Symonovskyi
advertisement
1 УДК 621.515.621.67 КП № госрегистрации 0110U002621 Инв. № Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Сумской государственный университет (СумГУ) 40007, г. Сумы, ул. Римского-Корсакова, 2; тел. 68-78-44, isn@kmm.sumdu.edu.ua УТВЕРЖДАЮ Проректор по научной работе д. ф.-м. н., профессор __________ А.Н.Черноус ОТЧЕТ О НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ РОТОРОВ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ МАШИН И РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ (заключительный) Начальник НИЧ к.ф.-м.н. Д.И. Курбатов Руководитель НИР д.т.н., проф. В.И. Симоновский 2012 Рукопись окончена 05 декабря 2012 г. Результаты это работы рассмотрены научным советом СумГУ, Протокол от 2012.11.22 № 3 2 Список авторов Д.т.н., проф. кафедры ОМ и ДМ (руководитель) Аспирант кафедры ОМ и ДМ Аспирант кафедры ОМ и ДМ Аспирант кафедры ОМ и ДМ Старший преподаватель кафедры ОМ и ДМ Студент кафедры ОМ и ДМ Студент кафедры ОМ и ДМ К.т.н., доцент кафедры ОМ и ДМ Аспирант кафедры ОМ и ДМ. К.т.н., доцент кафедры ОМ и ДМ Студент кафедры ОМ и ДМ Студент кафедры ОМ и ДМ К.т.н., доцент кафедры ОМ и ДМ К.т.н., доцент кафедры ОМ и ДМ 2012.12.5 Симоновский В.И. (раздел 1) 2012.12.5 Лейких Д.В. (раздел 1) 2012.12.5 Равлюк Л.Ю. (раздел 1) 2012.12.5 Беда А.И. (раздел 1) 2012.12.5 Кафтарян Л.С. (раздел 1) 2012.12.5 Квашко В.В. (раздел 1) 2012.12.5 Хализева А.Г (раздел 1) 2012.12.5 Калиниченко П.М. (раздел 1) 2012.12.5 Супрун А.В. (раздел 1) 2012.12.5 Нагорный В.М. (раздел 2) 2012.12.5 Удовиченко Н.М. (раздел 2) 2012.12.5 Кибальник С.А. (раздел 2) 2012.12.5 Запорожченко В. С. (раздел 3) 2012.12.5 Тарасевич Ю.Я. (раздел 4) 3 РЕФЕРАТ Отчет о НИР содержит: 139 с., 69 рис., 8 табл., 38 источников. Объект исследования –ротор центробежной машины. Цель работы – разработать математическую модель ротора центробежной машины и исследовать динамические характеристики роторной системы. Методы исследования – численно-аналитические. Разработана дискретная математическая модель ротора центробежной машины с учетом реакций масляной пленки подшипников и гидродинамических сил, возникающих в щелевых уплотнениях проточной части машины. Предложена нелинейная математическая модель ротора турбокомпрессора, учитывающая кубическую зависимость квазиупругих реакций масляной плёнки подшипников. Получены гидродинамические радиальные силы и их моменты, действующие на ротор со стороны слоя жидкости, рассмотрена задача определения вероятностных характеристик линейной системы, находящейся под действием случайного нагрузки. Разработана твердотельная трехмерная модель безмуфтовой кривошипной машины и выявлены основные преимущества автоматизированного трехмерного моделирования по сравнению с двумерными плоскими чертежами, показано моделирование процесса сборки - разборки КБМ, рассмотрены основные принципы использования дополнительных модулей, интегрированных в пакет твердотельного моделирования Solidworks Photoworks и Animator. ЦЕНТРОБЕЖНАЯ МАШИНА, РОТОР, ЩЕЛЕВОЕ УПЛОТНЕНИЕ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ. 4 Содержание 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Введение Разработка методов идентификации дискретных математических моделей роторов турбокомпрессоров Оценивание параметров дискретных линейных моделей роторов на основе использования программ расчёта роторных систем с распределёнными параметрами Примеры построения дискретных линейных моделей. 1.2.1 Трехмассовая модель 1.2.2 Четырехмассовая модель Численные примеры и исследования дискретных моделей роторов 1.3.1 Трехмассовые модели 1.3.2 Четырехмассовые модели Оценивание параметров нелинейных дискретных моделей Оценивание масс трёхмассовой модели жёсткого ротора турбокомпрессора по данным расчёта вынужденных и собственных колебаний его КЭ-модели Нелинейная математическая модель ротора турбокомпрессора, учитывающая кубическую зависимость квазиупругих реакций масляной плёнки подшипников Выводы Определение динамических нагрузок, воздействующих на фундамент, при работе расположенного на нем вертикального насоса Цель и содержание работы. Экспериментальная оценка нагрузок 2.2.1 Методика эксперимента 2.2.2 Экспериментальные данные и результаты их обработки Расчетная оценка нагрузок 2.3.1 Метод расчета 2.3.2 Результаты расчета и сравнение с экспериментальными данными Обсуждение результатов Выводы и заключение Исследование динамики безмуфтовых кривошипных машин и разработка их математических и твердотельных моделей Вступление Разработка САПР конструкции кривошипной безмуфтовой машины (КБМ) Описание запатентованной конструкции новой кривошипной безмуфтовой машины Моделирование процесса составления – разборка КБМ Создание математической модели и оптимизация параметров контактной системы включения кривошипной безмуфтовой машины 6 11 11 17 17 21 24 24 32 40 46 52 57 61 59 59 59 64 66 66 70 75 77 79 79 80 86 90 93 5 3.6 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 3.5.1 Построение динамической модели соударимых деталей 3.5.2 Пример работы разработанной программы «УДАР» Выводы Исследование динамических характеристик замкнутой системы «ротор-щелевые уплотнения» с учетом случайного изменения ее параметров Введение и постановка задачи Уравнения движения и граничные условия Распределение давления в зазоре Вычисление сил и моментов, действующих на стенки щелевого уплотнения Уравнения связанных радиально-угловых колебаний ротора в щелевых уплотнениях Влияние случайного изменения возмущающей силы на амплитуды колебаний ротора в щелевых уплотнениях Выводы Перечень ссылок 93 96 102 104 104 105 111 116 124 129 134 136 6 Введение Создание вибронадёжных машин в области энергетики, химического, транспортного и других областей машиностроения требует, как правило, предварительных расчётов их динамики. Эти расчёты прогнозировать уровень математических моделях, вибраций только при могут эффективно достаточно адекватных описывающих колебательные процессы в машинах и агрегатах. В тоже время многие параметры колебательных систем (например, коэффициенты жёсткости и сопротивления реакций жидкостного слоя в сегментных подшипниках, в сотовых и лабиринтных уплотнениях роторов, структура и коэффициенты модели внутреннего трения валопроводов, взаимодействия роторов центробежных машин с рабочей средой и т.п.) трудно поддаются расчётной оценке. Одним из эффективных способов создания достоверных математических моделей колебательных процессов является идентификация – уточнение структуры и коэффициентов дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы, по экспериментальным данным. Однако для успешной реализации идентификации необходимы два условия: 1)наличие удовлетворительно программ расчёта отражающих все сложных основные математических факторы моделей, системы – многомассовость, распределённость параметров и пр.; 2)достаточно точные средства измерения колебаний. Только в последние десятилетия эти условия достигли надлежащего уровня. С одной стороны, появились такие сложные программные комплексы как ANSYS, реализующих расчёт механических и гидромеханических колебательных систем с практически любой необходимой степенью детализации их элементов. С другой стороны, стали доступными высокоточные средства измерения и спектрального анализа вибрационных процессов фирмы «Шенк» и других измерительной аппаратуры подобного уровня. изготовителей 7 Как показывает опыт исследования динамических моделей роторов центробежных машин [1– 13], задача идентификации оказывается, как правило, сложной математической вычислительной проблемой. В случае нелинейной модели (нелинейной зависимости измеряемых величин от оцениваемых параметров) идентификация (оценивание) параметров модели сводится, вообще говоря, к поиску минимума функции цели методом наименьших квадратов k n ( ) ( y *a y a ( , )) 2 , a 1 1 где = (1 ,..., l ) T - вектор оцениваемых параметров; (1 ,..., r )T - вектор параметров, считающихся известными в каждом μ-ом эксперименте; y *a - измеряемая величина в μ-ом эксперименте; y a ( , ) - соответствующая расчётная величина, вычисляемая при данном наборе оцениваемых параметров и известных параметров ; l – число оцениваемых параметров; k – число измеряемых величин; n – количество экспериментов. Задача поиска минимума ( ) требует ввиду т.н. «проклятия размерности» весьма резкого ограничения числа оцениваемых параметров, а, значит, тщательного выбора таких режимов, при которых рассматриваются только те оцениваемые коэффициенты, удельный вес которых в данном режиме является определяющим. Для этого необходимо обстоятельное и кропотливое изучение как реального объекта, так и его математической модели. Например, жёсткости подшипников роторов эффективно оцениваются по величинам критических частот и частот нечувствительности [5,9,11,12], коэффициенты сопротивления – по амплитудам колебаний в области критических частот [6,7,11], дисбалансы – по амплитудам колебаний на рабочих и иных нерезонансных частотах[9,11]. В качестве измеряемых величин могут быть использованы любые параметры, которые поддаются измерению: собственные частоты и формы колебаний [5,9], 8 амплитуды колебаний на резонансных и нерезонансных частотах [2,5,6,7,8,11,12,13], граничная по устойчивости частота вращения [1,3,4], экспериментально замеренные критические частоты вращения [5,9,11], точки нечувствительности динамических коэффициентов влияния [11,12]. Опыт идентификации роторных систем показал, насколько важно правильно оценить удельный вес того или иного оцениваемого параметра в том или ином рассматриваемом режиме, а также удачно выбрать структуру математической модели. Можно задаться неадекватной, неудачной структурой и более или менее «подогнать» параметры до, казалось бы, удовлетворительного уровня совпадения измеряемых и соответствующих им расчётных величин в некотором данном цикле экспериментов. Но при существенном изменении параметров объекта неадекватность структуры модели становится очевидной хотя бы по признаку плохой сходимости итерационного процесса поиска минимума целевой функции . Иногда полагают, что методы идентификации имеют ограниченное значение, так как оцениваются параметры каждый раз какого-то конкретного объекта. Поэтому затруднительно экстраполировать полученные результаты на системы с существенно иными параметрами. Однако, во-первых, идентификация позволяет оценить точность существующих теорий расчёта, выделить, какие факторы являются действительно существенными, а какие суть плоды малополезного теоретизирования. Во-вторых, многие типы машин весьма близки по ряду параметров. Перенос на динамическую модель вновь проектируемой конструкции данных, полученных при оценивании работающих, по крайней мере, гораздо эффективней, чем использование мало проверенных методов расчёта. Особенно это касается узлов гидродинамического взаимодействия между подвижными и статорными элементами. В качестве примера можно привести опыт оценивания колебательных моделей роторов турбокомпрессоров [5,6,7,9,11,12,13]. Оценённые жёсткости сегментных подшипников, применяемых в турбокомпрессорах, оказались на один-два порядка отличными от подсчитываемых по известным методам расчёта. В процессе балансировки роторов турбокомпрессоров на вакуумном стенде НПО им. 9 М.В.Фрунзе (где производится около четверти агрегатов для транспорта газа в СНГ) был собран и обработан экспериментальный материал по параметрам динамических моделей роторов практически всех типов конструкций турбокомпрессоров. Эти данные могут быть с успехом использованы при проектировании новых модификаций конструкций. Определены динамические коэффициенты всего ряда возможных диаметров и весовых нагрузок сегментных подшипников. Полученные таким образом достоверные расчётные модели роторов позволяют весьма точно проектировать турбоагрегаты с надёжно прогнозируемым запасом отстройки от резонансных режимов, а также существенно оптимизировать процесс балансировки. Создаваемые в настоящее время новые модификации турбокомпрессоров с многоступенчатыми высокооборотными роторами, преимущественно работающими вблизи второй критической частоты, налагают всё более строгие требования к вибронадёжности и, тем самым, к достоверности динамических расчётов на стадии проектирования. При некоторой частоте вращения ротора турбокомпрессоров, опирающиеся на сегментные подшипники скольжения, теряют устойчивость. Эксперименты [14,15] показывают, что непосредственно после превышения частоты вращения граничной по устойчивости возникают субгармонические автоколебательные накладки сравнительно небольшой амплитуды. При дальнейшем возрастании частоты вращения амплитуды автоколебаний достигают недопустимых значений. Если границы устойчивости могут быть определены на основе рассмотрения линейных моделей, то поведение ротора после потери устойчивости (в частности автоколебательные явления) возможно исследовать только с помощью нелинейных математических моделей динамики ротора. Нелинейная задача о колебаниях ротора с учётом гидродинамических явлений в подшипниках, если пытаться решать ее в достаточно полном объеме, встречает значительные математические трудности. Существующие методы и программы расчёта динамики роторов (например, методом конечных элементов (МКЭ)) позволяют определить критические частоты и формы собственных и вынужденных колебаний синхронной прецессии. В то же время исследование таких сложных явлений, как потеря устойчивости, появление 10 несинхронных автоколебательных составляющих, остаются вне возможностей расчёта по этим программам. Эти явления могут быть исследованы только посредством численного интегрирования нелинейных уравнений движения ротора. Ранее рассматривались одномассовые (реже – двухмассовые) модели [4,7], с помощью которых удавалось выявить некоторые общие закономерности . Однако для не только качественного, но и достаточно достоверного количественного исследования динамики ротора одномассовой модели недостаточно. Нужны дискретные 3-, 4- массовые модели, в полной мере отражающие динамические свойства реальной конструкции и открывающие возможность учёта неконсервативных нелинейных сил в подшипниках, а также эффекты, связанные с наличием внутреннего трения. Такие модели могут оказаться также целесообразными при разработке систем управления активными магнитными подшипниками турбокомпрессоров с гибкими роторами. Использование этих моделей с учётом имеющихся в настоящее время эффективных программ численного интегрирования систем дифференциальных уравнений (Maple, Mathcad) открывает широкие возможности для исследования динамики роторов энергетических машин. Для решения перечисленных выше задач разработан нижеизложенный метод построения дискретной модели роторов с ограниченным числом масс. 11 1 Разработка методов идентификации дискретных математических моделей роторов турбокомпрессоров. 1.1 Оценивание параметров дискретных линейных моделей роторов на основе использования программ расчёта роторных систем с распределёнными параметрами. Рассмотрим построение и идентификацию n-массовой модели ротора по результатам расчетов, полученным с помощью его КЭ модели. Расчетная схема дискретной модели ротора имеет вид, представленный на рис. 1.1. Рисунок 1.1 - Дискретная модель ротора Выбирается число сосредоточенных масс n, причем первая и последняя массы располагаются в опорных точках. Как показали приведенные ниже численные исследования, для роторов, работающих в области первой критической частоты, допустимо положить n=3. Роторы, работающие в диапазонах частот, близких ко второй критической, необходимо представлять 4- или 5-массовой моделью. Для вывода дифференциальных уравнений колебаний запишем сначала выражения для прогибов неподвижного ротора под действием некоторых 12 постоянных сил F1 ,..., Fn , приложенных к соответствующим массам m1 ,...,mn . Из условий равновесия статики для реакций опор можем записать: 1 n 1 RB Fn ai 1 Fi l i2 1 n 1 R A F1 (l ai 1 ) Fi l i2 (1.1) Далее запишем выражения для прогибов опорных точек: x1 RA c1 R xn B c2 (1.2) где c1 ,c 2 - жесткости подшипников в опорных точках. Прогибы под промежуточными массами могут быть выражены в виде двух слагаемых: прогиба при смещении балки АВ как твердого тела при заданных перемещениях x1 , xn (1.2) и прогиба при изгибе балки под действием заданных сил Fi (i 2, n 1) при условии жесткого закрепления опор А и В. Например для i - ой точки: xi xi xi , где x i - прогиб при смещении жесткой балки, xi - прогиб упругой балки при жестких опорах. Выражение для x i получается из геометрических соотношений рис. 1.2. Рисунок 1.2. 13 Очевидно, что xi x1 ai 1 ( xn x1 ). l Для упругого прогиба xi можно воспользоваться известными формулами сопромата: n 1 xi ij Fj ( j 2, n 1) , i 2 ij - коэффициенты податливости, которые без труда могут быть вычислены для реальной расчетной МКЭ модели ротора как статические прогибы в i - ой точке от единичной силы, приложенной j - ой точке. Таким образом, выражения для прогибов под промежуточными массами могут быть записаны так: xi x1 n 1 ai 1 ( xn x1 ) ij F j l i 2 (i, j 2, n 1) (1.3) Далее, положив согласно принципу Даламбера, Fi mi xi (i 1, n) и подставив эти выражения соответственно в (1.1), (1.2) и (1.3), получим дифференциальные уравнения колебаний дискретной модели ротора в виде: x1 1 1 n 1 (m1 x1 (l ai 1 )( mi xi )), c1 l i 2 n 1 ai 1 xi x1 ( xn x1 ) ij m j xj , (i 2, n 1) l j 2 n 1 1 1 xn ( mn xn ai 1 mi xi ). c2 l i 2 Составим уравнения для форм колебаний, положив в (1.4) xi Ai sin t . После очевидных преобразований можем записать: (1.4) 14 1 n1 m1 2 ( 1 ) A (l a j 1 )m j 2 A j 0 1 c c1 l j 2 1 n 1 ai 1 2 ( An A1 ) 0 A1 Ai ij m j A j l j 2 m 1 n 1 a j 1 m j 2 A j ( n 2 1) An 0 0 c2 l j 1 c2 (i 2, n 1) (1.5) По уравнениям (1.5) можно рассчитать любую k - ую форму колебаний, положив, например, A1 1 и определив затем Aik (i 2, n) , из системы уравнений (1.5), подставив в них значение k – ой собственной частоты k и отбросив одно из уравнений ( из i 2, n 1 ). При этом можем записать следующие соотношения, взяв первые l критических частот: 1 n 1 m1 2 (l a j 1 ) k2 Akj m j 1 c k c l j 2 1 1 n1 ai 1 2 ( Akn A1 ) 1 ij k Akj m j Ai l j 2 1 n1 m a j 1 k2 Akj m j n k2 Akn An c2 c2 l j 2 (i 2, n 1) (1.6) где k 1, l , k - k – ая собственная частота, l – число взятых критических частот. Или в матричной форме: B m D, (1.7) где B матрица размерностью (n l ) n , m - вектор – столбец эквивалентных масс размерностью n : m (m1 ,...,mn )T , 15 D - вектор – столбец правых частей размерностью l n Элементы матрицы B и вектора D нетрудно выписать из рассмотренного уравнения (1.6). После очевидных алгебраических преобразований можем записать: 1 A1i ai 1 ( A1n A11 ) 1 l A1n D ... , 1 Ali ( i 2, n 1 ) ai 1 ( Aln Al1 ) 1 l Aln 12 c1 1 n 1 (l a j 1 )12 A1 j c1 l j 2 n 1 j 2 ij 12 A1 j 12 1 n 1 2 a j 1 1 A1 j c A1n c2 l j 2 2 B ... l2 c1 1 n 1 (l a j 1 )l2 Alj c1 l j 2 n 1 j 2 ij l2 Alj l2 1 n1 2 a j 1 l Alj c ALn c2 l j 2 2 . Идея построения дискретной модели заключается в «оценивании» масс m1 ,..., mn на основе линейных соотношений (1.7), если элементы матрицы B и столбца D вычислить на основе расчета «большой» МКЭ – модели ротора, взяв из 16 этого расчета l значений первых собственных частот 1 ,..., l и n соответствующих амплитуд собственных форм, взятых в точках расположения масс. Таким образом используется метод линейного оценивания параметров, где в качестве «экспериментальных данных» берутся результаты расчета МКЭ – модели. Следует отметить, что подобный подход (применяемый, по-видимому, впервые) может оказаться весьма плодотворным при создании упрощенных моделей (формул, методов расчета) на основе данных расчета «больших» моделей, реализуемых с помощью программных продуктов для ПК. Используя формулу линейной регрессии, можем написать расчетное матричное соотношение для «оценивания» эквивалентных масс дискретной модели: ˆ [ B T B ]1 B T D . m (1.8) Массы, найденные по этой матричной формуле, отвечают минимуму функции цели метода наименьших квадратов , когда в качестве «измеряемых величин» берутся элементы столбца D , являющиеся линейными комбинациями относительных амплитуд собственных форм. Таким образом, массы подбираются по сути так, чтобы разницы между собственными формами, полученными с помощью «большой» МКЭ-модели и с помощью дискретной, были минимальны. Кроме соотношений (1.6) можно учесть дополнительно частотное уравнение, которое получается путем приравнивания определителя линейной однородной системы (1.5) относительно неизвестных Ai (i 1, n) . Но тогда задача существенно усложняется, ибо становится проблемой нелинейного оценивания [16]. Однако, как показывают численные исследования, приведенные ниже , найденные величины эквивалентных масс согласно соотношению (1.8), будучи подставленные в частотное уравнение для системы (1.5), дают удовлетворительное совпадение с m первыми собственными частотами, вычисленными для МКЭ – модели. 17 1.2 Примеры построения дискретных моделей 1.2.1 Трехмассовая модель Для дискретной трехмассовой модели (Рис. 1.3.) Рисунок 1.3 – Дискретная трехмассовая модель реакции опор будут равны: RB F3 F2 RA F1 F2 a1 l l a1 l Перемещения опор: x1 RA 1 l a1 ( F1 F2 ) c1 c1 l x3 RB 1 a ( F3 F2 1 ) c2 c2 l Прогиб x 2 будем искать в виде: x2 x2 x2 где x i - прогиб при смещении жесткой балки, xi - прогиб упругой балки при жестких опорах. 18 x2 x1 a1 x3 l x F2 22 В итоге запишем: a x2 x1 1 x3 F2 22 l l a1 1 ) x1 ( F1 F2 c l 1 a1 1 x3 ( F3 F2 ) c2 l Используя принцип Даламбера , в последние соотношения подставим F1 m1 x1 , F2 m2 x2 , F3 m3 x3 . И получим дифференциальные уравнения колебаний для трехмассовой модели ротора в виде: a x2 x1 1 x3 m2 x2 22 , l l a1 1 (m1 x1 m2 x2 ), x1 c1 l a 1 (m3 x3 m2 x2 1 ). x3 c2 l (1.9) Решение будем искать в виде: x1 A1 sin t x2 A2 sin t x A sin t 3 3 Подставляя (1.9) в (1.10) и сокращая sin t , запишем: (1.10) 19 1 2 2 l a1 ), A1 c (m1 A1 m2 A2 l 1 a1 2 A2 A1 A3 m2 A2 22 , l 1 2 2 a1 A3 c (m3 A3 m2 A2 l ). 2 Далее произведем оценивание дискретных масс способом, описанным выше, представив последние соотношения в виде: l a1 2 12 m1 c m2 c l 1 A2 1, 1 1 (1) A2 (1) a1 2 A3 (1) 1 m3 12 A3 , m 2 c2 l c2 2 m 2 m l a1 2 A 1, 2 2 2 1 c1 c1 l ( 2) ( 2) A3 ( 2) A2 a1 2 2 m2 c l 2 m3 c 2 A3 . 2 2 Или в матричной форме: B m D, где B матрица размерностью ( 4 x3 ), m - вектор – столбец эквивалентных масс размерностью 3: m (m1 , m2 , m3 ) T , D - вектор – столбец правых частей размерностью 4: 20 12 l a1 2 ; ; 0 1 c c l 1 1 A2 (1) a1 2 A3 (1) 2 1 ; 1 0; c l c 2 B 2 2 l a 2 2 1 2 ;0 ; c1 c1 l ( 2 ) ( 2 ) A a A 1 0; 2 22 ; 3 22 c2 l c2 1 (1) A3 D 1 ( 2) A3 где 1 , 2 - первая и вторая критические частоты соответственно, - l -длина ротора, A2 , A3 , (i 1,2) - величины смещений точек, расположенных в местах (i ) (i ) приложения дискретных масс для первой и второй критической частоты соответственно, отнесенные к смещению на передней опоре. Далее массы модели оцениваются с помощью формулы линейной регрессии mˆ [ B T B ]1 B T D . По разработанной методике выполнено приведение к 3-х массовой системе роторов с различной конструкцией подшипников. 21 1.2.2 Четырехмассовая модель Для более точного совпадения форм колебаний и значений критических частот для гибких роторов, работающих вблизи второй критической, трехмассовая модель оказалась не совсем удачной, поэтому было произведено приведение и идентификация реального ротора к четырехмассовой модели. Для системы дискретных грузов Fi (рис. 1.4.), решая статическую задачу, определяем смещение ротора под действием грузов на упругих опорах. Рисунок 1.4 – Дискретная модель Реакции опор равны: RB a ab F2 F3 F4 , l l R A F1 bc c F2 F3 . l l Перемещение опор: x1 RA 1 bc c ( F1 F2 F3 ) , c1 c1 l l 22 x4 RB 1 a ab ( F2 F3 F4 ) . c2 c2 l l Прогибы x 2 , x 3 будем искать в виде: x 2 x 2 x 2 , x3 x3 x3 , где x i - прогиб при смещении жесткой балки, xi - прогиб упругой балки при жестких опорах: x2 x3 x4 x1 bc a a x1 x1 x4 , l l l x4 x1 c ab (a b) x1 x1 x4 , l l l x2 22 F2 23 F3 , x3 32 F2 33 F3 . Окончательно получим: 1 bc c x1 c ( F1 l F2 l F3 ), 1 bc a x 2 l x1 l x 4 22 F2 23 F3 , x c x a b x F F , 4 32 2 33 3 3 l 1 l 1 a ab x 4 ( F2 F3 F4 ), c2 l l где l a b c - длина ротора, 22 , 33 , 23 32 - податливость, вычисляемая по программе реализующей МКЭ расчетной модели ротора. Далее, используя принцип Даламбера, полагаем F1 m1 x1 , F2 m2 x2 , F3 m3 x3 , F4 m4 x4 И записываем уравнение колебаний четырехмассовой модели ротора: 23 1 bc c x1 c (m1 x1 l m2 x2 l m3 x3 ), 1 bc a x 2 l x1 l x 4 22 m2 x2 23 m3 x3 , x c x a b x m x m x , 4 32 2 2 33 3 3 3 l 1 l 1 a ab x4 ( m2 x2 m3 x3 m4 x4 ). c2 l l Подставляя в эти уравнения x1 A sin t , x B sin t , 2 , x C sin t , 3 x4 D sin t получим: bc c m1 2 2 ( 1 ) A m B m3 2 C 0 D 0, 2 c l c1 l c1 1 a b c 2 2 l A ( 22 m2 1) B 23 m3 C l D 0, c A m 2 B ( m 2 1)C a b D 0, 32 2 33 3 l l m a ab 0 A m2 2 B m3 2 C ( 4 2 1) D 0. l c2 l c2 c2 В матричном виде эти уравнения можно представить так: K Y , где K матрица размерностью 8x4, - вектор – столбец эквивалентных масс размерностью 4 : 24 (m1 ,.m2 , m3 , m4 )T , Y - вектор – столбец правых частей размерностью 8 12 b c 2 c 2 c , l c 1 B1 , l c 1 C1 ,0 1 1 1 2 2 0, 22 1 B1 , 23 1 C1 ,0 a 2 ab 2 12 0, l c 1 B1 , l c 1 C1 , c D1 2 2 , K 2 2 2 b c 2 c 2 , 2 B2 , 2 C2 ,0 l c1 c1 l c1 2 2 0, B , C ,0 22 2 2 23 2 2 a 2 ab 2 22 0, l c 2 B2 , l c 2 C2 , c D2 2 2 2 1 bc a D1 B1 l l D1 Y 1 bc a D2 B2 l l D2 где 1 , 2 - первая и вторая критические частоты соответственно, l a b c длинна ротора, 22 , 23 - податливость от единичной нагрузки, B1 , C1 , D1 , B2 , C2 , D2 величина смещения точек, расположенных в местах приложения дискретных масс для первой и второй критической частоты соответственно, отнесенные к смещению на передней опоре. Далее массы модели оцениваются с помощью формулы линейной регрессии: [ K T K ]1 K T Y 1.3 Численные примеры и исследования дискретных моделей роторов 1.3.1 Трехмассовые модели По разработанной выше методике выполнено приведение к 3-х массовой системе роторов с различной конструкцией и соответственно жесткостью и типом 25 подшипников. Ниже приводятся результаты расчётов для трех конструкций роторов турбокомпрессоров. 1.3.1.1. Расчёт дискретной модели жесткого ротора на сегментных подшипниках скольжения (жесткость подшипника 1∙108 Н/м, масса ротора 1100 кг), мощностью привода 16 МВт . Фото ротора представлено на рис. 2.5. Оцененные массы для данного ротора m1= 282,3 кг, m2= 700,1 кг, m3= 268,7 кг. Рисунок 1.5 –Ротор компрессора 16ГЦ2-395/53-76С Рисунок 1.6 –Ротор компрессора 16ГЦ2-395/53-76С в корпусе с вертикальным разъемом 26 а) б) Рисунок 1.7 – Формы колебаний ротора компрессора 16ГЦ2-395/53-76С на сегментных подшипниках, a) - КЭ модель, б) – 3-х массовая модель. 1.3.1.2. Расчёты дискретной модели жесткого ротора на магнитных подшипниках (жесткость подшипника 0,15291∙107 Н/м, масса ротора 1318 кг), 27 мощность привода 16 МВт. Фото ротора представлено на рис. 2.8. Оцененные массы для данного ротора m1= 204,7 кг, m2= 624,5 кг, m3= 509,6 кг. Рисунок 1.8 – Ротор компрессора 291ГЦ2-400/56-76М Рисунок 1.9 – Ротор в корпусе компрессора 291ГЦ2-400/56-76М 28 а) б) Рисунок 1.10 – Формы колебаний ротора компрессора 291ГЦ2-400/56-76М на магнитных подшипниках, a) - КЭ модель, б) – 3-х массовая модель. 1.3.1.3. Расчёт дискретной модели гибкого ротора на магнитных подшипниках, работающего вблизи первой критической скорости (жесткость подшипника 0,15∙107 Н/м, масса ротора 2020 кг), мощность привода 16 МВт. Фото 29 ротора представлено на рис. 1.11. Оцененные массы для данного ротора m1= 347,3 кг, m2= 990,5 кг, m3= 470,5 кг. Рисунок 1.11 –Ротор компрессора 295ГЦ2-500/26-45М а) 30 б) Рисунок 1.12 – Формы колебаний ротора компрессора 295ГЦ2-500/26-45М на магнитных подшипниках, a) - КЭ модель, б) – 3-х массовая модель. Для проверки адекватности полученных 3-х массовых моделей было проведено сравнение статического прогиба, значений критических частот и форм собственных колебаний. Погрешность в значениях критических частот определялась по формуле: 3mass МКЭ 100% МКЭ Степень отличия форм колебаний для дискретной модели и для модели с распределенными массами можно оценить, вычислив матрицу трансформации форм [50]: 1 L bij ( x ) i ( x ) j ( x ) dx , mmod i 0 31 L где mmod i ( x ) i ( x ) dx , ( x ) - погонная масса, i ( x ) - форма колебаний КЭ 2 0 модели, j ( x ) - форма колебаний 3-х массовой модели. Диагональные элементы матрицы показывают отличие форм колебаний и соответствующих им модальных дисбалансов по каждой из форм колебаний. Результаты сравнительного анализа приведены в таблице 1. Таблица 1. Тип Статические Значения критических Отличие ротора, прогибы, мкм частот,рад/сек диагональных (рабочая Распр Дискр. Распр. Дискр. Погр., элементов модель массы модель % матрицы частота . вращения, масс об/мин) ы bij Ротор компрессора 19 19 6943 7037 1,35 0.98 (2 %) 18042 18051 0,05 0,38(62%) 1418 1402 -1,13 0,99(1 %) 291ГЦ2- 2021 2036 0,74 0,97(3 %) 400/56-76М 7628 7669 0,54 0,97(3 %) 1034 1102 6,58 0,96(4 %) 295ГЦ2- 1812 1844 1,77 0,97(3 %) 500/26-45М 3530 3482 -1,36 0,95(5 %) 16ГЦ2395/53-76С (3710-5565) Ротор компрессора 473 475 (3710-5565) Ротор компрессора 910 909 32 Как видно из таблицы, погрешность по первым двум критическим частотам и формам для дискретных моделей, как правило, не превышают 3% по отношению к КЭ – модели. Статический прогиб полностью совпадает. 1.3.2 Четырехмассовые модели Для более точного совпадения форм колебаний и значений критических частот для гибких роторов, работающих между первой и второй критическими частотами, а также для роторов турбокомпрессоров работающих вблизи второй критической частоты, трехмассовая модель оказалась не совсем удачной, поэтому было произведено приведение и идентификация реальных роторов к четырехмассовой модели. Приведем ряд примеров. 2.3.2.1. Расчёт дискретной модели ротора, работающего вблизи второй критической частоты на сегментных подшипниках скольжения (жесткость подшипника 0,8∙108 Н/м, масса ротора 2527 кг), мощность привода 16 МВт. Фото ротора представлено на рис. 1.13. Оцененные массы для данного ротора m1= 372,6 кг, m2= 1075 кг, m3= 1033 кг, m4= 436,8 кг. 33 Рисунок 1.13 –Ротор в составе компрессора 295ГЦ2-560/10-30 а) б) Рисунок 1.14 – Формы колебаний ротора компрессора 295ГЦ2-560/10-30 на сегментных подшипниках, a) - КЭ модель, б) – 4-х массовая модель. 34 1.3.2.2. Расчет 4 – массовой модели гибкого ротора на магнитных подшипниках работающий вблизи первой изгибной критической скорости (жесткость подшипника 0,24975∙107 Н/м, масса ротора 2532 кг), мощность привода 16 МВт. Разрез компрессора с ротором (КС «Находкинская») представлено на рис. 1.15. Оцененные массы для данного ротора m1= 380,3 кг, m2= 923,9 кг, m3= 836,9 кг, m4= 397,4 кг. Рисунок 1.15–Ротор в компрессоре 295ГЦ2-370/42-99М1 а) 35 б) Рисунок 1.16 – Формы колебаний ротора компрессора 295ГЦ2-370/42-99М1 на магнитных подшипниках, a) - КЭ модель, б) – 4-х массовая модель. 1.3.2.3. Расчет масс дискретной модели гибкого ротора с мощностью привода 6 МВт на сегментных подшипниках работающий между первой и второй критической скоростью (жесткость подшипника 0,4∙108 Н/м, масса ротора 532 кг). Фото ротора представлено на рис. 1.17. Оцененные массы для данного ротора m1= 27,4 кг, m2= 232,7 кг, m3= 197,7 кг, m4= 46,3 кг. Рисунок 1.17 – Ротор компрессора 224ГЦ2-73/37-76М12(КС «Зеварды») 36 а) б) Рисунок 1.18 – Формы колебаний ротора компрессора 224ГЦ2-73/37-76М12 на сегментных подшипниках, a) - КЭ модель, б) – 4-х массовая модель. 1.3.2.4. Расчет масс дискретной модели гибкого ротора турбокомпрессорного агрегата высокого давления «Сарадже»(Иран) мощностью привода 25 МВт на сегментных подшипниках работающий ближе ко второй критической скорости 37 (жесткость подшипника 0,6∙108 Н/м, масса ротора 355 кг). Фото ротора представлено на рис. 1.19. Оцененные массы для данного ротора m1= 64,3 кг, m2= 91,7 кг, m3= 130,1 кг, m4= 64,5 кг. Рисунок 1.19 – Ротор в составе компрессора высокого давления С153ГЦ221/125-300М125 для КС «Сарадже» 38 а) б) Рисунок 1.20 – Формы колебаний Ротор компрессора высокого давления С153ГЦ2-21/125-300М125 для КС «Сарадже» на сегментных подшипниках, a) - КЭ модель, б) – 4-х массовая модель. Результаты сравнительного анализа для 4-х массовых моделей приведены в таблице 2. Погрешность в значениях критических частот и степень отличия форм колебаний для дискретной модели и для модели с распределенными массами определялись аналогично как и для трехмассовой системы. Таблица 2 Тип Статические Значения критических Отличие ротора, прогибы, мкм частот,рад/сек диагональных (рабочая Распр. Дискр. Распр. Дискр. элементов частота массы модель массы модель вращения, об/мин) Погр.,% матрицы bij 39 Ротор 189 189 2303 2307 0,17 0,99(1%) 7995 8188 2,41 0,96(4%) 1125 1125 0 1,00(0%) компрессора 2219 2238 0,86 0,99(1%) 295ГЦ2- 4106 4023 -2,02 0,97(3%) 370/42-99М1 7106 8449 19 0,85(15%) 3283 3289 0,18 1,00(0%) 224ГЦ2- 12367 12405 0,31 0,95(5%) 73/37-76М12 15271 24307 59,2 0,66(34%) 4703 4690 -0,28 1,00(0%) давления 18158 18224 0,36 0,96(4%) С153ГЦ2- 22679 29495 30,05 0,84(16%) компрессора 295ГЦ2560/10-30, (3640-5460) Ротор 781 782 (3710-5565) Ротор компрессора 93 92 (6150-8610) Ротор компрессора высокого 45 45 21/125300М125 (8917-13375) Данные таблицы показывают, что погрешность по первым двум критическим частотам и формам для рассмотренных роторов не превышает 5%. Статические прогибы практически совпадают. 40 1.4 Оценивание параметров нелинейных дискретных моделей. Если для прогнозирования степени отстройки от резонансных режимов синхронной прецессии вполне достаточно рассмотрения линейной модели ротора (в частности МКЭ - модели), то для исследования явлений, связанных с потерей устойчивости и возникновением несинхронных накладок, необходимо использование нелинейных моделей. Только в нелинейных системах возможно появление суб- и супергармонических составляющих. В работе предложен способ построения таких моделей на основе полученных дискретных линейных систем по методике, описанной в разделах 1.1. – 1.3., в которых затем добавляются нелинейные слагаемые, определяемые гидродинамическими процессами в подшипниках и явлениями, связанными с внутренним трением. Затем коэффициенты при нелинейных слагаемых могут быть идентифицированы по экспериментально измеряемым параметрам несинхронных накладок и граничной частоте устойчивого вращения. Рассмотрим предложенный подход на примере дискретной 4 – массовой системы (рис. 1.21). Массы модели определялись с помощью методов линейного оценивания, причём в качестве «достоверной модели» принималась конечноэлементная (КЭ) модель ротора с распределёнными параметрами (как было описано выше). Рисунок 1.21. – Дискретная модель 41 В итоге дифференциальные уравнения неконсервативной четырех- массовой модели, учитывающие нелинейные явления в подшипниках, были представлены в следующем виде: bc c m1 x1 c1 x1 l m2 x2 l m3 x3 d П x1 q y1 x1 x1 0 m y c y b c m y c m y d y q x y y 0 2 2 3 3 П 1 1 1 1 1 1 1 1 l l m2 x2 1 x2 23 m3 x3 a x4 x1 b c m2 e2 2 cos t 22 22 l 22 22 l m2 y2 1 y2 23 m3 y3 a y4 y1 b c m2 e2 2 sin t 22 22 l 22 22 l m x 1 x 32 m x c x x4 a b 0 3 3 33 3 33 2 2 l 33 1 33 l m y 1 y 32 m y c y y4 a b 0 3 3 33 3 33 2 2 l 33 1 33 l m x c x a m x a b m x d x q y x x 0 3 3 П 4 4 4 4 4 4 2 4 l 2 2 l a ab m4 y4 c2 y4 m2 y2 m3 y3 d П y4 q x4 y4 y4 0 l l (1.11) ) где q d П - коэффициент циркуляционной силы, - безразмерный коэффициент циркуляционной силы, квадратичной жёсткости, - dП - коэффициент коэффициент при демпфирования нелинейной подшипника, m1 , m2 , m3 , m4 - дискретные массы ротора; xi , yi (i 1,4) - соответствующие координаты этих масс в горизонтальной и вертикальной плоскостях, c1 ,c2 - жёсткости подшипников; l abc - длина ротора между опорами; 22 , 33 , 23 - коэффициенты податливости ротора в соответствующих точках, вычисленные на основе КЭ-модели; - частота вращения ротора; e2 - относительный дисбаланс диска m2 . В аналитическом виде решение рассматриваемой нелинейной системы дифференциальных уравнений (1.11) с переменными коэффициентами получить 42 невозможно. Численные эксперименты, основанные на интегрировании системы нелинейных дифференциальных уравнений (2.11) методом Рунге – Кутта 4-го порядка, проводились в программном комплексе Maple. Параметры модели (2.11) оценивались в следующей последовательности. Массы рассчитывались по методике, предложенной выше в разделах 2.1. – 2.3. Жёсткости подшипников, а также коэффициент демпфирования подшипника определялись по экспериментальным данным синхронных прецессий согласно методикам оценивания, описанным в [15,16,18,77,80]. Далее, полагая значение коэффициента значение при нелинейной жёсткости нулю, определялось безразмерного коэффициента циркуляционной силы так, чтобы границы устойчивости, определённые численным способом и экспериментально, совпадали. Затем при найденном подбиралось значение коэффициента при нелинейной жёсткости таким образом, чтобы амплитуды автоколебательных составляющих математической модели и экспериментальные совпадали. Для пятиколодочного подшипника, как исходные, использовались следующие данные: 0 299 .2 рад - первая критическая частота исследуемого ротора; с c1 c2 1 10 8 H м - жесткость подшипников; m1 22кг , m2 34 кг , m3 77 кг , m4 22 кг - дискретные массы ротора; a 45.95см , b 73.5см , c 61.75см - размеры ротора; d П 3.5 10 4 Н с м - коэффициент сопротивления подшипников; 22 0.778 10 8 м Н , 33 0.1091 10 7 м Н , 23 32 0.7679 10 8 м Н коэффициенты податливости ротора в соответствующих точках, вычисленные на основе КЭ-модели; В результате многочисленных числовых экспериментов с использованием соответствующих экспериментальных данных физической модели были определены значения коэффициента при нелинейной жёсткости и циркуляционной силы. Они оказались соответственно в пределах: коэффициента 43 1 2 10 6 Н м2 , 0.3 0.33 . Для демпферного трехколодочного подшипника, как исходные использовались те же данные, что и для сегментного пятиколодочного, за исключением жесткости и сопротивления подшипников, которые были приняты следующими: c1 c2 0.2 10 8 H м d П 1 10 5 Н с - коэффициент сопротивления подшипников. м - жесткость подшипников; Как и для пятиколодочного подшипника, в соответствии с данными экспериментов были определены значения коэффициента при нелинейной жёсткости и безразмерного коэффициента циркуляционной силы в пределах : 2 3 10 6 Н м2 , 0.26 0.29 . Примеры сравнения динамических характеристик, полученных с помощью математических моделей, с экспериментом приведено в таблице 3. 44 Таблица 3 Тип Сравнив подшип аемая ника характе ристика Сегмент Времен ный 5ти ная колодоч характе ный ристика Спектр вибраци й Орбиты Математическая модель Эксперимент 45 Демпфе Времен рный 3х ная колодоч характе ный ристика Спектр вибраци й Орбиты 46 1.5 Оценивание масс трехмассовой модели жёсткого ротора турбокомпрессора по данным расчёта вынужденных и собственных колебаний его КЭ-модели. В разделах 1.2-1.3 был предложен метод построения дискретных моделей на основе данных расчёта собственных частот и форм колебаний ”больших” КЭмоделей роторов. Идея заключалась в использовании методов оценивания (идентификации) параметров колебательных моделей , где данные расчёта КЭмодели с распределенными параметрами используются как «экспериментальные» для синтеза дискретных систем. Однако для жёстких роторов, где целесообразно рассмотрение трёхмассовой модели, использование данных расчёта собственных частот и форм для оценивания величин трёх масс оказывается иногда недостаточно точным. Учёт только первой собственной формы может не дать удовлетворительного совпадения ”большой” и трёхмассовой модели (поскольку имеется всего три ”экспериментальных” числа), а использование данных по первой и второй собственным частотам и формам, как показали численные эксперименты, уточняет вторую частоту, но ухудшает значение первой. В то же время для жёстких роторов важно подобие с ”большой” моделью именно по первой частоте и первой собственной форме. На рис.1.22 дана схема трехмассовой модели ротора, дифференциальные уравнения для расчёта вынужденных колебаний которой можно получить из условия решения задачи о статических прогибах балки, если положить согласно принципу Даламбера F1 m1 x1 , F2 m2 x2 D 2 sin t , F3 m3 x3 , где – m1, m3 – эквивалентные массы, которые надлежит расположить в опорных точках ; m2 – эквивалентная средняя масса, к которой приложен дисбаланс D; с1,с2 – жёсткости подшипников; l – длина ротора; а – координата второй массы. 47 F1 x1 RA F2 F3 m1 m2 c1 x2 m3 c2 a l x3 RB Рисунок 1.22 – Схема трёх массовой роторной модели. После очевидных преобразований уравнения трёхмассовой модели могут быть приведены к виду m1 la la x1 m 2 x2 D 2 sin t; c1 c1l c1l la a 2 x2 x1 x3 22 m 2 x2 22 D sin t; l l m3 a a 2 x3 m2 x2 x3 D sin t , c2l c2 c2l x1 (1.12) где 22 – податливость ротора в точке расположения массы m2, которая может быть вычислена с помощью КЭ-модели ротора как статический прогиб ротора в точке m2 от единичной силы , приложенной в этой точке. Положив x1 B1 sin t , x2 B2 sin t , x3 B3 sin t . Подставив это решение в (1.12), получим, после сокращения на sin ωt, уравнения для расчёта амплитуд колебаний. В матричной форме эти уравнения примут вид: 48 H B F , (1.13) где l a m1 2 2 0; 1 c ; c l m2 ; 1 1 l a 2 , H ; 22 m 2 1 0; l m a 0; m2 2 1 3 2 c2 l c2 la D 2 c1l B1 a B B2 , F 22 D 2 B2 B3 . l B3 a D 2 c2 l Если теперь полагать величины B1, B2, B3 известными и полученными из КЭмодели при том же дисбалансе D, то соотношения (1.13) можно представить как зависимости для оценивания масс m1, m2, m3 в виде K â M Yâ , (1.14) l a 2 2 0; i B1i ; c l i B2i ; 1 m1 l a 2 Kâ ; 22i B2i 0; , M m2 , l m3 i2 a 2 i B2i B2i 0; c2 l c2 , i 1, k . 49 Здесь матрица K в размерностью 3 3k , Yв - столбец размерностью 3k, k – число частот, взятых для расчёта вынужденных колебаний КЭ-модели. Для расчёта собственных частот трёхмассовой модели надо положить в (1) D=0, а решение искать виде x1 A1 sin pt , x2 A2 sin pt , x3 A3 sin pt . Подставив D=0 и это решение в (1), получим после сокращения на sin pt уравнения для собственных форм: LA 0 , где m1 2 l a 2 1 c p ; c l m2 p ; 1 1 l a L ; 22 m 2 p 2 1 l a 0; 1 m2 p 2 c l 2 (1.15) 0; 1 0; ; A A2 A3 m3 2 . p c2 Здесь обозначено: p – собственная частота; A2 , A3 – относительные прогибы собственной формы: A2 A2 / A1 , A3 A3 / A1 , A2 , A2 , A3 – величины прогибов собственной формы, взятые из расчёта КЭ-модели. Соотношение (1.15) можно преобразовать как зависимость для оценивания масс к виду: K ñ M Yñ , (1.16) где (если в основу расчёта взять только данные по первой собственной частоте) 50 z1 l a c ; cl z1 A2 ; 1 K с 0; 22 z1 A2 ; a z1 A2 0; c l 2 0; 1 la a 0; , Yc A2 A3 , l l z1 A3 A 3 c1 z1 p12 – квадрат первой собственной частоты, полученный для КЭ-модели. Объединяя соотношения (3) и (4), окончательно получим линейную модель оценивания в виде: K M Y , (1.17) где K ві Yв і K (і 1, k ) , Y (і 1, k ) , K c Yc k – число частот вращения, на которых берутся данные расчёта вынужденных колебаний КЭ-модели. Массы оцениваются по формуле линейной регрессии M KTK 1 K TY . (1.18) В качестве примера приведем оценивание масс трехмассовой модели центробежного компрессора для перекачки газа (ГПА) мощностью 16МВт 16ГЦ2395/53-76С, общий вид которого приведен на рис.2. Рисунок 1.23 – Общий вид ротора ГПА 51 Диапазон рабочих частот 380 рад/с – 570 рад/с, первая собственная (критическая) частота равна 735 рад/с. На рис.1.24 приведен расчетная схема ротора компрессора и данные расчёта первых трёх форм и критических частот его КЭ-модели. Рисунок 1.24 – Собственные частоты и формы КЭ-модели Ниже приведена данные и результаты оценивания масс согласно предложенному методу. Расчёт был проведен по 4-м группам данных КЭ-модели: расчётные данные для вынужденных колебаний по трём рабочим частотам 400 рад/с, 570 рад/с, 735 рад/с и собственных форм по первой собственной частоте. Исходные данные: a 1.1105 l 2.355 9 c 10 5 B21 4.642 B31 0.893 D D1 B11 1 400 22 2.484961973E-9 2 B11 1.209 10 D 0.1 B13 1.733 10 B22 4.804 B32 0.994 B23 5.155 B33 1.188 D D3 B13 2 570 3 735 5 z1 5.271 10 A31 1.205A21 5.262 В итоге оцененные массы получены следующие m1=528 кг, m2=628 кг, m3=683 кг. 52 При этом собственные частоты 3=массовой модели составила величину ω*с1=743 рад/с а то время как на КЭ-модели она равна ωс1=726 рад/с. Погрешность по величине первой собственной частоте трехмассовой модели по отношению к точной КЭ-модели составила 2,3%. Заметим что оценивание только по первой собственной форме даёт значение собственной частоты ω *с1=768 рад/с , т.е. с погрешностью 5,8%. 1.6 Нелинейная математическая модель ротора турбокомпрессора, учитывающая кубическую зависимость квазиупругих реакций масляной плёнки подшипников. В разделе 1.4 была предложена методика построения многомассовых моделей роторных систем с добавлением нелинейных слагаемых, обусловленных гидродинамическими процессами в подшипниках. Была принята квадратичная зависимость нелинейной составляющей квазиупругих реакций масляной плёнки подшипников, имеющая структуру: Fx x x , Fy y y . На основе методов идентификации дискретной модели, удовлетворительное а также совпадение были получены параметры (массы) величины результатов коэффициентов численного , дающие интегрирования с экспериментальными данными. В данном разделе предложена кубическая зависимость нелинейной составляющей вида: Fx f r 2 x , F y f r 2 y , r 2 x 2 y 2 . Исследование проводилось на дискретной 4-массовой модели ротора (рис. 1.25). 53 Рисунок 1.25 – Расчетная схема ротора Дифференциальные уравнения для такой неконсервативной 4-массовой модели имеют вид: bc c 2 m1 x1 c1 x1 l m2 x2 l m3 x3 d П x1 qy1 fr1 x1 0 m y c y b c m y c m y d y qx fr 2 y 0 2 2 3 3 П 1 1 1 1 1 1 1 1 l l m2 x2 1 x2 23 m3 x3 a x4 x1 b c m2e2 2 cos t 22 22 l 22 22 l m y 1 y 23 m y a y y1 b c m e 2 sin t 2 2 2 2 22 2 22 3 3 l 22 4 22 l m x 1 x 32 m x c x x4 a b 0 3 3 33 3 33 2 2 l 33 1 33 l m y 1 y 32 m y c y y4 a b 0 3 3 33 3 33 2 2 l 33 1 33 l m x c x a m x a b m x d x qy fr 2 x 0 3 3 П 4 4 4 4 4 4 2 4 l 2 2 l m4 y4 c2 y4 a m2 y2 a b m3 y3 d П y4 qx4 fr42 x4 0 l l где m1 , m2 , m3 , m4 ____ xi , yi (i 1, 4) - дискретные массы ротора, - соответствующие координаты расположения этих масс в горизонтальной и вертикальной плоскостях, c1 , c2 - жесткости подшипников, l a b c - длина ротора между опорами, 22 , 33 , 23 , 32 - коэффициенты податливости ротора, - частота вращения ротора, 54 e2 - относительный дисбаланс диска m2 , q dП - коэффициент циркуляционной силы, - безразмерный коэффициент циркуляционной силы, dП f - коэффициент демпфирования подшипника, - коэффициент при нелинейной жесткости. Расчеты проводились для различных типов подшипников: сегментного пятиколодочного, демпферного 3-х и 4-х колодочного, трехцентрового. В качестве исходных использовались данные, полученные в разделе 1.4: 0 299.2 рад с - первая критическая частота ротора, m1 22кг , m2 34кг , m3 77кг , m4 22кг , a 45.95см , b 73.5см , c 61.75см , 22 0.778 108 м Н , 33 0.1091 10 7 м Н , 23 33 0.7679 108 м Н , для пятиколодочного подшипника: c1 c2 108 Н м , d П 3.5 10 4 Н с м , для демпферного трехколодочного: c1 c2 0.2 108 Н м , d П 105 Н с м . Приравнивая значение коэффициента при нелинейной жесткости f нулю, определяли значение безразмерного коэффициента циркуляционной силы таким образом, чтобы совпадали границы устойчивости, полученные экспериментально и численно. Далее, при полученном значении подбирали значение коэффициента при нелинейной жесткости f так, чтобы совпали с экспериментальными амплитуды автоколебательной накладки математической модели. В результате численных экспериментов в программном комплексе Maple были получены значения коэффициента циркуляционной силы и коэффициента при нелинейной жесткости. Для пятиколодочного подшипника: 55 0.3 0.32 , f 0.1 0.5 106 Н м 3 . Для демпферного трехколодочного подшипника: 0.26 0.29 , f 0.8 1108 Н м3 . На рисунках 1.26-1.28 показано сопоставление полученных численно и экспериментально временных характеристик, спектров вибраций и орбит для пятиколодочного подшипника в зоне неустойчивых частот вращения. Рисунок 1.26 – Временные характеристики Рисунок 1.27 – Спектры вибраций 56 Рисунок 1.28 – Фазовые характеристики На рисунках 1.28-1.31 приведены полученные численно и экспериментально временные характеристики, спектры вибраций и орбиты для демпферного трехколодочного подшипника в зоне неустойчивых частот вращения. Рисунок 1.29 - Временные характеристики Рисунок 1.30 - Спектры вибраций 57 Рисунок 1.31 - Фазовые характеристики Следует заметить, что величина коэффициента циркуляционной силы δ, оцененная по границе устойчивости, определяет не только порог устойчивости, но и частоту автоколебаний [4], поэтому получается хорошее совпадение по параметрам основной автоколебательной субгармоники (как по амплитуде, так и по частоте). Как видно из рисунка 1.30, математическая модель обнаруживает также наличие и супергармоники, как это имеет место в натурном эксперименте. Это даёт основание полагать, что предложенный кубический закон для квазиупругих сил даёт возможность весьма достоверно моделировать нелинейные явления. 1.7 Выводы. 1. На основании проведенных исследований можно сделать вывод, что оцененные дискретные модели адекватны по динамическим свойствам КЭ модели и соответственно реальному ротору в области частот вращения, охватывающих первую и вторую критические частоты. 2. Для жестких роторов, работающих как на сегментных подшипниках, так и на магнитном подвесе, а также для гибких работающих вблизи первой критики достаточно трехмассовой модели, которая достаточно точно описывает поведение ротора в диапазоне рабочих частот вращения. 58 3. Для гибких роторов рабочий диапазон частот вращения которых лежит между первой и второй критическими частотами, а также для роторов ,работающих вблизи второй критической частоты, трехмассовых моделей не достаточно, необходимо применение 4-х массовых. 4. Численные эксперименты показали, что использование 5-ти массовой системы является нецелесообразным, так как ведет к усложнению расчетов, но в тоже время не дает значительного уточнения результата. 5. Предложенная методика идентификации нелинейных моделей роторных систем турбокомпрессоров даёт удовлетворительную для практических целей исследования устойчивости и нелинейных колебаний точность. 6. Полученные достоверные нелинейные модели роторных систем турбокомпрессоров можно рекомендовать как эффективный инструмент прогноза качества спектра вибрационного состояния уже на стадии проектирования. 59 2 Определение динамических нагрузок, воздействующих на фундамент, при работе расположенного на нем вертикального насоса 2.1 Цель и содержание работы Насосные агрегаты в процессе своей работы оказывают динамические нагрузки на окружающие их строительные конструкции. Эти нагрузки являются знакопеременными и характеризуются : - амплитудными значениями ;- частотными характеристиками; - продолжительностью (числом циклов) воздействия. В настоящей работе на примере агрегата НПВ - 1250 определены первые два параметра этих нагрузок. Параметры определялись экспериментально и подтверждались расчетом на динамической модели агрегата. В результате проведенной работы выданы рекомендации по методике оценки предельных величин динамических нагрузок, генерируемых вертикальными насосными агрегатами в процессе их работы. 2.2 Экспериментальная оценка нагрузок 2.2.1 Методика эксперимента Динамические нагрузки, передаваемые на фундамент насоса, складываются из усилия Fz, действующего вдоль оси Z, и проекций Мх и Му (рис.2.1). вектор – момента М, состоящего из 60 Рисунок 2.1 – Схема динамического воздействия насосного агрегата на фундамент Усилие FZ определялось по следующей формуле Fz = CZ∙Δ z, (2.1) где Сz - жесткость крепления агрегата к фундаменту вдоль оси Z; Δ z = zн - z ф - деформация крепёжных узлов вдоль оси Z. zн , z ф - вертикальные вибросмещения, соответственно, крепёжных лап насоса и ближайшей к лапе точки фундамента. Амплитуда вертикального вибросмещения лап ZH определялась по следующей формуле (рис.2.2) ZH = (Z Hx + Z Hу ) / 2 , (2.2) 61 где Z Hx A2 A4 A1 A3 2 2 , 2 Z Hу A1 A2 A4 A3 2 2 2 - амплитуды вертикальных смещений лап (рис.3.2). Аi - амплитуда вибросмещения лап в метрах в i-той точке, которая расчитывалась по следующей формуле Ai Vi ,м, 2 f 1000 (2.3) где Vi - экспериментально определенное значение амплитуды виброскорости в i-той точке крепежной лапы в мм / сек. Аналогично определялось вибросмещение фундамента ZФ с заменой индекса „н” на индекс „ф” Кроме этого расчитывалось значение усилия по упрощенной формуле -через массу насосного агрегата и ускорение вдоль оси Z FZ = М АГР · VZ· 2· π· n / 60 · 10-3 , Н , (2.4) где n – число оборотов насоса в минуту; VZ – скорость колебаний вдоль оси Z. Главный вектор - момент определялся следующим образом М = i∙Mx + j∙My, где (2.5) i,j - орты, направленные, соответственно, вдоль осей Х и У; Мх=Сφуoz∙ x - проекция вектор - момента на ось Х; Му=Сφхoz∙ y - проекция вектор - момента на ось У; Сφуoz, Сφхoz - угловая жесткость, соответственно, в плоскости УОZ и ХОZ; x, y - амплитуда угловых колебаний, соответственно, вокруг осей Х и У. 62 X A2 A4 A1 A3 2 2 , 2 hY (2.6) A2 A4 A1 A3 2 2 Y . 2 hX Рассчитывалась также величина момента по следующей упрощенной формуле M = М АГР · VZ·· 2· π· n / 60 · 10-3 ·LC Н∙м , (2.7) где VС - скорость колебаний вдоль оси ζ в мм/с ( VC V X2 VY2 ), где VX и VУ – виброскорость колебаний агрегата, соответственно, вдоль осей Х и У; LC - расстояние от плоскости крепления то центра тяжести агрегата в м . Определялись параметры эллипса (полуоси а и b) – траектории , по которой двигается конец вектор - момента М. x2 y2 1. a2 b2 (2.8) Дополнительно определялся угол a между осью Х и осью η, вдоль которой действует вектор-момент М arctg ( MY ). MX (2.9) Расчеты по формулам (2.1)…(2.6) необходимо проводить с учетом фазы вибросигналов. Из-за отсутствия подобных экспериментальных данных в расчете полагалось, что фаза колебаний крепежных лап относительно фундамента – 63 случайная величина со средним значением 900 , а сами крепежные лапы колеблются относительно друг друга со случайной фазой при среднем её значении, равном 1800 . Рисунок 2.2– Схема размещения контрольных точек на фундаменте (1о..4о) и крепежных лапах (1..4) и на насосном агрегате в районе его центра тяжести (5х,6у,7z) Эксперименты проводились на насосном агрегата НПВ 1250. В эксперименте проводились измерения виброскорости в точках, указанных на рис.3.2, в полосе частот 1…1000 Гц. Далее эти данные обрабатывались с помощью компьютерной программы «ForceMom.pas» с целью определения усилия FZ и момента М. При этом 64 уровень нагрузок приводился к уровню вибрации агрегата вдоль осей Х и У, равном 1 мм/сек. Для определения предельной величины нагрузки. передаваемой на фундамент, эти нагрузки необходимо виброактивности, уровня пересчитать для предельно допустимого по нормам вибрации агрегата, путем умножения их на соответствующее число (4.5, 7.1 и т. д.). 2.2.2 Экспериментальные данные и результаты их обработки В табл. 2.1 приведены результаты измерения на насосном агрегате и фундаменте. Таблица 2.1- Результаты измерений Точка контроля А, мм/с 5х 6у 7z 1 1о 2 2о 3 3о 4 4о 0.5 0.7 0.5 0.4 0.45 0.4 0.35 0.35 0.35 0.6 0.3 Результаты обработки этих данных приведены в табл. 2.2 и 2.3 и на рис.2.3 и 2.4 и содержат, соответственно, величины усилий и моментов, рассчитанных по формулам (2.1)…(2.9). Таблица 2.2- Расчетные значения усилия Расчи- Расчет по формулам (2.1) и (2.2) по измерениям в точках тываемый параметр 1и 4 2и3 1и2 3и4 FZ, Н 862 215 0 646 Расчет Среднее по значение формуле (2.4) 574 (667) 1009 65 Таблица 2.3- Расчетные значения момента Расчет по формулам (2.5) и (2.6) по Параметры измерениям в точках эллипса Расчитываемый параметр (полуоси а и 1и 2 4и3 1и4 3и2 b , формула (2.8) ) Рисунок 2.3 - Спектры момента М и силы FZ Расчет по формуле (2.7) 66 Рисунок 2.4 – Аппроксимация расчётным эллипсом экспериментальных данных о величине момента 2.3 Расчетная оценка нагрузок 2.3.1 Метод расчета Пространственные колебания агрегата и фундамента (поступательные -вдоль осей Z и ζ и угловые - вокруг оси η) описываются с помощью модели, изображенной на рис.4.1 Колебания модели описываются системой линейных дифуравнений (9). Амплитуды вертикальных колебаний насоса Zн и фундамента ZФ , боковые колебания ротора ζР и углы поворота насоса φН и φФ определялись путем решения системы уравнений (4.1) в частотной области. Модель описывает низкочастотные колебания насоса и фундамента, где амплитуда деформация крепёжных узлов колебаний а, соответственно, и, соответственно, передаваемых на фундамент усилий и моментов, как это следует из рассмотренного выше эксперимента, максимальна. Параметры модели заимствованы из расчета [1] и уточнялись методом идентификации истинных значений указанных параметров модели. 67 Идентификация осуществлялась путем минимизации разницы между экспериментальными и расчетными спектрами колебаний насоса и фундамента. При этом спектры приводились к уровню боковых колебаний ротора, равного 1 мм/сек. Непосредственно уточнению подвергалась жесткость и демпфирование: - ротора (Ср,bp), - болтового стыка (Сz,bz), - фундамента (Сф,bф). Рисунок 2.5 – Динамическая модель насосного агрегата и фундамента Пространственные колебания агрегата и фундамента (поступательные -вдоль осей Z и ζ и угловые - вокруг оси η ) описываются следующей системой дифуравнений 68 bн bн Сн Сн Mн Zн bн ( Zн Zф) Cн ( Zн Zф) Н ( L1 L2 ) Н ( L1 L2 ) 2 2 2 2 Мр е 2 ; bф bф Сф Сф Mф Zф bн ( Zн Zф) Cн ( Zн Zф) Ф ( L1 L2 ) Ф ( L1 L2 ) 2 2 2 2 bф Zф Cф Zф 0; Mp р bр р Cр р Мр L н 0; C bн bн Мр Lc p Iн н bуу (н ф) Cyн (н ф) н ( L1 L2 ) 2 2 Сн Сн н ( L1 L2 ) Мр 0 0; 2 2 bф bф Iф Ф bуу (н Ф ) Cyн (н Ф ) Ф ( 2 L1 2 L2 ) 2 2 Сф Сф Ф ( 2 L1 2 L2 ) bуу Ф Cyф Ф Мф 0 0; 2 2 ( Mp Мф) 0 b0 0 C 0 0 Мр е 2 . (2.10) где Мн, Мф, Мр - соответственно, масса насоса, фундамента и ротора относительно плоскости крепления; Ін, Іф - соответственно, момент инерции насоса и фундамента; 1 Iн (С2Х С2У ) 2 /(12У 12Х ), Іф Iн, где : СХ , СУ угловые жесткости, соответственно, в плоскостях YOZ и XOZ (табл. 1.2 [1]); Сн, Сф – соответственно , вертикальная жесткость насоса и фундамента ( Сн=Сz (табл.1.10 [1]), Сф=Сн); bн,bф – соответственно , коэффициент демпфирования вертикальных колебаний насоса и фундамента, bн М Н СН , bф 10 М Ф СФ .; 10 Ср, bp – соответственно, жесткость и коэффициент демпфирования ротора: Cp ( 22У 22Х ) Mp, bp М P СP .; 10 69 L1 0.6 hX2 hУ2 , L2 0.4 hX2 hУ2 параметры, характеризующие степень несовпадения осей жесткости и инерции насоса; hX,hУ - расстояние от оси симметрии болтового стыка насоса с фундаментом до болтов (рис.2.10), табл.1.2 [17]); Сун, Суф – соответственно, угловая жесткость насоса и фундамента: Cуу (С 2 Х 1 2 С ) , Суф Сун. ; 2 У bун,bуф – соответственно , коэффициент демпфирования угловых колебаний насоса и фундамента: bуу I Н СУН , bуу 10 І Ф СУФ .; 10 Со, bо – соответственно, жесткость и коэффициент демпфирования, обеспечивающие воспроизведение нагрузки на оборотной частоте: 2 Co об Мр, bо Мр С О 10 , где ω об - оборотная частота в с-1; Zн, Zф - соответственно, амплитуда вертикальных колебаний насоса и фундамента; φН, φФ - соответственно, амплитуда угловых колебаний насоса и фундамента; ζ - амплитуда боковых колебаний ротора: X 2 У 2 , где: Х, У - колебание насоса, соответственно, вдоль осей Х и У (рис.2.10); ζ 0 - амплитуда колебаний на оборотной частоте; е – эксцентриситет ротора. Система дифуравнений (2.10) решалась методом комплексных амплитуд, приводящих её к системе линейных алгебраических уравнений с комплексными 70 коэффициентами. Полученная при этом система алгебраических уравнений решалась методом Гаусса с помощью специально разработанной для этого компьютерной программы «OPTXYZ», составленной на языке «Турбо- Паскаль». Целью решения было: - получение графиков (спектров), описывающих изменение в зависимости от частоты действующих на фундамент вертикального вибрационного усилия Fz (f) и момента М(f); - определение графиков изменения в зависимости от частоты амплитуд колебаний вдоль осей Х, У и Z и углов поворота вокруг оси η - φН, φФ; - расчет уровня вибрационного усилия FZ в H; - расчет модуля вектор – момента М в H∙м; - определение характера изменения силы и момента в зависимости от увеличения массы фундамента. В последнем случае усилие и момент нормировались их исходными значениями, полученными при массе фундамента, равном массе насосного агрегата. Графики строились с шагом 1Гц в полосе частот 1…350 Гц, в этой же полосе рассчитывались суммарные уровни искомых параметров. Расчеты проведены для случая, когда уровни вибрации в направлении осей Х и У равнялись 1 мм/сек Направление действия вектор-момента определялось величиной угла между осью Х и направлением вектора момента М (рис. 2.5). 2.3.2 Результаты расчета и сравнение с экспериментальными данными. Результаты расчетов для агрегата НПВ1250 приведены на рис. 2.6-2.11. Рассчитанные параметры (исходные значения, рассчитанные для фактического соотношения масс насосного агрегата и фундамента, равного 0.53 (10000/18900)) составляют: 71 FZ = 1787 Н, M =1387 H∙м, α = 40 0 . Идентификация показала, что резонансная частота колебаний насосного агрегата и фундамента в вертикальной плоскости, соответственно равна 16 Гц и 37 Гц. Рисунок 2.6 – Расчетный и экспериментальный спектры колебаний насоса вдоль оси ζ 72 Рисунок 2.7 – Расчетный и экспериментальный спектры колебаний насоса вдоль оси Z Рисунок 2.8 – Расчетный и экспериментальный спектры колебаний фундамента вдоль оси Z 73 Рисунок 2.9 – Расчетный и экспериментальный спектр усилия, передаваемого на фундамент Рисунок 2.10 – Расчетный и экспериментальный спектр момента, передаваемого на фундамент 74 Рисунок 2.11– Изменение безразмерного усилия, передаваемого на фундамент, в зависимости от отношения массы фундамента к массе насосного агрегата Рисунок 2.12 – Изменение безразмерного момента, передаваемого на фундамент, в зависимости от отношения массы фундамента к массе насосного агрегата 75 2.4 Обсуждение результатов Эксперимент показал, что максимальные нагрузки на фундамент передаются на низких частотах в полосе частот до 30 Гц. (Рис. 2.3, 2.8 и 2.9). Расчеты показали ( рис.2.10 и 2.11), что по мере увеличения массы фундамента растет и уровень передаваемого на него усилия (в 2.5 раза), а момент, наоборот, уменьшается, примерно, на 20%. Следует отметить, что, основываясь на законе «равенства действия и противодействия», это увеличение нагрузки скажется только на насосном агрегате, так как рост массы фундамента в 10 раз приведет к снижению ускорения его центра тяжести в 4-е раза, а, тем более, уменьшатся угловые ускорения. Из табл. 2.2 и 2.3 следует, что расчеты по формулам , отражающим закон движения центра масс, дают достаточно надежные и достоверные оценки динамических нагрузок, передаваемых на фундамент насосного агрегата. Они справедливы для модели, изображенной на рис.3.1, описывающей случай закрепления агрегата на неподвижном фундаменте. Таким требованиям как раз и отвечают реальные весьма массивные железобетонные фундаменты. Руководящий документ следует составлять как раз на основе этих формул, подставляя в них предельно допустимую по нормам величину виброскорости [VПР] . FZ = М АГР · VпрZ· 2· π· n / 60 · 10-3 , Н . M = М АГР · Vc·· 2· π· n / 60 · 10-3 ·LC , Н∙ м, (2.11) (2.12) 2 2 V ПРY где VC V ПРX ; VПРХ , VПРY - предельно допустимые по нормам виброактивности значения виброскорости, соответственно, в направлении Х и У. Распределение усилия и момента по частоте в процентах от их значений, рассчитанных по формулам (1.11) и (2.12) (частотный спектр усилия и момента), представлен на рис. 2.13. 76 Рисунок 2.13 – Распределение нагрузки по частоте Колебания места крепления насосного агрегата складываются из колебаний вдоль оси Z и угловых колебаний, которые в свою очередь раскладываются на колебания детали, вокруг осей Х (Мх) и У (Му). Точки крепления (болты, закладные прилегающие участки железобетонного фундамента) испытывают неравномерные нагрузки. Неравномерность объясняется тем, что амплитуды колебаний вдоль оси Z Аz и амплитуды угловых колебаний Аугл на одной стороне от оси вращения могут складываться, а на другой стороне вычитаться (рис.2.14). Рисунок 2.14 – Эпюры колебаний места крепления насосного агрегата 77 Величина максимального усилия определяется по следующей формуле Fмакс = Fz + M / Lmin, (2.13) где Lmin – минимальное расстояние между крепежными болтами. Данное усилие воспринимает половина крепежных болтов (nб/2). C учетом этого, а так же подставив в (2.13) выражения для усилия и момента, получим расчетную формулу для определения максимального усилия, приходящегося на одну точку крепления FТКР М А VПР 2 nоб 2 LC 3 1 10 , Н nб 60 L min Длительность действия нагрузки (2.14) в циклах N определяется по следующей формуле N = γ · T, цикл (2.15) где Т- длительность эксплуатации в годах агрегата до исчерпания его ресурса (например, 30 лет); γ – коэффициент размерности (γ = 5.26 · 10 5 · n об · кЗ, где n об - число оборотов в мин, кЗ – коэффициент загрузки агрегата в течение года). 2.5 Выводы и заключение Вертикальные насосные агрегаты в процессе своей работы оказывают знакопеременные динамические нагрузки на окружающие их строительные конструкции. Эти нагрузки и состоят из вертикального усилия и момента. Амплитудные значениями этих параметров, характеризующие воздействия на фундамент в целом, а через него и на окружающие агрегат констукции, Определяются, соответственно, по формулам (2.11) и (2.12). Максимальная величина усилия, учитывающая одновременно воздействия вертикального усилия и 78 момента определяется по формуле (2.13). Максимальная величина локального усилия, приходящегося на одну точку крепления, расчитывается по формуле (2.14). Частотные характеристиками нагрузки определяются частотой оборотов в герцах и представлены на рис.2.13. Продолжительность (число циклов) воздействия зависит от длительности эксплуатации агрегата в годах, числа оборотов в минуту, коэффициента его загрузки и рассчитывается по формуле (2.15). 79 3 Исследование динамики безмуфтовых кривошипных машин и разработка их математических и твердотельных моделей 3.1 Вступление Обработка металлов давлением (ОМД) относится к самых прогрессивных способов обработки Существенными материалов преимуществами в современном процессов машиностроении ОМД является [18]. высокая производительность, экономия материала, повышенное качество и точность полученных изделий. Но оборудование для обработки давлением относится к наиболее крупных и дорогостоящих технологических машин со сложным технологическим циклом проектирования, изготовления и испытания. Такой комплекс конструкторских и производственных задач требует значительных затрат умственного и физического труда. Перспективными для этих целей есть методы моделирования и конструирования нового оборудования с использованием современных компьютерных технологий и систем автоматизированного проектирования. Наиболее распространенным оборудованием для ОМТ является кривошипные машины, которые обычно включаются в рабочий ход с помощью фрикционных муфт [19]. Последние имеют много недостатков: сложность конструкции, высокую стоимость, быстрый износ фрикционных элементов и их частую замену при ремонтах, когда технологическое оборудование долго простаивает. Поэтому появились безмуфтовые машины со стопорным механизмом, расположенным на шатуне или ползуне, который обеспечивает включение и выключение рабочего хода технологического оборудования [20]. Но известны безмуфтовые системы включения уменьшают жесткость главного исполнительного механизма технологического оборудования, часто имеют сложное устройство и не очень надежны при больших усилиях и высоких скоростях штамповки. Поэтому предложен принципиально новый способ безмуфтового включения 80 (БМВ) кривошипного оборудование [21]. Его суть заключается в размещении на шатунной шейке кривошипного вала эксцентриковой втулки, эксцентриситет E которой равен радиусу R кривошипа. В большой головки шатуна встроено специальную систему фиксации, которая периодически соединяет или разъединяет эксцентриковую втулку с шатуном, соединенным с ползуном. Когда эксцентриковая втулка, выполненная из антифрикционного материала, например из бронзы, соединена с шатуном, она остается неподвижной, играет роль подшипника скольжения и передает через себя усилия штамповки во время рабочего хода ползуна кривошипной машины. После отвода фиксатора и освобождение эксцентриковой втулки от фиксации она начинает вращаться вместе с кривошипным валом и компенсирует угловой поворот последнего своим проворотом в том же направлении. При этом ползун остается неподвижным и удерживается в крайнем верхнем положении, например, с помощью пружины или пневматического уравновешивателя. Далее после включения кривошипной машины на рабочий ход путем перемещения фиксатора к эксцентриковой втулки цикл повторяется. 3.2 Разработка САПР конструкции кривошипной безмуфтовой машины (КБМ) На основании детального анализа достижений в области безмуфтового привода возникла задача скоростного проектирования КБМ с оригинальной системой фиксации поворотного эксцентрика, моделирования ее конструкции и принципа действия, динамического расчета основных, наиболее нагруженных деталей, быстрая замена их размеров, параметров и конфигурации без существенного изменения размеров всего механизма БМВ, под который на машине выделено определенное место. Для решения поставленной задачи использованы современные компьютерные технологии [22-24]. С помощью системы автоматизированного проектирования SolidWorks [23] создана твердотельная 3D-модель кривошипной безмуфтовой машины (рис. 3.1). 81 При использовании стандартных функций системы SolidWorks выполнено динамический расчет на прочность основных узлов и разработаны трехмерные модели каждой отдельной детали. После этого все детали составлены в пространственную модель, на основании которой получено сборочный чертеж технологической машины и рабочие чертежи ее деталей путем компьютерной графики с помощью программы AutoCAD 2010 (рис. 3.2). С помощью системы моделирования движения CosmosMotion, которая является стандартной в программном продукте SolidWorks Premium, удалось наглядно продемонстрировать рабочий ход оборудования с движением всех исполнительных частей. Модель можно рассматривать с разных сторон, сделать разрез в нужном месте, выполнить сечение любой детали или всей модели. Сборочный чертеж как самой кривошипной машины, так и деталировки ее узлов является стандартной функцией программного пакета SolidWorks, примененного в полном объеме. С помощью дополнительных модулей, интегрированных в пакет твердотельного моделирования Solidworks - Photoworks и Animator, построено фотореалистичное изображение кривошипной безмуфтовой машины и сделано несколько качественных цветных изображений необходимых видов технологического оборудования. Также были применены функцию захвата видео рабочего хода Animator и созданы видео и видеоролики с демонстрацией рабочего хода ползуна и холостого вращения привода при неподвижном ползуне КБМ для презентации этого перспективного оборудования. Ниже на рисунках 3.3 и 3.4 приведены отдельные изображения из этих видеороликов, которые демонстрируют спроектированной безмуфтовой машины. последовательность работы 82 Рисунок 3.1 – Твердотельная трехмерная модель безмуфтовая машины 83 Ползун безмуфтового пресса Шатун безмуфтового пресса Рисунок 3.2 – Схема разработки сборочного и рабочих чертежей КБМ на основании созданной твердотельной 3D-модели 84 а) Включение холостого хода б) Начало холостого поворота кривошипа на 15° в) Холостой поворот на 120 ° г) Холостой поворот кривошипа на 240 ° Рисунок 3.3 – Моделирование процесса холостого вращения кривошипа при неподвижном ползуне 85 а) Включение рабочего хода б) ход ползуна при повороте кривошипа на 120 ° в) ход ползуна при повороте кривошипа на 240 ° г) рабочий ход (штамповка) Рисунок 3.4 – Последовательность рабочего движения ползуна кривошипной машины при неподвижной эксцентриковой втулке 86 3.3 Описание запатентованной конструкции новой кривошипной безмуфтовой машины На основании выполненных поисково-конструкторских работ была подана заявка на изобретение новой конструкции безмуфтовая машины с контактной системой фиксации поворотной эксцентриковой втулки и получен патент Украины на изобретение № 89260 [25]. Спроектированная КБМ (рис. 3.5) состоит из станины 1, на которой установлен электродвигатель 2, что связано клиноременной передачей 3 с маховиком 4. Маховик 4 жестко соединен с кривошипным валом 5, который смонтирован в подшипниковых опорах станины 1. На шипе кривошипного вала 5 размещена возвратная эксцентриковая втулка 6, которая по наружной цилиндрической поверхности охватывается большой головкой шатуна 7. В теле эксцентриковой втулки 6 в радиальном направлении размещено отверстие 8, в котором установлен фиксатор 9, например, выполнен в виде шарика, пружину сжатия 10 и винт 11. На цилиндрической поверхности шипа кривошипного вала 5 напротив фиксатора 9 выполнено углубление 12. Подвижной упор 13 призматической формы прикреплен к цилиндрической боковой поверхности эксцентриковой втулки 6. Выдвижной упор 14, также призматической формы, установлено по скользящей посадке в направляющих планках 18, прикрепленных к внешней поверхности шатуна 7 и соединен штоком 15 с приводом, например пневматическим цилиндром 16, в штоков полости которого установлен мощную пружину сжатия 17. Между поверхностями контакта упоров размещен упругий элемент-амортизатор 19, который может быть прикреплен к контактных поверхностей подвижного 13 или выдвижного 14 упоров. Ползун 20 пресса расположены в вертикальных направляющих станины 1 и соединен с телом шатуна 7 через винт 21, а также уравновешивателями 22 ползуна, например пневматического типа. Работа спроектированной КБМ состоит в следующем. Установленный на станине 1 электродвигатель 2 через клиноременную передачу 3 приводит к 87 вращению маховик 4 и жестко соединенный с ним кривошипный вал 5. При отсутствии подачи энергоносителя (сжатого воздуха, рабочей жидкости под давлением и т.п.) в поршневую полость силового цилиндра 16 его поршень, шток 15 и выдвижной упор 14 под действием пружины 17 находятся в крайнем нижнем положении. Выдвижной упор 14, отведенный вниз на величину S, которая не менее ширины A подвижного упора 13, не мешает вращаться эксцентриковой втулке 6, которая автоматически соединяется с кривошипным валом 5 с помощью фиксаторашарика 9, который выталкивается из радиального отверстия 8 пружиной 10 и попадает в коническую лунку 12 на шипе вала 5 (рис. 3.6). Рисунок 3.5 – Общий вид спроектированной кривошипной машины с простой системой фиксации поворотного эксцентрика 88 Тогда эксцентриковая втулка 6 компенсирует угловой поворот кривошипного вала 5 своим проворачиванием в ту же сторону на одинаковый угол. При холостом вращении последнего вместе с эксцентриковой втулкой 6, как единого цилиндрического тела, ползун 20 остается неподвижным и удерживается пневматическими уравновешивателями 22 в крайнем верхнем положении. Штамповщик в это время вынимает отштампованных деталь, закладывает новую заготовку, удаляет отходы, смазывает штамп, выполняет другие вспомогательные технологические операции. Рисунок 3.6 – Схема холостого вращения поворотной эксцентриковой втулки вместе с кривошипным валом при неподвижном ползуне После подведения энергоносителя в поршневую полость цилиндра 16 его поршень сжимает пружину 17 и вместе со штоком 15 и выдвижным упором 14 перемещается вверх к центру эксцентриковой втулки 6. Подвижной упор 13, который вращался вместе с этой втулкой 6, доходит до выдвижного упора 14, 89 ударяется о последний и тормозит эксцентриковую втулку 6 до полной остановки (рис. 3.7). Рисунок 3.7 – Схема остановки эксцентриковой втулки перед началом рабочего хода ползуна кривошипной машины В это время фиксатор-шарик 9 выжимается кривошипным валом 5, продолжает вращаться, с конической лунки 12 в радиальное отверстие 8 эксцентриковой втулки 6 и остается в "погруженном" состоянии за счет сжатия пружины 10. После остановки эксцентриковая втулка 6, например, изготовлена из бронзы, выполняет роль подшипника скольжения, а ползун 20 при дальнейшем вращении кривошипного вала 5 совершает поступательное движение вниз, выполняет технологическую операцию штамповки и поднимается вверх. После выключения силового цилиндра 16 или при аварийном прекращении подвода энергоносителя выдвижной упор 14 вместе со штоком 15 и поршнем под действием пружины 17 перемещается вниз от центра эксцентриковой втулки 6 и освобождает последнюю. Она соединяется фиксатором-шариком 9, попадает под давлением пружины 10 в коническую лунку 12, с кривошипным валом 5 и начинает вращаться 90 вместе с ним. При холостом вращении кривошипного вала 5 с эксцентриковой втулкой 6 (см. рис. 3.6) ползун 20 останавливается в крайнем верхнем положении, в котором содержится уравновешивателями 22. 3.4 Моделирование процесса составления – разборка КБМ На основании созданной 3D-модели выполнены наглядное сборки (рис. 3.8) и разборки модели описанной машины на ее составляющие детали. Последовательность сборки твердотельной модели безмуфтовой машины приведена на рисунках 3.9-3.11. Рисунок 3.8 – Схема сборки 3D-модели безмуфтовой машины 91 Рисунок 3.9 – Начало складывания 3D-модели Рисунок 3.10 – Продолжение составления 3D-модели 92 Рисунок 3.11 – Полностью составленная 3D-модель КБМ 93 3.5. Создание математической модели и оптимизация параметров контактной системы включения кривошипной безмуфтовой машины 3.5.1 Построение динамической модели соударимых деталей После проектирования контактной системы включения безмуфтовой машины был проведен теоретический анализ процесса удара подвижного упора 13 по неподвижном выдвижном упора 14. Установлено, что при вращении эксцентриковой втулки 6 вместе с кривошипным валом 5 она накапливает определенную кинетическую энергию Wk, которая после удара подвижного упора 13 по выдвижной упора 14 (рис. 3.12) практически вся переходит в работу Ад упругой деформации контактных поверхностей упоров. Величина накопленной кинетической энергии зависит от момента инерции I эксцентриковой втулки и квадрата угловой скорости ώ ее вращения с приводом от кривошипного вала 5 спроектированной КБМ I 2 Wk 2 (1) Момент инерции поворотной эксцентриковой втулки 6 равно m RВ RВ B I 2 2 2 4 (2) , где m – масса эксцентриковой втулки; ρ – плотность материала; Rв – радиус внешней цилиндрической поверхности втулки 6; В – толщина эксцентриковой втулки, которая выбрана одинаковой с толщиной подвижного упора. 94 Рисунок 3.12 – Схема размещения движимого и выдвижного упоров перед остановкой поворотной эксцентриковой втулки На основе равенства Wk = Aд определяется сила удара подвижного упора 13 по неподвижном выдвинутом вверх упора 14 (рис. 3.13) AД RВ B 2 P l 4 l , 4 (3) где Ад – работа упругой деформации контактных поверхностей движимого и выдвижного упоров; Δl – величина упругой деформации контактных поверхностей. Условие прочности на смятие контактных поверхностей зм где P [ зм ] F , (4) F – площадь контактной поверхности упоров, равная F = A · B; [ зм ] – допустимое напряжение на смятие наиболее слабого материала из деталей, входящих в контакт. 95 После подстановки значений в вышеприведенные выражения [ зм ] RВ 4 B 2 4 l A B (5) определяется ширина А упора из условия прочности контактных поверхностей упоров на смятие RВ 4 2 A 4 l 2 [ зм ] (6) где ω – угловая скорость поворотного эксцентрика и кривошипного вала, которая зависит от количества двойных ходов n ползуна в минуту n 30 (7) Рисунок 3.13 – Моделирование процесса удара подвижного упора по выдвижной упора 96 Для механических прессов со средним количеством двойных ходов ползуна n = 100 ходов в минуту при упругой деформации контактных поверхностей Δl = 1 мм ширина упора А зависит от материала и размеров поворотного эксцентрика и допустимого напряжения смятия наиболее слабой контактной поверхности, где происходит удар подвижного упора по выдвинутом упора RB 4 А 86 [ зм ] (8) 3.5.2 Пример работы разработанной программы «УДАР» Программа «Удар» составлена по приведенным формулам языке Delphi [9] в программной среде Borland Delphi позволила рассчитать оптимальные размеры упругого элемента-амортизатора в зависимости от числа оборотов вала и деформации упругого элемента. Интерфейс программы имеет вид: Рисунок 3.14 – Интерфейс Программы «Удар» Для выполнения расчетов необходимо выбрать входные данные из поля «Число оборотов» и «Деформация». Из выпадающего списка следует выбрать необходимые значения для заданного параметра: число оборотов от 20 до 200 в минуту и деформация от 0,2 до 1,8 мм (рис. 3.14). Далее нужно нажать клавишу «Вычислить». Результат расчета в мм появится в поле А. Для построения модели в SolidWorks нажимаем кнопку «Построить» после чего следует подождать, пока 97 будет загружено среду SolidWorks. Программа автоматически построит и параметризирует модель соударимых деталей безмуфтовой машины, например, при n = 100 ходов в минуту и допустимой деформацией упругого элемента-амортизатора Δl = 0,4 мм (рис. 3.15), при n = 100 ходов в минуту и увеличенной допустимой деформацией Δl = 1 мм (рис. 3.16), при повышенном количестве двойных ходов ползуна n = 160 ходов в минуту и Δl = 0,4 мм (рис. 3.17). При удачном расчета и построении модели соударимых деталей программа выводит сообщение об этом на экран. Наглядно видно, что увеличение быстроходности пресса и уменьшение допустимой деформации упругого элемента-амортизатора размеры последнего значительно увеличиваются и могут превзойти размеры вращающихся деталей КБМ. Такое моделирование процесса удара позволило выбрать наиболее оптимальные параметры соударимых поверхностей и ввести их в рабочие чертежи деталей безмуфтовой машины. При осуществлении программой операций, среду SolidWorks может спросить разрешения у пользователя на перестройку модели. Понятно, что программа не будет работать, если в папке, из которой она была запущена, не будет необходимых файлов среды SolidWorks. Рисунок 3.15 – Выполнение программы «Удар» при оптимальных параметрах КБМ 98 Рисунок 3.16 – Результаты программы «Удар» при увеличенной допустимой деформации упругого элемента Рисунок 3.17 – Результаты программы «Удар» при завышенных скоростных параметрах КБМ 99 Программа "Удар" позволила рассчитать рациональные размеры контактной поверхности упоров, выбрать нужный материал и оптимальную форму упругого элемента-амортизатора. Результаты расчетов сведены в таблицы 1 и 2, а на рисунках 3.18 и 3.19 показана зависимость размеров упругого элемента от характеристик его прочности и скоростных и геометрических параметров КБМ. Из приведенных графиков следует, что поперечные размеры упругого элемента несколько уменьшаются с повышением его прочности на смятие и допустимой величины упругой деформации и значительно увеличиваются с ростом быстроходности и мощности технологической кривошипной машины. Таблица 1 - Данные для построения графика А = f ( [σзм], n ) [σзм]\n 20 40 60 80 100 5,5 0,550384782 2,201539129 4,95346304 8,806156516 13,75961956 6 0,504519384 2,018077535 4,540674453 8,072310139 12,61298459 6,5 0,4657102 1,862840801 4,191391803 7,451363205 11,64275501 7 0,432445186 1,729780744 3,892006674 6,919122977 10,81112965 7,5 0,403615507 1,614462028 3,632539563 6,457848111 10,09038767 8 0,378389538 1,513558151 3,40550584 6,054232604 9,459738444 8,5 0,35613133 1,424525319 3,205181967 5,698101275 8,903283242 9 0,336346256 1,345385023 3,027116302 5,381540093 8,408656395 9,5 0,318643821 1,274575285 2,867794392 5,098301141 7,966095532 10 0,30271163 1,210846521 2,724404672 4,843386084 7,567790756 5,5 19,81385216 26,96885433 35,22462606 44,58116736 55,03847822 6 18,16269781 24,7214498 32,28924056 40,86607008 50,45193837 6,5 16,76556721 22,81979982 29,80545282 37,72252623 46,57102003 7 15,5680267 21,18981412 27,67649191 35,02806007 43,2445186 7,5 14,53015825 19,77715984 25,83139245 32,69285606 40,3615507 8 13,62202336 18,54108735 24,21693042 30,64955256 37,83895378 8,5 12,82072787 17,45043515 22,7924051 28,8466377 35,61313297 9 12,10846521 16,48096653 21,52616037 27,24404672 33,63462558 100 9,5 11,47117757 15,61354724 20,39320456 25,81014952 31,86438213 10 10,89761869 14,83286988 19,37354433 24,51964205 30,27116302 Таблица 2 - Данные для построения графика А = f ( Rв, n ) Rв\n 40 50 60 70 80 1,5 0,23483084 0,573317481 1,18883113 2,202456437 3,757293447 1,4 0,251604472 0,61426873 1,273747639 2,359774754 4,02567155 1,3 0,270958662 0,661520171 1,371728226 2,541295889 4,335338592 1,2 0,293538551 0,716646852 1,486038912 2,753070546 4,696616808 1,1 0,320223873 0,781796566 1,621133359 3,003349687 5,123581973 1 0,352246261 0,859976222 1,783246694 3,303684655 5,63594017 0,9 0,391384734 0,955529136 1,981385216 3,670760728 6,262155744 0,8 0,440307826 1,074970278 2,229058368 4,129605819 7,044925212 0,7 0,503208944 1,22853746 2,547495278 4,719549508 8,0513431 0,6 0,587077101 1,433293704 2,972077824 5,506141092 9,393233617 1,5 6,018457594 9,173079704 13,43030599 19,02129807 26,19923294 1,4 6,448347422 9,828299683 14,38961357 20,37996222 28,07060672 1,3 6,944374146 10,58432274 15,49650692 21,94765162 30,22988416 1,2 7,523071992 11,46634963 16,78788249 23,77662259 32,74904118 1,1 8,206987628 12,50874505 18,31405363 25,93813374 35,72622674 1 9,02768639 13,75961956 20,14545899 28,53194711 39,29884941 0,9 10,03076266 15,28846617 22,38384332 31,70216346 43,66538824 0,8 11,28460799 17,19952444 25,18182374 35,66493389 49,12356177 0,7 12,89669484 19,65659937 28,77922713 40,75992444 56,14121345 0,6 15,04614398 22,93269926 33,57576499 47,55324518 65,49808235 101 60 50 40 А, мм 30 20 10 0 [σзм] 5,5 200 180 160 140 n, об/хв 9,5 6,5 120 100 80 60 40 20 7,5 8,5 Рисунок 3.18 – Зависимость размеров упругого элемента от его прочности на смятие и количества ходов безмуфтового пресса 70 60 50 40 А, мм 30 20 10 1,3 0 40 1,5 1,1 60 n, ходів/хв 0,9 80 100 0,7 Rв, мм 120 Рисунок 3.19 – Зависимость размеров упругого элемента от его упругой деформации и радиуса поворотного эксцентрика БМП 102 3.6 Выводы В ходе проведения поисково-конструкторской работы средствами пакета SolidWorks была разработана твердотельная трехмерная модель безмуфтовой кривошипной машины и выявлены основные преимущества автоматизированного трехмерного моделирования по сравнению с двумерным плоским чертежам: 1. Твердотельное моделирование - естественный способ выразить суть изделия, передать конструкторский замысел. Визуальное представление изделия нагляднее, реалистично по сравнению с двумерными чертежными проекциями. Твердотельные моделирование позволяет быстро формировать чертежи для созданной 3D-модели из любой проекции. 2. Трехмерные САПР позволяют использовать имеющиеся наработки, сокращая тем самым проектный цикл. Благодаря параметризации конструкции после корректировки одного размера система перечисляет все размеры, которые зависят от него, и затем обновляет созданную модель. 3. Трехмерное моделирование позволяет сократить сроки выполнения проектов, что является важным фактором для крупных проектных организаций, поскольку позволяет сократить временные и денежные затраты. На основе созданной трехмерной модели разработаны сборочные и рабочие чертежи безмуфтовой машины, показано моделирование процесса сборки - разборки КБМ, рассмотрены основные принципы использования дополнительных модулей, интегрированных в пакет твердотельного моделирования Solidworks Photoworks и Animator. С их помощью построены фотореалистичное изображение технологической машины и созданы видео и видеоролики с демонстрацией рабочего хода ползуна и холостого вращения привода при неподвижном ползуне для презентации этого перспективного оборудования. Было создана математическая модель процесса соударения подвижного упора по неподвижному при безмуфтовом включении рабочего хода ползуна машины и разработана программа «Удар» средствами Borland Delphi. Эта программа автоматически амортизатора определяет в оптимальные зависимости от параметры заданного упругого количества элемента- двойных ходов 103 спроектированного оборудования и допустимой деформации упругого материала. Данные занесены в таблицы и построены объемные графики зависимости изменения параметров упругого элемента-амортизатора от его упругой деформации, прочности на смятие, быстроходности машины и от размеров эксцентриковой втулки. Результатом программы является трехмерная модель соударимых тел с оптимальными размерами безмуфтовой системы включения, построенная в среде SolidWorks. На основании разработанных чертежей изготовлен в металле действующую модель КБМ с удлиненным запатентованной безмуфтового шатуном оригинальной включения и системой (рис. 20). Результаты работы в сотрудничестве со студентами готовятся университетском к научном печати в журнале и используются в учебном ном процессе при преподавании дисциплин «Начертательная геометрия», «Инженерная графика» и «Компьютерная графика» [27]. Использования спроектированной и запатентованной безмуфтовой машины при ее применении на производстве обеспечит следующие преимущества: - Повышение надежности работы, уменьшение затрат на проектирование, эксплуатацию, обслуживание и ремонт оборудования за счет упрощения конструкции новой безмуфтовой системы включения; - Увеличение срока службы КБМ и улучшения условий ее эксплуатации; - Улучшение экологических условий в цехе благодаря отсутствию экологически опасных продуктов износа асбестосодержащих фрикционных элементов. 104 4 Исследование динамических характеристик замкнутой системы «роторщелевые уплотнения» с учетом случайного изменения ее параметров 4.1 Введение и постановка задачи Одним из основных показателей технического состояния машин является уровень вибрации. В центробежных насосах динамика ротора определяется, главным образом, гидродинамическими силами давления и их моментами, действующих на ротор в дросселирующих каналах щелевых и лабиринтных уплотнений. В свою очередь локальные (распределение давления и скоростей в зазоре) и интегральные (расход, радиальные силы и моменты) характеристики потока в уплотнениях определяются и зависят от характера движения самого ротора. Именно поэтому ротор и уплотнения представляют собой единую замкнутую гидромеханическую систему. Для анализа этой системы входными данными являются гидродинамические характеристики уплотнений. Благодаря своей простоте, низкой стоимости, надежности работы в широком диапазоне уплотняемого давления и скоростей вращения щелевые уплотнения являются наиболее распространенными уплотнениями проточной части центробежных насосов. Щелевые уплотнения (рис.1) представляют собой кольцевые дроссели, образованные рабочим колесом, вращающимся 1 и неподвижной втулкой 2. Одной из главных особенностей этого типа уплотнений является то, что они имеют существенное влияние на динамические характеристики ротора амплитуду вынужденных колебаний, критические частоты колебаний и границы устойчивости. Вследствие взаимосвязи гидродинамических процессов в рабочих колесах и зазорах щелевых уплотнений ротор центробежного насоса генерирует вибрации более мощные и широкие по спектральному составу, чем в других машинах. Поэтому анализ динамики и определения способов снижения виброактивности роторов центробежных насосов является одной из актуальных задач современности, решение которой позволит повысить качество машин этого класса в целом. Большинство 105 исследователей [28-33] решают задачу повышения надежности и герметичности системы "ротор-уплотнение" в детерминистическим постановке, не считая случайного изменения параметров как самих уплотнений, так и внешних нагрузок, действующих на ротор. На самом деле приняты в насосо- и компрессоростроении допуски на размеры рабочих поверхностей уплотнительных пар [30], как правило, составляют 0.03 0.06 мм, то есть соизмеримыми с величиной зазора ( 0.2 0.4 мм) величинами, при этом относительный разброс величины зазора в различной компоновки может составлять (10 30) %, что сводит к нулю любые усилия по повышению точности расчета. Именно поэтому в работе помимо обычного детерминистического расчета проведено соответствующие параметры вероятностный расчет, в котором описываются случайными величинами или функциями. 1 2 Рисунок 4.1 - Ступень многоступенчатого насоса (1 – щелевое уплотнение рабочего колеса, 2 – межступенчатое уплотнение) 4.2 Уравнения движения и граничные условия Потом вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрическом зазоре описывается уравнение Рейнольдса [29] 106 ui ui u i _______ p ui/ u /j , uj x j xi xi x j x j t (4.1) _______ / / ui u j - силы мнимого турбулентного трения, i, j 1,2,3 , а где x j суммирование происходит по индексу, что повторяется. После оценки членов уравнений (4.1), из системы уравнений Рейнольдса выпадает первое уравнение, а в третьем остается лишь одна составляющая конвективного ускорения: p w p 2w _____ w 0 , w 2 vw . y z z y y t (4.2) Изменения параметров потока по кругу обусловлены только переменными по координате х предельными значениями давления и скоростей. Поскольку жидкость полностью заполняет кольцевой зазор, то систему уравнений (4.2) следует дополнить уравнением неразрывности: u v w 0. x y z (4.3) Для вывода граничных условий, которым должны удовлетворять решения уравнений (4.2) и (4.3), рассмотрим схему кольцевого канала (рис. 4.2). Ось втулки неподвижна, а ось вала вращается вокруг оси втулки с частотой прецессии , совершая одновременно (x x 0 cosvt , y y 0 cosvt ) малые радиальные гармонические ( e0 em cos vt ) колебания и во угловые взаимно перпендикулярных плоскостях yOx и xOz (на рисунке показаны положительные направления углов конусности и перекоса). В расчетной схеме (рис. 4.2) щелевого уплотнения кроме собственного вращения вала с частотой 1 также учитывать 107 вращения внешней стенки уплотнения вокруг оси вала или неподвижной оси втулки с частотой 2 . Тогда масштаб окружной скорости, обусловленной относительным вращением стенок, будет U r , где 1 2 . Граничные условия определим в движущейся системе координат xyz , ось O2 y которой направлена по линии центров OO1 в срединном сечении канала и вращается вместе с линией центров с постоянной частотой прецессии . В движущейся системе координат изменение зазора по кругу, с учетом малости sin e0 r угла (рис. 4.2): h0 R r e0 cos H e0 cos H ( 1 cos ). Вследствие перекоса вала величина эксцентриситета изменяется по длине канала. На рис. 4.3 показан прирост эксцентриситета в сечении z l / 2 -( e ) и в промежуточном сечении, соответствует координате z - ( e z ) для случая, когда оси вала и втулки скрещиваются. А-А A y y y0 0 2 w p10 t p20 y/ 1 R m x0 O r e0 O1 f M0 ось втулки O z x/ ось вала h0 O1 x y O2/ x x О2 z0 l/2 -l/2 O2 z A Рисунок 4.2 – Схема кольцевого канала z 108 y0 y t x y0/ y x x0 2 O e0 O1 x0 z e0 eyz ось втулки z l/2 e0 y ez x exz ex O1 ey0 ex0 e ey O1 1 ось вала Рисунок 4.3 – Изменение эксцентриситета по длине канала Зазор в произвольном сечении определяется формулой: h H (e0 e yz ) cos exz sin 0 z , где 0 - величина конусности втулки кольцевого канала. Поскольку приросты эксцентриситета e yz x z, exz y z (рис. 4.3), то радиальный зазор можно записать в виде: h H 1 cos 0 x cos y sin z Или в безразмерной форме h h y* (1 z ) , H тогда h h 1 h 1 y* , sin x sin y cos z , z x R R 109 где y* 0 H R r, y* , e0 , H 0 l 2H , x, y x, y l 2H , z 2z , l y* 1 cos , 0 x cos y sin - безразмерные величины. 0 Значения окружной и радиальной скоростей на стенках канала [28]: u (0) 2 R, v(0) 0, w(0) 0; w(h) 0. u (h) u u r H z cos 1 0 1 y H (x y ) z sin , x v(h) v1 v0 H (1 ) y (1 ) x z sin H x 1 y z cos . Граничными условиями для решения уравнений (4.1) и (4.2) также давление на входе щелевого уплотнения и на выходе из него: z 1, p p1 , z 1, p p2 . (4.4) Приведены предельные значения для давления справедливы вне каналом. Вход жидкости в канал сопровождается местными гидравлическими потерями и p11 резким изменением осевой скорости. Падение давления на входе и восстановления p12 на выходе из уплотнения выразим через скоростные напоры и коэффициенты местных гидравлических потерь: p11 11 w12 2 , p12 12 w22 2 , тогда предельные значения для давления принимают следующие значения: p1 p10 p11 p10 11 w12 2 ; p2 p20 p12 p20 12 где p10 , р20 - значение давления перед уплотнением и за ним; w22 2 , 110 w1 , w2 - средние осевые скорости соответственно во входном и выходном сечениях уплотнения; 11 , 12 - коэффициенты местных гидравлических потерь на входе и на выходе. Экспериментально установлено, что коэффициенты местных потерь практически не зависят от числа Рейнольдса [32], а определяются формой входного и выходного кромок уплотнения и в большинстве случаев могут быть приняты постоянными. Для канала с острыми кромками: 11 1,1 , 12 0,05 4.3 Распределение давления в зазоре Выразим силы трения через коэффициент сопротивления трения и суммарную среднюю по поперечному сечению канала скорость w , обусловленную заданным перепадом давления [8]: l 2 w . y 4h 2 2w _____ w2 Тогда 2 vw k 2 w, y 2h 2 y h где k Re 8 , Re 2hw C , n; Re для гидравлически гладких каналов n 1, C 64 - при ламинарном режиме течения, n 0.25, C 0.316 - при турбулентном течении, n 0, C 0.04 - в автомодельной области турбулентного течения. Согласно экспериментальным данным, шероховатость необходимо учитывать только при турбулентных режимах течения. Влияние шероховатости можно определять по формулам Альтшуля [28]. Усредним по толщине зазора силы инерции, входящих в уравнение (4.2): 111 g h w w w w u dy . h 0 t z x (4.5) Тогда уравнения движения примут вид: p p 0, g k 2 w . y z h Из последнего уравнения средняя скорость осевого течения: h 2 p w g. k z (4.6) Чтобы перейти к уравнению для определения распределения давления, в среднем по зазору уравнение неразрывности (4.3), используя правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру: 1 h u v w 1 h h dy (u h) u (h) v(h) v(0) ( w h) w(h) 0 . h 0 x y z h x x z z Средние по толщине зазора скорости: u u p uc 1h 1h udy , w wdy. h0 h0 где uc 0.5 u (0) u (h) u a a r , a 0.5(1 2 ) собственного вращения стенок уплотнения, - средняя частота - коэффициент, учитывающий исходное закручиваение потока на входе в зазор (при отсутствии закручивания на входе 1; если жидкость входит в зазор с начальной окружной скоростью, что 112 совпадает по направлению со средней окружной скоростью, то 1, иначе - 1). Как показано в [34], входящее закручивание существенно влияет на среднюю скорость вращения потока в зазоре. Учитывая отсутствие скоростей уплотнительных поверхностей в осевом направлении, усредненное уравнение неразрывности примет вид: h (u p h) ( w h) (uc h) u (h) v(h) v(0) . x z x x Поскольку рассматривается преобладающая осевая течение в коротком уплотнении, то первым слагаемым в левой части можно пренебречь по сравнению с изменением расхода в осевом направлении. Подставляя в это равенство среднюю скорость (4.6), получим уравнение Рейнольдса, описывающее распределение давления в коротком кольцевом зазоре: h 3 p h u c h u h vh . g z k z x x Перейдем к безразмерной осевой координате z 2 z l h 3 p l l 2 g z k z 2 4 h (u c u (h)) x v(h) v(0) . (4.7) Определим усредненную по толщине зазора силу инерции жидкости. В выражении (4.5) сделаем замену w w 1 2 (w ) . z 2 z Результирующее движение жидкости в зазоре является спиральным течением, определяемым перепадом дросселируемого давления и скоростями движения уплотнительных поверхностей. Осевая компонента скорости определяется суммой скоростей напорного, потока вытеснения и инерционного потока. В первом 113 приближении инерционной составляющей осевой скорости будем пренебрегать. Основываясь на экспериментальном исследовании спиральных течений в кольцевых каналах, можно записать, что для автомодельной области ____ w wmax w ; w 2 w 2 . После интегрирования с учетом отсутствия осевых составляющих скорости на стенках канала получим: g 1 ( w h) q 2 q ( w h) ( w 2 h) а ( w q ) a h t 2 z h t l z (4.8) 2 q w q q w q a h l z z Правую часть в уравнении (4.7) получим с учетом того, что проекция u 0 на порядок меньше сдвижной и относительной скоростей. Кроме того: vh v1 v0 1 r h v0 ; x u c u u hx vh u c u r hx vh r hx v H sin cos sin cos z. 1 0 1 y 1 a x x 0 y Уравнение Рейнольдса примет вид: h 3 p l q 2 q w l 2 k 0 Qe Q z , q а w q z K z 2h l z z 4 H 3 где 1 y sin y cos , e0 , e0 y H H Q y x sin x y cos . Qe sin cos (4.9) 114 Тут Qe , Q - отнесенные к среднему зазору Н проекции на ось 02 y приведенной скорости поверхности вала в точке с окружной координатой , обусловленной радиальными и угловыми колебаниями вала, а также угловыми скоростями прецессии оси вала и собственного вращения стенок канала. Суммарная скорость Q Qe Q z направлена против оси 02 y . Тогда уравнение неразрывности (4.3) для короткой щели с преобладающим осевым потоком принимает вид l wh H Qe Q z . 2 z В дальнейшем для упрощения выкладок (4.10) использовать следующие соотношения: 1 n q 2 q0 C k k 0 K , k 0 Re10n , Re0 , K 8 q0 q0 w0 H 20 0 l 2H pH 3 2pH 2 lk 0 20 , 0 0.5 , 1 2 n 4pH 3 2 lC n , (4.11) 8k C 0 , a . n Re0 Re0 где q0 - элементарный расход через концентрический кольцевой канал с постоянным зазором H , 20 - коэффициент гидравлических потерь на трение по длине такого канала. Для определения давления достаточно проинтегрировать уравнения Рейнольдса (4.9) с учетом граничных условий (4.4). Проинтегрировав дважды длине канала получим распределение давления в кольцевом канале: 115 p l 2 Hk0 4 h3 i03 1 l Q i i Q i i j C C2 , e 03 13 23 03 0 1 2 2 y 3 где i mn z 1 Используя граничные m Kz dz 1 z условия n для , j0 z gd z . 1 давления, определим постоянные интегрирования: z 1: C2 p1 ; py3 l 2 Hk0 3 i131 1 i231 ly3 j01 z 1: C1 y Qe 1 Q 1 . i031 4h3 i 2 i 2 i 031 031 031 Подставляя значения постоянных интеграции, получим распределение давления по длине кольцевого канала: p p p pd p g , Где 2 l k 0 i131 1 i231 Q i23 i03 , pd Qe i13 i03 i031 2 i031 4 H 2 y3 j01 l . p g j0 i03 2 i031 p p p1 p i03 , i031 (4.12) являются компонентами давления напорной течения p p , потока вытеснения p d и давления p g , обусловленного инерцией жидкости [35]. 116 Сила давления df на элементарную площадку rddr поверхности канала: df 0.5lprdz cosd . Проекции элементарной силы и моменты этих проекций относительно осей 02 x , 02 y (рис. 4.1) df x df sin 0 ,5lpd zr sin d , df y df cos 0 ,5lpd zr cos d , l2 l2 dmx df y z p zd zr sin d , dm y df x z p zd zr cos d . 4 4 l 1 l2 Введем обозначения: f pd z , m 2 1 4 1 p zd z , (4.13) 1 тогда проекции результирующих сил и моментов примут вид: 2 2 0 0 2 2 M x r m cosd , M y r m sin d . 0 0 Fx r f sin d , Fy r f cosd , (4.14) 4.4 Вычисление сил и моментов, действующих на стенки щелевого уплотнения Конечной целью анализа гидродинамики кольцевых дросселей является определение радиальных сил и моментов, действующих на вал и втулку со стороны потока жидкости в зазоре. В дальнейшем гидродинамические силы и моменты используют для анализа вибрационного состояния ротора, является одной из составляющих, характеризующих надежность роторной машины в целом. Амплитуды вынужденных колебаний ротора зависят от удаленности рабочих скоростей вращения от резонансных (собственных) частот, а в окрестности резонансов - от величины коэффициентов демпфирования. Собственные частоты определяются, главным образом, коэффициентами радиальной и угловой жесткости. 117 Нормальную работу машины соответствуют малые колебания, поэтому силовые коэффициенты (жесткости, демпфирования, инерционных сил) будем линеаризовать в окрестности исходного положения. Влияние нелинейности проявляется лишь в случае, когда ротор у окрестности резонанса, и несет вынужденных колебаний с большими значениями амплитуды колебаний. Такие же колебания возникают и в случае, когда ротор теряет динамическую устойчивость. Режимы повышенных вибраций относят к аварийных режимов, поэтому их анализ, как правило, имеет сугубо теоретический интерес. В случае повышенных значений амплитуд колебаний происходит аварийная остановка машины по данным сигналов датчиков. Именно поэтому а работе задача будет решена в линейной постановке, а соответствующие нелинейные составляющие будут линеаризоваться. После подстановки интегралов в (4.12) и интегрирования по длине канала по формулам (4.13), получим соответствующие элементарные силы давления на полоску внутренней стенки канала единичной ширины и моменты этих сил относительно оси Ox . Напорная составляющая силы и момента: l p1 p2 p2l p2l 2 H p2l 2 H l 1 f p ppd z Qe Q , 2 1 2 2 12q0 k1 30q0 k1 1 p2l 2 p2l 3 H p2l 3 H l2 m p p p zd z Qe Q . 4 1 12 60q0 k1 360 q0 k1 Первые две составляющие в выражении силы представляют собой гидростатическую силу, которая не зависит от движения стенок, а определяется перепадом дросселируемого давления на уплотнении, радиальными и угловыми статическими смещениями вала и геометрическими параметрами канала. Последние две составляющие характерны только для турбулентных режимов течения и равны нулю для обусловлено ламинарных тем, что режимов параметр течения. K, Появление этих характеризующий составляющих режим течения, пропорционален суммарной средней скорости потока по сечению канала, которая в 118 общем случае зависит от обобщенных скоростей , x, y Перепад давления по длине канала определяется величинами скорости потока на входе и на выходе: p p1 p2 p0 11 w12 2 12 w22 2 . Скорости w1 , w2 зависят не только от перепада давления, но и от характера движения стенок. С учетом постоянства по длине расходов напорных и инерционной течений, получим выражение для скорости на входе и на выходе из уплотнения: w1 Q q1 q p qd 1 q g 1 lH qp q g Qe (1 ) ; h1 Hy* (1 ) Hy* (1 ) 2 3 w2 Q q2 q p qd 2 q g 1 lH qp q g Qe ( 1) h2 Hy* (1 ) Hy* (1 ) 2 3 . Квадраты скоростей, с учетом малости квадратов расходов потока вытеснения и инерционной течения, равны: w12 1 2 2 H y* (1 ) 2 2 Q lH q 2 q q Q ( 1 ) ; p g e p 2 3 w22 1 H 2 y*2 (1 ) 2 2 Q lH Qe ( 1) q p 2q p q g 2 3 . Используя последние выражения найдем разницу и сумму предельных значений давления с учетом местных гидравлических сопротивлений и движения уплотнительных поверхностей, тогда выражение гидростатической составляющей силы преобразуем к такого 119 p p20 p l p1 p2 p l l 2 10 l 0 2 2 2 2 (4.15) l lH l 2 2 2 q p 2q p q g Q m q p Qe . 6 4h* (1 2 ) 2 4 Hy*2 (1 2 ) fp Гидростатическая составляющая момента: p0l 2 l 2 mp 12 24 h*2 (1 2 ) 2 Линеаризованные lH 2 q 2 q q Q 2 m p p g 6 l 3 24 Hy*2 (1 2 ) выражения (4.16) q p Qe m . элементарных сил и моментов потока вытеснения имеют вид: f de f d l 3 k 0 30 H 2 0 l 3 k 0 00 l 0 y sin y cos , m f , a de de 5 12 H 3 0 00 a x sin x a y cos , 0 y md l f d . 12 0 (4.17) Силы и моменты потока вытеснения характеризуют демпфирующие и циркуляционные силы в щелевых уплотнениях, которые связаны между собой. Линеаризованные выражения силы инерционного давления имеют вид: fg где l 3 l 3 l 2 l 2 Qe Q q Q q p f g 1 f g 2 f g 3 f g 4 , p 12 y* 90 y* 3 Hy* 3 Hy*2 120 f g1 f g2 l 3 12 H y sin ( y y) cos ; l 4 0 y 2 y 2 a x a y sin 360 H x 2 x 2 a y a x cos ; l 3 q po y x sin x y cos ; f g3 2 6H fg4 fg4 l 2 3H 2 (4.18) q po 0 y cos - для ламинарных режимов; l 2 q02 ( 2 0 m ) 1 1.71 1.43 0.86 m 0 00 y cos 2 2 0 2 0.28 4H K t l 2 q02 cos y sin 2 2 0 m x 2H Kt - для турбулентных режимов течения; f g4 l 2 q 2po 3H 2 0 1.5 0.5 0 l y cos m x cos y sin 0 2 - для автомодельных режимов течения; a lpH a l 3 f g5 0 sin 0 y cos y sin 4 0 . (2 n) k 0 12 Инерционная составляющая момента: l 4 l 4 l 3 mg Qe Q q p Q ; 180H mg l 5 45H y 2 y 2 a x a y sin 720H x 2 x 2 a y a x cos 360 l 4 q po 0 y x sin x y cos 90 H 2 l 4 ( ) y sin ( y y) cos . 180H (4.19) 121 Инерционная сила, как и гироскопическая, обусловлена инерционными эффектами жидкости. Первая сила направлена в сторону увеличения эксцентриситета, а вторая совпадает по направлению с циркуляционной. Влиянием этих сил на динамику роторов центробежных машин обычно пренебрегают [29, 30, 36, 37], считая, что эти силы на порядок меньше других, но, как будет показано далее, такое пренебрежение является необоснованным. Определим проекции результирующих сил и моментов. От элементарных сил давления напорные течения, получим следующие выражения проекций радиальной силы на оси подвижной системы координат: Fpx k s y k px y k py 0 ( m 0 ) y k p y x ; Fpy k sx k sy y k p (x y ) k py0 ( m 0 ) y y k py y , где для автомодельных области турбулентного течения: k s k s l 1 2 plr 2 2 0 . 5 2 , k , 0 m 0 m 0 s 2 02 2H 2 0 2 lr 2 20 l 2r 2 k px qoo ( m 0 ) q po k0 H 0 3 0 4H 2 k p 2 2 l 2r qoo 20 l 3r 20 (3 m 4 0 0 ) q 2 oo 0 24 H 12k0 H 0 0 1 k sy k s 0 2 m 0 m 0 2 0 k py 2 l 2r , k py qoo 6 k0 ( m 0 ) , (4.20) , 20 2 lr l 2r 2 0 ( m 0 ) q oo q po . 4 k 0 H 0 0 4H 2 Из полученных формул следует, что проекция гидростатической составляющей радиальной силы Fpx , обусловленная перепадом дросселируемого на уплотнении давления, не зависит от эксцентриситета, а пропорциональная только углу перекоса 122 вала. Напорная составляющая момента для автомодельной области турбулентного течения: M px k s l l2 m 0 2 0 m x 2 y k 0 m 0 s 12 02 6 02 l k py 0 2 0 m y y 6 k pmy1 ( m 2 0 ) k pmy 2 0 2 0 m y k pmx , M py l2 m 0 2 0 m y k pmy y k py l 0 2 0 m y , k s 2 6 0 6 k pm 20 2 l 3r 2 20 m 0 l 4r qoo 2 0 m q ( 2 0 m ) ; 2 oo 6 k0 H 0 0 4 3 0 144H k pmy1 l 3r 24 H 2 q po ; k pmy 2 20 2 l 2r 2 q oo . 24 k 0 H 0 0 Проекции радиальных сил и моментов, обусловленных собственным и переносным движением стенок канала для различных режимов течения имеют вид: Fdex k d a y, Fdey k d y ; kd l 3 k 0r 12 H 3 K ; l l M dex k d 0 y , M dey k d 0 a y; 5 5 l l M dex 0 Fdey , M dey 0 Fdex , 5 5 Fdx k d l l 0 y a x , Fdy k d 0 x a y ; 5 5 l2 l2 M dx k d x a y , M dy k d y a x ; 60 60 l l M dx 0 Fdy , M dy 0 Fdx ; 12 12 Циркуляционные силы, как и гидростатические, (4.21) пропорциональные 123 эксцентриситета ротора, но направление их действия перпендикулярен эксцентриситета, вследствие чего коэффициент при циркуляционной силе иногда называют «перекрестной» жесткостью. Несмотря на общее сходство с гидростатическими силами, которые являются консервативными, циркуляционные силы неконсервативны. В конфузорных каналах линии действия рассмотренных сил смещаются от начала координат в положительном направлении вдоль оси Oz и порождают соответствующие моменты. В диффузорных каналах линии действия сил смещаются в противоположную сторону ( z 0) и моменты меняют знак. После интегрирования по формулам (4.14, 4.18) элементарной силы, обусловленной инерции жидкости, получим проекции инерционной силы и ее момента: Fgx k g y k g l 2l 0 y y ( )x k g 2 1 0 m y x , 30 3 0 l 0 x x y 15 2l 2l y ; k g 2 x y k g 2 2 3 3 0 Fgy k g y y k g M gx 2 l 2 l 2 l k g x x ( ) y k g y y k g 2 0 x y , 60 15 45 0 M gy 2 l 2 l 2 l k g y y ( )x k g y k g 2 0 y x . 60 15 45 0 kg l 3r 12 H , kg2 l 2r q po , 6 H 2 0 где коэффициент k g , имеющая размерность массы, можно рассматривать как присоединенную массу жидкости для поперечных колебаний вала, которая не зависит от частоты вращения. Инерционная сила, характеризующаяся присоединенной массой жидкости, состоит из силой инерции ротора, которая в 124 большинстве случаев превышает ее на порядок. Исключение в этом случае могут представлять лишь относительно длинные щелевые уплотнения разгрузочных барабанов центробежных насосов [34, 37]. Таким образом, на ротор в щелевом уплотнении в общем случае действует упругая, демпфирующие и циркуляционная силы. Учет не только локальных, но и конвективных членов в уравнении Рейнольдса привело к тому, что коэффициенты пропорциональности напорной составляющей радиальной силы зависят не только от геометрических размеров уплотнений, а также от частот вращения и прецессии вала. С помощью формул, приведенных в [35] были получены выражения для проекций сил и их моментов в неподвижной системе координат. 4.5 Уравнения связанных радиально-угловых колебаний ротора в щелевых уплотнениях Влияние сил и моментов в щелевых уплотнениях на вибрационные характеристики ротора определим на примере модели консольного ротора, масса которого сосредоточена в центре масс С (рис. 4.4), а вал представляет собой невесомое упругое тело и вращается в жестких опорах. Такая модель ротора имеет следующие степени свободы: центр масс ротора может перемещаться вдоль трех координатных осей, а диск рабочего колеса совершать повороты вокруг оси вращения и двух осей, перпендикулярных оси вращения. Хотя такая упрощенная модель, за исключением отдельных случаев, не соответствует реальной роторной системе центробежной машины, и она сохраняет ее важнейшие динамические свойства и дает возможность оценить влияние уплотнений на динамику ротора. Как показано в [29] усложнения конструкции не приводит к принципиально новым результатам. Кроме того, на основе разложения колебаний ротора за собственными формами, выводы, касающиеся одномассовой модели, можно непосредственно применить и при исследовании более сложных роторных систем. Учитывая то, что осевые перемещения ротора на рабочих режимах 125 незначительны и не влияют на гидродинамические характеристики щелевых уплотнений, осевой подвижностью рабочего колеса пренебрегали. При расчете использовались следующие системы координат: неподвижная система Ox 0 y 0 z 0 с началом в геометрическом центре колеса при недеформированном состоянии вала; подвижная, жестко связана с валом, вращающимся система координат O111 1 , оси O11 и O11 которой направлены по главным осям инерции поперечного сечения вала, а ось O1 1 - по касательной к изогнутой оси вала в точке O1 центра вала в месте посадки колеса подвижная система координат C с началом в центре масс ротора, оси которой совпадают с главными центральными осями инерции колеса. Углы поворота вокруг осей Ox 0 , Oy 0 - x , y . Осевой момент инерции колеса - J o , а моменты инерции относительно осей C и C (экваториальные моменты инерции), что равны между собой - J . При концентрическом положении ротора и статора точки начала координат систем O и O1 совпадают. о 2 1 о 1 о о Рисунок 4.4 – Расчетная схема одномассовой модели ротора в щелевых уплотнениях Рис. 4.1 Расчетная схема консольный ротор - щелевое уплотнение Используя теоремы об изменении количества и момента количества движения системы уравнений радиальных и угловых колебаний ротора в уплотнениях в проекциях на неподвижные оси Ox 0 y 0 z 0 имеют вид: 126 mxc Fox , myc Foy , (4.23) J1 ( J o J )1 M ox , J1 ( J o J )1 M oy . Для малых параметров неуравновешенности рабочего колеса, малых линейных и угловых перемещений, связь между перемещениями осей C и O111 1 в неподвижной системе координат имеет вид: x c x ec1 cos z ec1 sin z , y c y ec1 sin z ec1 cos z , 1 x 1 cos z 2 sin z , 1 y 1 sin z 2 cos z , где 1 , 2 характеризующие параметры неуравновешенности рабочего колеса. Так называемый динамический дисбаланс. Поскольку z t , получим: x0 x 2 (e c1 cos t e c1 sin t ), y0 y 2 (e c1 sin t e c1 cos t ), 1 x 2 (1 cos t 2 sin t ), 1 y 2 (1 sin t 2 cos t ). Используя полученные выражения в уравнениях (4.4), получим систему уравнений движения рабочего колеса относительно неподвижной системы координат с учетом изгибной жесткости вала: mx k11 x k12 y Fx0 Fdx0 , my k11 y k12 x Fy0 Fdy0 , Jx k 22 x ( J o J ) y k12 y M x0 M dx0 , Jy k 22 y ( J o J ) x k12 x M y M dy0 , где Fx , y 0 0 , M x ,y 0 0 уплотнениях на оси Ox 0 , Oy 0 ; - проекции сил и моментов в двух щелевых 127 Fdx0 m 2 ec1 cost ec1 sin t , Fdy0 m 2 ec1 sin t ec1 cost - проекции статического дисбаланса; M dx0 2 (2 J J o )(1 cost 2 sin t ), M dy0 2 (2 J J o )(1 sin t 2 cost ) - проекции динамического дисбаланса на оси неподвижной системы координат. В случае линейности силовых факторов, входящих в состав колебательной системы ротор - уплотнения параметры неуравновешенности играют роль внешнего возмущающего влияния, определяя закон вынужденных колебаний рабочего колеса. Полученные уравнения можно использовать для расчета как модели симметричного, так и консольного одномассовой ротора, имеющий кроме гидродинамических щелевых опор-уплотнений еще и внешние жесткие опоры. В случае, когда ротор имеет осевую симметрию, выражения для статического дисбаланса упрощаются: Fdx0 m 2 ec cost , Fdy0 m 2 ec sin t. Для консольной схемы уравнения связанных радиально-угловых колебаний приобретут вид: (1 a1 ) x a 2 x 12 x a 3 y a 4 y 2 y a c y 4x 5 x (1 a1 ) y a 2 y 12 y a 3 x a 4 x 2x a c x 4 y 5 y (1 1 )x 2x 22 x 3 y 4 y b2 y bc y b3 x b4 x Fdx0 Fdy0 m m ; ; M dx0 (1 1 )y 2 y 22 y 3x 4 x b2 x bc x b3 y b4 y ; J M dy0 J . Переходя к комплексных переменных: u x iy ; v x i y , уравнения движения можно записать в таком виде: 128 (1 a1 )u a 2 u 12 u i(a 3 u a 4 u ) i( 2 v a c v) 4 v 5 v a 2 e it , (1 1 )v 2 v 22 v i( 3 v 4 v) i(b2 u bc u ) b3 u b4 u Г 2 e it , (4.24) где для автомодельных области турбулентного течения: a1 k g k py 0 ( m 0 ) m ; a2 k d k py k g 2 0 (3 0 ) m ; lpH 0r k k l 3r a22 ; a11 0 4 0 ; 12 s f v ; a3 a (a1 a11 ) ; 4k 0 (2 n) m m 72 H a4 a (a22 a2 ) ; 2 k d k p k g 2 l k k l 0 0 m ; c s 12 ; 4 1 a ; 5m m m m m 5 a 2 ; k pm l2 l2 l3 ; 3 a 1 J 0 J ; k k 1 k g ; 2 d g 2 0 0 J 60 J 60 J J 15 J k 22 l2 ks ; 4 a 2 ; J 6J 2 2 b2 k d ( 0 ) ( ) l 2 0 m ; 0 k pmy1 m k pmy 2 0 5J J J bc k12 l ks mf ; b3 a b1 ; b4 a b2 J 6J - коэффициенты гидродинамических сил и моментов в щелевых уплотнениях; J a ec1 iec1 , Г 2 o 1 i2 . В приведенных формулах 12 и 22 J парциальные частоты в соответствии радиальных и угловых колебаний ротора, а гидродинамические коэффициенты определяются по следующим формулам [35] 129 k s l 3 k 0 r plr l 1 2 2 ks 0 2 m 0.5 0 2 m 0 , k s , , kd 2 02 2H 12 H 3 K k py 2 l 2r q oo , 6k 0 2lr 2 20 l 2r 20 2 k px qoo ( m 0 ) q po k0 H 0 3 0 4H 2 k p 2 2 l 2r q oo 12 k 0 H 0 20 20 l 3r (3 m 4 0 0 ) q oo 0 0 24 H 2 1 k sy k s 0 2 m 0 m 0 0 k py , 2 , k g l 3r 12 H , kg2 ( m 0 ) , l 2r q po , 6 H 2 0 2 20 2 lr 2 0 ( m 0 ) l 2r q po . q oo 4k 0 H 0 0 4H 4.6 Влияние случайного изменения возмущающей силы на амплитуды колебаний ротора в щелевых уплотнениях В общем случае дисбаланс является случайной функцией (его параметры зависят от множества факторов, изменяющихся во времени). Как первое приближение рассмотрим случай, когда дисбаланс является случайной величиной с известным математическим ожиданием ma , а среднеквадратическое отклонение Da определять как некий процент отклонения от математического ожидания. То есть в этом случае рассматриваем колебания системы под действием случайного нагрузки, имеет вид: F (t ) a 2 e it . Математическое ожидание нагрузки равна mF ma 2 e it . Центрированное значение нагрузки: o F (t ) a ma e , 2 it o F (t ) a ma e * сопряженная центрированная величина. 2 it , де O* F (t ) – комплексно 130 По определению корреляционная функция комплексной случайной функции равна o o 2 K F (t , t ) M F (t ) F * (t ) M 4 a ma e i t t 4 e i (t t ) Da То есть K F (t , t ) 4 Da e i K F ( ) . (4.25) Поскольку корреляционная функция внешней нагрузки зависит не от двух моментов времени, а от их разности, то имеем случай колебаний линейной динамической системы под действием квазистатического случайного нагрузки. На практике интерес представляет поведение системы вблизи резонансной частоты и на рабочей частоте вращения. Как выше было отмечено, околорезонансные колебания относят к аварийным ситуациям, поэтому рассмотрим случай колебаний системы на рабочей частоте, при этом обозначим p . По формулам Винера-Хинчина по известной корреляционной функции случайной нагрузки определим его спектральную плотность S F ( ) K F ( )сos ( )d 2 p Da e 4 i p cos( )d . (4.26) 0 Для определения спектральной плотности и корреляционной функции "выхода" системы найдем ее передаточную функцию. Поскольку угловые колебания системы "ротор - щелевые уплотнения", как правило, на порядок меньше радиальные, то в дальнейших расчетах будем рассматривать чисто радиальные вынужденные колебания. В этом случае передаточная функция, по уравнениям (4.24) равна: W (i ) 1 . 12 2 (1 a1 ) ia2 a4 131 Используя известную связь между спектральными плотностями "входа" и "выхода" линейной системы, получим: S z ( ) W S F ( ) , 2 где квадрат модуля передаточной функции определяется по формуле W 2 2 1 1 2 (1 a1 ) 2 a 2 a 4 2 . На рис.4.5 показаны спектральные плотности установившихся колебаний ротора в щелевых уплотнениях для следующих параметров: давление на уплотнении p 0.2 МПа, длина уплотнения l 0.2 м, средний радиальный зазор H 0.25 10 4 м, жидкость - вода. S z ( ) S z ( ) 6 810 6 210 6 610 S2( ) S2( ) 6 410 6 110 6 210 0 0 0 200 400 600 800 3 110 0 200 400 600 800 3 110 а) б) Рисунок 4.5 – Спектральная плотность перемещения центра масс одномассовой модели ротора в щелевых уплотнениях а) - р 300 рад/с, б) р 0 557 рад/с Определим закон распределения перемещения центра масс ротора. Для этого решение первого уравнения системы (4.24) возьмем в виде z z 0 e i t , 132 что соответствует прямой синхронной прецессии работы с частотой и фазовым смещением по отношению к дисбалансу . Подставив в уравнение принят решение, получим: z0e i a 2 2 0 (1 a1 ) 2 2 a 2 q . 2 где arctg a 2 q 02 2 (1 a1 ) То есть решение вынужденных радиальных колебаний ротора в щелевых уплотнениях можно представить в виде z A(i )ae it , (4.27) где A(i ) 2 2 0 (1 a1 ) iarctg 2 2 a 2 q e a2 q 02 2 (1 a1 ) . 2 Таким образом, перемещение центра масс ротора z является комплексной случайной функцией, математическое ожидание которой равно m z M Z (t ) A( )ma e i (t ( )) , где A( Считая 2 2 0 (1 a1 ) колебания 2 2 a2 q ротора . 2 в щелевых уплотнениях стационарными, можно положить mz A(i )ma . Дисперсия перемещения определяется по формуле постоянными 133 o o 2 D z M Z (t ) Z * (t ) A( ) Da , o где Z (t ) Z (t ) m z A( )e it a ma - центрированное значение случайного процесса, o * Z (t ) - комплексно-сопряженная центрированная величина. Соответственно среднее квадратическое отклонение равно z A( ) a . Определим корреляционную функцию: o o 2 K z (t , t ) M Z (t ) Z * (t ) A( ) 2 Da e i t t A( ) Da e i , Поскольку математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция является функцией одного аргумента, то Z (t ) есть стационарной случайной функцией. Тогда дисперсию можно определить по найденной выше спектральной плотности (следствие формулы Винера-Хинчина): 1 Dz 2 S z ( )d . По известным параметрам случайного перемещения z , можно определить вероятность непревышения этой функцией некоторого заданного уровня. Так, если принять нормальный закон распределения для дисбаланса (используя центральную предельную теорему Ляпунова), то перемещение также подчиняться нормальному закону, параметры которого m z , Dz были определены выше. Тогда вероятность непревышения перемещением центра масс определенного уровня определяется по формуле 134 P z z0 z0 z0 f ( z )dz 0 0 1 z 2 e z mz 2 2 z2 z m z 2 dz Ф 2 2 z (4.28) Для приведенных выше параметров системы вероятность безотказной работы (вероятность непревышения перемещениями ротора величины среднего радиального зазора щелевого уплотнения) составила P1 0,971. С увеличением среднего радиального зазора область безотказной работы расширяется. Так, если зазор в уплотнении составляет Н 3 10 4 м при том же значении перепада давления, то P2 0,9997, но увеличение зазора приводит к уменьшению жесткости системы и увеличение расходов, то есть не является целесообразным. По увеличению дросселируется на уплотнении давления вероятность безотказной работы также повышается: для Н 2,5 10 4 м и р 2 МПа - Р 0,9996. Если в качестве закона распределения дисбаланса принять экспоненциальный закон, то в этом случае случайное перемещение z также подчиняться экспоненциальному закону f ( z ) b exp b( z a) со следующими параметрами: b z1 , a mz z . Тогда вероятность непревышения перемещениями центра масс величины зазора составит Pz z 0 F ( z 0 ) 1 exp b( z 0 a) 1 exp z1 ( z 0 mz z ). (4.29) При H 2 10 4 м, p 0.2 МПа эта вероятность будет равна P1 0,945, при Н 3 10 4 м, p 0.2 МПа - Р2 0,992, при Н 2,5 10 4 м и р 2 МПа - Р 0,998. 4.7 Выводы Путем решения задачи течения жидкости в зазоре щелевого уплотнения с внутренней поверхностью уплотнения, которое поворачивает прецессирует, полученные гидродинамические радиальные силы и их моменты, действующие на 135 ротор со стороны слоя жидкости. С помощью теоремы об изменении количества движения системы получены уравнения связанных радиально-угловых колебаний ротора в щелевых уплотнениях, что позволило рассмотреть задачу определения вероятностных характеристик линейной системы, находящейся под действием случайного нагрузки. Как следует из приведенных оценок, вероятность безотказной работы по критерию непревышения перемещения центра масс ротора величины среднего радиального зазора уплотнения является чувствительной как к типу закона распределения возмущающей силы, так и параметров самих щелевых уплотнений. Используя полученные в работе выражения можно решать задачу оптимизации, т.е. определять такие параметры системы "ротор -щелевые уплотнения", обеспечивающих ее работу в заданном диапазоне амплитуд вынужденных колебаний с минимальной величиной расходов через щелевое уплотнения. Предложенная методика может быть использована и при исследовании колебаний компрессорных систем, при этом в системе (4.24) соответствующие коэффициенты должны определяться из решения газодинамической задачи. 136 Перечень ссылок 1. Бондаренко Г.А., Симоновский В.И., Пшик В.Р. Экспериментальное определение коэффициентов гидродинамических сил в лабиринтных уплотнениях.Машиноведение, 1981, №5, с.39-41. 2. Будник А.И., Симоновский В.И., Кафтарян О.Н. Экспериментальное исследование демпфирования в роторе с щелевыми уплотнениями. Химическое и нефтяное машиностроение, научно-технический реферативный сборник, ЦИНТИХИМНЕФТЕМАШ, М., 1983, №2, с.8-10. 3. Симоновский В.И., Бондаренко Г.А., Пшик В.Р. Оценивание гидродинамических сил в лабиринтных и щелевых уплотнениях по границе устойчивости ротора.- В кн.: Диссоциирующие газы как теплоносители и рабочие тела АЭС. Ч.1. Минск, 1982, с.158-165. 4. В.И.Симоновский. Устойчивость и нелинейные колебания роторов центробежных машин. Изд-во «Вища школа», Харьков, 1986. 128 с. 5. Барнев С.В., Симоновский В.И., Доценко В.А., Фирсов П.Н. Оценивание жёсткости сегментных подшипников турбокомпрессоров по собственным частотам и формам колебаний.- Химическое и нефтяное машиностроение, 1990, №8, с.21-22. 6. В.И.Симоновский, С.В.Барнев. Исследование демпфирования подшипников и дисбалансов ротов по экспериментально замеренным амплитудам их колебаний. – Проблемы прочности, №2, 1992, с.82-85. 7. В.И.Симоновский. Оценивание демпфирования колебаний ротора. Вісник СумДУ, №2(8), 1997, с.61-65. 8. О.В.Ноль, В.І.Симоновський. Оцінювання коефіцієнтів опору роторів відцентрових машин по трьом параметрам.-Вісник СДАУ, сер. Мех.. та авт. виробн. процесів, 2001, вип..6,с.132-136. 9. В.І.Симоновський, В.А.Хворост. Оцінювання параметрів динамічних моделей роторів.-Суми, СумДУ, 2002. 144 с. 137 10. В.И.Симоновский. Динамика роторов центробежных машин.-Сумы, СумГУ, 2006. 126 с. 11. Гадяка В.Г., Симоновський В.І. Оцінювання коефіцієнтів жорсткості сегментних підшипників при балансуванні гнучких роторів турбокомпресорів на розгінно –балансувальному стенді.- Вісник СНАУ, сер. Мех.. та авт. виробн. Процесів, 2005, вип..11(14), с.145-150. 12. Гадяка В.Г., Симоновский В.И. Разработка методики оценивания динамических кэффициентов подшипников турбокомпрессоров при балансировке на вакуумном разгонно-балансировочном стенде.-Вісник СумДУ, №12, 2006, с.125132. 13. Гадяка В.Г., Симоновский В.И. Расчётно-экспериментальная методика уравновешивания роторов турбокомпрессоров.-Вісник СНАУ, сер. Мех.. та авт. виробн. процесів, 2006, вип..9(15), с.199-204. 14. Гадяка В.Г. Експериментальне дослідження впливу різних типів підшипників на динаміку гнучкого ротора // Вісник СНАУ, 2007. – №1(16) – С. 8286. 15. Лейких Д.В. Экспериментальное исследование динамики ротора в неустойчивой области частот вращения/ В.Г. Гадяка, Д.В. Лейких, В.И. Симоновский // Проблемы машиностроения,-2009. – Т12, – № 5. – С. 81-85. 16. Симоновский В.І. Уточнення математичних моделей коливальних систем за експериментальними даними. – Суми: Вид-во СумДУ, 2010. – 92с. 17. Насос НПВ 1250 – 110М. Расчеты на вибропрочность. Часть 6 Н12.188.00.00 РР5. 18 Иванов И.И., Соколов А.Л., Соколов В.С. Основы теории обработки металлов давлением: учеб. для вузов. – М.: Инфра-М Форум, 2007.– 144 с. 19 Бочаров Ю.А. Кузнечно-штамповочное оборудование: учебник для вузов. – М.: Машиностроение, 2008. – 480 с. 20 Кожевников В.А., Лазарев Р.В., Трегубов кривошипных прессов. – Л.: Машиностроение, 1988. – 176 с. А.И. Модернизация 138 21 Патент України № 63550, МПК B30B 1/00. Спосіб вмикання кривошипної машини на робочий хід / В.С.Запорожченко.– Надрук. 15.01.2004, Бюл.№1. 22 Глушаков С.В., Меньшиков В.В., Сурядный А.С. Программирование в среде Windows: учебный курс. – Харьков: Издательство АСТ, 2001.– 478 с. 23 Лукинских С.В. Проектирование изделий в SoldWorks: учебное пособие для студентов. – Екатеринбург: УМЦ УПИ, 2006. – 360 с. 24 Орлов Андрей. AutoCAD 2012 (+CD с видеокурсом). – Санкт-Петербург : Питер, 2012. – 384 с. 25 Патент України на винахід № 89260, МПК B30B 1/26, 15/00. Механічний безмуфтовий прес / В.С.Запорожченко. – Надрук. 11.01.2010, Бюл. № 1. 26 Канту М. Delphi7 : Для профессионалов. – Санкт-Петербург : Питер, 2005. – 780 с. 27 Запорожченко В.С., Купенко О.В., Павленко І.В., Запорожченко А.В. Деякі аспекти вирішення проблеми графічної підготовки студентів // // Геометричне та комп’ютерне моделювання / Збірник наукових праць Харківського державного університету харчування та торгівлі, випуск 28. – Харків: ХДУХТ, 2011. – С.186– 28. Марцинковский В.А. Бесконтактные уплотнения роторных машин. – М.: Машиностроение. 1980. - 200 с. 29. Беда И.Н. Разработка уточненной модели и исследование динамических характеристик системы ротор-уплотнения// дис. канд. техн. наук 01.02.06 - Москва, 1992. – 192 с. 30. Гулый А.Н. Гидродинамическая жесткость бесконтактных уплотнений // Вестник машиностроения. 1987.№2. - С.21-25 31. Марцинковский В.А. Гидродинамика дросселирующих каналов. – Сумы. Изд-во Сумского госуниверситета, 2002. – 377 с. 32. Гулый А.Н. Разработка экспериментальных и теоретических методов анализа динамических параметров бесконтактных уплотнений: Дис. канд. техн. наук: 01.02.06. – Сумы, 1989. – 217 с. 139 33. Тарасевич Ю.Я. «Нестаціонарний потік рідини в плоскому каналі з рухомою стінкою», Машинознавство, - 2003, №1 – С. 31-36 34. Тарасевич Ю.Я. «Вероятностные характеристики расхода через щелевое уплотнение», Восточно-европейский журнал передовых технологий, 2005, №4 – С.70-73 35. Тарасевич Ю.Я. Розробка методів розрахунку вібраційного стану роторів в шпаринних ущільненнях. Дис. канд. техн. наук: 05.02.09. – Харьков, 2006. -187с. 36. Марцинковская Н.И., Марцинковский В.С., Хворост В.А. Расход через кольцевой зазор со случайым эксцентриситетом// Изв. ВУЗов, Сер. Энергетика. 1980. №6. – С. 104-106 37. Светлицкий В.А. Случайные колебания механических систем. – М.: Машиностроение, 1976. – 216с. 38 Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1969, 576 с.