Влияние шума на фазы Берри в многоуровневых системах

УДК 530.145
Ю.Г. Махлин1, С.В. Сызранов2
1
Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау
2
Московский физико-технический институт (государственный университет)
ВЛИЯНИЕ ШУМА НА ФАЗЫ БЕРРИ В МНОГОУРОВНЕВЫХ СИСТЕМАХ
Часто встречающимся случаем движения квантовомеханической системы является
циклическая эволюция, когда параметры R(t) ее гамильтониана H(R(t)) совпадают в
начальный и конечный моменты времени. Если изменение этих параметров происходит
адиабатически, то собственные волновые функции гамильтониана вначале и в конце
связаны фазовым множителем eiφ, где
tP
ϕ = − ∫ E n ( R(t ))dt + Φ BP ,
0
En(R(t)) – соответствующее собственное значение энергии, ΦBP – так называемая фаза
Берри [1], измеряемая величина, зависящая только от геометрических свойств пути R(t) в
пространстве параметров гамильтониана и не зависящая от скорости движения по этому
контуру.
В реальности никакая система не может быть изолирована от окружающего мира,
вносящего неадиабатический вклад в изменения параметров гамильтониана [2]. Кроме
того, в присутствие шума система никогда не возвращается в свое исходное состояние, и
понятие фазы Берри, казалось бы, теряет смысл.
Как было показано в [3], в присутствии быстрого слабого шума для двухуровневой
системы, эквивалентной спину 1/2 во флуктуирующем магнитном поле, можно ввести
измеряемую фазу Берри как фазу недиагонального элемента матрицы плотности системы,
усредненного по реализациям шума. Эта фаза отличается от фазы изолированной системы
малой комплексной добавкой, зависящей от спектра флуктуаций.
В настоящей работе исследуются фазы Берри многоуровневой системы,
гамильтониан которой зависит от флуктуирующих параметров. Предполагается, что шум
является слабым и коротко-коррелированным, а время эволюции tP - существенно больше
обратных расщеплений уровней (секулярное приближение).
В таком случае каждый элемент усредненной по реализациям шума матрицы
плотности системы представляется в виде конечного числа слагаемых, фазы каждого из
которых могут быть разложены по степеням 1/tP как по малому параметру. Самые большие
члены, пропорциональные tP, описывают динамические фазы. Следующие по малости
члены, нулевой степени по tP, - геометрические фазы.
В случае, когда все расщепления уровней различны, у каждого недиагонального
элемента матрицы плотности есть одна комплексная динамическая фаза и одна
комплексная фаза Берри. Мнимые части этих фаз описывают соответственно обычную и
геометрическую дефазировки соответствующего элемента матрицы плотности. Таким
образом, для описания эволюции N- уровневой системы необходимо ввести N(N-1)/2
геометрических фаз, каждая из которых соответствует своему недиагональному элементу
матрицы плотности.
Если в системе имеется k пар уровней с одинаковыми расщеплениями, то
недиагональные элементы матрицы плотности, соответствующие этим парам,
эволюционируют взаимосвязано:
tP
(ρ
n1m1
)
… ρ n k m k ( t P ) = P .e
−i
∫ Aˆ 0 dt − i ∫ Aˆ R dR
0
(ρ
n1m1
… ρ nk m k
)
t =0
,
Â0 и ÂR - недиагональные матрицы размера k×k, P. – знак контурного упорядочивания.
В данной работе произведено вычисление матриц Â0 и ÂR для многоуровневой
системы, где имеются две пары уровней с одинаковыми расщеплениями, и показано, что
недиагональные элементы матриц определяются величиной спектра шума на частотах,
близких к разностям энергий между соответствующими уровнями в рассмотренных парах.
Также вычислены фазы Берри для высшего спина, помещенного в адиабатически
меняющееся магнитное поле, выступающее в роли контрольного параметра R(t), и гораздо
меньшее по величине быстрое случайное поле, представляющее шум. Взаимосвязано
эволюционируют элементы матрицы плотности спина, стоящие на одной диагонали.
Величины, входящие в соответствующий калибровочный потенциал ÂR , имеют, как и в
[3], квадрупольную зависимость от направления магнитного поля и, в случае достаточно
больших полей, от его величины.
Таким образом, в настоящей работе изучается влияние слабого короткокоррелированого шума на фазы Берри в многоуровневых системах. Вычислены
динамические и геометрические фазы для системы, где все расщепления уровней
различны. Показано, что в случае наличия нескольких одинаковых разностей энергий
уровней, геометрические фазы описываются при помощи неабелевой калибровочной
сруктуры. Вычислены фазы Берри для системы с двумя парами уровней, имеющими
одинаковые расщепления, и для высшего спина во флуктуирующем магнитном поле.
Литература
1. M.V. Berry, Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, v. 392, 45 (1984)
2. R.S. Whitney and Yu. Gefen, in Proceedings of 36th Rencontres de Moriond Electronic
correlations: from Meso- to Nano-physics, eds. T. Martin et al., p.291 (2001)
3. R.S. Whitney, Yu. Makhlin, A. Shnirman, and Yu. Gefen, Phys. Rev. Lett., v. 94, p.070407
(2005)
УДК 530.145
РЕФЕРАТ
Махлин Ю.Г., Сызранов С.В. Влияние шума на фазы Берри в многоуровневых
системах // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук – общая и прикладная
физика: Сборник трудов 49-й научной конференции МФТИ, Т. II / МФТИ – М.: 2006. – С. ??−??.
В работе изучается влияние слабого коротко-коррелированого шума на фазы Берри в
многоуровневых системах. Вычислены динамические и геометрические фазы для системы, где
все расщепления уровней различны. Показано, что в случае наличия нескольких одинаковых
разностей энергий уровней, геометрические фазы описываются при помощи неабелевой
калибровочной сруктуры. Вычислены фазы Берри для высшего спина во флуктуирующем
магнитном поле, и в системе с двумя парами уровней, имеющими одинаковые расщепления.
Библиография: 3 назв.