ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СРЕДЫ В КОДЕ ЭГАК
А. Р. Гужова, Ю. А. Бондаренко, Ю. В. Янилкин
Институт Теоретической и Математической Физики,
Российский Федеральный Ядерный Центр
Всероссийский Научно-Исследовательский Институт Экспериментальной Физики,
Саров, [email protected] <[email protected]>
Введение
Код ЭГАК[1] предназначен для решения задач механики сплошной среды на эйлеровых и лагранжевоэйлеровых сетках с возможностью использования адаптивно-встраиваемых дробных счетных сеток.
Отличительной особенностью эйлеровых методов является наличие смешанных ячеек, то есть ячеек, в
которых присутствует два и более компонента со своими термодинамическими свойствами.
Для нахождения решения в смешанных ячейках вводятся замыкающие соотношения, которые вытекают
из каких-либо предположений о поведении среды. При решении уравнения теплопроводности самое простое
и наиболее часто используемое предположение – это предположение о мгновенном выравнивании
температуры компонентов. Оно вполне пригодно при моделировании многокомпонентной среды с близкими
свойствами компонентов или течений, в которых характерные времена газодинамических процессов
существенно больше тепловых. Однако, в течениях, в которых эти времена сравнимы, такое предположение
может приводить к большим погрешностям.
Представленный доклад посвящен проблеме повышения точности расчета двумерного уравнения
теплопроводности для многокомпонентной среды на эйлеровых сетках. В нем будут рассмотрены два
подхода, используемые в коде ЭГАК для решения данной проблемы, а также представлены некоторые
тестовые расчеты, иллюстрирующие каждый из этих подходов.
Особенности разностной аппроксимации уравнения теплопроводности для средней энергии
Итак, в коде ЭГАК решается уравнение теплопроводности в общем виде,
ρ
∂e
= div( χ ⋅ gradU ) + ρf
∂t
На границах может быть задана температура, поток тепла или комбинация этих двух граничных
условий:
U ( t , r ) t = t0 = U 0 ( r )
U (t , r )
Г1
.
= U 1 (t , r )
→
Wn (t , r ) Г 2 = ( χgradU , n )
Г2
= μ (t , r )U (t , r ) + η (t , r )
Здесь е – средняя по ячейке удельная внутренняя энергия, U– тепловая функция, f – источник, χ коэффициент теплопроводности.
В коде ЭГАК есть возможность проводить расчеты, как на регулярной четырехугольной сетке, так и с
использованием адаптивно-встаиваемой дробной счетной сетки. Допускается 5 уровней вложения. Основная
«исходная» сетка имеет 0 уровень дробления, ячейка 1 уровня получается делением ячейки 0 уровня
(ячейки-«мамы») на 4 части отрезками, соединяющими середины ее сторон; ячейка 2 уровня получается из
ячейки 1 уровня аналогичным способом и так далее. С помощью дробной сетки можно выделить фронт
ударной и тепловой волн, какие-то геометрические особенности задачи, а также контактные границы
веществ.
Использование дробной сетки в районе контактных границ позволяет значительно повысить точность
эйлеровых расчетов, и это первый подход, который рассматривается в данной работе. Как показали расчеты,
использование дробных сеток позволяет не только увеличить точность, но и сэкономить расчетное время,
так как подробная сетка используется только в небольшой части счетной области.
Кратко остановимся на особенностях разностной аппроксимации уравнения теплопроводности на
дробной сетке.
Для аппроксимации дифференциальных операторов используется дифференциально-проекционный
метод [2]. Вся рассматриваемая двумерная область покрывается 4-х угольной сеткой (основная сетка), на
основе которой строится другая сетка – “ узловая”. Далее рассматривается класс кусочно-постоянных
функций для первой и второй сетки, поэтому будем различать величины, отнесенные к узлу сетки, и
величины, отнесенные к ячейке.
Плотность ρ, тепловая функция U, энергия е, коэффициент теплопроводности χ, дивергенция
вектора потока div W отнесены к ячейкам сетки. Вектор потока W и градиент тепловой функции gradU
отнесены к узлам сетки.
На рисунке 1а представлены основная сетка и построенная на ее основе «узловая» сетка. «Узловая»
сетка строится следующим образом: находятся центры ячеек «исходной» сетки, находятся середины сторон
ячеек основной сетки, далее эти точки соединяются между собой.
Таким образом, «узловая» сетка покрывает всю счетную область без зазоров и наложений. На рисунке
1а черные точки – это узлы основной сетки, красные точки – узлы «узловой» сетки. В случае с дробными
сетками поступаем аналогичным образом. На рисунке 2б изображены основная и «узловая» сетки в случае
применения дробной сетки 1 уровня.
а
б
Рисунок 1 - Основная и «узловая» сетки: а – в случае регулярной сетки; б - при наличии дробности 1 уровня
На рисунке 2а приводится пример шаблона для расчета узла на стыке сеток разных уровней. Из рисунка
2а видно, что при рассмотрении узлов на стыке сеток разных уровней ячейка с низшего уровня
умозрительно делится пополам (синие пунктирные линии).
Отличительной особенностью аппроксимации на дробной сетке является то, что при расчете ячейки
более низкого уровня помимо стандартных четырех узлов, являющихся вершинами четырехугольника,
необходимо учитывать узел (или узлы), который лежит на стороне (или на сторонах) этой ячейки, и является
вершиной смежных дочерних ячеек ячейки-соседа. На рисунке 2б приведен пример шаблона для такого
узла.
а
б
Рисунок 2 – Пример шаблона: а - для расчета узла на стыке сеток разных уровней;
б - для расчета узла, лежащего на стороне ячейки
Таким образом, для этой ячейки необходимо учесть 5 узлов, вместо 4. Дополнительный узел считается
стандартным образом при расчете ячеек более высокого уровня, а когда приходим в интересующую нас
ячейку более низкого уровня, мы берем и используем уже посчитанное значение.
Итак, подытоживая распределение величин, символьно можно записать
∂e
ρ
= div χ⊕grad ⊕ U + ρf ,
∂t
где – означает, что величина относится к ячейке, ⊕ – величина относится к узлу.
Полученное уравнение аппроксимируется неявной консервативной разностной схемой на
девятиточечном шаблоне в случае регулярной сетки. При использовании дробных сеток количество
используемых для вычисления одной ячейки соседей может возрасти до 12. На рисунке 3а голубым цветом
представлены ячейки, участвующие в аппроксимации ячейки темно-синего цвета на регулярной сетке, на
рисунке 3б – пример фрагмента дробной сетки и ячеек, участвующих в аппроксимации в этом случае.
(
а
)
б
Рисунок 3 – Фрагменты сеток: а - регулярной сетки; б – дробной сетки
Для решения разностного уравнения вводится итерационный процесс по нелинейным членам.
Mj
( )T
∂ e T jν
∂T
ν +1
( )
⎡
⎤.
∂ e T jν
− τV jdiv χ T ν gradU ν +1 = M j ⎢ e T jn − e T jν +
T jν + f jν ⎥
∂T
⎢⎣
⎥⎦
( )
( ) ( )
Здесь Mj – масса j-той ячейки, Vj – объем j-той ячейки, Tν+1 – температура на (ν+1) итерации, Tν –
температура на ν-той итерации, Tn – температура с n-го временного слоя, τ – шаг по времени. Таким
образом, получили систему линейных уравнений, решая которую получаем решение на n+1 слое.
Представим результаты расчетов двух тестовых задач на прямоугольной и сферической сетках с
использованием дробной сетки в районе контактной границы веществ.
Задача 1. Одномерная плоская задача о теплообмене в двухкомпонентной среде
В прямоугольной области заданы (см. рис 4а) два вещества со следующими начальными данными:
e1 = 1.0 , e 2 = 0 . 0 , ρ 1 = 2 .0 , ρ 2 = 1.0 . Для обоих веществ используется УРС - идеальный газ с γ=5/3. В задаче
использовались пробеги вида l = AT m ρ n со следующим набором констант A = 0.05, m = 3, n = −2 для первого
вещества и A = 0.24, m = 2.5, n = −1.75 - для второго. Граничные условия – нулевые потоки на всех четырех
границах области.
Задача была сосчитана на трех различных сетках:
•
на грубой сетке – сетке 0 уровня;
•
на подробной сетке – 3 уровня;
•
на сетке с неподвижной областью вложенного дробления 3 уровня.
а
б
Рисунок 4: а - Начальная геометрия теста 1; б - распределение средней энергии в расчете с использованием дробной
сетки 3 уровня
На рисунке 4а представлена сетка 0 уровня: счетная область равномерно разбита 5 строками и 20
столбцами. Сетка 3 уровня представляет собой сетку в 8 (= 2 3 ) раз более подробную, т.е. количество строк в
ней равняется 40, количество столбцов – 160. Вследствие отсутствия у данной задачи аналитического
решения расчет на этой сетке будем рассматривать в качестве эталона по отношению к двум другим
расчетам. Дробная сетка в данной задаче задавалась стационарная, дроблению 3 уровня подвергались
столбцы с номерами 9 и 10 (соседствующие с контактной границей, см. рисунок 4б).
На рисунке 5а представлены профили удельной средней энергии в зависимости от координаты х для
всех расчетов на время t=0.05. Из рисунков 5а видно, что использование дробной сетки в районе контактной
границы позволяет более точно описать процесс теплообмена между веществами. В области дробления
профиль энергии практически совпадает с аналогичным эталонным профилем на сетке 3 уровня и
незначительно отличается в оставшейся области.
Рисунок 5 – Профили средней удельной энергии в зависимости от координаты х
Время счета задачи на дробной сетке в 7.3 раза меньше, чем время счета задачи на подробной
(эталонной) сетке. То есть использование дробной сетки в данной задаче позволило повысить точность в
интересующей нас области при сравнительно небольших временных затратах.
Задача 2. Задача о прогреве твердой сферической оболочки горячим газом.
В первой области (R<R1=0.02) содержится идеальный газ с γ=5/3 и начальными данными ρ 1 = 1 . 0 ,
(R1 ≤R≤R2=0.03) - тяжелое вещество ( ρ 2 = 5 . 0 , e2 = 0.0 , УРС – типа МиГрюнайзена). В задаче использовались пробеги вида l = AT m ρ n . Начальная геометрия представлена на
рисунке 6а. Граничные условия для теплопроводности - нулевые потоки на всех границах области.
e1 = 1.0 . Во второй области
Дроблению 2 уровня подвергалась стационарная область (9 строка первоначальной сетки),
соседствующая с контактной границей. Результаты расчетов на дробной сетке сравнивались с результатами
расчетов на регулярной грубой сетке (0 уровня) и подробной сетке (2 уровня). На рисунках 9 б-г
представлены сетки, используемые в расчетах.
г
Рисунок 9: а – начальная геометрия задачи; б - сетка 0 уровня; в – подробная сетка (соответствует 2 уровню
дробления); г – стационарная дробная сетка в районе контактной границы.
На рисунке 10 представлены растровые картины распределения энергии во 2 веществе на моменты
времени t=1 (слева) и t=50 (справа).
Рисунок 10 – Растровые картины распределения энергии во 2 веществе в расчетах с использованием стационарной
дробной сетки 2 уровня: t=1 – слева, t= 50 – справа.
Из рисунка 10 видно, что наличие дробности не нарушает сферическую симметрию данной задачи. На
рисунке 11 представлены профили удельной энергии второго вещества.
0.1
0.09
level =0
level =2
0.08
дробная, стационарная
0.07
е_2
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0.0065
0.007
0.0075
0.008
0.0085
0.009
0.0095
x, см
Рисунок 11 – Профили удельной энергии 2 вещества в расчетах на грубой (level=0), подробной (level=2), дробной
сетке 2 уровня, t=50.
Как видно из представленных расчетов, использование дробной сетки действительно позволяет
получить более точный результат, значительно сэкономив расчетное время, но проблема корректного счета
смешанных ячеек при этом не решается.
Для решения данной задачи в коде ЭГАК используется второй подход, а именно специальная модель
для расчета смешанных ячеек [3], которая не предполагает мгновенное выравнивание температуры
компонентов, а исходит из того, что внутри смешанной ячейки происходит процесс теплообмена в
соответствии с теми же законами, что для средней энергии в обычной теплопроводности. Программно эта
модель реализована в виде дополнительного модуля, который включается после завершения работы
программы расчета уравнения теплопроводности для средней энергии и производит перерасчет смешанных
ячеек.
После работы первого модуля теплопроводности известны потоки тепла через стороны смешанных
ячеек, во втором модуле они распределяются между веществами исходя из занимаемой веществом площади
на стороне ячейки и коэффициентов теплопроводности.
а
б
Рисунок 12: а – Графическая иллюстрация потоков тепла через стороны ячейки;
б – фрагмент расположения компонентов в смешанных ячейках.
Пусть поток тепла в единицу времени через рассматриваемую сторону ячейки (например, правую, см.
рисунок 12а), рассчитанный в первой части программы, равен Q:
∂U .
(1)
Q = S χ
∂l
Аналогичную формулу можно записать для компонентов
∂U ,
(2)
Q i = S i χ~ i
dl
где U – тепловая функция для среды в целом, производная берется по направлению нормали к стороне,
χ
S – площадь стороны (длина в плоском случае),
- средний коэффициент теплопроводности на стороне
ячейки, χ i - коэффициенты теплопроводности компонентов, отнесенные к рассматриваемой стороне
ячейки, Si – площадь, занимаемая компонентом на стороне ячейки. Эти величины должны быть определены
в каждой смешанной ячейке и на ее сторонах, исходя из каких-то предположений относительно положения
контактных границ. Так как в коде ЭГАК, так же как и в других методиках, использующих метод
концентраций, точного положения границ не существует в силу особенностей этого метода. Кроме того,
естественно, должно выполняться условие:
n
(3)
Q = Q , j = 1,.., 4 .
∑
ij
i =1
j
Условие (3) после подстановки в него формул (1) и (2) принимает вид:
n
∑S
i =1
ij
χ~ j
∂U
= Q j , j = 1,...,4
∂n j
(4)
и
Q ij = Q
S i , j χ~ i , j
j
2
∑S
i =1
ij
j = 1,..., 4
χ~ ij
.
Таким образом, задача о распределении потоков сводится к определению величин U , S i , χ i .
Величина Si определяется по точке пересечения контактной границы со стороной ячейки, если такое
пересечение имеет место. Точка пересечения определяется как точка, в которой значение объемной
концентрации равно 0.5. Значение концентрации вдоль стороны ячейки определяется линейной
интерполяцией по ее значениям в узлах. Затем, определенное таким образом положение контактной
границы уточняется с целью сохранения объемных долей веществ, реально присутствующих в ячейке.
Уточнение производится путем параллельного сдвига первоначально полученной контактной границы.
Установив положение контактных границ, Si,j можно определить как площадь поверхности вращения
соответствующего отрезка (i-номер вещества, j–номер стороны).
Коэффициент теплопроводности χ i на сторонах ячейки определяется по его значениям в соседних
ячейках. Для этого используется улучшенное гармоническое усреднение, используемое в методике И-3
только на границах разных веществ [4] и которое в данной работе предлагается использовать всюду.
Сначала на рассматриваемой стороне вычисляется линейной интерполяцией по обратному тепловому
сопротивлению четвертая степень вспомогательной температуры (общей для обоих компонентов, см.
рисунок 12б)
где
U ,U
1
j−
2
1
j+
2
вычисляются в целом по смешанной ячейке, усреднение температуры производится по
∑ m ⋅T
T=
∑m
формуле:
i =1, 2
j =1, 2
Δ
1
j−
2
= 1 (Δ в 1 +Δ н 1 ),
j−
j−
2
2
2
i
i
.
j
Δ
1
j+
2
=
1
(Δ в 1 +Δ н 1 ).
j+
j+
2
2
2
Окончательно коэффициент теплопроводности вычисляется по формуле:
χi
j−
χij = Δ j ⋅
1
2
⎛
⎞ i
+ χi ⎛⎜ U ⎞⎟
χi 1 U
⎜ U j− 1 ⎟ + χ j− 1 U
j
j
1
1
j+
j+
j+
2 ⎠
2
2 ⎝
2 ⎠
⎝
⋅ 2
Δ 1
Δ 1
( )
j−
( )
j+
2
2
,
Δ j = 1 (Δ 2
j−
1
2
+Δ j+
1
2
).
⎛
⎞
+ χi ⎛⎜ U ⎞⎟
χ 1 ⎜ U 1 ⎟ + χi 1 U
χi 1 U
j
j
1
1
j−
j−
j−
j+
j+
j+
2 ⎝
2 ⎠
2
2 ⎝
2 ⎠
+ 2
Δ 1
Δ 1
( )
i
j−
2
( )
j+
2
Таким образом, для определения потоков тепла все величины определены.
После распределения потоков между компонентами в каждой смешанной ячейке осуществляется
теплообмен между компонентами, так называемая внутренняя теплопроводность. При построении модели
исходим из того, что рассматриваемый процесс представляет собой не что иное, как теплопроводность
через контактную границу между компонентами. Поэтому на этом этапе решается одномерное уравнение
теплопроводности в направлении нормали к контактной границе между компонентами.
Разностная система уравнений имеет следующий вид:
e1 − e1
U − U1 4
M 1 = S12 χ12 2
+ ∑ Q1 j ,
τ
L12
j =1
(5)
4
e2 − e2
U − U1
M 2 = − S12 χ12 2
+ ∑ Q2 j
L12
τ
j =1
Здесь внутренние энергии компонентов e1 и e2 есть их внутренние энергии с нижнего слоя по времени,
то есть до работы первого модуля программы теплопроводности. От работы первого модуля используются
только значения потоков Qj через стороны смешанной ячейки. Тильдой обозначены новые значения
внутренних энергий и температур компонентов, которые подлежат определению. Суммирование
производится по четырем сторонам ячейки. S12 и L12 в уравнениях (5) имеют смысл площади поверхности
контакта между компонентами и расстояния между центрами объемов, занятых веществами в ячейке,
соответственно. Решение системы находим итерационно методом Ньютона.
Все приводимые выше формулы для простоты записаны для двухкомпонентных ячеек, в программе
алгоритм обобщен и на трехкомпонентные ячейки, для четырех и более компонентов используется
предположение о выравнивании температур.
Ниже приводятся результаты расчетов двух тестовых задач. Расчеты проводились в трех постановках.
Расчеты, в которых граница раздела совпадает с линиями счетной сетки, обозначаются как лагранжевые.
Расчеты, в которых граница раздела не совпадает с линиями счетной сетки, т.е. имеются смешанные ячейки,
проводились двумя методами. В методе 1 используется предположение о равенстве температур, в методе 2 –
вышеописанный алгоритм теплообмена между компонентами.
Задача 3. Данная тестовая задача, предложенная Морелем, взята из работы [5]. Рассматривается плоская
прямоугольная область (0<x<1, 0<y<1), заполненная двумя веществами. Контактная граница проходит по
середине области х=0.5, параллельно оси OY. Коэффициенты теплопроводности веществ и начальное
распределение температуры имеют вид:
⎧
1
⎪ k1 , x ≤ 2
⎪
k (x, y) = ⎨
⎪k , x > 1 .
⎪⎩ 2
2
⎧
1
x≤
⎪a + bx + cy,
2 ,
⎪
U(x, y) = ⎨
⎪ a − b k1 − k 2 + b k1 x + cy, x > 1 .
⎪⎩
2k 2
k2
2
a = b = c = 1.0 , k 1 = 1 , k 2 = 1 . На границах задаются потоки: на верхней границе (Г0)
30
300
втекающий поток W=k1c для 1-го вещества, W=k2c для 2-го; на нижней границе (Г1) соответствующие
вытекающие потоки; на правой границе (Г3) - втекающий поток W=k1c; на левой границе (Г2) –
вытекающий поток W=-k1c. Заметим, что при численном моделировании задачи со смешанными ячейками
на границах подается поток, равный
k ср с , где k ср - средний между k1 и k2 коэффициент
где
теплопроводности. Проведены две серии расчетов. В первой серии рассматривалась упрощенная задача –
начальные данные не зависели от пространственной переменной х: U(x, y) = a + cy . На Г0 и Г1
задавались указанные выше потоки, а Г2 и Г3 - жесткие стенки.
Проведены расчеты в трех указанных выше постановках. Изначально известно, что задача
стационарная, то есть решение не меняется со временем, и наибольший интерес вызывает распределение
потоков между веществами в смешанных ячейках. В таблице 1 приводятся данные о потоке тепла для
компонентов на единицу поверхности, полученные для смешанных ячеек (для методов 1 и 2), а также для
соседних с контактной границей ячеек в случае лагранжева расчета. Как и следовало ожидать, в
лагранжевом расчете потоки совпадают с их аналитическим значением. В расчетах с использованием
смешанных ячеек ситуация другая.
Таблица 1- Потоки тепла на единицу поверхности в расчете задачи 1 в упрощенной постановке
№ расчета
1 вещество
2 вещество
Лагранжев расчет
0.033333
0.0033333
Метод 1
Метод 2
0.0060606
0.013237
0.0060606
0.0013237
В расчете по методу 1 потоки компонентов равны, что для данной задачи неверно. В расчете по методу
2, как и требовалось, они распределились пропорционально пробегам, но отличаются от истинных в ~0.4
раз. Этот коэффициент возникает в результате несогласованности в усреднении пробегов в первой и второй
частях программы и в силу заданных граничных условий. Во второй серии задача рассматривалась уже в
полной постановке, т.е. в задаче имеются потоки как направлении оси Y, так и оси X, однако решение и в
этом случае стационарно. В таблице 2 приводятся полученные в смешанных ячейках значения температуры
по компонентам и там же дано точное значение, которое реализуется в лагранжевом расчете.
Таблица 2 - Температура веществ в расчетах задачи 1 в полной постановке
1 вещество
2 вещество
Абсолютная
ошибка
Точное
Метод 1
3.40972222
3.56250103
Метод 2
3.40972365
Относительная
ошибка
3.7152777
3.56250103
3.71527841
0.15277881
0.15277674
0.00000143
0.00000064
4.48e-2
4.11e-2
4.19e-7
1.72e-7
Задача 4. Геометрия задачи такая же, как у задачи 2, но плотность оболочки в этом расчете ρ 2 = 20 . 0 .
Начальная геометрия представлена на рисунке 9а. Таким образом, в задаче имеется горячий газ с большим
коэффициентом теплопроводности и холодная оболочка с существенно меньшим коэффициентом
теплопроводности. Расчеты проводились с учетом газодинамики и теплопроводности. Граничные условия
для газодинамики – жесткие стенки, для теплопроводности – нулевые потоки.
T 0.1
E1.2
0.09
Лагр
метод1
метод2
0.08
0.07
0.8
0.06
0.6
0.05
0.04
0.4
0.03
0.02
0.2
0.01
t
0
а
Лагр
метод1
метод2
1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
t
0
0.07
0
б
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
Ro1.2
Лагр
метод1
метод2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
t
0
в
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
Рисунок 13: а - зависимости температуры газа от времени; б - зависимости полной энергии газа от времени;
в - зависимости средней плотности газа от времени.
Отметим, что в этом случае граница раздела движется по неподвижной счетной сетке, и номер
смешанной ячейки меняется во времени. Результаты расчетов представлены на рисунках 13а-в. Как видно из
рисунков, предлагаемый метод имеет существенно более высокую точность по сравнению с методом 1.
Как видно из представленных расчетов, использование предложенной модели для расчета смешанных
ячеек позволило получить более точный результат по сравнению с методом, основанным на предположении
о мгновенном выравнивании температуры.
Заключение
В докладе представлены два подхода к решению проблемы повышения точности решения уравнения
теплопроводности на эйлеровых сетках, используемые в настоящее время в коде ЭГАК. Первый подход –
это использование в области контактных границ адаптивно-встраиваемых дробных счетных сеток. Второй
подход – это использование специальной модели многокомпонентной теплопроводности, которая учитывает
теплообмен внутри смешанной ячейки. В дальнейшем планируется провести расчеты с одновременным
использованием предложенных выше методов.
Литература
1. Янилкин Ю.В., Беляев С.П., Городничев А.В., Воронов Е.Г., Гужова А.Р., Дегтяренко Л.И., Жарова
Г.В., Кучерова П.А., Стадник А.Л., Ховрин Н.А. Комплекс программ ЭГАК++ для моделирования на
адаптивно-встраивающейся дробной счетной сетке. //ВАНТ, сер. ММТФ, в.1, 20-28, 2003.
2. Панов А.И., Рассказова В.В. Об одном методе решения уравнения лучистой теплопроводности на
нерегулярных сетках // ВАНТ. Сер. Математическое моделирование физических процессов.1984. Вып.1. С.25-28.
3. Бондаренко Ю.А., Шагалиева А.Р., Янилкин Ю.В. Метод расчета теплопроводности с учетом
теплообмена между веществами внутри смешанных ячеек// ВАНТ. Сер. Математическое моделирование
физических процессов.2000. Вып.4. - С.26-34.
4. Дмитриев Н.А., Софронов И.Д., Тихомиров Б.П. Методика расчёта одномерных многообластных
задач высокотемпературной газовой динамики // ВАНТ. Сер. Методики и программы численного решения
задач математической физики. – 1983. – Вып.3. – C.3-8.
5. Shashkov M.J., Steinberg S. Solving diffusion equations with rough coefficients in rough grids // Journal
of Computational Physics. – 1996. – Vol.129. – P.383-405.