ЛЕКЦИИ № 4-5-6-7

ЛЕКЦИИ № 4-5-6-7
Кинематический способ образования поверхностей. Условия задания поверхностей. Образующая,
определитель и закон образования поверхности. Классификация поверхностей. Развертываемые
линейчатые поверхности. Поверхности вращения. Поверхности с плоскостью параллелизма.
Винтовые поверхности. Построение лекальных кривых: синусоиды, параболы, гиперболы.
Каналовые поверхности. Проецирующие поверхности.
ПОВЕРХНОСТИ
Кинематический способ образования поверхности – образование поверхности
непрерывным перемещением линии l
(образующей) в пространстве по
определенному закону.
Форма образующей
В качестве образующей l может быть выбрана любая линия.
Если l – прямая линия, образуется линейчатая поверхность
Если l – окружность, образуется циклическая поверхность
Если l – кривая линия, образуется поверхность общего вида
Определитель поверхности – это совокупность элементов, однозначно
определяющих поверхность.
Для задания поверхности на КЧ необходимо и достаточно задать элементы
определителя.
Закон образования поверхности – это способ перемещения образующей или
совокупность условий, которым должна удовлетворять образующая в любой момент
своего движения при образовании поверхности.
ИЛИ: закон взаимодействия образующей с элементами определителя.
Чтобы задать поверхность, необходимо:
1. задать форму образующей,
2. задать определитель поверхности,
3. задать закон образования поверхности.
Если поверхность задана на КЧ, то можно решить следующий ряд задач:
1. построить любую образующую и задать точку на поверхности;
2. проверить, принадлежит ли точка заданной поверхности;
3. построить линейный каркас поверхности, т.е. множество линий,
удовлетворяющих определенным условиям;
4. построить проекции линии, принадлежащей поверхности;
5. построить проекции отсека поверхности – части поверхности, ограниченной
линиями обреза.
1
I. ЛИНЕЙЧАТЫЕ РАЗВЕРТЫВАЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
№
НАЗВАНИЕ И
ОПИСАНИЕ
ВИД ПОВЕРХНОСТИ
ЗАДАНИЕ на КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ
Призматическая  (n, s)
поверхность
1
Форма образующей:
l - прямая
Элементы определителя:
n – направляющая (ломаная)
s - направление образующих
Закон образования поверхности:
l x n;
l║s
Точка М  
Цилиндрическая  (n, s)
поверхность
Форма образующей:
2
l - прямая
Элементы определителя:
n – направляющая (кривая)
s - направление образующих
Закон образования поверхности:
l x n;
l║s
Точка М  
2
Коническая
поверхность
3
 (n, S)
Форма образующей:
l - прямая
Элементы определителя:
n – направляющая (кривая)
S - точка
Закон образования поверхности:
l x n;
lS
Точка М  
Пирамидальная
поверхность
4
 (n, S)
Форма образующей:
l - прямая
Элементы определителя:
n – направляющая (ломаная)
S - точка
Закон образования поверхности:
l x n;
lS
Точка М  
3
II.
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Поверхности вращения наиболее удобно рассматривать, если ось вращения занимает проецирующее положение
(перпендикулярна П1 или П2). Рассмотрим поверхности вращения с осью проецирующей на П1.
Закон образования всех поверхностей вращения одинаков: образующая вращается вокруг оси.
Формы образующих поверхностей вращения могут быть различными: прямая, кривая, окружность, эллипс, парабола,
гипербола и т.п. Рассмотрим некоторые из них.
II.1.
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Линейчатые поверхности вращения отличаются друг от друга взаимным положением образующих (прямых линий) и оси
вращения: образующие пересекают ось или параллельны оси, или скрещиваются с осью.
№
НАЗВАНИЕ И
Конус
Вращения
1
ОПИСАНИЕ
ВИД ПОВЕРХНОСТИ
ЗАДАНИЕ на КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ
 (l, i)
Форма образующей:
l - прямая
Элементы определителя:
l - образующая
i – ось вращения
Закон образования
поверхности:
lxi
l вращается вокруг i
4
Цилиндр
вращения
 (l, i)
Форма образующей:
l - прямая
Элементы определителя:
l - образующая
i – ось вращения
Закон образования
поверхности:
2
l║i
l вращается вокруг i
3
 (l, i)
Форма образующей:
l - прямая
Элементы определителя:
l - образующая
i – ось вращения
Закон образования
поверхности:
l вращается вокруг i
l скрещивается с i
Однополостный
гиперболоид
вращения
Все образующие l являются
касательными к горлу.
5
II.2.
НЕЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
МЕРИДИАН - образующая не линейчатой поверхности вращения
ГЛАВНЫЙ МЕРИДИАН - образующая в крайнем положении,
является фронталью или горизонталью при проецирующем
положении оси вращения, т.е. на одну из плоскостей проекций
проецируется в натуральную величину.
ПАРАЛЛЕЛИ – окружности разных радиусов, образованные
точками образующей при вращении вокруг оси. При
проецирующем положении оси параллели являются фронталями
или горизонталями и на одной из плоскостей проекций
отображаются в натуральную величину (в виде окружностей).
КАРКАС ОКРУЖНОСТЕЙ – множество параллелей
поверхности вращения.
ЭКВАТОР - самая большая параллель или параллель наиболее
удаленной от оси вращения точки образующей.
ГОРЛО - самая маленькая параллель или параллель точки
образующей наиболее приближенной к оси вращения.
Точка М   (l, i)
6
№
НАЗВАНИЕ И
ОПИСАНИЕ
ВИД ПОВЕРХНОСТИ
Поверхность
вращения общего
вида
1
ЗАДАНИЕ на КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ
 (l, i)
Форма образующей:
l – кривая линия
Элементы определителя:
l - образующая
i – ось вращения
Закон образования поверхности:
l вращается вокруг i
Сфера
2
 (l, i)
Форма образующей:
l – дуга = 1/2 окружности
Элементы определителя:
l - образующая
i – ось вращения
Закон образования поверхности:
l вращается вокруг i;
центр дуги i
7
Тор
 (l, i)
3
Форма образующей:
l –дуга > или < 1/2 окружности
Элементы определителя:
l - образующая
i – ось вращения
Закон образования поверхности:
l вращается вокруг i;
центр дуги  i
8
 (l, i)
Форма образующей:
l – окружность
Элементы определителя:
l - образующая
i – ось вращения
Закон образования поверхности:
Кольцо
4
l вращается вокруг i; l не х i
III.
ЛИНЕЙЧАТЫЕ НЕРАЗВЕРТЫВАЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
С ПЛОСКОСТЬЮ ПАРАЛЛЕЛИЗМА
(поверхности Каталана)
Элементами определителей таких поверхностей являются две направляющие и плоскость параллелизма. Направляющие могут
быть как прямыми, так и кривыми линиями.
ПЛОСКОСТЬ ПАРАЛЛЕЛИЗМА – плоскость, которой параллельны все прямолинейные образующие линейчатой
поверхности. Плоскость параллелизма удобнее задавать в проецирующем положении.
9
№
НАЗВАНИЕ И
ВИД ПОВЕРХНОСТИ
Гиперболический
параболоид
 (n, m, Г)
Форма образующей: l - прямая
Элементы определителя:
n – направляющая (прямая)
m - направляющая (прямая)
Г – плоскость параллелизма
Закон образования
поверхности: l x n; l x m; l ║ Г
Коноид
 (n, m, Г)
Форма образующей: l - прямая
Элементы определителя:
n – направляющая (прямая)
m - направляющая (кривая)
Г – плоскость параллелизма
Закон образования
поверхности: l x n; l x m; l ║ Г
Цилиндроид
 (n, m, Г)
Форма образующей: l - прямая
Элементы определителя:
n – направляющая (кривая)
m - направляющая (кривая)
Г – плоскость параллелизма
Закон образования
поверхности: l x n; l x m; l ║ Г
1
2
3
ОПИСАНИЕ
ЗАДАНИЕ на КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ
10
III.
№
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ (ГЕЛИКОИДЫ)
НАЗВАНИЕ И
ОПИСАНИЕ
ВИД ПОВЕРХНОСТИ
Прямой геликоид
1
ЗАДАНИЕ на КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ
 (i, n, П1)
Форма образующей: l - прямая
Элементы определителя:
i – направляющая (прямая - ось винтовой
линии)
n - направляющая (кривая -винтовая линия)
П1 – плоскость параллелизма
Закон образования поверхности:
l x i;
l x n;
l ║ П1
все образующие являются горизонталями, т.к.
параллельны П1
Наклонный
геликоид
2
 (i, n, )
Форма образующей:
l - прямая
Элементы определителя:
i – направляющая (прямая - ось винтовой
линии)
n - направляющая (кривая -винтовая линия)
 – конус параллелизма (ось конуса совпадает с
осью винтовой линии)
Закон образования поверхности:
l x i;
l x n;
l i ║ l i
Все образующие параллельны соответствующим
образующим конуса параллелизма, проекции
которых совпадают на П1
11
Конволютный
геликоид
3
 (n, s)
Форма образующей:
l - прямая
Элементы определителя:
n - направляющая (кривая -винтовая линия на
поверхности цилиндра)
s - направление образующих:
образующие расположены под постоянным
углом наклона к оси винтовой линии и являются
касательными к цилиндру, на поверхности
которого образована винтовая линия
Закон образования поверхности:
l x n; l соответствуют направлению s
Винтовые поверхности отличаются тем, что одной из направляющих этих поверхностей является винтовая линия, образованная
на поверхности цилиндра.
ПОСТРОЕНИЕ СИНУСОИДЫ, КАК ПРОЕКЦИИ ВИНТОВОЙ ЛИНИИ
1. Разделить окружность на 12 равных частей,
пронумеровать точки деления в направлении винтовой
линии (по часовой или против часовой стрелки).
2. На оси винтовой линии отложить 12 одинаковых
отрезков равных расстоянию между двумя ближайшими
точками деления окружности и пронумеровать их.
Сумма этих отрезков примерно равна длине
окружности.
3. Построить точки пересечения горизонтальных и
вертикальных линий с одинаковыми номерами. Эти
точки являются точками винтовой линии (синусоиды).
12
IV.
КАНАЛОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Каналовые поверхности образуются непрерывным перемещением плоских замкнутых сечений вдоль криволинейной
направляющей (размер и форма сечений могут монотонно изменяться, а могут оставаться постоянным).
№
НАЗВАНИЕ
Каналовая поверхность
1
с плоскостью параллелизма
ОПИСАНИЕ
ВИД ПОВЕРХНОСТИ
Плоскости сечений параллельны некоторой
плоскости (плоскости параллелизма)
Нормальная каналовая
поверхность
Плоскости сечений перпендикулярны к
направляющей линии
Циклическая каналовая
поверхность
Сечением является окружность, центр которой
перемещается по криволинейной направляющей.
Радиус сечения - окружности в процессе
перемещения монотонно меняется. Может быть
нормальной или с плоскостью параллелизма
4
Трубчатая поверхность
Частный случай циклической каналовой
поверхности. Радиус сечения - окружности
остается неизменным
5
Поверхность Эшера
Трубчатая поверхность, направляющей которой
является пространственный трехлистник
2
3
13
ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Поверхность называется проецирующей на плоскость проекций (или
перпендикулярной плоскости проекций), если:
1. Поверхность линейчатая (образующие – прямые линии)
2. Все образующие поверхности одновременно перпендикулярны плоскости
проекций.
Не все поверхности могут занимать проецирующее положение.
Поверхности, которые могут занимать проецирующее положение:
1. Плоскость
2. Цилиндрическая поверхность
3. Призматическая поверхность
4. Цилиндр вращения
Проецирующие поверхности, как правило, задаются на комплексном чертеже
вырожденной (или главной) проекцией
Примеры задания проецирующих поверхностей на комплексном чертеже
№
Поверхность
1 Плоскость
  П1
2
Цилиндрическая
поверхность
  П1
3
Призматическая
поверхность
Г  П2
4
Цилиндр вращения
Ω  П1
Задание на комплексном чертеже
14