11 6. ценных бумаг Оптимальные портфели

Часть 11
Оптимальные портфели
ценных бумаг
Глава
6. Вероятностная модель рынка
В этой части изложены недетерминированные модели финансо­
вьIХ операций, сделок и процессов. Недетермированные модели ис­
пользуются в анализе и принятии финансовых, в частности, инве­
стиционных, решений в условиях неопределенности и риска. В этих
моделях будущие цены и доходы активов и, следовательно, соста­
вленньIХ из них портфелей заранее неизвестны. Значительный про­
гресс в финансовой теории был достигнут, когда эти характеристики
стали рассматривать как случайные величины. Используя числовые ха­
рактеристики этих случайньIХ величин, такие как математическое
ожидание, дисперсия и др., стало возможным количественно охарак­
теризовать эффективность принимаемых финансовых решений. По­
явилась возможность введения различных мер риска принимаемьIХ
решений.
Простейшая вероятностная модель рынка. Будем считать, что ры­
нок ценньIХ бумаг в конце некоторого периода может наiодиться на­
ходится в ОДНОМ из трех состояний: .
s1' s2,
где s1 -
sз,
"хорошее" состояние, s2 - "среднее" состояние, s - "плохое"
3
состояние рынка.
При этом заданы вероятности этих состояний:
p(s1)
88
-
вероятность того, что рынок находится в состоянии
s1,
Глава
p(s2)
p(s3)
6.
Вероятностная модель рынка
вероятность того, что рынок находится в состоянии s2,
- вероятность того, что рынок находится в состоянии s •
3
--
Активы, обращающиеся на рынке, будем обозначать А 1 , ~' А3 , •••
•
Пусть задана таблица годовых доходностей для некоторых трех
активов Al' ~' А3 в каждом из состояний рынка. Годовые доходности
активов, заданные в таблице, измеряются в процентах.
Состояния Вероятности
Доходность
активаА 1 (%)
Доходность
актива А 2 (%)
актива~(%)
rв
SI
p(s1)
r11
r12
s2
p(s)
r21
r22
Sз
р(sз)
'з1
'з2
Доходность актива А.
'
(i = 1, 2, 3)
Доходность
'
r2з
'зз
можно рассматривать как дис-
кретную случайную величину, которая принимает значение 'н с ве-
роятностью p(s1), значение r2; с вероятностью p(s), значение r3; с веро­
·ятностью p(s3). Обозначим эту случайную величину
R;.
Тогда ожидаемую доходность актива А; можно определить как
математическое ожидание mi =E[Ri] случайной величины Ri. Мате­
матическое ожидание случайной величины R; - доходности актива,
вычисляется по формуле
·
т; = E[R;]= rlip(s 1) + r 2;p(s2) + r3;p(s3).
(6.1)
Математическое ожидание часто называют средним значением
случайной величины
-
оно представляет собой число, вокруг кото­
рого "группируются" значения этой случайной величины.
Пример
6.1.
Пусть задана таблица годовых доходностей для трех
активов А 1 , ~' А3 в каждом из трех состояний рынка. Годовые доход­
ности активов, заданные в таблице, измеряются в процентах.
Доходность
Состояния
Вероятности
Доходность
активаА 1 (%)
Доходность
актива А 2 (%)
актива А3 ( % )
s1
0,3
20
30
-10
20
5
15
5
-20
15
~-·-
s2
0,6
sз
0,1
.
Найти ожидаемую доходность для каждого актива.
Решение. Согласно формуле
(6.1), получаем для первого актива (i = 1)
т 1 = E[R1] =r11p(s1) + r21 p(s2)+ r31 p(s ) = 20·0,3 + 20·0,6+5·0,1=18,5;
3
89
Часть
11.
Оптимальные портфели ценных бумаг
для второго актива
т 2 =Е[~]
(i = 2)
=r12p(s 1} + r22p(s2}+r32p(s3) = 30·0,3 + 5·0,6 + (-20)·0,1 =10;
для третьего актива
т 3 =Е[R3 ] =rвp(s 1 )
(i = 3)
+ r23p(s2 )+r3 зP(s)=(-10)·0,3+15·0,6 +15·0,1=7,5.
Итак, ожидаемая доходность 1-го актива 18,5%, ожидаемая до­
ходность 2-го актива 10%, ожидаемая доходность 3-го актива 7,5%.
Однако математическое ожидание не единственная характери­
стика случайной величины. Вторая характеристика случайной вели­
чины
-
дисперсия случайной величины, характеризующая "степень
отклонения" случайной величины от ее среднего значения. Ее также
называют вариацией случайной величины. Вариация
ной величины
V[R;]
случай­
R; вычисляется по формуле:
V(R) =
(rн - m;) 2p(s1) + (r2; - m;) 2p(s2) +(r3; -m;) 2p(s3).
(6.2)
В теории инвестиций Марковица математическое ожидание есть
формальный аналог понятия доходности актива, а вариация служит
мерой его риска. Другими словами полагают, что вариация
чайной величины (доходности)
V(R)
слу­
R; задает ожидаемый риск при вложе­
нии средств в актив Аl..
Из определения вариации видно, что она имеет размерность ква-
драта размерности величины
R;. Чтобы использовать в качестве меры
разброса характеристику той же размерности, вместо вариации часто
используют среднеквадратическое отклонение
С5; = cr(R)
= .jV[R].
(6.3)
Пример
6.2. Пусть задана таблица годовых доходностей для неко­
торых трех активов в каждом из состояний рынка (см. пример 6.1).
Годовые доходности активов заданные в таблице измеряются в про­
центах. Найти ожидаемый риск при вложении средств в покупку
каждого актива.
Решение. Согласно формуле
(i = 1):
V[R1] = (r11 - m1)2p(s1)
+ (r21
(6.2),
получаем для первого актива
- m1)2p(s2)
+ (rз1 -
т1)2р(sз) =
18,5) 2 ·0,3 + (20 -18,5) 2 ·0,6 + (5 -18,5) 2 ·0,1=20,25;
для второго актива (i = 2):
V[Rz] = (r12 - m2) 2p(s1) + (r22 - m2) 2p(s2) + (rз2 - m2) 2p(s3) =
= (20 -
= (30-10) 2 ·0,3 + (5 -10) 2 ·0,6 + (-20-10) 2 ·0,1=225;
для третьего актива (i = 3):
90
Глава
6.
Вероятностная модель рынка
= (rв - тз)2р(s1) + (r2з - тз)2р(s2) + (rзз - тз)2р(sз) =
(-10- 7,5) 2 ·0,З + (15- 7,5) 2 ·0,6 + (15-7,5) 2 ·0,1=131,25.
V[Rз]
=
Среднеквадратические отклонения, вычисляемые по формуле
(6.3),
a(R1) = JV(R1 ) = 4,5 ; a(R) = ~V(~) = 15; a(R3 ) = JV(R 3 ) = 11,46.
Ожидаемый риск 1-го актива 4,5%, ожидаемый риск 2-го актива
15%, ожидаемый риск 3-го актива 11,46%.
Оценки активов. Оценкой актива Ai будем называть пару значений
доходность-риск (mi, у;) или
следующую таблицу:
(mi' а). Сведем получ;енные результаты в
·
Az(%) ДОХОДИ. А/%)
Ra2
RаЗ
состояния
вероятн.
доходи.А,(%)
s
p(s)
Rai
1
2
0,3
20
20
30
-10
5
15
3
0,1
E(R;) =
5
15
18,5
20,25
-20
10
225
131,25
4,50
15,00
11,46
0,6
ожидаем. доходи.
вариация
V(R)
=
стандарт. отклон.
Пример
6.3.
O'(R;) =
доходи.
Найти оценку активов из примера
7,5
6.1.
Решение. Для первого актива
E(R1) = 18,5; V(R1) = 20,25;
Для второго актива E(R) = 10; V(R2 ) = 225;
Для третьего актива E(R) = 7,5; V(R3) = 131,25.
Следовательно, оценка 1-го актива
(18,5; 20,25),
оценка 2-го ак­
тива
(10; 225), оценка 3-го актива
(7,5;. 131,25).
Актив имеет наилучшую оценку в данном множестве оценок, если
в этом множестве нет оценки с большей ожидаемой доходностью и с
меньшим риском.
Пример
6.4.
Найти актив с наилучшей оценкой из примера
6.3.
Решение. Наилучшей является оценка первого актива, так как
ожидаемая доходность этого актива
20,25 < 131,25 < 225.
18,5 > 1О > 7,5, а ожидаемый риск
Однако, если бы на рынке имелись бы только
второй и третий активы, невозможно бьшо бы выбрать актив с наи­
лучшей оценкой, так как ожидаемый риск и ожидаемая доходность
второго актива больше, чем ожидаемый риск и ожидаемая доход­
ность третьего.
91
Часть
11.
Оптимальные портфели ценных бумаг
Общая конечная вероятностная модель рынка. Пусть рынок может
находиться в одном из множества
. S ={sl' s2,
состояний. Множество
S называется
ка. Каждое состояние
s
•.• ,
sm}
пространством состояний рын­
имеет вероятность
p(s)
г О его реализации.
Ниже для краткости, вероятность состояния sk будем обозначать pk.
При этом, естественно, выполняется соотношение:
Р1
+ Р2 +... +рт= 1.
Рассмотрим актив А, обращающийся на таком рынке. Тогда до­
ходность актива А является случайной величиной
R =
Rл, принимаю­
щей значения rl' r2 ,.", rm в состояниях sl' s2,"., sm соответственно. На­
бор возможных доходностей с указанием соответствующих им веро­
ятнос~:;ей называется распределением доходности актива. Оно обыч­
но задается таблицей вида
1
Значения: r
r1
r2
rm
Вероятность: р
Р1
Р2
Рт
С точки зрения теории вероятностей, в распределении содер­
жится "вся" необходимая информация о случайной величине. Не­
удобство состоит в том, что распределение является функцией, в дис­
кретном случае задаваемой таблично. Непосредственное использо­
вание распределений (таблиц) при сравнении активов Затруднитель­
но, поскольку в реальности число "различимых" значений доходно­
сти может быть достаточно большим.
На практике вместо распределений используются важнейшие
качественные характеристики случайной величины
-
ее математиче­
ское ожидание, дисперсия и стандартное отклонение.
Ожидаемая доходность актива равна:
тА =
E[R) = r1P1 + Г2Р2 +... + rmpm ·
(б.4)
Риск (вариация или дисперсия) актива задается в общем случае
выражением:
. (6.5)
То есть это математическое ожидание квадрата отклонения слу­
чайной величины от ее среднего значения. Дисперсию можН:о вы­
числять исходя из основного определения случайной величины, в
этом случае вместо СЛУЧайн.ой величины
ная величина
чины
R.
лению:
92
(R-E[R])
2
,
R рассматривается случай­
являющаяся функцией от исходной вели­
Дисперсию доходности можно вычислить по ее распреде­
=(rl - тА)2Р1 + (r2 - т)2Р2 + ... + (rn;.... т)2Рп·
Здесь тл = Е[ Rл]
-
(6.6)
ожидаемая доходность актива:
· Наконец, среднеквадратическое отклонение доходности актива
равно ад
=
JV: .
Ожидаемая доходность и риск (вариация и стандартное отклоне­
ние) доходности актива являются его важнейши~и инвестиционны­
ми характеристиками, на основании которых инвестор принимает
решение о размещении средств в этот актив.
Оценка инвестиционных портфелей. Пусть имеется некоторый на­
чальный капитал. И пусть в процессе вложения (инвестирования)
начального капитала по:купа10тся некоторые активы. Наша задача
научиться находить доходность вложения капитала при различных
состояниях рынка. При этом все оценки делаются для фиксирован-
. ного периода [t0, t 1].
Иными словами, мы снова рассматриваем одно­
периодную модель, но уже в условиях неопределенности и риска.
Рассмотрим снова общую конечную модель рынка, описанную
выше. Пусть рынок в конце инвестиционного периода может на­
ходиться В ОДНОМ ИЗ
Рр р2 ,
••• ,
А?, ... , А
-
п
m
СОСТОЯНИЙ SI'
s2,
•••
, Sm С верОЯТНОСТЯМИ
рт?:. О. Пусть, также, на рынке обращаются п активов Al'
. Рассмотрим портфель
1t
= z!Al
+ Zr42+ ... ' znAn.
Обозначим начальные цены активов А 1 , А2 , ... , Ап через
pl О ' р2О
' ••• '
рпО
соответственно. Конечные цены зависят, естественно, от состояния
рынка. Пусть
P/(s)
=
Pik 1 -
конечная цена актива
Ai в
состоянии
sk.
Нача.Jfьная стоимость портфеля п равна, очевидно,
W°(n)
= zlplo + z1p2o + ." + zпрпо'
а конечная стоимость портфеля в состоянии
Ui(n)
sk
=· U-:1(n:) = z1P1k1 + z2P2k1+ ". + zпрkп1.
Тогда доходность портфеля п в состоянии
sk равна, очевидно,
(6.7)
Ясно, что доходность портфеля п есть случайная величина R(n) с
распределением:
93
Часть!!. Оптимальные портфели ценных. бумаг
Доходность
R(n)
Вероятность р
Пример
6.5.
r1 (тт,)
r2(1t)
...
Pi
Р2
...
r
т
(тт,)
Рт
Рассмотрим рынок из трех активов из примера
6.1.
Предположим, что начальные цены активов АР~' А3 равны Р1 ° = $50,
Р2 ° = $20, Р3 ° = $100 соответственно. Найти начальную и конечную
стоимость, а также доходность портфеля п = 4А 1
+ 5~ + 2А3 в каждом
из трех возможных состояний рынка. Найти ожидаемую доходность
и риск (вариацию и стандартное отклонение) портфеля.
Решение. Начальная цена портфеля равна
W 0(n)
= 4Р1 °
'2.д
0
. 1 ,,,
-.i-
,
+ 5Р2 ° + 2Р3 ° = 4·$~+ 5·~0 + 2·$~;е $500.
Конечная цена ~k актива А1 в состоянии sk равн?,d'чевидно,
pk
= РJ 0 (1 + r.k),
'
1
1
где Р. 0 - начальная цена актива. Используя данные о доходностях ак1
тивов из примера 6.1, получим конечные цены для первого актива в
различных состояниях:
pll '
$50(1 +О,2)=$60, р12=$50(1 +О,2)=$60, РIЗ = $50(1 +О,05)=$52,5.
Для второго
Р21 =
$20(1 +0,3) =$26, Р22 = $20(1 +О,05) = $21,
р23 = $20(1- 0,2) = $16.
Для третьего
Р31 =
$100(1- 0,1) =
Р33
~Р32 =$100(1+0,15) = $115,
= $100(1+0,15) = $115.
Сведем полученные данные в таблицу:
Состояния
Конечная
Конечная
Конечная
ценаА 1 ($)
цена~($)
ценаА3 ($)
60
60
52,5
26
21
16
90
115
115
s1
s2
S3
Конечная цена портфеля п в состоянии sk равна
~ (п)
= 4Ptk + 5p2k + 2Рзk'
где ~k конечная цена актива А в состоянии sk. Тогда получаем
~(тт,)
1
= 4 $60 + 5 $26 + 2 $90 = $550,
"V;(7t) = 4 $60 + 5 $21+2 $115 = $575,
v;(п) = 4 $52,5 + 5 $16 + 2 $115 = $520.
94
Глава
6.
Вероятностная модель рынка
Теперь можно найти доходность портфеля в каждом состоянии. Со­
гласно формуле (7 .1):
'1(1t) = (550 - 500)/500 = 0,10, или 10%.
'2(1t)= (575 - 500)/500 = 0,15, или 15%.
r 3(1t)
= (520 - 500)/500 = 0,04, или 4%.
Занесем полученные результаты в таблицу:
s,
10%
0,3
Состояния
Доходность
Вероятность
s2
15%
0,6
sз
·: 4%
0,1
Последние две строки таблицы задают распределение доходности R1t портфеля.
Ожидаемая доходность портфеля равна, очевидно,
E(R7t) = 0,3·0,1
+ О,6·0,15 + О,1 ·0,04 = 0,124, или 12,40%.
Вариация доходности портфеля
R
7t
равна:
2
V(R7t )=(О,1-0,124)
• О,3+(0,15-0,124)2· О,6+(0,04-0,124) 2 • 0,1 =О,001284.
.
Стандартное отклонение доходности портфеля
R1t равно:
cr(R7t) = ~V(Rтr) =~0,001284 = 0,03583, или 3,58%.
Выше мы находили доходность портфеля по основной формуле
(см. формулу
феля. В
(3.8)) исходя из начальной и конечной стоимости порт­
главе 3 приведена формула (3.9), связывающая доходность
портфеля с доходностями входящих в него активов. В этой формуле
используется не позиционное, а весовое представление портфеля.
Если известны веса активов в портфеле, то реализованная доход­
ность портфеля будет равна:
r/n) =
r 1kw 1
+ r 2kw2 + ... + rnkwn,
где~ w. =
0
W} 0/W°(n) = z.P.
/Wo(n) - портфельный
} }
его доходность в состоянии sk •
Пример 6.6. Найдите доходности портфеля
пользуя формулу (6.8). .
}
(6.8)
1
вес актива А ., а
из примера
r1.k ис-
6.4,
·
Решение. Найдем_сначала веса активов в портфеле:
w1 = 4 $50/$500 =(~4)w2 = 5 $20/$500
-(?) w3 =2$100/$5001·0А;)
-......
Тогда доходность портфеля в трех состояниях будет
r1 (1t) =<§"AJo,2 +. ~0,3
r2 (7t)
-...
~
. ,4·_ ,1=0,1,
-е·О.2 -(OJ0.05 +(O.JI0.15 - О.15,
.,
·-
/
tw ()li.,C/'lA)
95
Часть
ОпmимШJьные портфели ценных бумаг
11.
= 0,4-0,05 - 0,2·0,2 + О,ФО, 15 = 0,04.
r3(n)
Мы получили те же результаты, что и при прямом вычислении.
Формула (6.8) верна для любого состояния рынка. Тем самым он
остается верной для доходностей портфеля как случайной величины.
Можно записать:
(6.9)
где
R.1 -
случайная величина
-
доходность актива А1.. Это важнейшее
соотношение будет основой для финансового анализа портфельных
инвестиций.
Задачи к rлаве 6
1. Пусть задана таблица годовых доходностей для некоторых трех
активов в каждом из состояний рынка. Годовые доходности активов,
заданные в таблице, измеряются в процентах.
Состояния Вероятности
Доходность
Доходность
Доходность
актива А 1 (%) активаА2 (%) актива А 3 ( % )
s,
0,4
25
30
-10
s2
0,3
10
35
30
S3
0,3
5
40
40
Найти ожидаемую доходность и ожидаемый риск (в процентах)
для каждого актива. Найти оценку каждого актива и выбрать актив с
наю'lучшей оценкой, если такой имеется.
2. Акции А и В имеют следу"Iощие распределения вероятностей
доходности (%):
Вероятность
р,=
Доходность
rА,1 = -20
Доходность
Ri%)
Ri%)
rв,
0,4
,= 10
Р2 =
0,1
Рз
= 0,1
Р4 =
rА,2 = 15 · ГАЗ =10
'
rB,2
=5
0,3
Ps= 0,1
rA, 4= 40
rA,S= 30
'в.з = 20 rВ,4 = -10 'вs
'
=
25
а) Подсчитайте ожидае:м:ую доходность, вариацию и среднеква­
дратическое отклонение доходности акции А.
6)
Подсчитайте ожидаемую доходность, вариацию и среднеква­
дратическое отклонение доходности для акции
JJ.
в) Какая из акций будет более рисковым вложением с точки зре­
ния инвестора.
96
Глава
3.
7t= 2А 1
Для рынка из задачи
6.
Вероятностная модель рынка
1 найти доходность и риск портфеля
+ 3~ + 5А3 • Какова начальная и конечная стоимость портфе­
ля, если начальные цены активов равны:
Р1 °
4.
= $20, Р2° = $30, Р3 ° = $40 соответственно.
Пусть рынок из двух активов описывается таблицей, в которой
указаны цены активов в конце инвестиционного периода и дивиден­
ды в каждом из трех возможных состояний рынка. Пусть цены акти­
вов А 1 и ~ в начале периода равны
доходности активов и портфеля 1t
и
$60
= 5А 1 -
$70
соответственно. Найти
2А для 'каждого состояния
2
рынка. Найти ожидаемую доходность и риск активов и портфеля 1t,
при условии равновероятности всех состояний рынка.
Актив~
АктивА 1
Дивиденды
Состояние экономики
($)
Цена($) Дивиденды($) Цена($)
5,00
80
10,00
100
Нормальное развитие
2,00
40
5 00
85
Экономический спад
0,00
25
2,00
40
Экономический подъем
-
,,
1
' '.
7175
'