восстановление фазы интерференционных полос методом

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФАЗЫ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ
ПОЛОС МЕТОДОМ НЕЛИНЕЙНОЙ ДВУМЕРНОЙ
ФИЛЬТРАЦИИ КАЛМАНА
А.С. Захаров
Исследованы характеристики двумерного дискретного нелинейного фильтра Калмана при динамическом
оценивании параметров зашумленных интерференционных полос. Представлены результаты обработки
двумерных интерферограмм, полученных при отражении света от поверхности арсенида галлия и
графита до и после воздействия на поверхность фемтосекундного лазерного импульса.
Введение
При исследовании свойств негладких поверхностей во многих случаях
предпочтительны неразрушающие оптические методы. При отражении оптического
излучения от исследуемой поверхности происходит изменение формы волнового
фронта, характер которого зависит от характеристик поверхности. Фаза
интерференционных полос содержит полезную информацию, которую необходимо
извлечь с максимальной разрешающей способностью и помехоустойчивостью по
отношению к шуму наблюдений.
Одной из актуальных технологических задач является модификация формы
поверхности объектов из различных материалов при воздействии интенсивных
лазерных импульсов малой длительности. При этом в ряде случаев, включая
исследование динамики изменения формы поверхности после воздействия короткого
лазерного импульса, важно контролировать изменение формы поверхности
бесконтактными методами интерферометрии с повышенным разрешением.
Одним из возможных методов динамической обработки интерференционных
картин является нелинейная дискретная фильтрация Калмана [1-3]. Широко
используемые методы, основанные на преобразовании Фурье [4], и методы фазового
сдвига [1] не могут использоваться в динамическом режиме, поскольку требуют
получения всех значений интенсивности для определения фазы, частоты и других
параметров полос. Методы линейной фильтрации, например, дискретная линейная
фильтрация Калмана [3], не позволяют определить значения параметров, от которых
сигнал полос зависит нелинейно, в частности, значения частоты и фазы полос. В
настоящей работе рассматривается метод нелинейной дискретной фильтрации
Калмана, который может быть использован для обработки одномерных
интерференционных сигналов и двумерных картин интерференционных полос с
восстановлением развернутой фазы полос, характеризующей форму поверхности.
1. Дискретная нелинейная фильтрация Калмана
Нелинейный фильтр Калмана предназначен для динамического оценивания
параметров, нелинейно связанных со значением сигнала. Такой фильтр определяется
[2, 3] уравнением наблюдения
s(k)=h(θ(k))+n(k)
(1)
и уравнением системы
θ(k+1)= θ (k)+f(θ (k)) ∆x+w(k).
(2)
В уравнениях (1) и (2) s(k) - наблюдаемый сигнал, θ (k) - вектор параметров, h(⋅) и
f (⋅) - известные нелинейные векторные функции, ∆x - шаг дискретизации, n(k) - шум
наблюдений, w(k) - формирующий шум. Алгоритм фильтрации носит рекуррентный
характер и основан на предсказании значений параметров на следующий шаг
дискретизации с последующей коррекцией предсказания θpr(k) по данным наблюдения.
Если удается найти оценку вектора параметров θpr(k), то для определения погрешности
161
этой оценки θer(k)= θ (k)- θpr(k) можно применить известный метод одномерной
дискретной линейной фильтрации Калмана [3]. При восстановлении фазы двумерных
картин интерференционных полос требуется двумерный нелинейный фильтр Калмана.
2. Обработка двумерных картин полос методом нелинейной фильтрации Калмана
Построчная динамическая фильтрация интерференционной картины полос
рассмотрена в [2]. Независимая фильтрация строк может приводить к искажению
общей картины полос, поскольку в двух соседних точках столбца погрешности оценки
фазы могут значительно отличаться друг от друга, если фильтрация отдельных строк
осуществляется независимо, и возможны значительные погрешности в определении
пространственной частоты в вертикальном направлении. Квазидвумерная обработка
поочередно по строкам и столбцам не решает эту проблему, поскольку не удается
полностью устранить большие скачки фазы. Необходима двумерная обработка
интерференционной картины с использованием для предсказания значений параметров
не только в предыдущей точке строки, но и в предыдущей точке столбца данных о
значениях интенсивности света в картине интерференционных полос.
Для двумерной обработки картин интерференционных полос с помощью
дискретного нелинейного фильтра Калмана необходимо оценивать вектор параметров
вида (s0, sm, Φ, uH, uV)T, где s0 - фоновая составляющая интерференционной картины, sm
- амплитуда полос, Φ - фаза полос, uH - пространственная частота в горизонтальном
направлении, uV - пространственная частота в вертикальном направлении. В
разработанном варианте двумерного нелинейного фильтра Калмана параметры сигнала
в точке с координатами (i, j) предсказывались согласно простым правилам
(3)
s0(i, j)=[s0(i-1, j)+s0(i, j-1)]/2,
sm(i, j)=[sm(i-1, j)+sm(i, j-1)]/2,
(4)
Φ(i, j)=[Φ(i-1, j)+2πuV(i-1, j)∆y+Φ(i, j-1)+2πuH(i, j-1)∆x]/2,
(5)
uH(i, j)=[uH(i-1,j)+uH(i, j-1)]/2,
(6)
(7)
uV(i, j)=[uV(i-1,j)+uV(i, j-1)]/2,
где ∆x и ∆y - шаги дискретизации в горизонтальном и вертикальном направлениях.
В качестве вектора наблюдений в точке (i, j) использовался вектор вида [s(i, j),
s(i, j+1), s(i+1, j), s(i+1, j+1)]T. Для предсказания вектора в каждой точке использовались
формулы:
s(i, j)=s0(i, j)+sm(i, j)cos[Φ(i, j)],
(8)
s(i, j+1)=s0(i, j)+sm(i, j)cos[Φ(i, j)+2πuH(i, j)∆x],
(9)
s(i+1, j)=s0(i, j)+sm(i, j)cos[Φ(i, j)+2πuV(i, j)∆y],
(10)
s(i+1, j+1)=s0(i, j)+sm(i, j)cos[Φ(i, j)+2πuH(i, j)∆x +2πuV(i, j)∆y].
(11)
Таблица 1
Погрешности восстановления полной фазы полос
Отношение сигнал-шум
1,6
1,0
0,67
0,5
СКО фазы, рад
0,2
0,28
0,43
0,70
Максимальная погрешность фазы, рад
0,99
1,34
2,25
7,12
На рис. 1 приведены примеры обработки двумерной картины интерференционных
полос. Отношение сигнал-шум, определяемое как S/N=sm/σn, было равно 0,5 (рис. 1, аб) и 1 (рис. 1, в-г) соответственно. Среднеквадратические и максимальные погрешности
фазы при двумерной обработке значительно меньше, чем при построчной фильтрации.
Кроме этого, двумерная фильтрация позволяет обрабатывать сильно зашумленные
162
картины полос. Полученные результаты обработки для различных значений отношения
сигнал/шум приведены в табл. 1.
а)
б)
в)
г)
Рис. 1. Исходные картины полос (а), (в) и картины полос,
обработанные двумерным фильтром (б), (г).
Метод двумерной дискретной нелинейной фильтрации Калмана был применен
для обработки экспериментальных двумерных интерферограмм, полученных при
отражении измерительной волны от поверхностей различных материалов,
подвергнувшихся воздействию фемтосекундных лазерных импульсов.
На рис. 2 приведены интерферограммы, полученные перед воздействием
импульса на образец арсенида галлия (рис. 2, а), после воздействия импульса (рис. 2, б)
и после окончания переходных процессов в веществе (рис. 2, в). Восстановленные
разности фаз интерферограмм приведены на рис. 2, г-д.
Было установлено, что нелинейный двумерный фильтр Калмана обеспечивает
высокую разрешающую способность, поскольку локальное оценивание фазы,
используемое в методе нелинейной фильтрации Калмана обеспечивает более высокую
разрешающую способность по сравнению с глобальным оцениванием фазы,
применяемым при использовании преобразования Фурье в конечных пределах
протяженности изображения.
163
а)
б)
г)
в)
д)
Рис. 2. Исходная (а), промежуточная (б) и итоговая (в) интерферограммы,
полученные для арсенида галлия, и восстановленные отклонения фаз
в промежуточной (г) и итоговой (д) картинах полос (б, в)
от фазы исходной картины полос (а).
а)
б)
г)
в)
д)
Рис. 3. Исходная (а), промежуточная (б) и итоговая (в) интерферограммы,
полученные при модификации поверхности графита, и восстановленные
отклонения фаз промежуточной (г) и итоговой (д) картин полос (б, в)
от фазы исходной картины полос (а).
164
На рис. 3 приведены интерферограммы, полученные до воздействия лазерного
импульса на образец графита (рис. 3, а), после воздействия импульса (рис. 3, б) и после
окончания переходных процессов (рис. 3, в). Приведены восстановленные при
двумерной обработке отклонения фаз промежуточной (рис. 3, г) и итоговой (рис. 3, д)
картин полос от фазы исходной картины полос.
Заключение
Полученные результаты позволяют сделать вывод о возможности применения
нелинейного фильтра Калмана для обработки интерференционных полос с медленно
изменяющимися параметрами в условиях влияния интенсивных высокочастотных
помех. Важным преимуществом фильтра этого вида является возможность анализа
интерференционного поля с получением оптимальных динамических оценок фазы и
частоты полос в локальных точках. Предпочтительна двумерная фильтрация, при
которой среднеквадратические и максимальные погрешности оценки параметров
значительно меньше, чем при построчной обработке. Погрешность нелинейной
фильтрации снижается при получении адекватной априорной информации, т.е. при
использовании эффективных методов предварительной обработки.
Фильтр Калмана восстанавливает полную фазу полос, тогда как преобразование
Фурье позволяет получить только приведенную фазу в пределах [-π, π]. Кроме этого,
фильтр Калмана не требует заданного формата входных данных, в отличие от быстрого
преобразования Фурье.
Благодарности
Благодарим В. Темнова (Университет Эссена, Германия) за предоставленные
экспериментальные интерферограммы.
Литература
1.
2.
3.
4.
165
В.Н. Васильев, И.П. Гуров. Компьютерная обработка сигналов в приложении к
интерферометрическим системам. СПб: БХВ-Санкт-Петербург, 1998. 237 с.
I. Gurov, A. Zakharov. Dynamic nonlinear analysis of stochastic interference fields. /
Presented at International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (ICONO 2001)
(Minsk, Belarus, 26 June - 1 July, 2001). To be published in Proc. SPIE.
Справочник по прикладной статистике /Под ред. Э. Ллойда, У. Лидермана. М.:
Финансы и статистика, 1989.
M. Takeda, H. Ina, and S. Kobayashi. Fourier-transform method of fringe-pattern
analysis for computer-based topography and interferometry // J. Opt. Soc. Am. V. 72. pp.
156-160, 1982.