Область применимости уравнений классической механики

Доклады независимых авторов
2009 выпуск 13
Жмудь А.А.
Область применимости уравнений
классической механики
…Основное противоречие физики заключается в том, что
решение конкретных задач требует максимального
количества упрощающих допущений, а для построения
наиболее общей теории количество ограничений должно
быть минимальным.
Моему отцу Жмудь Аркадию Моисеевичу посвящается
Аннотация
Проведен
анализ
энергетического
уравнения
макросистемы, учитывающего её внутреннюю энергию, и
показано, что область применимости уравнений
классической механики ограничивается не диапазоном
скоростей, как это следует из уравнений релятивистской
физики, а определяется характером энергетических
преобразований в системе.
Содержание
1. Введение
2. Закон сохранения энергии в механике
3. Преобразование энергии в свободно движущихся системах
4. Заключение
Литература
1. Введение
Известно, что в рамках релятивистской физики впервые была
показана возможность масс–энергетических преобразований [1].
Данное открытие объективно потребовало пересмотра основных
положений механики в части её законов сохранения [2], однако так
и не нашло отражения в уравнениях физики низких энергий, в
соответствии с которыми развитие механической системы во
времени однозначно определяется заданием её координат и
скоростей, или функцией Лагранжа [3]
81
Физика и астрономия
• •
•
L = f ( q1, q2 ,..., qi , q1, q 2 ,... qi , t ),
где t – время, qi и qi – обобщенные координаты и скорости
механической системы соответственно.
То, что открытие Эйнштейна никак не повлияло на физику
низких энергий, связано с тем, что уравнения релятивистской
физики в случае малых скоростей переходят в известные
классические уравнения [3]. Соответственно теория Эйнштейна
фактически не разрешила проблем классической механики,
потребовавших в свое время создание данной теории.
В данной работе проведен анализ энергетического уравнения
механики с учетом массы и внутренней энергии макросистемы, и
показано, что полученное уравнение объективно описывает масс –
энергетические преобразования в области высоких и низких
энергий, но в отличии от релятивистских уравнений никак не
связано с постулатами теории относительности. Показано также,
что область применимости уравнений классической механики
ограничивается не диапазоном скоростей, а характером
энергетических преобразований.
2. Закон сохранения энергии в механике
В наиболее общем виде закон сохранения энергии любой
замкнутой системы может быть записан в следующем виде [3]:
all
EΣ = Σ Ei = const
i =1
(1)
,
где Ei – различные виды энергий, связанные с изучаемой системой.
Очевидно, что в частных случаях исследования конкретных
процессов преобразования энергии данное уравнение может быть
упрощено. Например, для замкнутой механической системы,
находящейся в потенциальном поле, понимая под кинетической EК
– энергию, зависящую от скорости r и потенциальной EP –
энергию, зависящую от координат r системы соответственно,
уравнение (1) может быть переписано в следующем виде:
•
all
E Σ = E Κ (mΚ ; r ) + E Ρ (mΡ ; r ) + Σ E Ιj = const
j =1
82
,
(2)
Доклады независимых авторов
2009 выпуск 13
где EIj – различные виды внутренней энергии, не зависящие от
скорости и координат системы, а mК и mР - кинетическая и
потенциальная массы, характеризующие количество вещества в
макросистеме. В общем случае в уравнении (2) кинетическая и
потенциальная массы не равны друг другу
mΚ ≠ mΡ .
(3)
Однако, в процессах, идущих без изменения кинетической и
потенциальной масс, и без изменения внутренней энергии системы,
потенциальную и кинетическую массы можно связать следующим
соотношением:
mΡ = k j ⋅ mΚ = const
,
(4)
где kj
– постоянная, характеризующая конкретный вид
потенциального поля. Если постоянная kj не зависит от вещества, то
она может быть включена в постоянную взаимодействия системы с
данным полем (например, в гравитационную постоянную в случае
гравитационного поля). В этом случае уравнение (2) может быть
преобразовано в уравнение классической механики, когда энергия
системы зависит только от её скорости и координат [3] (с точностью
до постоянного множителя – кинетической массы системы mК):
•
EΣ = EΚ (r ) + EΡ (r ) = const
,
(5)
т.е. уравнения классической механики, с точки зрения закона
сохранения энергии, соответствуют случаю, когда развитие системы
во времени идёт без изменения её кинетической и потенциальной
масс, и без изменения внутренней энергии системы: mK, mP, EI =
const.
3. Преобразование энергии в свободно
движущихся системах
В отсутствие внешних сил уравнение (5) объективно описывает
упругие столкновения частиц [3], но легко видеть, что оно не в
состоянии описать простейший случай распада покоящейся
макросистемы ( EК, EP = 0 ) на два или более разлетающихся тела
(рис.1), тогда как уравнение (2) легко решает данную проблему:
83
Физика и астрономия
•
•
EΚ1 (mΚ1 ; r1 ) + EΚ 2 (mΚ 2 ; r2 ) = ∆EΙ
,
(6)
т.е. сумма кинетических энергий разлетающихся осколков равна
внутренней энергии, потерянной системой в процессе распада. В
общем случае уравнение (6) не требует изменения массы
макросистемы в процессе распада. Однако если внутренняя энергия
связана со структурой вещества, то распад может сопровождаться
уменьшением кинетической массы изучаемой системы (взрыв,
реактивное движение, ядерные процессы и т.д.). В этом случае для
внутренней энергии системы можно записать следующее
соотношение:
EΙ = EΙ ( mΙ ; Сi )
,
(7)
где mI – энергетическая масса макросистемы (в общем случае mI ≠
mK), Сi – постоянная, характеризующая определённый вид
внутренней энергии. Подставляя уравнение (7) в уравнение (6)
получим:
•
•
EΚ1 (mΚ1 ; r1 ) + EΚ 2 (mΚ 2 ; r2 ) = ∆EΙ (∆mΙ , ∆Сi )
.
(8)
Рис.1. Распад макросистемы (взрыв, реактивное движение и т.п.).
Последнее уравнение достаточно универсально и легко
переходит в: уравнение ядерного распада, в случае эквивалентности
энергетической и кинетической масс ∆mI = ∆mK,; в уравнение
84
Доклады независимых авторов
2009 выпуск 13
реактивного движения в случае ∆mI = mK2; в уравнения
термодинамики при mI = const и ∆Сi = ∆T, где Т – температура
системы и т. д.[4]. Перепишем уравнение (8), используя
классическое соотношение для связи кинетической энергии с
импульсом [3]:
Ρi2
= EΙ ( ∆mΙ ; Сi )
∑
.
i =1 2 mΚi
2
(9)
Из последнего уравнения нетрудно увидеть, что размерность
постоянной Сi равна квадрату скорости. Полагая, что:
EΙ = mΙ ⋅V02
,
(10)
где V02 = const – постоянная характеризующая конкретный вид
внутренней энергии, для частного случая, когда возможно
преобразование всей массы тела в электромагнитную энергию
получим хорошо известное соотношение А. Эйнштейна [1]:
EΙ = m0 ⋅ c02
,
(11)
где C0 – скорость света. При этом уравнение (2) примет следующий
вид:
V2
EΣ = m c (1 + 2 ) = const
2c0
2
0 0
,
(12)
или при (V2/C02) < 1 с точностью до (3V4/8Ci4) [5]
EΣ =
m0 ⋅ c02
1−
V2
c02
(13)
– релятивистское соотношение для связи энергии с массой, т.е. в
случае электромагнитных взаимодействий уравнения классической
физики,
учитывающие
внутреннюю
энергию
системы,
эквивалентны уравнениям релятивистской физики при скоростях
менее скорости света.
4. Заключение
Проведенный анализ показывает, что область применимости
уравнений классической механики определяется не диапазоном
85
Физика и астрономия
скоростей движения макросистемы, а характером энергетических
преобразований в ней.
1.
2.
3.
4.
5.
86
Литература
А. Эйнштейн, О принципе относительности и его следствиях,
Собрание научных трудов, Наука, Москва (1965), т.1, с. 93-94.
А. Эйнштейн, Закон сохранения движения центра тяжести и
инерция энергии, Собрание научных трудов, Наука, Москва
(1965), т.1, с. 44.
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Механика и Электродинамика,
Наука, Москва, 1969, с.с. 11, 26, 27, 30, 47-50, 150, 153.
Жмудь А.А. Энергетические уравнения современной механики,
Новосибирск, Экор-книга, 2003. (ISBN 5-85618-019-05).
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике,
Наука, Москва-Лейпциг(1981), с. 92.