Длинные линии

Длинная линия. Телеграфные уравнения.
Ранее предполагалось наличие элементов только с сосредоточенными R, L, C.
Но : R, L, C могут быть "размазаны" по электрической цепи - т.е. могут
присутствовать элементы с распределенными параметрами - в частности,
длинные линии :
R,L,C,Y

 ∂i

∂u = − L ∂t + Ri  ⋅ ( −∂x )




∂i = − C ∂u + Yu  ⋅ ( −∂x )

 ∂t

или
∂i
 ∂u
 ∂x = L ∂t + Ri

 ∂i = C ∂u + Yu
 ∂x
∂t
Решение - в виде комплексных экспонент - гармонических волн с амплитудами
A1 (прямая волна) и A2 (обратная волна) :
u( x, t ) = A1eγ x + jω t + A2e −γ x + jω t

1

γ x + jω t
− A2 e −γ x + jω t )
i ( x, t ) = z (A1e

В
, где
γ = ( R + jωL)(Y + jωC ) = α + jβ - постоянная распространения в линии
R + jωL
R + jωL
=
- волновое сопротивление
γ
Y + jωC
α - постоянная затухания в линии - т.е. (длина линии)-1, на которой амплитуда
волны падает в e раз
β - фазовая постоянная - т.е. (длина линии)-1, на которой фаза меняется на
1rad.
zВ =
Переходя от u (t ) и i (t ) к U& и I&
U& = A&1eα x e jβ x + A& 2 e −α x e − jβ x

 & A&1 α x jβ x A& 2 −α x − jβ x
I = z e e − z e e

В
В
- где A&1 и A& 2 - комплексные амплитуды прямой и обратной волн
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Условия прохождения сигналов по линии без искажений :
1) одинаковая задержка для всех гармонических волн - т.е. независимость
фазовой скорости от частоты :
ω
− jβ ⋅ VФt + jωt = 0 (т.е. при x = −VФt ) ⇒ VФ = = const (ω ) - отсутствие
β
дисперсии
2) одинаковое затухание всех частот (сигнал как целое уменьшается в e −α x раз) т.е. α = const (ω )
Простейший случай - линия без потерь - R = 0 и Y = 0 ⇒
γ = − ω 2 LC = jω LC

- когда α = 0 , β = ω LC ,

L
 zВ =
C

L
zВ = ρ =
- чисто вещественное
C
Т.о. фазовые скорости прямой и обратной волн VФ =
ω
=
β
1
не зависят от
LC
частоты, а амплитуды не зависят от x .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Отражение волны от нагрузки. Соотношение амплитуд прямой и обратной
волн.
На конце линии x = 0 ⇒

& & &
&
U = A1 + A2 = U н

1
 I& = ( A&1 − A& 2 ) = I&н
ρ

U&
 & н = zн
 I н
zн = ρ
A&1 + A&2
A&1 − A& 2
A&
1 + &2
1 + pU
A1
=ρ
&A = ρ 1 − p
U
1 − &2
A
⇒
1
z −ρ
A&
pU = 2 = н
&A
zн + ρ
1
A&
ρ − zн
pI = − 2 =
A&
ρ+z
1
- коэффициент отражения волны напряжения
- коэффициент отражения волны тока
н
Три важных крайних случая :
1) zн = ρ ⇒ pU = 0 , pI = 0 и A& 2 = 0 - есть только прямая волна, полностью
поглощаемая нагрузкой - нет отражения - т.н. согласованная нагрузка
2) zн = ∞ ⇒ pU = 1 , pI = −1 и
х.х.) амплитуда отраженной
напряжения при отражении
(инвертируется) ⇒ напряжение
ток равен 0.
A& 2 = A&1 - при разомкнутом конце линии (режим
волны равна амплитуде падающей; фаза
сохраняется, а тока обращается на 180°
на конце линии имеет удвоенную амплитуду, а
В самой линии - т.н. стоячая волна :
- ток и напряжение в любой точке (по x) сдвинуты на 90° - нет передачи энергии
(есть зоны с I& = 0 или с U& = 0 )
3) zн = 0 ⇒ pU = −1 , p I = 1 и A& 2 = − A&1 - напряжение на конце линии 0, а ток удвоенный (режим к.з.) :
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Более общие случаи :
4) zн = Rн > ρ ⇒ pU > 0 , pI < 0
U min
, 0 ≤ k ≤1 ;
U max
ρ
КБВ =
Rн
Вводят КБВ = k =
для Rн > ρ
КСВ =
1
U
= max , 1 ≤ КСВ < ∞
КБВ U min
5) zн = Rн < ρ ⇒ pU < 0 , pI > 0
для Rн < ρ
КБВ =
Rн
ρ
6) В общем виде для произвольной нагрузки zн имеем комплексный
z −ρ
коэффициент отражения n2 = н
и A& 2 = n2 A&1
zн + ρ
1 − n2
КБВ =
1 + n2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Входное сопротивление линии для синусоидального (стационарного) сигнала :
U& ВХ U& l
=
- на расстоянии x=l от конца для линии длиной l ⇒
I&ВХ
I&l
A&1eγ l + A& 2 e −γ l
= zВ
A& eγ l − A& e −γ l
z ВХ =
zВХ
1
2
Три основных случая :
1) zН = zВ = ρ ⇒ A& 2 = 0 и zВХ = zВ = ρ =
L
C
 2π 
l
2) z Н = ∞ ⇒ A& 2 = A&1 и zВХ = − jρ ctg
 λ 
2π l
= ω l LC
λ
 2π 
l
3) zН = 0 ⇒ A& 2 = − A&1 и z ВХ = jρ tg
 λ 
λ=
2π
;
ω LC
Линия фиксированной длины - аналог контура без потерь, но с множеством
резонансов :
⇒ длинная линия, аналогично колебательному контуру,
трансформатором ток-напряжение или напряжение-ток.
может
быть
При подключении чисто реактивной нагрузки происходит смещение нулей и
максимумов zВХ и y ВХ ; при чисто активной (но ≠ ρ ) появляется "конечная
добротность" - в линии есть и бегущая, и стоячая волны, z ВХ и y ВХ нигде не
обращаются в 0 или в ∞ , а сами zВХ и y ВХ становятся комплексными.
В частности
zВХ = Rн при l =
ρ2
zВХ =
при
Rн
трансформатор
m
λ - не зависимо от ρ - т.н. полуволновая передающая линия
2
l=
m−
2
1
2 λ - трансформатор R - т.н. четвертьволновой
н
Применение длинных линий : частотно-избирательные цепи, согласующие
трансформаторы, четвертьволновые изоляторы, линии задержки, передача
сигналов и ВЧ-энергии.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Переходные процессы в линии.
Пусть в t = 0 включаем источник - мгновенный скачек напряжения и в линии
возникает волна напряжения и тока; скорость волны v .
За время ∆t в линию втекает заряд ∆q = Cu0 ⋅ v ∆t
∆q
откуда i0 =
= Cu0v
∆t
Мощность, отдаваемая источником p = i0u0 = u02Cv
Эта мощность равна энергии, запасаемой за единицу времени в C и L линии за
счет продвижения волны :
 Cu02 Li02 
Cu02 Li02
u
u

v = p = u02Cv ⇒
=
⇒ i0 = 0 = 0
+
2 
2
2
ρ
L
 2
C
т.е. в начале процесса входное сопротивление линии равно ее волновому
сопротивлению (и не зависит от Rн )
Если Ri ≠ 0
то в начальный момент uВХ = u0
ρ
- делитель
Ri + ρ
Если источник согласован с линией и Ri = ρ - то uВХ =
амплитудой
1
u0 - возникает волна с
2
1
u0 :
2
Далее все зависит от нагрузки линии :
1) Rн = ρ - нет отражения, и на линии устанавливается u =
1
u0 - то же, что и
2
на постоянном токе
2) Rн = ∞ - волна напряжения отражается без инверсии, тока - с инверсией - т.е.
после отражения линия заряжается до u = u0 , а ток в ней исчезает :
По достижению отраженной волной источника она поглотится сопротивлением
Ri = ρ , ток исчезнет во всей линии, а напряжение везде будет u0
3) Rн = 0 - к.з. линии - волна напряжения отражается с инверсией, тока - без :
По достижению отраженной волной источника она поглотится Ri = ρ , ток во
u
u
всей линии станет i = 0 = 0 , а напряжение везде будет 0.
Ri ρ
4) Если нагрузка Rн конечная и ≠ ρ - то после поглощения отраженной волны в
u0
u0
uR
uR
линии установится ток i =
=
и напряжение u = 0 н = 0 н
Rн + Ri Rн + ρ
Rн + Ri Rн + ρ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Если нагрузка и источник не согласованы с линией, то возникают многократные
затухающие отражения - и только постепенно (в пределе) устанавливаются
u0
uR
i=
и u = 0 н ⇒ при передаче сигналов для предотвращения
Rн + Ri
Rн + Ri
искажения их формы из-за отражений применяют согласованные линии - хотя
бы с одной стороны (в идеале - с двух сторон)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Пример применения - формирование прямоугольных импульсов :
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Конструкции линий :
1) Двухпроводная
обычно
ρ ≈ 100 ÷ 300Ω
v≈c
Варианты - "витая пара", симметричная полосковая линия, т.д.
2) Коаксиальная
ρ ≈ 50 ÷ 150Ω
v ≈ (0.5 ÷ 0.7)c ≈
c
- для полиэтилена ε ≈ 2.5
ε
------------------------------------------------------------------------------------------------------