9. Задачи с параметрами.

9. Задачи с параметрами.
Задачами с параметрами принято называть задачи, содержащие фиксированные, но
неизвестные числа. В зависимости от конкретных значений параметров может меняться
вид и характер задачи и, следовательно, метод ее решения. Параметры являются
переменными, управляющими ситуацией, описанной в задаче. Поэтому основой решения
задач с параметрами является, прежде всего, выяснение того, как изменение параметров
влияет на задачу. Иногда в этом помогает простая подстановка вместо параметров их
конкретных допустимых числовых значений. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Решить уравнение ах=3 при всех допустимых значениях параметра а.
Решение. Дано простейшее линейное уравнение и достаточно аккуратно
исследовать его и решить.
При а = 0 уравнение принимает вид 0 ⋅ x = 3 и решения не имеет. При a ≠ 0
3
уравнение можно решить и решением является x =
a
3
Ответ: при а = 0 решения нет; при a ≠ 0 уравнение имеет x =
a
Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение 2(а-2х)=ах+3 не имеет
решений?
Решение. Преобразуем уравнение к виду (a + 4) ⋅ x = 2a − 3. Это уравнение линейное
⎧a + 4 = 0
и оно не имеет решений при ⎨
Следовательно, а = -4.
⎩2a − 3 ≠ 0.
Ответ: уравнение не имеет решений при а= - 4.
Пример 3. При каких значениях параметра а корни x1 , x2 уравнения
x 2 + ax + 6 = 0 удовлетворяет условию x12 + x22 = 13?
Решение. Воспользуемся теоремой Виета о связи корней и коэффициентов
квадратного уравнения: x1 x2 = 6, x1 + x2 = − a. Отсюда выводим
13 = x12 + x22 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = a 2 − 12.
Следовательно, a 2 = 25; a = ±5
Ответ: a = ±5
Пример 4. При каких числовых значениях а выражения ax 2 − ax − 2 принимает
отрицательное значения при любых действительных значениях х?
Решение. Заметим, что данное выражение принципиально различно при а=0 и а≠0.
При а=0 данное в задаче выражение постоянно и равно –2 при всех значениях х. Значит
а=0 удовлетворяет условиям задачи.
Если а ≠ 0, то заданное выражение является квадратным трехчленом и вопрос о
знакопостоянстве решается сложнее. Если ax 2 − ax − 2 < 0 при всех вещественных х, то
а<0 и D = a 2 + 8a < 0. Отсюда находим -8 < a < 0.
Ответ: –8 < a < 0.
Пример 5. При каких а уравнение ( x − 1)( x − a ) = 0 имеет единственное решение?
Решение. ОДЗ: х ≥ 0, т.е. данное уравнение может иметь только неотрицательные
решения. Рассмотрим два случая.
1) x − 1 = 0, x = 1. Число х = 1является решением при любых значениях параметра а.
⎧x − a = 0
2) ⎨
. Чтобы решение исходного уравнения было единственно, нужно чтобы эта
⎩ x ≥ 0.
система неравенств имела решение х = 1 или не имела бы решений вовсе. Получаем х = а,
х ≥ 0, откуда следует что необходимо или а = 1, когда система неравенств имеет решение х
= 1, или а < 0, когда система неравенств решений не имеет.
Ответ: а = 1, а < 0.
a
Пример 6. Найти все значения параметра а, при которых уравнение 3 −
= 2tgx
cos x
имеет хотя бы одно решение.
a
π
2sin x
Далее,
получаем
Решение.
3−
,
ОДЗ : x ≠ + π n, n ∈ Z .
=
cos x cos x
2
⎛
3
2
3 ⎞
a
a
3cos x − 2sin x = a,
cos x −
sin x =
, cos ⎜ x + arccos
.
Это
⎟=
13
13
13
13 ⎠
13
⎝
a
уравнение имеет решение при
≤ 1, т.е. a ≤ 13
13
Ответ: a ≤ 13
⎧⎪ x + y = 1,
имеет
Пример 7. При каких значениях параметра а система уравнений ⎨
⎪⎩ y = a − x
ровно два решения?
Решение. Обратим внимание на постановку вопроса. В задаче не требуется решить
систему, а нужно лишь провести некоторое исследование разрешимости. Это можно
сделать графически (Рис.23).
Рис. 23.
Кривые будут пересекаться ровно в двух точках при –1 < а < +1.
Ответ: –1 < а < +1.