Элементы механики жидкостей и газов

1.7. Элементы механики жидкостей и газов.
1.7.1. Общие свойства жидкостей и газов.
1.7.2. Кинематическое описание движения жидкости.
1.7.3. Уравнение движения и равновесия жидкости.
1.7.4. Гидростатика.
1.7.5. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.
1.7.6. Вязкая жидкость.
1.7.7. Стационарное течение вязкой жидкости.
1.7.8. Законы гидродинамического подобия.
1.7.9. Турбулентность и гидродинамическая неустойчивость.
1.7.1. Общие свойства жидкостей и газов.
Газ - агрегатное состояние вещества, в котором кинетическая энергия
больше потенциальной энергии взаимодействия молекул ( W k  W п ), поэтому
частицы газа движутся свободно и заполняют весь предоставленный им объем.
Жидкостями называются тела, которые имеют определенный объем, но не
обладают упругостью формы.
Жидкости обладают сильным межмолекулярным взаимодействием частиц
и вследствие этого малой сжимаемостью.
В гидромеханике отвлекаются от молекулярного строения жидкостей и
газов, рассматривая их как сплошную среду, непрерывно распределенную в
пространстве.
Так как жидкости и газы в состоянии равновесия обладают только
объемной упругостью, то возникающие в них напряжения всегда
перпендикулярны (нормальны) к площадке, на которую они действуют.
Напряжение - сила, отнесенная к единице площади.


dF
, (Па)
Gn 
dS


Gn  pn
По закону Паскаля: в состоянии равновесия нормальное напряжение не
зависит от ориентации площади dS, на которую оно действует, т.е. p=px=py=pz.
Отличительной особенностью жидкостей и газов, по сравнению с
твердыми телами, является их текучесть, т.е. малая деформация сдвига.
Различие между жидкостью и газом заключается в характере зависимости
их плотности от давления (р), т.е. в сжимаемости газов и в практической
несжимаемости жидкостей.
1
Жидкости имеют свободную поверхность и могут собираться в капли.
Поэтому жидкие среды называют капельно-жидкими. В гидромеханике для
капельных жидкостей и газов используют один термин «жидкость».
Давление, существующее в жидкости, обусловлено сжатием. При малых
деформациях упругие свойства жидкостей характеризуются (при Т=const):
коэффициентом сжимаемости
модулем всестороннего сжатия
1 dV
,
V dp
dp
k  V
.
dV
 
Различают:
1) сжимаемую жидкость - газ, для которого зависимостью (р) нельзя
пренебречь;
2) несжимаемую жидкость - dV0, т.е. зависимостью р() пренебрегают;
3) идеальную жидкость, в которой при любых движениях отсутствует
внутреннее трение;
4) вязкую жидкость, в которой при движении возникают касательные
(сдвиговые) силы.
1.7.2. Кинематическое описание движения жидкости.
Движение жидкостей называют течением. Саму движущуюся жидкость
называют потоком. Для кинематического описания течения жидкости
используют метод Эйлера. При описании движения задается поле скоростей
  
v  v  r , t  , т.е. в каждой точке пространства указывается вектор скорости той
частицы жидкости, которая проходит через эту точку в рассматриваемый
момент времени.
Линией тока называется линия, касательная к которой в любой ее точке
совпадает по направлению с вектором скорости жидкости в этой точке.
Поверхность, образованная линиями тока, которые проведены через все
точки замкнутого контура, называется трубкой тока.
Часть потока, ограниченная трубкой тока называется струйкой.
Движение называется стационарным (установившимся), если скорость
зависит только от радиуса-вектора.
  
v  v r  , т.е. линии тока не изменяются во времени и трубки тока
представляют собой как бы непроницаемые стенки.
При стационарном движении каждая из частиц остается в пределах
определенной струйки.
Рассмотрим участок элементарной струйки.
2
Если dS1 и dS2 малы, то скорость v одинакова во всех точках сечения и
направлена вдоль оси трубки. Масса жидкости, протекающая за время dt сквозь
сечение dS трубки
dm  dSvdt  Svt ,
где  - плотность жидкости.
При установившемся движении жидкости масса жидкости не изменяется с
течением времени, т.е. по закону сохранения массы, для всех сечений
выполняется условие dm1  dm2  dm3 ...  const . Следовательно, в единицу
времени 1v1 dS1  2 v 2 dS2 или, так как сечение можно выбрать произвольно,
секундный массовый расход dmсек определяется
dmcek  vdS - уравнение неразрывности.
Если жидкость несжимаема
1  2 , то
v1 S2
 .
v2 S1
Скорость жидкости в одной и той же трубке тока тем больше, чем уже
поперечное сечение трубки.
1.7.3. Уравнение движения и равновесия жидкости.
Силы, действующие в жидкости, можно разделить на массовые (объемные)
и поверхностные.
Обозначим массовую силу fdV; где f - объемная плотность массовых сил, а
dV - объем элемента жидкости, на который действует сила. Так сила тяжести
может быть представлена в виде

f  g ,
где  - плотность,
g - ускорение свободного падения.
Определим
равнодействующую
поверхностных
сил
давления,
действующих на бесконечно малый элемент жидкости dV=dxdS,
ориентированный вдоль оси Х.
Проекция на ось Х сил давления, действующих на рассматриваемый
элемент объема жидкости, равна
F1  x   p x dS ,
F2  x   p x  dx dS .
3
F  x    p x   p x  dx dS .
p
Так как
 px   px  dx   x dx ,
p
p
F  x    dxdS   dV .
x
x
Тогда
то
Аналогично, определим проекции
p
;
y
p
,
z
ориентируя цилиндры объемом dV вдоль
 оси Y и оси Z.
Таким образом, проекции силы s , обусловленной изменениями в
пространстве поверхностных сил давления, равны
p
p
p
;
sy   ; sz  
или
x
y
z
p   p  p 


s i 
j  k , следовательно s   grad p .
x
y
z

Объемная плотность s результирующей сил давления, действующих на
sx  
элементы объема жидкости, равна градиенту давления, взятому с
противоположным знаком.


В состоянии равновесия s   f , тогда уравнение гидростатики имеет
вид 
f  grad p ,
p
p
;
fz 
.
y
z

Так как при равновесии f определяется grad однозначной скалярной

функции р, то f - консервативная сила.
то есть
fx 
 p
;
x
fy 
Таким образом, для равновесия необходимо, чтобы силовое поле, в
котором находится жидкость, было консервативным.
В неконсервативных силовых полях равновесие невозможно.
Основное уравнение гидродинамики идеальной жидкости (уравнение
Эйлера):

dv 

 f  grad p ,
dt

где v - скорость жидкости;

dv
- ускорение.
dt
1.7.4. Гидростатика.
4
Пусть
жидкость находится в поле силы тяжести, т.е.


f  g .
Совместим ось Z с линией действия ускорения свободного падения, т.е.
направим ее вверх. Тогда уравнение равновесия жидкости примет вид
p p

 0;
x  y
p
  g .
z
То есть при механическом равновесии давление должно оставаться
постоянным в каждой горизонтальной плоскости (Z=const), именно поэтому
свободная поверхность жидкости горизонтальна.
Рассмотрим однородную несжимаемую жидкость. Примем, что g не
зависит от высоты Z, тогда интегрируя выражение
p
  g ,
z
получим
p  p0  gz ,
где р0 - атмосферное давление на высоте Z=0.
Закон Архимеда: если тело, погруженное в жидкость, удерживается в
механическом равновесии, то со стороны окружающей жидкости оно
подвергается выталкивающей силе гидростатического давления, численно
равной весу жидкости в объеме, вытесненном телом.
Сила Fарх направлена вверх и проходит через центр масс т. А жидкости,
вытесненной телом.
Точка А называется центром плавучести тела, ее положение определяет
равновесие и устойчивость тела.
Для равновесия необходимо, чтобы вес тела был равен весу вытесненной
жидкости, а центр плавучести т. А лежал на одной вертикали с центром масс т.
С тела.
Равновесие устойчиво, если центр масс тела т.С лежит ниже его центра
плавучести т.А, и неустойчиво, если он лежит выше т.А.
1.7.5. Стационарное
Бернулли.
движение
идеальной
жидкости.
Уравнение
Рассмотрим стационарное движение идеальной жидкости в поле силы
тяжести. Применим к этому течению закон сохранения энергии, пренебрегая
теплообменом. Выделим в жидкости элементарную струйку и рассмотрим часть
жидкости, которая в момент времени t
заполняет
участок
струйки,
ограниченный сечениями 1 и 2.
К моменту времени t+dt эта часть
жидкости переместится вдоль струйки
5
в направлении течения и будет заключена между сечениями 1’2’. На жидкость
действуют только силы тяжести и давления. По закону изменения механической
энергии имеем
dWn  dWk  A ,
(1)
где А - работа сил давления.
Силы бокового давления направлены перпендикулярно направлению
течения жидкости, поэтому их работа равна нулю. Следовательно


A  dF1 dr1  dF2 dr2   p1  p2 v1 dS1dt ,
(2)
где p1, p2 - давления в сечениях 1 и 2.
Часть жидкости массой dm, заключенной между сечениями 1 и 1’,
переместилась в новое положение 2 и 2’, поэтому
dWn   h2  h1  gdm ;
(3)
1 2
v 2  v12 dm ;

2
dm  v1 dS1  v2 dS2 ,
dWk 
(4)
(5)
где v1, v2 - скорости течения жидкости в сечениях 1 и 2;
h1, h2 - высоты центров тяжести сечений 1 и 2 над условным уровнем.
Подставим выражения (2-5) в (1) и после преобразований получим:
v12
v 22
  p1  gh1    p2  gh2
или
2
2
v2
  p  gh  const - уравнение Бернулли,
2
где р - статическое давление;
gh - давление столба жидкости высотой h;
v2
 - скоростной напор.
2
При движении жидкости в горизонтальной трубе потенциальная энергия
жидкости не изменяется dWп=0 (h=const) и уравнение Бернулли принимает вид:
v2
  p  const .
2
в
Давление в более широкой части трубы больше, чем
узкой части, т.е. p1  p2 .
Так как v2>v1, то жидкость движется ускоренно. Ускорение определяется
разностью давлений (р1-р2).
6
1.7.6. Вязкая жидкость.
В реальных жидкостях на границах движущихся элементов жидкости
действуют касательные силы внутреннего трения или вязкости. Рассмотрим две
параллельные бесконечно длинные пластинки, между которыми находится слой
жидкости.
Пластинки движутся равномерно, параллельно друг другу. Величина силы
F зависит от скорости v пластинок, их площади S и расстояния h между ними:
F  S
v2  v1
,
h
где  - коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость), зависящий
от природы и состояния жидкости, Пас.
Жидкость, обладающая вязкостью, прилипает к поверхности твердого тела,
которое она обтекает.
Силы F и -F считаются приложенными не к пластинке, а к границам
заключенного между ними слоя жидкости, аналогично v1 и v2 скорости
движения тех же границ жидкого слоя.
Выделим в том же параллельном потоке жидкости бесконечно малый
параллелепипед ABCD с ребрами, параллельными координатным осям.
Обозначим через ух касательную силу, действующую на единицу площади в
верхней границе слоя со стороны вышележащей жидкости.
Касательное напряжение на нижней границе направлено в сторону,
противоположную верхней границе, т.е.  ух   ух .
Причем первый индекс «у» указывает направление внешней нормали,
второй «х» указывает направление действующей силы.
Касательные напряжения действуют не только в плоскостях, параллельных
течению, но и в плоскостях, перпендикулярных ему, т.е.   xy   xy  
Касательные составляющие тензора вязких напряжений
 xx  xy  xz
 yx  yy  yz
 zx  zy  zz
7
 vx
.
y
зависят от скоростей деформации жидкости. Касательные напряжения,
действующие на гранях параллелепипеда ABCD, определяются
  v v 
 xy   yx   x  y  ;
 y  x 
 v v 
 yz   zy   y  z  ;
 z y 
v  v
 zx   xz   z  x  .
 x  z 
1.7.7. Стационарное течение вязкой жидкости.
Рассмотрим стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в
прямолинейной цилиндрической трубе радиуса R. Совместим с осью трубы ось
ОХ, направленную в сторону течения. Выделим в трубе произвольную часть
длины dx и радиуса r.
dF   2r
dv
dx - касательная сила внутреннего трения, действующая на
dr
боковую поверхность в направлении движения.
На основания цилиндра в направлении течения действует сила разности
давлений
dp
dF1  r 2  p x   p x  dx   r 2
dx .
dx


При стационарном движении dF  dF1  0 , поэтому
dv
dp
2
r .
dr
dx
 
dv
dp
Так как v  v  r  и
не изменяются с изменением х, то и
должна
dr
dx
быть постоянной, причем
dp p2  p1

,
dx
l
где р1 - давление на входе трубы;
р2 - давление на входе;
8
l - длина трубы.
В результате
dv
p  p2
 1
r.
dr
2l
Проинтегрировав данное выражение и учитывая, что при R  r
получим
v
v  0,
p1  p2 2
R  r2  .

4l
Формула Пуазейля: масса жидкости Q, протекающая через кольцевую
площадку (через поперечное сечение трубы радиуса R) определяется как
p1  p2 4
R,
8l
dQ   2dr  v .
Q  
где
1.7.8. Законы гидродинамического подобия.
Если подобие имеет место, то, зная картину течения для первой системы
тел, можно однозначно предсказать течение жидкости и для другой,
геометрически подобной системы тел.
В судо- и самолетостроении вместо реальных объектов испытываются их
уменьшенные модели, а затем путем пересчета определяется поведение
реальных систем.
Основными критериями подобия в гидродинамике числа Рейнольдса,
Фруда, Струхаля, Маха.
1. Число Рейнольдса Re 
vl
,

где v - скорость жидкости;
l - линейный размер;
 - кинематическая вязкость жидкости.
Re характеризует соотношение между силами инерции и силами трения в
потоке жидкости.
По порядку величины число Rе это отношение кинетической энергии
жидкости к потере ее, обусловленной работой сил вязкости на характерной
длине.
v2
2. Число Фруда: F 
,
gl
9
где v - скорость жидкости вдали от обтекаемого ей тела;
l - линейный размер тела;
g=9,81 м/с2 - ускорение свободного падения.
Fr характеризует соотношение между силами инерции и силами тяжести в
потоке жидкости. Играет важную роль при моделировании процессов,
связанных с работой различных гидротехнических сооружений; движении
корабля и т.п.
Число Fr по порядку величины определяет отношение кинетической
энергии жидкости к приращению ее, обусловленному работой силы тяжести на
пути, равному характерной длине.
3. Число Струхаля St 
vT
,
l
где Т - характерный интервал времени;
St является критерием подобия неустановившихся движений жидкости.
4. Число Маха M 
v
,
c
где с - скорость звука.
Число М является мерой влияния сжимаемости жидкости на ее движение.
Если М<<1, жидкость можно считать несжимаемой, движение сжимаемой
жидкости называется дозвуковым - если М<1 и сверхзвуковым, если М>1.
Число М является основным критерием подобия для установившихся
движений сжимаемой жидкости, совершающихся с большими скоростями.
1.7.9. Турбулентность и гидродинамическая неустойчивость.
Возможны два качественно различных течения жидкости: ламинарный и
турбулентный.
Ламинарное течение - упорядоченное течение жидкости, при котором
траектории соседних частиц мало отличаются друг от друга, так что жидкость
можно рассматривать как совокупность отдельных слоев, движущихся с
разными скоростями, не перемешиваясь друг с другом. При таком движении
жидкость оказывается разделенной на тонкие цилиндрические слои, которые
скользят друг относительно друга, не перемешиваясь.
При достаточно больших скоростях ламинарное течение оказывается
неустойчивым и переходит в турбулентное течение.
Турбулентным называется такое течение жидкости, при котором ее
частицы совершают неустановившееся неупорядоченное движение по сложным
траекториям, в результате чего происходит интенсивное перемешивание
различных слоев движущейся жидкости. Гидродинамические характеристики
такого движения быстро и нерегулярно изменяются во времени.
Турбулентное течение возникает в результате потери устойчивости
ламинарным течением при достаточно большом значении числа Рейнольдса. В
10
этом случае считают, что влияние вязкости проявляется только в пограничном
слое, т.е. в той части жидкости, которая движется в непосредственной близости
от поверхности обтекаемого ею тела. Граничное значение числа Rе, при
котором ламинарное движение сменяется турбулентным называется
критическим. Rекр зависит от конфигурации тел, обтекаемых жидкостью, и от
степени возмущенности самого ламинарного течения.
11