Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
Лекция 6
В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида
Ly ≡ y ( n ) + a1 ( x) y ( n−1) + ... + an ( x) y = f ( x)
(1)
при условии, что все функции ai ( x), i = 1, 2,..., n , а также f ( x) непрерывны на множестве
X , где X - некоторое подмножество числовой прямой, например, отрезок, интервал,
полупрямая или вся числовая прямая.
§1.
Общие свойства линейных ОДУ n-го порядка.
Определение .
Функция y ( x) ∈ C n ( X )
подстановке (1) обращается в тождество.
10.
называется решением уравнения (1), если при ее
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
К уравнению (1) могут быть добавлены начальные условия
y ( x0 ) = y10 , y′( x0 ) = y20 , ... , y ( n−1) ( x0 ) = yn0 ,
x0 ∈ X .
Полученная задача (1)–(2) называется задачей Коши.
(2)
Теорема 1. Решение задачи Коши (1)–(2) существует и единственно на любом сегменте
[a, b] ∈ X .
Доказательство основано на теореме о существовании и единственности решения для
системы ОДУ в случае, когда правая часть непрерывна и удовлетворяет условию Липшица в
полосе (см. Теорему 2 из §5 Гл. 2).
Действительно, замена y = y1 , y′ = y2 , ... , y ( n−1) = yn приводит к системе
dyn
dy1
dy2
= y2 ,
= y3 , ... ,
= f ( x) − a1 ( x) yn − ... − an ( x) y1 ,
dx
dx
dx
fi ( x, y1 , y2 ,..., yn ),
i = 1, 2,..., n , как легко видеть, непрерывны в
правые части которой
полосе
{ x ∈ [a, b],
yi ∈ R} и удовлетворяют условию Липшица
n
fi ( x, y1 , y2 ,..., yn ) − fi ( x, y1 , y2 ,..., yn ) ≤ N ⋅ ∑ yk − yk ,
с постоянной
Пример.
Обозначим
(
)
i = 1, 2,..., n
k =1
N = max ⎡1, max max ai ( x) ⎤ .
⎢⎣
⎥⎦
[ a ,b ]
i
Рассмотрим задачу Коши для уравнения второго порядка
y = y1 ,
y ′ = y2 ,
m( x) y′′ + η ( x) y′ + k ( x) y = f ( x) ,
y ( x0 ) = y0 ,
y′( x0 ) = v0 .
тогда эквивалентная задача Коши для нормальной системы
относительно вектор-функции ψ 1 ( x) = { y1 ( x) , y2 ( x)} имеет вид
⎧ y1′ = y2
⎧⎪ y1 ( x0 ) = y0
⎪
.
⎨
k
η
1
⎨
⎪⎩ y2 ( x0 ) = v0
⎪⎩ y2′ = − m y1 − m y2 − m f
Решение рассматриваемой задачи существует и единственно.
20.
Некоторые следствия линейности уравнения.
Заметим, что оператор Ly ≡ y ( n ) + a1 ( x) y ( n−1) + ... + an ( x) y
в уравнении (1) является
линейным и действует из C n ( X ) в C ( X ) . Сформулируем ряд утверждений, являющихся
следствием линейности указанного оператора.
Теорема 2 (принцип суперпозиции).
Пусть в уравнении (1)
M
f ( x) = ∑ Ci f i ( x) , где Ci - некоторые постоянные, а
i =1
решения уравнений Lyi = f i ( x),
yi ( x) -
i = 1, 2,..., M .
M
Тогда функция y ( x) = ∑ Ci yi ( x) является решением уравнения (1).
i =1
M
Доказательство производится путем прямой подстановки функции y ( x) = ∑ Ci yi ( x) в (1):
i =1
M
Ly ≡ L ∑ Ci yi ( x ) = C1 Ly1 + C2 Ly2 + ... + CM LyM = C1 f1 ( x ) + C2 f 2 ( x) + ... + CM f M ( x ) = f ( x) .
i =1
Тривиальным следствием доказанной теоремы являются следующие три утверждения.
Любая линейная комбинация решений однородного уравнения
Ly ≡ y ( n ) + a1 ( x) y ( n−1) + ... + an ( x) y = 0
также есть решение этого однородного уравнения.
Теорема 3.
(3)
Теорема 4. Разность любых двух решений неоднородного уравнения (1) является решением
соответствующего однородного уравнения (3).
Пусть функция z ( x ) = u ( x ) + iv ( x ) удовлетворяет уравнению
Lz = f1 ( x) + if 2 ( x ) .
(*)
Тогда функции u ( x) и v ( x ) - решения уравнений
Lu = f1 ( x) и Lv = f 2 ( x) .
(**)
Верно и обратное утверждение, т.е. если u ( x) и v ( x ) есть решения уравнений (**), то
z ( x ) = u ( x ) + iv ( x ) является решением (*).
Теорема 5.
§2.
Линейное однородное уравнение.
Рассмотрим однородное уравнение
Ly ≡ y ( n ) + a1 ( x) y ( n−1) + ... + an ( x) y = 0
(3)
и выясним структуру его решений. Легко видеть, что множество решений (3) образует
линейное пространство. В связи с этим возникают вопросы:
1. какова размерность этого пространства;
2. как построить базис указанног пространства.
Сформулируем еще два определения.
Определение 1.
Функции y1 ( x),… , ym ( x ) называются линейно зависимыми на отрезке
[a, b ] , если существует такой набор постоянных C1 ,… , Cm , среди которых хотя бы одна
отлична от нуля, что выполнено равенство
C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) + ... + Cm ym ( x) ≡ 0
x ∈ [ a, b ] .
(4)
Если (4) выполняется лишь в случае C1 = C2 = … = Cm = 0 , то функции y1 ( x ),… , ym ( x )
линейно независимы на отрезке [a, b ] .
Пусть y1 ( x),… , yn ( x) - совокупность n − 1 раз дифференцируемых на отрезке [a, b ]
функций (не обязательно решений уравнения (3)).
Определение 2.
Определителем Вронского системы
n
функций
y1 ( x),… , yn ( x)
называется определитель
y1 ( x ) … …
yn ( x )
y1′ ( x ) … …
yn′ ( x )
(5)
W ( x) ≡ W [ y1 , y2 ,..., yn ] =
…
… …
…
y1( n −1) ( x ) … … yn( n −1) ( x )
Теорема 6. Пусть функции y1 ( x),… , yn ( x) линейно зависимы на отрезке [a, b ] .
Тогда определитель Вронского этой системы функций W ( x) ≡ W [ y1 , y2 ,..., yn ] ≡ 0,
x ∈ [ a, b] .
Доказательство. По предположению существует ненулевой набор констант, для которого
C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) + ... + Cn yn ( x) = 0,
x ∈ [ a, b] . Дифференцируя
имеет место тождество
n − 1 раз, получим
C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) + ... + Cn yn ( x) = 0
⎧
⎪
C1 y1′( x) + C2 y2′ ( x) + ... + Cn yn′ ( x) = 0
⎪
⎨
....
....
....
....
....
⎪
−
−
−
(
n
1)
(
n
1)
(
n
⎪⎩C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) + ... + Cn yn 1) ( x) = 0
x ∈ [ a, b ]
Если рассматривать записанные тождества как систему уравнений относительно
неизвестных C1 ,… , Cn , она имеет нетривиальное решение (в силу предположения о линейной
зависимости). Следовательно, W ( x ) ≡ 0, x ∈ [a, b] , что и требовалось доказать.
Теорема 7. Пусть теперь функции y1 ( x),… , yn ( x) - линейно независимые на отрезке [a, b ]
решения однородного уравнения (3).
Тогда определитель Вронского этой системы функций W ( x) ≡ W [ y1 , y2 ,..., yn ] ≠ 0, ∀x ∈ [a, b] .
x0 ∈ [ a, b ] такая, что
Рассмотрим следующую алгебраическую систему относительно неизвестных
Доказательство.
W ( x0 ) = 0 .
Предположим обратное, т.е. пусть существует точка
C1 ,… , Cn :
C1 y1 ( x0 ) + C2 y2 ( x0 ) + ... + Cn yn ( x0 ) = 0
⎧
⎪
C1 y1′( x0 ) + C2 y2′ ( x0 ) + ... + Cn yn′ ( x0 ) = 0
⎪
(6)
⎨
....
....
....
....
....
⎪
⎪⎩C1 y1( n −1) ( x0 ) + C2 y2( n −1) ( x0 ) + ... + Cn yn( n −1) ( x0 ) = 0
Так как ее определитель W ( x0 ) = 0 , то существует нетривиальное решение C10 ,…, Cn0 .
Рассмотрим функцию
y( x) = C10 y1 ( x) + C20 y2 ( x) + ... + Cn0 yn ( x) = 0 ,
(7)
которая является решением однородного уравнения (3). Дифференцируя (7) и учитывая
соотношения (6), получим
y( x0 ) = 0, y′( x0 ) = 0, ... , y ( n−1) ( x0 ) = 0 .
(8)
Далее, в силу теоремы единственности решения (Теорема 1) существует единственное решение
y( x) ≡ 0 , удовлетворяющее условиям (8), что означает (см. (7)) линейную зависимость функций
y1 ( x),… , yn ( x) , что противоречит условию теоремы. Теорема доказана.
Из доказанных теорем 6 и 7 вытекает
Следствие. Определитель Вронского некоторой системы решений однородного уравнения
Ly ≡ y ( n ) + a1 ( x) y ( n −1) + ... + an ( x) y = 0
либо тождественно равен нулю на отрезке [ a, b] , и тогда эти решения линейно зависимы, либо
не обращается в ноль ни в одной точке отрезка [ a, b] ; в этом случае рассматриваемые решения
линейно независимы.
Определение 3.
Совокупность любых n (число n - порядок уравнения) линейно
независимых на отрезке [ a, b] решений уравнения (3),
называется фундаментальной
системой решений (ФСР) однородного линейного дифференциального уравнения.
Следствие. Определитель Вронского, составленный из функций, входящих в ФСР, отличен от
нуля.
Теорема 8 (о существовании ФСР).
Всякое линейное однородное дифференциальное
уравнение с непрерывными коэффициентами имеет ФСР.
Доказательство. Зададим произвольный числовой, отличный от нуля, определитель:
a11 ...a1k ...a1n
Δ=
a21...a2 k ...a2 n
....................
an1 ...ank ...ann
≠0
Построим n решений y1 ( x),… , yn ( x) следующих задач Коши:
Ly = 0
⎧
⎪ y (x ) = a ,
1k
⎪⎪ k 0
k = 1, 2,..., n
⎨ y′k ( x0 ) = a2 k ,
⎪ .......................
⎪ ( n −1)
⎪⎩ yk ( x0 ) = ank .
Составим определитель Вронского для этих решений. Очевидно, что
W ( x0 ) = Δ ≠ 0 .
Следовательно, решения y1 ( x),… , yn ( x) линейно независимы, т.е. образуют ФСР, что и
требовалось доказать.
Замечание. Так как существует множество способов задать определитель Δ, фигурирующий в
доказательстве теоремы 8, то ФСР однородного линейного дифференциального уравнения
определена неединственным образом.
Теорема 9.
Пусть y1 ( x),… , yn ( x) - ФСР линейного однородного уравнения
Ly ≡ y ( n ) + a1 ( x) y ( n −1) + ... + an ( x) y = 0 .
Тогда любое решение
z ( x)
этого уравнения представимо в виде
n
z ( x) = ∑ Ci yi ( x ) , где
i =1
C1 ,… , Cn - некоторые постоянные.
Доказательство. Пусть z ( x) - решение задачи Коши
Lz = 0
⎧
⎪ z( x ) = z 0 ,
0
1
⎪⎪
0
′
=
z
(
x
)
z
⎨
0
2,
⎪.......................
⎪
⎪⎩ z ( n −1) ( x0 ) = zn0 .
(9)
n
Покажем, что можно выбрать постоянные C1 ,… , Cn так, что z ( x) = ∑ Ci yi ( x ) .
i =1
Подставив это выражение в начальные условия в (9), получим систему
⎧
C1 y1 ( x0 ) + C2 y2 ( x0 ) + ... + Cn yn ( x0 ) = z10
⎪
C1 y1′( x0 ) + C2 y2′ ( x0 ) + ... + Cn yn′ ( x0 ) = z20
⎪
⎨
....
....
....
....
....
⎪
−
−
−
n
n
n
(
1)
(
1)
(
1)
⎪⎩C1 y1 ( x0 ) + C2 y2 ( x0 ) + ... + Cn yn ( x0 ) = zn0 ,
определитель которой W ( x0 ) ≠ 0 , т.е. система имеет решение C10 ,… , Cn0 . Составим функцию
n
z 0 ( x) = ∑ Ci0 yi ( x)
и заметим, что она также является решением задачи Коши (9). Но по
i =1
Теореме 1 решение задачи Коши (9) единственно. Следовательно,
n
z ( x) ≡ z 0 ( x) = ∑ Ci0 yi ( x),
x ∈ [ a, b] ,
i =1
что и требовалось доказать.
Замечание. Выражение
n
z ( x) = ∑ Ci yi ( x ) , где набор функций
i =1
y1 ( x),… , yn ( x)
есть ФСР,
дает общее решение однородного линейного уравнения. Доказанная теорема утверждает, что
ФСР образует базис в пространстве решений однородного линейного уравнения.
§3.
Неоднородное линейное уравнение.
10.
Общее решение неоднородного уравнения.
Рассмотрим уравнение
Ly ≡ y ( n ) + a1 ( x) y ( n−1) + ... + an ( x) y = f ( x)
Пусть y ( x) - некоторое частное решение (1).
(1)
Теорема 10.
Любое решение y ( x)
неоднородного линейного дифференциального
уравнения (1) представимо в виде суммы его частного решения y ( x) и общего решения z ( x )
соответствующего однородного уравнения, т.е.
n
y ( x) = y ( x) + z ( x) ≡ y ( x) + ∑ Ci yi ( x) ,
i =1
0
1
0
n
где y1 ( x),… , yn ( x) есть ФСР, а C ,… , C - произвольные постоянные.
Доказательство. Пусть y ( x) - любое решение уравнения (1). Легко видеть (в силу
линейности), что функция z ( x ) = y ( x) − y ( x ) удовлетворяет однородному уравнению. Тогда
n
y ( x) − y ( x) = ∑ Ci yi ( x) , что и доказывает утверждение теоремы.
i =1
20.
Функция Коши.
Если нам известна ФСР однородного уравнения, то можно построить частное решение
соответствующего неоднородного уравнения, удовлетворяющее нулевым начальным условиям.
Рассмотрим следующую задачу Коши:
Ly = 0
a <ξ < x<b
⎪⎧
.
⎨
( n −1) )
(ξ ) = 1
⎪⎩ y (ξ ) = 0, y′(ξ ) = 0, ,...., y
Известно, что ее решение существует и непрерывно вместе с производными зависит от
параметра ξ . Обозначим K ( x, ξ ) - решение этой специальной задачи.
Примеры.
1)
2)
⎧ y′ − y = 0
,
==> y ≡ K ( x, ξ ) = e x −ξ ;
⎨
=
y
1
ξ
⎩ ( )
y ′′ + y = 0
⎧
,
==> y ≡ K ( x, ξ ) = sin( x − ξ ) .
⎨
⎩ y (ξ ) = 0, y′(ξ ) = 1
Определение.
K ( x, ξ ) , являющаяся решением специальной задачи Коши
Функция
a <ξ < x <b
⎧ Lx K ( x, ξ ) = 0
⎨
( n −1)
⎩ K (ξ , ξ ) = 0, K x′ (ξ , ξ ) = 0, , .... , K x (ξ , ξ ) = 1
называется функцией Коши уравнения (1).
x
Теорема 11.
y ( x) = ∫ K ( x, ξ ) f (ξ ) dξ ,
Функция
где K ( x, ξ ) - функция Коши
x0
уравнения (1), является решением задачи Коши для неоднородного уравнения (1) с нулевыми
начальными условиями, т.е.
x ∈ [ a, b ]
⎧ Ly = f ( x),
.
⎨
( n −1)
x0 ∈ [a, b]
⎩ y ( x0 ) = y′( x0 ) = ... = y ( x0 ) = 0,
x
y ( x) = ∫ K ( x, ξ ) f (ξ ) dξ
Доказательство. Мы должны убедиться в том, что функция
x0
удовлетворяет уравнению и указанным нулевым начальным условиям. Непосредственно
проверяется:
начальные условия
t
y = ∫ K ( x, ξ ) f (ξ ) dξ
an ( x) ×
⇒
y ( x0 ) = 0
⇒
y′( x0 ) = 0
⇒
y′′( x0 ) = 0
⇒
y ( n −1) ( x0 ) = 0
t0
x
y′ = K ( x, x) f ( x) + ∫ K x′ ( x, ξ ) f (ξ )dξ
an −1 ( x) ×
=0
x0
x
y′′ = K x′ ( x, x) f ( x) + ∫ K x′′( x, ξ ) f (ξ )dξ
an − 2 ( x) ×
=0
x0
...........................................................
a1 ( x) ×
y
( n −1)
=K
( n − 2)
x
x
( x, x) f ( x) + ∫ K x( n −1) ( x, ξ ) f (ξ )dξ
=0
x0
x
1×
y ( n ) = K x( n −1) ( x, x) f ( x) + ∫ K x( n ) ( x, ξ ) f (ξ )d ξ
=1
x0
Умножая an − k ( x) на y ( k ) ( x) и складывая полученные равенства, имеем
x
Ly = f ( x) + ∫ Lx K ( x, ξ ) f (ξ )d ξ = f ( x) ,
x0
=0
x
т.е. функция
y ( x) = ∫ K ( x, ξ ) f (ξ ) dξ
удовлетворяет уравнению (1) и нулевым начальным
x0
условиям. Теорема доказана.
Примеры.
1)
2)
⎧ y′ − ay = f ( x)
⎨
⎩ y (0) = 0
⎧ y′′ + y = f ( x)
⎨
⎩ y (0) = 0, y′(0) = 0
x
y ( x) = ∫ e a( x −ξ ) f (ξ ) d ξ
⇒
0
x
y = ∫ sin( x − ξ ) f (ξ ) d ξ .
⇒
0
30.
Метод вариации постоянных.
Теорема 12 .
Пусть y1 ( x) , ... , yn ( x) – ФСР однородного уравнения
Ly ≡ y ( n ) + a1 ( x) y ( n −1) + ... + an ( x) y = 0 .
n
Тогда функция y ( x) = ∑ ci ( x) yi ( x) будет решением неоднородного уравнения (1), если
i =1
c i ( x) удовлетворяют системе линейных уравнений
⎧ n ′
( j)
⎪∑ ci ( x) yi ( x) = 0,
⎪ i =1
⎨ n
⎪ c ′ ( x) y ( n −1) ( x) = f ( x)
i
i
⎪⎩∑
i =1
j = 0,1, 2,..., n − 2
(10)
Доказательство. Система (10) однозначно разрешима относительно ci′ ( x ) , так как
определитель этой системы есть определитель Вронского W ( x) ≠ 0 . Заметим, что вектор –
функции
ψ 1 ( x) = y1 ( x) , ... , y1( n −1) ( x) , ... , ψ n ( t ) = yn ( x) , ... , yn( n −1) ( x)
{
}
{
}
образуют ФСР решений для системы уравнений
ψ ′ = A( x)ψ .
Нетрудно показать (сделайте это самостоятельно), что если ci′ ( x ) удовлетворяют уравнениям
(10), то функция
n
z ( x ) = ∑ ci ( x )ψ i ( x )
i =1
является решением неоднородной системы
z ′ = A( x) z + F ( x) ,
где
1
0
⎛ 0
⎜
0
1
⎜ 0
A( x) = ⎜ …
…
…
⎜
0
0
⎜ 0
⎜ −a ( x) −a ( x) −a ( x)
n −1
n−2
⎝ n
…
…
…
…
…
⎞
⎟
0 ⎟
… ⎟,
⎟
0 ⎟
− a1 ( x) ⎟⎠
0
F ( x) = {0, … , 0, f ( x)} .
n
n
i =1
i =1
Но тогда первая координата вектора z ( x) , т.е. функция y ( x) = ∑ ci ( x)ψ i1 ( x) = ∑ ci ( x) yi ( x)
есть решение (1).
Замечание 1 (физический смысл функции Коши).
Ly ( x) = δ ( x − ξ 0 )
⎫
⎬
( n −1)
y ( x0 ) = 0, y′( x0 ) = 0,… , y ( x0 ) = 0 ⎭
– функция влияния мгновенного
сосредоточенного в т. ξ0 , на точку x.
по определению
x
⇒
y ( x) =
∫
K ( x, ξ )δ (ξ − ξ 0 )dξ
δ − функции
=
x0
единичного
источника
K ( x, ξ 0 ) .
("импульсная"
функция),
Замечание 2. Для уравнения с постоянными коэффициентами функция Коши может быть
найдена по формуле (докажите самостоятельно)
y1 (ξ )
y2 (ξ ) ... yn (ξ )
K (x, ξ ) =
1
W (x )
y1′ (ξ )
y2′ (ξ )
...
yn ′ ( ξ )
...
...
...
...
y1(n −2) (ξ ) y2(n −2) (ξ ) ... yn(n −2) (ξ )
y1(x )
§ 4.
.
y2 (x )
...
yn (x )
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим теперь частный случай линейного дифференциального уравнения линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами
(1п)
Ly = y ( n ) + a1 y ( n −1) + ... + an y = f ( x ),
ai = const
10.
Общее решение однородного уравнения.
Нетривиальные частные решения однородного уравнения
Ly = y ( n ) + a1 y ( n −1) + ... + an y = 0,
ai = const
(2п)
λx
будем строить в виде y ( x ) = Ce , где C ≠ 0 и λ - постоянные (метод Эйлера). Подставляя в
(2п) получим:
L ⎡⎣Ce λ x ⎤⎦ = C ⎡⎢⎣ λ n + a1λ n −1 + ... + an ⎤⎥⎦ e λ x ≡ CM (λ )eλ x = 0 ⇒ M (λ ) = 0
Определение.
Многочлен M (λ ) = λ n + a1λ n −1 + ... + an , называется характеристическим
многочленом уравнения (1п), а уравнение
(3п)
M (λ ) = λ n + a1λ n −1 + ... + an = 0
называется характеристическим уравнением для (1п).
Очевидно, что характеристическое уравнение имеет ровно n корней (с учетом
кратности). Рассмотрим несколько возможных вариантов.
1.
Характеристическое уравнение (3п) имеет n различных (простых) корней λ1 , λ2 ,... λn :
M (λk ) = 0 . Каждому корню λk соответствует функция yk ( x) = eλk x , k = 1, 2,..., n , которая
является решением однородного уравнения (2п), так как в силу (3л) имеет место
⇒
M (λk ) = 0
L ⎡⎣ e λk x ⎤⎦ = M (λk )e λk x = 0 .
Теорема 13.
Пусть корни характеристического многочлена (3п) простые.
Тогда функции yk ( x) = eλk x , k = 1, 2,..., n образуют ФСР уравнения (2п).
Доказательство. Для доказательства достаточно показать линейную независимость
указанной системы функций. Предположим обратное, т.е. пусть существует набор констант
n
C1 , C2 , ... , Cn ,
∑C
i =1
2
i
≠ 0 , что выполнено соотношение
C1e λ1 x + C2 e λ2 x + ... + Cn e λn x = 0 .
(4п)
λn x
Положим, для определенности, C1 ≠ 0 . Разделим (4п) на e ≠ 0 и продифференцируем.
Получим
(5п)
C1 (λ1 − λn )e ( λ1 − λn ) x + C2 (λ2 − λn )e ( λ2 − λn ) x + ... + Cn −1 (λn −1 − λn )e ( λn−1 − λn ) x = 0 .
Разделим (5п) на e( λn−1 −λn ) x ≠ 0 и снова продифференцируем:
C1 (λ1 − λn )(λ1 − λn −1 )e ( λ1 − λn−1 ) x + C2 (λ2 − λn )(λ2 − λn −1 )e ( λ2 − λn−1 ) x + ... + Cn − 2 (λn − 2 − λn −1 )e ( λn−2 − λn−1 ) x = 0 .
Выполнив указанную процедуру n − 1 раз, будем иметь
C1 (λ1 − λn ) ⋅ (λ1 − λn −1 ) ⋅ ... ⋅ (λ1 − λ2 )e ( λ1 − λ2 ) x = 0 .
Отсюда следует, что C1 = 0 , так как e( λ1 −λ2 ) x ≠ 0 и все λi различны по предположению.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Таким образом, в случае простых корней характеристического уравнения общее
решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами имеет вид
n
y ( x ) = ∑ Ck e λk x .
k =1
Замечание. В случае комплексных корней пару комплекснозначных функций e(α +iβ ) x , e(α −iβ ) x ,
отвечающих паре комплексно сопряженных корней
λk = α + i β , λk +1 = α − i β , обычно
заменяют функциями eα x cos β x, eα x sin β x
действительные функции.
2.
и получают ФСР, содержащую только
Пусть характеристическое уравнение M (λ ) = 0 (3п) имеет кратные корни, т.е.
M (λ ) = ( λ − λ1 ) 1 ( λ − λ2 ) 2 ...( λ − λs ) s ...( λ − λm ) m = 0 ,
k
k
k
k
где ks - кратность корня λs , причем k1 + k2 + ... + ks + ... + km = n . В этом случае ФСР выглядит
иначе. Далее рассмотрим случай, когда имеется один кратный корень.
Теорема 14 .
Пусть
λi ,
i = 1, 2,..., k = n − p - простые корни характеристического
уравнения, а λk +1 - корень кратности p.
Тогда корню λk +1 отвечает p линейно независимых частных решений уравнения (2п)
eλk +1x , xeλk +1x , x 2 eλk +1x , ... , x p −1eλk +1x ,
т.е. n функций
eλ1x , eλ2 x , ... , eλk x , eλk +1x , xeλk +1x , x2 eλk +1x , ... , x p −1eλk +1x
образуют ФСР однородного уравнения (2п).
Доказательство. Покажем, что все указанные функции удовлетворяют однородному
уравнению (2п). Это проверяется непосредственной подстановкой функций системы
eλk +1x , xeλk +1x , x 2 eλk +1x , ... , x p −1eλk +1x в уравнение (2п).
Рассмотрим тождество L ⎡⎣ e λ x ⎤⎦ = M (λ )e λ x и продифференцируем его по λ . Применяя
формулу Лейбница, получим
L ⎡⎣ xeλ x ⎤⎦ = M ′(λ )eλ x + M (λ ) xeλ x , ….
L ⎡⎣ x p e λ x ⎤⎦ = { x p M (λ ) + px p −1M ′(λ ) + ... + M ( p ) (λ )} e λ x .
Если λs – корень кратности ks , то M (λs ) = 0, M ′(λs ) = 0, ... , M ( ks −1) (λs ) = 0, M ( ks ) (λs ) ≠ 0 .
Следовательно, L ⎡⎣ x p eλ x ⎤⎦ = 0 при всех p = 0,1,..., ks − 1 , т.е. функции вида
x p e λ x , где
p = 0,1,..., ks − 1 , являются решениями однородного уравнения (2п).
Вторую часть теоремы, т.е. линейную независимость указанных функций, можно
доказать аналогично тому, как это было сделано в Теореме 13. В качестве упражнения
докажите указанное утверждение для случая корня краиности 2.
Замечание. В случае комплексных корней каждую пару комплекснозначных функций
x p e (α + iβ ) x , x p e (α −iβ ) x , отвечающих паре комплексно сопряженных кратных корней
λk = α + i β , λk +1 = α − i β , заменяют функциями x p eα x cos β x , x p eα x sin β x и получают ФСР,
содержащую только действительные функции.
20.
Неоднородное уравнение.
Напомним, что (см. §3) общее решение y ( x) неоднородного линейного
дифференциального уравнения представимо в виде суммы его частного решения y ( x) и
общего решения z ( x ) соответствующего однородного уравнения, т.е.
n
y ( x ) = y ( x ) + z ( x ) ≡ y ( x) + ∑ Ci yi ( x) ,
i =1
0
1
0
n
y1 ( x),… , yn ( x) есть ФСР, а C ,… , C - произвольные постоянные.
Общие методы поиска частных решений линейных уравнений были рассмотрены в §3.
Для уравнений с постоянными коэффициентами в случае специального вида правых частей
частные решения могут быть эффективно получены еще несколькими способами.
где
1)
Метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим уравнение с постоянными коэффициентами.
Ly = y ( n ) + a1 y ( n −1) + ... + an y = f ( x ),
(6п)
где f ( x) = Pl ( x ) eλ x , P ( x ) - многочлен степени l, λ - константа.
Утверждение 1.
Пусть λ1 , λ2 ,… , λs ,… , λm - корни характеристического уравнения M (λ ) = 0
кратностей k1 , k2 , …, k s ,…, km , где k1 + k2 + ... + ks + ... + km = n .
Тогда:
1).
Если λ ≠ λs ( s = 1,..., m) (нерезонансный случай) то частное решение уравнения (6п) ищем
в виде
y ( x) = Ql ( x ) eλ x ,
где Ql ( x ) - многочлен степени l, с неопределенными коэффициентами.
2).
Если λ = λs (кратности ks ) (резонансный случай), то частное решение уравнения (7)
ищем в виде
y ( x ) = x ks Rl ( x )e λ x ,
где Rl ( x ) - многочлен степени l с неопределенными коэффициентами.
Подставляя искомый вид решений в (6п) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях x , находим неопределенные коэффициенты многочленов Ql ( x) и Rl ( x) (метод
неопределенных коэффициентов).
Замечание 1.
уравнение Эйлера
К уравнению с постоянными коэффициентами сводится однородное
x n y ( n ) + a1 x n −1 y ( n −1) + ... + an y = 0,
если положить x = et .
Замечание 2.
Методом неопределенных коэффициентов решается неоднородное
уравнение Эйлера со специальной правой частью f ( x) = S (ln x) x λ (переходящей при замене
x = et в функцию f (t ) = S (t )eλt ).
Примеры.
1) y′′ + 4 y = e3 x , M (λ ) = λ 2 + 4 = 0, λ1,2 = ±2i ≠ λ = 3, y = Ae3 x
2) y′′ + 4 y = ( x + 2)e3 x M (λ ) = λ 2 + 4 = 0, λ1, 2 = ±2i ≠ λ = 3 , y = ( Ax + B)e3 x
3) y′′ − 4 y = ( x + 2)e 2 x M (λ ) = λ 2 − 4 = 0, λ1, 2 = ±2, m1 = 1, λ = λ1 , y = x( Ax + B)e 2 x
4) y′′′ + 3 y′′ + 3 y′ + y = ( x + 2)e − x M (λ ) = (λ + 1)3 = 0, λ1 = −1, m1 = 3, λ = λ1 = −1 y = x 3 ( Ax + B)e− x
5) y′′ − 4 y = cos 2 x = Ree ±2ix M (λ ) = λ 2 − 2 = 0, λ1, 2 = ±2, λ = ±2i, λ ≠ λk y = A cos 2 x + B sin 2 x
6) y′′ + 4 y = cos 2 x = Ree±2ix M (λ ) = λ 2 + 2 = 0 , y = x ( A cos 2 x + B sin 2 x )
2)
Операторный метод Хевисайда.
dk
d
k
, тогда D = k
Рассмотрим оператор дифференцирования D =
dx
dx
Используя оператор D, можно записать ЛДУ (7) в виде
Ly = y ( n ) + a1 y ( n −1) + ... + an y = D n y + a1 D n −1 y + ... + an −1 Dy + an y = Pn ( D ) y = f ( x)
1
Pn ( D ) y = f ( x ) , и его частное решение можно найти как y =
f ( x) .
Pn ( D )
Свойства операторного многочлена Pn ( D ) .
1
1
(v ( x ) ) .
1. Pn ( D ) kv ( x ) = kPn ( D ) v ( x ) ⇔
(kv ( x ) ) = k
Pn ( D )
Pn ( D )
2. Pn ( D ) e kx = Pn ( k ) e kx ⇔
1
e kx
.
e kx ) =
(
Pn ( D )
Pn ( k )
⎛ ⎧ sin ax ⎫ ⎞ ⎧ sin ax ⎫
⎧ sin ax ⎫
1 ⎛ ⎧ sin ax ⎫ ⎞
1
2
3. Pn ( D 2 ) ⎜ ⎨
=
⎬⎟ = ⎨
⎬ Pn ( − a ) ⇔
⎨
⎬
⎨
⎬
⎜
⎟
Pn ( D 2 ) ⎝ ⎩cos ax ⎭ ⎠ Pn ( − a 2 ) ⎩cos ax ⎭
⎝ ⎩cos ax ⎭ ⎠ ⎩cos ax ⎭
1
1
(v ( x ) ) .
4. Pn ( D ) (e kx v ( x ) ) = e kx Pn ( D + k ) (v ( x ) ) ⇔
e kx v ( x ) ) = e kx
(
Pn ( D )
Pn ( D + k )
1
5. n , n ∈ N - это операция n-кратного интегрирования.
D
(M > m )
6. (am D m + am +1D m +1 + ...aM D M ) Pm −1 ( x ) ≡ 0
1
(Fk (x ) ) = {1 ≡ Pn (D )Qk (D ) + R>k (D )} = Qk (D ) Fk (x )
Pn ( D )
1
1
1
v1 ( x ) + k2
v2 ( x )
8.
(k1v1 (x ) + k2v2 (x ) ) = k1
Pn ( D )
Pn ( D )
Pn ( D )
1
1
(v ( x ) ) =
(v ( x ) )
9.
F1 ( D ) F2 ( D )
F2 ( D ) F1 ( D )
7.
Примеры.
1) y′ = e 4 x , Dy = e 4 x ,
y ( x) = ∫ e 4 x dx =
1 4x
e
4
2) y′′ − 2 y′ − 3 y = e 4 x , ( D 2 − 2 D − 3) y = e 4 x ,
y ( x) =
1
e4 x
e4 x
4x
e
=
=
(
)
D2 − 2D − 3
42 − 2 ⋅ 4 − 3 5
1
sin 5 x
1
( sin 5 x ) = 2 = − sin 5 x
−5 + 9
16
D +9
1
1
y(x ) = 4
7x = 2 2
7x
D + D2
D ( D + 1)
3) y ′′ + 9 y = sin 5 x , ( D 2 + 9 ) y = sin 5 x ,
4) y IV + y ′′ = 7x
Вычислим
(D
4
y ( x) =
+ D 2 ) y = 7x ,
2
1
7x . Воспользуемся правилом деления многочлена «столбиком»
D +1
1
1 + D2
−
1 + D2 1 − D2 .
2
− D2
=0
1
D ⎞
D 2x
⎛
x
1
x
x
=
−
=
−
= x − 0 = x , откуда
⎜
D2 + 1
D 2 + 1 ⎟⎠
D2 + 1
⎝
1
1
7x 3
.
y(x ) = 2 2
7x = 7 2 x = 7 ∫ ∫ xdx dx =
D ( D + 1)
D
6
2
Таким образом,
(
)