1.11. Закон всемирного тяготения. Законы Кеплера

Задачник школьника. Fizportal.ru
1.11. Закон всемирного тяготения. Законы Кеплера
Закон всемирного тяготения: между всякими двумя материальными точками
действуют силы взаимного притяжения, прямо пропорциональные их массам и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними, направленные вдоль
прямой, соединяющей точки:
mm
F  G 12 2 .
r12
Эти силы называют силами тяготения или гравитационными силами.
I закон Кеплера: все планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим
орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
II закон Кеплера: за равные промежутки времени радиус-вектор планеты, проведенный из фокуса орбиты, в котором находится Солнце, прочерчивает равные
площади:
L
S r 2 



 const ,
t 2 t 2m
где L – момент импульса планеты относительно Солнца, m – масса планеты.
III закон Кеплера: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит:
2
3
 T1   a1 
    .
 T2   a2 
Во всех задачах данного раздела считайте радиус Земли равным RЗ = 6400 км,
гравитационную постоянную G = 6,6710–11 Нм2/кг2.
1.3021. Найдите силу притяжения между Землей и Луной, если масса Земли m1 =
6,01024 кг, масса Луны m2 = 7,31022 кг, среднее расстояние между их центрами r =
3,8108 м.
1.3031. Ракета поднялась на высоту h = 990 км. На какую величину mg уменьшилась сила тяжести, действующая на ракету на этой высоте, по сравнению с силой
тяжести mgo, действующей на нее у поверхности Земли?
1.3041. Радиус Луны RЛ примерно в 3,7 раза меньше радиуса Земли RЗ. Масса
Луны mЛ в 81 раз меньше массы Земли mЗ. Найдите ускорение свободного падения
gЛ у поверхности Луны.
1.3052. Звездная система состоит из двух одинаковых звезд, находящихся на
расстоянии r = 5,01011 м друг от друга. Найдите период  обращения звезд вокруг
общего центра масс, если масса каждой звезды m = 1,51034 кг.
1.3061. Вычислите первую космическую скорость v у поверхности Луны, если
радиус Луны RЛ = 1760 км, а ускорение свободного падения у поверхности Луны в n
= 6 раз меньше ускорения свободного падения у поверхности Земли.
1.3072. Спутник движется вокруг некоторой планеты по круговой орбите радиуса r = 4,7109 м со скоростью v = 10 км/с.Какова средняя плотность  планеты, если
ее радиус R = 1,5108 м?
1
1.3082. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите на расстоянии h от ее поверхности. Найдите период  обращения спутника, если радиус Земли
RЗ  h .
1.3093. В свинцовом шаре радиуса R сделана
сферическая полость радиуса R/2, поверхность которой касается шара. Масса сплошного шара равна М.
С какой силой свинцовый шар будет притягивать
маленький шарик массы m, находящийся на расстоянии d от центра свинцового шара на продолжении
прямой, соединяющей центр свинцового шара с ценК задаче 1.309
тром полости (см. рисунок)?
2
1.310 . Рассчитайте радиус R геостационарной орбиты. Какова скорость v движения спутника по этой орбите?
1.3112. Найдите среднюю плотность  планеты, если на ее экваторе показание
динамометра, к которому подвешено тело, на 10 % меньше, чем на полюсе, а продолжительность суток на планете составляет  = 6 ч.
1.3122. Какую работу A нужно совершить, чтобы вывести спутник массы m =
500 кг на круговую орбиту, проходящую вблизи поверхности Земли? Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.3133. С полюса Земли запускают ракету с начальной скоростью vо, направленной по касательной к поверхности Земли, причем vo больше первой космической
скорости, но меньше второй. Найдите максимальное расстояние rmax, на которое
удалится ракета от центра Земли.
1.3143. Космический корабль вращается вокруг Луны по круговой орбите радиуса R = 3,4106 м. С какой скоростью м нужно выбросить из корабля вымпел по
касательной к траектории корабля, чтобы он упал на противоположной стороне Луны? Через какое время t вымпел упадет на Луну? Ускорение свободного падения gЛ на поверхности Луны в 6 раз
меньше, чем на Земле. Радиус Луны RЛ = 1,7106 м.
1.3153. Спутник вращается по круговой орбите радиуса R. В результате кратковременного действия тормозного
устройства скорость спутника уменьшилась так, что он
начинает двигаться по эллиптической орбите, касающейся
поверхности Земли (см. рисунок). Точка посадки спутника
и точка, где спутник осуществил торможение, лежат на
К задаче 1.315
большой полуоси эллипса. Через какое время т после торможения спутник приземлится? Трением о воздух пренебречь.
Задачник школьника. Fizportal.ru
Ответы:
1.302. F  2,0  1020 Н.
1.303. (mg )  0,25mg o .
1.304. g Л  g
mЛ RЗ2
 1,65 м/с2.
mЗ RЛ2
2 2 r 3
 1,57  106 с.
Gm
RЛ g
1.306. v 
 1,7 км/с.
n
3v 2 r
 0,5  103 кг/м3.
1.307.  
4 GR 3
1.305.  
3
h  R3
R  3h

 2
.
1.308.   2 1  
R
Gm
g


З
 1

1
.
1.309. F  GMm  2 
d
8  d  R / 2) 2  

gT 2 RЗ2
2 R
 42400 км; v 
 3 км/с, здесь T = 24 ч.
4 2
T
3
1.311.  
 3,03  103 кг/м3.
0,1G 2
mgR
1.312. A 
 16 ГДж.
2
1.310. R 
3
g o RЗ2  RЗ
1.313. rmax 
 go RЗ 
2
 vo2  2 g o RЗ  vo2 
2 g o RЗ  vo2
.
1 
 1

1.314. Вымпел нужно бросить назад со скоростью v  g Л RЛ 
  200
3
 2
3
3 RЛ
м/с; t  
 100 мин.
2
2 gЛ
1.315.  

RЗ
 R  RЗ 


g 2 
3/ 2
.
3