Задачи фильтрации случайных процессов и уравнение

Т РЕТЬЕ РОССИЙСКО - АРМЯНСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ , КОМПЛЕКСНОМУ АНАЛИЗУ И СМЕЖНЫМ ВОПРОСАМ
Задачи фильтрации случайных процессов и
уравнение Амбарцумяна
А.Г. Барсегян, Н.Б. Енгибарян
Институт математики НАН Армении
E-mail: [email protected], [email protected]
1. Рассмотрим следующее интегральное уравнение свертки второго рода:
𝜀2 𝑓 (𝑥) +
∫𝑟
𝑘(𝑥 − 𝑡)𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑔(𝑥),
𝑥 ∈ [0, 𝑟) , 𝜀 ≥ 0 , 0 < 𝑟 ≤ ∞ ,
0
(1)
где 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿2 (0, 𝑟),
∫𝑏
𝑘(𝑥) =
𝑒−∣𝑥∣𝑠 𝑑𝜎(𝑠) ≥ 0,
0 ≤ 𝑎 < 𝑏 < +∞,
(2)
𝑎
Здесь 𝜎 - неубывающая функция, удовлетворяющая условию нормировки
∫∞
∫𝑏
𝑘 (𝑥) 𝑑𝑥 = 2
−∞
1
𝑑𝜎(𝑠) = 1.
𝑠
(3)
𝑎
Некоторые частные случаи рассматриваемого уравнения возникают в теории оптимальной фильтрации по определению минимальной среднеквадратичной оценки сигнала, в рамках фильтров Винера, Колмогорова, Кальмана – Бюсси, процесс Бутерворта и др (см. [1] - [3]). Уравнение второго
рода (при 𝜀 > 0 ) соответствует случаю белого шума. Уравнение первого
рода (𝜀 = 0) - случаю цветного шума. Тихоновский регуляризационный
метод решения уравнения первого рода опирается на его замене уравнением (1) с достаточно малым 𝜀 > 0.
В [3] к численному решению уравнения (1), (2) был применен метод
инвариантного погружения Беллмана.
В настоящей работе уравнение рассматривается при 𝜀 > 0, 𝑟 ≤ ∞.
Развивается факторизационный подход, основанный на применение уравнения В. Амбарцумяна (УА).
44
Задачи фильтрации случайных процессов и уравнение Амбарцумяна
45
2. Вопросы разрешимости. Запишем (1) в операторной форме:
(𝜀2 𝐼 + 𝐾𝑟 )𝑓 = 𝑔.
(4)
где 𝐼 - единичный оператор, а 𝐾𝑟 - интегральный оператор, фигурирующий в (4). Интегральные операторы, возникающие в уравнениях оптимальной фильтрации, обладают важным свойством положительной определенности. Аналогичным свойством обладает оператор 𝐾𝑟 в условиях
(2), (3).
Лемма 1. Оператор 𝐾𝑟 положительно определенный в 𝐿2 (0, 𝑟).
Из леммы 1 следует, что оператор 𝜀2 𝐼 + 𝐾𝑟 обратим как в 𝐿2 (0, 𝑟), так
и в любом из пространств 𝐿𝑝 (0, 𝑟), 1 ≤ 𝑝 ≤ ∞, ∀𝑟 ≤ ∞ и 𝜀 > 0. Отсюда
и из общих положений теории уравнений Винера-Хопфа (см. [4]) следует
существование (единственной) канонической факторизации
𝜀2 𝐼 + 𝐾∞ = (𝜀𝐼 + 𝑉− ) (𝜀𝐼 + 𝑉+ ) ,
(5)
где 𝑉± операторы вида
∫∞
∫𝑥
𝑣(𝑥 − 𝑡)𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡 ,
(𝑉+ 𝑓 ) (𝑥) =
𝑣(𝑡 − 𝑥)𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡,
(𝑉− 𝑓 ) (𝑥) =
𝑥
0
𝑣 ∈ 𝐿1 (0, ∞). (6)
3. Уравнение Амбарцумяна. Уравнению (1) с ядром (2) соответствует следующее уравнение Амбарцумяна (УА) (см. [5]):
∫1
𝜀𝜑 (𝑠) = 1 − 𝜑 (𝑠)
1
𝜑 (𝑝) 𝑑𝜎 (𝑝) .
𝑠+𝑝
(7)
0
(
Обозначим через 𝐿1
1
𝑑𝜎(𝑠)
𝑠
)
банахово пространство функций 𝜑, инте-
∫𝑏
1
1
грируемых по мере 𝑑𝜎(𝑠), с нормой ∥𝜑∥ =
∣𝜑(𝑠)∣𝑑𝜎(𝑠) < +∞.
𝑠
𝑠
𝑎
(
)
1
Ограниченная функция 𝜑 ∈ 𝐿1
𝑑𝜎(𝑠) .
𝑠
(
)
1
Если УА (7) обладает решением 𝜑 ∈ 𝐿1
𝑑𝜎(𝑠) , то имеет место
𝑠
факторизация (5), где
∫𝑏
𝑣 (𝑥) =
𝑎
𝑒−𝑥𝑠 𝜑 (𝑠) 𝑑𝜎 (𝑠) .
(8)
46
А.Г. Барсегян, Н.Б. Енгибарян
4. Построение основного решения УА. Пусть 𝑄 следующий оператор:
⎤−1
⎡
∫1
1
𝑓 (𝑝) 𝑑𝜎 (𝑝)⎦ .
𝑄𝑓 (𝑠) = ⎣𝜀 +
𝑠+𝑝
0
Этот оператор
)монотонно убывающий в конусе положительных функций
(
1
из 𝐿1
𝑑𝜎(𝑠) . Рассмотрим последовательность 𝜑𝑛 , определяемую по𝑠
средством
𝜑𝑛+1 = 𝑄(𝜑𝑛 ), 𝜑0 = 0, 𝑛 = 0, 1, . . .
Теорема
1. )Последовательность 𝜑𝑛 по норме пространства
(
1
𝑑𝜎(𝑠) , а также равномерно, сходится к непрерывному реше𝐿1
𝑠
нию 𝜑 УА (7). Имеет место неравенство 0 ≤ 𝜑(𝑠) ≤ 1. Подпоследовательности 𝜑2𝑛 и 𝜑2𝑛+1 сходятся к 𝜑 монотонно; снизу и сверху
соответственно. Имеет место факторизация (5), где функция 𝑣
определяется согласно (8). Имеет место равенство
∫∞
𝛾=
∫𝑏
𝑣(𝑥)𝑑𝑥 =
√
1
𝜑(𝑠) 𝑑𝜎(𝑠) = 𝜀2 + 1 − 𝜀.
𝑠
𝑎
0
5. Обращение операторов 𝜀𝐼 + 𝑉± . Ниже будет показано, что построенные операторы 𝜀𝐼 + 𝑉± , обратимы и тем самым – построенная нами
факторизация (5) является канонической.
Общая резольвентная функция 𝜙 операторов 𝜀𝐼 + 𝑉± определяется из
следующего уравнения типа восстановления:
∫𝑥
𝜀𝜙(𝑥) = 𝑣(𝑥) −
𝑣(𝑥 − 𝑡)𝜙(𝑡)𝑑𝑡.
(9)
0
с отрицательным вполне монотонным ядром −𝑣 .
Из (8) и из результатое работы [6] следует, что уравнение (9) обладает положительным решением 𝜙 ∈ 𝐿1 (0, ∞), которое имеет следующую
структуру:
∫𝑐
𝜙(𝑥) = 𝑒−𝑥𝑝 𝑑𝜔(𝑝), 𝑏 < 𝑐 < +∞.
(10)
𝑎
∫𝑐
Здесь 𝜔 - неубывающая функция,
𝑎
𝛾
𝜀
1
𝑑𝜔(𝑝) =
=1− √
.
2
𝑝
𝜀+𝛾
𝜀 +1
Задачи фильтрации случайных процессов и уравнение Амбарцумяна
47
Из включения 𝜙 ∈ 𝐿1 (0, ∞) следует существование обратных операторов
(𝜀𝐼 + 𝑉± )−1 в пространствах 𝐿𝑝 (0, ∞), 1 ≤ 𝑝 ≤ ∞:
(𝜀𝐼 + 𝑉± )
−1
= 𝜀−1 (𝐼 − Φ± ) ,
где
∫∞
∫𝑥
𝜙(𝑥 − 𝑡)𝑓 (𝑥)𝑑𝑡,
(Φ+ 𝑓 )(𝑥) =
0
𝜙(𝑥 − 𝑡)𝑓 (𝑥)𝑑𝑡
(Φ− 𝑓 )(𝑥) =
𝑥
Через эти операторы выражается решение уравнения (1) при 𝑟 = ∞, 𝜀 >
0.
6. Уравнения (1) при 𝑟 < ∞. В ряде работ авторов развит метод построения решения уравнения свертки на конечном промежутке с использованием функции Амбарцумяна 𝜑 для полупрямой. Подход работы [7]
легко может быть приспособлен к рассматриваемой задаче. Результаты
[7] могут быть использованы также в вопросе численно-аналитического
решения рассматриваемой задачи.
Список литературы
[1] Браммер К., Зиффлинг Г., Фильтр Калмана-Бьюси: Детерминированное наблюдение и стохастическая фильтрация. М.: Наука, 1982,
200 с.
[2] Колос М. В., Колос И. В., Методы оптимальной линейной фильтрации, Изд. МГУ, 2000, 102 с.
[3] Касти Дж., Калаба Р., Методы погружения в прикладной математике, М.: Мир, 1976, 223 с.
[4] Прёсдорф З., Некоторые классы сингулярных уравнений, М.: Мир,
1979, 495 с.
[5] Арабаджян Л. Г., Енгибарян Н. Б., Уравнения в свертках и нелинейные функциональные уравнения. Итоги науки и техники, Математический анализ, М.: ВИНИТИ АН СССР, 1984, т. 22, стр. 175-244.
[6] Барсегян А. Г., Уравнения типа восстановления с вполне монотонным ядром. Известия НАН РА, Математика, Ер.: 2004, т. 39, № 3,
стр.13-20.
[7] Барсегян А. Г., Интегральное уравнение с суммарно-разностным
ядром на конечном промежутке. Известия НАН РА, Математика,
Ер.: 2005, т. 40, № 3, с.22-32.