Третья контрольная:

Надеюсь разберетесь, sorry, но лень писать более подробно…
φπ
Третья контрольная:
Вариант 4
1. Вычислить
cos zdz
C z 2   2
С: |z|=4
Через интегральную формулу Коши: 2πi (cos(π)/(2 π)+cos(-π)/(-2 π))=0
2. Для каких z ряд сходится

zn

2
n
1
n 
Формула Коши-Адамара: R=1/lim(верхний) корня n-ой степ. из 1/ (n*n+1) при n
стремится к ∞=1. Значит, модуль z < 1
3. Определить тип особых точек, включая z  
f ( z) 
1
( z  2)3 (eiz  1)
z=2-полюс 3 пор, z=2 π k –полюсы 1 пор ( корни ищутся через Ln(1), далее
рассматриваем g(z)=1/f(z), ее первая производная не=0), z=беск-неизолирован.,
значит, нет классификации
4. Вычислить:
2

0
d
(2  cos  )2
Замена z=exp(i φ), cos(φ)=(z+1/z)/2,получим интеграл по замкнут. контуру: модуль
z=1 от[ –idz/(z(2+(z+1/z)/2)(2+(z+1/z)/2))]=2 π на сумму по всем к res[1/
z(2+(z+1/z)/2)(2+(z+1/z)/2)), в z k-ых] , где Im z k-ых>0. Ищем корни знаменателя:
z=-2+-корень из 3-полюсы 2 пор, значит, res считаем по формуле с пределом при
m=2…
5. Вычислить:


0
cos( x )dx
1  x4
=0.5 на такой же интеграл, только от –∞
до ∞ =0.5 Re от интеграла от –∞ до ∞ [exp(iαx)dx/(1+x*x*x*x)]= 0.5 Re от 2π i на
сумму по всем к res[exp(iαz)/(1+z*z*z*z), в z k-ых] , где Im z k-ых>0. Ищем корни
знаменателя, удовлетвор. Im z k-ых>0: z0 и z1, подставляем и считаем res по
формуле exp(i α z к-ый)/(4*z k-ый *z k-ый *z k-ый)…
Третья контрольная:
Вариант с первой попытки:
1. Вычислить
Интеграл от sin(1/z)dz по модуль z=r
2.Разложить в ряд Лорана в модуль z>2 f(z)=1/(z*z-3z+2)
3. Определить тип особых точек, включая z  
f(z)=1/(exp(1/(z*z))+1)
4. Вычислить:
Интеграл от 0 до 2 π от d(φ)/((a+bcos(φ))(a+bcos(φ)))
Замена z=exp(iφ), cos(φ)=(z+1/z)/2,получим интеграл по замкнут. контуру: модуль
z=1 от[ –idz/(z(a+b(z+1/z)/2)(a+b(z+1/z)/2))]=2 π на сумму по всемк res[1/
z(a+b(z+1/z)/2)(a+b(z+1/z)/2)), в z k-ых] , где Im z k-ых>0. Ищем корни знаменателя:
z=-a+-корень из (a*a-b*b),берем с «+»-полюс 2 пор, значит, res считаем по формуле
с пределом при m=2…
5. Вычислить:
Интеграл от 0 до + ∞ от[xsinxdx/(1+x*x*x*x)]= 0.5 на такой же интеграл, только от –
∞ до ∞ =0.5 Im от интеграла от –∞ до ∞ [exp(ix)dx/(1+x*x*x*x)]= 0.5 Im от 2 π i на
сумму по всем к res[exp(iz)/(1+z*z*z*z), в z k-ых] , где Im z k-ых>0. Ищем корни
знаменателя,удовлетвор. Im z k-ых>0: z0 и z1, подставляем и считаем res по
формуле exp(i z к-ый)/(4*z k-ый *z k-ый *z k-ый)…
Вторая контрольная:
Вариант 1
1.Найти модуль и главное значение аргумента
z=(1+i)в восьмой степ.*(1-i* корень из 3) в -6 степ
для каждой из скобок считаем отдельно: r1=корень из 2, r2=2, φ 1= π /4, φ 2=- π /3
возводим в степ и перемножаем: z=1/4 значит,r=1/4, φ =0
2.Проверить на аналитичность функцию f(z)=exp(iz)
Производная по z сопряжен.=0 значит аналит.
3.Найти образ линии х=1 при w=ch z
ch z=cos y* ch x+i sin y *sh x, при х=1:
u=cos y* ch 1,
v=sin y*sh 1,
cos y*cos y+sin y *sin y=1 значит эллипс, но я где-то ошиблась, кажется…
4.Найти образ области модуль Re z< π /2, Im z>0 при w=sin z
sin z=sin x *ch y+i* cos x *sh y
а)x=- π /2, y>0 w=-ch y
b)x= π /2, y>0 w=ch y
c)– π /2<x< π /2, y=0 w=sin x
Получаем верхнюю полуплоскость
5. Найти конформное отображение, отображающее Im z>0 в себя и удовл.
w(0)=1, w(i)=2i
Вторая контрольная:
Вариант с первой попытки:
1. Вычислить
Корень кубический из (-2+2i)
R=корень из 4+4=2 корня из 2
φ =3 π /4…
2. Что-то типа можно ли найти аналит. Функцию с u=(x*x-y*y)/(x*x+y*y)*
(x*x+y*y)
u по х=v по y
u по y=-v по х Условия Коши-Римана
Считаем u по х и u по y, берем интеграл от u по х по dy=v( появляется костанта с(х)),
берем ее(функции v) производную по х и приравниваем к – u по y, находим с(х),
f(z)=u+iv
3.Найти образ линии х= π /8 при w=tg z
4.Найти образ области 0<Im z< π, Re z<0 при w=exp(z)
5. Найти конформное отображение, отображающее модуль z=1 в верхнюю
полуплоскость и удовл. w(1)=0, w(i)=1, w(-1)= ∞