ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ.
КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО
ПОРЯДКА
Методические указания и задания
по аналитической геометрии
для студентов 1-го курса
Агапова Елена Григорьевна
Битехтина Екатерина Андреевна
3
Введение
Аналитическая геометрия имеет своей задачей изучение свойств
геометрических объектов при помощи аналитического метода. В основе этого
метода лежит так называемый метод координат, впервые систематически
примененный Декартом (французский математик и философ, 1596—1650 гг.).
Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат,
позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов методы
алгебры и математического анализа.
Методические указания содержат индивидуальные домашние задания по
темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и
поверхности второго порядка». Под индивидуальными домашними заданиями
принято понимать задания большого объѐма, рассчитанные на выполнение в
течение семестра. Обычно в них нет случайных задач, и каждое задание
предназначено для закрепления стандартного вычислительного навыка.
Каждый вариант содержит 7 типовых и 4 нестандартные задачи. Перед
вариантами приведены примеры решений типовых заданий. Нестандартные
задачи могут быть предложены по усмотрению преподавателя отдельным
студентам в качестве дополнительных или взамен типовых задач.
В методических указаниях приведены вопросы для самопроверки с
ответами и вопросы для защиты, которые помогут студенту лучше разобраться
в материале и подготовиться к защите индивидуального домашнего задания.
В методических указаниях имеется приложение 1, содержащее основные
формулы аналитической геометрии, согласно которым можно решить многие
задачи. В приложениях 2 и 3 приведены канонические уравнения
поверхностей второго порядка.
Авторы надеются, что наши методические указания окажутся весьма
полезными для студента. Найдя нужный образец, студент по аналогии с ним
сможет решить и задачу из своего домашнего задания.
4
Примеры решений типовых заданий
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точки
и
.
Решение: Уравнение прямой в пространстве будем искать по формуле 9
таблицы 1 (приложение 1). Вместо
координаты точки
, вместо
подставим в это уравнение
- координаты точки
:
или
Пример 2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
и
.
Решение: Уравнение плоскости будем искать по формуле 2 таблицы 1
(приложение 1). Вместо
, вместо
точки
подставим в это уравнение координаты точки
- координаты точки
, вместо
:
или
Пример 3. Написать уравнение прямой
P
- координаты
, если
.
, перпендикулярной плоскости
.
Решение: Так как прямая DP перпендикулярна плоскости P, то нормальный
вектор этой плоскости
является направляющим для искомой прямой.
5
Уравнение
прямой
будем
искать
(приложение 1). Вместо
точки
согласно
формуле
10
таблицы
1
подставим в это уравнение координаты
, вместо m, l, k - координаты вектора
,
получим каноническое уравнение искомой прямой:
Пример 4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
и параллельно прямой
Решение: Уравнение прямой будем искать согласно формуле 10 таблицы 1
(приложение 1). Вместо
подставим в это уравнение координаты точки
. Из уравнения заданной прямой найдѐм координаты еѐ направляющего
вектора
. Так как прямые параллельны, то этот вектор является
направляющим и для искомой прямой. Подставив его координаты в уравнение,
получим канонические уравнения искомой прямой:
Пример 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно плоскости P:
.
Решение: Так как заданная плоскость и искомая - параллельны, то вектор
нормали плоскости P является нормальным и для искомой плоскости.
Уравнение плоскости будем искать согласно формуле 1 таблицы 1
(приложение 1). Вместо
подставим в это уравнение координаты точки
. Из уравнения заданной плоскости найдѐм координаты еѐ нормального
вектора
. Подставив его координаты в уравнение, получим:
6
или
Пример 6. При каких значениях
а)
проходит через точки
б)
параллельна прямой
в)
перпендикулярна
г)
пересекается с
.
и прямая L:
и
;
;
;
.
Решение:
а) Чтобы выяснить, проходит ли прямая через данную точку, надо в
уравнение прямой подставить еѐ координаты. При подстановке координат
точек А
и В в уравнение данной прямой получим систему уравнений
относительно неизвестных b и c:
Решив систему уравнений, получим искомые значения
.
б) Известно, что если две прямые параллельны, то их вектора нормали
коллинеарные, то есть выполняется пропорция для координат этих векторов:
В нашем случае выполняется следующая пропорция:
в) Известно, что если прямые перпендикулярные, то их вектора нормали
ортогональные, то есть скалярное произведение этих векторов равно нулю:
В нашем случае имеет место уравнение относительно неизвестного b:
7
г) Известно, что параллельные прямые не пересекаются. В противном
случае они пересекаются, то есть для координат векторов нормали прямых не
должна выполнятся пропорция:
В нашем случае не должна выполнятся пропорция:
Пример 7. Показать, что точка
. Найти соответствующее
значение . Найти расстояние от точки
до прямой
Решение: Подставляем координаты точки
в параметрические уравнения
прямой:
Значит точка
.
Расстояние от точки
Вместо
до прямой
будем искать по формуле:
подставим в эту формулу координаты точки
– координаты точки
, вместо
:
Пример 8. Привести к каноническому виду общие уравнения прямой
Решение: Согласно правилу 12 таблицы 1 (приложение 1) выполним
следующие три действия:
8
1) исключаем : из первого уравнения вычтем второе:
2) исключаем : второе уравнение умножим на
и сложим с первым
3) разрешим каждое уравнение относительно :
Каноническое уравнение прямой в пространстве согласно формуле 10
таблицы 1 (приложение 1) имеет вид:
или
Последнее уравнение разделим на 3, в результате получим каноническое
уравнение прямой в пространстве:
Согласно формуле 11 таблицы 1 параметрические уравнения данной
прямой имеет вид:
Пример 9. Даны уравнения плоскости
а) проверить, что
;
9
и прямой
б) найти
и координаты точки пересечения
и .
в) написать уравнение плоскости, проходящей через
.
Решение:
а) Имеем направляющий вектор прямой L –
плоскости P -
и точку
, вектор нормали
, через которую проходит
прямая L. Проверим условие принадлежности прямой L плоскости P :
В нашем случае:
Условия не выполняются, поэтому прямая не лежит в плоскости, т.е.
.
б) Применяя формулу 15 таблицы 1 (приложение 1) находим синус угла
между прямой
и плоскостью :
Значит, угол
.
Координаты точки
пересечения прямой
с плоскостью
находим,
решая систему (см. формулу 16 таблицы 1):
или
Из равенства
, т. е.
вытекает равенство
. Следовательно,
10
т. е.
точка пересечения прямой и плоскости.
в) Составим уравнение плоскости из условия компланарности векторов
:
или
.
Пример 10. Дано уравнение кривой второго порядка
.
Записать еѐ каноническое уравнение, определить тип кривой.
Решение: Данное уравнение описывает гиперболу. Приведѐм уравнение к
каноническому виду:
откуда
из которого определим полуоси
и фокусное расстояние:
.
Пример 11. Привести к каноническому виду
а)
б)
11
Решение:
а) Матрица квадратичной части многочлена второй степени имеет вид
Найдѐм еѐ собственные значения, для чего составим характеристическое
уравнение и решим его:
или
то есть
- собственные значения матрицы.
Собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям
равны:
.
Выполняя преобразование
получим
Это преобразование соответствует повороту координатной плоскости XOY на
угол
против часовой стрелки. Так как
каждой из новых переменных
и
и
отличны от нуля, то по
можно выделить полный квадрат:
Заменой переменных
соответствующей сдвигу
по каждой из координатных осей, получим уравнение
Таким образом, получили каноническое уравнение гиперболы:
12
б) Матрица квадратичной части многочлена второй степени имеет вид:
Еѐ
собственные
значения
равны
им
соответствуют собственные вектора:
Выполнив преобразование:
получаем
Преобразование сдвига необходимо выполнить лишь по переменной
Второе преобразование координат имеет вид:
откуда окончательно получаем каноническое уравнение гиперболического
параболоида (см. приложение 3):
13
Условия заданий
1. Даны четыре точки
а) прямой
;
. Найти уравнения:
б) плоскости
в) перпендикуляра
;
к плоскости
г) прямой, проходящей через точку
;
параллельно
д) плоскости, проходящей через точку
3. При каких значения
и ;
б) параллельна прямой
г) пересекается с
;
4. Показать, что точка
расстояние от точки
параллельно плоскости
.
и прямая L:
а) проходит через точки
в) перпендикулярна
;
;
.
. Найти соответствующее значение . Найти
до прямой .
7. Найти каноническое и параметрические уравнения прямой и построить
еѐ.
8. Даны уравнения плоскости
и прямой :
а)
проверить, что
б)
найти
в)
написать уравнение плоскости, проходящей через
;
и координаты точки пересечения
9. Построить на плоскости и в пространстве.
10. Привести к каноническому виду и построить.
Задания 2, 5, 6, 11 – индивидуальные.
14
и .
.
ЗАДАНИЯ
Вариант 1
1.
2. Дана прямая
через
. Составить уравнение прямой, проходящей
под углом
к данной прямой.
3.
4.
5. Вычислить объѐм пирамиды, ограниченной плоскостью
и координатными плоскостями.
6. Доказать,
что
прямые
и
принадлежат одной плоскости, и найти уравнение этой плоскости.
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ѐ)
.
10. а)
б)
в)
;
г)
11. Составить уравнение множества точек, равноотстоящих от окружности
и от точки
.
14
Вариант 2
1.
2. Составить уравнение прямой, если точка
служит основанием
перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.
3.
4.
5. Вычислить площадь треугольника, который получается от пересечения
координатного угла
6. Даны
и плоскости
вершины
.
Составить
.
треугольника
параметрические
уравнения
его
медианы,
проведенной из вершины .
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ѐ)
.
10. а)
б)
в)
;
г)
11. Составить уравнение множества точек, равноотстоящих от окружности
и от точки
.
15
Вариант 3
1.
2. Луч света направлен по прямой
Дойдя до прямой
, луч от неѐ отразился. Составить уравнение прямой, на
которой лежит отражѐнный луч.
3.
4.
5. Составить уравнение геометрического места точек, отклонение которых
от плоскости
6. Доказать
равно 2.
параллельность
прямых
и
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ѐ)
.
10. а)
б)
в)
;
г)
11. Составить уравнение поверхности, сумма квадратов расстояний от
каждой точки которой до точек
и
16
равна 16.
Вариант 4
1.
2. Даны последовательно вершины выпуклого четырѐхугольника
Определить точку пересечения диагоналей.
3.
4.
5. Вычислить
6. Доказать,
расстояние
что
от
начала
координат
прямые
до
плоскости
и
принадлежат одной плоскости, и найти уравнение этой плоскости.
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
.
10. а)
б)
в)
;
г)
11. Составить уравнение поверхности, разность расстояний от каждой
точки которой до точек
и
равна 13.
17
Вариант 5
1.
2. Даны
вершины
треугольника
Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из
на медиану, проведѐнную
из вершины .
3.
4.
5. Доказать, что три плоскости
P2 :
P1 :
пересекаются по трѐм
, P3 :
различным параллельным прямым.
6. Даны уравнения движения точки
. Определить еѐ скорость.
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
.
10. а)
б)
в)
;
г)
11. Составить уравнение геометрического места точек, произведение
расстояний которых до двух точек
величина
и
.
18
есть постоянная
Вариант 6
1.
2. Заданы три вершины параллелограмма -
.
Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины
на сторону
.
3.
4.
5. Две грани куба лежат на плоскостях P1 :
. Вычислить объѐм этого куба.
P2 :
6. Найти проекцию точки
на прямую L:
7.
8.
.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
.
10. а)
б)
в)
;
г)
11. Составить уравнение геометрического места точек, для которых
отношение расстояния до данной точки
прямой L:
равно .
19
к расстоянию до данной
Вариант 7
1.
2. Даны середины сторон треугольника
и
.
Составить уравнения сторон этого треугольника.
3.
4.
5. Доказать, что прямые
и
6. Вычислить расстояние от точки
до прямой L:
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
.
10. а)
б)
в)
;
г)
11. Составить уравнение геометрического места точек, сумма расстояний
которых до двух данных точек
и
равна 10.
20
Вариант 8
1.
2. Даны вершины треугольника A
и C
. Найти
уравнение описанной окружности.
3.
4.
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
и
перпендикулярно к плоскости P:
6. Найти расстояние между прямыми:
и
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
10. а)
б)
в)
;
г)
11. Составить уравнение геометрического уравнения точек, сумма
расстояний которых до двух данных точек
и
равна 12.
21
Вариант 9
1.
2. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин
и уравнения двух биссектрис
и
.
3.
4.
5. Составить уравнение плоскости проходящей через начало координат
перпендикулярно к двум плоскостям P1:
P2:
и
.
6. Вычислить расстояние между прямыми L1:
L2:
и
.
7.
8.
.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
10. а)
б)
в)
;
г)
11. Составить уравнение геометрического места точек, расстояние от
каждой до точки
вдвое меньше расстояния до точки
.
22
Вариант 10
1.
2. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку
и
отсекает от координатного угла треугольник с площадью 12 кв. ед.
3.
4.
5. Вычислить расстояние от точки
до прямой
.
6. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую L:
и точку
.
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
.
10. а)
б)
в)
;
;
г)
11. Составить уравнение поверхности, сумма квадратов расстояний от
каждой точки которой до точек
и
23
равна 100.
Вариант 11
1.
2. Составить уравнения сторон треугольника, если известны одна из его
вершин
и уравнения двух медиан
.
3.
4.
5. Составить
уравнение плоскости,
которая
перпендикулярно к двум плоскостям P1:
проходит через
точку
и
P2 :
6. В
треугольнике
известны
вершины
. Составить параметрическое уравнение его высоты из вершины
на сторону
7.
.
.
8.
.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
10. а)
б)
в)
г)
11. Составить уравнение поверхности, каждая точка которой удалена
одинаково от прямой L:
и плоскости
. Построить еѐ.
24
Вариант 12
1.
2. Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из вершин
и уравнения двух высот L1:
и L2:
.
3.
4.
5. Составить уравнение плоскости, которая
проходит через точки
перпендикулярно плоскости P:
6. Даны вершины треугольника
.
Составить каноническое уравнение биссектрисы его внешнего угла при .
7.
.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
10. а)
б)
в)
г)
11. Составить уравнение сферы, если точки
являются концами одного из еѐ диаметров.
25
Вариант 13
1.
2. Составить уравнения сторон треугольника, если известны две его
вершины
и
и
– точка пересечения высот.
3.
4.
5. Вычислить расстояние от точки
до плоскости
P:
6. Даны вершины треугольника
.
Составить каноническое уравнение биссектрисы внутреннего угла при .
7.
.
8.
9. а)
в)
б)
г)
;
д)
е)
ж)
10. а)
б)
в)
г)
11. Найти уравнение проекции прямой L:
P:
26
на плоскость
Вариант 14
1.
2. Даны две смежные вершины квадрата
и
. Составить
уравнения сторон этого квадрата.
3.
4.
5. Даны вершины треугольника
.
Составить параметрические уравнения его высоты, опущенной из вершины
на сторону
.
6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно прямым
и
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
.
10. а)
б)
в)
г)
11. Составить уравнение множества точек плоскости, расстояния от
которых до точки
в 2 раза меньше расстояния до прямой L :
27
Вариант 15
1.
2. Составить уравнение биссектрисы острого угла, образованного двумя
прямыми L1:
и L2:
3.
4.
5. Доказать
параллельность
прямых
и
6. Составить канонические уравнения прямой, которая проходит через
точку
параллельно плоскости
и
пересекает прямую L:
7.
8.
.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
.
10. а)
б)
в)
г)
11. Найти центр и радиус окружности
28
.
Вариант 16
1.
2. Точка
на прямой
является вершиной квадрата, диагональ которого лежит
Составить уравнения сторон и другой диагонали
этого квадрата.
3.
4.
5. Вычислить
расстояние
между
прямыми
и
6. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения
двух плоскостей
и
перпендикулярно
плоскости
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
10. а)
б)
в)
г)
11. Составить уравнение поверхности, модуль разности расстояний от
каждой точки которой до точек
и
равен 6.
29
Вариант 17
1.
2. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину
,
а
так
же
уравнения
высоты
и
медианы
, проведѐнных из различных вершин.
3.
4.
5. Доказать, что плоскость P:
ограниченного точками
не пересекает отрезка,
и
.
6. Составить уравнение движения точки
положение
,
направлении вектора
движется
, которая, имея начальное
прямолинейно
и
равномерно
в
со скоростью
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
10. а)
б)
в)
г)
11. Составить уравнение эллипсоида, осями симметрии которого служат
оси координат, если на его поверхности заданы три точки
и
.
30
Вариант 18
1.
2. Доказать,
что
прямая
ограниченный точками
пересекает
L:
и
отрезок,
.
3.
4.
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка
перпендикулярно к этому отрезку, если
6. Через точку
.
проходит прямая, параллельная плоскостям
и P2:
P1:
и
Найти параметрические
уравнения этой прямой.
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
10. а)
б)
в)
г)
.
11. Составить уравнение линии, для которой отношение расстояния до
точки
к расстоянию до прямой
31
равно
.
Вариант 19
1.
2. Стороны треугольника лежат на прямых L1:
L2 :
,
Определить точку пересечения высот
, L3 :
этого треугольника.
3.
4.
5. Доказать, что плоскости P1:
и P3:
, P2:
проходят через одну прямую.
6. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые
и L2:
L1 :
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
10. а)
б)
в)
г)
11. Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от точки
и от прямой L:
относится как
32
.
Вариант 20
1.
2. Точка
является центром квадрата, одна из сторон которого
лежит на прямой L:
Найти уравнение остальных сторон этого
квадрата.
3.
4.
5. Составить
уравнение плоскости,
которая
проходит через
перпендикулярно к двум плоскостям P1:
6. Составить параметрические уравнения высоты
если известны его вершины
точку
и P2:
.
треугольника
,
.
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
10. а)
б)
в)
г)
11. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки
вдвое меньше расстояния от прямой L:
33
Вариант 21
1.
2. Даны уравнения двух сторон прямоугольника L1:
и одна из его вершин
L2 :
и
. Вычислить площадь этого
прямоугольника.
3.
4.
5. Найти
точки
пересечения
прямой
L:
с
координатными плоскостями.
6. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости
Р:
и отстоящих от неѐ на расстоянии
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
10. а)
б)
в)
г)
11. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от
точки
и прямой L:
.
34
Вариант 22
1.
2. Даны две вершины треугольника
и
и
–
точка пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.
3.
4.
5. Составить уравнения прямых, образованных пересечением плоскости
с координатными плоскостями.
P:
6. Составить уравнение плоскости, параллельной вектору
отсекающей на координатных осях
и
и
отрезки
соответственно.
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
10. а)
б)
в)
г)
11. Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки
втрое дальше, чем от начала координат.
35
Вариант 23
1.
2. Задано уравнение одной из сторон квадрата
. Составить
уравнения трѐх остальных сторон квадрата, если известна точка пересечения
его диагоналей -
.
3.
4.
5. Составить параметрические уравнения общего перпендикуляра двух
прямых
6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно двух векторам
и
.
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
10. а)
б)
в)
г)
11. Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы
асимптоты равно .
36
до еѐ
Вариант 24
1.
2. Даны уравнения двух высот треугольника L1 :
одна из его вершин
и L2 :
и
. Составить уравнения сторон этого треугольника.
3.
4.
5. Составить
параметрические
уравнения
диаметра
сферы
, перпендикулярного к плоскости
Р
6. Доказать, что прямые L1:
и L2:
лежат в одной плоскости, и составить уравнение этой
L3 :
плоскости.
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
10. а)
б)
в)
г)
11. Составить уравнение геометрического места точек, равноудалѐнных от
двух точек
и
.
37
Вариант 25
1.
2. Даны уравнения двух медиан треугольника L1:
и одна из его вершин
L2 :
,
. Составить уравнения сторон
этого треугольника.
3.
4.
5. Составить
каноническое
уравнение
диаметра
сферы
, параллельного прямой L:
.
6. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
параллельно прямой
L1 :
L2 :
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
10. а)
б)
в)
г)
11. Составить уравнение геометрического
удалѐнных от координатных осей.
38
места
точек,
одинаково
Вариант 26
1.
2. Заданы уравнения двух сторон параллелограмма:
и уравнение одной из его диагоналей:
,
Найти координаты
вершин параллелограмма.
3.
4.
5. Составить уравнение движения точки
, которая, двигаясь
прямолинейно и равномерно, прошла расстояние от точки
точки
за промежуток времени от
до
до
.
6. Составить канонические уравнения прямой, которая проходит через
точку
параллельно плоскости Р:
пересекает прямую L:
и
.
7.
8.
9. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
.
10. а)
б)
в)
г)
11. Составить уравнение окружности, имеющей центр в точке
радиус .
39
и
Вопросы для самопроверки
1. Являются ли следующие уравнения:
а)
;
в)
д)
;
б)
;
г)
;
е)
;
уравнениями прямых?
2. Верно ли, что точка
лежит внутри круга
?
3. При каких значениях
прямая L:
касается окружности
?
4. Вычислите периметр четырехугольника, вершины которого совпадают c
вершинами эллипса
.
5. Известно, что точка
принадлежит эллипсу
.
Найдите координаты ещѐ трѐх точек, принадлежащих этому эллипсу.
6. Найдите угол между асимптотами гиперболы
.
7. Сколько осей симметрии имеет: а) парабола; б) окружность; в) эллипс;
г) гипербола?
8. При каких значениях
уравнение
является уравнением:
1) эллипса; 2) окружности; 3) гиперболы?
9. Является ли матрица
ортогональной?
10. Найти наибольшее собственное значение самосопряжѐнного оператора,
определяемого матрицей
.
40
11. Является
ли
вектор
собственным,
собственному значению
для оператора
отвечающим
, заданного матрицей
?
12. Пересекаются ли прямые L1 :
и L2 :
?
13. При каком значении плоскости Р1 :
Р2 :
и
будут перпендикулярны?
14. При каких значениях
и
плоскости Р:
прямая L:
перпендикулярна
?
15. При каком значении
прямые параллельны
и L2 :
L1
?
Ответы на вопросы для самопроверки
1. а) нет; б) нет; в) нет; г) да; д) да; е) да. 2. да. 3.
4.
. 5.
. 6.
7. а) одну; б) ; в) две; г) одну. 8. 1)
10.
. 11. да. 12. нет. 13.
; 2)
. 14.
41
.
.
; 3)
. 9. да.
. 15.
.
Вопросы для защиты
1. Какие геометрические образы в пространстве соответствуют данным
уравнениям:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
2. Написать уравнение плоскости, параллельной оси
осях
и
и отсекающей на
отрезки длиной 2 и 3 соответственно.
3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
и
перпендикулярной оси .
4. Найти необходимое и достаточное условия того, чтобы три плоскости
Р1 :
Р2 :
Р3 :
а) имели одну общую точку;
б) проходили через одну прямую;
в) были попарно параллельны друг другу;
г) образовывали «призму», т. е. чтобы линия пересечения двух
плоскостей была параллельна третьей плоскости;
д) удовлетворяли условию: две плоскости параллельны, третья их
пересекает.
5. Найти «следы», т. е. точки пересечения прямой L:
на
координатных плоскостях.
6. Показать, что параметрическое представление прямой имеет вид
, где
.
7. Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты
прямой:
42
L:
для того, чтобы она: а) пересекала ось абсцисс; б) совпадала с ней.
8. Составить каноническое уравнение прямой.
а)
б)
9. Дано уравнение кривой
каких значениях
. Определить при
прямая L:
а) имеет одну общую точку с кривой;
б) пересекает кривую в двух точках;
в) не имеет общих точек с кривой.
10. Какая линия определяется уравнениями
11. Находя собственные значения квадратичной формы, выяснить тип.
а)
б)
в)
12. Привести квадратичную форму к каноническому виду:
а)
б)
13. Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к
каноническому виду, и написать этот вид.
а)
б)
14. Установить тип кривой (поверхности), привести к каноническому виду.
Записать преобразование системы координат. Построить это преобразование
и кривую (поверхность).
а)
;
б)
;
в)
;
43
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
15. Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в
фокусах эллипса
, а две другие совпадают с концами его малой
оси.
16. Убедившись,
что
эллипсы
,
пересекаются в четырѐх точках, лежащих
на окружности с центром в начале координат, определить радиус
этой
окружности.
17. Дано уравнение равносторонней гиперболы
. Найти еѐ
уравнение в новой системе, приняв за оси координат еѐ асимптоты.
18. Доказать, что если две параболы со взаимно перпендикулярными осями
пересекаются в четырѐх точках, то эти точки лежат на одной окружности.
19. Пусть
заданы
две
прямые:
. Доказать, что прямые
и
и
лежат в одной плоскости
в том и только в том случае, если выполнено условие:
20. Доказать, что уравнение прямой, проходящей через две данные точки
и
, может быть записано в следующем виде:
21. Вывести формулы для нахождения расстояния от
прямой L:
и расстояния между двумя прямыми в
44
до
Приложение 1
Таблица 1
Прямая и плоскость в пространстве
№
1
Вид уравнения (условие)
Формула (правило)
Уравнение плоскости, проходящей
через точку
перпендикулярно вектору
2
Уравнение плоскости, проходящей
через точки
и
3
Общее уравнение плоскости
4
Уравнение плоскости в отрезках
5
Угол между плоскостями
6
Условие параллельности плоскостей
7
Условие перпендикулярности
плоскостей
8
Расстояние от точки
до плоскости
9
Уравнение прямой, проходящей
через точки
и
45
Продолжение таблицы 1
№
Вид уравнения (условие)
Формула (правило)
10 Каноническое уравнение прямой,
проходящей через точку M0(x0, y0, z0)
параллельно вектору
11 Параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку M0(x0, y0, z0)
параллельно вектору
12 Приведение уравнения прямой
Правило:
1) исключим ;
2) исключим ;
к каноническому виду
3) разрешим каждое уравнение
относительно .
13 Условие параллельности прямых
14 Условие перпендикулярности прямых
15 Угол между прямой
и плоскостью
16 Точка пересечения прямой
Решим
с плоскостью
46
Приложение 2
Цилиндрические поверхности
Эллиптический цилиндр
z
y
x
Гиперболический цилиндр
z
x
y
Параболический цилиндр
z
x
y
47
Приложение 3
Поверхности вращения
Сфера
z
y
x
Трехосный эллипсоид
z
y
x
Однополостный гиперболоид
z
y
x
48
Двуполостный гиперболоид
z
y
x
Эллиптический параболоид
z
y
x
49
Гиперболический параболоид
z
x
y
Конус второго порядка
z
y
x
50
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры /
П. С. Александров. – М. : Наука, 1979. – 511 с.
2. Апатенок Р. Ф. Элементы линейной алгебре и аналитической геометрии /
Р. Ф. Апатенок, А. М. Маркина, Н. В. Попова, В. Б. Хейнман. – Минск :
Вышэйшая школа, 1986. – 272 с.
3. Апатенок Р. Ф. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической
геометрии / Р. Ф. Апатенок. – Минск : Вышэйшая школа, 1990. – 286 с.
4. Беклемишев Д. Д. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры /
Д. Д. Беклемишев. – М. : Наука, 1988. – 360 с.
5. Беклемишева Л. А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной
алгебре / Л. А. Беклемишева, А. Ю. Петрович, И. С. Чубаров. – М. :
ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 496 с.
6. Высшая математика: Общий курс / Под ред. А. И. Яблонского. – Минск :
Вышэйшая школа, 1993. – 464 с.
7. Дьедоне Ж. Линейная алгебра и аналитическая геометрия / Ж. Дьедоне. –
М. : Наука, 1972. – 320 с.
8. Ильин В. А. Аналитическая геометрия / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. – М. :
Наука, 1971. – 232 с.
9. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике / В. П. Минорский.
– М. : Наука, 1987. – 289 с.
10. Постников М. М. Лекции по геометрии / М. М. Постников. – М. : Наука,
1988. – 390 с.
11. Тышкевич Р. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия /
Р. И. Тышкевич, А. С. Феденко. – Минск : Вышэйшая школа, 1976. – 544 с.
12. Федорчук В. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры /
В. В. Федорчук. – М. : НЦ ЭНАС, 2003. – 513 с.
51
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ……………………………………………………........................
3
Примеры решений типовых заданий ……………………………………..
4
Условия заданий ……………………………………………………………
13
Задания ……………………………………………………………………...
14
Вопросы для самопроверки ………………………………………………..
40
Ответы на вопросы для самопроверки ……………………………………
41
Вопросы для защиты ……………………………………………………….
42
Приложение 1. Прямая и плоскость в пространстве …………………….
45
Приложение 2. Цилиндрические поверхности …………………………...
47
Приложение 3. Поверхности вращения …………………………………..
48
Библиографический список ……………………………………………….
51
ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ.
КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Методические указания и задания по аналитической геометрии
для студентов 1-го курса.
Агапова Елена Григорьевна
Битехтина Екатерина Андреевна
Главный редактор
Редактор
Подписано в печать . Формат 60х84 1/16.
Бумага писчая. Гарнитура «Таймс». Печать цифровая.
Усл. печ. л. 2,32. Тираж 300 экз. Заказ .
Издательство Тихоокеанского государственного университета.
680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.
Отдел оперативной полиграфии издательства
Тихоокеанского государственного университета.
680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.
52