ЛЕКЦИЯ 15 Уравнение Клейна

Л Е К Ц И Я 15
ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Продолжение
УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА-ГОРДОНА
E2 = p2c2 + µ2c4
Делая в выражении
E → ih
∂
,
∂t
подстановки
p → -i h ∇,
получим
- h2
∂2ψ
2 2 2
2 4
2 = (-c h ∇ + µ c )ψ = 0
∂t
или
∇2ψ -
1 ∂ 2 ψ µ 2 c2
− 2 ψ = 0.
c 2 ∂t 2
h
(∗ )
Вводя инвариантный оператор Даламбера
∆=
∂
∂
∂x ν ∂x ν
≡ ∇ ν ∇ ν = gνλ
∂
∂
∂x ν ∂x λ
запишем уравнение в явно ковариантной форме
µc 2
∆ψ + (
) ψ=0
h
=
1 ∂2
− ∇2 ,
c2 ∂t 2
(∗ ∗ )
К нему можно прийти и из ковариантного соотношения
p2 = pνpν = µ2c2,
делая в нем подстановки
pν → -i h
∂
≡ -i h ∇ν.
∂x ν
Так или иначе, имеем релятивистский аналог уравнения Шредингера, которое называется
уравнение Клейна-Гордона.
Умножая (∗ ) слева на ψ∗, а сопряженное уравнение слева на ψ и производя
вычитание, после элементарных выкладок получим уравнение непрерывности
∂ρ
+ divj = 0,
∂t
выражающее некий закон сохранения, в котором
1
ρ=
ih
∂ψ ∗
∗ ∂ψ
(
ψ
−
ψ
)
∂t
∂t
2µc2
j=
h
(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) .
2µi
и
Можно поступить иначе: умножить (∗ ∗ ) на ψ∗, а сопряженное уравнение на ψ и
вычесть. Тогда получим уравнение непрерывности в ковариантной форме
∇µjµ = 0,
где
jµ = ψ∗∇µψ - ψ∇µψ∗.
Расписывая по компонентам, получим те же результаты.
Вектор j получился абсолютно таким же, как в нерелятивистской квантовой
механике, а там мы его отождествили с вектором плотности потока вероятности. Но там
плотность вероятности была
ρ = |ψ|2 ≡ ψ∗ψ,
а здесь для нее получилось другое выражение. Казалось бы, и здесь новое ρ можно
интерпретировать как плотность вероятности. Но такая интерпретация не проходит.
Уравнение Клейна-Гордона - второго порядка по времени, а потому для него необходимо
∂ψ
задать 2 начальных условия - для ψ и
. И их всегда можно подобрать так, что будет ρ<0.
∂t
Мало того, если при t=0 ρ>0, то по истечении времени может быть как ρ>0, так и ρ<0, т.е.
плотность вероятности будет индефинитной, тогда как она должна быть всегда по самому
смыслу быть положительно определенной.
Видим, что трудность проистекает из-за того, что в уравнении - вторая производная
по времени. Попытаемся получить релятивистское уравнение первого порядка по времени.
Но в СТО время и координаты равноправны, поэтому уравнение должно быть первого
порядка и по координатам. Общий вид такого уравнения
ih
∂ψ hc
∂ψ
∂ψ
∂ψ
2
$
=
(α 1 1 + α 2
2 + α3
3 ) + βµc ψ ≡ H ψ ,
i
∂t
∂x
∂x
∂x
где i h в самом начале поставлено просто для удобства, для сравнения с обычным
уравнением. Здесь α1, α2, α3 и β - некоторые неизвестные коэффициенты. Ясно, что ψ не
может быть обычной скалярной функцией, ибо при обычном трехмерном вращении левая
часть не изменится, а правая преобразуется как вектор. Поэтому считаем ψ
многокомпонентной (с дополнительными внутренними степенями свободы):
 ψ 1 (r , t ) 


 ψ 2 (r , t )
ψ= 
.
.. .. .. .. 


 ψ N (r , t ) 
2
Поэтому на самом деле нужно писать не ψ, а ψσ(r,t), и отсюда уже почти ясно, что αj
и β должны быть не обычными числами, а матрицами.
3
Каждый компонент ψσ должен подчиняться уравнению Клейна-Гордона
∂2ψ σ
− h
= (− c 2 h 2 ∇ 2 + µ 2 c 4 )ψ σ ,
2
∂t
2
так как оно выражает лишь релятивистское соотношение между p и Е. Это сейчас
позволит нам найти коэффициенты αj, β. Для этого берем уравнение
∂ψ
ih
= H$ ψ
∂t
∂
и действуем на обе его части оператором i h = H$ :
∂t
ih
∂ψ
∂
$ ).
( ih
) = H$ ( Hψ
∂t
∂t
Подставляя явное выражение H$ и производя аккуратно (с учетом возможной
некоммутативности αj и β) перемножение, получим
− h2
αiαj + αj αi
∂2ψ
∂2ψ
hµ 3
∂ψ
2 2
=
−
h
c
(
)
c (α j β + βα j ) j + β 2 µ 2 c 4 ψ
2
i
j +
2
i
∂t
∂x ∂x
∂x
(по двойным индексам - суммирование от 1 до 3). Чтобы это уравнение совпало с УКГ,
необходимо потребовать
αiαj + αjαI = 2δij,
αiβ + βαI = 0,
β2 =1.
(∗∗∗)
Отсюда уже абсолютно ясно, что αj, β - матрицы, а потому H$ - матричный (и
дифференциальный) оператор. Поскольку H$ должен быть эрмитовым оператором, то αj,
β-квадратные матрицы, причем порядка N×N, где N - число компонентов у ψσ. Система
уравнений (∗∗∗) неразрешима при слишком малых N(=1,2,3). Минимальное N, при
котором система перестает быть переопределенной, есть N=4 (вообще можно доказать,
что N должно быть четным, мало того, оно должно быть квадратом, так что следующее N
есть N=16). Одно из возможных решений таково:
 0σ i 
 I 0
αi = 
β= 
,
,
 σ i 0
0 − I 
где σi - матрицы Паули:
 01
σ1=   ,
 10
0 − i 
σ2= 
,
 i 0
 1 0
σ3= 
;
0 − 1 
 10
I=   .
 01
Существуют и другие решения, но они не дают новой физики, ибо связаны с
предыдущим преобразованием унитарной эквивалентности.
Итак, получаем уравнение Дирака
∂ψ hc
∂ψ
ih
=
αj
+βµc2ψ,
∂t
i
∂x j
4
где матрицы Дирака подчиняются соотношениям (∗∗∗), и один из наборов выписан явно
выше. Функция ψ на самом деле есть 4-компонентный столбец
 ψ 1 (r , t ) 


 ψ 2 (r , t )
ψ(r,t) = 
,
ψ 3 (r , t )


 ψ 4 (r , t ) 
и в более подробной форме записи уравнение Дирака выглядит так:
∂ψ σ
hc σδ ∂ψ σ
2
ih
=
αj
j +βµc ψσ
∂t
i
∂x
На самом деле это система четырех уравнений для четырех функций ψσ.
Уравнение Дирака можно записать гораздо более симметрично, если умножить
обе его части слева на β и ввести новые матрицы 4×4
γ0 = β,
γj = βαj = γ0αj,
удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям
γµ γν + γνγµ = 2gµν.
Тогда получим
iγν
∂ψ
µc
) ψ = 0.
ν −(
h
∂x
Именно в этой форме записи удобнее всего исследовать свойство релятивистской
инвариантности.
Введем сопряженную функцию
ψ+ = (ψ1∗,ψ2∗,ψ3∗,ψ4∗),
которая подчиняется уравнению, сопряженному дираковскому:
∂ψ +
hc ∂ψ +
2 +
− ih
=−
j αj + βµc ψ .
∂t
i ∂x
Умножая уравнение Дирака слева на ψ+, а сопряженное справа на ψ, найдем
i h ψ+
∂ψ hc ∂ψ
=
αj ψ+ + βµc2ψ+ψ.
∂t
i ∂x j
и
∂ψ +
hc ∂ψ +
2 +
− ihψ
=−
j αj ψ + βµc ψ ψ
∂t
i ∂x
Производим вычитание
ih
hc ∂
∂
(ψ + ψ ) =
(ψ+αj ψ).
∂t
i ∂x j
В итоге получаем уравнение непрерывности
5
∂ρ
+ divj = 0,
∂t
где
ρ = ψ +ψ ,
j = cψ+αψ [α
α ≡ (α1, α2, α3)].
Величина ρ положительно определена:
ρ = ψ12 + ψ22 + ψ32 + ψ42
и может быть интерпретирована как плотность вероятности, чего нельзя было сделать в
случае уравнения Клейна-Гордона. Она очень похожа на обычную плотность вероятности,
только содержит 4 слагаемых. Но вектор j, интерпретируемый как плотность потока
вероятности, теперь существенно изменился; в частности, он не содержит
пространственных координат.
Будем искать решение уравнения Дирака в виде
i
− Et
h
ψEp(r,t) = w(E,p) e
e
i
( pr )
h
 u
 u1  w1 
v1  w 3 
; w ≡  , u =   ≡  , v =   ≡   .
v 
 u2  w 2
v2 w 4 
Подставляя все это в уравнение Дирака и учитывая явный вид матриц αj и β,
получим алгебраическую систему формально двух, на самом деле четырех уравнений
Eu = c(σp)v + µc2u
Ev = c(σp)u − µc2v ,
где
σ = {σ1, σ2, σ3}, σp = σ1p1 + σ2p2 + σ3p3 = σjpj.
Условие нетривиальной разрешимости дает
E − µc 2
− c(σp )
− c(σp )
E + µc 2
=0
откуда
Е2 − µ2c4 − c2(σp)2 = 0.
Раскрываем
(σp)2 = (σp)( σp) = σjpj σkpk = (σjσk)(pjpk).
Учитывая, что
σjσk = 0 (j ≠k), (σj)2 = I,
получим
(σp)2 = p2,
и условие разрешимости запишется как
Е2 − µ2c4 − c2p2 = 0.
Таким образом, нетривиальные решения существуют лишь при
6
Е = ± p2 c 2 + µ 2 c 4 ≡ ±εp,
а это есть релятивистское соотношение между энергией и импульсом (но появились оба
знака!).
Так как det=0, то второе уравнение будет следствием первого, и его можно не
рассматривать, но лучше бывает оставить второе, а выкинуть первое. При Е=εp задает u
произвольно, тогда из второго
v=
c(σp)
u.
ε p + µc 2
Но само u содержит две линейно независимые функции:
ϕ1 0 
u(p) = u01(p) +u02(p) =   +   .
0   ϕ 2 
Поэтому находим при Е=εp>0:
 u 0λ (p)



(σp)
w+λ = 
 , (λ = 1,2).
c
u
p
(
)
0
λ
2
 ε + µc

 p

Вторую пару решений получим при Е = −εp < 0. Теперь будем считать заданным
 ϕ3  0 
v(p) = v01(p) = v02(p) =   +   ,
0   ϕ 4 
и из первого уравнения системы получим
u=-
c(σp)
v.
ε p + µc 2
Поэтому находим при Е = −εp < 0:
(σp)


v
− c
2 0λ 
w-λ(p) =  ε p + µc
.
v

 0λ

Таким образом, внутренними переменными, значения которых характеризуют
разные решения, являются знак энергии (+ и −), а также величина λ. Ее значения λ=1, 2
нумеруют решения внутри верхней пары u и нижней пары v компонентов полной
волновой функции.
7