Лекция ТВиМС 10

М.В.Дубатовская. Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 10.
§ 2. Система двух дискретных случайных величин (распределение двумерной СВ)
Законом распределения системы двух дискретных СВ ( X , Y ) (или двумерной
дискретной СВ) называют перечень возможных ее значений, т.е. пар чисел ( xi , y j ) и их
вероятностей pij p ( xi , y j ) , i 1, n, j 1, m . Обычно такой закон задается с помощью
таблицы с двойным входом.
События ( X
вероятностей pij
xi , Y
y j ) образуют полную группу событий, поэтому сумма
p ( xi , y j ) , помещенных во все клетки таблицы, равна 1.
X/Y
y1
y2
…
ym
x1
p11
p12
…
p1m
x2
…
xn
p21
…
pn1
p22
…
pn 2
…
p2 m
…
pnm
…
…
Зная матрицу распределения системы двух СВ, можно легко найди ряды
распределения ее составляющих величин:
m
P( X
xi )
pij
pi , i 1, n ,
j 1
n
P (Y
yj)
pij
p j , j 1, m .
i 1
Если X и Y - независимые СВ, то каждый элемент матрицы равен произведению
соответствующих элементов рядов распределения СВ X и Y : pij pi p j .
Функция распределения двумерной СВ F ( x, y) P( X x, Y y) . Для дискретных
СВ ее значения находятся суммированием всех вероятностей pij с индексами, для
которых xi
x, y j
y:
F ( x, y)
P( X
x, Y
y)
pij
xi x
yj y
§ 3. Система непрерывных случайных величин
Рассмотрим систему двух непрерывных СВ ( X , Y ) . Двумерная СВ непрерывна,
если ее функция распределения представима в виде:
x
F ( x, y)
P( X
x, Y
y)
y
f ( x, y)dxdy .
М.В.Дубатовская. Теория вероятностей и математическая статистика
Функция f ( x, y ) называется плотностью распределения системы непрерывных СВ ( X , Y )
(совместной плотностью). Причем верно равенство:
2
f ( x, y)
F ( x, y)
.
x y
Основные свойства плотности:
( x, y ) R 2 ,
1) f ( x, y ) 0
2) Нормированность:
3) P((x, y)
D)
f ( x, y)dxdy 1 ,
f ( x, y)dxdy .
D
В частности, если D - прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, то
x2 y2
P( x1
X
x2 , y1 Y
y2 )
f ( x, y )dxdy .
x1 y1
Зная совместную плотность двумерной СВ, можно найти плотности СВ X и СВ Y :
1) f X ( x)
f ( x, y )dy ,
2) fY ( y)
f ( x, y )dx
Если СВ X и Y независимы, то f ( x, y ) f X ( x) fY ( y ) .
Это равенство можно взять в качестве определения независимости непрерывных СВ
и
X Y.
§ 4. Условные законы распределения двумерных дискретных случайных величин
Рассмотрим двумерную дискретную СВ ( X , Y ) . Возможные значения СВ X :
x1 , x2 ,..., xn . Возможные значения СВ Y : y1 , y2 ,..., ym . Пусть СВ Y принимает значение y1 ,
при этом СВ X принимает одно из своих возможных значений x1 , x2 ,..., xn . Обозначим
условную вероятность того, что СВ X примет значение x1 при условии, что Y y1 , через
p( x1 / y1 ) . Эта вероятность, вообще говоря, не будет равна безусловной вероятности p ( x1 ) .
Условные вероятности для СВ X будет обозначать p ( xi / y j ) , i 1, n, j 1, m .
Условным распределением СВ X при Y
y j называют совокупность условных
вероятностей p ( xi / y j ) i 1, n, j 1, m , вычисленных в предположении, что событие
Y
y j уже наступило.
Аналогично определяется условное распределение СВ Y .
Зная закон распределения двумерной дискретной СВ, можно вычислить условные
законы распределения составляющих. Например,
p ( xi / y1 )
p ( xi , y1 )
, i 1, n .
p ( y1 )
М.В.Дубатовская. Теория вероятностей и математическая статистика
В общем случае:
p( xi / y j )
p( xi , y j )
p( y j )
.
Аналогично для составляющей Y :
p( xi , y j )
.
p( xi )
Сумма вероятностей условного распределения равна 1.
p( y j / xi )
§ 5. Условные законы распределения двумерных непрерывных случайных величин
Пусть ( X , Y ) - непрерывная двумерная СВ. Условной плотностью распределения
( x / y) составляющей X при данном значении Y y называют отношение
( x / y)
f ( x, y )
.
fY ( y )
В отличие от плотности f X (x) , которая дает распределение СВ X независимо от
того, какие значения приняла составляющая Y . Условная плотность ( x / y) дает
распределение СВ X при условии, что Y уже приняла значение Y y .
Аналогично определяется условная плотность составляющей Y при данном
значении X x :
f ( x, y )
.
f X ( x)
Если известна совместная плотность f ( x, y ) :
( x / y)
( x / y)
f ( x, y )
,
f ( x, y )dx
( x / y)
f ( x, y )
f ( x, y )dy
Условные плотности удовлетворяют условиям:
( x / y) 0 ,
( x / y )dx 1,
( x / y) 0 ,
( x / y )dy 1 .
.