ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 11 ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих при этом задач; вывести закон распределения функции одного случайного аргумента и закон распределения суммы двух случайных величин; пояснить понятие композиции законов распределения. Понятие о функции случайной величины Среди практических приложений теории вероятностей особое место занимают задачи, требующие нахождения законов распределения и/или числовых характеристик функций случайных величин. В простейшем случае задача ставится следующим образом: на вход технического устройства поступает случайное воздействие X ; устройство подвергает воздействие и на выходе дает X некоторому функциональному преобразованию (X ) (см. рис. 6.1). Нам известен закон распреслучайную величину Y деления случайной величины X , и требуется найти закон распределения и/или числовые характеристики случайной величины Y . X X1 X2 Y Y Xn X1 X2 Y1 Y2 Xn Yn Рис. 6.1. Функции случайных величин Можно выделить три основные возникающие задачи: 1. Зная закон распределения случайной величины X (или случайного вектора X ( X 1 , X 2 ,, X n ) ), найти закон распределения выходной случайной величины Y ( X ) (или Y 97 ( X 1 , X 2 ,, X n ) ). 2. Зная закон распределения случайной величины X , найти только числовые характеристики выходной случайной величины. 3. В некоторых случаях (при особых видах преобразования ) для нахождения числовых характеристик выхода не требуется знать закон распределения входной случайной величины X , а достаточно знать только его числовые характеристики. Рассматриваем случайную величину Y , зависящую функционально от случайной величины X , т. е. Y ( X ) . Пусть случайная величина X дискретна и известен ее ряд распределения: , x1 Х: p1 … x2 p2 … xi pi … … xn pn , n где pi P{ X xi }, (i 1,2); pi 1. i 1 При подаче на вход значения случайной величины X xi на выходе получим Y yi ( xi ) с вероятностью pi . И так для всех возможных значений случайной величины X . Таким образом, получаем табл. 6.1. Таблица 6.1 ( x1 ) p1 ( x2 ) p2 … … ( xi ) pi … … ( xn ) pn Полученная табл. 6.1 в общем случае может не быть рядом распределения случайной величины Y , так как значения в верхней строке таблицы могут быть расположены в невозрастающем порядке, а некоторые ( xi ) могут даже совпадать. Для преобразования табл. 6.1 в ряд распределения случайной величины Y необходимо упорядочить возможные значения yi ( xi ) по возрастанию, а вероятности совпадающих значений ( xi ) нужно сложить. Для нахождения числовых характеристик случайной величины Y преобразовывать (6.1) в ряд распределения нет необходимости, так как их можно вычислить по таблице (6.1). Действительно, находя сумму произведений возможных значений случайной величины Y на их вероятности, получаем n my M [Y ] M [ ( X )] ( xi ) pi . i 1 98 (6.1) Таким образом, зная только закон распределения аргумента X , можно найти математическое ожидание функции случайной величины. Аналогично находим дисперсию случайной величины Y : DY M [Y 2 ] M [(Y n mY ) 2 ] ( ( xi ) mY ) 2 pi . i 1 Аналогично определяем начальные и центральные моменты любых порядков случайной величины Y (X ) : n s n [ ( xi )]s pi ; (Y ) s [ ( xi ) mY ]s pi . (Y ) i 1 i 1 Для непрерывной случайной величины X , имеющей плотность распределения f (x) , получаем mY M [Y ] DY M [Y 2 ] s (Y ) M [ ( X )] ( x) f ( x)dx ; ( ( x) mY ) 2 f ( x)dx ; [ ( x)]s f ( x)dx ; s [ ( x) mY ]s f ( x)dx . (Y ) Видим, что для нахождения числовых характеристик функции ( X ) вовсе не нужно знать ее закон распределения – достаточно знания закона распределения аргумента X . Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин В некоторых задачах числовые характеристики системы случайных ( X 1 , X 2 , , X n ) можно определить как функции числовых величин Y характеристик системы случайных величин X ( X 1 , X 2 , , X n ) . В этом случае не требуется даже знание закона распределения аргумента, например совместную плотность распределения f ( x1, x2 , , xn ) , а достаточно иметь только числовые характеристики этой системы случайных величин. Для решения таких задач сформулированы следующие теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин: 99 1. M [C ] 3. M [CX ] C, CM [ X ] , 2. D[C ] 0 , 4. D[CX ] C 2 D[ X ] , где C – неслучайная величина. 5. M [ X1 X 2 ] M [ X1 ] M [ X 2 ] для любого числа слагаемых, как независимых, так и зависимых, коррелированных и некоррелированных. 6. Математическое ожидание от линейной комбинации случайных величин X1, X 2 , , X n равно той же линейной функции от математических ожиданий рассматриваемых случайных величин: n M [a0 n ai X i ] a0 i 1 ai M [ X i ] . i 1 7. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме всех элементов корреляционной матрицы Kij этих случайных величин n D[ n n Xi ] i 1 Kij . i 1 j 1 Так как корреляционная матрица K ij симметрична относительно главной диагонали, на которой находятся дисперсии, то последнюю формулу перепишем в виде n D[ n Xi ] i 1 D[ X i ] 2 i 1 K ij . i j Если случайные величины X1, X 2 , , X n не коррелированы, то справедлива теорема о сложении дисперсий: n D[ n Xi ] i 1 D[ X i ] . i 1 8. Дисперсия линейной функции случайных величин определяется по формуле n D[a0 n ai2 D[ X i ] 2 ai X i ] i 1 i 1 ai a j Kij . i j 100 9. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению математических ожиданий плюс ковариация M [ X1 X 2 ] M [ X1]M [ X 2 ] K12 . Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий M [ X1 X 2 ] M [ X1 ]M [ X 2 ] . 10. Дисперсия произведения независимых случайных величин X1, X 2 , , X n выражается формулой n D n Xi i 1 n ( Di mi2 ) n mi2 i 1 i 1 n mi2 2i i 1 i 1 Если случайные величины X1, X 2 , , X n независимые и центрированные, получаем n D i 1 X i n D[ X i ] . i 1 Закон распределения функции случайного аргумента Есть непрерывная случайная величина X с плотностью распределения f (x) , связанная со случайной величиной Y функциональной зависимостью Y ( X ) . Требуется найти закон распределения случайной величиной Y . Рассмотрим случай, когда ( X ) строго монотонна, непрерывна и дифференцируема на интервале ( a, b) всех возможных значений случайной величиной X . Функция распределения G ( y ) случайной величины Y по определению есть G ( y ) P{Y y} . Если функция (x) монотонно возрастает на участке всех возможных значений случайной величиной X , то событие {Y y} эквивалентно событию { X 101 1 ( y )} , где 1 ( y ) есть функция, обратная функции (x) . Когда y случайная величина X принимает значения на участке ( a, b) , то случайная точка ( X , Y ) перемещается по кривой y (x) (ор- Y y дината полностью определяется абсциссой) (см. рис. 6.2). Из строгой монотонности (x) следует монотонность 1 1 x a x 1 ( y) x b ( y) Рис. 6.2. Функция случайного аргумента ( y ) , и поэтому функцию распределения случайной величиной Y можно записать следующим образом: 1 G( y) P{Y y} 1 P{ X ( y )} P{a X 1 ( y) f ( x ) dx . ( y )} a Дифференцируя это выражение по y , входящему в верхний предел интеграла, получаем плотность распределения случайной величиной Y в виде g ( y) dG( y ) dy 1 f( ( y )) d 1 ( y) dy f( 1 ( y ))( 1 ( y )) . (6.2) Если функция (x) на участке ( a, b) возможных значений случай- ной величиной X монотонно убывает, то, проведя аналогичные выкладки, получаем g ( y) f( 1 ( y)) ( 1 ( y)) . (6.3) Диапазон возможных значений случайной величиной X может быть в выражениях (6.2) и (6.3) от до . Так как плотность распределения не может быть отрицательной, то формулы (6.2) и (6.3)можно объединить в одну g ( y) f( 1 ( y )) ( 1 ( y )) . 102 (6.4) Пример. Пусть функция случайной величины ( X ) является линей- ной, т. е. Y aX b , где a 0 . Непрерывная случайная величина X имеет плотность распределения f (x) , и тогда, используя выражение (6.4), найдем закон распределения g ( y ) , учитывая, что обратная функция есть 1 y b , а модуль ее производной равен ( a ( y) g ( y) 1 ( y )) 1 a y b 1 . a a f , (6.5) Если случайная величина X имеет нормальное распределение 1 f ( x) ( x mX ) 2 exp 2 2 X , 2 X то согласно (6.5) получаем 1 g ( y) 2 X 1 2 X a a exp 2 y b a 2 mX 2 X ( y (amX b))2 . 2 2 2 Xa exp Это по-прежнему нормальный закон распределения с математическим ожиданием mY ным отклонением amX Y b , дисперсией DY a X a2 2 X и средним квадратич- . В результате линейного преобразования нормально распределенной случайной величины X получаем случайную величину Y , также распределенную по нормальному закону. 103 Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения Имеем систему двух непрерывных случайных величин ( X1 , X 2 ) и их сумму – случайную величину Y X1 X 2 . Необходимо найти закон распределения случайной величины Y , если известна совместная плотность распределения системы f ( x1, x2 ) . Функция распределения G( y) P{Y y} P{X1 X 2 y} – это площадь области D ( y ) на плоскости x1 0 x2 , где выполняется неравенство X1 X 2 y (см. рис. 6.3), т. е. y x1 G( y) f ( x1 , x2 )dx1dx2 f ( x1 , x2 )dx2 dx1 . D( y) Продифференцировав это выражение по y , получаем плотность распределения вероятности случайной велиx2 чины Y X1 X 2 g ( y) f ( x1 , y x1 )dx1 . y D(y) x1 Учитывая симметрию слагаемых, можно записать аналогичное соотношение g ( y) Рис. 6.3. Закон распределения суммы случайных величин f (y x2 , x2 )dx2 . Если случайные величины X1 и X 2 независимы, т. е. выполняется равенство f ( x1, x2 ) две последние формулы примут вид: f1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) , то g ( y) f1 ( x1 ) f 2 ( y x1 )dx1 ; (6.6) g ( y) f1 ( y x2 ) f 2 ( x2 )dx2 . (6.7) 104 В том случае, когда складываются независимые случайные величины X1 и X 2 , то говорят о композиции законов распределения. Для обозначения композиции законов распределения иногда применяется символьная запись: g f1 f 2 . Закон распределения называется устойчивым к композиции, если при композиции законов распределения этого типа получается снова тот же закон, но с другими значениями параметров. Например, если сложить две независимые нормальные случайные величины, то результирующая случайная величина будет иметь нормальный закон распределения, т. е. нормальный закон устойчив к композиции. Кроме нормального закона, устойчивыми к композиции являются законы распределения Эрланга, биноминальный, Пуассона.