надежность приборов и систем

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
А.А. Бычков
НАДЕЖНОСТЬ ПРИБОРОВ И СИСТЕМ
(учебное пособие)
Ростов-на-Дону
2008
Рецензенты:
Доцент кафедры общих дисциплин РФ ФОГУ МГА,
к.ф.-м. н. Шварцман М.М.
Профессор кафедры теории упругости ЮФУ,
доктор физ.-мат. наук Карпинский Д.Н.
Бычков А.А.
Надежность приборов и систем: Учебное пособие. − Ростов-наДону, 2008. − 84 с.
Пособие содержит основные сведения по курсу «Надежность приборов и
систем». Изложены основные понятия и определения теории надежности.
Рассмотрены
случаи
анализа
определения
характеристик
статистических
надежности,
данных,
аналитического
последовательного
соединения
элементов в систему, постоянного резервирования, невосстанавливаемых систем
и систем с восстановлением. Приведены примеры расчета надежности систем.
Пособие содержит набор индивидуальных заданий и лабораторных работ по
курсу. Предназначено для студентов факультета высоких технологий.
2
Содержание
Введение ……………………………………………………………………………… 4
МОДУЛЬ 1
1. Определение количественных характеристик надежности по
статистическим данным об отказах изделия ……………………………………….. 9
1.1. Теоретические сведения ……………………………………………………… 9
1.2. Решение типовых задач ……………………………………………………… 11
1.3. Задачи для самостоятельного решения …………………………………… 14
2. Аналитическое определение количественных характеристик
надежности …………………………………………………………………………. 16
2.1. Теоретические сведения …………………………………………………… 16
2.2. Решение типовых задач ……………………………………………………… 19
2.3. Задачи для самостоятельного решения …………………………………… 23
3. Последовательное соединение элементов в систему …….………………. 25
3.1. Теоретические сведения …………………………………………………… 25
3.2. Решение типовых задач ……………………………………………………… 28
3.3. Задачи для самостоятельного решения …………………………………… 33
МОДУЛЬ 2
4. Расчет надежности системы с постоянным резервированием ………………… 35
4.1. Теоретические сведения …………………………………………………… 35
4.2. Решение типовых задач ……………………………………………………… 38
4.3. Задачи для самостоятельного решения …………………………………… 42
5. Выполнение численных и аналитических расчетов в системе Maple ……44
6. Расчет надежности невосстанавливаемых систем …….………………… 51
7. Расчет надежности резервированных устройств с учетом
восстановления ……………………………………………………………………… 58
Рекомендуемая литература …………………………………….…………………… 71
Приложения …………………………………………………………….……………. 72
Диагностико-квалиметрическое обеспечение …………………………………….. 76
3
ВВЕДЕНИЕ
Понятие «надежности изделия» давно используется в инженерной практике.
Любые технические устройства — машины, инструменты или приспособления —
всегда изготавливались в расчёте на некоторый достаточный для практических
целей период использования. Однако долгое время надежность не измерялась
количественно, что значительно затрудняло её объективную оценку. Для оценки
надежности использовались такие понятия, как высокая надежность, низкая
надежность и др. качественные определения. Установление количественных
показателей надежности и способов их измерения и расчёта положило начало
научным методам в исследовании надежности.
Теория надёжности – научная дисциплина, в которой разрабатываются и
изучаются методы обеспечения эффективности работы объектов (изделий,
устройств, систем и т.п.) в процессе эксплуатации.
В средине 40-х годов 20-го века теория надежности (ТН) использовалась
для расчета надежности систем военного управления и телефонной связи. С тех
пор ТН нашла применение во многих областях человеческой деятельности.
Весьма развита ТН в машиностроении, в строительстве, в энергетике, в области
разработки систем управления и т.д. В области информационных систем (ИС) ТН,
несомненно, занимает важное место являясь неотъемлемой частью процесса
проектирования ИС.
Рассматривая объект ТН, которым является некоторое устройство или
система, мы обнаружим, что объекты могут быть простыми и сложными. Для
простых объектов оценку надежности можно провести, не прибегая к сложным
расчетам, либо по предыдущему опыту эксплуатации данных объектов, либо
используя элементарные умозаключения (например, отдельный компьютер,
система компьютер-принтер и т.д.). Для анализа сложных объектов необходимо
использовать теоретические наработки. Второй аспект, связанный с объектом ТН,
заключается в том, что для разных объектов или элементов системы их
4
надежность имеет разное значение. Таким образом объекты ТН можно разделить
на:
1) объекты для которых надежность не является важным параметром;
2) объекты низкая надежность которых может привести к существенным
экономическим издержкам (банковские ИС, ИС по учету кадров, ИС в
супермаркете, АСУ в энергетике и т.д.);
3) объекты недостаточно высокая надежность которых вообще исключает их
использование (АСУ в химическом производстве, АСУ атомных станций,
вычислительная техника и т.д.).
Технические средства и условия их работы становятся всё более сложными.
Количество элементов в отдельных видах устройств исчисляется сотнями тысяч.
Если не принимать специальных мер по обеспечению надежности, то любое
современное сложное устройство практически будет неработоспособным. Так,
например, в современной ЭВМ средней производительности за 1 сек происходит
около 5 млн. смен состояний в результате переключений её двоичных элементов,
число которых достигает нескольких десятков тыс. За 5 ч непрерывной работы
ЭВМ, требуемых на решение типовой задачи, происходит свыше 1012—1014 смен
состояний машины. Вероятность возникновения хотя бы одного отказа при этом
становится достаточно большой, а следовательно, необходимы специальные
меры, обеспечивающие работоспособность ЭВМ.
Наука о надежности развивается в тесном взаимодействии с другими
науками. ТН прежде всего тесно связана с проектированием ИС, поскольку, как
говорилось ранее, является частью проектирования, безопасностью ИС. Среди
математических дисциплин используемых в ТН следует назвать теорию
вероятности, некоторые элементы дискретной математики, дифференциальные
уравнения, интегральное исчисление.
ТН развивается в следующих основных направлениях:
1) Математическая ТН: определение математических закономерностей отказов
на основе обобщения статистических материалов, разработка методов
5
количественного измерения надежности и расчета показателей надежности;
2) Статистическая ТН: развитие методов сбора и обработки статистических
данных
о
надежности,
разработка
статистических
характеристик
надежности;
3) Физическая ТН: изучение физических причин отказов, влияния старения и
прочности материалов на надежность, изучение внешних и внутренних
воздействий на работоспособность объектов.
В конкретных областях техники разрабатываются прикладные вопросы
надежности, вопросы обеспечения надежности данной конкретной техники
(полупроводниковые приборы, судовые установки, транспортные машины,
вычислительная техника, авиация и т.д.). Так возникли прикладные теории
надежности, в том числе прикладная теория надежности ИС.
Под системой будем понимать в дальнейшем совокупность элементов,
взаимодействующих между собой в процессе выполнения заданных функций.
Элементом системы будем называть составную часть системы, которая
рассматривается без дальнейшего разделения как единое целое.
Понятия системы и элемента выражены одно через другое и условны: то,
что является системой для одних задач, для других принимается элементом в
зависимости от целей изучения, требуемой точности и т.д.
Надёжность – свойство объекта (системы) сохранять во времени в
установленных
пределах
значения
всех
параметров,
характеризующих
способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях
эксплуатации.
С точки зрения надежности все изделия делятся на 2 вида:
1) невосстанавливаемые т.е. неремонтируемые в эксплуатации
(радиоэлементы и аппаратура ракет, спутников и т.п.);
2) восстанавливаемые, которые могут быть отремонтированы после отказа в
заданное время. Здесь важно - предписан ли в документации режим ремонта
(восстановления) и организована ли система проведения этих ремонтов.
6
Основное понятие, используемое в теории надёжности, — понятие отказа,
т. е. утраты работоспособности, наступающей либо внезапно, либо постепенно.
Работоспособность — такое состояние изделия, при котором оно соответствует
всем требованиям, предъявляемым к его основным параметрам. К числу
основных
параметров
изделия
относятся:
быстродействие,
нагрузочная
характеристика, устойчивость, точность выполнения производственных операций
и т.д. Вместе с другими показателями (масса, габариты, удобство в обслуживании
и др.) они составляют комплекс показателей качества изделия. Показатели
качества могут изменяться с течением времени. Изменение их, превышающее
допустимые значения, приводит к возникновению отказового
состояния
(частичного или полного отказа изделия).
Показатели надежности нельзя противопоставлять другим показателям
качества: без учёта надежности все другие показатели качества изделия теряют
свой смысл, точно так же и показатели надежности становятся полноценными
показателями качества лишь в сочетании с др. характеристиками изделия. На
первых
этапах
развития
теории
надежности
основное
внимание
сосредоточивалось на сборе и обработке статистических данных об отказах
изделий. В оценке надежности преобладал характер констатации степени
надежности на основании этих статистических данных. Развитие теории
надежности
сопровождалось
совершенствованием
вероятностных
методов
исследования, как-то: определение законов распределения наработки до отказа,
разработка методов расчёта и испытаний изделий с учётом случайного характера
отказов и т.п.
Вместе с тем возникали новые направления исследований: поиск
принципиально новых способов повышения надежности, прогнозирование
отказов и прогнозирование надежности, анализ физико-химических процессов,
оказывающих влияние на надежность, установление количественных связей
между
характеристиками
этих
процессов
и
показателями
надежности,
совершенствование методов расчёта надежности изделий, обладающих всё более
7
сложной структурой, с учётом всё большего числа действующих факторов
(достоверность исходных данных, контроль и профилактика, условия работы и
обслуживания и т.д.). Испытания на надежность совершенствовались главным
образом в направлении проведения ускоренных и неразрушающих испытаний.
Наряду с совершенствованием натурных испытаний широкое распространение
получили математическое моделирование и сочетание натурных испытаний с
моделированием.
8
МОДУЛЬ 1
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
НАДЕЖНОСТИ ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ ОБ
ОТКАЗАХ ИЗДЕЛИЯ
1.1. Теоретические сведения
Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах
оценивается выражением
~
N (t )
~
P (t ) = ~ ,
N ( 0)
(1.1)
~
~
где N (t ) - число работоспособных изделий, к моменту времени t; N (0) - число
~
изделий, поставленных на испытания; P (t ) - статистическая оценка вероятности
безотказной работы изделия.
Для вероятности отказа по статистическим данным справедливо соотношение
~
~
N (0) − N (t )
~
Q (t ) =
,
~
N ( 0)
(1.2)
~
где Q (t ) - статистическая оценка вероятности отказа изделия.
Частота отказов по статистическим данным об отказах определяется выражением
~
n~ (t + ∆t ) − n~ (t )
f (t ) =
,
~
N (0) ⋅ ∆t
9
(1.3)
~
где n(t) - число отказавших изделий на момент времени t; f (t ) - статистическая
оценка частоты отказов изделия; ∆t - интервал врeмени.
Интенсивность отказов по статистическим данным об отказах определяется
формулой
n~ (t + ∆t ) − n~ (t )
~
,
λ (t ) =
~
N (t ) ⋅ ∆t
(1.4)
~
где λ (t ) - статистическая оценка интенсивности отказов изделия.
Среднее время безотказной работы изделия по статистическим данным
оценивается выражением
1
~
T1 = ~
N ( 0)
~
N (0)
∑ ti ,
(1.5)
i =1
где ti - время безотказной работы i- го изделия; N(0)- общее число изделий,
~
поставленных на испытания; T1 - статистическая оценка среднего времени
безотказной работы изделия.
~
Для определения T1 по формуле (1.5) необходимо знать моменты выхода из строя
~
всех N(0) изделий. Можно определять T1 из уравнения
m
1
~
T1 ≈ ~
ni t ср i ,
N (0) i =1
∑
(1.6)
где ni - количество вышедших из строя изделий в i- ом интервале времени;
tср.i = (ti-1+ti)/2 ; m=tk/t ; t=ti+1-ti ; ti-1 -время начала i- го интервала; ti- время конца i-
го интервала; tk - время, в течение которого вышли из строя все изделия; tинтервал времени.
10
Среднее время восстановления T1В * изделия по статистическим данным
оценивается выражением
T1В
*
1
=
N
N
∑ tiВ ,
(1.7)
i =1
где tiВ - время восстановления i- го изделия; N- общее число изделий,
поставленных на испытания.
1.2. Решение типовых задач
Пример 1.1. На испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп, за
3000 час. отказало 80 ламп. Требуется определить P(t), q(t) при t = 3000 час.
Решeниe. В данном случае N= 1000; n(t)=1000-80=920; N-n(t)=1000-920=80. По
формулам (1.1) и (1. 2) определяем
или
Пример 1.2. На испытание было поставлено 1000 однотипных ламп. За первые
3000 час. отказало 80 ламп, а за интервал времени 3000 - 4000 час. отказало еще
50 ламп. Требуется определить статистическую оценку частоты и интенсивности
отказов электронных ламп в промежутке времени 3000 - 4000 час.
Решение. В данном случае N=1000; t=3000 час; t =1000 час; n(t)=50; n(t)=920.
По формулам (1.3) и (1.4) находим
11
час
1/час
Пример 1.3. На испытание поставлено N = 400 изделий. За время t = 3000 час
отказало 200 изделий, т.е. n(t) = 400-200=200.За интервал времени (t, t+t) , где t=
100 час, отказало 100 изделий, т.е. n(t)= 100. Требуется определить Р(3000),
P(3100), f(3000), λ (3000) .
Решение. По формуле (1.1) находим
Используя формулы (1.3) и (1.4), получим
(1/час)
(1/час)
Пример 1.4. На испытание поставлено 6 однотипных изделий. Получены
следующие значения ti (ti - время 6езотказной работы i- го изделия) : t1 =280 час;
t2 = 350 час; t3 =400 час; t4 =320 час; t5 =380 час; t6 =330 час.
Определить статистическую оценку среднего времени безотказной работы
изделия.
12
Решение. По формуле (1.5) имеем
час.
Пример 1.5. За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было
зафиксировано 7 отказов. Время восстановления составило:
t1 =12мин.; t2=23мин.; t3 =15мин.; t4=9мин.; t5=17мин.; t6=28мин.; t7=25мин.;
t8=31мин. Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры Т1В*.
Решение: формула (1.17).
мин.
Пример 1.6. В результате наблюдения за 45 образцами радиоэлектронного
оборудования получены данные до первого отказа всех 45 образцов, сведенные в
таблица 1. Требуется определить T1 .
Таблица 1
ti,час.
ni
ti,час.
ni
ti,час.
ni
0-5
1
30-35
4
60-65
3
5-10
5
35-40
3
65-70
3
10-15
8
40-45
0
70-75
3
15-20
2
45-50
1
75-80
1
20-25
5
50-55
0
25-30
6
55-60
0
Решение. В данном случае
Используя формулу (1.6), получим
13
1.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.1. На испытание поставлено 100 однотипных изделий. За 4000 час.
отказало 50 изделий. За интервал времени 4000 - 4100 час. отказало ещё 20
изделий. Требуется определить f(t), λ (t ) при t=4000 час.
Задача 1.2. На испытание поставлено 100 однотипных изделий.
За 4000 час. отказало 50 изделий. Требуется определить p(t) и q(t) при t=4000 час.
Задача 1.3. В течение 1000 час из 10 гироскопов отказало 2. За интервал времени
1000 - 1100 час. отказал еще один гироскоп. Требуется определить f(t), λ (t ) при t
=1000 час.
Задача 1.4. На испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп. За
первые 3000 час. отказало 80 ламп. За интервал времени 3000 - 4000 час. отказало
еще 50 ламп. Требуется определить p(t) и q(t) при t=4000 час.
Задача 1.5. На испытание поставлено 1000 изделий. За время t=1300 час. вышло из
строя 288 штук изделий. За последующий интервал времени 1300-1400 час.
вышло из строя еще 13 изделий. Необходимо вычислить p(t) при t=1300час. и
t=1400 час.; f(t), λ (t ) при t =1300 час.
Задача 1.6. На испытание поставлено 45 изделий. За время t=60 час. вышло из
строя 35 штук изделий. За последующий интервал времени 60-65 час. вышло из
строя еще 3 изделия. Необходимо вычислить p(t) при t=60час. и t=65 час.; f(t),
λ (t ) при t =60 час.
14
Задача 1.7. В результате наблюдения за 45 образцами радиоэлектронного
оборудования, которые прошли предварительную 80-часовую приработку,
получены данные до первого отказа всех 45 образцов, сведенные в таблице 2.
Необходимо определить T1 .
Таблица 2
ti,час.
ni
ti,час.
ni
ti,час.
ni
0-10
19
30-40
3
60-70
1
10-20
13
40-50
0
20-30
8
50-60
1
Задача 1.8. На испытание поставлено 8 однотипных изделий. Получены
следующие значения ti (ti - время безотказной работы i-го изделия):
t1 =560час.; t2=700час.; t3 =800час.; t4=650час.; t5=580час.; t6=760час.; t7=920час.;
t8=850час. Определить статистическую оценку среднего времени безотказной
работы изделия.
Задача1.9. За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было
зарегистрировано 6 отказов. Время восстановления составило: t1 =15мин.;
t2=20мин.; t3 =10мин.; t4=28мин.; t5=22мин.; t6=30мин.
Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры T1В .
Задача1.10. На испытание поставлено 1000 изделий. За время t=11000 час.
вышло из строя 410 изделий. За последующий интервал времени 11000-12000 час.
вышло из строя еще 40 изделий. Необходимо вычислить p(t) при t=11000 час. и
t=12000 час., а также f(t), λ (t ) при t=11000 час.
15
2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК НАДЁЖНОСТИ
2.1. Теоретические сведения
Показателями надежности называются количественныые характеристики
одного
или
нескольких
свойств,
составляющих
надежность
системы.
Количественные характеристики надежности определяются по следующим
формулам:
вероятность безотказной работы
t
t
∫
∫ f (t )dt,
0
0
P(t ) = exp(− λ(t ) dt ) = 1 −
(2.1)
вероятность отказа
Q(t ) = 1 − P(t ),
(2.2)
dQ(t )
dP(t )
=−
,
dt
dt
(2.3)
f (t )
,
P(t )
(2.4)
плотность вероятности отказа
f (t ) =
интенсивность отказов
λ(t ) =
средняя наработка до отказа
∞
∫
T1 = P(t )dt ,
0
16
(2.5)
дисперсия наработки до отказа
∞
∫
DT = t 2 f (t ) dt − T12 ,
(2.6)
0
среднеквадратическое отклонение наработки до отказа
σT = DT .
(2.7)
Непрерывная случайная величина – наработка системы до отказа может
описываться различными законами распределения в зависимости от свойств
системы и ее элементов, условий работы, характера отказов и др. При анализе
надежности элементов информационных систем наиболее часто используются
следующие законы распределения случайных величин: экспоненцциальное
распределение,
нормальное
распределение,
распределение
Вейбулла,
распределение Релея. Конкретная система может, впрочем, описываться и
произвольным эмпирическим законом.
Экспоненциальный закон:
P (t ) = e − λt ,
(2.8)
Q(t ) = 1 − e − λt ,
(2.9)
f (t ) = λe − λt ,
(2.10)
λ(t ) = λ = const ,
(2.11)
1
T1 = ,
λ
DT =
1
λ2
(2.12)
,
(2.13)
σT = T1.
(2.14)
1
+ Φ (u ),
2
(2.15)
Нормальный закон:
Q(t ) =
17
u
где Φ (u ) - функция Лапласа Φ (u ) =
1
e
2π
∫
−
u2
2 du
( Φ (−u ) = −Φ(u ) ), u =
0
t−m
,
σ
m = T1 , σ = σT - параметры,
P (t ) = 1 − Q(t ),
λ(t ) =
(2.16)
f (t )
,
P(t )
f (t ) =
(2.17)
1
e
σ 2π
−
(t − m ) 2
2σ 2
,
(2.18)
T1 = m,
(2.19)
σT = σ.
(2.20)
Распределение Вейбулла:
α
P (t ) = e − λ 0 t ,
(2.21)
где λ 0 , α – параметры,
α
Q(t ) = 1 − e − λ 0 t ,
(2.22)
λ(t ) = αλ 0t α −1 ,
(2.23)
α
f (t ) = αλ 0t α −1e − λ 0 t ,
1

Γ  + 1
α
T1 =  1  ,
(2.24)
(2.25)
λ0 α
∞
∫
где Γ( x) = e − t t x −1dt – гамма-функция.
0
Распределение Релея:
−
P(t ) = e
18
t2
2σ 2
,
(2.26)
где σ – параметр,
t2
−
2σ 2
Q(t ) = 1 − e
f (t ) =
−
t
σ
e
2
λ(t ) =
t
(2.27)
,
(2.28)
t2
2σ 2
,
(2.29)
π
.
2
(2.30)
σ2
T1 = σ
,
2.2. Решение типовых задач.
Пример 2.1.
Время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону
распределения с параметром λ =2.5⋅10-5 1/час.
Требуется вычислить количественные характеристики надежности элемента
p(t),q(t),f(t), T1 для t=1000час.
Решение. Используем формулы (2.8)-(2.12) для p(t),q(t),f(t),T1 .
1. Вычислим вероятность безотказной работы:
.
.
2. Вычислим вероятность отказа q(1000). Имеем
q(1000)=1-p(1000)=0.0247 .
3. Вычислим частоту отказов (2.4):
19
;
1/час.
4. Вычислим среднее время безотказной работы
T1 =
1
1
=
= 40000 час.
λ 2.5 ⋅ 10 −5
Пример 2. 2.
Время работы элемента до отказа подчинено нормальному закону с параметрами
m =8000 час, σ =2000 час. Требуется вычислить количественные характеристики
надежности p(t),f(t), λ (t),T1 для t=10000 час.
Решение. Воспользуемся формулами (2.15)-(2.19) для p(t), f(t), λ (t), T1.
1. Вычислим вероятность безотказной работы
p(t)=0.5Ф(U) ; U=(t-m)/ σ ;
U=(10000-8000)/2000=1; Ф(1)=0.3413 ;
p(10000)=0.5-0.3413=0.1587.
2. Определим частоту отказа f(t) (2.18):
.
Введем обозначение
.
Тогда
f(t)= ϕ (U)/ σ ; U=(t-m)/ σ
;
f(1000)= ϕ (1)/2000=0.242/2000=12.110-5 1/час.
3. Рассчитаем интенсивность отказов λ (t)
20
λ (t)=f(t)/p(t);
λ (10000)=f(10000)/p(10000)=12.110-5 /0.1587=76.410-5 1/час.
4. Среднее время безотказной работы элемента
T1 = 8000 час.
Пример 2.3.
В результате анализа данных об отказах аппаратуры частота отказов получена в
виде
.
Требуется определить количественные характеристики надежности: p(t), λ (t), T1.
Решение. 1. Определим вероятность безотказной работы. На основании формулы
(2.1) имеем
Вычислим сумму С1+ С2. Так как
, то
.
Тогда
2. Найдем зависимость интенсивности отказов от времени по
формуле
21
.
3. Определим среднее время безотказной работы аппаратуры. На основании
формулы (2.5) будем иметь T1=
Пример 2.4.
Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения Релея.
Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия
p(t),f(t), λ (t), T1 для t=1000час, если параметр распределения σ =1000 час.
Решение. Воспользуйтесь формулами (2.26), (2.23), (2.24), (2.25) для p(t),f(t),
T1, λ (t).
Пример 2.5.
Время безотказной работы изделия подчиняется закону Вейбулла с параметрами
α =1.5; λ 0 =10-4 1/час, а время работы изделия t=100 час. Требуется вычислить
количественные характеристики надежности изделия p(t),f(t), λ (t), T1 .
Решение: Воспользуйтесь формулами (2.21), (2.28), (2.29), (2.30).
22
2.3. Задачи для самостоятельного решения.
Задача 2.1.
Вероятность безотказной работы автоматической линии изготовления цилиндров
автомобильного двигателя в течении 120 час равна 0.9. Предполагается, что
справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется рассчитать
интенсивность отказов и частоту отказов линии для момента времени t =120 час.,
а также среднее время безотказной работы.
Задача 2.2.
Среднее время безотказной работы автоматической системы управления равно
640 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности.
Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение 120 час.,
частоту отказов для момента времени t=120 час и интенсивность отказов.
Задача 2.3.
Время работы изделия подчинено нормальному закону с параметрами
m = 8000 час., σ =1000 час. Требуется вычислить количественные характеристики
надежности p(t) , f(t) , λ (t) , T1 для t=8000 час.
Задача 2.4.
Время безотказной работы прибора подчинено закону Релея с параметром σ =
1860 час. Требуется вычислить Р(t), f(t), λ (t) для t = 1000 час и среднее время
безотказной работы прибора.
Задача 2.5.
Время исправной работы скоростных шарикоподшипников подчинено закону
Вейбулла с параметрами к=2,6 ; а= 1,65*10-7 1/час.
Требуется вычислить количественные характеристики надежности Р(t), f(t), λ (t)
для t=150 час. и среднее время безотказной работы шарикоподшипников.
23
Задача 2.6.
Вероятность безотказной работы изделия в течение t=1000 час. Р(1000)=0,95.
Время исправной работы подчинено закону Релея. Требуется определить
количественные характеристики надежности f(t), λ (t), T1.
Задача 2.7.
Среднее время исправной работы изделия равно 1260 час. Время исправной
работы подчинено закону Релея. Необходимо найти его количественные
характеристики надежности P(t), f(t), λ (t) для t=1000 час.
Задача 2.8. В результате анализа данных об отказах изделия установлено, что
частота отказов имеет вид f(t)=2e-t (1-e-t ) . Необходимо найти количественные
характеристики надежности P(t), λ(t), T1.
Задача 2.9. В результате анализа данных об отказах изделий установлено, что
вероятность безотказной работы выражается формулой P(t)=3e-t-3e-2t+e-3t.
Требуется найти количественные характеристики надежности P(t), λ(t), T1.
Задача 2.10. Определить вероятность безотказной работы и интенсивность отказов
прибора при t = 1300 часов работы, если при испытаниях получено значение
среднего времени безотказной работы T1=1500 час. Справедлив
экспоненциальный закон.
24
3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
В СИСТЕМУ
3.1. Теоретические сведения
Соединение элементов называется последовательным, если отказ хотя бы
одного элемента приводит к отказу всей системы. Система последовательно
соединенных элементов работоспособна тогда, когда работоспособны все ее
элементы.
Вероятность безотказной работы системы за время t определяется формулой
n
Pc(t) =P1(t)*P2(t)...Pn(t)= ∏ Pi (t )
(3.1)
i =1
где Рi(t) - вероятность безотказной работы i-го элемента за время t.
Если Рi (t) =Р(t), то
Pc(t)=Pn(t). (3.2)
Выразим Рс(t) через интенсивность отказов λ i(t) элементов системы.
Имеем:
(3. 3)
или
(3.4)
25
где
(3.5)
Здесь i(t) - интенсивность отказов i-го элемента; с(t) - интенсивность отказов
системы.
Вероятность отказа системы на интервале времени (0, t ) равна
(3.6)
Частота отказов системы fc(t) определяется соотношением
(3.7)
Интенсивность отказов системы
(3.8)
Среднее время безотказной работы системы:
(3. 9)
В случае экспоненциального закона надежности всех элементов системы имеем
. (3.10)
26
; (3.11)
; (3.12)
; (3.13)
; (3.14)
; (3.15)
; (3.16)
, (3.17)
где mti - среднее время безотказной работы i - го элемента.
При расчете надежности систем часто приходится перемножать вероятности
безотказной работы отдельных элементов расчета, возводить их в степень и
извлекать корни. При значениях Р(t), близких к единице, эти вычисления можно с
достаточной для практики точностью выполнять по следующим приближенным
формулам:
27
(3.18)
где qi (t) - вероятность отказа i - го элемента.
3.2. Решение типовых задач.
Пример 3.1.
Система состоит из трех устройств. Интенсивность отказов электронного
устройства равна λ 1=0,16*10-3 1/час = const. Интенсивности отказов двух
электромеханических устройств линейно зависят от времени и определяются
следующими формулами
λ 2=0,23*10-4t 1/час, λ 3=0,06*10-6t2,6 1/час.
Необходимо рассчитать вероятность безотказной работы изделия в течение 100
час.
Решение. На основании формулы (3.3) имеем
Для t=100 час
.
28
Пример 3.2.
Система состоит из трех блоков, среднее время безотказной работы которых
равно : mt1=160 час; mt2 =320 час; mt3 = 600 час.
Для блоков справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется
определить среднее время безотказной работы системы.
Решение. Воспользовавшись формулой (3.17) получим
Здесь λ i - интенсивность отказов i -го блока. На основании формулы (3.11) имеем
1/час .
Здесь λ c - интенсивность отказов системы.
На основании формулы (3.16) получим:
час .
Пример 3.3.
Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых
-6
λ ср=0,32*10 1/час. Требуется определить Pc(t), qc(t), fc(t), mtc, для t=50 час.
Здесь Pc(t) - вероятность безотказной работы системы в течение времени t ;
qc(t) - вероятность отказа системы в течение времени t ;
29
fc(t) - частота отказов или плотность вероятности времени T безотказной работы
системы;
Т1с - среднее время безотказной работы системы.
Решение. Интенсивность отказов системы по формуле (3.11) будет
λ с = λ ср*n = 0,32*10-6*12600 = 4,032*10-3 1/час .
Из (3.13) имеем
Рс(t) = e -λc t ; Рс(50) = e-4,032*0,001*50 =0,82 .
Из (3.15) получим
qc(t)= 1- Pc(t); qc(50)=1-Pc(50) = 0,18 .
Из (3.14) имеем
fc(t) = λ ce -λc t = λ cPc(t); fc(50) = 4,032*10-3*0,82 = 3,28*10-3 1/час.
Из (3.16) получим
mtс=1/ λ c=1/4,032*10-3250 час.
Пример 3.4.
Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из
них в течение времени t = 100 час равны: Р1(100) = 0,95; Р2(100) = 0,97.
Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти среднее
время безотказной работы системы.
Решение. Найдем вероятность безотказной работы изделия:
Рс(100)=Р1(100)*Р2(100)=0,95*0,97=0,92 .
30
Найдем интенсивность отказов изделия, воспользовавшись формулой
Рс(t)=e- λc t
или
Рс(100)=0,92=e- λc 100 .
Имеем
λ с=0,83*10-3 1/час .
Тогда
mtс=1/ λ c=1/(0,83*10-3)=1200 час.
Пример 3.5.
Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t равна P(t) =
0,9997. Требуется определить вероятность безотказной работы системы,
состоящей из n = 100 таких же элементов.
Решение. Вероятность безотказной работы системы равна Рc(t)= Pn(t)=(0,9997)100.
Вероятность Рc(t) близка к единице, поэтому для ее вычисления воспользуемся
формулой (3.18). В нашем случае q(t)=1-P(t)=1-0,9997=0,0003.
Тогда Рc(t) 1-nq(t)=1-100*0,0003=0,97.
Пример З.6.
Вероятность безотказной работы системы в течение времени t равна Рc(t)=0,95.
Система состоит из n= 120 равнонадежных элементов. Необходимо найти
вероятность безотказной работы элемента.
31
Решение. Очевидно, что вероятность безотказной работы элемента будет
Так как Р(t) близка к единице, то вычисления Р(t) удобно выполнить по формуле
(3.18).
В нашем случае qc(t)=1- Рc(t)=1-0,95=0,05.
Тогда
Пример 3.7.
Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых λ ср
=0,32*10-6 1/час.
Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t = 50 час.
Решение. Интенсивность отказов системы по формуле (З.11) будет
λ с= λ ср*n=0,32*10-6*12600=4,032*10-3 1/час.
Тогда на основании (З.13)
Рc(t)= е- λc t
или
Рc(50)= е-4,032*0,001*50= 0,82.
32
3.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 3.1.
Аппаратура связи состоит из 2000 элементов, средняя интенсивность отказов
которых λ ср= 0,33 * 10-5 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной
работы аппаратуры в течении t = 200 час и среднее время безотказной работы
аппаратуры.
Задача 3.2.
Невосстанавливаемая в процессе работы электронная машина состоит из 200000
элементов, средняя интенсивность отказов которых λ ср=0,2 * 10-6 1/час .
Требуется определить вероятность безотказной работы электронной машины в
течении t = 24 часа и среднее время безотказной работы электронной машины.
Задача 3.3.
Система управления состоит из 6000 элементов, средняя интенсивность отказов
которых λ ср. = 0,16*10-6 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной
работы в течении t = 50 час и среднее время безотказной работы.
Задача 3.4.
Прибор состоит из n = 5 узлов. Надежность узлов характеризуется вероятностью
безотказной работы в течение времени t , которая равна: P1(t)=0,98; P2(t)=0,99;
P3(t)=0,998; P4(t)=0,975; P5(t)=0,985. Необходимо определить вероятность
безотказной работы прибора.
Задача 3.5.
Система состоит из пяти приборов, среднее время безотказной работы которых
равно: T11=83 час; T12=220 час; T13=280 час; T14=400 час;
T15=700 час. Для приборов справедлив экспоненциальный закон надежности.
Требуется найти среднее время безотказной работы системы.
33
Задача З.6.
Прибор состоит из пяти блоков. Вероятность безотказной работы каждого блока в
течение времени t = 50 час равна: P1(50)=0,98; P2(50)=0,99; P3(50)=0,998;
P4(50)=0,975; P5(50)=0,985. Справедлив экспоненциальный закон надежности.
Требуется найти среднее время безотказной работы прибора.
Задача 3.7.
Система состоит из 11000 элементов, средняя интенсивность отказов которых λ ср
=0,21*10-5 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы в
течение t = 150 час.
Задача З.8.
Вероятность безотказной работы системы в течение времени t равна Рc(t)=0,7.
Система состоит из n= 80 равнонадежных элементов. Необходимо найти
вероятность безотказной работы элемента.
Задача 3.9.
Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t равна P(t) =
0,85. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей
из n = 50 таких же элементов.
Задача 3.10.
Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из
них в течение времени t = 200 час равны: Р1(100) = 0,85; Р2(100) = 0,72.
Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти среднее
время безотказной работы системы.
34
МОДУЛЬ 2
4. РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМ
РЕЗЕРВИРОВАНИЕМ
4.1. Теоретические сведения
При постоянном резервировании резервные элементы 1,2,.... соединены
параллельно с основным (рабочим) элементом в течение всего периода работы
системы. Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах не
происходит, отказавший элемент не отключается.
Вероятность отказа системы qc(t) определяется формулой
(4.1)
где qj(t) - вероятность отказа j - го элемента.
Вероятность безотказной работы системы
(4.2)
где Рj(t) - вероятность безотказной работы j - го элемента.
Если Рj(t) =Р(t), j = 0, 1, . . . , m , то
(4.3)
При экспоненциальном законе надежности отдельных элементов имеем
35
(4.4)
Резервирование называется общим, если резервируется вся система, состоящая из
последовательного соединения n элементов. Схема общего резервирования
показана на рис.4.2. Основная цепь содержит n элементов. Число резервных цепей
равно m, т. е. кратность резервирования равна m.
Определим количественные характеристики надежности системы с общим
резервированием (резервные цепи включены постоянно).
Запишем вероятность безотказной работы j - ой цепи
(4.5)
где Рij(t), j=0,1,2,...m; i=1,2,3,...,n - вероятность безотказной работы элемента Эij.
Вероятность отказа j - ой цепи
. (4.6)
Вероятность отказа системы с общим резервированием
. (4.7)
Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием
36
. (4.8)
Частный случай: основная и резервные цепи имеют одинаковую надежность, т.е.
Рij(t)=Pi(t) . (4.9)
Тогда
(4.10)
(4.11)
Рассмотрим экспоненциальный закон надежности, т. е.
Pi(t)=e- λi t . (4.12)
В этом случае формулы (4.10), (4.11) примут вид
qc(t)=(1-e-0t)m+1, (4.13)
Pc(t)=1-(1-e-0t)m+1, (4.14)
, (4.15)
где λ 0 - интенсивность отказов цепи, состоящей из n элементов.
Частота отказов системы с о6щим резервированием
37
. (4.16)
Интенсивность отказов системы с общим резервированием
(4.17)
Среднее время безотказной работы резервированной системы
, (4.18)
где Т0 = 1/λ0 - среднее время безотказной работы нерезервированной системы.
4.2. Решение типовых задач
Пример 4.1.
Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной
работы элемента mt = 1000 час. Предполагается, что справедлив
экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и
резервная системы равнонадежны. Необходимо найти среднее время безотказной
работы системы mtc, а также частоту отказов fc(t) и интенсивность отказов λ с(t) в
момент времени t = 50 час в следующих случаях:
а) нерезервированной системы,
б) дублированной системы при постоянно включенном резерве.
38
Решение.
а)
,
где λ с - интенсивность отказов системы; λ i - интенсивность отказов i - го
элемента ; n = 10.
λ i=1/mti = 1/1000=0,001; i = 1,2, . . .,n ;
λ c=n=0,001*10=0,01 1/час;
mtc=1/ λ c=100 час;
fc(t)= λ c(t) Pc(t);
λ c(50)= λ c; Pc(t)=e-λc t;
fc(50)= λ ce-λc t =0,01*e-0,01*506*10-3 1/час;
λ c(50)=0,01 1/час.
б)
час ;
; m=1 ;
; λ 0 = λ c =0.01 1/час ;
;
;
;
39
fc(50)=4.810-3 1/час ; λ c(50)=5.710-3 1/час.
Пример 4.2.
В системе телеуправления применено дублирование канала управления.
Интенсивность отказов канала =10-2 1/час. Рассчитать вероятность безотказной
работы системы Рс(t) при t=10 час, среднее время безотказной работы mtc, частоту
отказов fc(t), интенсивность отказов λ с(t) системы.
Решение. В данном случае n=1; m=1. По формуле (4.14) имеем
Рс(t)=1-(1-e-λt)2;
Рс(10)=1-(1-e-0,1)2 .
Из приложения П.7.14 [1] получим
e-0,1=0,9048 .
Тогда
Рc(10)=1-(1-0,9048)2 =1-0,0952=0,99 .
Определим mtс. Из формулы (4.4) имеем
час .
Определим частоту отказов fc(t). Получим
Определим интенсивность отказов с(t). Имеем
40
Пример 4.З.
Нерезервированная система управления состоит из n = 5000 элементов. Для
повышения надежности системы предполагается провести общее дублирование
элементов. Чтобы приближенно оценить возможность достижения заданной
вероятности безотказной работы системы Рс(t) = 0,9 при t =10 час., необходимо
рассчитать среднюю интенсивность отказов одного элемента при предположении
отсутствия последействия отказов.
Решение. Вероятность безотказной работы системы при общем дублировании и
равнонадежных элементах равна
Pc(t)=1-(1-e-nt)2
или
Pc(t)=1-[1-Pn(t)]2,
где
P(t)=e- λ t .
Здесь Р(t) - вероятность безотказной работы одного элемента.
Так как должно быть
1-[1-Pn(t)]2=0,9,
то
.
Разложив
по степени 1/n в ряд и пренебрегая членами ряда высшего
порядка малости, получим
41
Учитывая, что P(t)= ехр (-λ t) , получим
P(t)=6,32*10-5
или
(6,32*10-5)/t=(6,32*10-5)/10=6,32*10-6 1/час.
4.3. Задачи для самостоятельного решения
3адача 4.1.
Приемник состоит из трех. блоков: УВЧ, УПЧ и УНЧ. Интенсивности отказов
этих блоков соответственно равны: λ 1= 4*10-4 1/час; λ 2= 2,5*10-4 1/час;
λ 3= 3*10-4 1/час. Требуется рассчитать вероятность безотказной работы
приемника при t=100 час для следующих случаев: а) резерв отсутствует; б)
имеется общее дублирование приемника в целом.
Задача 4.2.
В радиопередатчике, состоящем из трех равнонадежных каскадов ( n = 3)
применено общее постоянное дублирование всего радиопередатчика.
Интенсивность отказов каскада равна λ =5*10-4 1/час. Определить Pc(t), T1c, fc(t),
λc(t) радиопередатчика с дублированием.
Задача 4.3.
Радиоэлектронная аппаратура состоит из трех блоков I,II,III . Интенсивности
отказов этих трех блоков соответственно равны: λ 1, λ 2, λ 3. Требуется определить
вероятность безотказной работы аппаратуры Pc(t) для следующих случаев: а)
резерв отсутствует; б) имеется дублирование радиоэлектронной аппаратуры в
целом.
42
Задача 4.4.
В телевизионном канале связи, состоящем из приемника и передатчика,
применено общее дублирование. Передатчик и приемник имеют интенсивности
отказов λ п=2*10-3 1/час, λ пр=1*10-3 1/час, соответственно. Схема канала
представлена на рис. 1. Требуется определить вероятность безотказной работы
канала Рc(t), среднее время безотказной работы Т1с, частоту отказов fc(t),
интенсивность отказов λ с(t).
п1
пр
п2
пр
Рисунок 1
Задача 4.5.
Нерезервированная система управления состоит из n = 3000 элементов. Известна
требуемая вероятность безотказной работы системы Рс(t) = 0,8 при t = 200 час.
Необходимо рассчитать допустимую среднюю интенсивность отказов одного
элемента, считая элементы равнонадежными, для того чтобы приближенно
оценить достижение заданной вероятности безотказной работы при отсутствии
профилактических осмотров в следующих случаях: а) резервирование
отсутствует; б) применено общее ду6лирование.
Задача 4.6.
ИС состоит из двух блоков, соединенных последовательно и характеризующихся
соответственно интенсивностями отказов λ 1=120,54*10-6 1/час и λ 2=185,66*10-6
1/час. Выполнено общее резервирование с неизменной нагрузкой всей системы
(блока 1 и 2). Требуется определить вероятность безотказной работы Рс (t) ИС,
среднее время безотказной работы Т1с, частоту отказов fc(t) и интенсивность
отказов λ с(t) ИС. Определить Рс(t) при t = 20 час.
43
5. ВЫПОЛНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ И АНАЛИТИЧЕСКИХ
РАСЧЕТОВ В СИСТЕМЕ MAPLE
Лабораторная работа № 1
Цель работы: изучить возможности системы Maple для решения математических
задач теории надежности.
Форма отчета: отчет в письменной форме должен содержать тему лабораторной
работы, ее цель, формулировки заданий, текст файла Maple с промежуточными
выкладками, полученными результатами и соответствующими комментариями.
Результаты расчетов оформить в виде таблицы.
Задание 5.1.
Вычислить пределы (таблица 3):
Таблица 3
Задание
Вариант
1
9
x+3−2
lim
x →1 x 2
2
Вариант
− 4x + 3
 2x + 1 
lim 

x → ∞ 2 x − 1 
3
10
x
lim
11

5
lim
12
2− x−3
x →7
x 2 − 49
x2 + 2x
x +1 − 2
13
− 4x2 + x − 6
44
− 4x + 3
 x + 2
lim 

x → ∞ x − 2 
lim
x →0
2 x3 + 3x + 2
x →∞ 7 x3
lim
1− 1− x
x →3 x 2
x → ∞ 4 x − 3 
4
lim
x →0
x
 4x + 3  2
lim 
Задание
x
x+4 −2
x+9 −3
e x − e− x
lim
x
x →0
Продолжение таблицы 3
6
lim
2x + 3
lim
x →∞
49 − x 2
x →7 1 − 8 − x
lim
x2 + 1
x →∞
7
14
x3 + 2 x − 5
15
 3x − 4 
lim 

x → ∞ 3 x + 4 
16
e2x − 1
x
x →0
7 x 6 − 8x 2 + 3
8
lim
x3 + 8
x → −2 x 2
x
lim
− x−6
Методические указания.
Задачи, решаемые при расчете надежности информационных систем, в
конечном счете сводятся к решению определенного набора математических задач:
вычислению пределов, вычислению интегралов, решению систем линейных
уравнений, решению систем дифференциальных уравнений первого порядка.
Часть задач решается аналитически, остальные могут быть решены с помощью
различных численных методов. Система вычислений Maple предоставляет, в этой
связи, весьма широкие возможности. Maple – интегрированная система, она
позволяет выполнять как численные, так и аналитические математические
расчеты,
имеет
удобный
интерфейс
и
обеспечивает
высокую
степень
визуализации как исходных данных, так и результатов вычислений. Благодаря
вышеперечисленным особенностям система Maple является одним из наиболее
популярных программных продуктов подобного класса.
Для вычисления предела функции f в точке x=a используются функции:
limit(f,x=a); и Limit(f,x=a); при x → ∞ следует воспользоваться константой
infinity. Например:
> Limit(sin(x)/x,x=0)=limit(sin(x)/x,x=0);
lim
x→ 0
sin( x )
=1
x
> Limit(1-exp(-x),x=infinity)=limit(1-exp(-x),x=infinity);
45
lim 1 − e
( −x )
=1
x→ ∞
Задание 5.2.
Для заданного определенного интеграла найти первообразную, построить график
подынтегральной функции в области интегрирования, вычислить значение
интеграла (таблица 4):
Таблица 4
Задание
Вариант
Задание
1 2 x
x e dx
0
9
2 3
x ln( x + 1)dx
0
π / 2 3x
e sin 4 xdx
0
10
π 3
x sin( x / 2) dx
0
11
∫0arcsin xdx
2 2
x ln( x + 1) dx
1
12
1 2
x arc ctg xdx
0
e 2
x ln xdx
0
13
Вариант
1
2
3
4
∫
∫
∫
∫
5
∫
6
1
∫0
14
7
1
15
8
arccos xdx
∫0
x arctg xdx
π/4 x
e cos 4 xdx
0
∫
∫
e
∫0 x ln(2 x)dx
1
∫
1
∫0 xe
−2x
dx
π/ 2 −x
e sin 2 xdx
0
∫
π 2
x cos( x / 2)dx
o
∫
16
π / 4 2x
e sin 3 xdx
0
∫
Методические указания.
Для вычисления неопределенных и определенных интегралов следует
воспользоваться функциями:
int(f,x); int(f,x=a..b); Int(f,x); Int(f,x=a..b); где f – подынтегральная функция, x
– переменная интегрирования, a и b – нижний и верхний предел интегрирования.
46
Для построения графика функции f(x) используется функция plot:
plot(f(x), x=a..b); plot(f(x), x=a..b, color=red); выражение x=a..b задает переменную,
по которой строится график и область ее значений. Примеры некоторых
стандартных функций Maple: arctg – arctan, arcctg – arccot.
Задание 5.3.
Найти решение системы линейных алгебраических уравнений, при заданных
значениях параметров a и b (таблица 5):
 a11 x + a12 y + a13 z = b1 ,

a21 x + a22 y + a23 z = b2 ,
a x + a y + a z = b .
32
33
3
 31
Таблица 5
a11
a12
a13
a21
a22
a23
1
2a
b
0
a
a+b
b
0
a
b
0
0
1
0,01 0,2
2
b
2a
b
0
a
a+b
b
0
a
1
0
0
0,02 0,1
3
0
a
a+b
b
0
a
2a
b
0
0
1
0
0,05 0,4
4
a
b
0
a
a+b
b
a
0
b
0
1
0
0,03 0,2
5
0
a
a+b
b
0
a
b
2a
b
1
0
0
0,01 0,2
6
a
a+b
b
0
a
b
2a
b
0
0
1
1
0,02 0,1
7
b
2a
b
0
a
a+b
b
0
a
0
1
0
0,05 0,4
8
0
a
a+b
b
0
a
2a
b
0
1
0
1
0,03 0,2
9
a
b
0
a
a+b
b
a
0
b
0
0
1
0,01 0,2
10
0
a
a+b
b
0
a
b
2a
b
0
1
0
0,02 0,1
11
a
a+b
b
0
a
b
2a
b
0
0
0
1
0,05 0,4
12
2a
b
0
a
a+b
b
0
a
b
0
0
1
0,03 0,2
13
b
2a
b
0
a
a+b
b
0
a
1
0
0
0,01 0,2
14
0
a
a+b
b
0
a
2a
b
0
0
1
0
0,02 0,1
15
a
b
0
a
a+b
b
a
0
b
0
0
1
0,05 0,4
16
0
a
a+b
b
0
a
b
2a
b
1
0
0
0,03 0,2
Вариант
a31 a32 a33 b1 b2 b3
47
a
b
Методические указания.
Для решения систем линейных уравнений используются функции пакета
решения задач линейной алгебры linalg. Состав пакета можно выяснить с
помощью команды with(linalg); . Для задания векторов и матриц используются
функции: vector(n,list); - создание вектора с n элементами, заданными в списке list,
matrix(n,m,list); - создание матрицы c числом строк n и столбцов m с элементами,
заданными списком list. Для решения системы используется функция linsolv(A,B);
, где A – матрица системы, B – вектор-столбец свободных элементов. Например:
> A:=matrix(2,2,[a,b,c,d]);
a
A := 
c
b

d 
> B:=vector(2,[a,b]);
B := [ a, b ]
> x:=linsolve(A,B);
 a d − b2 a ( −c + b ) 

x := 
,
 −c b + a d −c b + a d 
Задание 5.4.
Найти аналитическое и численое решение системы дифференциальных уравнений
первого порядка
 x& = a11 x + a12 y + a13 z ,

 y& = a21 x + a22 y + a23 z ,
 z& = a x + a y + a z.
31
32
33

с начальными условиями x (0) = 1, y (0) = 0, z (0) = 0 . Построить графики решений.
Значения коэффициентов aij , a и b следует взять из задания 3.
48
Методические указания.
При решении систем дифференциальных уравнений используют функции
diff(y(x),x),
где
dsolv({ODE,ICs},{funcs},ext_arg),
ODE
система
–
дифференциальных уравнений, ICs – начальные условия, funcs – множество
неопределенных функций, ext_arg – параметр, задающий тип решения (exact –
аналитическое, по умолчанию, numeric - численное). Например:
> sys:=diff(x(t),t)=-y(t),diff(y(t),t)=-2*x(t)-y(t);
fcns:={x(t),y(t)};
z:=dsolve({sys,x(0)=0,y(0)=1},fcns);
sys :=
∂
∂
x( t ) = −y( t ), y( t ) = −2 x( t ) − y( t )
∂t
∂t
fcns := { x( t ), y( t ) }
1
1 ( −2 t )
1
2 ( −2 t )
z := { x( t ) = − e t + e
, y( t ) = e t + e
}
3
3
3
3
Можно
явно
указать
используемые
методы
аналитического
решения:
z:=dsolve({sys,x(0)=1,y(0)=0},fcns,method=laplace);,
z:=dsolve({sys,x(0)=1,y(0)=0},fcns,series);
–
преобразование Лапласа и разложение в ряд. Вариант численного
решения:
z:=dsolve({sys,x(0)=0,y(0)=1},
fcns,
numeric,
output=listprocedure); , параметр output – определяет вид
выходных данных. Для построения графиков численного решения можно
воспользоваться функцией plots[odeplot], аналитического – функциями plot и subs:
plot(subs(z,x(t)),t=a..b). Функция subs выделяет отдельные решения
x и у из z.
При
решении
задачи,
могут
быть
полезны
z:=evalf(dsolve({sys,x(0)=1,y(0)=0},
оценивающая
значение
выражения,
fcns,
и
команда
отменяющая присваивания значений всех переменных.
49
функция
evalf:
laplace));,
restart,
Как правило, для системы трех уравнений в Maple всегда можно найти
аналитическое решение. Для четырех и пяти уравнений, аналитическое решение
иногда получить не удается. В этом случае следует найти численное решение
системы.
Контрольные вопросы.
1. Как найти предел функции?
2. Как вычислить первообразную?
3. Как найти значение определенного интеграла?
4. Как построить график функции?
5. Как найти аналитическое решение системы линейных алгебраических
уравнений?
6. Как
решить
систему
дифференциальных
уравнений
первого
порядка
аналитически, численно?
7. Как построить графики численного решения системы дифференциальных
уравнений первого порядка?
50
6. РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ
СИСТЕМ
Лабораторная работа № 2
Цель работы: Научиться выполнению расчетов надежности систем с
невосстанавливаемыми элементами.
Форма отчета: отчет в письменной форме.
Задание 6.1.
В результате анализа данных об отказах аппаратуры частота отказов получена в
виде
α
f (t ) = aλ1e − λ1t + bαλ 2t α −1e − λ 2 t .
Определить
количественные
характеристики надежности: вероятность безотказной работы P(t), вероятность
отказа Q(t), интенсивность отказов λ (t ) , среднюю наработку до отказа T1,
дисперсию наработки до отказа DT, среднее квадратичное отклонение σT .
Построить графики распределения P(t), Q(t), λ (t ) (таблица 6).
Таблица 6
Вариант
λ1
λ2
α
a
b
Вариант
λ1
λ2
α
a
b
1
0,01 0,03
0,2
0
1
9
0,02 0,02 0,3
1
1
2
0,02 0,02
0,3
1
0
10
0,01 0,03 0,2
0,2
0,4
3
0,04 0,01
0,1
1
1
11
0,02 0,02 0,3
2
1
4
0,01 0,03
0,2
1
0
12
0,04 0,01 0,1
0,5
1
5
0,04 0,01
0,1
2
1
13
0,03 0,05 0,8
1
1
6
0,02 0,02
0,3
0
1
14
0,01 0,03 0,2
0,6
0,3
7
0,01 0,03
0,2
0,5
0,5
15
0,04 0,01 0,1
1
3
8
0,04 0,01
0,1
1
0,5
16
0,02 0,02 0,3
1
2
51
Методические указания.
Количественные характеристики надежности определяются по следующим
формулам:
t
t
∫
∫ f (t )dt,
0
0
P(t ) = exp(− λ(t )dt ) = 1 −
Q (t ) = 1 − P(t ),
∞
dQ(t )
dP(t )
f (t )
f (t ) =
=−
, λ(t ) =
, T1 = P(t )dt ,
dt
dt
P(t )
∫
0
∞
∫
DT = t 2 f (t )dt − T12 , σT = DT .
0
Задание 6.2.
Система состоит из трех последовательно соединенных блоков. Интенсивность
отказов первого блока равна λ1 = a * 10 − 3 1/час. Интенсивности отказов двух
остальных
блоков
зависят
от
времени
и
определяются
формулами
λ 2 = b * 10 − 4 t α 1/час, λ 3 = c * 10 − 4 t β 1/час. Рассчитать вероятность безотказной
работы системы в течение t = ~
t час (таблица 7).
Таблица 7
a
b
c
α
β
~
t
№
2,6 100
9
c
α
β
~
t
0,02 0,22
0,3
1
1
120
a
b
№
1
0,21 0,13
0,2
1
2
0,32 0,12
0,3
1
3
200
10
0,21 0,03
0,2
3
0,74 0,01
0,1
1,2
1
150
11
0,02 0,22
0,3
4
0,11 0,23
0,2
1
2,4 120
12
0,14 0,31 0,14 3,5
5
0,04 0,11
0,1
2
140
13
0,03 0,65 0,82 1,2 3,1 300
6
0,42 0,02 0,32 2,2 1,3 300
14
0,31 0,03
0,2
7
0,21 0,13
0,2
15
0,54 0,31
0,1
1
3
100
8
0,14 0,01
0,1
16
0,12 0,22
0,3
1,5
2
200
1
0,5 0,5 250
1
0,5 200
52
1,2 2,4 150
2
1
120
1
140
2,6 4,3 250
Методические указания.
Соединение элементов называется последовательным, если отказ хотя бы
одного элемента приводит к отказу всей системы. Система последовательно
соединенных элементов работоспособна тогда, когда работоспособны все ее
элементы. Вероятность безотказной работы Pc(t) и интенсивность отказов λ c (t )
системы состоящей из n элементов за время t определяются формулами
n t
n
Pc (t ) =
n
∏ Pi (t ) = exp(−∑ ∫ λi (t )dt ),
λ c (t ) =
i =1 0
i =1
∑ λ i (t ),
i =1
где λ i (t ) - интенсивности отказов элементов системы.
Задание 6.3.
Система состоит из n равнонадежных элементов, среднее время безотказной
~
работы элемента T1 = T час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный
закон надежности для элементов системы, и основная и резервная системы
равнонадежны. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы
T1c, а также частоту отказов fc(t) и интенсивность отказов λ c (t ) в момент времени
t=~
t час в следующих случаях: а) нерезервированной системы, б) дублированной
системы при постоянно включенном резерве (таблица 8).
Таблица 8
n
~
T
~
t
№
n
~
T
~
t
№
n
~
T
~
t
1
10
1000
40
7
15
500
20
13
18
2000
40
2
12
800
30
8
16
600
30
14
14
700
30
3
8
1200
20
9
7
400
120
15
17
1500
80
4
11
900
30
10
9
700
40
16
20
1800
140
5
16
500
10
11
14
1100
60
6
17
600
20
12
11
1400
90
№
53
Методические указания.
При постоянном резервировании резервные элементы 1,2,...,m соединены
параллельно с основным (рабочим) элементом в течение всего периода работы
системы. Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах не
происходит, отказавший элемент не отключается. Вероятность отказа системы
определяется формулой
m
Qc (t ) =
∏ Q j (t ) ,
j =0
где Q j (t ) – вероятность отказа j - го элемента, m – кратность резервирования.
Резервирование называется общим, если резервируется вся система,
состоящая из последовательного соединения n элементов. Пусть кратность
резервирования равна m, тогда вероятность безотказной работы j - ой цепи
n
Pj (t ) =
∏ Pij (t ), j = 0,1,..., m ,
i =1
где Pij (t ) - вероятность безотказной работы i-го элемента j-й резервной системы.
Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием

Pc (t ) = 1 −
1 −
j = 0 
m
∏

Pij (t ) .

i =1
n
∏
При экспоненциальном законе, характеристики надежности элемента
системы определяются соотношениями
P(t ) = e − λt ,
f (t ) = λe − λt , λ(t ) = λ = const , T1 =
54
1
.
λ
Задание 6.4.
Электроснабжение
информационной
системы
обеспечивается
n
блоками
бесперебойного питания, номинальная мощность каждого из которых 350 вт.
Безаварийная работа системы еще возможна, если система электроснабжения
может обеспечивать потребителя мощностью 600 вт. Определить вероятность
безотказной работы системы энергоснабжения Pc(t) в течение времени t = 6 час,
среднее время безотказной работы T1c, частоту отказов fc(t), интенсивность
отказов λ c (t ) системы энергоснабжения, если интенсивность отказов каждого из
генераторов a ⋅ 10 − 3 1/час. Построить графики распределений Pc(t), fc(t), λ c (t )
(таблица 9).
Таблица 9
Вариант 1 2
3
4
5
6
7
8
9 10
11
12
13
14 15 16
5
5
4
3
4
5
4
5
3
4
5
n
4 3
4
a
4 2 1,5 3 2,1 1 1,2 1,4 2 2,2 3,4 2,8 2,6 1,6
3
4
3
1,4
Методические указания.
В данном случае используется общее резервирование с дробной кратностью
и постоянно включенным резервом. Кратность резервирования такой системы
равна m =
l−h
, где l – общее число основных и резервных элементов, h – число
h
систем, необходимых для нормальной работы резервированной системы. При
условии, что основные и все резервные системы равнонадежны, вероятность
безотказной работы резервированной системы
l −h 
∑[
 i l −i
Pc (t ) =
 Cl P0 (t )
i =0 

i
]∑ [(−1) C
j
j
j =0
При экспоненциальном законе надежности
55
i

l!
P0j (t )  , где Cli =
.
i
!
(
l
−
i
)!

]
l −h
T1 =
1
1
.
λ0 i =0 h + i
∑
P0 (t ), λ 0 - вероятность безотказной работы и интенсивность отказов основной или
любой резервной системы.
Задание 6.5.
Электронная вычислительная машина состоит из n однотипных ячеек и
сконструирована так, что есть возможность заменить любую из отказавших ячеек.
В составе ЗИП имеется m0 ячеек, каждая из которых может заменить любую
отказавшую. Интенсивность отказа ячейки
λ = a * 10 − 6
1/час. Определить
вероятность безотказной работы ЭВМ Pc(t) , среднее время безотказной работы
T1c, частоту отказов fc(t), интенсивность отказов λ c (t ) . Построить графики
распределения Pc(t), λ c (t ) , fc(t). Под отказом будем понимать событие, когда ЭВМ
не может работать из-за отсутствия ЗИПа, т.е. когда весь ЗИП израсходован и
отказала еще одна ячейка памяти ЭВМ. Предполагается экспоненциальный закон
надежности (таблица 10).
Таблица 10
№
1
2
3
4
5
6
a
n
m0
№
0,12
0,22
0,34
0,14
0,11
0,36
1000
800
1024
900
4096
3072
4
3
2
3
6
5
7
8
9
10
11
12
a
n
0,54 500
0,23 600
0,42 400
0,37 700
0,44 2000
0,52 1500
m0
№
2
3
2
4
5
4
13
14
15
16
a
n
0,38 2024
0,26 700
0,15 612
0,18 300
m0
4
3
3
2
Методические указания.
Так как любая ячейка из состава ЗИПа может заменить любую отказавшую
ячейку ЭВМ, то имеет место “скользящее” резервирование. Вероятность
56
безотказной работы резервированной системы, при экспоненциальном законе
надежности, определяется соотношением
Pc (t ) = e
где
λ0 = λ ⋅ n
− λ 0t
m0
(λ 0 t ) i
,
i
!
i =0
∑
- интенсивность отказов нерезервированной системы,
λ-
интенсивность отказа элемента, n - число элементов основной системы; m0 - число
резервных элементов, находящихся в ненагруженном резерве. Кратность
резервирования: m = m0 / n . Среднее время безотказной работы резервированной
системы определяется формулой
T1 p = T10 (m0 + 1)
где T10 =
1
– среднее время безотказной работы нерезервированной системы.
λ0
Контрольные вопросы.
1. По
каким
формулам
определяются
количественные
характеристики
надежности при произвольном законе надежности?
2. Как вычисляется вероятность безотказной работы Pc(t) и интенсивность
отказов λ c (t ) системы при последовательном соединении элементов?
3. Как определяются вероятность безотказной работы и вероятность отказа при
постоянном резервировании, при общем резервировании?
4. По
каким
формулам
определяются
количественные
характеристики
надежности при экспоненциальном законе надежности?
5. Как определяется вероятность безотказной работы при общем резервировании
с дробной кратностью и постоянно включенным резервом?
6. Как определяется
вероятность
безотказной
работы
и
среднее
время
безотказной работы при экспоненциальном законе надежности и «скользящем»
резервировании?
57
7. РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ УСТРОЙСТВ
С УЧЕТОМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
Лабораторная работа № 3
Цель
работы:
научиться
выполнению
расчетов
надежности
систем
с
резервированными восстанавливаемыми элементами.
Форма отчета: отчет в письменной форме должен содержать тему лабораторной
работы, ее цель, формулировки заданий, графы состояний систем, составленные
системы уравнений, текст файла Maple с промежуточными выкладками,
полученными результатами и соответствующими комментариями. Результаты
расчетов оформить в виде таблицы.
Задание 7.1а
Вычислительная система состоит из трех однородных машин, интенсивность
отказа каждой из них λ , а интенсивность восстановления µ . Вычислительный
процесс в системе организован таким образом, что ее отказ наступает лишь при
отказе трех машин. При этом под отказом понимается такое событие, при
появлении которого задача не может быть решена за заданное время. Требуется:
определить
коэффициент
готовности
системы,
для
стационарного
и
нестационарного процессов, при следующих условиях:
Варианты:
1) Ремонт осуществляет одна бригада, все машины участвуют в вычислительном
процессе, λ = 10 − 2 ч −1 , µ = 0,5 ч −1 . Построить график функции готовности.
2) Ремонт осуществляют две бригады, все машины участвуют в вычислительном
процессе, λ = 2 ⋅ 10 − 2 ч −1 , µ = 0,4 ч −1 . Определить Tcp (t ) – среднюю наработка
между отказами на интервале t (построить график).
58
3) Ремонт осуществляют три бригады, все машины участвуют в вычислительном
процессе, λ = 5 ⋅ 10 − 3 ч −1 , µ = 0,8 ч −1 . Построить график функции простоя.
4) Ремонт осуществляет одна бригада, в вычислительном процессе участвуют
две машины, одна находится в ненагруженном резерве, λ = 6 ⋅ 10 − 3 ч −1 ,
µ = 0,6 ч −1 . Построить график функции готовности.
5) Ремонт осуществляет одна бригада, в вычислительном процессе участвует
одна машина, две находятся в ненагруженном резерве, λ = 2 ⋅ 10 − 3 ч −1 ,
µ = 0,3 ч −1 . Определить Tcp (t ) – среднюю наработка между отказами на
интервале t (построить график).
6) Ремонт осуществляют две бригады, в вычислительном процессе участвуют
две машины, одна находится в ненагруженном резерве, λ = 6 ⋅ 10 − 2 ч −1 ,
µ = 2 ч −1 . Построить график функции готовности.
7) Ремонт осуществляют две бригады, в вычислительном процессе участвует
одна машина, две находятся в ненагруженном резерве, λ = 4 ⋅ 10 − 3 ч −1 ,
µ = 0,9 ч −1 . Определить Tcp (t ) – среднюю наработка между отказами на
интервале t (построить график).
8) Ремонт осуществляют три бригады, в вычислительном процессе участвуют
две машины, одна находится в ненагруженном резерве, λ = 3 ⋅ 10 − 2 ч −1 ,
µ = 1ч −1 . Определить Tcp (t ) – среднюю наработка между отказами на
интервале t (построить график).
9) Ремонт осуществляют три бригады, в вычислительном процессе участвует
одна машина, две находятся в ненагруженном резерве, λ = 4 ⋅ 10 − 2 ч − 1 ,
µ = 0,2 ч −1 . Построить график функции простоя.
59
Задание 7.1б
Система включает два работающих последовательно соединенных блока и один
резервный блок. Даны: средняя наработка на отказ каждого работающего блока
Т1; среднее время восстановления одного блока ТВ. При неработоспособности
двух блоков системы третий блок выключается и в нем не могут происходить
отказы.
Требуется
определить
коэффициент
простоя
системы
КП,
для
стационарного и нестационарного процессов, при следующих условиях:
Варианты:
10) Резервный блок находится нагруженном резерве, систему обслуживает одна
бригада, Т1=200 ч, ТВ=2 ч. Построить график функции готовности.
11) Резервный блок находится ненагруженном резерве, систему обслуживает одна
бригада, Т1=400 ч, ТВ=3 ч. Определить Tcp (t ) – среднюю наработка между
отказами на интервале t (построить график).
12) Резервный блок находится нагруженном резерве, систему обслуживает две
бригады, Т1=250 ч, ТВ=1 ч. Определить Tcp (t ) – среднюю наработка между
отказами на интервале t (построить график).
13) Резервный блок находится ненагруженном резерве, систему обслуживает две
бригады, Т1=500 ч, ТВ=4 ч. Построить график функции готовности.
Задание 7.1в
Вычислительное
устройство
состоит из рабочего и резервного блоков.
Интенсивность отказов и восстановлений каждого блока равны λ и µ . При
одновременной неисправности обоих блоков устройство неработоспособно.
Определить коэффициент готовности КГ, для стационарного и нестационарного
процессов, при следующих условиях:
60
Варианты:
14) Резервный блок находится в нагруженном резерве, систему обслуживает одна
бригада, λ = 4 ⋅ 10 − 3 ч −1 , µ = 0,9 ч −1 . Построить график функции простоя.
15) Резервный блок находится в ненагруженном резерве, систему обслуживает
одна бригада, λ = 2 ⋅ 10 − 2 ч −1 , µ = 0,4 ч −1 . Определить Tcp (t ) – среднюю
наработка между отказами на интервале t (построить график).
16) Резервный блок находится в нагруженном резерве, систему обслуживает две
бригады, λ = 5 ⋅ 10 − 3 ч −1 , µ = 0,8 ч −1 . Построить график функции простоя.
Задание 7.2
Решить задачу, в соответствии с номером варианта.
Варианты:
1) Вычислительная
система
состоит
из
трех
однородных
ЭВМ
и
функционирует по принципу мажоритарной логики - две из трех.
Структурная схема вычислительной системы приведена на рис.2. Из
структурной схемы следует, что при отказе мажоритарного устройства (МУ)
вычислительная система не работает. Она не работает при отказе любой
одной ЭВМ и МУ или любых двух ЭВМ. Ремонт осуществляется одной
бригадой с прямым приоритетом. Прямой приоритет означает, что
обслуживается первым тот элемент, который раньше попал в ремонт. Если 2ой элемент отказал позднее 1-го элемента, то 2-ой элемент будет находиться
в очереди на ремонт. Требуется: определить P(t ) и T1 , построить график
P(t ) .
Интенсивности
отказов
и
восстановлений
ЭВМ
и
λ ЭВМ = 2 ⋅ 10 − 2 ч −1 , µ ЭВМ = 0,4 ч −1 , λ МУ = 5 ⋅ 10 − 3 ч −1 , µ МУ = 0,8 ч −1 .
61
МУ:
1
1.2
1.2V2.3V1.3
2
2.3
3
1.3
2) Условие задачи
МУ
Рисунок 2
совпадает с условием задачи 1). Отличие от задачи 1)
состоит в том, что ремонт осуществляется одной бригадой с обратным
приоритетом. Обратный приоритет означает, что обслуживается первым то
устройство, которое попало в ремонт последним. Определить те же
характеристики, что и в задаче 1). λ ЭВМ = 3 ⋅ 10 − 2 ч −1 , µ ЭВМ = 0,6 ч −1 ,
λ МУ = 3 ⋅ 10 − 3 ч −1 , µ МУ = 0,4 ч −1 .
3) Условие задачи совпадает с условием задачи 1). Отличие от задачи 1)
состоит в том, что ремонт осуществляется двумя бригадами, причем одна из
них восстанавливает только ЭВМ, а другая только оборудование,
необходимое
для
осуществления
мажоритарного
резервирования.
Определить те же характеристики, что и в задаче 1). λ ЭВМ = 5 ⋅ 10 − 2 ч −1 ,
µ ЭВМ = 0,3ч −1 , λ МУ = 2 ⋅ 10 − 3 ч −1 , µ МУ = 0,7 ч −1 .
4) Условие задачи совпадает с условием задачи 1). Отличие от задачи 1)
состоит в том, что ремонт осуществляется двумя бригадами, каждая из
которых может восстанавливать как ЭВМ, так и МО. Определить те же
характеристики, что и в задаче 1). λ ЭВМ = 4 ⋅ 10 − 2 ч −1 , µ ЭВМ = 0,8 ч −1 ,
λ МУ = 6 ⋅ 10 − 3 ч −1 , µ МУ = 0,9 ч −1 .
5) Дана система с раздельным резервированием (см. рис. 3). Все элементы
системы равнонадежны и имеют интенсивность отказов λ = 2 ⋅ 10 − 3 ч −1 ,
ремонт элемента происходит с интенсивностью µ = 0,8 ч −1 . Резервные
62
элементы находятся в нагруженном резерве, ресурс восстановления
неограничен. Требуется: определить P (t ) и T1 , построить график P(t ) .
1
2
3
4
Рисунок 3
6) Условие задачи совпадает с условием задачи 5). Отличие от задачи 5)
состоит в том, что резервные элементы находятся в ненагруженном резерве.
Определить те же характеристики, что и в задаче 5).
7) Условие задачи совпадает с условием задачи 5). Отличие от задачи 5)
состоит в том, что восстанавливаться одновременно может только один
элемент. Определить те же характеристики, что и в задаче 5).
8) Условие задачи совпадает с условием задачи 5). Отличие от задачи 5)
состоит в том, что резервные элементы находятся в ненагруженном резерве
и восстанавливаться одновременно может только один элемент. Определить
те же характеристики, что и в задаче 5).
9) Вычислительная машина комплекса содержит пять накопителей на
магнитных дисках (НМД), каждый из которых имеет интенсивность отказов
λ = 2 ⋅ 10 − 3 ч −1 и интенсивность восстановления µ = 0,5 ч −1 . Для решения
некоторой задачи используются только два накопителя, остальные три
являются резервными. Эксплуатируются накопители одной обслуживающей
бригадой. Из формулировки задачи видно, что НМД представляют собой
систему из двух последовательно соединенных устройств со скользящим
резервом, образованным тремя НМД. Требуется: определить P (t ) и T1 ,
построить график P (t ) .
63
10) Условие задачи совпадает с условием задачи 9). Отличие от задачи 9)
состоит в том, что число обслуживающих бригад равно 2. Требуется:
определить P(t ) и T1 , построить график P (t ) .
11) Вычислительная система состоит из двух неоднородных вычислительных
машин и образует дублированную систему. Значения интенсивностей отказа
и восстановления машин: λ1 = 4 ⋅ 10 − 3 ч −1 , µ1 = 0,9 ч −1 , λ 2 = 2 ⋅ 10 − 3 ч −1 ,
µ 2 = 0,3ч −1 . Систему обслуживают две бригады. Требуется: определить P (t )
и T1 , построить график P (t ) .
12) Вычислительная система состоит из двух неоднородных вычислительных
машин и образует дублированную систему. Значения интенсивностей отказа
и восстановления машин: λ1 = 2 ⋅ 10 − 2 ч −1 , µ1 = 0,7 ч −1 , λ 2 = 3 ⋅ 10 − 3 ч −1 ,
µ 2 = 0,5 ч −1 . Обслуживание осуществляется одной бригадой с прямым
приоритетом. Прямой приоритет означает, что обслуживается первой та
вычислительная машина, которая раньше попала в ремонт. Если вторая
машина отказала позднее первой отказавшей машины, то она будет
находиться в очереди на ремонт. Требуется: определить P(t ) и T1 , построить
график P (t ) (число состояний равно 5, из них число состояний отказа равно
двум).
13) Вычислительная система состоит из двух неоднородных вычислительных
машин и образует дублированную систему. Значения интенсивностей отказа
и восстановления машин: λ1 = 2 ⋅ 10 − 2 ч −1 , µ1 = 0,5 ч −1 , λ 2 = 3 ⋅ 10 − 2 ч −1 ,
µ 2 = 0,3ч −1 . Обслуживание осуществляется одной бригадой с обратным
приоритетом. Обратный приоритет означает, что обслуживается первой та
вычислительная машина, которая попала в ремонт последней. Требуется:
определить P(t ) и T1 , построить график P(t ) (число состояний равно 5, из
них число состояний отказа равно двум).
64
14) Вычислительная система состоит из двух неоднородных вычислительных
машин и образует дублированную систему. Значения интенсивностей отказа
и
восстановления
машин:
λ1 = 6 ⋅ 10 − 2 ч −1 ,
µ1 = 0,8 ч −1 ,
λ 2 = 10 − 2 ч −1 ,
µ 2 = 0,4 ч −1 . Обслуживание осуществляется одной бригадой с приоритетом
1-ой вычислительной машины, т.е. 1-ая машина ремонтируется первой в
состояниях отказа. Требуется: определить P (t ) и T1 , построить график P (t )
(число состояний равно 5, из них число состояний отказа равно двум).
15) Система содержит четыре последовательно соединенных элемента. После
отказа любого из элементов система отказывает, все исправные элементы
отключаются,
отказавший
элемент
восстанавливается.
интенсивностей отказа и восстановления элементов:
µ1 = 0,7 ч −1 ,
λ 2 = 3 ⋅ 10 − 3 ч −1 ,
µ 2 = 0,5 ч −1 ,
Значения
λ1 = 2 ⋅ 10 − 2 ч −1 ,
λ 3 = 2 ⋅ 10 − 2 ч −1 ,
µ 3 = 0,7 ч −1 ,
λ 4 = 3 ⋅ 10 − 3 ч −1 , µ 4 = 0,5 ч −1 . Требуется: определить P (t ) и T1 , построить
график P (t ) (число состояний равно 5, из них число состояний отказа равно
четырем).
16) Вычислительная машина комплекса содержит семь накопителей на
магнитных дисках (НМД), каждый из которых имеет интенсивность отказов
λ = 2 ⋅ 10 − 3 ч −1 и интенсивность восстановления µ = 0,5 ч −1 . Для решения
некоторой задачи используются только четыре накопителя, остальные три
являются
резервными.
Эксплуатируются
накопители
двумя
обслуживающими бригадами. Из формулировки задачи видно, что НМД
представляют собой систему из четырех последовательно соединенных
устройств со скользящим резервом, образованным тремя НМД. Требуется:
определить P(t ) и T1 , построить график P (t ) .
65
Задание 7.3
Определить функцию готовности K Г (t ) , функцию простоя K П (t ) , коэффициент
готовности K Г , коэффициент простоя K П , Tcp (t ) – среднюю наработку между
отказами на интервале t, построить графики K Г (t ) и K П (t ) , для системы из
задания 2.
Методические указания.
Резервирование, при котором возможно восстановление отказавших
элементов, является эффективным средством повышения надежности. Отказ
резервированной группы с восстановлением произойдет, если все элементы,
составляющие группу, ремонтируются. Показатели надежности, как правило,
определяются
при
работоспособны.
условии,
Для
расчета
что
в
момент
надежности
включения
все
восстанавливаемых
элементы
систем,
в
частности, используется метод дифференциальных уравнений. В данном методе
использовано допущение о показательных распределениях времени между
отказами и времени восстановления. Рассмотрим основные этапы решения задачи
методом дифференциальных уравнений.
Вначале, перечисляются возможные состояния системы и составляется ее
граф состояний, на котором кружками изображаются возможные состояния и
стрелками - возможные направления переходов из одного состояния в другое. По
схеме состояний составляют систему дифференциальных уравнений для
вероятностей состояний.
Например, рассмотрим дублированную систему, состоящую из двух
элементов – основного и резервного (рис. 4). Оба элемента равнонадежны,
интенсивности отказов и восстановлений элементов λ и µ . Резервный элемент
находится в нагруженном состоянии, ресурс восстановления неограничен.
Рассматриваемая система может находиться в одном из трех состояний: 0 – все
66
элементы работоспособны, 1 – один элемент отказал, 2 – оба элемента отказали.
Граф
состояний,
для
рассматриваемой
системы,
изображен
на
рис.5.
Интенсивности переходов между состояниями зависят от типа резерва и условий
восстановления. Для дублированной системы возможны четыре ситуации: 1)
нагруженный резерв, неограниченный ресурс восстановления ( λ 01 = 2λ , λ12 = λ ,
µ10 = µ , µ 21 = 2µ ); 2) нагруженный резерв, ограниченный ресурс восстановления
( λ 01 = 2λ , λ12 = λ , µ10 = µ , µ 21 = µ ); 3) ненагруженный резерв, неограниченный
ресурс восстановления ( λ 01 = λ , λ12 = λ , µ10 = µ , µ 21 = 2µ ); 4) ненагруженный
резерв, ограниченный ресурс восстановления ( λ 01 = λ , λ12 = λ , µ10 = µ , µ 21 = µ ).
1
2
λ 01
0
λ12
1
µ10
2
µ 21
Рисунок 5
Рисунок 4
Система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний
составляется по следующему правилу: для каждого из возможных состояний
объекта записывается уравнение, в левой части которого P&i (t )
( Pi (t )
-
вероятность i-го состояния системы, i=0,...,n-1, где n – количество состояний
системы), а справа – столько слагаемых, сколько стрелок графа соприкасаются с
данным состоянием; если стрелка направлена в данное состояние, то перед
слагаемым ставится плюс, если стрелка направлена из данного состояния – минус;
каждое слагаемое будет равно произведению интенсивности перехода из данного
состояния (либо в данное состояние) на вероятность состояния, из которого
выходит стрелка. Проверкой правильности составления системы является
равенство нулю суммы правых частей
P0 (0) = 1, P1 (0) = 0,..., Pn −1 (0) = 0 .
Полученная
уравнений. Начальные
система
может
аналитически или численно с помощью средств пакета Maple.
67
быть
условия:
решена
Для рассматриваемого примера, получим:
 P&0 (t ) = −λ 01P0 (t ) + µ10 P1 (t ),
&
 P1 (t ) = λ 01P0 (t ) − (λ12 + µ10 ) P1 (t ) + µ 21P2 (t ),
&
 P2 (t ) = −µ 21P2 (t ) + λ12 P1 (t ).
(7.1)
Если предположить, что рассматриваемый процесс – стационарный
(установившийся режим эксплуатации), т.е. вероятности состояний не меняются с
течением времени, то P&i (t ) = 0 и система дифференциальных уравнений перейдет
в систему алгебраических уравнений. Одно из уравнений полученной системы
следует заменить очевидным условием: P0 + P1 + ... + Pn −1 = 1 .
Система (1) перейдет в систему:
− λ 01P0 + µ10 P1 = 0,

λ 01P0 − (λ12 + µ10 ) P1 + µ 21P2 = 0,
 P + P + P = 1.
1
2
 0
(7.2)
В качестве показателей надежности рассматриваемых систем используют
функцию готовности K Г (t ) , функцию простоя K П (t ) , коэффициент готовности
K Г , коэффициент простоя K П , параметр потока отказов восстанавливаемой
системы ω(t ) , Tcp (t ) – среднюю наработка между отказами на интервале t:
m
К Г (t ) =
∑ Pj (t ) ,
j =1
где m – число работоспособных состояний,
Pj (t )
работоспособного состояния;
n−m
К П (t ) =
∑ Pk (t ) ,
k =1
где Pk (t ) – вероятность k-го неработоспособного состояния;
К П (t ) + К Г (t ) = 1,
68
– вероятность j-го
К Г = lim К Г (t ) ,
t →∞
К П = lim К П (t ) ,
t →∞
m n−m
ω(t ) =
∑ ∑ λ jk Pj (t ) ,
j =1 k =1
где λ jk - интенсивности переходов из j-го работоспособного состояния в k-тое
неработоспособное состояние;
t
t
∫
∫ ω(t )dt .
0
0
Tср (t ) = K Г (t ) dt
Рассмотрим резервированные системы, для которых отказы недопустимы,
но ремонт отказавшего элемента производится во время выполнения задачи. Для
таких систем в качестве показателей надежности используют вероятность
безотказной работы P(t ) и среднюю наработку на отказ T1 . При решении задачи в
системе дифференциальных уравнений полагают равными нулю интенсивности
переходов из неработоспособных состояний. Например, для системы (1) получим:
 P&0 (t ) = −λ 01P0 (t ) + µ10 P1 (t ),
&
 P1 (t ) = λ 01P0 (t ) − (λ12 + µ10 ) P1 (t ),
&
 P2 (t ) = λ12 P1 (t ).
(7.3)
Для определения P(t ) и T1 , достаточно решить систему из первых двух
уравнений, поскольку P (t ) и T1 вычисляются по формулам:
∞
m
P (t ) =
∑ Pj (t ) ,
∫
T1 = P(t )dt .
j =1
0
Контрольные вопросы.
1. Каков порядок построения графа состояний системы?
69
2. Как
по
заданному
графу
состояний
системы
построить
систему
дифференциальных уравнений описывающих характеристики надежности?
3. Что такое коэффициент готовности?
4. Как определяется функция готовности?
5. Как определяется функция простоя?
6. Как определяется коэффициент готовности?
7. Как определяется коэффициент простоя?
8. Как определяется параметр потока отказов восстанавливаемой системы?
9. Как определяется средняя наработка между отказами на интервале t?
10. Как определяется вероятность безотказной работы?
11. Как определяется средняя наработка на отказ?
70
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Голинкович, Т.А. Прикладная теория надежности [Текст]: учеб. для вузов /
Т.А. Голинкович. - М.: Высшая школа, 1985. - 256 с.
2. Половко, А.М. Основы теории надежности. [Текст]: учеб. для вузов /
А.М. Половко. - М.: Наука, 1964. - 320 с.
3. Сборник задач по теории надежности [Текст]: учеб. для вузов / А.М. Половко
[и др.]. - М.: Из-во «Советское радио», 1972. - 284 с.
4. Дьяконов, В. Maple 6: учебный курс [Текст]: учеб. для вузов / В. Дьяконов.
- СПб.: Питер, 2001. - 612 с.
71
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Значения функции Лапласа Ф (х) =
−
x
1
2π
∫
e
x2
2
dx ,
0
Φ ( − x) = −Φ ( x)
x
Ф (х)
х
Ф (х)
х
Ф (х)
х
Ф (х)
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1256
0,1293
0,1331
0,1368
0, 1406
0,1443
0,1480
0,1517
0, 1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0, 1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
x
Ф (х)
х
Ф (х)
х
72
Ф (х)
х
Ф (х)
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
73
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,49984
0,499928
0,499968
0,499997
0,499997
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Значения показательной функции e
x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4
0
1,0000
0,9048
0,8187
0,7408
0,6703
0,6065
0,5488
0,4966
0,4493
0,4066
0,3679
0,3329
0,3012
0,2725
0,2466
0,2231
0,2019
0,1827
0,1653
0,1496
0,1353
0,1225
0,1108
0,1003
0,0907
0,0821
0,0743
0,0672
0,0608
0,0550
0,0498
0,0450
0,0408
0,0369
0,0334
0,0302
0,0273
0,0247
0,0224
0,0202
0,0183
1
0,9900
0,8958
0,8106
0,7334
0,6637
0,6005
0,5434
0,4916
0,4449
0,4025
0,3642
0,3296
0,2982
0,2698
0,2441
0,2209
0,1999
0,1809
0,1637
0,1481
0,1340
0,1212
0,1097
0,0993
0,0898
0,0813
0,0735
0,0665
0,0602
0,0545
0,0493
0,0446
0,0404
0,0365
0,0330
0,0299
0,0271
0,0245
0,0221
0,0200
0,0181
2
0,9802
0,8869
0,8025
0,7261
0,6570
0,5945
0,5379
0,4868
0,4404
0,3985
0,3606
0,3263
0,2952
0,2671
0,2417
0,2187
0,1979
0,1791
0,1620
0,1466
0,1327
0,1200
0,1086
0,0983
0,0889
0,0805
0,0728
0,0659
0,0596
0,0539
0,0488
0,0442
0,0400
0,0362
0,0327
0,0296
0,0268
0,0242
0,0219
0,0198
0,0180
3
0,9704
0,8781
0,7945
0,7189
0,6505
0,5886
0,5326
0,4819
0,4360
0,3946
0,3570
0,3230
0,2923
0,2645
0,2393
0,2165
0,1959
0,1773
0,1604
0,1451
0,1313
0,1188
0,1075
0,0973
0,0880
0,0797
0,0721
0,0652
0,0590
0,0534
0,0483
0,0437
0,0396
0,0358
0,0324
0,0293
0,0265
0,0240
0,0217
0,0196
0,0178
4
0,9608
0,8694
0,7866
0,7118
0,6440
0,5827
0,5273
0,4771
0,4317
0,3906
0,3535
0,3198
0,2894
0,2618
0,2369
0,2144
0,1940
0,1755
0,1588
0,1437
0,1300
0,1177
0,1065
0,0963
0,0872
0,0789
0,0714
0,0646
0,0584
0,0529
0,0478
0,0433
0,0392
0,0354
0,0321
0,0290
0,0263
0,0238
0,0215
0,0194
0,0176
74
5
0,9512
0,8607
0,7788
0,7047
0,6376
0,5769
0,5220
0,4724
0,4274
0,3867
0,3499
0,3166
0,2865
0,2592
0,2346
0,2122
0,1920
0,1738
0,1572
0,1423
0,1287
0,1165
0,1054
0,0954
0,0863
0,0781
0,0707
0,0639
0,0578
0,0523
0,0474
0,0429
0,0388
0,0351
0,0317
0,0287
0,0260
0,0235
0,0213
0,0193
0,0174
6
0,9418
0,8521
0,7711
0,6977
0,6313
0,5712
0,5169
0,4677
0,4232
0,3829
0,3465
0,3135
0,2837
0,2567
0,2322
0,2101
0,1901
0,1720
0,1557
0,1409
0,1275
0,1153
0,1044
0,0944
0,0854
0,0773
0,0699
0,0633
0,0573
0,0518
0,0469
0,0424
0,0384
0,0347
0,0314
0,0284
0,0257
0,0233
0,0211
0,0191
0,0172
−x
7
0,9324
0,8437
0,7634
0,6907
0,6250
0,5655
0,5117
0,4630
0,4190
0,3791
0,3430
0,3104
0,2808
0,2541
0,2299
0,2080
0,1882
0,1703
0,1541
0,1395
0,1262
0,1142
0,1033
0,0935
0,0846
0,0765
0,0693
0,0627
0,0567
0,0513
0,0464
0,0420
0,0380
0,0344
0,0311
0,0282
0,0255
0,0231
0,0209
0,0189
0,0171
8
0,9231
0,8353
0,7558
0,6839
0,6188
0,5599
0,5066
0,4584
0,4148
0,3753
0,3396
0,3073
0,2780
0,2516
0,2276
0,2060
0,1864
0,1686
0,1526
0,1381
0,1249
0,1130
0,1023
0,0926
0,0837
0,0758
0,0686
0,0620
0,0561
0,0508
0,0460
0,0416
0,0376
0,0340
0,0308
0,0279
0,0252
0,0228
0,0207
0,0187
0,0169
9
0,9139
0,8270
0,7483
0,6771
0,6126
0,5543
0,5016
0,4538
0,4107
0,3716
0,3362
0,3042
0,2753
0,2491
0,2254
0,2039
0,1845
0,1670
0,1511
0,1367
0,1237
0,1119
0,1013
0,0916
0,0829
0,0750
0,0679
0,0614
0,0556
0,0503
0,0455
0,0412
0,0373
0,0337
0,0305
0,0276
0,0250
0,0226
0,0204
0,0185
0,0167
ПРИЛОЖЕНИЕ В
∞
∫
Значения гамма-функции Γ( x) = e − t t x −1dt ,
0
Γ( x) =
Γ( x + 1)
, Γ( x) = ( x − 1)Γ( x − 1)
x
Г(x)
x
1,00
01
02
03
04
1,05
06
07
08
09
1,10
11
12
13
14
1,15
16
17
18
19
1,20
21
22
1,23
24
1,25
1,00000
0,99433
0,98884
0,98355
0,97844
0,97350
0,96874
0,96415
0,95973
0,95546
0.95135
0,94740
0.94359
0,93993
0,93642
0.93304
0,92980
0,92670
0,92373
0,92089
0,91817
0,91558
0,91311
0,91075
0,90852
0,90640
Г(x)
x
1,25
26
27
28
29
1,30
31
32
33
34
1,35
36
37
38
39
1,40
41
42
43
44
1,45
46
47
48
49
1,50
Г(x)
x
0,90640
0,90440
0,90250
0,90072
0,89904
0.89747
0,89600
0.89464
0.89338
0,89222
0,89115
0,89018
0,88931
0,88854
0,88785
0,88726
0,88676
0,88636
0,88604
0,88581
0,88566
0,88560
0.88563
0,88575
0,88595
0,88623
1.50
51
52
53
54
1,55
56
57
58
59
1,60
61
62
63
64
1,65
66
67
68
69
1,70
71
72
73
74
1.75
75
0,88623
0,88659
0,88704
0,88757
0,88818
0,88887
0,88964
0,89049
0,89142
0,89243
0,89352
0,89468
0,89592
0,89724
0,89864
0,90012
0,90167
0.90330
0,90500
0,90678
0,90864
0,91057
0,91258
0,91467
0,91683
0,91906
Г(x)
x
1,75
76
77
78
79
1,80
81
82
83
84
1,85
86
87
88
89
1,90
91
92
93
94
1,95
96
97
98
99
2,00
0,91906
0,92137
0,92376
0,92623
0,92877
0,93138
0,93408
0,93685
0,93969
0,94261
0,94561
0,94869
0,95184
0,95507
0,95838
0,96177
0,96523
0,96877
0,97240
0.97610
0,97988
0,98374
0,98768
0,99171
0,99581
1,00000
ДИАГНОСТИКО-КВАЛИМЕТРИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
БЛОК 1
В первой части курса изучаются основные понятия и определения теории
надежности.
Решаются
задачи
по
расчету
надежности:
определение
количественных характеристик надежности по статистическим данным об отказах
изделия; аналитическое определение количественных характеристик надёжности,
для различных законов надежности. Рассматриваются случаи последовательного
соединения элементов системы и систем с постоянным резервированием.
Раздел 1. Определение количественных характеристик надежности по
статистическим данным об отказах изделия
Контрольные вопросы:
1. Вероятность безотказной работы.
2. Вероятность отказа.
3. Частота отказов.
4. Интенсивность отказов.
5. Среднее время безотказной работы изделия.
6. Среднее время восстановления.
Раздел 2. Аналитическое определение количественных характеристик
надёжности
Контрольные вопросы:
1. Что такое показатели надежности?
2. Вероятность безотказной работы.
76
3. Плотность вероятности отказа.
4. Интенсивность отказов.
5. Средняя наработка до отказа.
6. Экспоненциальное распределение.
7. Нормальный закон.
8. Распределение Вейбулла.
9. Распределение Релея.
Раздел 3. Последовательное соединение элементов в систему
Контрольные вопросы:
1. Что такое последовательное соединение?
2. Вероятность безотказной работы для последовательного соединения.
3. Вероятность отказа для последовательного соединения.
4. Вероятность безотказной работы для последовательного соединения для
экспоненциального распределения.
5. Вероятность отказа для последовательного соединения для экспоненциального
распределения.
Раздел 4. Расчет надежности системы с постоянным резервированием
Контрольные вопросы:
1. Как соединены основные и резервные элементы при постоянном
резервировании?
2. Вероятность отказа системы при постоянном резервировании.
3. Вероятность безотказной работы системы при постоянном резервировании.
4. Вероятность отказа системы при постоянном резервировании при
экспоненциальном распределении.
77
5. Вероятность безотказной работы системы при постоянном резервировании при
экспоненциальном распределении.
6. Что такое общее резервирование?
7. Количественные характеристики надежности системы с общим
резервированием.
Оценка за блок: 50 баллов.
БЛОК 2
Целью второй части курса является изучение расчета надежности систем с
использованием пакета Maple. Изучаются основные возможности решение задач
теории надежности без учета восстановления элементов системы. Затем
рассматривается выполнение расчетов надежности систем с резервированными
восстанавливаемыми элементами. Представлены системы с допустимыми и
недопустимыми
отказами,
установившийся
и
неустановившийся
режимы
эксплуатации. Для решения задач используется метод дифференциальных
уравнений.
Раздел 5. Выполнение численных и аналитических расчетов в системе Maple
Контрольные вопросы:
1. Как найти предел функции?
2. Как вычислить первообразную?
3. Как найти значение определенного интеграла?
4. Как построить график функции?
5. Как найти аналитическое решение системы линейных алгебраических
уравнений?
78
6. Как
решить
систему
дифференциальных
уравнений
первого
порядка
аналитически, численно?
7. Как построить графики численного решения системы дифференциальных
уравнений первого порядка?
Раздел 6. Расчет надежности невосстанавливаемых систем
Контрольные вопросы:
1. По
каким
формулам
определяются
количественные
характеристики
надежности при произвольном законе надежности?
2. Как вычисляется вероятность безотказной работы Pc(t) и интенсивность
отказов λ c (t ) системы при последовательном соединении элементов?
3. Как определяются вероятность безотказной работы и вероятность отказа при
постоянном резервировании, при общем резервировании?
4. По
каким
формулам
определяются
количественные
характеристики
надежности при экспоненциальном законе надежности?
5. Как определяется вероятность безотказной работы при общем резервировании
с дробной кратностью и постоянно включенным резервом?
6. Как определяется
вероятность
безотказной
работы
и
среднее
время
безотказной работы при экспоненциальном законе надежности и «скользящем»
резервировании?
Раздел 7. Расчет надежности резервированных устройств с учетом
восстановления
Контрольные вопросы:
1. Каков порядок построения графа состояний системы?
2. Как
по
заданному
графу
состояний
системы
построить
систему
дифференциальных уравнений описывающих характеристики надежности?
79
3. Что такое коэффициент готовности?
4. Как определяется функция готовности?
5. Как определяется функция простоя?
6. Как определяется коэффициент готовности?
7. Как определяется коэффициент простоя?
8. Как определяется параметр потока отказов восстанавливаемой системы?
9. Как определяется вероятность безотказной работы?
10. Как определяется средняя наработка на отказ?
Оценка за блок: 50 баллов.
Общая оценка по курсу: 100 баллов.
ТЕСТ
1. Плотность
вероятности
отказа
соотношением:
a. f (t ) =
 (t − m) 2 
1
.
exp −
2 

σ 2π
2
σ


b. f (t ) =
 (t − m) 2 
1
.
exp −
 ( 2σ) 2 
σ 2π


c. f (t ) = λ 0 αt α −1 exp(−λ 0t α ) .
d. f (t ) =
 t2 
−
.
exp
2
2

σ
 2σ 
t
80
в
законе
Вейбулла
определяется
2. Интенсивность отказов в законе Релея определяется соотношением:
a. λ (t ) =
t
σ
b. λ(t) =
.
2
t
.
σ
c. λ(t ) = αλ 0t α −1 .
d. λ (t ) = λ .
3. Дана дублированная система, состоящая из двух элементов – основного и
резервного. Оба элемента равнонадежны, интенсивности отказов и
восстановлений элементов λ и µ . Резервный элемент находится в
нагруженном
состоянии,
ресурс
восстановления
неограничен.
Граф
состояний системы будет иметь вид:
a.
2λ
λ
0
1
b.
2
µ
µ
2λ
λ
0
1
2
µ
2µ
λ
c.
0
1
µ
λ
d.
0
λ
1
µ
2
µ
4. Что такое номинальная эффективность?
a. Эффективность объекта при безотказном его состоянии.
b. Эффективность реального объекта, не обладающего идеальной
надежностью.
c. Технический эффект, полученный при использовании объекта.
81
d. Свойство объекта выдавать некоторый полезный результат при
использовании его по назначению.
5. Средняя наработка до отказа определяется соотношением:
∞

T1 = exp f (t ) dt  .


0

∞
∫
a. T1 = t f (t ) dt .
∫
b.
0
∞
c.
T1 =
∫ f (t )dt .
0
∞
∫
d. T1 = P(t )dt .
0
6. Вероятность безотказной работы в экспоненциальном законе определяется
соотношением:
a. P (t ) = 1 − exp(−λt ) .
b. P (t ) = exp(−λ 0t α ) . c. P(t ) = exp(−λt ) .
d. P(t ) = exp(−t 2 /(2σ 2 )) .
7. Что такое надежность?
a. Свойство объекта выполнять требуемые функции в заданных режимах
и условиях эксплуатации.
b. Свойство объекта сохранять работоспособность до предельного
состояния, т.е. состояния, когда он должен быть направлен либо в
ремонт, либо изъят из эксплуатации.
c. Свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах
значения всех параметров, характеризующих способность выполнять
требуемые функции в заданных режимах и условиях эксплуатации.
d. Совокупность свойств, определяющих пригодность использования
объекта по назначению.
8. Связь
вероятности
безотказной
работы
с
интенсивностью
невосстанавливаемого объекта определяется соотношением:
82
отказов
t
a. P (t ) = exp(λt ) .
b.
∫
P(t ) = λ(t ) dt .
0
t

c. P (t ) = 1 − exp λ (t )dt  .


0

∫
 t


d. P(t ) = exp − λ(t )dt  .


 0

∫
9. Что такое коэффициент готовности?
a. Вероятность того, что объект в произвольный момент времени,
окажется работоспособным, когда требуется его применение по
назначению, и с данного момента будет работать безотказно в течение
заданного времени.
b. Вероятность того, что восстанавливаемое изделие окажется в
работоспособном состоянии в произвольный момент времени его
использования.
c. Отношение значения показателя готовности за заданный период
эксплуатации к номинальному значению данного показателя.
d. Математическое ожидание времени восстановления – времени,
затраченного
на
поиск
места
неисправности
и
устранение
неисправности.
10. Средняя
наработка
до
отказа
в
нормальном
законе
определяется
соотношением:
a. T1 = 1 / λ .
 1 
Г

α + 1

b. T1 = m . c. T1 =
.
1/ α
λ0
1

Г  + 1
α
.
d. T1 = 
1/ α
λ0
11. В качестве показателей надежности системы используют функцию
готовности K Г (t ) , функцию простоя K П (t ) , в случае:
a. Резервированной системы, для которой отказы недопустимы;
b. Системы с допустимыми отказами;
c. Стационарного процесса;
83
d. Если наряду с ними в качестве показателя надежности используется
вероятность безотказной работы.
12. Кратностью резервирования называется:
a. Количество резервных элементов;
b. Отношение количества резервных элементов к количеству основных;
c. Количество резервных цепей;
d. Отношение общего количества элементов к количеству резервных.
13. Последовательным называется соединение элементов:
a. При котором отказ хотя бы одного элемента приводит к отказу всей
системы;
b. Если для основного элемента имеется несколько резервных;
c. При котором для нескольких основных элементов имеется один
резервный;
d. При
котором
система
остается
работоспособной
при
отказе
нескольких элементов.
14. Плотность отказов при распределении Вейбулла определяется формулой:
α
a. f (t ) = αλ 0t α −1e − λ 0 t ;
b. f (t ) =
t
σ
2
−
e
t2
2σ 2
;
c. f (t ) = λe − λt ;
d. f (t ) =
t
e
σ
−
t2
2σ .
84