hhg vv 2 − ρ = − ρ sgh2 mv p ρ = = ghs 2F ρ = 278

12.7. Истечение жидкости из сосуда. Формула Торричелли
Закон Даниила Бернулли, по сути, является законом сохранения энергии для движущейся
жидкости или газа. Эванджелиста Торричелли успешно применил его к задаче об истечении
жидкости из сосуда с малым отверстием (рис.
12.15). При истечении жидкости её можно разбить на отдельные трубки тока, которые начинаются на свободной поверхности и проходят
через отверстия, расположенного у дна сосуда.
На поверхности жидкости во всех трубках тока
скорость будет одинаковой v1. Давление на поверхности жидкости тоже одинаково р0, все частички жидкости, составляющие поверхность
подняты на равную высоту h = (h1 + h2) относительно поверхности, выбранной за нулевой уровень потенциальной энергии. Уравнение Бернулли (12.46) для рассматриваемого случая
можно записать следующим образом
ρv 22
ρv 2
+ ρgh 2 + p 0 = 1 + ρgh + p 0 ,
2
2
или после преобразования
ρ 2
v 2 − v12 = ρg (h − h 2 ) ,
2
(
)
откуда
v 2 = v12 + 2g (h − h 2 ) .
Рис. 12.15. Истечение жидкости из сосуда
(12.47)
Если площадь отверстия, из которого истекает жидкость существенно меньше площади свободной поверхности жидкости, то скорость v1 << v2, т.е.
(12.48)
v 2 = 2g (h − h 2 ) .
Уравнение (12.48) называется формулой Торричелли. Скорость истечения жидкости не зависит
от угла её движения относительно горизонта. Если бы отсутствовали эффекты внутреннего
трения, обусловленные вязкостью, то струя, направленная вертикально вверх должна была
подниматься то уровня жидкости в сосуде.
Пусть площадь выходного отверстия s, в этом случае масса воды, вытекающей в единицу
времени определится как
(12.49)
m = ρsv 2 = ρs 2gh 2 .
Ежесекундно истекающей жидкостью будет уноситься импульс
pi = mv2 = 2ρsgh 2 .
(12.50)
В направлении распространения струи со стороны стенок сосуда действует сила
F1 = 2ρghs .
(12.51)
В соответствие с третьим законом Ньютона результирующая сила давления жидкости на стенки
сосуда должна быть равна по модулю F1 и направлена в противоположную сторону. Если дно
сосуда лишить трения, то он станет перемещаться в направлении, противоположном F1.
Закон сохранения импульса применительно к движению жидкости объясняет принцип действия гребных колёс и винтов. Судовые и авиационные винты за счёт подводимой от внешнего
источника энергии и благодаря своей конструкции (рис. 12.16) генерируют систему вихрей,
вследствие чего жидкость в области вихревого движения уносит от плоскости вента импульс.
По закону сохранения импульса судно приобретает импульс противоположного направления,
что, собственно, и является причиной его перемещения.
278
Течение жидкостей и газов по изогнутым
трубопроводам и каналам сопровождается
возникновением реактивной силы со стороны жидкости, меняющей направление своего
движения. Рассмотрим участок изогнутого
под прямым углом трубопровода постоянного сечения s, по которому движется жидкость с постоянной по модулю скоростью v
(рис. 12.17). Несмотря на постоянство модуля скорости, импульс движущейся жидкости
будет изменяться ввиду изменения направления. Через поперечное сечение трубы ежесекундно протекает масса жидкости
m = ρv1s ,
Рис. 12.16. Судовой винт
(12.52)
которая приносит с собой импульс
r
r
p1 = (ρsv1 )v1 .
(12.53)
Через выходное сечение каждую секунду
будет уноситься импульс
r
r
p 2 = (ρsv 2 )v 2 .
(12.54)
При стационарном течении жидкости в
трубе суммарный импульс жидкости должен
оставаться постоянным, это даёт основание
при v1 = v 2 = v определить изменение импульса следующим образом
r r r
r r
Δp = p 2 − p1 = ρsv(v 2 − v1 ) . (12.55)
На основании второго закона ньютона
изменение импульса должно быть равно
Рис. 12.17. Изогнутый трубопровод
сумме всех сил, действующих со стороны
стенок трубы на жидкость. Равнодействующая струи, ог-
r
раниченной трубой определится в виде реакции струи R .
Реакция истекающей жидкости направлена в сторону, противоположную изгибу трубы. Реакция изгибающейся
струи используется для вращения турбин, рабочие колёса
которых имеют специально приспособленную для этого
форму (рис. 12.18).
Рис. 12.18. Рабочее колесо турбины
279