Постоянная тонкой структуры. Ч2.

К ВОПРОСУ О ФИЗИЧЕСКОМ
СМЫСЛЕ ПОСТОЯННОЙ ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ α
Часть II.
Баяндин А.В.
Россия, 630129, г.Новосибирск
[email protected], m/t: +7(961)847-3108
В продолжение Части I в настоящей работе рассматриваются
соотношения для постоянной α в структуре физических параметров атома водорода.
Введение
Нерелятивистская квантовая механика изучает только такие движения, когда
скорости частиц остаются достаточно малыми в сравнении со скоростью света.
Погрешность ее результатов порядка величины отношения скорости частиц к
скорости света.
1. Импульс, энергия и длина волны прецессии произвольной частицы
1.1. Импульс произвольной частицы, массой mi и волновые соотношения:
p=miv, p=h/λ, т.е. для частиц: i 
h
mii
(38)1
Исходим из того, что полная энергия покоящейся частицы равна
соответствующей ей электромагнитной энергии кванта электромагнитного поля
частоты  эм ,i :
mi 
h эм,i
(39)
c2
Подставляя (39) в (38) получим соотношение Дебройлевской длины волны
частицы с соответствующей ей электромагнитной волной кванта
электромагнитного поля:
i 
hc 2
hc c
 c
c
(40)


 эм ,i
h эм ,ii h эм ,i i Eэм ,i i
i
где обозначим:   hc , vi - скорость i-ой (в смысле – произвольной по массе
частицы).
1.2.Выпишем полученные соотношения:
эм ,i  i
i
c
Eэм ,i эм ,i  Eэм ,i i
1
(41)
i
c
Нумеровка формул сквозная, в соответствии с …ЧI.
(42)
Из (41) для частот получается выражение:
i
i2

 эм ,i c 2
(43)
i2
 2
ti
c
(44)
и для времени:
tэм ,i
2. Энергетические и волновые соотношения для электрона атома Бора
2.1. Потенциальная энергия Кулоновских сил Ee для электрона и квант
электромагнитной энергии Eэм (единицы измерения в СИ):
e2
e2
Ee 

4 0 re 2 0 e
(45)
В системе СИ сосредоточенная емкость  уединенного шара:
  4 0 re
(46)
e2
Ee 

(47)
тогда:
Для кванта электромагнитной энергии имеет место соотношение:
Eэм 
h
tэм
 h эм   эм 
hc
эм
(48)
Приведем выражения (45) и (48) к виду закона обратной связи2:
 (t )   (l )  const
(49)
e2

2 0
(50)
Eэм эм  hc  
(51)
Ee e 
Выражения (50) и (51) не только одного вида, но и – одной размерности
[Дж·м], поэтому их можно сравнивать друг с другом. Рассмотрим их отношение:
2
Здесь уместно повторение из Ч.I, что позволяет глубже понять смысл предложенного метода
Ee e
e2


 
Eэм эм 2 0hc 
(52)
Используя справочные величины: e,  0 , h, c , найдем численные значения
констант  и  и их отношение:
e2
-26
   0,144929·10 [Дж·м];
2 0
отношение:
hc   
19,864589·10-26[Дж·м]
и
–
их

e2
 
 7, 2958 103 - постоянная тонкой структуры.

2 0 hc
Следовательно, можно предварительно констатировать, что момент кванта
потенциальной энергии электрона
в 137 раз меньше момента кванта
электромагнитной энергии. И т.к. отношение

имеет размерность
h
скорости
м
], а  характеризует электрон - электронное, позитрон - позитронное
с

взаимодействия, то и величина - есть скорость этих частиц е .
h
e [

e2
е  
h 2 0 h

 е

 с
(53),
(54)
Знаменатель формулы (52) постоянной тонкой структуры представляет собой
т.н. квадрат квантово-механического заряда и, соответственно, для этого заряда
справедливо выражение:
qкм  2 0 hc
(55)
Предварительно, можно констатировать следующее:
 величина
постоянной
тонкой
структуры
характеризует
отношение моментов потенциальной электростатической энергии
электрона и энергии электромагнитной;
 ------------------------“--------------------------“---------------------------“----------скорости электрона к скорости света;
 ------------------------“--------------------------“---------------------------“----------квадратов электрического и квантово-механического зарядов.
Из формулы (53) можно выразить постоянную Планка:
h
e2
2 0e
Для электрона из (41) следует:
(56)
(57)
эм ,е  е
Из (43) найдем отношение частот орбитального и спинового вращения
электрона:
e
2
 эм,е
(58)
Соответственно, для отношения энергий, имеем:
h е
E
 e 2
h эм ,е Eэм,е
(59)
Иначе, запишем (59) аналогично (57):
Ee  Eэм, е 2
(60)
Кулоновская энергия взаимодействия электрона на первой Боровской орбите
атома водорода:
Екул ,е  Ee  h e  me e2
(61)
Используя выражение (58), выразим кулоновскую энергию через спиновую
энергию вращения электрона:
Ee  h эм 2  mee2  Eэм,е 2
(62)
Из (62) видно, что электростатическая Кулоновская энергия примерно в
1/α2=18778 раз меньше электромагнитной (энергии покоя) энергии электрона.
Уравнение (61) перепишем в виде:
hte  me e2
(63)
Анализируя размерности выражения (63): [Дж·c2]=[кГ·м2] можно сказать, что
энергетически-временные параметры электрона в точности равны масспространственным параметрам, что соответствует устойчивой оболочке
электрона, т.е. устойчивому положению в атоме.
Примечание 1.
2
2
 Так как h эм ,е  mec , h e  mee , а также:
эм,е 
hc
с
h


и е 
 e , тогда
h эм ,е  эм,е
mee  e
для постоянной тонкой структуры, имеем:
h
mee2 mec 2

e
 эм ,е
(64)
что соответствует выражению (58) и свидетельствует о балансе энергетических параметров
электрона внутри атома водорода.
 Составим отношение:
эм ,е hcmee me ce me ce
p



  e
2
e
h эм ,е h h эм ,е
me c
pэм ,е
где pe
и
(65)
pэм ,е - электростатический и электромагнитный импульсы электрона; e - волновое
движение (вращение 1-ой электронной оболочки атома) электрона в атоме водорода относительно момента
атома (орбитальное движение); эм ,е - волновое движение электронной оболочки относительно
собственного момента (спиновая волна прецессии).
Примечание 2.
Из выражения (65) следует интересное равенство моментов энергии:
me c 2эм,е  me се е
(66)
и это соотношение справедливо при:
сэм ,е   е е
(67)
что соответствует выражению (57). Правда, остается непонятным выражение для энергии в правой
части (67): E x  me c e   Eэм ,е .
Проанализируем левую часть выражения (66):
me c 2 эм, е  hc
(68)
и приравняем к правой части (66):
hc  me ce e
(69)
и, сокращая на скорость света с, имеем известное соотношение для волны Дебройля:
е 
h

 e
mee  e
(70)
Следовательно, у электрона внутри атома водорода постоянно поддерживается баланс момента энергии:
при постоянной массе электрона момент электромагнитной энергии прецессии тождественно равен моменту
энергии движения электронной оболочки; изменения длины волны λе и скорости υе находятся в обратной
связи друг с другом в пределах их девиации.
2.2.
Физический смысл длин волн:
е , эм , е , кл ,е
Найдем λе ( m e – справочное) по формуле:
е 
эм ,е
h
h
h2
h 2 e2





mee me c me me 2 0
(71)
е 
h2
6, 62612 2 10 68


 3,32223 1010 ( м) re  e  5, 29177 10 11 ( м)
31
26
2
me 9,10946 10  0,14507 10
;
,
что совпадает с Боровским радиусом 1-ой орбиты электрона в атоме
водорода.
Электромагнитную волну электрона найдем по формуле:
эм ,е  е
(72)
эм,е  7, 29735  103  3,32223  1010  2, 4263088 1012 ( м)
, т.е. λэм,е – Комптоновская
h
me c );
эм ,е 
длина
волны
rэм ,е  3,86157 10
электрона
13
(
электромагнитный
радиус
( м)
.
Классический радиус электрона
rкл,е 
r
:
кл,е
 0 e2


 rэм ,е  е rэм ,е   rэм , е
4 me hc
с
(73)
Соответственно, для длин волн:
кл,е  эм,е   2е
(74)
Представим схематически рассчитанные радиусы для электрона в атоме
водорода:
re
rэм,е
rкл,
рис.1. Схематическое расположение радиусов, соответствующих длинам
волн, для электрона в атоме водорода.
Расчет r кл,е :
rкл,е   2 re  53,33673 106  5, 29177 1011  2,81794 1015 ( м )
,
что
совпадает
со
справочными данными.
2.3. Постоянная Ридберга в свете новых соотношений для длин волн.
Для постоянной Ридберга известны следующие соотношения:3
R 
02 mec 3e 4
 1, 097373 107 ( м 1 )
8h3
(75)
и соотношение для Боровского радиуса:
R 

4 re
R 
или:
(76)

2e
(77)
 
Постоянной Ридберга соответствует длина волны:
1
 9,11271 108 ( м)
R
и

 rR  1, 45033 108 ( м)
радиус: 2
.
Используя полученные ранее соотношения для длин волн, постоянная
Ридберга примет следующий вид:
2
2эм , e
(78)
3
R 
2кл , e
(79)
R 

кл,е
3
2

R 

 эм ,2е 

2кл , e 2эм ,е 2е
2е 2еэм , е
2.4.
3
(80)
Энергия, необходимая для удаления электрона из атома.
Б.М.Яворский, А.А.Детлах. Справочник по физике. М. «НАУКА». Главная редакция физико-математической
литературы. 1980г., стр. 491
Для атома водорода, находящегося в основном состоянии, энергия активации,
требуемая для удаления электрона из атома, равна:
E  E A   E A  13, 6 эВ
4
(81)
Что соответствует энергии в [Дж], при 1 эВ = 1,60219·10-19(Дж), :
 E A  R hc  13, 60575( эВ )  2,17989  10 18 ( Дж )
5
(82)
Энергия, соответствующая массе покоя электрона:
E0,е  me c 2  8,818721  10 14 ( Дж )
6
(83)
Тогда Кулоновская электростатическая энергия взаимосвязи равна:
Ee   2 E0,е  4,362 1018 ( Дж )
(84)
Сравнивая результат вычислений по формуле (82) и (84), находим, что:
Ee  2 E A  2 R hc
(85)
Действительно, из (77) видно:
2 R 

e
(86)
Тогда электростатическая энергия равна:
Ee  2 E A 
he
 h e
e
(87)
что и требовалось доказать.
Подставляя (78) в (85), получим, что:
Ee  2 E A   2 Eэм,е
(88)
И электромагнитная энергия электрона равна:
4
И.С.Дмитриев. Электрон глазами химика. Л. «ХИМИЯ», 1986г.
Д.Камке. Справочник. Единицы физических величин.стр.200
6
Там же, стр.200
5
Eэм ,е 
2EA
 E0,e  8,1872  1014 ( Дж )
2

(89)
что соответствует «энергии покоя» электрона.
2.5. Физический смысл энергии активации Е А
Знак (-) перед
Е А опустим для удобства изложения материала. Из (88)
следует, что:
EA 
Ee
 R hc
2
(90)
Но, электростатическая энергия взаимодействия равна:
Ee  h e  me e2
(91)
Тогда энергия активации примет вид:
Ee mee2
EA 

2
2
(92)
что представляет собой кинетическую энергию движения электрона,
необходимая для удаления электрона с первой орбиты атома водорода.
3. Заключение
Имеет смысл свести полученные результаты для постоянной тонкой
структуры, постоянной Ридберга и энергии активации в одну сводную таблицу.
Таблица 1.



2
кл,е
е
3
mee3
2
h эм
,е эм ,е
е
с
Eе
Eэм ,е
2 Rкл,е
эм, е
е
эм, е
е
2
2эм ,е
эм ,е
е
 эм,е
3
2кл,е
кл, е
2e эм ,е
е
вак
е
tэм ,е
te
4
ae
aэм , е
R
EA
hc
EA
Ee
2

e
эм ,е с

2e
mee2
2
e2
2 0e e
h
 эм , е
c2
вак e2
2 
e 2
e
2
h
ae
2 c 3
h
me
h
Ee
h e
Pe
h e
c
mee эм ,е
mе
h
Pe
Pэм ,е
mдвиж ,е
кл ,е
эм, е
2 R эм ,е
02 mec 3e 4
8h3
2 EA
Eэм ,е
2 R e
где ае и аэм.е – соответствующие ускорения; mдвиж.е – масса электрона в
движении вне атома.
4. Выводы
Постоянная тонкой структуры α гармонично “встроена” в структуру материи,
выполняя роль структурной постоянной, связывающей как энергетические
характеристики, так и волновые, частотные, скоростные параметры
“кирпичиков” материи.
©Баяндин А.В. In the PHYSICAL SENSE is the FINE STRUCTURE
CONSTANT α. Part II.
март 2011г.
Для любознательных:
Приложение П1.
Гравитационное взаимодействие
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Рис. П1. Закон всемирного тяготения.
В рамках классической механики гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного
тяготения Ньютона, который гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя материальными
точками массы m и M, разделёнными расстоянием R, пропорциональна обеим массам и обратно
пропорциональна квадрату расстояния — то есть:
Здесь G — гравитационная постоянная, равная примерно
м³/(кг·с²).
Закон всемирного тяготения — одно из приложений закона обратных квадратов, встречающегося также и
при изучении излучений и являющегося прямым следствием квадратичного увеличения площади сферы при
увеличении радиуса, что приводит к квадратичному же уменьшению вклада любой единичной площади в
площадь всей сферы.
Поле тяжести потенциально. Это значит, что можно ввести потенциальную энергию гравитационного
притяжения пары тел, и эта энергия не изменится после перемещения тел по замкнутому контуру.
Потенциальность поля тяжести влечёт за собой закон сохранения суммы кинетической и потенциальной
энергии и при изучении движения тел в поле тяжести часто существенно упрощает решение. В рамках
ньютоновской механики гравитационное взаимодействие является дальнодействующим. Это означает, что
как бы массивное тело ни двигалось, в любой точке пространства гравитационный потенциал зависит
только от положения тела в данный момент времени.
Большие космические объекты — планеты, звезды и галактики имеют огромную массу и, следовательно,
создают значительные гравитационные поля.
Гравитация — слабейшее взаимодействие. Однако, поскольку оно действует на любых расстояниях, и все
массы положительны, это, тем не менее, очень важная сила во Вселенной. В частности, электромагнитное
взаимодействие между телами на космических масштабах мало, поскольку полный электрический заряд
этих тел равен нулю (вещество в целом электрически нейтрально).
Также гравитация, в отличие от других взаимодействий, универсальна в действии на всю материю и
энергию. Не обнаружены объекты, у которых вообще отсутствовало бы гравитационное взаимодействие.
Из-за глобального характера гравитация ответственна и за такие крупномасштабные эффекты, как структура
галактик, черные дыры и расширение Вселенной, и за элементарные астрономические явления — орбиты
планет, и за простое притяжение к поверхности Земли и падения тел.
Гравитация была первым взаимодействием, описанным математической теорией. Аристотель считал, что
объекты с разной массой падают с разной скоростью. Только много позже Галилео Галилей
экспериментально определил, что это не так — если сопротивление воздуха устраняется, все тела
ускоряются одинаково. Закон всеобщего тяготения Исаака Ньютона (1687) хорошо описывал общее
поведение гравитации. В 1915 году Альберт Эйнштейн создал Общую теорию относительности, более точно
описывающую гравитацию в терминах геометрии пространства-времени.
Закон обратных квадратов
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
рис. П2.
Линии обозначают поток, исходящий от источника. Общее количество линий потока зависит от мощности
источника и остаётся неизменным с увеличением расстояния от него. Более высокая плотность линий
(количество линий на единицу площади) означает более сильное поле. Плотность линий потока обратно
пропорциональна квадрату расстояния от источника, так как площадь поверхности сферы растёт
пропорционально квадрату радиуса. Таким образом, сила поля обратно пропорциональна квадрату
расстояния от источника.
В физике, закон обратных квадратов — это закон, утверждающий, что значение некоторой физической
величины в данной точке пространства обратно пропорционально квадрату расстояния от источника поля,
которое характеризует эта физическая величина.
Обоснование
Закон обратных квадратов в общем случае применим, когда линии действия некоторой силы, или энергия
или другая сохраняющая полное значение величина расходится (распространяется) в радиальном
направлении от источника. По мере того, как площадь сферы (которая определяется по формуле 4πr2) растёт
пропорционально квадрату расстояния от источника (радиуса сферы), и как испущенное излучение
удаляется всё дальше от источника, это излучение должно проходить через поверхность, площадь которой
растёт пропорционально квадрату расстояния от источника. Следовательно, интенсивность излучения,
проходящего через одну и ту же площадь, обратно пропорционально квадрату расстояния от источника.
Гравитация
Гравитация — это взаимодействие между двумя объектами, обладающими массами. Такие объекты
подчиняются закону всемирного тяготения:
Силы гравитационного взаимодействия между двумя точечными массами прямо
пропорциональны произведению этих масс, и обратно пропорциональны квадрату расстояния
между ними. Эти силы всегда действуют и направлены вдоль прямой, соединяющей эти
точечные массы.
Если распределение масс в некотором материальном неточечном объекте обладает сферической
симметрией, то такой объект может рассматриваться как точечная масса (материальная точка).
Однако, если мы хотим рассчитать силу взаимодействия между массивными телами, мы должны сложить
векторно силы взаимодействия между всеми парами точечных масс, образующих данное массивное тело, и
результирующее взаимодействие может не подчиняться закону обратных квадратов. В то же время, если
расстояния между двумя массивными объектами очень велики в сравнении с размерами этих объектов, то
целесообразно рассматривать эти объекты как материальные точки при расчёте сил гравитационного
взаимодействия между ними.
Как закон обратных квадратов закон всемирного тяготения был сформулирован в 1645 году Исмаэлем
Булиальдом. Это отличалось от предположения Иоганна Кеплера об обратно пропорциональной
зависимости от расстояния. Но Булиальд не признавал справедливость ни второго и третьего законов
Кеплера, ни решения Христиана Гюйгенса для движения по окружности. Буллиальд считал, что солнце
притягивается в афелии и отталкивается в перигелии.
Роберт Гук и Джованни Альфонсо Борели в 1666 году подробно описали гравитационную силу как
притягивающую силу [1]. В лекции в 1670 году Гук объяснил, что гравитация свойственна «всем небесным
телам» и ввёл принцип, утверждающий, что сила гравитации убывает с расстоянием. К 1679 году Гук
пришёл к выводу, что гравитация имеет обратно пропорциональную зависимость квадрату расстояния. Он
сообщил это в письме к Исааку Ньютону. Гук был достаточно резок, несмотря даже на то, что в своей
работе «Начала» Ньютон признал, что Гук наряду с Реном и Галлеем независимо друг от друга применяли
закон обратных квадратов для солнечной системы[2], также как отдал дань уважения Буллиальду.
Электростатика
Сила притяжения или отталкивания, действующая между двумя заряженными частицами, в добавление к
прямо пропорциональной зависимости от произведения зарядов, является обратно пропорциональной
квадрату расстояния между ними. Это утверждение известно под названием закона Кулона.
Свет и другие виды электромагнитного излучения
Интенсивность света (то есть, энергия, приходящаяся на единицу площади в единицу времени) или других
линейных волн, исходящих от точечного источника обратно пропорциональна квадрату расстояния от
источника. Это значит, например, что объект, перемещённый на расстояние в 2 раза большее от источника,
получает только четверть той мощности, которую он получал в первоначальном положении.
Например, интенсивность солнечных лучей составляет 9140 Вт на квадратный метр на орбите Меркурия, но
лишь 1370 Вт на орбите Земли (на ту же площадь) — трёхкратное увеличение расстояния влечёт
девятикратное уменьшение интенсивности солнечных лучей.
Следует отметить, что в отличие от интенсивности и от поля в статическом случае, амплитуда
напряжённости электрического поля и магнитной индукции в электромагнитной волне от точечного
источника падает обратно пропорционально первой степени расстояния:
Фотографы и театральные мастера по свету используют закон обратных квадратов для выбора оптимального
места положения осветительных приборов.
Закон обратных квадратов может быть применён только для точечных источников света; наиболее
распространённые в помещениях цилиндрические лампы дневного света не являются точечными
источниками, и поэтому к ним нельзя применять закон обратных квадратов, в отличие от большинства
других источников искусственного излучения.
Закон обратных квадратов имеет некоторое значение в диагностической рентгенографии и радиационной
терапии для расчёта дозы облучения. Однако эта пропорциональность не соблюдается в практических
случаях, несмотря даже на то, что размеры источников облучения намного меньше расстояний до объекта
облучения.
Формулы закона обратных квадратов в рентгенографии имеют вид:
I1  r2 
 
I 2  r1 
2
где
I — интенсивность,
r — расстояние (радиус).
Приложения в теории поля
Для безвихревого векторного поля в трёхмерном пространстве закон обратных квадратов связан с тем
свойством, что дивергенция обращается в ноль вне источника.
Примечания
1. Гравитация Гука ещё не была универсальной, хотя она приблизилась к всеобщей универсальности
гораздо больше, чем предыдущие гипотезы: См. стр. 239 в Curtis Wilson (1989), «The Newtonian
achievement in astronomy», ch.13 (стр. 233—274) в «Planetary astronomy from the Renaissance to the
rise of astrophysics: 2A: Tycho Brahe to Newton», CUP 1989.
2. Ньютон признавал роль Рена, Гука и Галлея в этой связи в Scholium to Proposition 4 в книге I (во всех
изданиях): см., например, английский перевод «Начал» от 1729 года, на стр. 66.