 
2

T 0 ch 
T
 T 2  2 

0 
k
Приведем его на рис. 7.
Рис. 7. Стационарная плотность
(аналитическое выражение)
Сравнивая решение в момент времени t = 2.5 и стационарное решение,
видим, что они не соответствуют друг другу. Это расхождение явно и по норM
ме разности  
M
2
  f st ( xi )  fnumerical ( xi , T ) 
 f st2 ( xi )
i 1
i 1
двух приведен-
ных решений, которая равна 1.207.
На данном этапе исследований пока не ясно, с чем связано это расхождение. В последующих работах оно будет изучено более детально.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На примере реальной динамической системы показана возможность практического применения прямого метода Монте-Карло для решения уравнения
Фоккера–Планка при анализе систем автоматического управления. В следующей работе данный метод нахождения плотности будет использован для
нахождения апостериорной плотности и решения задачи фильтрации.
[1] Астапов Ю.М., Медведев В.С. Статистическая теория систем автоматического регулирования и управления. – М.: Наука, 1982.
24
К.С. Кирякин
[2] Денисов В.И., Чубич В.М., Кирякин К.С. и др. Сравнение двух подходов
к нелинейной фильтрации на примере статистической модели электрогидравлического следящего вибратора // Науч. вестн. НГТУ. – 2008. – № 4(33). –
С. 3–16.
[3] Carlsson J. Accuracy and convergence of the backward Monte-Carlo
method. URL: http://arxiv.org/abs/math/0102094v1 (дата обращения: 25.09.2008).
[4] Kloeden P.E., Platen E. Numerical Solution of Stochastic Differential
Equations. – Berlin: Springer, 1992.