Лекция 7 Механическая энергия (кинетическая, потенциальная) Система частиц (центр инерции, закон движения центра масс) 3. Закон сохранения импульса 4. Реактивное движение 5. Закон сохранения энергии 1. 2. 1. Механическая энергия − характеризует способность тела совершать работу • Кинетическая энергия – это энергия движения, которая зависит от массы тела, величины скорости и не зависит от положения тела в пространстве. mV 2 EК = (7.1) 2 Связь работы и кинетической энергии 2 dS aτ 1 V1 Рассмотрим движение матер. точки по криволинейной траектории под действием силы F V2 Найдем какую работу надо совершить, чтобы изменить скорость от V1 до V2 Выделим бесконечно малый участок пути dS и найдем работу силы F на этом участке dA = F·dS cosα α a F an следовательно dA = m По второму закону Ньютона F = ma, поэтому dA = ma·cosα dS Из геометрии видно, что a cos α = aτ = dV dt dV dS dS = m dV = mVdV (7.2) − это работа, которую надо совершить, dt dt чтобы изменить скорость на dV V2 V2 Чтобы найти работу, которую надо совершить, чтобы mV22 mV12 − изменить скорость от V1 до V2 , нужно проинтегрировать A = dA = m VdV = 2 2 V1 V1 выражение (7.2) в пределах от V1 до V2 ∫ ∫ Работа, совершаемая любой силой, равна изменению кинетической энергии тела A = EК2 − EК1 = ∆ЕК (7.3) Если А > 0, то ∆Ек > 0 − кинетическая энергия возрастает Если А < 0, то ∆Ек < 0 − кинетическая энергия убывает • Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия, которая зависит от положения тел или частей тела друг относительно друга. Если в системе действуют консервативные силы, то система обладает потенциальной энергией поэтому консервативные силы называют потенциальными Если консервативные силы совершают работу, то положение тел в системе меняется и потенциальная энергия системы тоже изменяется Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии А = Еп1 – Еп2 = -∆Епот • Полная механическая энергия – это сумма потенциальной и кинетической энергии (7.4) Е = Епот + Ек (7.5) 2. Система частиц (тел) Изменение энергии и импульса могут происходить только при взаимодействии. Следовательно, необходимо как минимум 2 частицы, чтобы происходило изменение энергии и импульса. Система частиц (тел) – это система, состоящая из двух и более частиц (тел) Силы, которые действуют между частицами системы – это внутренние силы Силы, действующие на систему со стороны внешних частиц (тел) - это внешние силы Если на систему не действуют никакие внешние силы или ими можно пренебречь по сравнению с внутренними, то такую систему называют замкнутой. • Импульс системы – это векторная сумма импульсов частиц (тел), образующих систему n n P = P1 + P2 + ⋅ ⋅ + Pn = ∑ Pi = ∑ mVi i =1 i =1 (7.6) Систему «тело-Земля» можно считать замкнутой, если пренебречь действием Солнца Осколки в момент взрыва , т.к. силы, действующие между осколками много больше силы тяжести (на «излете» осколков это допущение уже неверно) • Центр масс системы – это точка, положение которой определяется радиус-вектором Rц.м n n ri - радиус-вектор iой частицы mi ri ∑ mi ri ∑ m r + m2 r2 + ⋅ ⋅ mn rn (7.7) mi – масса iой частицы Rц . м = 1 1 = in = i М – масса системы m1 + m2 + ⋅ ⋅ mn M m ∑ i i Поскольку масса является мерой инертности, центр масс называют центром инерции, иногда его называют центром тяжести, имея в виду, что в этой точке приложена равнодействующая сил тяжести всех частиц системы. z m1 m2 Например, центр масс 2х частиц лежит на линии, соединяющей две частицы и делит расстояние обратно пропорционально массам 0 r1 ц • r2 x R y ц Закон движения центра масс Найдем скорость центра масс, взяв первую производную от радиус-вектора Rц n по времени ′ dRц 1 = Vц = Rц = dt M n dri 1 = m ∑i i dt M n ∑ miVi = i Из (7.8) следует, что импульс системы равен произведению По 2ому закону Ньютона получим закон движения центра масс: M dt i i (7.8) M P = M ⋅ Vц массы системы на скорость её центра масс dV ц ∑P = F1 + F2 + ⋅ ⋅ + Fn Центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему (7.9) (7.10) Центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным M dVц dt = 0 ⇒ Vц = const 3. Закон сохранения импульса Импульс замкнутой системы тел остается постоянным при любых взаимодействиях тел этой системы P = ∑ Pi = const i Это фундаментальный закон природы, он выполняется всегда и везде * в повседневной жизни * в космосе * в микромире Закон сохранения импульса справедлив только для замкнутой системы тел и является следствием 1го и 3го законов Ньютона. Покажем это Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из 3х тел F1 f12 F2 f 21 i 2 1 f 23 f13 f 31 f 32 3 ∑ Fвн = F1 + F2 + F3 = 0 Внутренние силы, с которыми тела действуют друг на друга, по 3ему закону Ньютона имеют вид f 21 = − f 12 ; f 13 = − f 31 ; f 23 = − f 32 Напишем уравнения движения для каждого тела, используя 2ой закон Ньютона в виде dP = ∑ Fi dt i F3 dP1 = f12 + f13 dt dP2 = f 21 + f 23 dt dP3 = f 32 + f 31 dt d ( P1 + P2 + P3 ) = ( f12 + f 21 ) + ( f 31 + f13 ) + ( f 23 + f 32 ) = 0 dt dP = 0 (7.11), где P = P1 + P2 + P3 − импульс системы dt Из (7.11) следует, что P = const (7.12) Закон сохранения импульса можно применять к каждой из компонент импульса Рх = const; Py = const; Pz = const 4. Реактивное движение Реактивное движение – это движение тела, масса которого меняется за счет приобретения или потери вещества, например, масса ракеты уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива. Уравнение движения тела переменной массы – это прямое следствие законов Ньютона Ракета с топливом представляет замкнутую систему. Сгорая газы с большой скоростью истекают из сопла ракеты и воздействуют на ракету, сообщая ей ускорение. Если вся масса сгоревшего топлива выбрасывается из ракеты одновременно, то из закона сохранения импульса следует ,что скорость ракеты после истечения газов равна: m V =− U M U - скорость газов относительно ракеты. m – масса газов M – масса ракеты Импульс такой системы не изменяется со временем, поэтому ракета должна начать двигаться в сторону, противоположную истечению газов На самом деле истечение газов происходит постепенно в течение всего времени ускоренного движения ракеты . Точная формула для конечной скорости ракеты имеет вид M 0 формула V = U ln ЦИОЛКОВСКОГО M М0 – начальная масса ракеты М - конечная масса ракеты. Уравнение Мещерского Это уравнение движения тела переменой массы (впервые получено И.В. Мещерским) Получим это уравнение на примере движения ракеты Если в момент времени t масса ракеты m, а её скоростьV, то по истечении времени dt её масса уменьшится на dm и станет равной (m – dm), а скорость – (V + dV) Изменение импульса системы за отрезок времени dt будет иметь вид dP = [( m − dm)(V + dV ) + dm(V + U )] − mV газов относительно ракеты , где U – скорость истечения После преобразований с учетом того, что (dm dV) – это величина высшего порядка малости по сравнению с остальными, получим dP = mdV + Udm (7.13) Если на систему действуют внешние силы, то dP = Fdt , поэтому Fdt = mdV + Udm В уравнении (7.14) U или, поделив на dt, m dV dm = F −U dt dt dm = F р - это реактивная сила dt Таким образом, уравнение (7.14) запишется в виде ma = F + F р (7.15) (7.14) уравнение Мещерского Если на ракету не действуют никакие внешние C = U ln M 0 определяется из начальных силы (ракета движется прямолинейно), то получим условий. Следовательно, m dV dm dm = −U ⇒ V = −U ∫ = −U ln m + C dt dt m V = U ln( M 0 формула Циолковского ) M 5. Закон сохранения энергии Это еще один фундаментальный закон природы Рассмотрим замкнутую систему тел, между которыми действуют только консервативные силы (потенциальные). Каждое состояние характеризуется соответственно кинетической и потенциальной энергией. При переходе системы из одного состояния в другое силы, приложенные к телам, совершают работу. Работа консервативных сил с одной стороны равна увеличению кинетической энергии, с другой стороны – убыли потенциальной энергии, то есть − А12 = Ек2 – Ек1 А12 = Еп1 – Еп2 Вычтем из второго уравнения первое А12 – А12 = (Еп1 + Ек1) – (Еп2 +Ек2 ) = 0 или Е = Ек + Еп = const В замкнутой системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия остается постоянной при любых процессах внутри системы. Если в системе действуют неконсервативные силы, то постоянство полной механической энергии нарушается. Ек1 + Еп1 = Ек2 + Еп2 (7.16) В любых явлениях природы энергия не исчезает и не возникает, а только переходит из одного вида в другой в эквивалентных количествах Общий закон сохранения энергии