неподвижные точки кинетического уравнения теории

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ
ФРАГМЕНТАЦИИ ХРУПКИХ МАТЕРИАЛОВ В УСЛОВИЯХ
САМОПОДОБИЯ
Ю. П. Вирченко (Белгород, Россия )
Рассматривается система, состоящая из большого набора твердотельных фрагментов, которые имеют случайную форму и размер. Число фрагментов в каждый момент
времени t случайно и его среднее значение определяется функцией N (t). В рамках
подхода А.Н.Колмогорова, состояние каждого из фрагментов в каждый момент времени, описывается одним параметром r – "обобщенным размером". Состояние же всей
системы в целом описывается плотностью g(r, t) распределения числа фрагментов по
размерам. Изменение со временем плотности g(r, t) подчинено кинетическому уравнению
Z∞
ġ(r, t) = K(r, r0 ; t)g(r0 , t)dr0 − µ(r, t)g(r, t) ≡ L[g](r, t) ,
r
Zr
где µ(r, t) = r−3
r03 K(r0 , r; t)dr0 . Это связь обеспечивает сохранение в среднем полного
0
объема всех фрагментов.
Изучается автономный режим эволюции с самоподобным законом дробления
K(r, r0 ; t) = γ(t)K(r/r0 )r0β−1 , β > 0, когда возможен переход к эффективной шкале
времени ds = γ(t)dt.
 ∞

Z
∂
g(r, s) = rβ  K(x−1 )xβ−1 g(xr, s)dx − µg(r, s) ,
∂s
1
где β = 0 соответствует масштабно инвариантному дроблению, рассмотренному Колмогоровым.
Вводится плотность распределения f (r, s) = g(r, s)/N (s) "вероятностей". Уравнение
для этой плотности
∂
f (r, s) = (L[f ])(r, s) − f (r, s)
∂s
Z∞
(L[f ])(r0 , s)dr0
0
уже не является линейным, в отличие теории А.Н. Колмогорова, и, поэтому, определяемое ею распределение вероятностей не соответствует марковскому процессу. Плотность
обладает финальным поведением при s → ∞, которое имеет вид
f (r, s) = ρ−1 (s)h(ρ−1 (s)r, s) ,
Z∞
где ρ(s) =
rf (r, s)dr – средний размер фрагментов и плотность h(x, s) удовлетворяет
0
при s → ∞ уравнению
∂
h(x, s) + κ[xh(x, s)]0 = (L[h])(x, T ) − γh(x, s) ,
∂s
33
(1)
где постоянные κ, γ > 0 определяют тип асимптотики и при этом ρ(s) = (1 + βκs)−1/β .
С помощью преобразования Меллина
Z∞
xz−1 h(x, s)dx ,
M (z, s) =
0
которое подчиняется уравнению
∂
M (z, s) + [γ + κ(1 − z)]M (z, s) = M (z + β, s)(R(z) − µ) ,
∂s
Z∞
R(z) = K(y −1 )y −(z+1) dy
1
исследуются неподвижные точки уравнения (1), когда имеет место
[γ + κ(1 − z)]M (z) = M (z + β)(R(z) − µ) ,
M (0) = 1 .
Они определяют предельные плотности распределения h(x). Необходимым условием
существования решений является равенство γ = 3κ. В случае степенного закона дробления K(x) = Kxσ , K, σ > 0, определены все решения этого уравнения
·
¸1/β
κβ(4 + σ)
z−1 Γ ((z + σ)/β)
, ν=
,
M (z) = ν
Γ((1 + σ)/β)
K
¡
¢
h(x) = β[νΓ((1 + σ)/β)]−1 (x/ν)σ exp −(x/ν)β ,
представляющие неколмогоровские финальные законы распределения.
ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАДИАЦИОННО-КОНДУКТИВНОГО
ТЕПЛООБМЕНА В ПОЛУПРОЗРАЧНОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ
Ю. П. Вирченко, М. А. Сапрыкин (Белгород, Россия )
Рассматривается одномерная задача об изменении со временем распределения температуры T (x, t) в ограниченном образце с учетом радиационно-кондуктивного теплообмена. Эволюция T (x, t) описывается уравнением теплопроводности
∂P
∂ 2T
−
,
∂x2
∂x
где P (x, t) – поток энергии излучения, переносящего тепло.
Решается задача о вычислении потока P (x, t), определяемого в виде
√
µε
P (x, t) = 2 ([E(x, t), H(x, t)])x ,
c
где ε, µ – соответственно, электрическая и магнитная восприимчивость среды, E(x, t),
H(x, t) – электрическая и магнитная составляющие излучения, которое переносит тепло. Поля E(x, t) и H(x, t) считаются стохастическими. Они подчинены уравнениям
Максвелла в среде,
Ṫ (x, t) = a2
4π
ε
j(x, t),
rot H = Ė + γE +
c
c
34
µ
rot E = − Ḣ,
c
(1)