Занятие 04 Тема: Дискретные случайные величины Раздел 1. Биномиальное распределение Основная формула Бернулли. Если в одних и тех же условиях проводятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность наступления события A равна p , то вероятность того, что событие A наступит k раз в n испытаниях равна Pn (k ) = Cnk p k q n−k , q = 1 − p . Следовательно, если случайная величина X выражает количество успехов в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p , то ее закон распределения задается таблицей k n … X 0 1 … Pn (0) Pn (1) 0,3 Pn (k ) Pn (n) … … P Пример: Вероятность попадания в мишень равна 0,9. Найти закон распределения случайной величины Х – числа попаданий из трех выстрелов. Решение. Число возможных попаданий в мишень при трех выстрелах: 0, 1, 2, 3. Вероятность каждого случая находим по формуле Бернулли: 3! ⋅ 0,90 ⋅ 0,13 = 1 ⋅ 1 ⋅ 0, 001 = 0, 001; 0!3! 3! P3 (1) = C31 ⋅ p1 ⋅ (1 − p)3−1 = ⋅ 0,91 ⋅ 0,12 = 3 ⋅ 0,9 ⋅ 0, 01 = 0, 027; 1!2! 3! P3 (2) = C32 ⋅ p 2 ⋅ (1 − p)3− 2 = ⋅ 0,92 ⋅ 0,11 = 3 ⋅ 0,81 ⋅ 0,1 = 0, 243; 2!1! 3! P3 (3) = C33 ⋅ p 3 ⋅ (1 − p)3−3 = ⋅ 0,93 ⋅ 0,10 = 1 ⋅ 0, 729 ⋅ 1 = 0, 729. 3!0! P3 (0) = C30 ⋅ p 0 ⋅ (1 − p)3−0 = По этим данным строим таблицу – закон распределения X P 0 1 2 3 . 0, 001 0, 027 0, 243 0, 729 Раздел 2. Характеристики дискретной случайной величины Пример. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение для дискретной случайной величины X P -1 0,2 0 0,5 1 0,3 Решение. 3 M ( X ) = ∑ xi pi = −1 ⋅ 0,2 + 0 ⋅ 0,5 + 1 ⋅ 0,3 = 0,1; i =1 3 D ( X ) = ∑ xi2 pi − M 2 = ( −1)2 ⋅ 0,2 + 02 ⋅ 0,5 + 12 ⋅ 0,3 − 0,12 = 0,49; i =1 σ ( X ) = D( X ) = 0,49 = 0,7. Ответ: M(X)=0,1; D(X)=0,49; σ(X)=0,7. Задачи на семинаре: 1. Анализ большого количества деклараций о доходах показал, что одна из десяти деклараций заполнена с ошибками. Найти закон распределения случайной величины Х – числа деклараций с ошибками среди 5 выбранных и закон распределения случайной величины Y – числа деклараций без ошибок среди 5 выбранных. Как связаны эти величины? 2. Построить функцию распределения, найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение для дискретной случайной величины: X P -1 0,2 0 0,3 1 0,3 2 0,2 Домашнее задание № 04. Задача 1. Социологический опрос, проведенный в некотором городе, показал, что 30% всего взрослого населения читают городскую вечернюю газету. Случайным образом выбираются четыре взрослых жителя города. Найти закон распределения случайной величины Х – числа читающих вечернюю газету среди четырех отобранных. Задача 2. Вероятность принятия на работу в некоторую фирму равна 0,3. Найти закон распределения случайной величины Х – числа принятых на работу из трех друзей, пришедших на собеседование. Какова вероятность того, что хотя бы один из трех будет принят? Задача 3. Построить функцию распределения, найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение для дискретной случайной величины: X P -1 0,5 0 0,2 2 0,3 Задача 4. Построить функцию распределения, найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение для дискретной случайной величины: X P -2 0,2 -1 0,3 0 0,2 1 0,2 3 0,1