Дифференциальные и разностные уравнения

1
(0.1)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение
высшего профессионального образования
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ (МАМИ)
/ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ /
Дергачев В.М., Кулиев В. Д., Лелявин С. Н.
Дифференциальные и разностные уравнения
Учебное пособие
для студентов направлений подготовки 010400.62 - прикладная
математика и информатика, 080500.62- бизнес - информатика
Одобрено комиссией по научно методическому направлению
Москва
2
2014
Разработано
в
соответствии
с
Федеральным
Государственным образовательным стандартом высшего
профессионального образования по направлению подготовки
010400.62, 080500.
Рецензенты:
канд. физ. мат. наук, доцент, кафедра "Общие проблемы
управления", мех.-мат. фак-т, МГУ, Д. А. Силаев
канд. физ. мат. наук, доцент, кафедра "Высшая математика"
Университет машиностроения Е. В. Макаров
Учебное пособие «Дифференциальные и разностные
уравнения» для студентов направления 010400.62 - прикладная
математика и информатика, 080500.62- бизнес - информатика
/Дергачев В.М., Кулиев В.Д, Лелявин С. Н.
- М. Университет машиностроения, 2014.
Учебное пособие посвящено разностным и обыкновенным
дифференциальным
уравнениям.
Приводятся
методы
интегрирования дифференциальных уравнений и их систем. Для
уравнений с постоянными коэффициентами рассматриваются
точные решения, которые сравниваются с решениями,
полученными приближенными методами с использованием
разностных уравнений. Рассматриваются достоинства и
недостатки методов их решений, которые проиллюстрированы
на примерах.
Предназначено для бакалавров по направлениям подготовки:
010400.62, 080500.62
© Дергачев В.М., Кулиев В. Д., Лелявин С. Н. 2014
© Университет машиностроения, 2014
3
Оглавление
Глава I. Дифференциальные уравнения
Введение
§1. Дифференциальные уравнения первого порядка
§2. Дифференциальные уравнения высших порядков
§3. Линейные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
§4. Системы дифференциальных уравнений
§5. Теоремы существования и единственности.
Глава II. Линейные разностные уравнения
Введение
§1. Однородные разностные уравнения
§2. Неоднородные линейные разностные уравнения
с постоянными коэффициентами
Литература
Элементы оглавления не найдены.
Глава I
4
Дифференциальные уравнения.
Введение.
Дифференциальным уравнением называется соотношение
между функциями и их производными, если функции одной
переменной,
тогда
рассматриваются
обыкновенные
дифференциальные уравнения, если функции нескольких
переменных, то уравнения с частными производными.
Пусть на интервале  x0 , x1  определена n раз дифференциальная
функция y( x) и ее производные y(x), y(n) ( x) ,
переменные
x, y, y, , y ( n)  D  R n2 , если в области D определена функция
F ( x, y, y, , y ( n ) ), то соотношение
(1)
F ( x, y, y, , y ( n ) )  0
называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Решением называется n-раз дифференцируемая функция y( x)
заданная на  x0 , x1  и обращающая уравнение (1) в тождество.
Порядком уравнения называется порядок старшей производной.
Уравнение (1), разрешенное относительно старшей производной
, называется каноническим имеет вид:
y ( n) ( x)  f ( x, y, y,
, y ( n1) )
(2)
Уравнение (1) можно представить в виде системы уравнений
первого порядка:
dym
 f m ( x, y1 ,
dt
, yn ) , m=1,2,
,n .
Решением системы называют совокупность функций y1 ,, yn ,
определенных на интервале  x0 , x1  , которые при подстановке в
систему обращают ее в тождество. При математическом
моделировании f m могут быть непрерывными или разрывными,
соответственно определяют функции ym . Нахождение решения
называется интегрированием дифференциального уравнения.
5
Задача для дифференциального уравнения или системы
состоит из уравнения и дополнительных условий, которые
должны обеспечить существование и единственность решения
этой задачи.
Обыкновенные дифференциальные уравнения моделируют
явления и процессы, которые описываются функцией одного
переменного.
Временные процессы.
y(t)-характеризует изменение какого-либо параметра во
времени. Обычно математическая модель описывает связь между
y(t ) , скоростью y (t ) и ускорением y (t ) в виде:
1.
y(t )  f (t, y(t ), y(t ))
или более простая модель, связывающая y(t ) со скоростью y (t ) , в
виде:
y(t )  f (t, y(t ))
Если мы имеем несколько параметров модели y (t )  y1 (t ),, y n (t )
, связанных между собой, скоростью y'  t  и ускорением y''  t  , то
имеем системы дифференциальных уравнений в виде:
y''(t )  F (t , y , y')
или, если связанны y (t ) и y'  t  ,
y'  t   F (t , y )
Пространственные процессы.
y(t) описывает распределение параметра процесса вдоль оси
Оx.
y ( x )  f x , y ( x ), y 
2.
или
y ( x )  F x , y , y 
3.
Радиоактивный распад
.
6
m(t ) - масса распадающегося вещества. Количество распевающего
вещества m пропорционально количеству m(t ) и времени,
т.е.
m   m(t )t
при
имеем
t  0
dm
  m (t ) .
dt
(2.8)
Решение
дифференциального
уравнения:
Дополнительные условия- m(t  t0 )  m0 , тогда задача
m(t )  C e t .
 dm

  m(t ) t  t 0 , t 0  T 
;
 dt

m
(
t
)

m
.
0
0

Решение задачи :
m (t )  m 0 e  ( t t0 )
Размножение с миграцией
N (t ) - численность популяции, изменяющейся во времени, f (t ) миграция. Уравнение имеет вид:
4.
dN (t )
  N  f (t )
dt
Его решение
.
t
N (t )  C 0 e  t   f ( )e  ( t  ) d
.
t0
Дополнительные условия- N (t0 )  N 0 . Тогда задача имеет вид:
 dN

  N  f t  t 0 , t 0  T 
;
 dt

N
(
t

t
)

N
.
0
0

Решение задачи:
t
N (t )  N 0 e  ( t t0 )   f ( )e  ( t  ) d
.
t0
5.
Движение системы материальных точек.
Система уравнений Ньютона
7
mi
1
 1
d 2r i
dr N
N dr


F
t
,
r
,

,
r
,
,

,
i
dt
dt
dt 2




i  1, N 
,
mi -масса, r 2 - радиус вектор i-ой точки, Fi - сила воздействующая
на i-ую точку.
Частный случай колебания маятника
d 2
I 2  mgl sin 
dt
.
При малых колебаниях sin    и тогда уравнение имеет вид:
 (t )   2 (t )  0;
6.

mgl
I
.
Деформация упругого стержня.
Если стержень однороден, то вдоль стержня постоянное
касательное натяжение T 0 . Тогда вертикальная сила Tn  T0
du
dx
в
точке x, где смещение u(x). Если в каждой точке стержня
действует внешняя сила f ( x , u), то
Tn  f ( x, u)x
.
тогда
T0
d 2u
 f ( x, u ).
dx 2
Рассмотрим частный случай
уравнение
f   2T0U ( x)  f 0T0 ,
u ( x )   2 u( x )  f 0
и его решение
u( x )  C1e x  C 2 ex 
Дополнительные условия :
u(0)  u(l )  0
,
f0
2
.
тогда получаем
8
тогда задача
u''( x)   2u ( x)  f 0 , x  0, l 
u (0)  u (l )  0
u ( x) 
7.
,
f0
 sh x  sh (l  x)  sh l 
 sh l
2
Задача Коши
Пусть функция (
) непрерывна в области D
координатного пространства переменных
.
Нужно найти интервал Х, содержащий точку , и такую n раз
непрерывно дифференцируемую функцию
, что
, когда
, и чтобы
выполнялись условия:
(
) для всех
где (
и
)
Формально задача Коши для уравнения (2) записывается в
виде
(
где
)
}
(3)
– заданные числа.
Всякое конкретное решение задачи (3) называется частным
решением задачи Коши. Множество частных решений, зависящее
от параметров
задачи Коши.
называется общим решением
Функцию Ф
будем называть общим решением
уравнения (1) в области D, если при соответствующем выборе
9
постоянных
функция Ф обращается в любое решение этого
уравнения, график которого лежит в области D.
Определение 1. Пусть   0  0,
f1  f 2   , y01  y02    y1  y2  
устойчивое решение уравнений:
 yi( x)  fi ( x, yi )

 yi ( x0 )  y0i
i  1, 2
Определение 2. Пусть решение задачи (3) существует,
единственно и устойчиво, тогда задача Коши корректна.
Граничные задачи
Начальные условия не являются единственно возможными
дополнительными условиями, выделяющими определенное
частное решение дифференциального уравнения. Во многих
случаях задаются условия на неизвестную функцию и ее
производные на границе того промежутка, где задано
дифференциальное уравнение. Эти условия называются
граничными или краевыми условиями. Задача определения
решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего
заданным граничным условиям, называется граничной или
краевой задачей. Краевые задачи имеют место только для
дифференциальных уравнений порядка не ниже второго,
поэтому рассмотрим простейшее линейное дифференциальное
уравнение II порядка.
Пусть задано уравнение:
y ''  а1 ( x) y ' а2  х  у  f ( x),
(4)
где а1 ( x), а2 ( х), f ( x) - заданные непрерывные функции х 0, l  , и граничные условия при х = 0, х = l > 0
1y(0) + 1y'(0) = y0 ,  2 y(l ) +2 y'(l ) = y1 ,
(5)
где i , i , i = 1,2, у0 , у1 - заданные числа, i 2 + 22 > 0, i = 1,2.
Здесь у(0) = у(+0), у'(0) = у'(+0), у(l) = у(l - 0), у'(l) = у'(l - 0)
Если y0 = y1  0, то граничные условия (5) называются
однородными
граничными
условиями.
В
дальнейшем
ограничимся случаем однородных граничных условий, в случае
неоднородных условий решение у(х) граничной задачи (4), (5)
у  х   и ( х)  v  x  ,
можно искать в виде:
10
где функция v  x  удовлетворяет лишь заданным граничным
условиям (5), а в остальном произвольна. Например, для
граничных
условий у(0) = у0 , у(l ) = у1 , будем иметь:
v(x) = у0
lx
x
 у1
l
l
Тогда для функции и(х) получается граничная задача с другой
правой частью, чем в (4), но с однородными граничными
условиями. Вместо 0,l  можно брать любой другой интервал [a, b] .
В дальнейшем в условиях (5) будем рассматривать у0 = у1 = 0 .
Для уравнения (4) могут иметь место и граничные условия более
общего вида, представляющие собой линейные комбинации
значений y  x  и y '  x  в точках х  0 , х  l . Это могут быть
условия периодичности: y(0) = y(l), y'(0) = y'(l).
Решением краевой задачи (4), (5)
называется функция
которая дважды непрерывно дифференцируема при
непрерывно дифференцируемая на и удовлетворяет
уравнению (4) на  0,l  и краевым условиям (5).
Замечание: Решение задачи Коши для уравнения (4) при
начальных условиях
y(x0 ) = y0 , y'(x0 ) = y'0 , x0  [0, l],
существует и единственно на интервале [0, l] . Для краевой задачи
(4), (5) это вовсе не обязательно. Оказывается, что решение
краевой задачи (1), (2) может не существовать или быть не
единственным.
Пусть {1  x  ,2 (x)} фундаментальную систему решений линейного
однородного уравнения: y ''  а1 ( x) y ' а2  х  у  0
y0  x  частное решение уравнения (4), тогда общее решение
уравнения (4) имеет вид: y = C1φ1  x  + C2φ2 (x) + y0  x  ,
где C1 , C2 - произвольные постоянные. Для получения решения
краевой задачи (4), (5) постоянные C1 и C2 необходимо
11
определить из однородных граничных условий (5). Подставляя
общее решение уравнения (4) в условия (5), получаем линейную
алгебраическую систему для C1 и C2 . Разрешимость этой системы
уравнений зависит от ее определителя и может не быть
единственным.
Пример 1. у'  x  + y  x  = 0, x  0,π  , y(0) = y  π  = 0  y = C sin x
не единственное решение краевой задачи.
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
1.1 Основные понятия
Дифференциальным уравнением первого порядка называется
уравнение
(1.1)
Это уравнение связывает независимую переменную х, искомую
функцию y и еѐ производную .
Это уравнение, если возможно, можно переписать в разрешенном
относительно производной виде
(1.2)
Это уравнение устанавливает зависимость между координатами
точки (x, y) и угловым коэффициентом касательной к
интегральной кривой, проходящей через эту точку, являющейся
решением уравнения (1.2).
Таким образом, дифференциальное уравнение
задаѐт совокупность направлений (поле направлений) на
плоскости 0xy. Таков геометрический смысл дифференциального
уравнения первого порядка. Кривая, во всех точках которой
направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами
пользуются для приближѐнного построения интегральных
кривых, т.е. решения уравнения (1.2). Уравнение изоклины
получается, если положить
, т.е. f(x, y) =C.
12
Дифференциальное уравнение
в дифференциальном виде:
можно записать
(1.3)
где
– известные функции. Это уравнение удобно
тем, что x и y в этой записи равноправны, любую из них можно
рассматривать как функцию другой.
Интегрирование дифференциального уравнения в общем
случае приводит к бесконечному числу решений, отличающихся
одно от другого на постоянную величину. Легко видеть, что
решением уравнения
является функция
, но
также функции
,
√ и в общем случае
функция
, где С = Const.
Условие, что при
функция y должна быть равна
заданному числу , т.е.
называется начальным условием
для дифференциального уравнения (1.2). Начальное условие
записывается так
или
|
.
(1.4)
Общим решением дифференциального уравнения первого
порядка называется такая функция
, где С – одна
произвольная постоянная и которая удовлетворяет условиям:
1. Функция
является решением дифференциального
уравнения при всяком фиксированном значении С.
2. Для любого начального условия (1.4) найдѐтся такое
значение
, что функция
удовлетворяет
данному начальному условию.
Частным решением дифференциального уравнения первого
порядка называется любая функция
, полученная из
общего решения
при заданном значении постоянной
. Если общее решение дифференциального уравнения
найдено в неявном виде, т.е. в виде уравнения Ф(
=0, то
такое решение называется частным интегралом
дифференциального уравнения.
13
Геометрически решение
есть семейство
интегральных кривых на плоскости 0ху, а частное решение
– одна кривая из этого семейства, проходящая через
точку
Задачу отыскания решения дифференциального уравнения
первого порядка (1.2), удовлетворяющего заданному начальному
условию (1.4), мы назвали задачей Коши.
1.2 Методы интегрирования некоторых видов дифференциальных
уравнений первого порядка. Дифференциальные уравнения с
разделяющимися переменными.
Уравнение вида
,
(1.5)
где
– заданные непрерывные функции,
, называется дифференциальным уравнением с
разделяющимися переменными.
Для того, чтобы проинтегрировать уравнение (1.5), нужно
сначала обе его части разделить на произведение
,
причѐм считаем, что
, а затем, пользуясь
формулой ∫
,
∫
записать
∫
∫
.
(1.6)
При делении могли потеряться решения уравнений
и
. Поэтому для получения всех решений уравнения
(1.5) следует к решению (1.6) присоединить решения уравнений
и
.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение. Запишем уравнение в виде
. Разделяя переменные, имеем
, где
.
14
Интегрируя его, получаем общий интеграл: ∫
после вычисления интегралов, получаем
что
.
∫
,
. Заметим,
Заметим также, что несмотря на деление обеих частей уравнения
на
, его решения
не были потеряны,
т.к. они входят в общее решение уравнения.
Пример 2. Найти общее решение уравнения:
(
)
Решение. Переписав уравнение, имеем:
. Разделяя
переменные y и x, имеем:
. Проинтегрировав его,
получаем общее решение уравнения
|
|
, или
.
Заметим, что если в результате интегрирования получается
логарифм, то произвольную постоянную С также удобно
записывать в виде логарифма
.
1.3 Однородные дифференциальные уравнения
Однородным дифференциальным уравнением называется
уравнение
( )
(1.7)
разуется в уравнение с разделяющимися переменными
при помощи замены
или
.
Подставляя
и
и
в уравнение (1.7), получаем
,
т.е. уравнение с разделяющимися переменными. Найдя его общее
решение (или общий интеграл), заменяем в нѐм t на . Получим
15
общее решение или общий интеграл первоначального уравнения
(1.7).
Пример 3. Найти общее решение уравнения
Решение. Приведѐм данное уравнение к виду (1.7)
⁄
⁄
Полагаем
и
. Тогда
или
,
т.е.
. Разделяя переменные, получаем уравнение с
разделѐнными переменными
Находим общий интеграл уравнения
∫
∫
∫
Заменяя
∫
или
| |
.
и освобождаясь от логарифмов, получаем
– общий интеграл уравнения.
1.4 Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка
называется уравнение
,
(1.8)
16
где p(x), f(x)- заданные функции.
Его можно решать двумя методами Бернулли и Лагранжа.
Рассмотрим решение его методом Бернулли. По методу Бернулли
решение уравнения (1.8) ищется в виде произведения двух
неизвестных функций, т.е. с помощью подстановки
, где
,
.
Находим
уравнение (1.8).
и подставляем выражения
и
в
Получаем:
или
Подберѐм функцию
, т.е.
. (1.9)
так, чтобы
, т.е.
.
Интегрируя, получаем:
| |
| |.
∫
Ввиду свободы выбора функции
∫
имеем
.
Подставляя найденную функцию
∫
можем взять С=1. Тогда
в уравнение (1.9), имеем
.
(1.10)
Решая полученное уравнение с разделяющимися переменными
(1.10), имеем
∫
∫
∫
Общее решение для
∫
будет
17
(∫
∫
)
∫
(1.11)
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Полагая
, тогда
, т.е.
.
Приравнивая выражение в скобках нулю, имеем:
| |
Решаем уравнение
, т.е.
∫
∫
Получаем общее решение линейного уравнения
(
)
Уравнение вида
(1.12)
называется уравнением Бернулли.
Приведѐм уравнение (1.12) к линейному, разделив его на
(1.13)
Обозначая
получим
Уравнение (1.13) примет вид
18
Это уравнение является линейным относительно новой функции
. Решение далее находится по методу Бернулли. Т.о.
подстановка
приводит уравнение (1.12) к линейному.
На практике уравнение (1.12) решают сразу по методу Бернулли,
т.е.
(не приводя его к линейному).
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Это уравнение Бернулли (1.12). Решаем его методом
Бернулли, т.е.
Подставляя в исходное уравнение, получаем
(
Полагая
)
, имеем
∫
т.е.
∫
| |
т.е.
Подставляя найденную функцию
в уравнение, имеем
∫
∫
Получаем общее решение уравнения Бернулли
| |
19
Замечание. Иногда уравнение
но с помощью преобразования
не является линейным,
его можно свести к
линейному, если считать функцией, а
Тогда его решение ищем в виде
– аргументом:
Пример 6. Найти общее решение уравнения
Решение. Относительно функции
линейным.
оно не является
Делая замену
попытаемся привести исходное уравнение
к линейному, считая функцией аргумента .
Приходим к линейному уравнению:
Применяя подстановку
получаем уравнение:
, имеем
и
Находим функцию :
Находим функцию :
, или
∫
Интегрируя по частям, находим:
Общее решение исходного уравнения следующее:
или
.
.
20
§ 2.Дифференциальные уравнения высших порядков.
2.1
Основные понятия.
Дифференциальные уравнения порядка выше первого
называются дифференциальными уравнениями высшего порядка.
Так дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:
(2.1)
Или, если его возможно разрешить относительно старшей
производной, имеет следующий вид:
(2.2)
Решением его называется любая дважды дифференцируемая
функция
, которая при подстановке в уравнение
обращает его в тождество.
Общим решением дифференциального уравнения второго
порядка называется такая функция
, которая
зависит от двух произвольных постоянных
, является
дважды дифференцируемой и при подстановке в уравнение
обращает его в тождество.
Всякое решение уравнения (2.2)
,которое
получается из общего решения при конкретных значениях
постоянных
называется частным решением.
Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка
решается с двумя начальными условиями:
.
2.2
Решение уравнений второго порядка, допускающих
понижение порядка.
Рассмотрим три вида уравнений, допускающих понижение
порядка.
1. Пусть дано уравнение
(2.3)
Введем замену переменных
.
21
Тогда
и приходим к уравнению первого порядка
.
Решая его, находим функцию
.
Подставляя функцию
общее решение уравнения (2.3).
в уравнение
находим
Но проще решить первоначальное уравнение двукратным
интегрированием, т.е.:
Тогда уравнение запишется
находим
∫
Т.е.
. Интегрируя его,
.
Интегрируя последнее уравнение по x, находим:
∫
Т.е. получаем общее решение данного уравнения. Если нам дано
уравнение
, то решение его находится n – кратным
интегрированием.
Пример 7. Решить уравнение:
Решение. Интегрируя его два раза, находим:
∫
,
∫
2. Пусть дано уравнение:
(2.4)
22
Оно явно не содержит искомую функцию y .
Введем обозначение
функция.
Тогда
- новая неизвестная
и порядок уравнения понижен, т.е.
.
Решая это уравнение первого порядка, находим
.
Подставляя функцию
в уравнение
, получаем
дифференциальное уравнение
. Интегрируя
последнее уравнение, находим общее решение уравнения (2.4)
∫
Пример 8. Решить уравнение:
Т.к. данное уравнение явно не содержит функцию y , то делаем
замену
.
Тогда
и получаем уравнение первого порядка
Решаем полученное уравнение с разделяющимися переменными:
∫
| |
| |
∫
| |
Интегрируя, получаем:
| |
Т.е.
. Подставляя p в уравнение
неизвестную функцию y .
|
|
находим
Т.е.
3. Рассмотрим уравнение:
(2.5)
не содержащее явно независимую переменную x. Оно допускает
понижение порядка путем замены
.
23
Тогда, учитывая, что p(y) есть сложная функция от x, т.е.
, получаем:
Тогда уравнение (2.5) запишется так:
Находим его общее решение как уравнения первого порядка:
Подставляя найденную функцию
в уравнение
, получаем уравнение с разделяющимися переменными
. Решая его, находим общий интеграл уравнения:
∫
Пример 9.
Решить это уравнение при начальных условиях
Решение. Данное уравнение имеет вид (2.5), т.е. не содержит явно
переменной x.
Полагая
имеем:
,т.е. уравнение первого порядка.
Перепишем его:
Имеем два случая:
(
)
.
24
Случай 1:
Это линейное уравнение первого порядка.
Решаем его методом Бернулли, т.е.
Или
. Получаем:
.
Полагая
, имеем
, т.е.
.
Решаем оставшееся уравнение:
Интегрируя его, находим, что:
Тогда
[
]
Подставляя найденное p в равенство
.
, имеем
Подставляя начальные условия
находим постонную :
в это равенство,
Имеем
, тогда окончательно
условий имеем:
. Из начальных
Итак, находим частное решение нашего уравнения:
Случай 2:
невозможен, т.к тогда
начальному условию
.
, что противоречит
25
§ 3.Линейные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением
второго порядка с постоянными коэффициентами называется
уравнение:
(3.1)
где
некоторые числа, f(x) – непрерывная функция.
Кратко будем это уравнение называть ЛНДУ.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго
порядка с постоянными коэффициентами назовем уравнение:
(3.2)
где
- постоянные.
Краткое его обозначение ЛОДУ.
Теорема 3.1.Общее решение y уравнения (3.1) есть сумма любого
частного решения
уравнения (3.1) и общего решения
соответствующего однородного уравнения (3.2) , т.е.
.
Общее решение однородного уравнения (3.2) находится по
формуле:
где
- два линейно независимых частных решения
уравнения (3.2), а
- произвольные постоянные.
Для нахождения частных решений однородного уравнения по
методу Эйлера предлагается функцию
подставить в
уравнение (3.2), где k – некоторое число. После подстановки
в уравнение получаем:
26
или
(3.3)
Уравнение (3.3) называется характеристическим уравнением для
уравнения (3.2).
Для составления характеристического уравнения нужно в
уравнении (3.2) заменить
соответственно на
и 1.
Решение характеристического уравнения (3.3) дает нам три
случая корней этого уравнения.
Случай 1. Корни , действительные и разные, т.е.
.В
этом случае имеем два частных линейно независимых решения:
,
и общим его решением будет функция:
Случай 2. Корни действительные и равные, т.е.
.В
этом случае получаем следующих два линейно независимых
решения однородного уравнения:
,
Общим решением однородного уравнения будет:
Случай 3. Корни
т.е.
получаются комплексно сопряженными,
,
.
В этом случае два линейно независимых решения уравнения (3.2)
следующие:
,
Общим решением уравнения (3.2) будет:
Пример 10. Найти общее решение уравнения
27
Решение. Составляем характеристическое уравнение (3.3)
;
Его решения
.
Корни действительные и различные и его общим решением
является функция:
Пример 11. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение:
Его корни
.
Корни действительные и равные и его общее решение:
Пример 12. Решить дифференциальное уравнение:
.
Решение. Составляя и решая характеристическое уравнение,
получаем:
,
т.е. корни комплексно сопряженные. Общее решение уравнения
получается следующим:
.
Рассмотрим теперь, как решается линейное неоднородное
уравнение с постоянными коэффициентами, коротко ЛНДУ.
Согласно теореме (3.1) его общее решение является суммой
общего решения соответствующего однородного уравнения
и
любого частного решения
всего уравнения (3.1), т.е.
.
28
Общее решение однородного уравнения (3.2) мы уже умеем
находить.
Изложим метод нахождения частного решения
(3.1).
уравнения
Частное решение
линейного неоднородного уравнения (3.1)
ЛНДУ находится методом неопределенных коэффициентов.
Сущность метода состоит в следующем: по виду функции
в
правой части уравнения (3.1) записывают ожидаемый вид
частного решения, которое записывается с неизвестными
коэффициентами, затем подставляют вид частного решения с
неопределенными коэффициентами в уравнение (3.1) и из
полученного тождества находят значения неизвестных
коэффициентов.
Случай 1. Пусть правая часть уравнения (3.1) имеет вид:
,
где
– многочлен степени , т.е. уравнение (3.1) имеет вид:
Тогда
- частное решение уравнения с такой правой частью
ищется в виде:
1)
̃
, если α не является корнем
характеристического уравнения:
2)
̃
, если α является однократным корнем
характеристического уравнения:
3)
̃
, если α является двукратным корнем
характеристического уравнения:
Случай 2. Пусть правая часть уравнения (3.1) имеет вид:
[
],
.
29
Тогда
- частное решение уравнения (3.1) с такой правой
частью ищется в виде:
̃
1)
[̃
] , если
не
являются корнями характеристического уравнения:
̃
[̃
] ,если
являются корнями того же характеристического уравнения.
̃
̃
Заметим, что ̃
– многочлены соответственно
степеней
с неизвестными коэффициентами, которые
находятся в результате подстановки
, т.е. вида частного
решения
и его производных в левую часть уравнения ( 3.1) и
приравнивания коэффициентов при подобных членах в правой и
левой частях уравнения (3.1).
Получают систему уравнений для нахождения неизвестных
̃ .
̃
коэффициентов многочленов ̃
Рассмотрим суть метода на задачах.
Пример 13. Найти общее решение уравнения:
2)
Решение. Находим общее решение однородного уравнения:
.
Записываем характеристическое уравнение для него:
, которое имеет два равных корня
. Запишем
общее решение однородного уравнения:
Ищем частное решение всего уравнения. Правую часть его
запишем следующим образом:
Т.к.
не является корнем характеристического уравнения,
то согласно случаю 1, вид частного решения будет следующим:
,
Где
- неизвестные коэффициенты.
30
Находим производные частного решения:
Подставляя
.
в уравнение, получаем:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
и правой частях уравнения, имеем:
в левой
{
Находим
.
Частное решение данного уравнения следующее:
.
Согласно теореме (3.1) общее решение всего уравнении есть
сумма частного решения
всего уравнения и общего решения
однородного уравнения
, т.е.
Пример 14. Найти общее решение и частное решение,
удовлетворяющее начальным условиям уравнения:
Решение. Находим корни характеристического уравнения для
соответствующего однородного уравнения
,
.
Его корни
.
Общим решением однородного уравнения будет:
Согласно случаю 2 правая часть нашего уравнения имеет вид:
[
].
Т.е.
является корнем характеристического
уравнения. Поэтому, вид частного решения следующий:
[̃
̃
]
[
]
31
Т.к.
,а
– обозначают многочлены нулевой степени, т.е.
числа.
Находим
.
{ [
Подстановка
]}
в уравнение даѐт:
или
Приравнивая коэффициенты при синусах и косинусах слева и
справа, получаем:
, т.е.
.
Тогда общее решение нашего уравнения будет следующее:
Для нахождения частного решения, удовлетворяющего
начальным условиям, находим производную
от общего
решения, т.е.:
Подставляем начальные условия
в
и получаем систему уравнений для нахождения значений
неизвестных
, т.е:
{
Получаем частное решение:
Теорема 3.2. Если правая часть уравнения (3.1) является суммой
двух функций:
,а
и
частные решения
уравнений
32
и
соответственно, то =
всего уравнения (3.1).
является частным решением
+
Случай 3. Правая часть линейного неоднородного уравнения (3.1)
имеет вид, отличающийся от случаев 1 и 2, тогда частное
решение можно найти методом вариации произвольных
постоянных, т.е. методом Лагранжа, состоящим в следующем.
Пусть
– общее решение однородного
уравнения (3.2), т.е. для уравнения
, тогда
заменяя в общем решении постоянные C1 и C2 неизвестными
функциями
и
, будем подбирать их так, чтобы
функция
стала решением неоднородного уравнения (3.1).
Функции
,
системы уравнений
находятся как решения следующей
{
Определитель этой системы
|
независимых решений
|
и
линейно
однородного уравнения(3.2).
Поэтому система (3.4) имеет единственное решение
,
.
Пример 15. Найти общее решение уравнения
Решение. Находим общее решение однородного уравнения
Составляя характеристическое уравнение
,
находим его корни
,
. Записываем общее решение
однородного уравнения
. Частное
решение всего уравнения ищем в виде:
33
. Для нахождения
уравнений (3.4) :
составляем систему
{
Решаем эту систему :
|
|
|
|
|
;
|
.
Получаем
,
∫
;
,
|
∫
|.
Записываем частное решение исходного уравнения:
|
|
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения следующее:
|
|
.
§4. Системы дифференциальных уравнений.
4.1 Однородные
уравнений.
линейные
системы
дифференциальных
34
Линейная однородная система:
n
yi / (x)=  aik (x)yi (x), i  1,n  , x   x0 ,x0 +T  ,yi (x0 )= yi0 .
k=1
Пусть матрица
 y1 
 
Aˆ  aik ( x) , y (t )  ... 
y 
 n
ˆ ( x), y ( x )  y 0 , x   x , x  T 
y '( x)  Ay
0
0
0
L ( y )  y   A y - линейный оператор
Пусть
(m)
y
M
- m-ое решение, f (t )   am f ( m )
m 1
Теорема 5.1 Пусть y( x),...,
системы
ˆ  0 , тогда матрица
y  Ay
(1)
( n)
y ( x)
M
 M
L   Cm( m ) y    Cm L( ( m ) y ) .
 m1
 m1
y '( x)   am( m ) y , L  ( m ) y   f ( m) .
M
m 1
- "n" решений однородной
 (1) y1 ,..., ( n ) y1 


Wˆ ( x)   ..............

 (1) y ,..., ( n ) y 
n
 n
ˆ ˆ ( x)  0 , если Wˆ ( x)
удовлетворяет матричному уравнению Wˆ ( x)  AW
удовлетворяет матричному уравнению, то ее столбцы есть
вектора, являющиеся решением этой однородной системы.
Доказательство
Если провести Wˆ ( x) покомпонентное дифференцирование то
получим требуемый результат
Определение 1. Векторные функции (1) y( x),... ( n) y( x) - линейно
̅
̅ вектор, что
зависимы на    x0 , x0  T  , если
ˆ  0x  и при ̅ = 0 являются линейно
выполняется тождество WC
независимыми.
Определение 2. Определителем Вронского для системы вектор функций  (i ) y( x) , i  1, n называется ( x)  Det Wˆ ( x)
Теорема 5.2 Если решения  ( k ) y , k  1, n однородной системы
ˆ  0 линейно зависимы на x  , тогда для x  ( x)  0
y  Ay
Доказательство.
ˆ  0 -линейно
С  0 , WC
Т.к.  ( k ) y , k  1, n - линейно зависимы
Det Wˆ  ( x)  0.
однородная система для С
Теорема 5.3 Пусть x1  , ( x1 )  0 , тогда ( x)  0 x  и  ( k ) y линейно
зависимы на  .
35
Доказательство.
Пусть x0  , ( x0 )  0.
С  0 решение системы Wˆ ( x0 )C  0.
ˆ  0, y ( x )  0, x 
y - решение задачи y  Ay
Пусть y  x   Wˆ ( x)C.
0
в силу теоремы единственности решения задачи Коши:
y  0 x 
ˆ  0 x   DetWˆ  ( x)  0 x  .
WC
Определение 3. Фундаментальной системой решений однородной
системы уравнений называется n - линейно независимых
решений  ( k ) y , k  1, n этой системы, а матрица Wˆ   (1) y , (2) y ,..., ( n) y
называется фундаментальной матрицей системы.
Фундаментальная матрица является решением матричного
ˆ ˆ ( x) , DetWˆ  0.
уравнения: Wˆ ( x)  AW
ˆ ˆ ,Wˆ ( x )  Eˆ , x 
Теорема 5.4 Решением задачи Коши: Wˆ ( x)  AW
0
можно найти фундаментальную матрицу
Доказательство.
(k )
т.к. ( x0 )  DetWˆ ( x0 )  DetEˆ  0 ( x)  0 x 
- линейно
y
независимы.
Теорема 5.5 Если Wˆ ( x) - фундаментальная матрица для
однородной системы, то ее общее решение представимо в виде:
ˆ , где ̅ - произвольный постоянный вектор.
y ( x)  WC
Доказательство.
ˆ , DetWˆ ( x )  0  Cy 0 .
ˆ есть решение системы y  Ay
Т.к. y ( x)  WC
0
Zˆ ( x, x0 )
Следствие. Пусть
импульсная функция, тогда
y ( x)  Zˆ ( x, x0 ) y 0 -решение
задачи Коши для произвольных
0
начальных данных y , импульсная функция является решением
ˆ ( x), Zˆ ( x )  Eˆ , x 
задачи Коши: Zˆ ( x)  AZ
0
Доказательство.
Wˆ ( x0 )C  y 0  C  Wˆ 1 ( x0 ) y 0 
Т.к. y ( x)  Wˆ ( x)C
n s
y ( x)  Zˆ ( x, x0 ) y 0 , Zˆ ( x, x0 )  Wˆ ( x)Wˆ 1 ( x0 )
4.2 Неоднородные линейные системы дифференциальных
уравнений.
(0)
y ( x) Теорема 5.6 Пусть Wˆ ( x) -фундаментальная матрица, а
ˆ  f , тогда общее решение
частное решение уравнения y  Ay
неоднородного уравнения представимо в виде: y ( x)  Wˆ ( x)C  (0) y ( x)
36
Теорема 5.7 Частное решение неоднородной системы с нулевыми
начальными данными выражается через импульсную функцию в
x
виде:
(0)
y ( x)   Zˆ ( x, ) f ( )d ,
а общее решение:
x0
x
, задачей Коши с условием y ( x0 )  y 0
y ( x)  Zˆ ( x, x0 ) y 0   Zˆ ( x, ) f ( )d
x0
Доказательство.
в силу вариации произвольной const:
y ( x)  Wˆ ( x)C ( x)
ˆ ˆ ( x)C ( x)  f ,Wˆ   AW ,Wˆ ( x)C ( x)  f ( x) 
y( x)  Wˆ ( x)C ( x)  Wˆ ( x)C( x)  AW
C( x)  Wˆ 1 ( x) f ( x).
Т.к.
x
y ( x0 )  0  Wˆ ( x0 )C ( x0 )  C ( x0 )  0  C ( x)   Wˆ 1 ( ) f ( )d 
x0
x
y ( x)   Wˆ ( x)Wˆ 1 ( )f ( )d  в
x0
x
ˆ x, ) : (0) y ( x)  Zˆ ( x, ) f ( )d
силу Wˆ ( x)Wˆ 1 ( )=Z(

x0
4.3 Построение фундаментальной системы решений для системы
уравнений с постоянными коэффициентами.
А) Некратные корни.
ˆ
Пусть
однородная
система
с
постоянными
y  Ay
x
коэффициентами, тогда y ( x)   e ; - вид ее частного решения,
  const вектор,  Aˆ   Eˆ    0 , чтобы   0 , необходимо


M ( )  Det Aˆ   Eˆ  0 - характеристическое
уравнение
(4.1)
M ( ) - характеристический многочлен для системы уравнений.
Теорема 5.8 Пусть  k  , k  1, n простые корни
характеристического уравнения (4.1), (k ) y (t )  ( k ) e t , где ( k ) нетривиальное решение системы:  Aˆ   k Eˆ  ( k )  0 , тогда
(k )
y (t ), k  1, n образуют фундаментальную систему решений
k
ˆ
системы y  Ay
Доказательство.
Т.к.  ( k ) e x  ( k ) y( x) k  1, n - решение системы дифференциальных
уравнений, поэтому достаточно доказать их линейную
независимость. Доказательство от противного.
k
n
Пусть  Ck 
(k )
k 1
e
 kx
0 ,
n
C
k 1
2
k
0
в силу
C1  0 :
37
C1(1) e( 1 n ) x  C2 (2) e( 2 n ) x +...+Cn ( n)  0
в силу дифференцирования
и умножения на e(   ) x : ( 1   n )C1 (1) e(  ) x  ...  Cn1 ( n1)  0
 (   ) x
в силу дифференцирования и умножения на e n2 n1 :
( 1   n )( 1   n1 )C1 (1) e(   ) x  ...  Cn2 ( n2)  0 и т.д.
n1
n
1
( 1   n )( 1   n
1
1
n1
n 2
)...( 1   2 )C1 (1) e( 1  2 ) x  0
Т.к.
противоречие { ( k ) y (t )}1n C1  0  i   j , i  j , (1)  0
фундаментальная система.
Б) Кратные корни.
Теорема 5.9 Каждому корню кратности m k характеристического
многочлена M ( ) системы {  k } соответствует mk решений,
определенных
, где ( j ) e j  1, mk  является решением
.
Доказательство.
Пусть  k - корень кратности mk характеристического уравнения
(1)
e - нетривиальное решение уравнения:
Det ( Aˆ   Eˆ )  0
(1)
Aˆ (1) e   k (1) e
y (1)e e k t .
Пусть y  exe x - решение,
подставив в систему:
ˆ  k x  e ( x  1)e k x  ( Ae
ˆ   e )x  e
Aexe
k
k
k
(2)
y  ( (2) e  (1) ex)e k x  Aˆ ( (2) e  (1) ex)e k x   k ( (2) e  (1) ex)  (1) ex e k x 
Aˆ (2) e  xAˆ (1) e  (
( j)
(2)
k
e  (1) e )  x
y  ( ( j ) e  x ( j 1) e 
Aˆ (1) e  
Aˆ (2) e  
(1)
k
e , Aˆ (1) e  
(1)
k
ˆ (2) e  
e A
(2)
k
e  (1) e -
x 2 ( j 2)
x j 1 (1)  k x
e  ... 
e )e ; j  1, mk 
2!
( j  1)!
e
(2)
k
(1)
k
e  (1) e
.............................
Aˆ ( mk ) e   ( mk ) e  ( mk 1) e
-
жорданова форма системы уравнений
k
Пусть  k собственное значение матрицы А̂ кратности mk , тогда
система M ( )  0 дает mk линейно независимых векторов
(1)
( j)
e - собственный вектор, (2) e , (3) e ,..., ( m ) e e , j  1, mk  , где
присоединенные вектора.
k
38
 l

k  1,...l ,   mk  n 
 k 1

Теорема 5.10 Решения
образуют
фундаментальную систему решений.
Доказательство.
( j)
k  1, l  , j  1, mk  
Пусть y( k ) из
Wˆ ( x)   (1) y1 ( x),..., ( m ) y1 , (1) y2 ,..., ( m ) y2 ,..., (1) yl ,..., ( m ) yl  .
Т.к. ( j ) y( k ) (0)  ( j ) e( k )  в силу линейной независимости
1
2
l
(0)  DetWˆ (0)  Det  ( j ) e( k )   0
{ ( j ) e( k ) } :
 ( x)  0x    ( j ) y( k ) (t ) -линейно
независимы и образуют
фундаментальную систему решений.
4.4 Способы
уравнений
интегрирования
систем
А) Метод исключения
Нормальная линейная система двух
уравнений первого порядка имеет вид
{
{
дифференциальных
дифференциальных
}
–
решение обращающее оба уравнения в тождество.
Геометрически
представляют
собой
параметрические
уравнения кривой на плоскости хОу.
Суть метода исключения заключается в следующем. Выразив,
например, из первого уравнения у =
и подставив его
во второе уравнение, получим линейное однородное уравнение
второго порядка относительно неизвестной функции x(t).
Обычной процедурой (§3) находим решение x(t) и
подставляем его в выражение для y(t).
Пример16. Решить систему {
Решение
39
1) Из первого уравнения выражаем y = (
его во второе уравнение: (
-
–
- x) и подставим
) = 2x + (
- x)
– 3x = 0
2)
– 2k – 3 = 0
= -1, = 3
x(t) =
3) Подставив x(t) в выражение для , получим
y=
)=Б) Матричный метод
Введем следующие матрицы:
А = (
), R=(
),
=( )
(4.5)
Здесь А – матрица из коэффициентов системы (4.4); R – матрица
из неизвестных функций;
– матрица из производных
неизвестных функций. С помощью (4.5), систему (4.4) можно
записать в матричном виде:
=АR
Следуя Эйлеру, будем искать решение системы в виде х =
,
у=
, где , , - неизвестные числа. Подставляя х и у в
систему (4.4), получим однородную систему линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных ,
{
,
(4.6)
которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, если
еѐ определитель равен нулю.
(
)= 0
(4.7)
40
Уравнение (4.7) называется характеристическим уравнением
матрицы А, оно имеет два корня , и . Для каждого корня
определяем соответствующее решение и из системы (4.6):
Общее решение системы R найдется виде
R = ClRi+C2R2
§5. Теоремы существования и единственности.
5.1. Теорема существования и единственности для уравнения I
порядка
Пусть задача Коши:
 y  f ( x, y ), ( x, y)  D   x0  x  x0  T , a  y  b ,

 y( x0 )  y0 ,
(5.1)
Лемма 1. (Грокуолла – Беллмана)
Если непрерывная функция Z(t) удовлетворяет условию при t  t0
t
0  Z (t )  k  Z ( )d  g (t );
t0
t
k  const , тогда 0  Z (t )  k  g ( )ek (t  ) d  g (t )
t0
Лемма 2. Задача Коши (5.1) эквивалентна интегральному
уравнению:
x
y ( x)  y0   f ( , y ( ))d ; x   x0 , x0  T 
(5.2)
x0
Доказательство
Пусть существует решение задачи Коши (5.1) y  y( x) .
Подставив y  y( x) в (5.1), получим тождество, которое можно
проинтегрировать, и тогда имеем (5.2), тогда решение задачи
Коши (5.1) является решением интегрального уравнения (5.2).
Обратно: если существует решение интегрального уравнения
(5.2), то в силу непрерывности f ( , y) по τ интеграл в (5.2)
является дифференциальной функцией. Продифференцировав
(5.2) получим (5.1), тогда решение интегрального уравнения
является решением задачи Коши.
Теорема 5.1 (о единственности)
Решение задачи Коши для дифференциального уравнения Iпорядка (5.1) единственно, если; 1) f ( x, y) непрерывна по
41
x, y в области
R  { x0  x  x0  T ; y0  b  y  y0  b} ;
2)
в R
y:
f ( x, y)
удовлетворяет
условию
Липшица
по
f ( x, y1 )  f ( x, y2  N y1  y 2 , y1, y 2  y 0 b, y 0  b 
Доказательство
Рассмотрим задачу Коши в предположении существования
решения интегрального уравнения (5.2). Пусть оно имеет два
решения y1  x  и y2  x  , тогда y1  x   y2  x   U  x  удовлетворяет
соотношению:





x
U  x     f  , y1 ( )   f  , y2 ( )   d
x0
, тогда в силу
U ( x0 )  0
условия Липшица:
x
x
x0
x0
U ( x)   f ( , y1 )  f ( , y2 ) d  N  U ( ) d , x0  x  x0   ,
где ε выбирается из условия U  x   b , тогда силу леммы 1.: при
N  const , g  t   0 будем иметь: 0  U ( x)  0  U ( x)  0  y1  y2
Теорема 5.2 (о существовании)
Решение задачи Коши (5.1) при выполнении условий 1) и 2)
теорема 1. существует в интервале x0  h  x  x0  h , где ,
h  min(T , b
M
), f  M в R.
Доказательство
В силу того, что задача Коши эквивалентна интегральному
уравнению (5.2), то докажем существование решения
интегрального уравнения. Будем строить решение интегрального
уравнения методом последовательных приближений.
x
(5.3)
yn ( x)  y0   f ( , yn 1 ( ))d .
x0
т. к.
yn  y0  M x  x0  Mh  b
y0  R
yn1 ( x)  R  x0  x  x0  T , y  y0  b , yn ( x)  R
в силу метода математической индукции yn  R.
n
Y ( x)  lim{ yn ( x)  y0   ( ym  ym1 )} ?
n 
т.к.
m 1
x
y1  y0 
 f ( , y ( ))d
0
 M x  x0  Mh
в силу условий Липшица:
x0
y2  y1 
x
x
x
x0
x0
x0
  f ( , y1 ( ))  f ( , y0 ( ))  d  N  y1  y0 d  NM  (  x0 )d  NM
x  x0
h2
 NM
2
2
2
42
в силу метода математической индукции:
ym  ym1  MN m1
в силу признака Даламбера: lim U m1  lim Nh  0  1
m U
m m  1
m
hm
 Um
m!

U ряд
m 1
m

в силу признака Вейерштрасса:  ( ym  ym1 )
сходится
m 1
функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно при
Y ( x)  limyn ( x)
x  x0  h
n 
т.к. f ( , yn1 ) удовлетворяет условиям 1), 2) теоремы 1.
в силу условий Липшица:
f ( x, y1 )  f ( x, y2   , y1  y2   

N
 n0  n  1, yn1  Y  t   
Y ( x)  limyn ( x)
n 
f ( x, yn1 )  f ( x, Y )   ( ), n0  n 1,  ( )  0,   0
x
lim  f ( , y
n  x
0
t
n 1
)d   f ( , Y )d
t0
x
x
x0
x0
lim{ yn (t )  y0   f ( , yn1 ( )d }  Y (t )  y0   f ( , Y ( ))d
n 
dY
 f ( x, Y ( x))  Y ( x)
dx
5.2. Теорема существования и единственности для нормальной
системы и уравнения n-ого порядка
 dy
 f ( x, y ) x   x0 , x0  T 

 dy
 y( x )  y
0
n

(5.4)
Теорема 5.3 (о существовании и единственности для системы
уравнений)
Единственность
Пусть f   fm ( x, y1, , yn ) , m 1, n удовлетворяет условиям
1) непрерывности по всем аргументам: x  x0  T , ym  ym0  b
2) Условию Липшица:
f m ( x, y)  f m ( x, y)  K  y1  y1   yn  yn  , m  1, n , тогда y ( x) и
единственно решение задачи Коши для нормальной системы
дифференциальных уравнений (5.4) на отрезке:
x  x0  h  min(T , b
M
),
f m  M m
43
Доказательство
Построим эквивалентную систему интегральных уравнений:
x
ym ( x)  y   f m ( , y1 ( ),
0
m
, yn ( ))d , m  1, n 
x0
Доказательство эквивалентности аналогично лемме 2 .
Пусть есть два решения: y1   y11 , y12 , , y1n  ,y2   y21, y22 , , y2n  , k, y1k  y2k
x
n
  y1k  y2 k  ( x)  0  y1k  y2 k    f k ( , y1 )  f k ( , y2 ) d 
k 1
x0
x
x
x0
x0
y1k  y2 k  K  ( )d  Kn  ( )d ( x)  0 , тогда
в силу леммы
Гронуолла – Беллмана: 0  ( x)  0  ( x)  0  y1  y2
Существование
Пусть s номер итерации
y
y ( x)  y
(s)
(0)
  f ( , y((s)1) )d  y ( s )  D,
t0
x  x0  h  min(T ,

 y
s 1
(s)
m
b
)  S  ym( s )  ym0  b 
M
 ym( s 1)  - сходится
в силу
ym( S )  ym( s 1)  M (nk ) s 1
hs
:
s!
аналогично теореме1. в силу признака
Даламбера сходится мажорантный ряд, а по признаку
Вейерштрасса функциональный ряд сходится абсолютно и
равномерно к непрерывной функции: limym( s )  Ym ( x)  limy ( s )  Y ( x) 
s 
x
lim  f ( , y 
s  x
0
(s)
( )
x
x
x0
x0
s 
)d   f  , Y ( ) d Y ( x)  y 0   f ( , Y ( ))d
эквивалентности задаче Коши уравнения
dny
 f  x, y, y,
dt n
в силу
 dY
 f ( x, Y ( x))

: y ( x)
 dx
 Y (x )  y 0
0

, y ( n1)  , t   x0 , x0  T  ,y  y0 , y( x0 )  y0 ,
, y ( n1) ( x0 )  y0 ( n1)
(5.5)
Теорема 5.5 (о существовании и единственности для уравнения n
– порядка)
Задача Коши (5.5) для уравнения n-ого порядка разрешенного
относительно старшей производной, правая часть которого
f  x, y, y, , y ( n1)  удовлетворяет условиям: 1) непрерывности по
44
всем
аргументам; 2) условию Липшица по аргументам
( y, y,, y ( n1) ) имеет единственное решение.
Доказательство
Т.к. уравнение (5.5)
y ( x)   y  y( x), y  y( x), , y  y ( x); y   y , y , , y  , f ( x, y )   y , y , , y , f ( x, y , y , , y )
( n 1)
1
2
n
в силу того , что система
0
0
0
( n 1)
0
2
3
n
1
2
 dy
 = f(x, y), x   xo ,x0 +T  ;
удовлетворяет
 dt

 y(x0 )= y0 .
условиям 1), 2) теоремы 3: y( x) - единственное решение (5.5)
Глава II
Линейные разностные уравнения
Введение
1. Линейным разностным уравнением называется уравнение
,
k=0,
1, 2, …
где неизвестная функция y и заданная функция f являются
функциями одного целочисленного аргумента.
Мы будем рассматривать линейное разностное уравнение с
постоянными коэффициентами
, k=0, 1, 2, … (1)
где ai(i=0, 1, …, n) – постоянные коэффициенты и
Уравнение (1) называется линейным разностным уравнением n-го
порядка с постоянными коэффициентами.
Если положить
примет вид
и
, то это уравнение
,
k=0, 1, 2, … .
Для однозначного определения решения этого уравнения
требуется задать n условий, например,
n
45
.
Отметим аналогию между разностными уравнениями и
обыкновенными дифференциальными уравнениями. Так,
например, рассматриваемому уравнению соответствует
следующее линейное дифференциальное уравнение с
постоянными коэффициентами
§1. Однородные разностные уравнения
Если в разностном уравнении (1) правая часть равна нулю, то
уравнение называется однородным. Напомним, как ищется общее
решение однородного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами. Положим
. После
подстановки этого выражения в однородное дифференциальное
уравнение
и сокращения на
Если
получим характеристическое уравнение
- различные корни этого уравнения кратности
соответственно, то общее решение можно записать в
виде
,
где
произвольные постоянные.
Аналогично ищется решение разностного уравнения . Положим
. После подстановки этого выражения в однородное
разностное уравнение
(2)
46
и сокращения на
уравнение
Пусть
получим следующее характеристическое
- его различные корни, а
- их кратности.
Тогда общее решение однородного разностного уравнения
представляется в виде
,
где
– произвольные постоянные.
Таким образом, каждому корню кратности
набор частных решений вида
соответствует
.
Задачи
Задача 1. Найти общее решение уравнения
Решение. Найдем корни характеристического уравнения
,
√
а)
, тогда
- корни вещественные ;
Общее решение уравнения
;
б)
, тогда
√|
,
√ ,
|
- корни комплексно сопряженные;
Общее решение уравнения
,
– произвольные постоянные.
47
в)
,
- корни кратные;
Общее решение уравнения
.
Задача 2. Найти общее действительное решение уравнения
Ответ:
√
√ .
, где
Задача 3. Решить уравнение
Запишем характеристическое уравнение
Оно имеет корни :
√
Находим модуль комплексного числа
Общее решение
имеет вид
и угол
.
.
Задача 4. Решить уравнение
.
Запишем характеристическое уравнение для него
Оно имеет корни
,
Общее решение имеет вид
.
.
Задача 5. Решить уравнение
.
Составляем характеристическое уравнение
Его корни
,
Общим решением будет
.
48
Задача 6. Пусть характеристическое уравнение имеет корни
,
,
√ ,
√ .
Тогда общее решение записывается в виде
[
] .
§2. Неоднородные линейные разностные уравнения с
постоянными коэффициентами.
Пусть
- общее решение однородного разностного уравнения, а
- частное решение неоднородного разностного уравнения.
Тогда общее решение линейного неоднородного разностного
уравнения с постоянными коэффициентами можно представить
виде их суммы
.
Как и в случае дифференциальных уравнений, частное решение
для правой части уравнения (1) специального вида может быть
найдено методом неопределенных коэффициентов. Пусть
[
] ,
где
,
- многочлены степени и соответственно.
Тогда частное решение (1) ищется в виде
[
] ,
где
, если
не является корнем характеристического
уравнения и S равно кратности корня, если
является
корнем характеристического многочлена;
, т.е.
степень многочленов
и
равна максимальной степени
многочленов
и
. Чтобы найти коэффициенты
многочленов
и
, надо подставить вид решения
в
неоднородное уравнение (1 ) и приравнять коэффициенты при
подобных членах. Напомним этот алгоритм в простейшем случае
дифференциального уравнения:
49
откуда общее решение
(
)
Задачи
Задача 1. Найти частное решение уравнения
Решение. Характеристическое уравнение для однородного
уравнения
Находим вид частного решения
Подставляем его в уравнение
[
]
Множители при разных степенях порождают уравнения:
при
имеем
, отсюда
,
при
имеем
, отсюда
,
при
имеем
, отсюда
.
Следовательно, частное решение
Задача 2. Найти частное решение уравнения
Решение. Корень характеристического уравнения
Частное решение ищем в виде
и подставляем его в уравнение
[
]
Коэффициенты при линейно-независимых функциях порождают
уравнения:
при
уравнение
,
при
уравнение
, отсюда
,
при
уравнение
Следовательно, частное решение будет
, отсюда
.
.
50
Задача 3. Найти частное решение уравнения
Решение. Корень характеристического уравнения
Следовательно, частное решение ищем в виде
Подставляем
в уравнение
[
]
Поскольку
,
, то
коэффициенты при линейно-независимых функциях порождают
уравнения:
при
имеем
,
при
имеем
.
Следовательно,
и получаем частное решение
Задача 4. Найти решение уравнения
Ответ:
.
Задача 5. Найти решение уравнения
,
Ответ:
=
Задача 6. Решить уравнение
Эти задачи студенту предлагается решить самостоятельно для
закрепления материала.
51
Литература
1. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей.
- М.: Наука, 2007
2. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 2007.
3. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных
уравнений. - М.: УРСС, 2004.
4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным
уравнениям. - Москва-Ижевск, 2005.
5. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное
исчисление. - М.: УРСС, 2002
52
Учебное издание
Дергачев Виктор Михайлович
Кулиев Валех Джафарович
Лелявин Сергей Никитович
Учебное пособие
Дифференциальные и разностные уравнения
Под редакцией авторов
Оригинал-макет подготовлен редакционно-издательским
отделом
Университета машиностроения
Подписано в печать Формат 60x901/16. Бумага 80 г/м2.
Гарнитура "Таймс". Ризография. Усл. печ. л.
Тираж 100 экз. Заказ №
Университет машиностроения
107023. г. Москва, Б. Семѐновская ул., 38.