Я × жигкг жго а в к ж и гжбн

Wishartovo rozdelenie a kvadratiké formy
Príklad 1. Neh X1 , X2 , X3 sú nezávislé náhodné premenné s rozdelením N (0, 1). Nájdite
rozdelenie kvadratikýh foriem
Y =
Z=
2 2
(X + X22 + X32 − X1 X2 − X1 X3 − X2 X3 ),
3 1
1 2
(X + X22 + X32 + 2X1 X2 + 2X1 X3 + 2X2 X3 ).
3 1
Príklad 2. Neh X ∼ Np (0, Ip ) a neh A1 , A2 sú symetriké idempotentné matie typu p× p
sp¨¬ajúe A1 A2 = 0. Dokáºte, ºe potom X T A1 X a X T A2 X sú nezávislé náhodné premenné s
χ2 rozdelením.
Neh M ∼ Wp (Σ, n). Nájdite rozdelenie náhodnýh premennýh M11 , . . . , Mpp .
Príklad 3.
Neh M ∼ Wp (Σ, n) a neh c ∈ Rp je taký vektor, ºe cT Σc > 0. Vyjadrite
pomoou distribu£nej funkie rozdelenia ξn2 pravdepodobnos´ udalosti cT M c ∈ (a, b), kde a, b.
Príklad 4.
Príklad 5. Dokáºte, ºe ak S je výberová kovarian£ná matia pre náhodný výber X1 , . . . , Xn
z rozdelenia Np (µ, Σ), t.j.
1X
(Xi − X̄)(Xi − X̄)T ,
n i=1
n
S=
tak platí nS ∼ Wp (Σ, n − 1). Ukáºte, ºe
n
n−1 S
je nevyhýlený odhad matie Σ.
Príklad 6. Neh S je výberová kovarian£ná matia a X̄ je výberový priemer pre náhodný
výber X1 , . . . , Xn z rozdelenia Np (µ, Σ). Dokáºte, ºe potom S a X̄ sú nezávislé.
Overte, ºe Hottelingovo rozdelenie T 2 (1, m) je identiké rozdeleniu F (1, m) a
rozdeleniu náhodnej premennej T 2 , kde T ∼ tm .
Príklad 7.
Príklad 8. Neh A je pozitívne denitná a neh B je pozitívne semidenitná matia typu
p × p. Presved£te sa, ºe A + B je pozitívne denitná matia. Ukáºte, ºe platí
Y
detA
1
1
,
=
=
−1
det(A + B)
det(I + A B) i=1 λi (A−1/2 BA−1/2 ) + 1
p
Λ=
kde λ1 , . . . , λp ozna£ujú vlastné hodnoty matie.
Príklad 9.
Neh Λ ∼ Λ(1, m, n). Dokáºte, ºe potom platí
m1−Λ
∼ F (n, m).
n Λ
Príklad 10.
Neh Λ ∼ Λ(p, m, 1). Dokáºte, ºe potom platí
m−p+11−Λ
∼ F (p, m − p + 1).
p
Λ
1