Уравнения в свободном моноиде (Лекция №2)

0
Уравнения в свободном моноиде
(Лекция №2)
Андрей П. Немытых
Институт программных систем РАН
г. Переславль-Залесский
9 сентября 2013 г., Переславль-Залесский
Уравнения в свободном моноиде.
Арифметика.
1
Свободный моноид ранга два
Терема (Нильсен): Матрицы M ∈ ℳ2(N) ⊂ SL2(Z) образуют свободный моноид с двумя образующими:
(︃
A=
1 1
0 1
)︃
(︃
,
B=
1 0
1 1
)︃
Пусть 𝒞 = {a, b} – алфавит коэффициентов,
фавит переменных.
𝒱 = {x1, . . . , xn}
9 сентября 2013 г., Переславль-Залесский
– ал-
Уравнения в свободном моноиде.
Арифметика.
2
Свободный моноид ранга два
Следствие: Для всякой системы U = {Φj = Ψj} уравнений в словах
с двухбуквенным алфавитом коэффициентов {a, b} можно построить систему U* диафантовых уравнений так, что между решениями U и натуральными решениями U* существует взаимнооднозначное соответствие.
(︃
)︃
(︃
xi1 xi2
1
, 𝛾() =
xi3 xi4
0
𝛾(a) = A, 𝛾(b) = B, 𝛾(𝜉1 . . . 𝜉k) = 𝛾(𝜉1) × . . . × 𝛾(𝜉k) , где
Доказательство: Пусть
{Φj = Ψj} ↦→
𝛾(xi) =
⎧
⎪
⎨ 𝛾(Φj) = 𝛾(Ψj);
⎪
⎩
∀ i. det(𝛾(xi)) = 1;
9 сентября 2013 г., Переславль-Залесский
)︃
0
,
1
𝜉i ∈ 𝒞 ∪ 𝒱 .
Уравнения в свободном моноиде.
Неравенства и уравнения.
3
Неравенства и уравнения
Рассматриваются уравнения в свободном моноиде конечного ранга. Пусть 𝒞 – алфавит коэффициентов, 𝒱 – алфавит переменных.
Предложение 2.1: Неравенство
эквивалентно формуле:
∃x ∃y ∃z :
⋁︁
Φ ̸= Ψ
(Φ = Ψax ∨ Φax = Ψ) ∨
a∈𝒞
в словах в алфавите
⋁︁
𝒞∪𝒱
(Φ = xay ∧ Ψ = xbz)
a,b∈𝒞, a̸=b
Доказательство:
Первый случай соответствует решению такому, что
второй случай решению такому, что |Φ0| = |Ψ0|.
9 сентября 2013 г., Переславль-Залесский
|Φ0| ̸= |Ψ0|,
Уравнения в свободном моноиде.
Дизъюнкция уравнений.
4
Системы уравнений в свободном моноиде
с не менее чем двумя образующими
Предложение 2.2: Пусть a, b ∈ 𝒞 , a ̸= b. Дизъюнкция двух уравнений в словах эквивалентна некоторому одному уравнению в словах с двумя дополнительными неизвестными.
Доказательство:
(Φ1 = Ψ1) ∨ (Φ2 = Ψ2) ⇔ (Φ1Ψ2 = Ψ1Ψ2) ∨ (Ψ1Φ2 = Ψ1Ψ2)
⇒
достаточно рассмотреть дизъюнкцию вида (Φ1 = Ψ) ∨ (Φ2 = Ψ).
Пусть
P = Φ1Φ2ΨaΦ1Φ2Ψb,
тогда
P
простое.
Лемма 2.2.1: Пусть Q ∈ (𝒞 ∪ 𝒱)+ – простое такое, что
суть приставка слова Qm. Тогда |Q| > 12 |P|.
Если |W| ≤ 21 |P|, тогда в
ленных.
P2,
кроме выде-
⇒ (Φ1 = Ψ) ∨ (Φ2 = Ψ) ⇔ ∃x ∃y : xP2ΨP2y = P2Φ1P2Φ2P2
⇒
P2WP2
нет вхождений
∃m ∈ N : P
9 сентября 2013 г., Переславль-Залесский
Уравнения в свободном моноиде.
Бинарный алфавит.
5
Сведение вопроса разрешимости к бинарному алфавиту
Предложение 2.3: Пусть Φ = Ψ уравнение в словах над алфавитом
констант 𝒞 и ℬ = {a, b}, a ̸= b. Тогда существует уравнение U в
словах над ℬ такое, что U имеет решение тогда и только тогда,
когда Φ = Ψ имеет невырожденное решение (т.е. ∀x ∈ 𝒱 |x0| > 0).
Доказательство:
=⇒).Пусть 𝒞 = {a1, . . . , ak}, где k > 2. Рассмотрим гомоморфизм
𝜂 : (𝒞 ∪ 𝒱)* → (𝒞 ∪ 𝒱)*, где 𝜂(ai) = abia и 𝜂(x) = axa для x ∈ 𝒱 .
Пусть x10 , . . . , xn0 невырожденное решение уравнения Φ = Ψ, тогда
′
′
′
x1 , . . . , xn0 , где 𝜂(xj0 ) = axj a, есть невырожденное решение урав0
0
нения 𝜂(Φ) = 𝜂(Ψ).
⇐=). . . . . . . . . .
9 сентября 2013 г., Переславль-Залесский
Уравнения в свободном моноиде.
Бинарный алфавит.
6
Сведение вопроса разрешимости к бинарному алфавиту
Предложение 2.3: Пусть Φ = Ψ уравнение в словах над алфавитом
констант 𝒞 и ℬ = {a, b}, a ̸= b. Тогда существует уравнение U в
словах над ℬ такое, что U имеет решение тогда и только тогда,
когда Φ = Ψ имеет невырожденное решение (т.е. ∀x ∈ 𝒱 |x0| > 0).
Доказательство:
=⇒). . . . . . . . . .
′
′
′
⇐=).Пусть x1 , . . . , xn0 решение уравнения 𝜂(Φ) = 𝜂(Ψ), xj0 = axj a и
0
0
i
𝜇(ai) = ab a, 𝜇(x) = x, тогда x10 , . . . , xn0 – невырожденное решение
уравнения 𝜇(Φ) = 𝜇(Ψ) такое, что xj0 ∈ aℬ*a.
Множество {[]} ∪ (aℬ* ∩ ℬ*a) есть свободный подмоноид
конечным базисом Σ = {a} ∪ aℬ*a∖ℬ*aaℬ*.
ℬ*
с бес-
– невырожденное решение уравнения Φ = Ψ, если
мы отождествим 𝜇(𝒞) с 𝒞 . Единственное отличие: xj0 может содержать конечное число букв из Σ∖𝜇(𝒞).
=⇒ x10 , . . . , xn0
9 сентября 2013 г., Переславль-Залесский
Уравнения в свободном моноиде.
Бинарный алфавит.
7
Сведение вопроса разрешимости к бинарному алфавиту
Предложение 2.3: Пусть Φ = Ψ уравнение в словах над алфавитом
констант 𝒞 и ℬ = {a, b}, a ̸= b. Тогда существует уравнение U в
словах над ℬ такое, что U имеет решение тогда и только тогда,
когда Φ = Ψ имеет невырожденное решение (т.е. ∀x ∈ 𝒱 |x0| > 0).
Доказательство:
⇐=).. . . . . . . . .
xj0
может содержать конечное число букв из
=⇒ ∃
конечное
Σ∖𝜇(𝒞).
⃒
⃒
⃒
𝒟 ⊆ Σ∖𝜇(𝒞) : ΦΨ⃒ ′
∈ (𝜇(𝒞) ∪ 𝒟)*.
⃒xj ↦→xj
0
0
Выбирая любое 𝜌 : 𝒟 → 𝜇(𝒞)+ получаем невырожденное решение
𝜌(x10 ), . . . , 𝜌(xn0 ) уравнения 𝜇(Φ) = 𝜇(Ψ). Композиция:
′
xj ↦→xj
0
0
𝜌
𝜇−1 +
*
+
+
(𝒞 ∪ 𝒱) → (𝜇(𝒞) ∪ 𝒱) −−−−−→ (𝜇(𝒞) ∪ 𝒟) → 𝜇(𝒞) −→ 𝒞
𝜇
даёт невырожденное решение уравнения
Φ = Ψ.
9 сентября 2013 г., Переславль-Залесский
Уравнения в свободном моноиде.
Бескоэффициентные уравнения.
8
Нетривиальные бескоэффициентные уравнения
с двумя неизвестными
Предложение 2.4: Для любого решения x0, y0 нетривиального бескоэффициентного уравнения с двумя неизвестными x, y ∃ простое
слово p такое, что x0 ∈ p*, y0 ∈ p*.
Доказательство: Индукция по |x0y0|
Достаточно рассмотреть уравнения вида:
xΦ(x, y) = yΨ(x, y).
Для |x0y0| = 0 Пред. 2.4 верно (). Предположим, что оно верно
для |x0y0| < n. Пусть |x0y0| = n и |x0| ≥ |y0|.
=⇒ x0 = y0z0,
Если
где
Ψ(yz, y) = [],
y0, z0
то
решение уравнения
x0 = y0
и ; иначе
zΦ(yz, y) = Ψ(yz, y).
zΦ(yz, y) = yΨ (yz, y).
′
Если y0 = [], то y0 = (x0)0 и ; иначе |x0y0| > |z0y0| и к (z0, y0) применимо предположение индукции=⇒ ∃ p : y0, z0 ∈ p* =⇒ x0 = y0z0 ∈ p*.
9 сентября 2013 г., Переславль-Залесский
Уравнения в свободном моноиде.
Бескоэффициентные уравнения.
9
Нетривиальные бескоэффициентные уравнения
с двумя неизвестными
Предложение 2.4: Для любого решения x0, y0 нетривиального бескоэффициентного уравнения с двумя неизвестными x, y ∃ простое
слово p такое, что x0 ∈ p*, y0 ∈ p*.
Следствие 2.4.1: Если
X ∈ p*, Y ∈ p*.
XY = YX,
Следствие 2.4.1’: Если
либо B = [].
AB
то
∃
простое слово
простое и
AB = BA,
такое, что
то либо
Следствие 2.4.2: Пусть S, T – простые слова и пусть
n ≥ 1, m ≥ 1. Тогда S = T.
9 сентября 2013 г., Переславль-Залесский
p
A = [],
Sn = Tm,
Уравнения в свободном моноиде.
Уравнения в словах.
10
Простые свойства
Если
Q = PR,
то пишем
Предложение 2.5: Если
Доказательство:
̂︁ ∠ Q, R = Q̌, Q = Q
̂︁ Q̌.
P=Q
S
– простое слово и
PS ∠ Sn,
то
P ∈ S*.
̂︀ =⇒ Sn = Sk SSV
̂︀
̂︀ )n−k−1 Š = SV
PSV = Sn =⇒ P = Sk S
, n > k =⇒ (ŠS
Если n − k − 1 = 0, то Ŝ︀ = [] и P = Sk. Если n − k − 1 > 0, то Ŝ︀ Š = ŠŜ︀
̂︀ = [], либо Š = [] =⇒ либо P = Sk, либо P = Sk+1.
=⇒ либо S
Следствие 2.5.1: Если
PA ∠ An,
Следствие 2.5.2: Пусть
P ∈ B(AB)*.
то
∃
простое
S : A ∈ S*, P ∈ S*.
PAB ∠ B(AB)n, P ̸= [], AB
9 сентября 2013 г., Переславль-Залесский
– простое. Тогда
Уравнения в свободном моноиде.
Уравнения в словах.
11
Простые свойства
Предложение 2.5: Если
Следствие 2.5.2: Пусть
P ∈ B(AB)*.
Доказательство:
Покажем, что
|P| ≥ |B|.
Если
то
|P| < |B|,
S
– простое слово и
PS ∠ Sn,
PAB ∠ B(AB)n, P ̸= [], AB
то
P ∈ S*.
– простое. Тогда
От противного.
B = PC, APC ∠ C(APC)n,
|P| ̸= 0 =⇒ n > 0, APC = CAP,
– простое .
где
C ̸= [].
что противоречит 2.4.1’, так как APC
=⇒ |P| ≥ |B|
=⇒ P = BC, CAB ∠ (AB)n
=⇒ C ∈ (AB)*, P ∈ B(AB)*
9 сентября 2013 г., Переславль-Залесский
12
Благодарю за внимание!
9 сентября 2013 г., Переславль-Залесский