1.2.2. Основные уравнения движения

Существует поразительная возможность овладеть
предметом математически, не поняв существа дела.
А. Эйнштейн
Векторы сберегают мел, но расходуют мозг.
У. Томсон
1.2.2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Система уравнений, описывающая движение несжимаемой жидкости
включает в себя:
1) уравнение баланса массы (скалярное) – уравнение непрерывности (условие
несжимаемости):
∇ ⋅ V = 0;
(1.15)
2) уравнение баланса импульса (векторное) – динамическое уравнение:
ρ
DV
= Fо + Fп ; Fп = ∇ ⋅ T ;
Dt
(1.16)
где в левой части уравнения стоит субстанциональная производная, Fо + Fп –
результирующая внешних сил: объемных (гравитационных, магнитных и пр.,
например, Fо = ρg ) и поверхностных (гидростатическое давление, давление
одного тела на другое и пр.) на единицу объема и поверхности соответственно;
3) реологическое уравнение состояния (тензорное), связывающее напряжение и
кинематические характеристики.
Тензор напряжения Коши T включает два слагаемых
T = − p1 + σ ,
(1.17)
где p – скаляр, называемый давлением, σ – тензор избыточных напряжений,
девиаторный тензор, определяемый из реологического уравнения состояния.
Тензор скоростей деформации, или тензор растяжения, определяется как
D=
(
)
1
∇V + ∇VT ,
2
(1.18)
где ∇V – градиент вектора скорости, а скорость сдвига
γ& = 2D : D .
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
(1.19)
Рассмотрим, например цилиндрическую систему координат. Компоненты
тензора скоростей деформации в ней имеют вид:
Drr =
∂ϑ r
∂ϑ z
1 ∂ϑϕ ϑ r
, Dϕϕ =
+
, D zz =
;
∂r
r ∂ϕ
r
∂z
1  1 ∂ϑ r ∂ϑϕ ϑϕ 
1  1 ∂ϑ z ∂ϑϕ
 , Dϕz = 
Drϕ = 
+
+
−
r 
2  r ∂ϕ
2  r ∂ϕ
∂r
∂z
(1.20)

∂ϑ z 
1 ∂ϑ
 , D zr =  r +
;

2
∂
z
∂
r



а уравнения движения жидкости для физических компонент вектора скорости и
тензора напряжений с учетом (1.16) и (1.17):
2
 ∂ϑ
∂ϑr ϑϕ ∂ϑr
∂ϑr ϑϕ 
∂σ
1 ∂σ rϕ ∂σ rz σ rr − σ ϕϕ
r

ρ
+ ϑr
+
+ ϑz
−
= ρFr + rr +
+
+
,
 ∂t
∂r
r ∂ϕ
∂z
r 
∂r
r ∂ϕ
∂z
r


 ∂ϑϕ
∂ϑϕ ϑϕ ∂ϑϕ
∂ϑϕ ϑr ϑϕ 
∂σϕr 1 ∂σϕϕ ∂σϕz
σϕr
+ ϑr
+
+ ϑz
−
,
ρ
= ρFϕ +
+
+
+2
 ∂t
∂r
∂z
r ∂ϕ
r 
∂r
r ∂ϕ
∂z
r


 ∂ϑ
∂ϑ ϑϕ ∂ϑz
∂ϑ 
∂σ zr 1 ∂σ zϕ ∂σ zz
σ
ρ  z + ϑr z +
+ ϑz z  = ρFz +
+
+
+ 2 rz ; (1.21)
∂r
∂z 
∂r
∂z
r ∂ϕ
r ∂ϕ
r
 ∂t
и уравнение непрерывности (неразрывности):
1 ∂ ( rϑ r ) 1 ∂ϑϕ ∂ϑ z
+
+
= 0;
r ∂r
r ∂ϕ
∂z
(1.22)
где Fr ,ϕ , z – компоненты массовых сил; ϑ r ,ϕ , z – радиальная, азимутальная и
осевая компоненты скорости; σ ij – ij -ая компонента тензора напряжений.
Математическая
формулировка
предположений,
касающихся
механического поведения среды, выполняется с помощью реологического
уравнения состояния. Общий вид уравнения пока не установлен и имеются
уравнения для отдельных частных случаев. Они обычно подразделяются на три
типа: дифференциальные, интегральные и релаксационные. Первые два вида
представляют
собой
функцию
(или
функционал)
соответствующих
кинематических величин и разрешены относительно тензора
σ, а в
релаксационные уравнения входят производные по времени от σ . Уравнение
состояния должно отвечать требованию объективности, в частности, оно
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
должно быть инвариантным при изменении системы координат, удовлетворять
принципу объективности поведения материала, требованию инвариантности
размерности и пр. [7].
Для ньютоновских жидкостей уравнение состояния имеет вид (см. также
(1.2))
σ = 2ηD ,
(1.23)
и при подстановке (1.23) в (1.21) получаются уравнения Навье–Стокса, а для
идеальных жидкостей σ – тензор изотропен, не поддерживает девиаторные
напряжения.
В общем случае модель обобщенных ньютоновских жидкостей можно
представить как
σ = φ ( I 2 D )D ,
(1.24)
где φ ( I 2 D ) – некоторая функция от второго инварианта тензора скоростей
деформации, а соотношение
σ = φ1 ( I 2 D , I 3 D ) D + φ 2 ( I 2 D , I 3 D )D 2
(1.25)
определяет уравнение Рейнера–Ривлина, в котором φ1, 2 – материальные
функции: φ1 – кажущаяся вязкость жидкости, φ 2 – поперечная вязкость.
Функция φ 2 в сдвиговых течениях вызывает нормальные напряжения σ ii ,
малые по сравнению со сдвиговыми σ ij ( i ≠ j ), которые не зависят от φ 2 .
Учитывая, что в вискозиметрических течениях I 3 = 0 из (1.25) приходим к
(1.24). Разности нормальных напряжений ( σ 11 − σ 22 ) и ( σ 22 − σ 33 ) называют
первичной N1 и вторичной N 2 разностями. Они могут быть не наблюдаемы в
подобных течениях и для описания жидкостей, которым они присущи,
используются более сложные, чем (1.25) уравнения состояния, учитывающие
вязкоупругие свойства жидкости.
В простом сдвиговом течении (рис. 1.1) для ньютоновской жидкости
компоненты тензора напряжений
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
σ xy = ηγ& , σ xx − σ yy = 0 , σ yy − σ zz = 0 ,
(1.26)
а в общем случае неньютоновских жидкостей
σ xy = η (γ&)γ& , σ xx − σ yy = N1 (γ& ) , σ yy − σ zz = N 2 (γ& )
(1.27)
и в частном случае (1.31):
σ xy = φ1γ& , σ xx − σ yy = 0 , σ yy − σ zz = φ 2γ& 2 ( σ xz = σ yz = 0 ).
(1.28)
Из (1.32) и (1.33) видно три отличия ньютоновских и неньютоновских
сред:
- сдвиговая вязкость η (γ& ) является функцией скорости сдвига. Такое поведение
было рассмотрено в п. 1.3.1 и подобные жидкости будут в основном
представлять интерес при исследовании в последующих главах.
- наличие N1 (γ& ) и N 2 (γ& ) : N 1 (γ& ) > 0 для полимерных жидкостей и именно эта
разность
демонстрирует
наиболее
типичные
неньютоновские эффекты,
например, эффект Вейссенберга; величина N 2 (γ& ) < 0 и приблизительно на
порядок меньше N 1 и поэтому трудно наблюдаема. Для малых скоростей
сдвига N1 (γ& ) = ψ 1 (γ& )γ& 2 и N 2 (γ& ) = ψ 2 (γ& )γ& 2 .
y
Помимо вискозиметрических течений
x
можно выделить также экстензиометрические.
В стационарном осевом течении растяжения
(рис. 1.5) компоненты поля скорости
z
Рис. 1.5. Осевое течение растяжения
ϑ x = ε&x , ϑ y = −0.5ε&y , ϑ z = −0.5ε&z ,
(1.29)
где ε& – постоянная скорость растяжения.
Для ненулевых компонент тензора напряжений можно записать
σ xx − σ yy = σ xx − σ zz = η E (ε&)ε& ,
где η E – вязкость удлинения, для ньютоновских жидкостей равная утроенной
вязкости.
Характерным отличием вязкоупругих сред от чисто вязких являются
также эффекты памяти, благодаря которым они ведут себя подобно упругим
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
материалам при быстрых деформациях и ньютоновским жидкостям – при
медленных.
Измерение
такой
совокупности
свойств
релаксации напряжений.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
основывается
на