Московский Государственный технический университет им. Н. Э. Баумана В. М. Гремячкин

Московский Государственный технический университет
им. Н. Э. Баумана
В. М. Гремячкин
Тепло- и массоперенос при гетерогенных процессах
Учебное пособие к курсу лекций
«Теория тепломассообмена»
Москва
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана
2010
Рецензент: А. Д. Полянин
Гремячкин В. М.
Тепло- и массоперенос при гетерогенных процессах. Учебное пособие
к курсу лекций «Теория тепломассообмена». – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э.
Баумана, 2010 – 18 c.
ISBN
Рассматриваются процессы переноса тепла и массы при наличии
гетерогенных процессов, связанных с протеканием гетерогенных реакций.
Показано, что при протекании гетерогенных реакций возникает явление
стефановского потока, влияющего на гидродинамику обтекания тел.
Рассмотрены процессы тепло- и массообмена для тел различной формы, а
также процессы горения капель жидких топлив и частиц алюминия.
Для студентов, высших учебных заведений, изучающих курс «Теория
тепломассообмена»
Библ. 45 назв.
УДК 536.7
ББК 22.317
Виктор Михайлович Гремячкин
Тепло- и массоперенос при гетерогенных процессах
Учебное пособие
2
Содержание
Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.
Основные положения теории тепломассообмена. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Основы химической кинетики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
1.2. Диффузионный и кинетический режимы протекания реакций. . . . . . . . . 10
1.3. Уравнения тепло- и массопереноса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.4. Стефановский поток. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Испарение жидкой капли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
1.6. Граничные условия для уравнений тепломассообмена. . . . . . . . . . . . . . . .26
2. Горение капли жидкого топлива. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
3. Тепло- и массообмен при обтекании плоской пластины потоком. . . . . . . . 38
4. Массоперенос в пленках жидкости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1. Гидродинамика стекания ламинарной пленки жидкости с
наклонной поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
4.2. Массообмен в пленке жидкости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
5. Массообмен на вращающемся диске. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
5.1. Гидродинамика жидкости при вращении диска. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
5.2. Диффузия к вращающемуся диску. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6. Теплообмен при ламинарном течении в круглой трубе. . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.1. Течение по трубе (решение Пуазейля). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
6.2. Теплообмен при течении в трубе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2.1. Начальный участок трубы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2.2. Теплообмен при произвольных числах Пекле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2.3. Постоянный тепловой поток на стенках трубы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66
6.2.3. Теплоотдача при ламинарном течении в трубах
разной формы сечения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7. Тепло- и массообмен частиц с окружающей средой. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.1. Теплообмен сферической частицы с неподвижной средой. . . . . . . . . . . .71
3
7.2. Теплообмен частиц произвольной формы с неподвижной
окружающей средой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
7.3. Нестационарный теплообмен частицы с неподвижной средой. . . . . . . . . 73
7.4. Массообмен сферической частицы в потоке при малых числах Пекле. . 75
7.4.1. Гидродинамика обтекания сферической частицы
при малых числах Рейнольдса (Задача Стокса). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75
7.4.2. Массообмен частицы с окружающей средой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79
7.4.3. Массообмен сферической частицы с окружающей средой
при больших числах Пекле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.5.. Массообмен капли (пузыря) с потоком. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.5.1. Гидродинамика обтекания капли (пузыря) потоком
(решение Адамара-Рыбчинского). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86
7.5.2. Массообмен капли с окружающей средой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
8. Горение частиц алюминия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
8.1 Закономерности горения частиц алюминия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
8.2. Термодинамические свойства алюминия и его окисла. . . . . . . . . . . . . . . 103
8.3. Теоретические основы горения частиц алюминия. . . . . . . . . . . . . . . . . . .107
8.4. О режимах конденсации окиси алюминия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.5. Образование окиси алюминия на поверхности частицы. . . . . . . . . . . . . .132
9. Воспламенение частиц алюминия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143
9.1. О механизме воспламенения частиц алюминия при низких давлениях. .148
9.2. Теоретические модели процесса воспламенения частиц алюминия. . . . 150
9.3. Критерий воспламенения частицы алюминия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.4. Воспламенение частицы алюминия при произвольных параметрах
тепло- и массообмена частицы с окружающей средой. . . . . . . . . . . . . . . 163
Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171
4
ВВЕДЕНИЕ
Процессы тепло- и массообмена являются одними из основных в
энергетике, а также в целом ряде технологических процессов химической,
металлургической
и
других
отраслей
промышленности.
Процессы
теплообмена происходят при передаче тепла в процессах нагрева или
охлаждения, которые, наряду с процессами горения, широко распространены в
технологических процессах и технических устройствах. Массообменные
процессы происходят, как правило, в технологических процессах, где
осуществляется преобразование веществ за счет протекания химических
реакций.
В теории тепломассообмена основное внимание уделяется рассмотрению
процессов теплообмена. Что касается процессов массообмена, то делается
вывод о подобии этих процессов на основе того, что уравнения переноса тепла
и массы и граничные условия в основном аналогичны. Однако, несмотря на
подобие уравнений и граничных условий процессов тепло- и массообмена,
существуют ряд особенностей, которые существенно различаю эти процессы.
Эти особенности связаны, прежде всего, с протеканием химических реакций,
наличие которых в массообменных процессах, как правило, имеет место.
Отличие тепло- и массообменных процессов связано, прежде всего, со
стефановским
потоком,
гетерогенных
реакций.
возникающим
Вследствие
при
этого
протекании
интенсивных
гидродинамические
явления
становятся связанными с процессами переноса массы. Особенно важными
такие явления оказываются при рассмотрении процессов горения, когда
массообменные процессы происходят наиболее интенсивно.
Здесь
рассмотрены
теоретические
основы
гидродинамики
и
тепломассообмена наиболее важных и известных проблем, возникающих в
энергетике и других отраслях промышленности.
5
1. Основные положения теории тепломассообмена
Процессы
массообмена,
как
правило,
возникают
при
наличии
химических реакций. Интенсивность массообменных процессов определяется
как скоростью химических реакций, так и процессами переноса массы,
которые зависят от градиента концентраций и гидродинамики течения газа или
жидкости.
В процессах теплообмена химические реакции также могут быть весьма
существенными, так как реакции, как правило, протекают или с выделением
или с поглощением тепла.
1.1. Основы химической кинетики
Реакции могут быть гетерогенные, протекающие на твердой или жидкой
поверхности, или гомогенные, которые протекают в газовой фазе. Механизм
этих химических реакций обычно очень сложный, включающий в себя
образование промежуточных продуктов, свободных радикалов, комплексов, а
также такие процессы как адсорбция, десорбция и другие. Однако в
литературе часто используются выражения для скоростей химических
реакций, в которых рассматриваются только концентрации реагентов,
первоначально присутствующих в системе,
W = K [ A] n [ B ] m
где [A] и [B] - начальные концентрации реагентов, (m + n) - порядок
химической реакции, который в общем случае может быть дробным; K константа скорости химической реакции, зависящая от температуры.
Концентрации
реагирующих
веществ
часто
выражаются
в
относительных массовых или объемных долях. В качестве относительных
массовых концентраций принимается отношение веса данного компонента в
единице объема к плотности газа zi = ci / ρ , а в качестве относительной
6
объемной концентрации принимается отношение парциального давления
компонента смеси к полному давлению ai = pi / p0 или отношение числа молей
компонента к суммвпному числу молей в смеси. Между массовыми и
объемными концентрациями существует взаимосвязь
zi =
pi µ i
;
∑ pi µ i
ai =
zi
µ i ∑ zi / µ i
При рассмотрении процессов горения в случае избытка в смеси горючего
говорят, что смесь «богатая», а при избытке окислителя и, соответственно,
недостатке горючего смесь называют «бедной». Если в результате протекания
реакции и окислитель и горючее расходуются полностью, то такую смесь
называют
стехиометрической.
Если
рассмотреть
уравнение
некоторой
химической реакции ν 1 A + ν 2 B = ν 3C + ν 4C , то можно ввести стехиометрический
коэффициент следующим образом
γ =
ν1
,
ν1 + ν 2
который выражает собой отношение числа молей горючего, необходимого для
полного протекания реакции, к общему числу молей в смеси.
При определении стехиометрического коэффициента для воздуха
следует учитывать, что окисляющего компонента в воздухе (кислорода)
только 21%, а 78% в воздухе занимает азот и 1% некоторые другие газы,
которые окислителем не являются. Таким образом, в воздухе на один моль
кислорода приходится 3.762 моля инертных газов. Тогда стехиометрический
коэффициент для воздуха следует записать в виде
7
γ =
ν1
ν 1 + 4.762ν 2
Часто при расчетах и описании технических устройств используют
термин «коэффициент избытка воздуха». Этот коэффициент вводится в связи с
тем, что в теплотехнические устройства, использующие воздух в качестве
окислителя, подается несколько больше воздуха, чем необходимо для
сжигания горючего. Коэффициент избытка воздуха определяется как
отношение объема воздуха, используемого для сгорания топлива к объему
воздуха необходимого для сжигания топлива в стехиометрической смеси
α = V / Vc
Зависимость константы скорости химической реакции от температуры T
определяется аррениусовским выражением
(1.1)
K = k 0 exp(− E / T )
где
k0 -
предэкспонент, только слабо зависящий от температуры и
определяемый частотой столкновений молекул реагентов между собой; E –
энергия активации химической реакции.
Существование энергии активации показывает, что имеется некоторый
потенциальный барьер, который необходимо преодолеть для протекания
химической реакции. Для преодоления этого потенциального барьера
необходимо
иметь
достаточно
высокую
температуру
реагентов.
При
увеличении температуры скорость химической реакции возрастает весьма
резко, так как при больших величинах энергии активации, которые, как
правило, имеют место, например, в процессах горения, аррениусовская
8
зависимость скорости реакции от температуры является очень сильной
зависимостью.
Для скорости гетерогенных химических реакций могут использоваться
аналогичные выражения
W = K [ A] n S
Однако в этом случае скорость химической реакции зависит не только от
концентрации реагента и температуры, но и от площади поверхности S , на
которой данная реакция протекает. Это может быть внешняя поверхность или
внутренняя поверхность реагирующего вещества, если химическая реакция
протекает внутри пористой структуры твердого вещества.
Необходимо отметить, что скорость химической реакции может не
зависеть от концентрации какого либо реагента, если этот реагент
присутствует в системе в избытке.
В общем случае протекание химической реакции есть процесс
установления химического равновесия. Химически равновесное состояние
системы определяется константой равновесия химической реакции K e ,
зависимость
зависимостью
которой
от
типа
(1.1).
ν 1 A + ν 2 B = ν 3C + ν 4 D
температуры
При
определяется
химическом
аррениусовской
равновесии
реакции
равновесные концентрации продуктов [C], [D] и
исходных реагирующих веществ [A], [B] связаны соотношением
Ke =
[ Ae ]ν 1 [ Be ]ν 2
[C e ]ν 3 [ De ]ν 4
9
,
так как при равновесии скорости прямой и обратной химических реакций
равны, а константа равновесия химической реакции равна отношению прямой
и обратной констант скоростей химических реакций.
Если химическое равновесие установлено и концентрации реагентов
равны равновесным концентрациям, то скорость химического превращения
реагентов, вообще говоря, равна нулю. Однако, это возможно только в том
случае, когда отсутствуют диффузионные процессы, нарушающие состояние
равновесия. При наличии диффузионных процессов и большой скорости
химической реакции концентрации реагирующих веществ будут близки к их
равновесным значениям. В этом случае говорят о диффузионном режиме
протекания химической реакции. Необходимо отметить, что в химических
реакциях горения топливо, как правило, взаимодействует с кислородом или
другими сильными окислителями, равновесные концентрации которых
пренебрежимо
малы.
Однако,
в
некоторых
случаях,
когда
топливо
взаимодействует с более слабыми окислителями, например в случае
взаимодействия углерода с диоксидом углерода, водородом и водяным паром,
условие равенства концентрации окислителя равновесной концентрации
необходимо учитывать, так как величины равновесных концентраций этих
окислителей могут быть весьма значительными.
1.2. Диффузионный и кинетический режимы протекания реакций
Скорость химических реакций зависит от процессов переноса тепла,
реагирующих веществ и продуктов реакции, так как эти процессы определяют
температуру и концентрации реагентов в зоне химической реакции. В
некоторых случаях процессы тепло- и массопереноса могут полностью
определять скорость процесса протекания химической реакции. В этих
случаях кинетика химических реакций может не рассматриваться при
определении скорости протекания процесса и тогда говорят о диффузионном
10
режиме процесса реакции в отличие от кинетического режима горения, когда
скорость процесса определяется кинетикой химических реакций [1].
Можно записать, что поток реагирующего вещества в зону протекания
химической реакции определяется выражением
I = β ( z(0) − z )
где
β - коэффициент массообмена,
z (0) - концентрация реагирующего
вещества в окружающей среде, z - концентрация реагента в зоне химической
реакции.
Если порядок химической реакции равен единице, то для скорости
химической реакции может быть записано выражение
W =Kz
где K - константа скорости реакции
В стационарном случае скорость химической реакции должна быть
равна потоку реагирующего вещества в зону реакции
Kz = β [ z (0) − z ]
Из этого условия можно определить концентрацию реагирующего
вещества в зоне реакции и, следовательно, скорость химической реакции
z = z ( 0)
β
K+β
;
W = z (0)
Таким образом, если K >> β , то z
Kβ
K+β
0 , W = β z (0) и, следовательно,
диффузионный режим протекания химической реакции реализуется, так как
11
скорость реакции определяется только потоком реагирующего вещества и не
зависит от константы скорости реакции. Если же K << β , то z
z (0) ,
W = K z (0) и кинетический режим протекания реакции имеет место, так как
скорость реакции полностью определяется кинетикой реакции. В общем
случае скорость протекания химической реакции может зависеть как от
кинетики реакции, так и от массо- и теплообменных процессов.
1.3. Уравнения тепло- и массопереноса
Для определения потоков тепла и реагирующих веществ необходимо
рассматривать уравнения теплопроводности и диффузии, а также и уравнения
гидродинамики.
Уравнение теплопроводности в теории горения обычно рассматривается
в виде
ρc
dT
+ div( ρucT − λ gradT ) = QW
dt
(1.2)
где ρ - плотность газа, c - теплоемкость, λ - коэффициент теплопроводности,
Q - тепловой эффект реакции и u - скорость потока газа.
Такая форма уравнения теплопроводности учитывает как конвективный
перенос тепла, в газе, движущемся со скоростью u , так и кондуктивный
перенос тепла, который существует в связи с наличием градиента температуры
и может осуществляться и в неподвижном газе, а также и в направлении,
противоположном
движению
газа.
В
правой
части
уравнения
(1.2)
рассматривается функция тепловыделения, учитывающая выделение тепла в
результате экзотермической гомогенной химической реакции, протекающей в
объеме окружающей среды со скоростью W .
Конечно, форма уравнения теплопроводности (1.2) не является полной,
так как выделение тепла может осуществляться и в результате диссипативных
12
процессов в вязком газе. Однако этими явлениями обычно пренебрегают в
теории (исключая, конечно, случаи движения газов со скоростями близкими к
скорости звука), так как в процессах тепло- и массообмена величины скорости
движения газа обычно существенно ниже скорости звука.
Оценка
величины
коэффициента
теплопроводности
может
быть
осуществлена из выражения, получаемого в кинетической теории газов. В
кинетической теории газов уравнение теплопроводности (1.2) получается из
решения
уравнения
Больцмана
методом
Чепмена-Энскога,
который
рассматривает состояния, близкие к равновесным.
Если в уравнении (1.2) раскрыть операцию дивергенции с учетом того,
что
поток
массы
ρ u = const , и в предположении о независимости
коэффициента теплопроводности λ от температуры, то уравнение может быть
переписано в виде
∂T
∂T
∂T
∂T
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T
+ ux
+ uy
+ uz
= a ( 2 + 2 + 2 ) + QW
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
где a = λ / ρ c - коэффициент температуропроводности.
Уравнения
диффузии,
которые
описывают
перенос
различных
компонентов газовой смеси, могут быть записаны в разной форме в
зависимости от того, какие концентрации компонентов рассматриваются:
массовые или объемные. Если рассматриваются относительные массовые
концентрации z j , то уравнения диффузии записывается в виде
ρ
D
+ div( ρ uz j − ρ Dgrad z j − T gradT ) = −ν jW
dt
T
dz j
(1.3)
где W - скорость гомогенной реакции в объеме окружающей среды, D -
13
коэффициент диффузии и D - коэффициент термодиффузии, величина
T
которых может быть оценена из выражений, приводимых в кинетической
теории газов.
Следует
отметить,
что
величина
коэффициента
термодиффузии
пропорциональна разности молекулярных масс диффундирующих навстречу
друг другу компонент, поэтому термодиффузионный эффект обычно
рассматривают, когда одним из компонентов газовой смеси являются легкие
газы, такие как водород или гелий. Но даже и в этом случае величина
термодиффузионного члена в уравнениях, как правило, не превышает 10% от
диффузионного члена. В связи с этим в большинстве практически важных
случаев термодиффузионный эффект в теории не рассматривается за
исключением тех случаев, когда термодиффузия исследуется специально или
когда в системе присутствуют легкие газы.
Уравнение диффузии может быть записано в другой форме, если вместо
относительных
массовых
концентраций
использовать
объемные
концентрации, например, относительные парциальные давления pi .
dp j
dt
+ div(vp j − Dgrad p j ) = −Φ
(1.4)
Используя известные соотношения между массовыми долями и
относительными парциальными давлениями
zj =
p jµ j
µ
где
µ = ∑ p jµ j
можно перейти от уравнения диффузии (1.3) к уравнению (1.4), при условии
замены выражения для скорости движения газа
14
v=u+
D
µ
grad µ
В кинетической теории газов [2] существует два определения скорости
газа: среднемассовая скорость
u = ∑ n jm jw j / ∑ n jm j
и среднечисловая
скорость газа v = ∑ n j w j / ∑ n j , где n j , m j и w j - число, масса и скорости
молекул газа. Реальный физический смысл имеет среднемассовая скорость
газа, так как именно эта величина скорости газа измеряется в экспериментах,
так как приборы, измеряющие скорость газа, реагируют на изменение
импульса газового потока. Скорость физических объектов, например частичек
пыли, движущихся вместе с газом, определяется именно этой скоростью. В
связи с этим более правильно использовать в уравнениях диффузии
относительные массовые концентрации, так как в эти уравнения входит
реальная
гидродинамическая
скорость
движения
газа.
Объемные
концентрации также могут быть использованы при записи уравнений
диффузии. Однако, в этом случае следует быть осторожным, особенно в тех
случаях,
когда,
наряду
с
диффузионными,
рассматриваются
и
гидродинамические эффекты. При использовании объемных концентраций в
уравнение диффузии входит некоторая фиктивная скорость движения газа.
Если раскрыть в уравнении диффузии (1.3) операцию дивергенции и
пренебречь термодиффузионными эффектами, то уравнение можно записать в
виде
∂z j
∂t
+ ux
∂z j
∂x
+ uy
∂z j
∂y
+ uz
∂z j
∂z
= D(
∂2 z j
∂x 2
+
∂2 z j
∂y 2
+
∂2z j
∂z 2
) + ν jW
В уравнения теплопроводности (1.2) и в уравнение диффузии (1.3)
явным образом входит скорость движения среды (газа или жидкости). Поэтому
15
при решении уравнений диффузии и теплопроводности необходимо, прежде
всего, определить скорости движения среды. Для этого нужно рассмотреть
уравнения гидродинамики, к которым относятся уравнение Навье-Стокса,
представляющее собой уравнение сохранения импульса,
∂u
1
+ (u∇)u = − ∇p + ν∆u
ρ
∂t
(1.5)
и уравнение неразрывности, которое выражает собой условие сохранение
массы
∂ρ
+ (∇ρ u ) = 0
∂t
(1.6)
При постоянной плотности среды уравнение неразрывности (1.6)
записывается в более простой форме
(∇u ) = 0
Уравнение Навье-Стокса (1.5) является векторным уравнением, поэтому,
при практическом решении этого уравнения, его необходимо записать в
проекциях на координатные оси. Тогда уравнения движения приобретают вид
∂u x
∂u x
∂u x
∂u x
1 ∂p
∂ 2u x ∂ 2u x ∂ 2u x
+ ux
+ uy
+ uz
=−
+ν ( 2 + 2 + 2 )
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x
∂u y
∂u y
∂u y
∂u y
∂ 2u y ∂ 2u y ∂ 2u y
1 ∂p
+ ux
+ uy
+ uz
=−
+ν ( 2 + 2 + 2 )
ρ ∂y
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
∂u z
∂u
∂u
∂u
1 ∂p
∂ 2u ∂ 2 u ∂ 2 u
+ ux z + u y z + uz z = −
+ ν ( 2z + 2z + 2z )
ρ ∂z
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
16
∂u x ∂u y ∂u z
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
Отметим, что в предположении о независимости коэффициента
кинематической вязкости от температуры и состава среды уравнения
гидродинамики и уравнения теплопроводности и диффузии оказываются
независимыми друг от друга. Поэтому можно вначале решить уравнения
гидродинамики и затем использовать полученные скорости движения среды
для решения уравнений диффузии и теплопроводности.
1.4. Стефановский поток
Известно,
что
гидродинамика
существенно
влияет
на
процесс
массообмена, но возникает вопрос: могут ли процессы переноса массы влиять
на гидродинамику течения жидкости и газа? В теории теплообмена полагается,
что рассмотрение гидродинамики течения и процессов теплопереноса можно
разделить, если полагать, что коэффициент кинематической вязкости не
зависит
от
температуры.
При
рассмотрении
процессов
массообмена
предположения о том, что коэффициент кинематической вязкости не зависит
от состава газа, часто оказывается недостаточными, так как влияние процессов
массообмена на гидродинамику течения может осуществляться через
граничные условия.
Если
на
поверхности
твердого
топлива
протекает
гетерогенная
химическая реакция, то гидродинамические эффекты могут возникнуть даже в
том случае, когда первоначально газовая среда покоилась. Это явление носит
название стефановский поток по имени автора, впервые его описавшего.
Стефановский поток играет важную роль в теории массообмена, так как его
учет дает возможность более точно определить температуру поверхности тела
и потоки реагирующих веществ на поверхность тела.
17
При практическом рассмотрении и использовании стефановского потока
возникает вопрос: что является причиной возникновения стефановского
потока: изменение массы газа или изменение объема газа в результате
протекания химической реакции? Действительно, при протекании химической
реакции может происходить изменение объема газа. Например, в реакции
2 H + O = 2 H O в реакцию вступают три моля газа (два моля водорода и один
2
2
2
моль кислорода), а в результате получаются только два моля водяного пара.
Интуитивно можно полагать, что, в результате такого изменения объема,
давление в зоне реакции будет падать и, следовательно, возникнет
гидродинамический поток в зону реакции. Однако последующие исследования
показали [3], что такие интуитивные представления не являются правильными.
Гидродинамический поток может возникать только при изменении массы газа
при протекании гетерогенной реакции, но не его объема. Рассмотрение этого
вопроса проведем здесь в соответствии с работой [3].
Пусть имеет место некоторая химическая реакция, в которой принимают
участие m компонентов. Уравнение этой химической реакции может быть
записано в виде
m
∑ ν A =0
j =1 j j
где ν j - стехиометрические коэффициенты и A j - обозначения химических
веществ, участвующих в реакции.
При протекании химической реакции потоки реагирующих веществ
должны быть в стехиометрическом соотношении, которое можно записать в
виде
I j /ν j = const
18
(1.7)
где
I j - потоки реагирующих веществ, для определения которых в
кинетической теории газов имеется выражение
Ij =(
P 21 m
P
* dc
)
∑ µk D jk k + vc j
RT ρ k =1
dy
RT
(1.8)
Здесь c = p / P - относительные парциальные давления компонентов, v k
k
среднемассовая скорость газа и D* - обобщенный коэффициент диффузии,
jk
для которого выполняются соотношения
D*jj = 0;
m
* dc
∑ µ j µk D jk k = 0
dy
j ,k =1
(1.9)
Умножая уравнение (1.8) на µ j и суммируя эти уравнения по j , получим с
учетом соотношений (1.9)
m
ρ v = ∑ I jµ j
j =1
(1.10)
Выражая потоки веществ через поток вещества, который находится в
системе в недостатке и лимитирует скорость химической реакции, например
I ,
1
I
I j =ν j 1
ν1
получим выражение для скорости конвективного движения газа выражение
19
I 1 m
v= 1
∑ν µ
µ1 ρ j =1 j j
(1.11)
Таким образом, если в химической реакции принимают участие только
газовые компоненты, например, имеет место каталитическая реакция, то
скорость конвективного движения газа равна нулю, так как
m
∑ ν µ =0.
j =1 j j
Рассмотрим теперь гетерогенную химическую реакцию, в которой
расходуется или образовывается твердое вещество. В этом случае твердое или
жидкое вещество вводится или выводится из газовой фазы. В этом случае
стехиометрическое соотношение для потоков веществ в газе должно быть
записано в виде
Ij
νj
=
W
ν
(1.12)
где W - скорость расходования (образования) твердого вещества.
Из уравнения (1.11) найдем
v=
W
ρ
(1.13)
Из этого выражения видно, что скорость стефановского потока
пропорциональна скорости расходования (образования) твердого вещества.
20
Для оценки влияния стефановского потока на скорость гетерогенной
химической реакции рассмотрим простейшую химическую реакция, в которой
участвуют два газообразных и одно твердое вещество
ν1 A1 + ν 2 A2 +ν 3 A3c = 0
где A обозначает твердое вещество.
3c
В
этом
случае
выражение
(1.11)
для
определения
скорости
стефановского потока может быть записано в форме
ρ v = β I1
(1.14)
где β = (ν1µ1 +ν 2 µ2 ) / ν1µ1 есть не что иное, как относительное изменение массы
газа в процессе протекания гетерогенной химической реакции.
В
двухкомпонентной
газовой
смеси
выражение
для
потока
реагирующего вещества, при учете соотношения c1 + c2 = 1 , может быть
записано в виде
dc
P 21
1 +vc P
µ
I = −(
D
)
1
2
1.2
1 RT
RT ρ
dy
(1.15)
Используя выражение для скорости стефановского потока (1.14) и
принимая во внимание, что
ρ = P[ µ + ( µ − µ )c ] / RT ,
2
1
2 1
можно найти из
уравнения (1.15)
dc
P
1 +γ I c
I =−
D
1
1,2
11
RT
dy
21
(1.16)
где γ = (ν1 +ν 2 ) / ν1 - относительное изменение объема газа в результате
протекания гетерогенной химической реакции. Принимая во внимание, что
поток реагирующего вещества в газовой фазе I при отсутствии гомогенных
1
реакций не зависит от координаты
y , уравнение (1.15) может быть
проинтегрировано с граничными условиями: y = 0 (на поверхности твердого
вещества) c = cs и y = δ (в окружающей среде) c = c . В результате получим
1
1 0
следующее решение
P D1,2 1 − γ c0
I =
ln(
)
1 RT γ δ
1 − γ cs
(1.17)
Для определения величины скорости стефановского потока, подставляя
(1.17) в (1.14), получим выражение
ρ v = β µ1
P D1,2 1 − γ c0
ln(
)
RT γ δ
1 − γ cs
(1.18)
Таким образом, если гетерогенная химическая реакция протекает с
изменением объема γ ≠ 0 , но без изменения массы газа β = 0 , то скорость
стефановского потока равна нулю и поток реагирующего вещества на
поверхность топлива определяется выражением (1.16). Если же гетерогенная
химическая реакция протекает с изменением массы газа β ≠ 0 , но без
изменения объема газа γ = 0 , то скорость стефановского потока не равна
нулю, а поток реагирующего вещества на реакционную поверхность
определяется выражением
c − cs
P
0
I =
D
1 RT 1,2 δ
22
(1.19)
Это выражение для потока вещества представляет собой закон Фика в
обычном виде. В общем случае скорость стефановского потока зависит как от
изменения массы газа, так и от изменения объема газа, но возникает
стефановский поток только в том случае, если в результате протекания
гетерогенной химической реакции происходит изменение массы газа.
1.5. Испарение жидкой капли в покоящейся среде
Рассмотрим жидкую каплю радиуса R0 , которая находится в покоящейся
среде при отсутствии конвективных потоков. Пусть температура капли
поддерживается постоянной за счет нагревания внешними источниками тепла,
например, излучением. Процесс испарения капли можно рассматривать как
квазистационарный, если время испарения капли τ e будет много меньше
характерного времени диффузии τ D = R02 / D , где D - коэффициент диффузии. В
этом случае можно рассматривать стационарные уравнения диффузии, так как
время перестройки распределений концентраций вокруг капли будет много
меньше времени изменения размера капли. В рассматриваемом случае в газе
вокруг капли будут присутствовать пары капли и инертный газ. Для этих газов
уравнения диффузии запишутся в виде
dz
1 d 2
r ( ρ uzv − ρ D v ) = 0
2
r dr
dr
(1.20)
dz
1 d 2
r ( ρ uzi − ρ D i ) = 0
2
r dr
dr
(1.21)
Интегрируя эти уравнения по координате, получим выражения для
потоков этих газов
r 2 ( ρ uzv − ρ D
dzv
) =W
dr
23
(1.22)
r 2 ( ρ uzi − ρ D
dzi
)=0
dr
(1.23)
При этом было учтено, что поток паров капли равен скорости испарения
капли, а поток инертного газа равен нулю, так как инертный газ не принимает
участие в процессе испарения и не расходуется. Следует также учесть, что
уравнение неразрывности для газа с постоянной плотностью записывается в
виде
1 d 2
r u=0
r 2 dr
Отсюда, после интегрирования, получаем
u = u0
R02
r2
где u0 - величина скорости стефановского потока на поверхности капли. Если
подставить выражения для скорости стефановского потока в уравнения для
потоков газов (1.22)-(1.23), то найдем
ρ u0 z v − r 2 ρ D
dzv
=W
dr
ρ u 0 zi − r 2 ρ D
dzi
=0
dr
Складывая эти уравнения и учитывая, что сумма относительных
концентраций равна единице, получим
ρ u0 = W
24
То есть скорость испарения капли, однозначно, определяет скорость
стефановского потока. Используя полученное выражение для скорости
стефановского потока, запишем уравнение для потока паров капли в виде
ρ u 0 zv − r 2 ρ D
dzv
= ρ u0
dr
Отсюда находим
ρ u0 = −
R02 ρ D dzv
|0
1 − zv0 dr
Таким образом, получаем важное свойство стефановского потока: при
температуре кипения, когда относительная массовая концентрация паров
капли у поверхности капли равна единице ( zv0 = 1 ) или иначе парциальное
давление паров капли около ее поверхности равно давлению в окружающей
среде, скорость стефановского потока равна бесконечности. Это свойство
стефановского потока ограничивает температуру капли, не позволяя ей
превышать температуру кипения жидкости.
Как видно из выражения для скорости испарения капли поток паров
капли складывается из двух слагаемых: первое определяет перенос паров
капли стефановским потоком, а второе определяет диффузионный поток,
пропорциональный градиенту концентрации. Для сравнения величин этих
слагаемых запишем выражение для потока паров капли в виде
Wzv − r 2 ρ D
25
dzv
=W
dr
Скорость испарения капли W не зависит от координаты и в уравнении
является величиной постоянной. Это уравнение можно проинтегрировать по
координате с граничным условием zv |∞ = 0 .
Отсюда для скорости испарения капли найдем выражение
W = − ρ DR0 ln(1 − zv0 )
При малых zv0 можно разложить логарифм и получить в первом
приближении выражение для скорости испарения капли, которое получается
без учета стефановского потока.
Таким образом, если температура капли существенно ниже температуры
кипения и zv0
1 , то стефановским потоком можно пренебречь и полагать, что
скорость испарения капли определяется только диффузионным потоком паров
капли от ее поверхности. Однако при температурах капли близких к
температуре
кипения,
когда
zv0 ≈ 1 ,
стефановский
поток
является
определяющим для вычисления скорости испарения капли.
1.6. Граничные условия для уравнений тепломассообмена
Для уравнений гидродинамики основным граничным условием является
условие прилипания жидкости к твердой стенке. Вследствие этого условия
скорость жидкости на твердой поверхности равна нулю:
us =0
Однако в случае вдува газа через пористую поверхность или при учете
стефановского потока граничным условием для уравнений гидродинамики
является условие
26
u n s = u0
то есть заданная нормальная скорость вдува на поверхности.
Для решения уравнений теплопроводности и диффузии необходимо
задать начальные условия, определяющие распределение температуры и
концентрации в начальный момент времени, а также граничные условия,
определяющие поведение решения на границах рассматриваемой области.
Граничные условия для уравнения диффузии могут быть записаны в
разных формах в зависимости от режима протекания гетерогенной реакции на
поверхности и условий поставленной задачи.
При диффузионном режиме протекания гетерогенной реакции скорость
реакции много больше диффузионного потока вещества к поверхности.
Учитывая, что протекание химической реакции есть процесс установления
химического равновесия, можно полагать, что концентрация реагирующего
вещества в зоне реакции у поверхности будет близка к равновесной
концентрации. При кинетическом режиме протекания гетерогенной реакции,
когда скорость реакции много меньше величины диффузионного потока
реагирующего вещества к поверхности, можно считать, что концентрация
реагирующего вещества близка к концентрации этого вещества в окружающей
среде.
Таким образом, в случае диффузионного или кинетического режимов
протекания реакции для решения уравнения диффузии следует использовать
граничные условия 1-ого рода, при которых задаются значения концентрации
на поверхности.
z S = zs
27
(1.24)
В случае, когда скорость гетерогенной реакции и потоки вещества к
поверхности сравнимы по величине, то следует полагать, что скорость реакции
равна диффузионному потоку реагирующего вещества на поверхность. В этом
случае граничные условия могут быть записаны в виде граничных условий 3его рода
ρ u0 z s − ρ D
∂z
|s = Wh
∂n
(1.25)
где Wh - скорость гетерогенной реакции, u0 - скорость стефановского потока
или скорость вдува газа через пористую поверхность.
Если поверхность непроницаема для газа и стефановским потоком
можно пренебречь, то граничные условия (1.25) могут быть записаны в виде
граничных условий 2-ого рода при условии, конечно, если скорость реакции
не зависит от концентрации
−ρ D
В
теории
массообмена
∂z
|s = Wh
∂n
для
определения
(1.26)
потока
вещества
на
реагирующую поверхность используют коэффициент массообмена β . В этом
случае Wh = β ( z0 − z s ) и граничные условия 3-его рода записываются в форме
ρ u0 z s − ρ D
∂z
|s = β ( z0 − z s )
∂n
(1.27)
Применительно к уравнению теплопроводности граничные условия
должны учитывать выделение (поглощение) тепла в результате протекания
гетерогенной реакции, а также потоки тепла из газовой фазы и внутрь
28
твердого тела. Тогда граничное условие для уравнения теплопроводности
следует записывать в форме
ρ u0cTs − λg
∂T
∂T
|s +λs
|s = QWh
∂n
∂n
(1.28)
где λg и λc - соответственно, коэффициенты теплопроводности в газе и в
твердом теле.
Граничные условия 1-ого рода применительно к условиям теплообмена
означают, что теплообмен тела с окружающей средой настолько интенсивен,
что
температура
поверхности
тела
практически
равна
температуре
окружающей среды.
Граничные условия 2-ого рода подразумевают, что поток тепла на
поверхность тела остается величиной постоянной. Такие условия возникают,
если теплопередача в твердом теле мала по сравнению с тепловым потоком за
счет теплообмена и гетерогенная реакция отсутствует. В этом случае поток
тепла внутри твердого тела определяет тепловой поток на поверхности тела из
окружающей среды.
В теории теплообмена граничные условия 3-его рода записываются в
виде
ρ u0c pTs − λg
∂T
∂n
= α (Ts − T∞ )
(1.26)
S
Граничные условия 3-его рода устанавливают связь между потоком
тепла на поверхности тела и интенсивностью теплообмена тела с окружающей
средой. Следует отметить, что коэффициент теплоотдачи α , вообще говоря,
не являются постоянной величиной и может зависеть от температуры.
Поэтому при экспериментальном определении этих коэффициентов обычно
29
указывается диапазон температур, в котором этот коэффициент можно
приближенно считать величиной постоянной.
При введении безразмерных переменных в уравнение теплопроводности,
а также в граничные условия возникают безразмерные параметры, которые
называются числами подобия. Для теплообменных процессов такими
основными числами подобия являются: число Пекле
Pe = vl / a , число
Нуссельта Nu = αl / λ и число Прандтля Pr = ν / a
При введении безразмерных переменных в уравнение диффузии, и
граничные условия возникают также безразмерные параметры – числа
подобия. При рассмотрении массообменных процессов числа подобия в
основном аналогичны числам подобия в процессах теплообмена. Однако,
названия этих чисел подобия иные: диффузионное число Пекле PeD = ul / D ,
число Шервуда Sh = β l / D , число Шмидта Sc = ν / D . Кроме этого вводится
число Льюиса Le = D / a , которое и определяет условия подобия между теплои массообменными процессами. Следует отметить, что число Шмидта может
меняться весьма сильно в зависимости от состояния рассматриваемых
веществ, так как коэффициент диффузии в жидких и особенно твердых
веществах – величина малая.
2. Горение капли жидкого топлива
Горение капель жидких топлив используется в целом ряде технических
устройств, к которым можно отнести авиационные реактивные двигатели,
автомобильные двигатели внутреннего сгорания, ракетные двигатели на
жидком топливе и другие.
Температуры кипения таких жидких топлив, как бензин, керосин,
являются достаточно низкими и составляют величины порядка 200 − 3000 C . При
таких низких температурах гетерогенные реакции между топливом и
окислителем идти не могут, поэтому следует полагать, что процессы
взаимодействия паров топлива и окислителя происходят в газовой фазе, над
30
поверхностью
капли.
В
этом
случае
в
правой
части
уравнений
теплопроводности и диффузии должны быть учтены выражения для скорости
реакции паров топлива и окислителя. Эти выражения для скорости
химической реакции делают уравнения сильно нелинейными вследствие
сильной аррениусовской зависимости скорости реакции от температуры.
Интегрирование
таких
нелинейных
уравнений
представляет
собой
существенную сложность. Поэтому, учитывая, что скорость реакции очень
резко зависит от температуры, прибегают к более упрощенной модели горения
капли жидкого топлива, которая предполагает, что реакция между топливом и
окислителем в газе происходит в очень узком фронте пламени, где
температура достигает своей максимальной величины [6-7].
Для этого случая картина горения капли жидкого топлива схематически
показана на рис. 1. На схеме показана капля топлива, над поверхностью
которой на некотором расстоянии rf находится узкий фронт реакции между
парами капли и окислителем. Показаны также распределения концентраций
паров капли C f и окислителя Cox . Предполагается, что на фронте реакции
концентрации паров капли и окислителя близки к нулю, вследствие большой
скорости реакции по сравнению с диффузионными потоками паров капли и
окислителя. Потоки паров капли и окислителя на фронте пламени должны
находиться в стехиометрическом соотношении. Распределение температуры T
имеет максимум на фронте пламени. Тепло от фронта пламени поступает к
поверхности капли, обеспечивая испарение топлива капли, а также в
окружающую среду. Поток инертного газа, который может присутствовать в
окружающей среде, наряду с окислителем, должен быть равен нулю, так как
инертный газ нигде не потребляется. Продукты реакции C p образуются во
фронте пламени. Поток продуктов реакции к поверхности капли равен нулю,
так как продукты реакции с топливом капли не взаимодействуют.
31
Рис.1. Распределения концентраций и температуры в модели
горения капли жидкого топлива.
Неизвестными, подлежащими определению, величинами в модели
горения являются: скорость горения капли, расстояние фронта пламени от
поверхности капли, температура во фронте пламени, температура поверхности
капли топлива.
Следует отметить, что характерное время формирования профилей
концентраций в газе вокруг капли топлива τ D = R 2 / D значительно меньше
времени сгорания капли τ b . В этом случае процесс горения капли можно
рассматривать как квазистационарный, то есть полагать, что размер капли
меняется весьма медленно по сравнению со временем перестройки профилей
концентрации и температуры. Тогда можно рассматривать стационарные
уравнения диффузии и теплопроводности.
Будем также предполагать, что бинарные коэффициенты диффузии для
всех газов одинаковые и коэффициент температуропроводности равен
коэффициенту диффузии Le = λ / ρ c p D = 1 , где Le - критерий Льюиса.
Пространство вокруг капли топлива можно разделить на две зоны: (1) от
поверхности капли до фронта пламени и (2) от фронта пламени до
32
бесконечности. В первой зоне будем рассматривать уравнение диффузии для
паров топлива
dz
d 2
r ( ρ uz f − ρ D f ) = 0
dr
dr
Во второй зоне рассматривается уравнение диффузии для окислителя
d 2
dz
r ( ρ uzox − ρ D ox ) = 0
dr
dr
Здесь u - скорость стефановского потока, которая возникает вследствие
испарения топлива с поверхности капли. Скорость стефановского потока
меняется
с
увеличением
радиальной
координаты
в
соответствие
со
сферической симметрией. Из уравнения неразрывности имеем
d 2
r ρu = 0
dr
Следовательно ρ u = ρ 0u0 R 2 / r 2 , где u0 - скорость стефановского потока
на поверхности капли.
Отметим, что гомогенная реакция не влияет на
скорость стефановского потока. Скорость стефановского потока может
зависеть от температуры и состава газа, но массовая скорость ρ u ни от
температуры, ни от состава газа не зависит.
Граничные условия для уравнений диффузии паров топлива и
окислителя будут:
на поверхности капли r = R , z f = z 0f ,
на фронте пламени r = rf , z f = 0 , zox = 0 ,
33
на бесконечности r = ∞ , zox = zox0 .
Тогда решения уравнений диффузии запишутся в виде
z f = z 0f (e− aR / r − e
− aR / r f
zox = zox0 (e− aR / r − e
) / (e − a − e
−aR / r f
) / (1 − e
− aR / r f
aR / r f
)
)
где a = ρ u0 R / ρ D - диффузионный критерий Пекле. Для потоков паров капли
и окислителя найдем выражения
I f = ρ DaRz 0f e
− aR / r f
I ox = − ρ DaRzox0 e
/ (e
− aR / r f
− aR / r f
/ (1 − e
− e− a )
− aR / r f
)
Уравнение теплопроводности для первой и второй зон запишется в виде
d
dT
( ρ u0 R 2c pT − r 2λ
)=0
dr
dr
Граничные условия для уравнения теплопроводности в первой зоне
будут:
на поверхности капли r = R , T = Ts ,
на фронте пламени r = rf , T = T f .
Во второй зоне - r = rf , T = T f , r = ∞ , T = T∞ .
Решение уравнения теплопроводности в первой зоне будет
T = T f − (T f − Ts )(e
− aR / r f
34
− e− aR / r ) / (e
− aR / r f
− e−a )
а во второй зоне
T = T f − (T f − T∞ )(e
− aR / r f
− e− aR / r ) / (e
− aR / r f
− 1)
Для потока тепла в первой зоне найдем выражение:
I h1 = λ aR[T f − (T f − Ts )e
− aR / r f
/ (e
− aR / r f
− e − a )]
а во второй зоне
I h 2 = λ aR[T f − (T f − T∞ )e
Неизвестные
величины:
− aR / r f
температура
/ (e
− aR / r f
во
− 1)]
фронте
пламени
Tf ,
местоположение фронта пламени rf , температура капли Ts могут быть
определены из условий стехиометрического соотношения между потоками
паров топлива и окислителя на фронте пламени
I f / I ox = γ
где γ - стехиометрический коэффициент химической реакции взаимодействия
топлива и окислителя. Условия теплового баланса, которое устанавливает
равенство между количеством тепла, выделяющегося во фронте пламени, и
количеством тепла, отводящегося из фронта пламени к поверхности капли и в
окружающую среду, будет
I h1 + I h 2 = QI f
где Q - тепловой эффект реакции паров топлива и окислителя на единицу
массы паров топлива, а также условия теплового баланса на поверхности
35
капли, в силу которого тепло, поступающее к поверхности капли от фронта
пламени, должно расходоваться на испарение топлива капли
− I h1 = LI f
где L - скрытая теплота испарения топлива.
Необходимо отметить, что концентрация z 0f связана с температурой
капли кинетикой испарения топлива. Эта кинетическая зависимость является
зависимостью аррениусовского типа, такой, что концентрация z 0f меняется
значительно при малых изменениях температуры капли. В частности, если
температура капли отличается от температуры кипения топлива Tb не сильно,
концентрация паров топлива z 0f может отличаться от единицы весьма
существенно. Поэтому температуру капли, которая неизвестна и подлежит
определению, можно заменить, там, где она входит в явном виде, известной
температурой кипения топлива Tb . Действительную температуру капли можно
определить из кинетического уравнения испарения капли после определения
величины концентрации z 0f .
В результате, подставляя в условия сшивки решений выражения для
потоков веществ и тепла, получим выражения для искомых неизвестных
параметров
z 0f = 1 − [
T f − Tb =
c p (T f − T∞ )
L
+ 1]− Le
c p (T∞ − Tb ) + (Q − L)[( zox0 / γ + 1) Le − 1]
c p ( zox0 / γ + 1) Le
rf
R
=1+
ln[1 + c p (T f − Tb ) / L]
Le ln( zox0 / γ + 1) Le
36
Для определения времени сгорания капли топлива запишем уравнение
dm
= −4π I f
dt
Это уравнение выражает то, что скорость изменения массы капли
m = 4π R 3 ρ f / 3 равна полному массовому потоку паров топлива с поверхности
капли. Подставляя в это уравнение выражение для потока паров топлива,
получим уравнение
R
dR ρ D
=
α
ρf
dt
где α = ln[1 + c p (T f − Tb ) / L] / Le(1 − rf / R )
Интегрируя это уравнение с начальным условием: t = 0, R = R0 , получим
следующую зависимость:
R02 − R 2 =
2ρ D
ρf
αt
Уравнение устанавливает связь между размером капли топлива в
процессе горения и временем и является типичным для диффузионного
режима горения. Из этого уравнения определяется время сгорания капли
топлива τ = ρ f R02 / 2 ρ D , которое устанавливает квадратичную зависимость
времени сгорания капли от ее размера.
Теория горения капель жидких топлив имеет то преимущество, что не
требует для своего использования, при расчетах закономерностей процесса
горения, конкретной кинетики химических реакций, которая, как правило, не
37
достаточно
хорошо
известна.
Эта
теория
хорошо
описывает
экспериментальные данные, по крайней мере, для капель простейших видов
жидких углеводородных топлив [8]. Поэтому эта теория получила дальнейшее
развитие в ряде работ, в которых учитываются дополнительные эффекты,
связанные с тепловыми потерями излучением, диссоциацией во фронте
пламени, движением окружающей среды и другими явлениями.
3. Тепло- и массообмен при обтекании плоской пластины потоком
При обтекании пластины потоком газа со скоростью U (Рис.2) на
поверхности
пластины
образуется
пограничный
слой,
в
котором
сосредоточены все вязкие силы, обусловленные взаимодействием потока с
поверхностью
пластины.
Вне
пограничного
слоя
течение
можно
рассматривать как течение идеальной жидкости. При этом вне пограничного
слоя скорость потока равномерная и градиент давления на плоской пластине
равен нулю. Внутри пограничного слоя справедливы уравнения пограничного
слоя, которые для рассматриваемого случая имеют вид [9-10]
∂u
∂u
∂ 2u
u + v =ν 2
∂x
∂y
∂y
(3.1)
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
(3.2)
Здесь u и v - проекции скорости на оси x и y соответственно.
Граничные условия для этих уравнений могут быть следующие
x = 0, u = U ;
y = ∞,
u =U;
y = 0,
38
u = 0, v = v0
(3.3)
Здесь учтено, что нормальная скорость газа на пластине отлична от нуля.
Это может быть связано с наличием вдува газа через проницаемую пластину
или с наличием гетерогенной реакции на поверхности пластины, в результате
чего возникает стефановский поток.
В задаче, как видно, отсутствует параметр размерности длины, поэтому
эту задачу можно рассматривать как автомодельную. Введем в уравнения
(3.1)-(3.2) функцию тока ψ , такую что
u=
Тогда
уравнение
∂ψ
,
∂y
∂ψ
∂x
v=−
неразрывности
(3.2)
будет
удовлетворяться
автоматически, а уравнение (3.1) примет вид
∂ψ ∂ 2ψ ∂ψ ∂ 2ψ
∂ 3ψ
−
=ν 3
∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2
∂y
(3.4)
Введем в уравнение (3.4) автомодельную переменную η = y U / ν x и
новую функцию
f (η ) = ψ / ν xU . Тогда для проекций скорости потока
получим выражения
∂ψ ∂ψ ∂η
=
= Uf ′(η )
∂y ∂η ∂y
(3.5)
∂ψ
∂ψ ∂η 1
Uν
=−
= [ f ′(η )η − f (η )]
∂x
∂η ∂x 2
x
(3.6)
u=
v=−
а уравнение (3.4) примет вид
39
f f ′′ + 2 f ′′′ = 0
(3.7)
На пластине η = 0 тангенциальная скорость потока u равна нулю и,
следовательно, как следует из уравнения (3.5), f ′(η ) = 0 . Нормальная скорость
потока на поверхности пластины v = v0 = − f (0) Uν / 4 x . Для того, чтобы
задача была автомодельной, функция f (0) не должна зависеть от координаты
x . Для этого необходимо, чтобы нормальная скорость на поверхности
пластины была обратно пропорциональна корню из координаты x : v0 ~ 1 / x .
Или можно записать f (0) = 2v0 Re x / U , где Re x = Ux / ν - местное число
Рейнольдса.
Второе
граничное
условие
для
уравнения
(3.7)
будет:
η = ∞, f ′(η ) = 1 .
Обыкновенное дифференциальное уравнение (3.7) с указанными
граничными условиями решалось численно в зависимости от параметра вдува
v0 Re x / U [11]. На рис. 3 показаны зависимости безразмерной скорости
потока u / U от автомодельной переменной для разных значений параметра
вдува. Можно видеть, что с увеличением параметра вдува толщина
пограничного слоя возрастает. При значении параметра вдува равном 0.619
происходит отрыв пограничного слоя от поверхности пластины за счет
оттеснения пограничного слоя от пластины вдуваевым газом.
40
Рис.3 Распределение скорости потока в пограничном слое на
проницаемой пластине
Толщина
пограничного
слоя
на
непроницаемой
пластине
была
определена Блазиусом [10] из условия, что на внешней границе пограничного
слоя скорость газа отличается от скорости внешнего потока на 1%. В этом
случае толщина пограничного слоя будет определяться уравнением
δ = 5.0 ν x / U ,
Толщина вытеснения и толщина потери импульса при найденном
распределении скоростей будут
∞
δ * = ∫ (1 −
0
∞ u
u
u
)dy = 1.73 ν x / U , δ ** = ∫ (1 − )dy = 0.664 ν x / U
U
U
0U
Зная распределение скоростей в пограничном слое можно рассмотреть
процессы тепло- и массопередачи в пограничном слое [10]. Рассмотрим,
прежде всего, уравнение теплопроводности
41
u
∂T
∂T
∂ 2T
+v
=a 2
∂x
∂y
∂y
(3.8)
Вводя в это уравнение безразмерную температуру θ = (T0 − T ) / (T0 − T∞ ) ,
автомодельную переменную η и выражая скорости из решения приведенной
выше гидродинамической задачи, получим следующее уравнение
d 2θ 1
dθ
+ Pr f (η )
=0
2
dη
2
dη
(3.9)
где Pr = ν / a - критерий Прандтля, ν - кинематическая вязкость и a = λ / ρ c p коэффициент температуропроводности.
Граничные условия для этого уравнения запишем в виде
η = 0, θ = 0; η = ∞, θ = 1
Уравнение (3.9) может быть проинтегрировано
dθ
Pr η
= C1 exp(− ∫ f (η )dη )
dη
2 0
Интегрируя уравнение повторно, найдем
η
θ = C1 ∫ exp(−
0
Pr η
∫ f (η )dη )dη + C2
2 0
Из граничных условий определяем постоянные интегрирования: C2 = 0 ,
42
∞
C1 = [ ∫ exp(−
0
Pr η
−1
∫ f (η )dη )dη ]
2 0
Следует заметить, что из уравнения (3.7) следует: f = −2 f ′′′ / f ′′ . Тогда
η
η
0
0
∫ f (η )dη = −2 ∫
В
результате
найдем
f ′′′(η )
f ′′(η )
dη = −2ln
f ′′(η )
f ′′(0)
окончательное
решение
уравнения
теплопроводности в виде
η
∞
0
0
θ = ∫ [ f ′′(η )]Pr dη / ∫ [ f ′′(η )]Pr dη
(3.10)
Зная распределение температуры, можно определить тепловой поток на
поверхность пластины
q = ρ v0c pT0 − λ (
Для
( dθ / dη )0
случая
dT
f (0) ν U
U dθ
+ λ (T0 − T∞ )
)0 = ρ c pT0
( )
ν x dη 0
dy
2
x
непроницаемой
от критерия
Pr
пластины
зависимость
производной
была рассчитана Польгаузеном [10]. Это
зависимость хорошо аппроксимируется выражением
(
dθ
)0 = 0.332 3 Pr
dη
43
Тогда для теплового потока на непроницаемой пластине найдем
выражение
q0 = 0.332λ (T0 − T∞ ) 3 Pr
U
λ
= 0.332(T0 − T∞ ) 3 Pr
Re x
νx
x
(3.11)
При наличии вдува газа с поверхности пластины для вычисления
теплового потока на поверхность пластины может быть использовано
выражение
q
ρv
= 1 − 1.82ε 1/3 0 0 Re x
q0
ρ∞U
где ε
- отношение молекулярных масс газа основного потока и газа
вдуваемого с поверхности пластины.
При параметре вдува равном критическому тепловой поток на
поверхность
пластины
равен
нулю,
вследствие
отсутствия
контакта
пограничного слоя с пластиной.
По аналогии с гидродинамическим пограничным слоем может быть
введен и тепловой пограничный слой. Соотношение между толщинами
теплового и гидродинамического пограничного слоя зависит от числа
Прандтля.
На
рис.
4
показаны
распределения
температуры
внутри
пограничного слоя от автомодельной переменной для разных значений числа
Прандтля. При Pr = 1 толщины теплового и гидродинамического пограничных
слоев равны и распределение температуры совпадает с распределением
скорости ( θ = u / U ). При Pr < 1 (например, жидкие металлы) толщина
температурного пограничного слоя больше, чем толщина гидродинамического
пограничного слоя и, наоборот, при Pr > 1 (например, глицерин, вязкие масла)
44
толщина
температурного
пограничного
слоя
будет
меньше
толщины
гидродинамического пограничного слоя.
Уравнение
диффузии
по
форме
аналогично
уравнению
теплопроводности, если заменить температуру T на относительную массовую
концентрацию z и число Прандтля Pr на число Шмидта Sc = ν / D ( D коэффициент диффузии).
d 2ϕ 1
dϕ
+
=0
Scf
(
η
)
dη 2 2
dη
(3.12)
где ϕ = ( z0 − z ) / z0 , если полагать, что пары жидкости в основном потоке
отсутствуют, z - относительная массовая концентрация.
Рис.4. Распределение температуры внутри пограничного слоя
по автомодельной переменной.
В результате интегрирования этого уравнения с граничными условиями:
η = 0, ϕ = 0; η = ∞, ϕ = 1, получим решение
45
η
∞
0
0
ϕ = ∫ [ f ′′(η )]Sc dη / ∫ [ f ′′(η )]Sc dη
(3.13)
Для потока паров жидкости с поверхности пластины найдем выражение
j = ρ v0 z0 − ρ D(
dz
f (0) ν U
U dϕ
+ ρ Dz0
) 0 = ρ z0
( )
dy
x
ν x dη 0
2
(3.14)
Для диффузионных процессов вдув газа с поверхности пластины связан
со стефановским потоком, который, в частности, обусловлен испарением
жидкости с поверхности пластины. При постоянной температуре пластины
имеем: q = Lj , где L - скрытая теплота испарения жидкости. Или
f (0) (T0 − T∞ ) 1 dθ
Lz f (0) 1 dϕ
+
( )0 = 0 [
+ ( )0 ]
2
Pr dη
T0
c pT0 2
Sc dη
(3.15)
При испарении концентрация паров у поверхности жидкости зависит от
температуры жидкости. Такая зависимость связана с кинетикой испарения
жидкости,
которая
имеет
вид
аррениусовской
зависимости.
Поэтому
уравнение (3.15) служит для определения температуры поверхности пластины.
Скорость испарения жидкости ρ v0 = j . Тогда из уравнения (3.14) найдем
f (0) = 2
1
z0
dϕ
( )0
Sc (1 − z0 ) dη
(3.16)
Естественно, что такое рассмотрение процесса испарения справедливо
при параметрах вдува меньше критического, когда температура пластины
меньше температуры кипения жидкости.
46
4. Массоперенос в пленках жидкости
Течение жидкости по твердой поверхности может осуществляться в
ламинарном, волновом или турбулентном режимах в зависимости от величины
числа Рейнольдса Re = Q / ν , где Q - объемный расход жидкости на единицу
ширины пленки жидкости [12]. Ламинарный режим теряет устойчивость при
числах Рейнольдса меньше 6. При больших числах Рейнольдса наблюдается
волновой характер течения пленки жидкости, при котором на поверхности
пленки жидкости появляются волны. Однако следует отметить, что появление
волн на поверхности пленки жидкости наблюдается в точке существенно
смещенной вниз по течению пленки, так что при Re ≤ 400 значительная часть
длины пленки жидкости является безволновой. При еще более высоких числах
Рейнольдса течение пленки будет носить турбулентный характер.
При низких расходах жидкости Q < Qmin более выгодным является не
пленочное,
а
ручейковое
течение
жидкости
по
поверхности.
Этот
минимальный расход жидкости равен [13]
Qmin = 2.15(
νσ 3 1/5
) (1 − cosθ )3/5
3
ρg
где σ - коэффициент поверхностного натяжения жидкости, θ - краевой угол
смачивания жидкостью материала твердой поверхности.
4.1. Гидродинамика стекания ламинарной пленки жидкости с
наклонной поверхности
Рассмотрим
стекание
тонкой
пленки
жидкости
по
наклонной
поверхности с углом наклона α под действием силы тяжести (Рис.5). Пусть
толщина пленки жидкости h будет предполагаться постоянной и будет много
47
меньше ее длины. В этом случае производными вдоль продольной координаты
можно пренебречь по сравнению с производными по поперечной координате,
как это делается в теории пограничного слоя. Кроме этого будем полагать, что
числа Рейнольдса достаточно малы, так что инерциальными членами в
уравнении гидродинамики можно пренебречь по сравнению с вязкими
членами. Тогда уравнение Навье-Стокса может быть записано в проекциях на
координатные оси: x - вдоль пленки жидкости и y - поперек пленки
µ
d 2V
+ ρ g sin α = 0
dy 2
dP
− ρ g cos α = 0
dy
(4.1)
Граничные условия для этих уравнений учитывают равенство нулю
касательного напряжения на свободной поверхности пленки, равенство нулю
скорости жидкости на твердой поверхности и равенство давления на
свободной поверхности жидкости давлению окружающей среды
y = 0, P = P0 ,
dV
= 0;
dy
y = h, V = 0.
Решение уравнений (4.1) имеет вид полупараболы с максимальной
скоростью на свободной поверхности пленки
y
V = Vmax [1 − ( ) 2 ], P = P0 + ρ ghy cos α
h
48
(4.2)
1 g
где Vmax = ( )h 2 sin α
2 ν
- максимальная скорость течения жидкости на
свободной поверхности пленки.
Расход жидкости в пленки
h
Q = ∫ V ( y )dy =
0
gh 2 sin α 2
= Vmax h
3ν
3
так что среднерасходная скорость жидкости составляет 2/3 от максимальной
скорости.
Число Рейнольдса для течения пленки будет
gh 2 sin α
Re = =
ν
3ν 2
Q
4.2. Массообмен в пленке жидкости
Рассмотрим абсорбцию слаборастворимых газов в пленке жидкости,
стекающей по наклонной плоскости. Предположим, что при x = 0 поток
жидкости вступает в контакт с газом и на свободной поверхности пленки
устанавливается постоянная концентрация растворяющегося газа c = c0 .
Распределение концентрации растворяющегося газа в жидкой пленке
описывается уравнением диффузии
∂c 1 ∂ 2c
(1 − y ) =
∂x Pe ∂y 2
2
с граничными условиями: x = 0, c = 0;
y = 0, c = 1;
(4.3)
y = 1, ∂c / ∂y = 0 .
В уравнении и граничных условиях введены безразмерные переменные и
параметры: x = X / h,
y = Y / h, c = C / C0 , Pe = hVmax / D
49
Рассмотрим решение уравнения (4.3) для случая больших величин
критерия Пекле. В этом случае вблизи свободной поверхности пленки
жидкости будет формироваться тонкий диффузионный пограничный слой. В
этом тонком диффузионном пограничном слое введем в уравнение (4.3) новую
переменную w = y Pe . Тогда при учете предположения о больших величинах
критерия Пекле уравнение (4.3) преобразуется к виду
∂c ∂ 2c
=
∂x ∂w2
с граничными условиями: x = 0, c = 0; w = 0,
(4.4)
c = 1; w → ∞, ∂c / ∂y = 0 .
Здесь учтено, что расстояние до твердой поверхности y = 1 соответствует
w = Pe . Поэтому при условии Pe → ∞ координата y = 1 соответствует
w → ∞.
Уравнение (4.4) с граничными условиями является автомодельной
задачей, Поэтому при введении автомодельной переменной ς = w / 2 x это
уравнение сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению,
которое может быть проинтегрировано. Тогда решение уравнения (4.4)
записывается в форме
c = erfc(
где erfc x =
2
∞
π
x
w
)
2 x
(4.5)
2
∫ exp(−t )dt - дополнительный интеграл вероятностей.
Дифференцируя уравнение (4.5), найдем диффузионный поток на
поверхность пленки жидкости
50
j = −(
∂c
Pe
) y =0 = ( )1/2
∂y
πx
(4.6)
Данное решение оказывается несправедливым при больших расстояниях
x . Оценки показывают, что приближение диффузионного пограничного слоя
справедливо в области x ≤ 0.1 Pe .
Рассмотрим процесс растворения твердой пластины пленкой жидкости,
текущей по ее поверхности. В этом случае распределение концентраций в
пленке жидкости будет описываться тем же уравнением (4.3). Однако
граничные условия будут иные
x = 0, c = 0;
y = 0, ∂c / ∂y = 0,
y = 1, c = 1;
Как видно, граничные условия при y = 0 и y = 1 поменялись местами.
Будем, как и в предыдущем случае использовать приближение диффузионного
пограничного слоя при Pe
1 . Однако, в этом случае диффузионный
пограничный слой будет располагаться не на свободной поверхности пленки, а
на поверхности пластины. Введем в уравнение (4.3) новую переменную:
ξ = (1 − y ) Pe1/3 . Тогда уравнение (4.3) преобразуется к виду
∂c ∂ 2c
2ξ
=
∂x ∂ξ 2
(4.7)
Граничные условия для этого уравнения будут такими же, как и для
уравнения (4.4), если заменить w на ξ . Эта задача также будет автомодельной
и ее решение запишется в виде
51
1
1 2ξ 3
Γ( ,
c=
)
Γ(1 / 3) 3 9 x
(4.8)
Локальный диффузионный поток от поверхности пластины будет
j=
Pe 1/3
61/3 Pe1/3
≈
0.678(
)
Γ(1 / 3) x1/3
x
(4.9)
Сравнивая выражения (4.6) и (4.9) можно видеть, что диффузионный
поток со свободной поверхности существенно больше, чем с твердой
поверхности. Толщина пограничного слоя, при одинаковых числах Пекле, на
свободной поверхности ( ∼ Pe−1/2 ) меньше, чем толщина пограничного слоя на
твердой поверхности ( ∼ Pe−1/3 ). Это связано с тем, что вблизи свободной
поверхности скорость жидкости больше, чем вблизи твердой поверхности, где
выполняется условие прилипания, что справедливо не только для пленки
жидкости. Во всех случаях, когда осуществляется торможение потока,
теплообмен и массообмен оказываются менее интенсивными, чем при
отсутствии, торможения потока.
5. Массообмен на вращающемся диске
5.1. Гидродинамика жидкости при вращении диска
Рассмотрим вращение бесконечного диска с угловой скоростью ω в
жидкости [12]. При вращении диска возникает течение жидкости, которое
связано с условием прилипания жидкости на поверхности диска. В результате
происходит подсасывание жидкости по оси вращения диска и отбрасывание
жидкости на периферию вблизи поверхности диска.
Для описания гидродинамики течения жидкости запишем уравнения
Навье-Стокса и неразрывности в цилиндрической системе координат
52
2
V
∂Vr
∂Vr Vϕ
1 ∂p
Vr
+ Vz
−
=−
+ ν (∆Vr − 2r )
ρ ∂r
r
r
∂r
∂z
Vr
∂Vϕ
∂r
Vr
+ Vz
∂Vϕ
∂z
+
VrVϕ
r
= ν (∆Vϕ −
Vϕ
r2
)
∂Vz
∂V
1 ∂p
+ Vz z = −
+ ν∆Vr
∂r
∂z
ρ ∂z
∂Vr ∂Vz Vr
+
+ =0
∂r
∂z
r
где
∆≡
1 ∂ ∂
∂2
r + 2
r ∂r ∂r ∂z
- оператор Лапласа в цилиндрической системе
координат.
Граничные условия для этих уравнений будут: на поверхности диска
z = 0, Vr = 0, Vϕ = rω , Vz = 0
вдали от диска
z = ∞, Vr = 0, Vϕ = 0,
p = p0
Будем искать, следуя Карману, решение поставленной задачи в виде
[10]:
Vr = ω ru1 ( Z ), Vϕ = ω ru2 ( Z ), Vz = νω v( Z ),
p = p0 + ρ vω P ( Z )
где Z = z ω / ν .
Подставляя эти решения в исходные уравнения, получим следующую
систему обыкновенных дифференциальных уравнений
u1′′ = vu1′ + u12 − u22
u2′′ = vu2′ + 2u1u2
v′′ = vv′ + p′
53
v′ = −2u1
с граничными условиями:
Z = 0, u1 = 0, u2 = 1, v = 0;
Z → ∞, u1 → 0, u2 → 0,
p → 0.
Решение этой системы уравнений определялось численными методами.
Распределения функций u1 , u2 , v по координате Z представлены на рис.6.
Получены также разложения искомых функций вблизи поверхности диска при
Z →0
u1
0.51Z − 0.5Z 2 ,
v = −0.51Z 2 + 0.333Z 3 ,
u2 1 − 0.616 Z ,
p = 0.393 − 1.02Z
И вдали от диска при Z → ∞
u1
0.934exp( −0.886 Z ),
u2 1.208exp( −0.886 Z ),
v −0.885,
p 0.393
54
Рис.6. Распределение компонентов скорости потока по координате
перпендикулярной плоскости диска.
Как можно видеть из рис.6, давление, радиальная и угловая скорости
потока возмущаются вращающимся диском только на небольшом расстоянии
от поверхности диска, в динамическом пограничном слое, толщина которого
не зависит от радиальной координаты и равна приблизительно δ = 3 ν / ω .
Полученные
для
диска
бесконечного
радиуса
закономерности
справедливы приближенно и для диска конечного радиуса, если радиус диска
существенно больше толщины пограничного слоя.
5.1. Диффузия к вращающемуся диску
Будем
полагать
[14],
что
вдали
от
диска
концентрация
диффундирующего вещества постоянная, а на поверхности диска происходит
полное потребление вещества. Уравнение диффузии в цилиндрической
системе координат записывается в виде
55
ur
∂c
∂c u ∂c 1 1 ∂ ∂c ∂ 2c 1 ∂ 2c
+ uz + ϕ
= [
(r ) +
+
]
∂r
∂z r ∂ϕ Sc r ∂r ∂r ∂z 2 r 2 ∂ϕ 2
Граничные
условия
для
z = 0. c = 1; z → ∞, c → 0 .
этого
Здесь
уравнения
введена
(5.1)
запишем
безразмерная
в
виде:
концентрация
c = (C∞ − C ) / C∞ , а характерными масштабами длины и скорости являются
величины: l = (ν / ω )1/2 , U = (νω )1/2 , Sc = lU / D .
Будем искать решение уравнения (5.1) в виде c = c( z ) . Тогда перейдем к
обыкновенному дифференциальному уравнению
dc d 2c
Scv( z ) = 2
dz dz
Сделаем в этом уравнении замену переменной w = dc / dz . Тогда
уравнение преобразуется к уравнению
dw
= Sc v( z ) w
dz
которое легко интегрируется. В результате получим решение
∞
z
∫ exp[ Sc ∫ v(t )dt ]dz
0
c = ∞z
z
exp[
Sc
∫
∫ v(t )dt ]dz
0
0
Зная распределение концентраций в среде можно найти выражение для
безразмерного потока вещества на поверхность диска
56
j = −(
∞
z
dc
) z =0 = { ∫ exp[ Sc ∫ v(t )dt ]dz}−1
dz
0
0
Интересно отметить, что поток вещества на поверхность диска не
зависит от радиальной координаты вдоль поверхности диска. Поэтому
поверхность диска следует считать равнодоступной поверхностью для
диффузионных процессов.
6. Теплообмен при ламинарном течении в круглой трубе
Трубы являются основной конструкцией теплообменных аппаратов.
Поэтому исследованиями теплообмена в трубах занимались многие ученые,
начиная с Нуссельта [15-17]. Рассматривались различные формы труб, разные
виды течения в трубах, влияние на процесс теплообмена критерия Пекле,
граничных условий и других параметров.
6.1. Течение по трубе (решение Пуазейля)
Течение по трубе осуществляется по продольной оси x . Течение по
радиальной координате отсутствует. Скорость течения зависит от радиальной
координаты, но остается, в стационарном случае, постоянной вдоль оси x . В
этом случае уравнение Навье-Стокса в проекциях на координатные оси
запишется в виде
∂ 2u ∂ 2u 1 ∂p
+
=
;
∂y 2 ∂z 2 µ ∂x
∂p ∂p
=
=0
∂y ∂z
В первом уравнении, в правой его части, стоит функция только от
координаты x , в то время как левая часть в уравнении зависит только от
координат y и z . Такое равенство возможно, если правая и левая части
57
уравнения являются постоянными величинами. Отсюда следует, что давление
в трубе является линейной функцией координаты x , так что градиент
давления в трубе есть величина постоянная равная ∆p / L , где ∆p - разность
давления на концах трубы, а L - длина трубы.
Для решения уравнения запишем его в цилиндрических координатах
1 d du ∆p
=
r
r dr dr µ L
Общее решение этого уравнения будет
u=
∆p 2
r + a ln r + b
µL
Граничные условия для определения постоянных a и b должны
обеспечивать равенство нулю скорости на стенках трубы ( r = R, u = 0 ) и
ограниченность скорости течения во всем пространстве трубы ( r = 0, u < ∞ ).
Отсюда получаем для распределения скорости в трубе решение
u=
∆p
(R2 − r 2 )
4µ L
Таким образом, скорость потока распределена в сечении трубы по
параболическому закону.
Определим расход жидкости через трубу. Через кольцевой элемент
сечения трубы 2π rdr осуществляется расход жидкости равный 2π r ρudr .
Тогда через все сечение трубы расход будет
58
R
Q = 2πρ ∫ rudr
0
Подставляя сюда найденное распределение скорости по сечению трубы
и интегрируя, найдем
Q=
Это
известная
формула
π∆p 4
R
8ν L
Пуазейля. Здесь, вместо
коэффициента
динамической вязкости µ , введен коэффициент кинематической вязкости
ν =µ / ρ.
6.2. Теплообмен при течении в трубе
Следует рассматривать как начальный участок трубы, так и теплообмен
вдали от входа в трубу [12]. Рассмотрение начального участка трубы
сопряжено со значительными трудностями, которые связаны со сложным
полем скоростей на входе в трубу. В связи с этим можно прибегнуть к
упрощению задачи, дополнив трубу участком z < 0 , таким, что при z = 0
z < 0 теплообмен отсутствует, а при
характер теплообмена меняется: при
z > 0 теплообмен осуществляется. В этом случае течение в трубе будет
соответствовать параболическому профилю скорости, характерному для
пуазейлевского
течения:
u = um ( R 2 − r 2 ) ,
где
R
-
радиус
трубы
и
um = R 2 ∆p / 4 µ L - максимальная скорость течения в центре трубы, µ -
динамическая вязкость жидкости, ∆p - перепад давления на трубе длиной L .
Тогда уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах запишется
в виде
59
um 2 2 ∂T 1 ∂ ∂T ∂ 2T
(R − r )
=
r
+
∂z r ∂r ∂r ∂z 2
a
(6.1)
где a = λ / ρ c p - коэффициент температуропроводности.
Граничные условия на стенках трубы могут задаваться различные.
Постоянная температура стенок трубы: T = T0 при z < 0 и T = T1 при z > 0 .
Введем в уравнение (6.1) безразмерные переменные и параметры:
θ=
T − T0
,
T1 − T0
η=
r
,
R
ξ=
z
,
R
Pe =
um R
a
Тогда уравнение перепишется в виде
∂θ ∂ 2θ 1 ∂θ ∂ 2θ
Pe(1 − η )
=
+
+
∂ξ ∂η 2 η ∂η ∂ξ 2
2
(6.2)
а граничные условия будут:
в центре трубы: условие симметрии: η = 0,
∂θ
= 0 ; на стенках трубы:
∂η
η = 1, θ = 0 , при ξ < 0 и θ = 1, при ξ > 0 ; ξ → −∞, θ = 0; ξ → ∞, θ = 1 .
6.2.1. Начальный участок трубы.
На начальном участке трубы представляет интерес рассмотреть случай
больших чисел Пекле. В этом случае температура жидкости в области z < 0
будет равна температуре стенок трубы θ = 0 . В области z > 0 на стенках трубы
будет формироваться тонкий тепловой пограничный слой. Рассмотрим
уравнение (6.2) в этом тонком тепловом пограничном слое. Введем в
уравнение новую переменную ζ = 1 − η . Тогда, учитывая, что переменная
60
ζ
1 , найдем 1 − η 2 ≈ 2ζ
и двумя последними членами в правой части
уравнения (6.2) можно пренебречь по сравнению с первым членом. В
результате уравнение (6.2) преобразуется к виду
2Peζ
∂θ ∂ 2θ
=
∂ξ ∂ζ 2
(6.3)
с граничными условиями: ζ = 0, θ = 0; ζ = 0, θ = 1; ζ → ∞, θ = 0 .
Эта задача не имеет параметра размерности длины и является
автомодельной. Вводя автомодельную переменную ω = 2 Peζ 3 / 9ξ , получим
обыкновенное дифференциальное уравнение
d 2θ
2 dθ
+ (1 − )
=0
2
dω
3ω dω
Решением
этого
уравнения
является
неполная
гамма-функция:
∞
Γ(m;τ ) = ∫ e − x x ( m−1) dx . Полная гамма-функция: Γ(m) при τ = 0 , Γ(1 / 3) = 2.679 .
τ
1
1 2 Pe(1 − η )3
θ=
Γ( ;
)
Γ(1 / 3) 3
9ξ
(6.4)
Тепловой поток на стенку трубы
q = −λ
dT
1 ∂θ λ
1
6 Pe 1/3
= (T1 − T0 )
|r =1 = −λ (T1 − T0 )
(
)
Γ(1 / 3) ξ
dr
R ∂η R
(6.5)
Учитывая, что тепловой поток q = α (T1 − T0 ) , где α - коэффициент
теплообмена, для критерия Нуссельта получим выражение
61
Nu =
αR
1
6 Pe 1/3
=
(
)
λ Γ(1 / 3) ξ
(6.6)
Таким образом, на начальном участке трубы критерий Нуссельта
уменьшается с увеличение расстояния от входного участка трубы. Область
применимости полученных выражений ограничена расстояниями от входного
участка трубы ξ
Pe .
6.2.2. Теплообмен при произвольных числах Пекле.
Будем искать решение уравнения (6.2) в виде рядов [12]:
∞
γk
k −1
Pe
θ = ∑ Bk exp(
∞
λn
n =1
Pe
θ = ∑ An exp(
ξ ) g k (η )
ξ ) f m (η )
при ξ < 0
(6.7)
при ξ > 0
(6.8)
Подставляя эти ряды в исходное уравнение (6.2) и граничные условия,
после разделения переменных, получим уравнения и граничные условия для
определения функций f n и g k .
d 2 g k 1 dg k
γ k2
2
2
+
+ γ k (η − 1 + 2 ) g k = 0
dη 2 η dη
Pe
η = 0,
dg k
= 0; η = 1,
dη
g k = 0;
d 2 f n 1 df n
λn2
2
2
+
+ λn (−η + 1 + 2 ) f n = 0
dη 2 η dη
Pe
η = 0,
df n
= 0; η = 1,
dη
62
(6.9)
f n = 0;
(6.10)
Функции f n и g k определяются с точностью до постоянного множителя,
поэтому для определенности будем полагать, что в центре трубы выполняется
условие нормировки:
η = 0,
f n = 1,
gk = 1
Температура и тепловой поток должны быть непрерывны при переходе
через сечение трубы ξ = 0 , поэтому в этом сечении должны быть равны
температуры и производные от температуры по продольной координате. Эти
условия дают возможность определить постоянные в рядах An и Bk
An = −
2
λn (∂f / ∂λ )η =1, λ =λn
Bk = −
2
γ k (∂f / ∂λ )η =1, γ =γ k
где f (η , λ ) и g (η , λ ) вспомогательные функции, которые определяются из
уравнений (6.9)-(6.10), где опущены индексы и не используются граничные
условия на стенках трубы.
Рассмотрим область ξ > 0 .
Замена переменных в уравнении (6.10)
u = λnη 2 и F = exp(u / 2) f n приводит к уравнению
d 2F
dF
u 2 + (b − u )
− aF = 0
du
du
Это вырожденное гипергеометрическое уравнение, решением которого
является вырожденная гипергеометрическая функция
63
a (a + 1)… (a + m − 1) u m
F = Φ ( a , b, u ) = 1 + ∑
m =1 b(b + 1)… (b + m − 1) m !
∞
Тогда решение уравнения (6.10) запишется в виде
1
f n = exp(− λnη 2 )Φ (an ,1, λnη 2 )
2
(6.11)
1 1
λn2
где an = − λn −
, а собственные значения λn определяются из решения
2 4
4 Pe
трансцендентного уравнения
Φ ( an ,1, λn ) = 0
При малых числах Пекле
(6.12)
левой частью исходного уравнения (6.2)
можно пренебречь. В этом случае решение не будет зависеть от числа Пекле.
Тогда для ряда (6.10) можно найти
λn = (γ n Pe)1/2 , An = −[γ n J1 (γ n )]−1 ,
f n = J 0 (γ nη ),
где J1 и J 0 - функции Бесселя, γ n - корни функции Бесселя J 0 (γ n ) = 0 .
Значения
корней
функции
Бесселя
можно
вычислять
при
помощи
приближенного выражения: γ n = 2.4 + 3.13n .
При очень больших числах Пекле и больших величинах порядкового
номера n можно получить зависимость: λn = 4n + 2.7 . Это зависимость
справедлива для всех значений порядкового номера n . Для коэффициентов An
ряда (6.10) существует выражение
An = 2.85(−1) n λn−2/3 , которое хорошо
согласуется с асимптотическими и численными результатами расчета.
64
При больших, но конечных числах Пекле, приведенные выражения для
λn и An справедливы только для ограниченного числа собственных значений,
удовлетворяющих условию λn
Pe . Зависимость главного собственного
значения λ0 от числа Пекле аппроксимируется формулой
λ0 = 2.7
exp(0.27 Pe) − 1
exp(0.27 Pe) − 0.18
Для средней массовой температуры в произвольном сечении трубы,
учитывая, что распределение скорости жидкости в трубе соответствует
параболической зависимости u (η ) = 1 − η 2 , получим выражение
1
θ =
∫ θ u (η )η dη
0
1
∫ u (η )η dη
1
= 4 ∫ θ (1 − η 2 )η dη
(6.13)
0
0
Подставляя в (6.13) ряд (6.10), получим
∞
λn2
n =1
Pe
θ = 1 − 4 ∑ exp(−
1
ξ ) An ∫ f n (1 − η 2 )η dη
(6.14)
0
Для безразмерного теплового потока на стенку трубы имеем выражение
∞
∂θ
λn2
q = ( )η =0 = − ∑ An exp(− ξ ) f n′(1)
n =0
∂η
Pe
1
где f n′(1) = 2an λn exp(− λn )Φ (an + 1,2, λn ) .
2
65
(6.15)
Критерий
Нуссельта
равен
отношению
теплового
потока
к
температурному напору: Nu = 2q / (1 − T ) . При ξ → ∞ в рядах (6.14) и (6.15)
можно ограничиться рассмотрением только первых членов. Тогда для
критерия Нуссельта получим выражение
Nust =
− f 0′(1)
1
2∫ f 0 (η )(1 − η )η dη
(6.16)
2
0
Как видно на больших расстояниях от входа в трубу критерий Нуссельта
равен постоянной величине, которая не зависит от продольной координаты ξ .
Зависимость критерия Нуссельта от числа Пекле хорошо аппроксимируется
выражением
Nust =
4.16 + 1.15Pe
1 + 0.315 Pe
(6.17)
Таким образом, при больших числах Пекле процесс теплоотдачи в трубе
можно разделить на два участка. Первый участок, который расположен на
входе в трубу, называется начальным термическим участком. На этом участке
критерий Нуссельта уменьшается с увеличением расстояния от входа в трубу.
Длина начального термического участка, на котором критерий Нуссельта
превышает минимальное значение критерия Нуссельта на 1%, определяется
выражением: l = 0.11R Pe . Этот участок тем длиннее, чем больше критерий
Пекле. Второй участок, который расположен на больших расстояниях от входа
в трубу, называется участком стабилизированного теплообмена. На этом
участке критерий Нуссельта является величиной постоянной.
6.2.3. Постоянный тепловой поток на стенках трубы.
66
При постоянном тепловом потоке на стенке трубы: q = −λ
dT
|r = R = const
dr
при z > 0 , труба теплоизолирована при z < 0 и T = T1 при z → −∞ .
Введем в уравнении (6.1) безразмерную температуру по формуле
θ=
λ (T − T1 )
aq
где a - коэффициент температуропроводности. Остальные переменные
оставим такими же, как и в случае трубы с постоянной температурой стенок.
Тогда уравнение примет вид аналогичный уравнению (6.2) с граничными
условиями:
η = 0,
∂θ
= 0; η = 1,
∂η
∂θ
∂θ
= 1 при z > 0 ;
= 0 при z < 0 и
∂η
∂η
ξ → ∞, θ → 0
(6.18)
Вдали от входного сечения будем искать решение уравнения (6.2) в виде
θ = αξ + Ψ (η )
(6.19)
Подставив это решение в уравнение (6.2), подучим следующую задачу
α Pe(1 − η 2 ) =
η = 0,
1 d dΨ
η
η dη dη
dΨ
= 0; η = 1,
dη
67
dψ
= 1.
dη
(6.20)
(6.21)
Однократное интегрирование уравнения (6.20) дает
η η3 C
dΨ
= α Pe( − + 1 )
2 4 η
dη
(6.22)
Из граничных условий (6.21) найдем: C1 = 0, α = 4 / Pe . Интегрируя
уравнение (6.20), получим
Ψ =η −
2
η4
4
+ C2
(6.23)
Для определения постоянной интегрирования C2 составим уравнение
материального баланса. Умножим исходное уравнение (6.2) на η
и
проинтегрируем по переменной η от 0 до 1. Затем полученное уравнение
проинтегрируем по переменной ξ от −∞ до
ξ > 0 . Учитывая граничные
условия (6.18) и меняя, где необходимо, порядок интегрирования, получим
1
1
0
0
Pe ∫η (1 − η 2 )θ dη = ξ + ∫η
∂θ
dη
∂ξ
(6.24)
Подставляя в это уравнение материального баланса решение в виде
(6.19) с функцией Ψ , определяемой решением (6.23), найдем уравнение, из
которого определяется постоянная интегрирования
C2 =
8
7
−
2
Pe 24
Таким образом, распределение температуры по радиальной координате
вдали от входного сечения определяется выражением:
68
θ=
4
η4
8
7
ξ +η2 − + 2 −
Pe
4 Pe 24
(6.25)
Температура стенок трубы (η = 1) будет
θ0 =
4
8
11
+ 2+ .
Pe Pe
24
Среднемассовая температура жидкости в трубе
1
θ =
∫ θ u (η )η dη
0
1
∫ u (η )η dη
1
= 4∫ θ (1 − η 2 )η dη =
0
4
8
ξ+ 2
Pe
Pe
0
Тогда температурный напор в режиме тепловой стабилизации будет:
θ 0 − θ = 11 / 24 , то есть не зависит от продольной координаты. При
постоянном тепловом потоке на стенки трубы критерий Нуссельта также будет
величиной постоянной: Nu = 48 / 11 = 4.36 . Можно видеть также, что в
рассматриваемом случае критерий Нуссельта не зависит от критерия Пекле.
6.2.3. Теплоотдача при ламинарном течении в трубах
разной формы сечения
Рассмотрим теплоотдачу в трубе произвольной формы сечения в области
стабилизированного
теплоотвода,
при
больших
числах
Пекле,
когда
молекулярной теплопроводностью можно пренебречь по сравнению с
конвективным потоком тепла. В этом случае среднее по периметру трубы
число Нуссельта может быть определено следующим образом
69
Nu =
где T0 и T
q
dэ
(T0 − T ) λ
(6.26)
- соответственно температура стенок трубы и средняя массовая
температура жидкости в трубе, q - средний по периметру тепловой поток на
стенки трубы, который вычисляется по формуле
q =−
λ
∫(
ΠΓ
∂T
)Γ d Γ
∂n
(6.27)
где производная от температуры берется на стенке трубы по нормали к
контуру трубы.
Эквивалентный или гидравлический диаметр d э , входящих в формулу
(6.26), определяется по формуле: d э = 4 S / Π , где S - площадь поперечного
сечения трубы и Π - периметр сечения трубы.
Для трубы прямоугольного сечения со сторонами a > b эквивалентный
диаметр d э = 2ab / ( a + b) . Средний по периметру трубы критерий Нуссельта
Nus для трубы с постоянной температурой стенок хорошо аппроксимируется
зависимостью
Nus = 7.5 − 17.5 ε + 23 ε 2 − 10 ε 3 , где ε = b / a
Для трубы, сечением которой является правильный N-угольник,
предельное число Нуссельта при постоянной температуре на стенках трубы
можно вычислять по формуле
Nus = 3.65 − 0,18 N −1 − 10 N −2
70
Для
трубы
эллиптического
сечения
эквивалентный
диаметр
d э = ab / E ( 1 − b 2 / a 2 ) . Для трубы с постоянной температурой стенок среднее
по периметру число Нуссельта в области тепловой стабилизации потока
определяется выражением
Nus = [
3π 2 (1 + ω 2 )(1 + 6ω 2 + ω 4 )
]
E (ϑ )
17 + 98ω 2 + 17ω 4
где E (ϑ ) - полный эллиптический интеграл второго рода, ϑ = 1 − ω 2 ,
ω = a / b . В частном случае круглой трубы, ω = 1, E (0) = π / 2 , имеем
Nus = 48 / 11 .
7. Тепло- и массообмен частиц с окружающей средой
В
ряде
технологических
процессах
происходит
взаимодействие
реакционных газов с твердыми частицами или пузырями. К таким процессам
следует отнести процессы с кипящим слоем катализатора, а также
барботажные процессы, где пузырьки газа пробулькивают через слой
жидкости
7.1.
Теплообмен сферической частицы с неподвижной средой
Рассмотрим
теплообмен
сферической
частицы
радиуса
R
с
неподвижной окружающей средой. Будем полагать, что температура частицы
распределена равномерно по ее объему и равна T0 . Температура окружающей
среды вдали от частицы равна T∞ . Для сферической частицы в неподвижной
среде уравнение теплопроводности в сферических координатах записывается в
виде
71
1 d 2 dT
=0
r
r 2 dr dr
Граничные
условия
r = R, T = T0 ; r → ∞, T → T∞ .
для
Интегрируя
уравнения
уравнение
по
будут:
радиальной
координате, найдем решение в виде
T = T∞ + (T0 − T∞ ) R / r
Для потока тепла на поверхность частицы имеем
q = −λ
dT
|r = R = λ (T∞ − T0 ) / R = α (T∞ − T0 )
dr
Отсюда получим
Nu =
αd
=2
λ
где d = 2 R - диаметр частицы.
7.2.
Теплообмен частиц произвольной формы с неподвижной
окружающей средой
Стационарный теплообмен частицы с неподвижной окружающей средой
описывается уравнением Лапласа
∆T = 0
с граничными условиями: T = T0 на поверхности частицы и T = T∞ вдали от
частицы.
72
Искомой величиной, представляющей практический интерес, является
число Нуссельта Nu = α a / λ , где a - характерный размер.
Данная
задача
математически
эквивалентна
задаче
об
электростатическом поле заряженного проводящего тела в однородной
диэлектрической среде. Число Нуссельта в этом случае совпадает с
безразмерной электрической емкостью тела и может быть вычислено или
измерено методами электростатики. При этом удобно ввести фактор формы
Π=
αS
S
= Nu
λ
a
где S - размерная площадь поверхности частицы.
В табл. 1 приведены величины фактора формы для некоторых частиц
разной формы.
Табл. 1 Фактор формы частиц в неподвижной среде.
№
Форма частицы
Фактор формы Π = Nu S / a
1.
Сфера радиуса a
4π a
2.
Круговой цилиндр радиуса a и
[8 + 4.1( L / a )0.76 ]a
длины L ( L / a ≤ 16)
3.
Куб с ребром a
0.654( 4π a )
4.
Тонкая прямоугольная пластинка
2π L1
ln(4 L1 / L2 )
со сторонами L1 и L2
5.
( L1 ≥ L2 )
Соприкасающиеся сферы равного
2ln 2(4π a)
радиуса a
6.
Сплюснутый эллипсоид вращения
с полуосями a и b , x = b / a < 1
73
4π a 1 − x 2
arccos x
7.
Вытянутый эллипсоид вращения с
4π a x 2 − 1
полуосями a и b , x = b / a > 1
ln( x + x 2 − 1)
7.3. Нестационарный теплообмен частицы с неподвижной средой
Нестационарный
теплообмен
частицы
с
неподвижной
средой
описывается уравнением
dT
= ∆T
dτ
где τ = t χ / a , χ - коэффициент температуропроводности.
Начальное условие для этого уравнения будет: τ = 0, T = T∞ , а
граничные условия: T = T0 на поверхности частицы и T = T∞ в окружающей
среде, вдали от частицы.
Для сферической частицы решение уравнения может быть выражено
через дополнительный интеграл вероятности
1
1−ξ
T = T∞ + (T0 − T∞ ) erfc (
)
τ
2 τ
где ξ = r / a - безразмерная радиальная координата.
Число Нуссельта для сферы будет
Nu =
αa
1
=1+
λ
πτ
74
Для частицы несферической формы среднее число Нуссельта может
быть приближенно вычислено по формуле
Nu = Nust +
где
Nust
1
πτ
соответствует решению стационарной задачи и может быть
определено с использование табл. 1
7.3.
Массообмен сферической частицы в потоке при малых числа
Пекле
Небольшие числа Пекле соответствуют малым числам Рейнольдса и
малым или порядка единице числам Шмидта. Это соответствует случаю
обтекания частиц малого размера газовым потоком с небольшими скоростями.
7.4.1. Гидродинамика обтекания сферической частицы при
малых числах Рейнольдса (Задача Стокса)
При
рассмотрении
массобмена
частицы
с
движущейся
средой
необходимо, прежде всего, определить гидродинамическую картину течения в
окрестности частицы. Будем рассматривать обтекание сферической частицы
однородным
потоком
при
малых
числах
Рейнольдса
Re
1
[10].
Стационарное уравнение Навье-Стокса может быть записано в безразмерном
виде
(v ) v = −
1
ρ
75
grad p +
1
∆v
Re
При малых числах Рейнольдса можно пренебречь силами инерции по
сравнению с вязкими силами. Тогда уравнения движения, в проекциях на
координатные оси, запишутся в виде
∂p
= µ∆u x ,
∂x
∂p
= µ∆u y ,
∂y
∂p
= µ∆u z
∂z
∂u x ∂u y ∂u z
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
где µ - кинематическая вязкость.
Эти уравнения называются уравнениями Стокса и используются для
описания течений при малых числах Рейнольдса.
Для описания обтекания сферы можно использовать следующие
граничные условия:
r = R, u x = u y = u z = 0, r → ∞, u x = U , u y = u z = 0 ,
где r = x 2 + y 2 + z 2 - радиус вектор.
Введем в рассмотрение сферические координаты, связанные с частицей.
Уравнения движения в сферических координатах записываются в виде
∂p
∂ 2u
1 ∂ 2ur 2 ∂ur ctgθ ∂ur 2 ∂uθ 2ur 2ctgθ
= µ ( 2r + 2
+
+ 2
−
− 2 − 2 uθ )
∂r
∂r
r ∂θ 2 r ∂r
r ∂θ r 2 ∂θ
r
r
1 ∂p
∂ 2uθ 1 ∂ 2uθ 2 ∂uθ ctgθ ∂uθ 2 ∂ur
u
= µ( 2 + 2
+
+ 2
+ 2
− 2 θ2 )
2
r ∂θ
∂r
r ∂θ
r ∂r
r ∂θ r ∂θ r sin θ
∂ur 1 ∂uθ 2ur uθ ctgθ
+
+
+
=0
∂r r ∂θ
r
r
Граничные условия на поверхности сферы будут:
76
r = R, ur = uθ = 0 ,
а на бесконечности:
r → ∞, ur = U cosθ , uθ = −U sin θ .
Исходя из вида граничных условий, решения уравнений движения
можно искать в виде:
ur = f ( r ) cosθ , uθ = − g (r )sin θ ,
p = µ h(r )cosθ
Подставляя эти решения в уравнения движения, получим три
обыкновенных дифференциальных уравнения
h′ = f ′′ +
2
4( f − g )
f′−
;
r
r2
1
2
2( f − g )
h = g ′′ + g ′ +
r
r
r2
f′+
2( f − g )
=0
r
а граничные условия преобразуются к виду:
r = R,
f = g = 0; r → ∞,
f = U , g = U.
Определяя из третьего уравнения функцию
1
g = rf ′ + f
2
77
находим функцию h из второго уравнения
1
h = r 2 f ′′′ + 3rf ′′ + 2 f ′
2
и, наконец, из первого уравнения находим уравнение для определения
функции f
r 3 f IV + 8r 2 f ′′′ + 8rf ′′ − 8 f ′ = 0
Это уравнение является уравнением типа Эйлера, имеющее частные
решение вида
f = r k . Подставляя это решение в уравнение, получим
характеристической уравнение для определения параметра k
k (k − 2)(k + 1)(k + 3) = 0
Тогда решение уравнение записывается в виде
f =
A B
+ + C + Dr 2
3
r
r
Для функций g и h находим следующие решения
g=−
A
B
+
+ C + 2 Dr 2 ;
3
2r
2r
h=
B
+ 10 Dr
r2
Из граничных условий определяем постоянные интегрирования
1
3
A = UR 3 , B = − UR, C = U , D = 0
2
2
78
Таким образом, получаем следующие распределения скоростей и
давления
ur = U (1 −
3
1
+ 3 )cosθ
2ξ 2ξ
uθ = −U (1 −
3
1
− 3 )sin θ
4ξ 4ξ
3 U
p = − µ 2 cosθ
2 Rξ
Безразмерная функция тока (отнесенная к R 2U ) для рассматриваемого
течения записывается в виде
1
4
ψ = (ξ − 1) 2 (2 + ξ )sin 2 θ
7.4.2. Массообмен частицы с окружающей средой
Использование функции тока позволяет записать уравнение диффузии в
следующем виде
∆ς =
PeD ∂ψ ∂ς ∂ψ ∂ς
(
)
−
ξ sin θ ∂θ ∂ξ ∂ξ ∂θ
2
(7.1)
где ς = ( z∞ − z ) / ( z∞ − z0 ) - безразмерная концентрация, ξ = r / R - безразмерная
координата и PeD = Ur / D - критерий Пекле, D - коэффициент диффузии.
Граничные условия будут: на поверхности частицы ξ = 1, ς = 1 ; на
бесконечности ξ → ∞, ς = 0 .
79
Будем искать решение уравнения (7.1) при малых величинах числа
Пекле методом сращиваемых асимптотических разложений [12]. Для этого
разобьем все пространства на две области: первая область вблизи поверхности
частицы и вторая – вдали от частицы. В области вблизи частицы сохраним
переменные ξ и θ , а в области вдали от частицы введем, вместо ξ , сжатую
радиальную координату ξ = ξ Pe .
Решение в каждой из областей будем искать по отдельности в виде рядов
∞
ς = ∑ ε k ( Pe)ς k (ξ ,θ )
k =0
∞
ς = ∑ ε k ( Pe)ς k (ξ ,θ )
k =0
вблизи частицы
(7.2)
вдали частицы
(7.3)
Зависимость коэффициентов ε k и ε k от числа Пекле неизвестна и
должна определяться в процессе решения задачи. Предполагается лишь, что
при увеличении k эти коэффициенты убывают при стремлении числа Пекле к
нулю.
Члены разложения вблизи частицы (7.2) определяются из решения
уравнения (7.1) с использованием граничных условий на поверхности
частицы, а члены разложения вдали от частицы (7.3) определяются из решения
уравнения (7.1), где сделана замена переменных ξ = ξ / Pe , с использованием
граничных условий на бесконечности. Возникающие при решении этих
уравнений константы интегрирования определяются из условия сращивания,
которое записывается в виде
ς (ξ → ∞) = ς (ξ → 0)
80
(7.4)
Главный член разложения вблизи частицы (7.2) определяется из решения
уравнения (7.1) при числе Пекле равном нулю. Решение уравнения Лапласа
для сферической частицы имеет вид
1
ς 0 = , ε 0 ( Pe) = 1
ξ
(7.5)
Перейдем в решении (7.5) к переменной ξ тогда ς 0 = Pe / ξ . Из условия
сращивания решений следует, что ε 0 = Pe . Подставим в уравнение (7.1)
ξ = ξ / Pe и ς = Pe ς 0 . Пренебрегая членами порядка Pe , получим уравнение
∆ς 0 =
∂ς 0
∂ς sin θ
cosθ + 0
∂ξ
∂θ ξ
(7.6)
где ∆ - осесимметричный оператор Лапласа, в котором в качестве радиальной
координаты используется ξ .
Общее
решение
уравнения
(7.6)
с
граничными
условиями
на
бесконечности имеет вид
π
ξ cosθ ∞
ξ
ς 0 = ( )1/2 exp(
) ∑ Am K m+1/2 ( ) Pm (cosθ )
m=0
ξ
2
2
где K m+1/2 ( x ) - функция Макдональда и Pm ( x) - полиномы Лежандра.
Из условия сращивания нетрудно установить, что A0 = 1 / π ,
Am = 0.
Следовательно,
ς0 =
1
1
exp( ξ (cosθ − 1), ε 0 = Pe
ξ
2
81
(7.7)
Подставим решение (7.7) в ряд (7.3) и перейдем к переменной ξ .
Разлагая полученное выражение в ряд по Pe , из условия сращивания найдем:
ε1 ( Pe) = Pe . Отсюда найдем, что первое приближение для разложения вблизи
поверхности частицы будет
ς=
1
ξ
+ Peς 1 (ξ ,θ )
(7.8)
Подставляя (7.8) в уравнение (7.1), с точностью до членов порядка Pe ,
получим уравнение и граничное условие
∆ς 1 = −
1
ξ
2
(1 −
3
1
+ 3 )cosθ
2ξ 2ξ
ξ = 1, ς 1 = 0
(7.9)
(7.10)
Общее решение уравнения (7.9) записывается в виде
1
2
ς1 = ( −
∞
3
1
− 3 )cosθ + ∑ (amξ m + bmξ − m−1 ) Pm (cosθ )
m=0
4ξ 8ξ
(7.11)
Граничное условие (7.10) позволяет установить соотношения между
постоянными am и bm
3
a1 = − b1 , am = −bm
8
82
Для определения постоянных в решении (7.11) проведем сращивание
выражений (7.8) с учетом (7.11) при ξ → ∞ с выражением (7.7) при ξ → 0 . В
результате найдем
1
1
3
a0 = − , b0 = , a1 = 0, b1 = , am = bm = 0
2
2
8
Таким образом, найдем решение уравнения в виде
1
2
ς1 = − +
1
1 3
3
1
+( −
+ 2 − 3 )cosθ
2ξ
2 4ξ 8ξ
8ξ
(7.12)
Для сферической частицы число Шервуда определяется по формуле
1π
∂ς
Sh = ∫ sin θ ( )ξ =1 dθ
∂ξ
20
Подставляя сюда двучленное выражение (7.8) с учетом (7.12) найдем
1
Sh = 1 + PeD
2
В последующем были определены члены более высокого порядка по
числу Pe . Итоговое выражение для числа Шервуда будет
1
1
1
1
Sh = 1 + PeD + PeD2 ln PeD + Q( Sc) PeD3 + PeD3 ln PeD
2
2
2
4
Q( Sc) = −
173
1
Sc 2 Sc
Sc
+ ln γ +
−
− (1 + Sc) 2 ( − 1)ln(1 + )
160
2
4
2
Sc
83
где ln γ = 0.5772… - постоянная Эйлера.
7.4.3. Массообмен сферической частицы с окружающей средой при
больших числах Пекле
Будем полагать, что сферическая частица обтекается потоком при числе
Re
1 , но больших числах Пекле [14]. Это соответствует жидкостям, для
которых коэффициенты диффузии значительно меньше кинематического
коэффициента вязкости, то есть таким жидкостям, для которых критерий
Шмидта Sc = ν / D
1.
В этом случае уравнения, описывающие теплообмен частицы с
окружающей средой будет уравнение (7.1) с функцией тока, соответствующей
стоксовскому обтеканию частицы.
При больших числах Пекле на поверхности сферической частицы
сформируется диффузионный пограничный слой. В пограничном слое
существенную роль играет радиальная составляющая переноса вещества
диффузией к поверхности частицы, а также конвективный перенос вещества,
обусловленный движением жидкости.
Введем
малый
параметр
ε = Pe1/3
D
и
растянутую
координату
y = (ξ − 1) / ε . Подставляя эту растянутую координату в уравнение (7.1) и
пренебрегая величинами порядка ε , придем к следующему уравнению
∂ 2ς
1 ∂ψ ∂ς ∂ψ ∂ς
=
(
−
)
∂y 2 sin 2 θ ∂θ ∂y ∂y ∂θ
Функция тока стоксовского течения преобразуется к виду
ψ=
3 2 2
y sin θ
4
84
(7.13)
Перейдем далее от переменных θ , y к переменным Мизеса θ , ψ . В
результате будем иметь уравнение
−
∂ς
∂
∂ς
= 3 sin 2 θ
ψ
∂θ
∂ψ
∂ψ
ω= ψ =
Преобразования
τ=
(7.14)
3 1/3
PeD (ξ − 1)sin θ ,
2
3π 2
3
1
(π − θ + sin 2θ )
∫ sin θ dθ =
4 θ
8
2
Приводит уравнение (7.14) к виду
∂ς 1 ∂ 2ς
=
∂τ ω ∂ω 2
(7.15)
с граничными условиями:
τ = 0, ς = 0; ω = 0, ς = 1; ω → ∞, ς → 0
(7.16)
Задача (7.15)-(7.16) автомодельная, решение которой выражается через
неполную гамма-функцию
1
1 ω3
1
1 PeD (ξ − 1)3 sin 3 θ
ς=
Γ( , ) =
Γ( ,
)
Γ(1 / 3) 3 9τ
Γ(1 / 3) 3 3(π − θ + 1 sin 2θ )
2
Дифференцируя
выражение
(7.17)
поверхность сферической частицы
85
найдем
тепловой
(7.17)
поток
на
q = −(
∂ς
1
)ξ =1 = 0.766sin 2 θ (π − θ + sin 2θ ) −1/3 Pe1/3
D
∂ξ
2
Локальный диффузионный поток принимает максимальное значение в
передней критической точке, при θ = π , и минимальное значение, равное
нулю, при θ = 0 .
Среднее число Шервуда вычисляется по формуле
Sh = 0.625 Pe1/3
D + 0.461 ,
которая справедлива при PeD ≥ 10 .
7.5. Массообмен капли (пузыря) с потоком
При обтекании капли или пузыря потоком жидкости или газа
гидродинамические течения возникают не только в окрестности капли или
пузыря, но и внутри них. Это связано с возникновением вязких сил трения
между жидкостью, обтекающей капля и жидкостью, находящейся внутри
капли.
7.5.1. Гидродинамика обтекания капли (пузыря) потоком
(решение Адамара-Рыбчинского)
Рассмотрим жидкую сферическую каплю, которая обтекается потоком
жидкости другого сорта со скоростью U . Динамические вязкости жидкостей
вне и внутри капли будут µ1 и µ 2 , соответственно. При обтекании капли
потоком жидкости течение возникает не только в области вне капли, но и
внутри капли за счет касательных напряжений, возникающих на поверхности
86
капли. Схематически картина течения при обтекании капли жидкостью
показана на рис.7.
Рис. 7. Схематическое изображение функций тока при обтекании
капли жидкостью.
При малых числах Рейнольдса ( Re
1 ) течение жидкости вне и внутри
капли описывается уравнениями Стокса. Однако граничные условия для
жидкой капли будут иные, чем в задаче Стокса, где использовалось условие
прилипания на поверхности твердой частицы. Для жидкой капли необходимо
использовать условия сшивки решений уравнений Стокса вне и внутри капли.
Такими условиями сшивки решений являются:
1. непроницаемость поверхности капли для жидкости иного рода
r = R, Vr(1) = Vr(2) = 0
2. равенство тангенциальных скоростей потоков
r = R, Vθ(1) = Vθ(2)
87
3. равенство скачка нормальных напряжений на поверхности капли
избыточному
давлению,
связанному
с
силами
поверхностного
напряжения
r = R,
p (1) − 2 µ1
∂Vr(1) 2σ
∂V (2)
+
= p (2) − 2 µ2 r
∂r
∂r
R
σ - поверхностное напряжение.
4. равенство касательных напряжений на поверхности частицы
∂Vθ(1) Vθ(1)
∂Vθ(2) Vθ(2)
r = R, µ1 (
) = µ2 (
)
−
−
r
r
∂r
∂r
Кроме этого необходимо использовать условие ограниченности скорости
в центре капли.
Эти условия позволяют определить константы интегрирования и
получить распределения скоростей потоков как вне капли
(1)
r
V
1 2
2 + 3β R
β
R3
= Ur [1 −
+
]cosθ
4
2(1 + β ) r 2(1 + β ) r 3
(1)
Vθ
2 + 3β R
β
R3
= −U [1 −
+
]sin θ
4(1 + β ) r 4(1 + β ) r 3
p (1) = p0(1) − µ1U
(2 + 3β ) R
cosθ
2(1 + β ) r 2
так и внутри капли
Vr(2) = −
Vθ(2) =
U
r3
(1 − 3 )cosθ
2(1 + β )
R
U
r3
(1 − 2 3 )sin θ
2(1 + β )
R
88
p (2) = p0(2) − 5µ2U
r
cosθ
R (1 + β )
2
Величины p0(1) и p0(2) , входящие в уравнения связаны соотношением:
p0(1) − p0(2) =
2σ
R
а β = µ 2 / µ1 .
Для функций тока имеем выражения:
ψ
(1)
1 2
2 + 3β R
β R3
= Ur (2 −
+
)sin 2 θ
3
4
1+ β r 1+ β r
ψ
(2)
U
r2
2
=−
r (1 − 2 )sin 2 θ
4(1 + β )
R
Сила сопротивления жидкой сферической капли потоку жидкости
определяется выражением
F = 2π Rµ1U
2µ1 + 3µ2
µ1 + µ2
При β = µ 2 / µ1 → ∞ получаем формулу Стокса для обтекания твердой
частицы, а при β → 0 формула соответствует обтеканию газового пузыря.
7.5.2. Массообмен капли с окружающей средой
Процессы тепло- и массообмена жидкой капли или газового пузыря с
окружающей средой существенно отличаются от тепло- и массообмена с
окружающей средой твердой частицы. При переносе вещества от движущейся
жидкости к твердой поверхности интенсивность переноса вещества вблизи
89
поверхности ниже, чем в объеме, так как скорость потока на твердой
поверхности равна нулю, вследствие условия прилипания. При переносе тепла
к жидкой капле скорость потока на поверхности капли не равна нулю и
перенос вещества в этом случае осуществляется в более благоприятных
условиях незаторможенного потока. Поэтому перенос вещества к границе
раздела двух жидкостей всегда происходит более интенсивно, чем к границе
раздела жидкость – твердое тело.
Математически задача о распределении концентрации в объеме вне
капли описывается уравнением (7.1). Но функция тока задается решением
Адамара-Рыбчинского
1
2
ψ = (ξ − 1)[ξ −
β
2(1 + β )
1
(1 + )]sin 2 θ
ξ
(7.18)
Здесь введена безразмерная функция тока, такая, что размерная функция
тока получается умножением на величину R 2U .
При решении уравнения (7.1) будем считать, что диффузионный
критерий Пекле большой ( PeD
1 ). Тогда на поверхности капли образуется
диффузионный пограничный слой. Введем малый параметр ε = PeD−1/2 и
перейдем в уравнении (7.1) и формуле (7.18) к новой растянутой переменной
ω = (ξ − 1) / ε . Пренебрегая членами порядка ε придем к уравнению (7.13), в
котором функция тока будет иметь вид
ψ=
1
ω sin 2 θ
2(1 + β )
(7.19)
Перейдя от переменной ω к переменной ψ с помощью (58) получим
уравнение (52) в виде
90
−
∂ς
sin 2 θ ∂ 2ς
=
∂θ 2(1 + β ) ∂ψ 2
(7.20)
Далее проведем в уравнении (7.20) замену переменной
τ=
1 π 2
1
2
1
( + cosθ − cos3 θ )
∫ sin θ dθ =
2(1 + β ) θ
2(1 + β ) 3
3
приводим его к уравнению теплопроводности
∂ς ∂ 2ς
=
∂τ ∂ψ 2
(7.21)
Граничные условия для этого уравнение будут:
τ = 0, ς = 0; ψ = 0, ς = 1; ψ → ∞, ς → 0
Решение уравнения (7.21) с указанными граничными условиями
выражается через дополнительный интеграл вероятностей
ς = erfc(
ψ
2 τ
) = erfc(
1
6 PeD
1 − cosθ
(ξ − 1)
)
4 π (1 + β )
2 − cosθ
Локальный диффузионный поток на поверхность капли будет
q = −(
∂ς
3PeD 1 − cosθ
)ξ =1 =
π (1 + β ) 2 − cosθ
∂ξ
91
Интегрируя
локальный
диффузионный
поток
по
поверхности
сферической капли и разделив его на безразмерную площадь поверхности
капли найдем среднее число Шервуда
Sh =
2 PeD
3π (1 + β )
Таким образом, для жидкой капли критерий Шервуда пропорционален
диффузионному числу Пекле в степени 1/2 , тогда как для твердой частицы
критерий Шервуда был пропорционален числу Пекле в степени 1/3.
8. Горение частиц алюминия
Горение металлических частиц в сравнении с горением углеводородных
и других видов топлив обладает рядом особенностей, наиболее характерными
из которых являются:
- образование конденсированных продуктов сгорания,
- высокие температуры процесса горения,
-
высокие
тепловые
эффекты
реакций
взаимодействия
металлов
с
окисляющими
газами особенно при образовании конденсированных продуктов сгорания,
- высокая химическая активность металлов, не защищенных окисной пленкой,
в
окисляющих газах.
Процессы
горения
металлических
частиц
исследуются
весьма
интенсивно в связи с широким использованием их в технике и технологии, в
частности, в качестве энергетических добавок к твердым ракетным топливам,
где они составляют основную массу горючего. Однако, несмотря на большое
92
число
работ,
посвященных
экспериментальным
и
теоретическим
исследованиям процесса горения частиц металлов [18] физическая картина
этого процесса полностью остается не ясной, по-видимому, вследствие
значительных экспериментальных трудностей, с которыми приходится
сталкиваться при исследованиях. К таким трудностям можно в первую очередь
отнести:
- микроскопические размеры исследуемых частиц,
- высокие температуры воспламенения и горения частиц металлов,
- образование облака конденсированных частичек окиси в газе, вокруг
горящей частицы, которое экранирует поверхность частицы:
- наличие большого числа факторов, влияющих на процесс горения, к которым
следует отнести: размер частиц, давление и температуру окружающей среды,
концентрацию окисляющих газов и их разновидность (пары воды, двуокись
углерода, кислород, хлор и др.),
- наличие конвекции окружающего газа, влияющего на геометрическую форму
и размеры зоны конденсации окисла в газе вокруг горящей частицы.
В
виду
указанных
трудностей
заключения
о
механизме
и
закономерностях процесса горения металлических частиц часто делаются на
основе косвенных экспериментальных данных или на основе тонких,
специально поставленных экспериментов.
8.1 Закономерности горения частиц алюминия
Использование процесса горения частиц алюминия в технике и
технологии предполагает знание основных характеристик и закономерностей
их воспламенения и горения. К ним следует, прежде всего, отнести время
сгорания частиц алюминия и зависимость его от размера частиц, температуры,
состава и давления окружающей среды. Важнейшей характеристикой процесса
сгорания частиц алюминия является также образование конденсированных
продуктов сгорания в виде частиц окиси алюминия, наличие которых в
93
выхлопных газах ракетных двигателей на твердом топливе приводит к, так
называемым, двухфазным потерям удельного импульса двигателя. Поэтому,
наряду с измерениями времени воспламенения и сгорания частиц алюминия,
значительное внимание при исследованиях уделяется продуктам сгорания,
определению размеров образующихся частиц конденсированной окиси
алюминия и закономерностям их образования.
На первых стадиях исследования, для выяснения механизма горения
частиц алюминия, наиболее широко использовались экспериментальные
методики гашения горящих частиц алюминия на подложках или в инертных
газах, а также методики фотографирования треков горящих частиц.
Метод гашения горящих частиц позволил получить рад важных данных
относительно механизма горения частиц алюминия и процесса образования
конденсированных продуктов сгорания. Было найдено, что, с одной стороны, в
газе
вокруг
горящей
частицы
существует
облако
мельчайших
конденсированных частичек окиси алюминия размером 50 ангстрем и более. С
другой стороны, на поверхности частицы алюминия в процессе горения
накапливается конденсированная окись алюминия, которая при этом не
образует сплошной пленки, а присутствует в виде «колпачков», «нашлепок» и
т.п.
Исследование
конденсированных
частичек
окиси
алюминия,
образовавшихся в газовой фазе вокруг частицы алюминия, показало, что они
являются продуктом гомогенной конденсации в газовой фазе. Так, например,
исследования погашенных частиц бериллия показало, что частички окиси
бериллия,
образовавшиеся
в
газовой
фазе
вокруг
частицы
металла,
представляют собой расплавленные сферы диаметром один микрон и меньше
в том случае, если температура окружающей среды была выше температуры
плавления окиси бериллия. Если же температура окружающей среды была
ниже температуры плавления окиси бериллия, то облако конденсированных
94
частичек окиси бериллия состояло из продолговатых кристалликов окиси
бериллия.
На фотографиях картина расположения конденсированных продуктов
сгорания вокруг частицы металла представляла собой саму частицу металла,
вокруг которой на расстоянии два – три радиуса частицы имеется область, где
конденсированных продукты отсутствуют, а далее, на еще больших
расстояниях от частицы металла, располагается область, в которой имеется
множество мельчайших частичек окиси алюминия.
Можно полагать, что расположение конденсированных продуктов
сгорания вокруг частицы на гасящей поверхности не вполне отражает
реальную структуру зоны конденсации вокруг частицы металла при ее
горении в газе. При попадании на гасящую поверхность частица металла
продолжает еще некоторое время гореть и в процессе этого времени гасящая
поверхность оказывает влияние на процесс конденсации, так как гасящая
поверхность содержит дополнительные центры конденсации. Сравнение
картин расположения продуктов сгорания в опытах с гасящей поверхностью и
в опытах по исследованию горения частиц алюминия, закрепленных на
подложке (графитовый стержень) показывают, что они во многом аналогичны.
Можно полагать, что в отсутствии дополнительной поверхности зона
образования конденсированных продуктов в газе будет располагаться на
существенно больших расстояниях от поверхности частицы металла.
При высоких температурах окружающей среды (выше температуры
воспламенения частицы алюминия) подавляющую долю массы (60 – 70%)
продуктов сгорания частиц алюминия составляют субмикронных частички
окиси алюминия, Среди них попадаются также более крупные сплошные
частицы окиси алюминия размером до 10 микрон. Остальную часть продуктов
сгорания частиц алюминия составляют полые сферические оболочки, размер
которых идентичен размеру исходной частицы алюминия и даже превосходят
его в 2 – 3 раза. Толщина стенок сферических оболочек порядка 1 – 3 микрона.
95
Полые сферические оболочки в продуктах сгорания были впервые
обнаружены [20] при исследовании горения частиц сплава алюминия и
магния. При анализе продуктов сгорания была обнаружена шпинель MgAl2O4 ,
наличие которой, по мнению авторов, было трудно объяснить с точки зрения
теории парофазного горения, так как температура кипения магния и алюминия
сильно различаются. Если окись магнию и окись алюминия образуются
раздельно, то вероятность их последующей рекомбинации весьма мала.
Отсюда был сделан вывод, что шпинель является продуктом реакции в жидкой
фазе. На основе этих наблюдений была предложена качественная модель
горения частиц металлов. В модели предполагается, что в процессе горения
жидкая капля металла окружена сплошной пленкой окиси. Через эту пленку
происходит диффузия паров металла и на внешней поверхности пленки
осуществляется взаимодействие металла и окислителя. Если, вследствие
совместного действия температуры и поверхностного натяжения, размер
частицы превысит некоторую критическую величину и она разорвется, то
мелкие капли металла при сгорании образуют полые сферические оболочки.
Впоследствии эта модель горения была подвергнута сомнению. Так
указывается, что в окисной пленке на поверхности алюмо-магниевого сплава
содержится большое количество окиси магния, так что обнаруженная шпинель
может являться продуктом низкотемпературного окисления частицы сплава в
процессе воспламенения частицы.
Фридман и Мачек [20] исследовали горение частиц алюминия в
продуктах сгорания газовой смеси пропан-кислород-азот и в продуктах
сгорания газовой смеси одноокись углерода - кислород. В первой смеси, когда
в окружающей атмосфере содержалось до 15 – 20% паров воды, полые сферы
в продуктах сгорания образовывались в большом количестве, тогда как при
горении во второй смеси, где паров воды и водорода не было, полых
сферических оболочек в продуктах сгорания обнаружено не было. Эти
наблюдения позволяли сделать вывод о том, что для образования полых
96
сферических оболочек в продуктах сгорания частиц алюминия необходимо
присутствие водорода в окружающей среде.
Впоследствии, однако, образование полых сферических оболочек было
обнаружено и при сгорании частиц алюминия в смеси одноокись углерода –
кислород - азот. При этом необходимым условием образования полых
сферических
оболочек
являлась
достаточно
высокая
температура
окружающего газа. По мере снижения температуры окружающей среды, за
счет
изменения
компонентов
в
исходной
смеси,
количество
полых
сферических оболочек окиси в продуктах сгорания резко уменьшалось.
Таким образом, можно сделать вывод, что необходимым условием
образования полых сферических оболочек в продуктах сгорания частиц
алюминия являются: образование конденсированной окиси на поверхности
частицы алюминия и достаточно высокая температура окисляющей частицу
газовой среды.
Были
проведены
детальные
исследования
образования
конденсированной окиси на поверхности горящей частицы алюминия [21].
Экспериментальная
установка
(Рис.8)
состояла
из
юстировочного
и
поджигающего лазера, отражающего зеркала и регистрирующей аппаратуры
(СКС, кинокамеры и счетчика времени).
97
Рис.8. Схема экспериментальной установки исследования
горения частиц алюминия
Частица алюминия диаметром около 400 микрон располагалась на
подвеске и поджигалась лучом импульсного лазера (продолжительность
импульса около 10 миллисекунд). Частица алюминия подвешивалась на таком
расстоянии от фокуса, что при небольшом увеличении этого расстояния
воспламенение частицы отсутствовало. Такой выбор местоположения частицы
был необходим для того, чтобы избежать перегрева частицы алюминия в
процессе воспламенения и, следовательно, потери ее массы на испарение
металла до начала горения. Луч лазера воспламенял частицу алюминия и
одновременно пережигал нить подвески частицы, так что падение частицы
начиналось одновременно с ее горением.
Количество окиси алюминия, накопившейся на поверхности частицы,
определялось двумя способами:
98
- улавливанием образовавшихся частиц окиси алюминия на пластину,
помещенную на расстоянии от места поджигания частицы, обеспечивающем
полное сгорание частицы алюминия за время ее падения (при диаметре
частицы алюминия 380 микрон – время сгорания 0.5 секунд – расстояние 0.75
метра),
- по зависимости от времени пути, пройденном горящей падающей частицей
металла.
При измерениях размеров частиц окиси алюминия, уловленных на
пластину, выбирались только те опыты, в которых не было замечено
дробление частиц алюминия в процессе горения и в которых на пластине
обнаруживалась только одна частица окиси алюминия. Уловленные частицы
окиси алюминия имели сферическую форму с шероховатой поверхностью.
При сильном надавливании частицы окиси алюминия рассыпались на более
мелкие частички. Макроскопических полостей внутри частиц окиси алюминия
обнаружено не было.
Среднее значение доли окиси алюминия
σ , накопившейся на
поверхности частицы алюминия в процессе горения, по отношению к полной
массе окиси алюминия, образовавшейся при сгорании частицы алюминия,
составило 14%. Это значение доли окиси алюминия σ представляет собой
нижнее предельное значение, так как не исключено, что не вся масса окиси,
накопившаяся на поверхности частицы алюминия в процессе ее горения, была
уловлена.
В другом методе определения массы окиси алюминия, накопившейся на
поверхности частицы алюминия при ее горении, определялись параметры в
законе падения горящей частицы. Закон падения горящей частицы алюминия
может быть получен из известного уравнения движения тела в поле силы
тяжести с учетом изменения массы тела и его плотности
99
S
k 1
1
4
[
(1
)
(1 − ξ 2( k +1) )] +
=
−
ξ
−
2
gθ
k −1 2
k +1
kc3 ρc (1 − Π )
1
[
− 1] (3 − 4ξ − ξ 4 )
2
1− c
2
ρm
Здесь ξ = (1 − t / kθ )1/2 ; Π = ( ρc − ρc′ ) / ρ c - пористость окиси ( ρc = 3600 кг / м3 плотность монолитной окиси алюминия; ρc′ = 2780 кг / м3 - измеренная в
опытах плотность окиси алюминия, накопившаяся на поверхности частицы в
процессе горения); θ = ρ m d 02 / 18η n сек; η - вязкость газа; n - коэффициент,
учитывающий особенность сопротивления частицы со вдувом в потоке газа, а
также особенности сопротивления частицы в связи с явлением конденсации
продуктов сгорания в газе; k = τ / θ (1 − c 2 ) (τ = d 02 / 2.5 ⋅ 10−3 сек – определено по
экспериментальным данным [19]); c - отношение диаметра частицы окиси,
после полного выгорания металла, к исходному диаметру частицы металла
( c = 0.68 при σ =0.17 в горячем состоянии и c = 0.63 – в холодном).
Оценка влияния естественной конвекции, которая может оказывать
влияние на падение частицы, проводилась
при зависимости критерия
Рейнольдса конвективного обтекания от критерия Грасгофа: Re k = 2Gr .
Оценки показали, что, в пределах разброса экспериментальных данных (5 –
10%), влияние естественной конвекции на движение частицы алюминия в
процессе горения может считаться не существенным.
Определение пористости окисла на поверхности частицы алюминия
весьма затруднительно. Плотность уловленной окиси при комнатной
температуре определялась по скорости падения уловленной частицы в вязкой
жидкости (спирт – глицерин) и оказалась равной ρ ′ = 2800 кг / м3 . Если
предположить, что плотность окиси алюминия при высокой температуре такая
же, как и при низкой, то
100
Π=
[(3900 − 3600) − 2800]
= 0.22 − 0.28
3900 − 3600
Из закона падения частицы следует, что в координатах S / gθi2 − t / θi , где
θ i - значения параметра θ
в разных опытах все экспериментальные
результаты должны лечь на единую кривую, представленную на рис.8. Кривая
1 на рисунке соответствует случаю падения частицы без изменения ее массы;
кривая 2 – случаю, когда на поверхности частицы не образуется
конденсированный окисел; кривая 3 построена по экспериментальным
данным. Из полученной экспериментальной зависимости можно подбором
определить величину параметра k , из которого, зная пористость окисла Π ,
найти значения параметров
c
и σ
в соответствии с результатами,
приведенными в табл. 8.1
Таблица 8.1
Π
0
0.26
0.31
0.37
С
0.64
0.75
0.78
0.83
σ
0.2
0.24
0.25
0.27
101
Рис. 9. Зависимость пути, пройденном падающей горящей
частицей алюминия, от времени.
При значениях Π =0.22 – 0.28 в соответствии с интерполяцией данных
табл. 8.1 определяем соответствующее значение σ = 0.23 – 0.25.
Таким
образом,
два
независимых
способа
определения
массы
конденсированной окиси алюминия, накапливающейся на поверхности
частицы алюминия в процессе ее горения, дали значения σ ≥ 0.14 и σ =0.23 –
0.25. Эти экспериментальные данные показывают, что в процессе горения
частицы алюминия на ее поверхности накапливается около 20% всей массы
образующейся окиси алюминия. Остальная масса окиси алюминия образуется
в газе, окружающем горящую частицу алюминия, в виде частичек
субмикронного размера.
102
Время сгорания частиц алюминия является важной характеристикой
процесса не только потому, что определение этой величины необходимо для
практических целей, но также и потому, что по виду зависимости времени
сгорания от размера частицы и параметров окружающей среды можно сделать
заключение о механизме процесса горения частицы металла. Так при
диффузионном характере процесса горения время сгорания частицы должно
быть пропорционально квадрату ее размера и обратно пропорционально
концентрации окислителя в окружающей среде. При гетерогенном процессе
горения, когда скорость горения лимитируется скоростями химических или
диффузионных процессов на поверхности частицы, время сгорания частицы
должно быть пропорционально первой степени ее размера и может только
слабо зависеть от концентрации окислителя в окружающей среде.
Количественно исследования зависимости времени сгорания частиц
алюминия от их размера и параметров окружающей среды было проведено в
[19]. Горение частиц алюминия исследовалось на газовой горелке в продуктах
сгорания газовой смеси одноокись углерода – кислород, а также в составе
твердого топлива. Время сгорания определялось по времени интенсивного
свечения частицы. В результате проведенных исследований было определено,
что время сгорания частиц алюминия примерно обратно пропорционально
концентрации кислорода в окружающей среде и только слабо зависит от
давления. Кроме этого было найдено, что время сгорания частицы
пропорционально ее размеру в степени 1.8 и не зависит в заметной степени от
температуры окружающей среды. Зависимость времени сгорания частицы
алюминия диаметром 53 – 60 микрон от состава окисляющей среды при
давлении одна атмосфера представлена на рис. 10 по данным [19].
Аналогичные результаты по времени сгорания частиц алюминия в
составе твердого топлива были получены в [18]. Основными окисляющими
компонентами в этом случае были пары воды и двуокись углерода, которые
считались
равноценными
окислителями.
103
В
результате
анализа
экспериментальных данных была получена эмпирическая
зависимость
времени сгорания частиц алюминия τ [ µ cek] от ее диаметра d [ µ km] и
суммарной относительной концентрации окислителя aox
d 1.5
τ = 0.67 0.9
aox
Такая слабая зависимость времени сгорания частиц алюминия от их
размера наблюдалась главным образом при повышенных давлениях. При
понижении давления степень зависимости времени сгорания от размера
частицы увеличивалась и при давлении порядка одной атмосферы стремилась
к квадратичной.
Таким образом, рассмотренные экспериментальные данные указывают
на диффузионный характер горения частиц алюминия, при котором на
поверхности
частиц
отсутствует
дополнительное
диффузионное
или
кинетическое сопротивление.
8.2. Термодинамические свойства алюминия и его окисла
Основные
термодинамические
характеристики
алюминия,
окиси
алюминия и физической смеси алюминия и его окиси, которые были
рассчитаны по данным [22]. Приведены в табл. 8.2.
Высокая теплота образования окиси алюминия означает, что она должна
существовать в конденсированном состоянии в виде очень стабильного
соединения. При своем испарении окись алюминия должна полностью
разлагаться. Действительно, на опыте окись алюминия вообще не обнаружена
в газовой фазе, как стабильное соединение.
104
Рис. 10. Зависимость времени сгорания частиц алюминия диаметром
53-60 микрон от состава и температуры продуктов сгорания
смеси xCO + 0.5 O2 [19].
Таблица 8.2. Термодинамические свойства алюминия и окиси алюминия
Температура
Теплота
Температура
Теплота
плавления
плавления
кипения
испарения
К
ккал/моль
К
ккал/моль
Al
932
2.61
2685
2.52
Al2O3
2303
28.0
4140*
6.61
2300
1.21
Al + Al2O3
*
в нейтральных условиях.
105
В физической смеси конденсированных алюминия и окиси алюминия
(металл и окисел находятся в контакте друг с другом) состав продуктов
испарения и температура кипения смеси могут существенно отличаться от
температуры кипения и продуктов испарения, как чистого металла, так и
чистого окисла. Определение состава продуктов испарения металла, окисла и
смеси металла с окислом имеет существенное значение для понимания
механизма процесса горения частицы металла, а также для построения и
обоснования теоретической модели горения.
Продуктами испарения окиси алюминия в нейтральных условиях, как
показывают экспериментальные исследования [23], являются парообразный
алюминия и атомарный кислород. Отсюда, по имеющимся значениям
констант равновесия и теплосодержания веществ,
можно вычислить
температуру кипения и теплоту испарения окиси алюминия в соответствии с
результатами, представленными в табл. 8.2. В условиях, отличных от
нейтральных, состав продуктов испарения окиси алюминия может быть иным,
что повлияет и на величину температуры кипения и на величину теплоты
испарения окиси алюминия.
В состав продуктов испарения смеси конденсированных алюминия и
окиси алюминия могут входить: одноатомный алюминий Al , двухатомный
алюминия Al2 , одноокись алюминия AlO , полуокись алюминия Al2O ,
атомарный O и молекулярный O2 кислород. Используя значения констант
равновесия между веществами и элементами их составляющими [22], можно
записать следующую систему уравнений:
2lg( PAl ) − lg( PAl2 ) = lg( K Al2 )
lg( PAl ) + lg( PO ) − lg( PAlO ) = lg( K AlO )
2lg( PAl ) + lg( PO ) − lg( PAl2O ) = lg( K Al2O )
2lg( PAl ) + 3lg( PO ) = lg( K Al2O3 )
2lg( PO ) − lg( PO2 ) = lg( K O2 )
106
Здесь в левой части уравнений стоят неизвестные парциальные давления
веществ, а в правой части уравнений известные, зависящие от температуры,
константы
равновесия
соответствующих
веществ.
Дополнительным
уравнением, необходимым для решения приведенной системы уравнений,
является условие равновесия между газообразным и конденсированным
алюминием, в силу которого парциальное давление газообразного алюминия
является известной функцией температуры.
Состав продуктов испарения физической смеси конденсированных
алюминия и окиси алюминия, определенных из решения приведенной системы
уравнений, представлен в табл. 8.3. Можно видеть, что основными продуктами
испарения смеси алюминия с окислом является полуокись алюминия Al2O и
парообразный алюминий, а парциальные давления остальных компонентов в
продуктах испарения пренебрежимо малы. При этом парциальное давление
полуокиси алюминия оказывается существенно больше, чем парциальное
давление паров алюминия. Температура кипения смеси алюминия и окиси
алюминия, при которой суммарное давление продуктов испарения равно
окружающему давлению, оказывается существенно ниже температур кипения
и алюминия и окиси алюминия. Например, при давлении 1 атмосфера
температура кипения алюминия равна ~2700 K, а температура кипения смеси
алюминия и окисла составляет только ~2300 K.
Вследствие того, что температура кипения смеси алюминия и окиси
алюминия ниже, чем температура кипения алюминия, а также того, что
основное газовыделение происходит в месте контакта окиси алюминия с
алюминием, окись алюминия на поверхности расплавленного алюминия ведет
себя подобно натрию на поверхности воды. Такое явление было отмечено
экспериментально и получило название «бегающее солнце».
107
Таблица 8.3. Состав продуктов испарения смеси алюминия и окиси алюминия
Tb
PAl
PAl2
PAlO
PAl2O
PO
PO2
P
К
атм.
атм.
атм.
атм.
атм.
атм.
атм.
2200
0.059
0.0004
1 ⋅ 10−6
0.174
5 ⋅ 10−11
4 ⋅ 10−16
0.233
2400
0.221
0.0022
2 ⋅ 10−5
0.813
2 ⋅ 10−9
6 ⋅ 10−14
1.044
2600
0.668
0.0092
0.0001
2.696
4 ⋅ 10−8
3 ⋅ 10−12
3.373
2800
1.711
0.0306
0.0006
7.376
5 ⋅ 10−7
1 ⋅ 10−10
9.118
3000
3.844
0.0860
0.0040
17.338
5 ⋅ 10−6
2 ⋅ 10−9
21.272
3200
7.764
0.2094
0.0160
36.025
3 ⋅ 10−5
2 ⋅ 10−8
44.014
3400
11.38
0.455
0.0535
67.827
2 ⋅ 10−4
2 ⋅ 10−7
82.715
8.3. Теоретические основы горения частиц алюминия
В литературе имеются две точки зрения на процесс горения частиц
алюминия. Первая связана с предположением, что на поверхности частиц при
их горении имеется тонкая пленка конденсированной окиси, через которую
происходит диффузия паров металла, испаряющейся частицы. В этом случае
температура частицы считается близкой к температуре кипения металла, а
температура пленки окиси, на поверхности которой происходит химической
взаимодействие
паров
металла
с
окислителем,
равна
адиабатической
температуре сгорания металла до конденсированной окиси. При этом
процессом, лимитирующим скорость горения частицы, является диффузия
паров металла через жидкую пленку окиси.
Данная
модель
горения
частицы
алюминия
дает
естественное
объяснение таким явлениям как дробление частиц в процессе горения,
неустойчивое (непрямолинейное) движение частиц при горении, образование
полых сфер окиси алюминия в продуктах сгорания, наличие на фотографиях
четких, неразмытых, треков горящих частиц. Однако, эта модель горения
108
частиц алюминия не подтверждается большей частью экспериментальных
данных. Прежде всего, время сгорания частиц алюминия, по порядку
величины,
хорошо
согласуется
с
характерным
временем
сгорания,
вычисляемым в теории диффузионного парофазного горения. Вследствие
этого трудно предположить, что имеется какое-либо дополнительное
диффузионное сопротивление, в частности диффузионное сопротивление
жидкой пленки окиси алюминия, кроме диффузионного сопротивления
газовой фазы. Во-вторых, обратно пропорциональная зависимость времени
сгорания частицы алюминия от концентрации окислителя в окружающей среде
также свидетельствует в пользу модели диффузионного парофазного горения
частицы алюминия.
Теория диффузионного парофазного горения, разработанная
описания
горения
жидких
капель
углеводородных
топлив,
для
была
модифицирована Бржустовским и Глассменом [24] для описания горения
частиц алюминия. При этом основные положения теории горения капель
жидких углеводородных топлив в теории горения частиц алюминия были
сохранены. Считалось, что тепло, необходимое для испарения алюминия
поступает к поверхности частицы металла из узкой зоны химической реакции
между парами алюминия и окислителем, расположенной в газовой фазе над
поверхностью частицы. Скорость тепловыделения и, следовательно, скорость
горения частицы в теории лимитируются диффузией паров алюминия и
окислителя в узкую зону реакции. По сравнению с теорией горения жидких
капель
углеводородных
топлив в
теории
горения
частиц
алюминия
учитываются следующие особенности:
- предполагается, что часть окисла в узкой зоне химической реакции
может образовываться в конденсированном состоянии, поэтому температура в
узкой зоне реакции, при наивысших скоростях горения, ограничена
температурой кипения окиси алюминия;
109
- считается, что конденсированные продукты сгорания, в виде мелких
частичек окиси, не могут диффундировать, а переносятся только движением
всей массы газа;
- полагается, что становится важной роль излучения из-за существования
конденсированных продуктов в зоне реакции при высоких температурах.
Теория диффузионного парофазного горения дает удовлетворительное
соответствие расчетного времени сгорания и его зависимости от концентрации
окислителя в окружающей среде с экспериментальными результатами.
Поэтому теоретическая модель диффузионного парофазного горения частиц
алюминия получила дальнейшее развитие в целом ряде работ, которые,
главным образом, связаны с учетом переноса газообразного окисла, если
таковой вообще существует, из зоны реакции к поверхности частицы, где
происходит его конденсация.
Основное различие между рассматриваемыми схемами расчета скорости
горения заключалось в учете различных механизмов образования и уноса
конденсированной окиси из зоны горения. Из анализа данных по влиянию
теплообмена излучением на время сгорания частиц алюминия сделано
заключение о необходимости воздержаться от учета теплообмена излучением
при расчете времени сгорания частиц алюминия до уточнения механизма
процесса горения.
Несмотря на то, что модель диффузионного парофазного горения частиц
алюминия дает удовлетворительное соответствие рассчитываемого времени
сгорания с имеющимися экспериментальными данными, она не может описать
многие характерные особенности процесса горения частиц алюминия. В
частности, предположение о существовании узкой зоны химической реакции
между парами металла и окислителем в газе над поверхностью частицы
исключает
возможность
рассмотрения
процесса
формирования
частиц
конденсированной окиси, образующейся при сгорании частиц алюминия,
который имеет значительный интерес, как для практических целей, так и для
110
понимания внутреннего механизма горения частиц алюминия. Во-вторых, учет
накопления конденсированной окиси на поверхности частицы металла в
теории диффузионного парофазного горения связан с предположением о
существовании окиси алюминия в газообразном состоянии. Однако, известно,
что окись такого металла, как алюминий, в газообразном состоянии не
существует. Предположение о диффузии газообразных субокислов алюминия
из зоны реакции к поверхности частицы металла требует их дополнительного
окисления на поверхности частицы до конденсированного окисла алюминия. В
этом случае необходимо, чтобы окисляющие газы проникали через узкую зону
химическое реакции к поверхности частицы алюминия, что недопустимо в
теории диффузионного парофазного горения в силу предположения о большой
скорости химической реакции в узком фронте пламени.
8.4. О режимах конденсации окиси алюминия
При горении частицы алюминия наиболее характерным процессом
является образование конденсированной окиси алюминия, так как в ходе
процесса
конденсации
выделяется
наибольшее
количество
тепла,
необходимого для поддержания процесса горения. С процессом образования
конденсированной окиси алюминия связаны также такие характерные явления,
происходящие при горении частиц алюминия, как дробление части,
образование полых сферических оболочек в продуктах сгорания. Наконец,
определение дисперсности образующихся частиц окиси алюминия имеет
практическое значение, например, для расчета двухфазных потерь удельного
импульса в ракетных двигателях на твердом топливе. Поэтому процесс
образования конденсированной окиси при горении частиц алюминия является
процессам, рассмотрение которого в первую очередь необходимо при
построении теоретической модели горения частиц алюминия.
Содержащиеся в литературе [25-26] основные сведения о кинетике
конденсации
относятся
к
рассмотрению
111
процесса
образования
конденсированной фазы в пересыщенных парах и растворах. При этом процесс
образования конденсированной фазы делится на две стадии. На первой стадии
в пересыщенном паре, вследствие флуктуаций, возникают мельчайшие
капельки жидкости, которые являются зародышами конденсированной фазы.
Дальнейший рост капель жидкости, на второй стадии, происходит за счет
прилипания
молекул
пара
к
поверхности
зародышей.
Этот
процесс
продолжается до тех пор, пока пересыщение в паровой фазе не снимается и не
устанавливается равновесие между конденсированной жидкостью и паром.
Естественно,
что,
наряду
с
процессом
образования
зародышей
конденсированной фазы и прилипанием молекул пара к поверхности
зародышей, должны происходить обратные процессы: распад зародышей
конденсированной фазы и испарение жидкости. Ясно, что истинной скоростью
конденсации будет разность скоростей прилипания и испарения молекул пара
на поверхности капель жидкости, а скоростью зародышеобразования будет
разность скоростей образования и распада зародышей конденсированной
фазы.
Скорости зародышеобразования и конденсации определяются, главным
образом,
величиной
пересыщения,
которая
выражает
собой
степень
отклонения от равновесия между каплями жидкости и пересыщенным паром
над их
поверхностью. Величина пересыщения может быть определена, в
частности, как относительная разность между равновесной температурой, при
которой
осуществляется
равновесие
пара
с
жидкостью,
и
текущей
температурой пара [25]
θ=
Tp −T
Tp
Такое определение величины пересыщения может быть распространено
и на случай, когда конденсированное вещество и пары над ним различаются по
112
своему химическому составу. Тогда величина пересыщения есть степень
отклонения от равновесия между конденсированным веществом и парами,
которые участвуют в гетерогенной химической реакции его образования.
Зависимость скоростей зародышеобразования I и конденсации Φ от
величины пересыщения в паре определяются следующими выражениями
I = C exp(−
b
θ2
Φ = A[1 − exp(−
)
qθ
)]
T
где b = 16πσ 2ω 2 / 3k 2 q 2T , q - теплота испарения жидкости, выраженная в
градусах,
σ - коэффициент поверхностного натяжения жидкости, k -
константа Больцмана, ω - объем на одну молекулу в конденсированной фазе.
Следует отметить, что в процессе зародышеобразования стабильными
являются только те зародыши, радиус которых больше некоторой критической
величины r * . Радиус критического зародыша зависит от пересыщения
обратно пропорционально
r* =
Наличие
ионов
в
2σω
kqθ
пересыщенном
паре
существенно
облегчает
образование зародышей конденсированной фазы. В парах с величиной
пересыщения большей некоторого критического каждый ион является
зародышем конденсированной фазы в том смысле, что зародыш на основе
иона является стабильным при любом его размере. Однако, ион еще не
является зародышем, так как зародыш конденсированной фазы должен
представлять собой макрообразование, молекулы которого отличаются от
молекул пара как значениями термодинамических функций, так, возможно, и
113
химическим
составом.
Для
образования
такого
зародыша
требуется
многократное столкновение иона с молекулами газа.
Можно видеть, что при увеличении величины пересыщения скорость
конденсации
и
возрастают.
При
в
особенности
больших
скорость
величинах
зародышеобразования
пересыщения
резко
справедливость
приведенных выражений не доказана, однако, ясно, что возрастание скоростей
конденсации и зародышеобразования не может быть безграничной. Должны
существовать
некоторые максимально
возможные
значения
для
этих
скоростей, которые определяются частотой межмолекулярных столкновений в
газе при зародышеобразовании и частотой столкновений молекул пара с
поверхностью капель жидкости при конденсации. В этом случае скорости
зародышеобразования и конденсации от величины пересыщения зависеть не
будут.
При протекании конденсации в замкнутом объеме, содержащем
пересыщенный пар, процесс конденсации носит существенно нестационарный
характер, так как образование конденсированной фазы снимает пересыщение и
уменьшает
скорость
конденсации.
При
этом
величина
пересыщения
уменьшается тем быстрее, чем она выше.
Стационарный процесс конденсации может быть осуществлен в
проточном реакторе, в который с одной стороны непрерывно подаются
конденсирующиеся компоненты, а с другой стороны непрерывно отводятся
конденсированные продукты и не сконденсировавшиеся газы. При малой
скорости подачи конденсирующихся газов в реактор, когда время процесса
конденсации много меньше времени пребывания газов в реакторе, должно
успевать установиться равновесие между конденсирующимися газами и
конденсированными продуктами, так что из реактора будут отводиться
конденсированные и газообразные продукты, которые находятся между собой
в равновесии.
114
При увеличении скорости подачи конденсирующихся газов в реактор и
уменьшении, вследствие этого, времени пребывания газов в реакторе степень
отклонения от равновесия в продуктах, удаляющихся из реактора, будет
возрастать. Наконец, при очень большой скорости подачи конденсирующихся
компонентов в реактор, когда время конденсации становится много больше
времени пребывания газов в реакторе, из реактора будут отводиться сильно
неравновесные газы и конденсированные продукты, степень неравновесности
между
которыми
близка
к
степени
неравновесности
в
исходных
конденсирующихся компонентах.
Режим конденсации, при котором скорость конденсации достигает
своего максимального значения и от величины пересыщения не зависит,
вследствие
большой
величины
пересыщения,
а
время
конденсации
оказывается много больше времени пребывания пересыщенных газов в зоне
конденсации,
будем
называть
предельно
неравновесным
режимом
конденсации [30].
Предельно неравновесный режим конденсации может быть осуществлен
при конденсации паров испаряющейся капли жидкости мелкого размера.
Скорость поступления паров капли в зону конденсации, при достаточно
интенсивном подводе тепла, обратно пропорциональна размеру капли.
Поэтому при любой конечной скорости конденсации всегда может быть
найден такой малый размер капли, при котором скорость поступления паров
капли в зону конденсации будет больше скорости конденсации. В этом случае
скорость образования конденсированного вещества будет определяться
кинетикой конденсации.
В случае горения капли жидкого топлива, когда вокруг капли идут
только
гомогенные
химические
реакции,
возможность
существования
кинетического режима протекания гомогенных химических реакций при
горении капли была показана в [27]. Если же вокруг частицы идут
гетерогенные химические реакции, скорость которых, как правило, ниже
115
скоростей гомогенных реакций, то осуществление кинетического режима
конденсации возможно, по-видимому, для частиц металла более крупного
размера, чем для жидкой капли.
При горении частиц алюминия большого размера, когда скорость подачи
паров частицы в зону конденсации невелика по сравнению со скоростью
конденсации, возможен равновесный режим конденсации, при котором в
каждой точке пространства вокруг частицы осуществляется равновесие между
конденсированным веществом и газовой фазой.
Особенность процесса конденсации при горении частиц металлов по
сравнению с конденсацией пересыщенных паров заключается в том, что при
горении частиц металла продуктами конденсации являются конденсированные
продукты окисления паров капли металла. В связи с этим возможны два пути
образования конденсированных частиц окиси вокруг горящей металлической
частицы:
- образование, на первой стадии, газообразных окислом металлов и
последующая конденсация пересыщенных паров этих окислов;
- образование конденсированных окислов металлов в результате гетерогенного
окисления паров частицы металла (совокупность всех веществ, выходящих с
поверхности частицы металла, в том числе и паров металла) на поверхности
образующихся частичек конденсированной окиси.
В зависимости от размера частицы и вида металла (алюминий, магний,
бор, бериллий и т.д.) могут реализовываться либо первый, либо второй пути
образования конденсированных окислов.
Газообразная окись алюминия Al O в природе не обнаружена. Поэтому
2 3
при горении частиц алюминия процесс образования конденсированного
окисла из газа можно представить себе только как гетерогенную химическую
реакцию. Эта реакция начинается образованием агрегатов, содержащих
молекулы
металла
и
окислителя,
и
играющих
роль
зародышей
конденсированной фазы, и продолжается за счет взаимодействия молекул
116
продуктов испарения частицы алюминия и окислителя на поверхности
образующихся частиц окиси алюминия. Тогда функция скорости конденсации
окиси алюминия может быть записана в виде:
n S
Φ = k ρ m+n z m zox
1
f
(8.1)
где z и zox - относительные массовые концентрации паров частицы металла
f
и окислителя, соответственно, ρ - плотность газа, S - удельная (на единицу
объема) поверхность частиц конденсированной окиси.
Скорость образования зародышей конденсированной фазы в единице
объема
так
же,
пропорциональной
как
и
скорость
концентрациям
конденсации,
окислителя
и
можно
предполагать
продуктов
испарения
частицы металла в некоторых степенях
I=
dn
p +q p q
=k ρ
z zox
2
f
dt
(8.2)
Например, теоретически возможная схема образования зародышей
конденсированной фазы для случая химической конденсации паров алюминия
и бериллия предложена в [28]. Основными требованиями этой кинетической
схемы
были
бимолекулярность
отдельных
элементарных
стадий
и
минимальность теплового эффекта отдельных стадий процесса образования
конденсированной фазы. Такие требования к кинетической схеме процесса
приводят к образованию мономеров вида ( AlO ) n и ( BeO) n , которые могут
играть роль зародышей конденсированной фазы.
Константы k 2 и k1 пропорциональны, соответственно, числу соударений
молекул, необходимых для образования зародышей конденсированной фазы, и
числу соударений молекул с единицей поверхности конденсированной окиси в
117
единицу времени и зависят от эффективности этих соударений. В свою
очередь эффективность соударений молекул должна зависеть от температуры
газа. Однако, учитывая то, что металлы весьма легко вступают в химическую
реакцию с кислородом, при отсутствии пленки окиси на их поверхности, даже
при низких температурах, можно полагать, что гетерогенная реакция
конденсации, также как и реакция зародышеобразования являются реакциями
типа присоединения с малой величиной энергии активации. При малой
величине энергии активации и достаточно высоком уровне температур (выше
2000 К), при которых происходит процесс конденсации в случае горения
металлических частиц, скорости реакций конденсации и зародышеобразования
будут зависеть от температуры только слабо. В пределе можно полагать, что
константы скоростей реакций в уравнениях для скоростей реакций от
температуры вообще не зависят.
Основным продуктом испарения частицы алюминия (см. табл. 7.4) при
горении является полуокись алюминия Al2 O , поэтому процесс образования
конденсированной окиси может происходить в результате химической
реакции
Al2 O + O2 = Al 2O3 . Можно, однако, предположить, что вблизи
поверхности
продуктов
испаряющейся
испарения
частицы
частицы
в
будет
происходить
результате
доокисление
химических
реакций:
2 Al 2O + O2 = 4 AlO и 2 Al + O2 = 2 AlO . Однако, тепловой эффект первой из
этих реакций отрицательный, поэтому наиболее вероятно, что эта реакция
может иметь место в зоне конденсации, где выделяется значительной
количество тепла, а не вблизи поверхности частицы. Вторая реакция, повидимому, также мало существенная для процесса горения частицы алюминия,
так как концентрация паров алюминия существенно ниже концентрации
полуокиси алюминия в продуктах испарения частицы алюминия.
Механизм горения частицы алюминия, структура зоны образования
частичек конденсированной окиси алюминия, физическая картина процесса
118
горения, дисперсность конденсированных частиц окисла, образующихся в
продуктах сгорания, существенным образом зависят от режима и кинетики
конденсации окиси алюминия в газе вокруг частицы алюминия.
Представляет интерес рассмотреть предельно неравновесный режим
конденсации окиси алюминия, при котором процесс конденсации идет с
наивысшей
скоростью при большой степени неравновесности и скорость
конденсации от величины пересыщения не зависит. В этом случае выражения
для скоростей конденсации и зародышеобразования могут быть записаны в
виде (8.1)-(8.2).
При больших величинах пересыщения скорость испарения окиси
алюминия будет мала по сравнению со скоростью его образования. Это
условие для рассматриваемой реакции второго порядка Al2 O + O2 = Al 2O3
может быть записано в виде
k c << P 2 z f z ox
где k c - константа равновесия между конденсированной окисью алюминия и
газообразными
продуктами,
участвующими
в
его
образовании.
При
температуре 3000 К k c = 3.66 ⋅ 10 −8 и, следовательно, для всех реальных
значений концентраций ( z f ~ δ , zox ~ 1 ) данное условие выполняется с
хорошей точностью.
Константа скорости конденсации пропорциональна числу ударов
молекул продуктов испарения частицы алюминия о поверхность частичек
окиси алюминия. Тогда для константы скорости конденсации можно записать
выражение k1 ρ = ωv / 4 , где v - тепловая скорость молекул в газе и ω эффективность соударений. В [29] показано, что при горении частиц магния в
среднем
ω = 7.5 ⋅ 10−2 . Средняя тепловая скорость молекул газа при
температурах 3000 К порядка 1 ⋅ 103 м/с. Отсюда константа скорости
119
конденсации k1 ρ =20 м/с, если, конечно, отнести данные по горению магния к
алюминию.
Оценка константы скорости зародышеобразования при горении частиц
алюминия затруднительна, так как в литературе нет данных, касающихся этого
процесса. Показано, что максимальный размер частичек окиси алюминия,
образующихся в газовой фазе, около одного микрона. Используя эти данные и
выражение для максимального частичек окиси алюминия, образующихся в
газе, полученное ниже, можно определить константу скорости реакции
зародышеобразования k 2 ρ 2 = 6 ⋅ 1012 1/с.
Предельно
неравновесный
режим
конденсации
возможен,
если
диффузионные потоки в газовой фазе настолько велики, что скорость
образования конденсированной окиси становится малой по сравнению с ними.
Такая ситуация возможно, если размер частицы алюминия достаточно мал, так
что диффузионные потоки, обратно пропорциональные размеру частицы,
достаточно велики. Из условия малости характерного времени диффузии
R 2 / D ( R - радиус частицы, D - коэффициент диффузии в газе) по сравнению
с характерным временем гетерогенной химической реакции на поверхности
частичек
конденсированной
окиси
алюминия
( k1 ρS 0 ) −1 ,
где
S 0 = [4π ( ρ / ρ c ) 2 k 2 ρ / k1 ]1 / 4 - характерная удельная поверхность образующихся
частичек окиси алюминия, получим условие применимости предельно
неравновесного режима конденсации
k1 ρR 2 S 0
δ =
<< 1
D
2
(8.3)
Подставляя найденные значения констант скоростей конденсации и
зародышеобразования в (8.3), получим, что условие малости параметра δ
выполняется для частиц алюминия диаметром меньше 700 микрон. Таким
120
образом, приведенные оценки показывают, что осуществление предельно
неравновесного режима конденсации возможно для частиц алюминия,
размеры которых находятся в пределах размеров частиц, которые реально
используются на практике и в эксперименте.
Малая скорость процесса конденсации по сравнению с величинами
диффузионных потоков приводит к ряду особенностей структуры зоны
конденсации в газе вокруг частицы металла. Прежде всего, там, где
соотношение между концентрациями паров частицы и окислителя близко к
стехиометрическому, скорость конденсации оказывается малой, вследствие
малости удельной поверхности зародышей конденсированной фазы и
образовавшихся частичек конденсированной окиси. По мере удаления от
поверхности частицы металла удельная поверхность частиц конденсата и
скорость конденсации возрастают, достигая своего максимального значения на
больших расстояниях от поверхности частицы алюминия ( r / R ~ 1 / δ ).
Образующиеся частички конденсированной окиси алюминия сносятся
стефановским потоком от поверхности частицы металла. По мере удаления от
поверхности частицы алюминия и конденсации продуктов испарения частицы,
скорость стефановского потока уменьшается и в некоторой точке должна
обращаться в нуль. Точка обращения в нуль скорости стефановского потока
представляет собой зону накопления частиц конденсированной окиси
алюминия.
Таким образом, зона конденсации окисла вокруг горящей частицы
алюминия при осуществлении предельно неравновесного режима конденсации
представляет
собой
широкую
область,
простирающуюся
на
большие
расстояния от поверхности частицы. Тепловыделение в этой широкой зоне
характеризуется относительно малой интенсивностью на единицу объема.
Вследствие значительной удаленности зоны конденсации от поверхности
частицы и низкой интенсивности тепловыделения в ней, эта зона, в тепловом
121
отношении, может только слабо влиять на скорость горения частицы
алюминия.
Тот факт, что зона конденсации окиси алюминия находится на большом
расстоянии от поверхности частицы алюминия, где имеется избыток
окислителя по отношению к продуктам испарения частицы алюминия,
указывает на то, что окисляющие газы могут практически беспрепятственно
диффундировать к поверхности частицы алюминия. Достигая поверхности
металлической частицы, окисляющие газы вступают в гетерогенную реакцию
с алюминием с образованием конденсированной окиси алюминия на
поверхности частицы. Тепло, выделяющееся в результате этой гетерогенной
реакции, идет на испарение частицы алюминия и определяет скорость ее
горения.
Скорость образования конденсированной окиси алюминия в газовой
фазе лимитируется удельной поверхностью конденсированных частиц окисла.
На поверхности частицы алюминия такого ограничения нет, поэтому можно
полагать, что молекулы окислителя, достигающие поверхность частицы
металла, вступают в гетерогенную химическую реакцию с алюминием с
большой скоростью, так что скорость реакции на поверхности частицы
алюминия лимитируется только процессами диффузии окислителя в газе.
При построении математической теории горения частицы алюминия в
неподвижной окисляющей среде введем ряд дополнительных упрощающих
предположений. Прежде всего, будем пренебрегать теплообменом частицы
алюминия с окружающей средой излучением. Наличие вокруг частицы зоны
конденсации в виде мелких частичек окиси алюминия дает основание
полагать, что зона конденсации экранирует поверхность частицы, препятствуя
теплообмену частицы с окружающей средой. Теплообменом излучением
поверхности частицы с облаком частичек окиси алюминия в зоне конденсации
также можно пренебречь, так как температура в зоне конденсации примерно
равна температуре поверхности частицы алюминия. Теплообмен излучением
122
между частичками окиси алюминия и окружающей средой, конечно же, имеет
место, но он не оказывает существенное влияние на процесс горения, а лишь
несколько понижает температуру в зоне конденсации.
Будем также предполагать, что скорость потребления окислителя и
продуктов испарения частицы алюминия, идущих на образование зародышей
конденсированной фазы, мала по сравнению со скоростью потребления этих
веществ в процессе конденсации. При учете выражений для скоростей
конденсации и зародышеобразования (8.1)-(8.2) это условие может быть
записано в виде
4
k1S0 >> πω 3 ρc k2
3
где ω - радиус зародыша конденсированной фазы. Подставляя значение
констант скоростей конденсации и зародышеобразования, получил, что данное
условие выполняется, если ω < 2.2 ⋅ 10−7 м. Теория конденсации указывает, что
размер
критического
зародыша
конденсированной
фазы
обратно
пропорционален величине пересыщения, поэтому в рассматриваемом случае
больших пересыщений размеры зародышей конденсированной фазы должны
быть весьма малыми.
Накопление
конденсированной
окиси
алюминия
на
поверхности
частицы алюминия в виде «колпачков», «нашлепок» может вызвать
несимметрию процесса горения. При этом испарение металла будет идти более
интенсивно с той части поверхности частицы металла, которая покрыта
окислов, вследствие образования полуокиси алюминия Al2O , а окисление
алюминия
будет
происходить
на
части
поверхности
свободной
от
конденсированного окисла. Здесь, однако, это обстоятельство учитываться не
будет. В дальнейшем будем полагать, что конденсированная окись на
поверхности горящей частицы алюминия распределена равномерно, но не
препятствует испарению и окислению металла частицы.
123
Присутствие конденсированных частичек окиси алюминия в газе вокруг
частицы алюминия предполагает наличие некоторых дополнительных условий
квазистационарности процесса горения по сравнению с процессом горения
капель
жидких
углеводородных
топлив.
Так,
помимо
условия
квазистационарности распределений концентраций газообразных веществ
вокруг частицы металла, требуется ввести еще и условие квазистационарности
распределения концентрации частичек конденсированной окиси алюминия в
газе.
Условием квазистационарности процесса горения капель жидких топлив
является малость характерного времени диффузии по сравнению со временем
сгорания капли: γ = α / D << 1, где α = dR 2 / dt - скорость горения капли.
Условием квазистационарности образования частичек конденсированной
окиси алюминия является малость времени пролета частичек окисла на
расстояние порядка 1 / δ , где происходит основное потребление продуктов
испарения частицы алюминия, по сравнению с временем сгорания частицы. В
безразмерном виде это условие выглядит следующим образом: γ << δ 3 и
правомерно для частиц алюминия достаточно большого размера. Это условие,
вместе с условием (8.3) дает следующий диапазон размеров частицы, в
котором справедлива стационарная постановка задачи
D
α D
> R2 >
k1ρ S0
(k1ρ S0 )2
Подставляя численные значения констант в это условие, найдем
диапазон
диаметров
dp
частиц
алюминия,
в
котором
справедлива
квазистационарная постановка задачи: 700 мкм< d p < 40 мкм. Для случая
горения частиц алюминия более мелкого размера зона конденсации в газе
124
будет нестационарной, так как стационарная зона конденсации не будет
успевать сформироваться за время сгорания частицы.
Наконец, можно полагать для простоты, как это делается в теории
горения,
что
коэффициент
температуропроводности
и
бинарные
коэффициенты диффузии всех веществ равны между собой и не зависят от
температуры. Реакции конденсации и зародышеобразования второго порядка
( m = n = p = q ). Плотность газа величина постоянная.
При выполнении приведенных условий уравнение диффузии продуктов
испарения частицы алюминия и уравнение для стефановского потока могут
быть записаны в виде
dz
ν µ
d
( β z f − ξ 2 f ) = − f f δ 2ξ 2 z f zox S
dξ
dξ
µc
(8.5)
dβ
= δ 2ξ 2 z f zox S
dξ
(8.6)
Заменяя в уравнении (8.5) индекс " f " на индексы "ox ", " p ", "i " , можно
записать аналогичные уравнения диффузии, соответственно, для окислителя,
продуктов разложения окислителя (например, водорода, если окислителем
являются пары воды, или одноокиси углерода, если окислитель – двуокись
углерода) и инертного газа. При этом в уравнении для продуктов разложения
окислителя правая часть должна быть положительной, а в уравнении для
инертного газа равна нулю. Уравнение теплопроводности также может быть
записано в виде (8.5), если в левой части уравнения концентрацию z f
заменить на теплосодержание c pT , а правую часть, с положительным знаком,
умножить на тепловой эффект реакции конденсации.
Граничные условия для приведенных уравнений на поверхности
частицы металла ξ = 1 будут
125
z f = z 0f , zox = 0, β = β 0 , ( β 0 zi −
T = T0 , ( β 0 z p −
dz p
dξ
)=−
dzi
) = 0,
dξ
ν p µ p dzox
ν ox µox dξ
Эти условия означают, что концентрация продуктов испарения частицы
алюминия у ее поверхности равна концентрации насыщенных паров при
температуре частицы, на поверхности частицы алюминия идет гетерогенная
реакция окисления алюминия с большой скоростью, поверхность частицы
непроницаема для инертного газа и продуктов разложения окислителя.
В среде, окружающей частицу алюминия ξ → ∞ граничные условия
имеют вид
zox = zox∞ ,
Для
решения
zi = (1 − zox∞ ), T = T∞
z f = z p = 0,
приведенных
уравнений
необходимо
определить
неизвестную величину удельной поверхности частичек конденсированной
окиси в газе S , которая существенным образом входит в уравнения.
Рассмотрим уравнение для изменения диаметра ϕ одиночной частицы
конденсированной окиси алюминия
β dϕ
ρ δ2
z z
=
2
ξ 2 dξ
ρc S0 f ox
(8.9)
И уравнение для скорости образования зародышей конденсированной фазы
1 d β n k2 ρ 2
δ z f zox
=
ξ 2 dξ k1S0
126
(8.10)
Интегрируя уравнение (8.9) по координате, найдем зависимость
диаметра рассматриваемой частички окиси алюминия от координаты
ξ ′ = r′ / R , в которой образовался зародыш этой частички
2
ρδ 2 ξ ξ z f zox
ϕ =2
dξ
∫
ρ c S0 ξ ′ β
(8.11)
Умножим уравнение (8.10) на площадь поверхности частички окиси
алюминия
πϕ 2 / 6
с диаметром, определяемым уравнением (8.11), и
проинтегрируем полученное уравнение по координате ξ ′ . В результате
получим
S=
1θ
∫ (θ − θ ′) β (θ ′)dθ ′
β
ξ 2 z f zox
dξ ;
θ =δ ∫
β
1
2
где
(8.12)
0
ξ 2 z f zox
dξ
θ′ = δ ∫
β
1
ξ
2
ξ′
Подставляя выражение (8.12) в уравнение (8.6) и дифференцируя его по
переменной θ , получим уравнение для определения скорости стефановского
потока
d 4β
= −2 β
dθ 4
127
(8.13)
Решение этого уравнения с граничными условиями
θ = 0, β = β 0 ,
dθ d 2θ d 3θ
=
=
=0
dξ dξ 2 dξ 3
будет
β = β 0 cos(θ / 21/4 )ch(θ / 21/4 )
(8.14)
Можно видеть, что скорость стефановского потока обращается в нуль
при некоторой координате ξ ′ , когда θ = π / 21/4 .
Исключая из уравнений (8.5) и (8.6) правую часть и интегрируя
полученное уравнение по координате с учетом условия равенства потока
продуктов испарения частицы алюминия нулю на бесконечности, получим
уравнение
β zf −ξ2
dz f
dξ
=−
ν f µf
(β − β∞ )
µc
(8.15)
где β ∞ - значение скорости стефановского потока на бесконечности.
Для определения зависимости величины
θ от координаты ξ имеем
уравнение
ξ 2 z f zox
dθ
2
=δ
dξ
β
128
(8.16)
с граничным условием ξ = 1, θ = 0 .
При условии справедливости предположения δ << 1 в окрестности
частицы алюминия, такой что ξδ << 1 , в уравнении (8.16) можно пренебречь
правой частью, Тогда решение этого уравнения будет θ = 0 . Подставляя это
решение в уравнение (8.15), можно получить распределение концентрации
продуктов испарения частицы алюминия в указанной окрестности частицы
zf =
ν f µf
ν µ
β
β exp(− β 0 / ξ )
(1 − ∞ ) + [ z 0f − f f (1 − ∞ )]
µc
β0
µc
β0
exp(− β 0 )
(8.17)
На больших расстояниях от поверхности частицы ξδ ~ 1 введем в
рассмотрение новые переменные
x = ξδεΩ,
y = θ / 21/4 , ψ = z f / β 0δ
где ε = 1 / ξ * δΩ, Ω = [21/4 (ν f µ f / µc )3/2 zox0 ]1/2 и ξ * - координата обращения в
нуль скорости стефановского потока.
Тогда, определяя из (8.16) концентрацию продуктов испарения частицы
алюминия через функцию θ и учитывая, что на таких больших расстояниях от
частицы zox ≈ zox0 , из уравнения (8.15) найдем с точностью до величин нулевого
порядка по δ
ε 2 x2
β dy
d β dy
= −( β − β ∞ ), ψ = ε 3Ω 3
2
dx x dx
x dx
Несмотря на то, что при координате
ξ = ξ * величина
(8.19)
S
и,
следовательно, скорость реакции конденсации бесконечны, потребление
продуктов испарения частицы алюминия в этой зоне оказывается конечным,
129
вследствие бесконечно малой ширины этой зоны. Поэтому возможно
проникновение продуктов испарения частицы алюминия в область ξ > ξ * .
Повторяя проведенные выше рассуждения, можно получить уравнения для
определения распределения концентрации в этой области, аналогичные (8.19),
ε 2 x2
β
ββ ∞ dy+
d β dy+
3
ψ
ε
=
−
(
−
1),
=
Ω
β0
β 02 x3 dx
dx β 0 x 2 dx
ξ 2 z f zox
y+ = 2 δ ∫
dξ
β
∞
1/4
2
ξ
(8.20)
Граничные условия для уравнений (8.19)-(8.20) смогут быть записаны в
виде
x = 0,
y = 0;
x = ∞,
β 0 cos( y )ch( y )
y+ = 0;
x = 1,
y = y+ = π / 2,
dy
dy
= β ∞ cos( y+ )ch( y+ ) + ,
dx
dx
(8.21)
Последнее из этих условий означает отсутствие скачка концентраций при
координате ξ = ξ * .
Уравнения (8.19)-(8.20) с граничными условиями (8.21) служат для
определения
распределений
концентраций
газообразных
веществ
и
температуры в газе вокруг горящей частицы алюминия, а также зависимости
скорости стефановского потока от расстояния до частицы. Решение этой
задачи возможно только при определенном соотношении между параметрами
ε и β ∞ / β 0 . На
рис. 11 представлена, полученная численным счетом,
зависимость между этими параметрами, для которой возможно решение
указанной задачи. Можно видеть, что обращение в нуль скорости
стефановского потока происходит на конечном расстоянии от поверхности
частицы независимо от состава окружающей среды, так что ε ≈ 0.3 − 0.6 .
Выражение для координаты точки обращения в нуль скорости стефановского
130
потока (размер зоны накопления конденсированной окиси алюминия вокруг
горящей частицы металла) имеет вид
ξ* =
1
εδ
21/4
ν f µf 0
z
µc ox
(8.22)
Рис.11.
Интересно отметить, что размерная координата обращения в нуль
скорости стефановского потока r * не зависит от размера частицы алюминия.
По оценкам размер зоны накопления окиси алюминия вокруг частицы металла
должен составлять ~ 2 миллиметра.
Выводы о существовании широкой зоны конденсации вокруг горящей
частицы алюминия и независимости размера этой зоны от размера частицы
алюминия подтверждаются экспериментально [21].
Зависимость параметра β ∞ / β 0 от исходных параметров задачи может
быть определена. Складывая исходные уравнения диффузии таким образом,
чтобы исключить их правые части, и решая полученные уравнения с
131
точностью до величин нулевого порядка по δ , получим соотношения,
связывающие
концентрации
различных
компонентов
газовой
фазы
с
концентрацией продуктов испарения частицы алюминия. Далее, используя
условие равенства единице суммы относительных массовых концентраций
компонентов газовой фазы у поверхности частицы металла ( z 0f + z 0p + zi0 = 1 ),
можно найти
z 0f = 1 − [1 − (1 −
ν pµ p 0
) z ]exp(− β 0 )
ν ox µox ox
(8.23)
Так как на больших расстояниях от поверхности частицы алюминия
z f ∼ δ , то с точностью до величин нулевого порядка по δ из уравнения (8.17)
можно найти
ν µ
β∞
µ
exp(− β 0 )
= 1 − c [1 − (1 − p p ) zox0 ]
β0
ν f µf
ν ox µox
1 − exp( β 0 )
(8.24)
Так как скорость стефановского потока обращается в нуль в точке
ξ = ξ * , то стационарное распределение концентрации частичек окиси
алюминия в некоторой окрестности этой точки будет устанавливаться за время
значительно большее, чем время сгорания частицы металла. В этом смысле
процесс образования конденсированной окиси при горении частицы алюминия
следует считать нестационарным. Однако, в рассматриваемом случае ε ∼ 1
основное потребление продуктов испарения частицы алюминия происходит на
расстояниях от частицы металла порядка 1 / δ и изменение числа и размеров
частичек окиси алюминия в окрестности зоны накопления окиси мало. Ввиду
этого, указанная нестационарность, по-видимому, связана только с движением
частичек конденсированной окиси, но не с их образованием и ростом.
132
8.5. Образование окиси алюминия на поверхности частицы
При горении частицы алюминия скорость ее горения определяется
с точностью до величин нулевого порядка по малому параметру δ , только
процессами, происходящими на поверхности частицы. Окисление продуктов
испарения частицы алюминия и образование конденсированных частичек
окиси алюминия в газе вокруг частицы алюминия происходит в широкой
области, находящейся на значительном удалении от поверхности частицы
металла. Вследствие этого существование зоны конденсации окиси алюминия
в
газовой
фазе
вокруг
частицы
алюминия
не
меняет
существенно
распределения концентраций газообразных веществ и температуры в
окрестности частицы и в тепловом отношении не оказывает существенного
влияния на процессы, происходящие на поверхности частицы алюминия.
На поверхности частицы алюминия происходит окисление металла за
счет проникновения к ней окислителя, образование конденсированной окиси
алюминия и испарение металла за счет тепла, выделяющегося при окислении.
Из решение уравнения диффузии вблизи поверхности частицы алюминия, где
можно
пренебречь
процессами
образования
конденсированной
окиси
алюминия в газе, могут быть определены потоки тепла и газообразных
веществ от поверхности частицы:
поток продуктов испарения частицы алюминия
I f = 4πRρDc 0f
β0
1 − e −β
0
поток окислителя
I ox = −4πRρDcox0
поток продуктов разложения окислителя
133
β0
1− e
−β0
e −β
0
I p = −4πRρDc 0p
β0
1− e
−β0
e −β
0
поток тепла
I h = 4πRρD(Ts − T0 e − β )
β0
0
Здесь
использованы
1 − e −β
относительные
0
объемные
концентрации
газообразных веществ. Под скоростью стефановского потока здесь также
понимается среднеобъемная скорость газа, которая, как было указано выше,
является некоторой фиктивной величиной. Использование этой скорости в
данном случае возможно, так как она не связывается с вопросами переноса
частичек окиси алюминия в газовой фазе.
Рассмотрим уравнение теплового баланса на поверхности частицы
алюминия
I c H c + I mc H mc = I h + I f H f + I ox H ox + I p H p
где I c и I mc - соответственно, скорости
испарения конденсированных
алюминия и окиси алюминия с поверхности частицы.
Кроме этого рассмотрим уравнения сохранения атомов алюминия и
кислорода на поверхности частицы. Пусть в молекуле окиси алюминия
содержится nmñ атомов алюминия и noc атомов кислорода, в молекуле
продуктов испарения частицы содержится nmf атомов алюминия и nof атомов
кислорода, в молекуле окислителя - no атомов активного кислорода и n p
атомов продуктов разложения окислителя (в молекуле диоксида углерода,
например, содержится один активный атом кислорода, так как продуктом его
разложение является одноокись углерода CO ). Тогда
уравнение сохранения атомов алюминия будет
134
I mc + nmc I mc = nmf I f
уравнение сохранения атомов кислорода
noc I oc = no I ox + nof I f
Из этих уравнений могут быть найдены выражения для скоростей
испарения конденсированных алюминия и окиси алюминия с поверхности
частицы
I mc = −no
nmc
n
I ox + (nmf − noc mc ) I f
n jc
noc
Ic =
n
no
I ox + of I f
noc
noc
(8.25)
(8.26)
Подставляя выражения для потоков тепла и газообразных веществ в
уравнение теплового баланса, найдем
e
− β0
=
c pTs + c 0f Q f
c pT0 + cox0 Qox
(8.27)
где Q f = H f − (nmf − nof nmc / noc ) H mc − nof H c / noc - теплота испарения горящей
частицы алюминия и Q f = H ox + no nmc H mc / noc − no H c / noc − n p H p - тепловой
эффект реакции окислителя с конденсированным алюминием, c p - средняя
теплоемкость газа.
С другой стороны, из условия равенства единице суммы относительных
концентраций газообразных веществ у поверхности частицы можно найти
135
e
− β0
=
1 − c 0f
(8.28)
1 − (1 − n p )cox0
Исключая из уравнений (8.27)-(8.28) скорость стефановского потока β 0
получим уравнение для определения концентрации продуктов испарения
частицы алюминия у ее поверхности
ñ =
0
à
c p (T0 − Tb ) + cox0 [Qox + (1 − n p )c pTb ]
c pT0 + Q f + cox0 [Qox − (1 − n p )Q f ]
(8.29)
В правой части уравнения (8.29) должна стоять температура поверхности
частицы алюминия Ts , так что данное уравнение представляет собой
трансцендентное уравнение для определения температуры Ts . Однако,
зависимость левой части уравнения от температуры Ts есть сильная,
аррениусовского типа с большой энергией активации, зависимость, такая, что
концентрация c 0f сильно меняется при небольших отклонениях температуры
Ts от температуры кипения Tb , при которой концентрация c 0f = 1 . Правая часть
уравнения зависит от температуры Ts только линейно, поэтому в правой части
уравнения (7.29) можно вместо температуры Ts использовать температуру Tb .
Выражение для скорости испарения алюминия с поверхности частицы
может быть записано в виде
I m = −4πρ m R 2
136
dR
dt
Подставляя сюда выражение для потока паров алюминия с поверхности
частицы (8.25), получим выражение для коэффициента пропорциональности в
законе диффузионного горения частицы ( R 2 = R02 − αt )
α =2
n
n
ρD β 0
[(nmf − nof mc )c 0f + n0 mc cox0 e − β
−β
n jc
noc
ρm 1 − e
0
0
(8.30)
Отсюда может быть определено время сгорания частицы алюминия
начального диаметра 2R0 (τ = (2 R0 ) 2 / 4α )
При определении времени сгорания частицы предполагалось, что размер
частицы в процессе горения соответствует массе алюминия. Однако, в
действительности масса частицы равна сумме масс алюминия и окиси
алюминия, накапливающейся на поверхности частицы в процессе ее горения.
Поэтому размер частицы меняется медленнее выгорания алюминия, так что в
конце горения размер частицы Rc отличен от нуля и соответствует массе
окиси алюминия. Если предположить, что окись алюминия распределена в
алюминии равномерно, то коэффициент в законе диффузионного горения
будет
α ñ = α [1 − (
Rc 2
R
) ]
R
R + Rc
Вопрос о поведении окиси алюминия на поверхности горящей частицы
алюминия до конца не выяснен. Фотографии показывают, что окись алюминия
находится на поверхности алюминия в виде «колпачков» и не образует с
алюминием однородной смеси. Реакция между окислителем, проникающем к
поверхности частицы, и алюминием происходит на части поверхности
частицы свободной от окиси алюминия. Принимая во внимание это
137
обстоятельство, рассчитывать время сгорания частицы алюминия, вероятно,
более правильно без учета накопления окиси алюминия на поверхности
частицы.
На рис. 12 представлена зависимость времени сгорания частицы
алюминия от относительной объемной концентрации кислорода ( кривая 1)
при горении частицы в кислородсодержашей среде, паров воды (2) при
горении частицы в водяном паре и диоксида углерода (3) при горении в
диоксиде углерода при давлении 1 атмосфера и температуре окружающей
среды T0 = 2500 K . Экспериментальные точки на рис. 8.2 взяты из [19]
(светлые точки) и [18] (темные точки).
При расчетах учитывалось, что поток продуктов испарения частицы
алюминия складывается из потоков паров алюминия и полуокиси алюминия
Al2O , так что I f = I Al + I Al O и c 0f = c Al0 + c Al0 O . При этом удобно ввести параметр
2
γ = c Al0 / c Al0 O ,
2
2
который слабо зависит от температуры. Тогда получим
Q f = (Q Al O + γQ Al ) /(1 + γ ) , где QAl - теплота испарения алюминия и QAl O 2
2
тепловой эффект реакции 3 Al 2O = 4 Al + Al 2O3 .
Так как время сгорания частицы алюминия обратно пропорционально
коэффициенту диффузии, то точность определения времени сгорания зависит
от точности определения величины коэффициента диффузии. Здесь величина
коэффициента диффузии определялась по потенциалу Ленарда-Джонса [3].
При этом для случая горения в кислороде коэффициент диффузии принимался
равным
коэффициенту
взаимной
диффузии
кислорода
в
азоте
( ρ D = 4 ⋅ 10−5 моль / см ⋅ с ) , а для случая горения в парах воды – коэффициенту
диффузии в смеси водорода и азота (50/50) ( ρ D = 8.5 ⋅ 10−5 моль / см ⋅ с ).
138
Рис.12. Зависимость времени сгорания частицы алюминия от парциального
давления окислителя:
1 – кислород, 2 – водяной пар, 3 – диоксид углерода.
При сравнении расчетных и экспериментальных данных можно видеть,
что расчетная кривая на рис. 12 удовлетворительно соответствует опытным
данным для случая горения частицы алюминия в кислород содержащих
средах. Экспериментальные данные [3] были получены при исследовании
горения частиц алюминия в составе твердого топлива. Окисляющими
компонентами в этом случае были пары воды и диоксид углерода. Лучшее
совпадение этих экспериментальных данных с расчетными, полученными при
рассмотрении горения частицы алюминия в парах воды, дает основание
полагать, что основными окисляющими компонентами в эксперименте были
пары воды, а диоксид углерода мог участвовать в процессе горения частицы
алюминия через реакцию водяного газа CO2 + H 2 = CO + H 2 O .
139
Расчеты показывают также, что время сгорания частицы алюминия лишь
незначительно уменьшается с ростом давления и температуры окружающей
среды в соответствии с опытными наблюдениями.
В зависимости от параметров окружающей среды окись алюминия на
поверхности частицы алюминия может, как накапливаться, так и испаряться.
Условие, разделяющее эти два режима горения частицы алюминия, может
быть получено из уравнения (8.26). После несложных вычислений получим
соотношение между параметрами окружающей среды, при выполнении
которого происходит накопление окиси алюминия на поверхности частицы
алюминия в процессе горения ( I c < 0 )
0
>
c¸ox
c p (T0 − Tb )
no Q f / nof + c pTb (no / nof + n p − 1) − Qox
На рис. 13 (в пространстве параметров: концентрация окислителя –
температура окружающей среды) изображены области, где происходит
накопление (I) и испарение (II) окиси алюминия на поверхности частицы
алюминия при горении ее в кислород содержащей среде (1), воланом паре (2) и
диоксиде углерода (3) и общем давлении одна атмосфера.
140
Рис.13. Области накопления I и испарения II окиси алюминия
с поверхности частицы алюминия при горении в кислороде (1),
водяном паре (2) и диоксиде углерода (3)
Анализируя рис. 13, можно найти объяснение явлению отсутствия полых
сферических оболочек окиси алюминия в продуктах сгорания при горении
частицы алюминия в кислороде и возможности образования их при горении в
водяном паре и диоксиде углерода. Можно полагать, что образование полых
сферических оболочек в продуктах сгорания связано с процессом накопления
окиси алюминия на поверхности частицы. При этом, когда на поверхности
частицы алюминия накопится достаточно много окиси алюминия, то
возможно, что вся поверхность частицы алюминия будет покрыта пленкой
окиси алюминия. В результате образуется крупная частица окиси алюминия,
содержащая внутри себя алюминий. Если такая частица окиси алюминия
находится в среде с температурой выше температуры кипения алюминия и
окиси алюминия (около 2300 К при давлении одна атмосфера), то возможно
раздувание жидкой пленки окиси алюминия парами полуокиси алюминия. Из
141
рис. 10 видно, что одновременное выполнение условий накопления окиси
алюминия на поверхности частицы ( I c < 0 ) и наличие высокой температуры
окружающей среды ( T0 > Tb ) невозможно при частицы алюминия в кислороде
и имеет место при горении в парах воды и диоксиде углерода.
Продифференцируем уравнение (8.11) по координате ξ ′ и поделим на
получившееся выражение уравнение (8.10). После интегрирования по всему
времени сгорания частицы алюминия R 2 / α получим
dN 2 3 ρ 2 D k 2 S
= πR
β (ξ ′)
dϕ 3
ρ c α k1
Это уравнение совместно с уравнением (8.11) в параметрическом виде (с
параметром ξ ′ ) определяет функцию распределения частиц окиси алюминия,
образовавшихся
в
газовой
фазе
при
сгорании
частицы
алюминия.
Максимальный размер частиц окиси алюминия, образующийся в газе вокруг
частицы, определяется подстановкой в уравнение (8.11) ξ ′ = 1 и ξ = ξ *
ϕ m = π [(
ρ 2 ê1 1 / 4
)
]
ρ ñ 2πk 2 ρ
Из полученной функции распределения можно определить массу окиси
алюминия, образовавшейся в газовой фазе при сгорании частицы алюминия.
Интегрируя произведение функции распределения на массу частицы окиси
πϕ 3 ρ ñ / 6 по всем размерам от нулевого до ϕ m , получим
4
2 D nmc µ m
(β o − β ∞ )
mo = πR 3 ρ
3
α nmf
142
При сгорании частицы алюминия образуется масса окиси алюминия
4πR 3 ρnmf µ c / 3µ m nmc , где ρ m - плотности алюминия. Отсюда доля окиси
алюминия, образовавшаяся в газовой фазе, от всей массы окиси алюминия
будес
σo =
ρ 2 D nmc µ m
(β 0 − β ∞ )
ρ m α noc
Графически зависимость доли окиси алюминия, образовавшаяся в
газовой фазе, от концентрации паров воды при температуре среды T0 = 2500 K
и давлении 1 атм. представлена на рис. 14.
Рис. 14. Зависимость доли окиси алюминия, образующейся
в газовой фазе при горении частицы алюминия в среде
с температурой 2500 К при давлении 1 атм.
Таким
образом,
конденсированные
при
частицы
сгорании
окиси
частицы
алюминия,
алюминия
спектр
образуются
которых
имеет
бимодальный вид. Спектр состоит из субмикронных частичек, число и размер
143
которых определяется процессами конденсации в газе, и относительно
крупной
частицы
окиси
алюминия,
появление
которой
обусловлено
накоплением конденсированной окиси алюминия на поверхности горящей
частицы алюминия.
9. Воспламенение частиц алюминия
Воспламенение капель топлив и металлических частиц вызывает
значительный
интерес
в
связи
с
обеспечением
взрывобезопасности
технологических производств, использующих горючие материалы, а также в
связи с использованием распыленных топлив и порошкообразных металлов в
авиационных и ракетных двигателях. Для металлических частиц процесс
воспламенения составляет существенную часть полного времени сгорания.
Условия воспламенения могут существенно сказываться на процессе
дальнейшего стационарного горения частиц металлов. Поэтому исследования
основных закономерностей и механизма воспламенения частиц металлов
имеют большое значение.
Основополагающие идеи о явлении воспламенения горючих газов были
заложены в работах Н. Н. Семенова [31], в которых были вскрыты основные
причины и закономерности процесса воспламенения газовых объемов
реагирующих смесей. Было показано, что причиной воспламенения газового
объема является невозможность установления теплового равновесия между
реагирующим
газом
и
окружающей
средой
в
процессе
повышения
температуры газа, вследствие протекания экзотермической реакции.
Дальнейшее развитие теория теплового взрыва получила в работах Д. А.
Франк-Каменецкого [1]. Был проведен учет конкретной геометрии объема
газовой смеси, а также учет распределения температуры в объеме. В
результате разработанной теории было найдено, что критические условия
теплового взрыва определяются следующим параметром:
144
δ =r
QEK 0 − E / RT
e
2 RT02 λ
0
где r - размер объема газовой смеси, Q - тепловой эффект реакции, K 0 и E −
соответственно предэкспонент и энергия активации в аррениусовской
зависимости скорости реакции от температуры, R − газовая постоянная, λ −
коэффициент теплопроводности газовой смеси, T0 − температура стенок
сосуда.
В зависимости от геометрии сосуда критическое значение параметра δ
на пределе воспламенения принимает различные значения: для плоского
сосуда значение этого параметра составляет 0.66; для цилиндрического – 1;
для сферического сосуда – 1.29.
Теория теплового взрыва Д. А. Франк-Каменецкого представляет собой
решение
стационарных
температурой
стенок
уравнений
сосуда.
теплопроводности
Теория
с
удовлетворительно
постоянной
описывает
качественные зависимости критического размера сосуда от температуры
стенок, давления смеси, кинетических параметров газовой смеси. Однако,
данная теория не в состоянии вычислить такой важный параметр, как период
индукции воспламенения. Для вычисления данного параметра необходимо
рассматривать нестационарные уравнения тепло- и массопереноса.
Нестационарная теория воспламенения получила развитие в работах А.
Г. Мержанова и его сотрудников [32]. При численном интегрировании
нестационарных
уравнений
тепло-
и
массопереноса
анализировалось
применимость преобразования экспоненты Д. А. Франк-Каменецкого [1],
влияние выгорания газовой смеси на критические условия воспламенения и
другие факторы.
Теория гетерогенного воспламенения частиц топлив в основном
опирается на те же положения, что и теория теплового взрыва газовых смесей.
145
При рассмотрении простейшей теории воспламенения частицы топлива, когда
в результате гетерогенной реакции на поверхности частицы образуются
газообразные продукты, частица обменивается теплом с окружающей средой
только конвекцией и когда выгоранием горючего и стефановским потоком
пренебрегается,
получено,
что
условия
воспламенения
на
пределе
определяются следующим соотношением [1]:
QK 0 zνox r0 E − E / RT
e
= e −1
2
NuλRT
E
(Ts − T∞ ) = 1
RT 2
где Nu − критерий Нуссельта, определяющий интенсивность теплообмена
частицы с окружающей средой.
Дальнейшее совершенствование теории гетерогенного воспламенения
конденсированных топлив происходит в направлении учета различных
факторов, влияющих на процесс воспламенения. К таким факторам следует
отнести теплообмен излучением частицы с окружающей средой, диффузия
окислителя к поверхности частицы, наличие стефановского потока и
испарение топлива в процессе воспламенения.
При учете теплообмена излучением частицы топлива с окружающей
средой
критические
условия
воспламенения
по
форме
остаются
аналогичными, однако температура среды и критерий Нуссельта принимают
некоторые
эффективные
значения,
зависящие
от
параметров,
характеризующих теплообмен излучением частицы топлива с окружающей
средой. При учете диффузионного сопротивления газовой фазы предельная
температура
оказывается
несколько
диффузионного сопротивления.
146
выше,
чем
без
учета
внешнего
При рассмотрении процесса воспламенения капель углеводородного
топлива следует учитывать, что взаимодействие топлива с окислителем
происходит существенно в газовой фазе. Было показано [33], что в процессе
формирования газового фронта пламени вокруг капли топлива первоначально
реакция происходит на значительном удалении от поверхности капли и затем,
в процессе воспламенения, интенсивность фронта пламени возрастает и
приближается к своему стационарному положению в окрестности капли
топлива.
Металлические частицы в отличие от капель углеводородного топлива и
других видов горючих при своем окислении образуют конденсированные
продукты сгорания, которые, закрывая поверхность металла, препятствуют
процессу окисления.
Образование
продуктов
окисления
в
конденсированном
виде
и
зависимость скорости окисления от толщины окисной пленки, образующейся
на поверхности металла, является характерной особенностью процесса
окисления металлов. Эта особенность определяет в основном те характерные
явления, которые наблюдаются при исследованиях процесса воспламенения
металлических частиц.
Фридман и Мачек [34] исследовали воспламенение частиц алюминия в
кислородосодержащей среде на плоской горелке. Частицы алюминия
вводились в центральную часть горелки и выносились потоком газа в зону
продуктов сгорания смеси пропана и кислорода. Температура и содержание
кислорода в продуктах сгорания газовой смеси рассчитывались. Летящие
частицы алюминия регистрировались на фотопленку, и время задержки
воспламенения определялось по расстоянию (при известной скорости потока
газа) от края горелки до места начала яркого свечения частицы, которое
принималось за начало процесса горения.
Проведенные
экспериментальные
исследования
показали,
что
воспламенение частиц алюминия происходит только при температурах
147
окружающей среды, превышающей температуру плавления окиси алюминия
(2303 К), практически не зависит от размера частиц и только слабо падает с
ростом концентрации кислорода в среде.
Полученные данные позволили выдвинуть гипотезу о том, что для
воспламенения частицы алюминия необходимо расплавить окисную пленку на
ее поверхности, которая препятствует взаимодействию металла и окислителя.
Для исследования влияния водяных паров на процесс воспламенения
частиц алюминия Фридман и Мачек заменили в своих опытах пропан на окись
углерода, так как в процессе сгорания окиси углерода образуется только
углекислый газ, а пары воды не образуются. Проведенные экспериментальные
исследования показали, что отсутствие водяных паров в окисляющей среде не
оказывает существенного влияния на критические условия воспламенения
частиц алюминия.
Последующие экспериментальные исследования [35], однако, показали,
что предельная температура воспламенения частиц алюминия может быть
значительно ниже температуры плавления окиси алюминия и существенно
более сильно зависеть от концентрации окислителя в окружающей среде, чем
в опытах Фридмана и Мачека. Эти эффекты особенно заметны для мелких
(порядка десяти микрон) частиц алюминия.
Весьма интересной оказалась наблюдаемая в опытах [35] зависимость
температуры воспламенения от размера частиц алюминия. Эта зависимость
имеет минимум при размерах частиц алюминия 7 ÷ 12 микрон. При больших
размерах частиц температура воспламенения частиц алюминия возрастает и
приближается к температуре плавления окиси алюминия.
При исследованиях зависимости температуры воспламенения алюминия
(в виде тонких проволочек) от давления [36] было обнаружено, что при
давлениях выше атмосферы температура воспламенения от давления
практически не зависит и составляет величину, близкую к температуре
плавления окиси алюминия. Однако при давлениях ниже 0.5 атмосферы
148
наблюдалось резкое падение температуры воспламенения с уменьшением
давления.
Период индукции воспламенения приблизительно пропорционален
квадрату размера частицы алюминия, весьма слабо зависит от концентрации
окислителя в окружающей среде и резко уменьшается с ростом температуры
окружающей среды.
При исследованиях процесса воспламенения совокупности частиц
алюминия, когда имеет место взаимное влияние частиц, было обнаружено, что
процесс воспламенения существенно облегчается – происходит при более
низких температурах воспламенения.
9.1. О механизме воспламенения частиц алюминия
при низких давлениях
Обнаруженное
в
опытах
[36]
резкое
падение
температуры
воспламенения частиц алюминия при низких давлениях указывает на
существование другого, помимо плавления пленки окиси на поверхности
частицы, механизма процесса воспламенения. Этим механизмом может
являться механическое разрушение пленки окиси на поверхности металла при
увеличении давления паров металла под окисной пленкой.
На рис. 11 представлены экспериментальные данные по зависимости
температуры воспламенения алюминия от давления [36], а также зависимость
температуры кипения алюминия от давления (пунктирная кривая).
Как можно видеть, при давлениях ниже 0.5 атмосферы, температура
кипения
алюминия
оказывается
ниже
температуры
плавления
окиси
алюминия. Поэтому факт резкого падения температуры воспламенения
алюминия с понижением давления может быть качественно объяснен тем, что
давление паров алюминия под пленкой окиси оказывается выше давления
окружающей среды. Однако, как можно видеть из рис. 11, в количественном
149
отношении
данная
гипотеза
не
вполне
удовлетворительно
объясняет
экспериментальные данные: при заданной температуре давление паров
алюминия оказывается существенно меньше давления среды, при которой
происходит воспламенение.
Рис.11. Зависимость температуры воспламенения частиц алюминия от
давления: - экспериментальные данные [36], - - - - температура кипения
алюминия, ⎯⎯ температура кипения смеси конденсированных алюминия и
окиси алюминия.
В опытах [37] было обнаружено, что окись алюминия на поверхности
расплавленного
алюминия
ведет
себя
подобно
частицам
натрия
на
поверхности воды – интенсивно движется, что связано со значительным
газовыделением на поверхности контакта алюминия и окиси алюминия. Эти
опыты указывают на возможность существования реакции между алюминием
и окисью алюминия, в результате которой образуются газообразные продукты
реакции. Такая возможность существенно увеличит давление паров над
150
поверхностью алюминия и окиси алюминия, по сравнению с давлением паров
над чистыми поверхностями алюминия или окиси алюминия.
На рис. 11 сплошной линией представлена зависимость полного
давления продуктов испарения смеси алюминия и окиси алюминия от
температуры. Можно видеть, что в количественном отношении данная
зависимость лучше описывает экспериментальные данные по температуре
воспламенения, чем кривая зависимости от температуры давления паров
алюминия.
9.2. Теоретические модели процесса воспламенения частиц алюминия
Фридман
и
Мачек
[39],
основываясь
на
полученных
ими
экспериментальных данных, построили простейшую теорию воспламенения
частиц алюминия. В их модели предполагалось, что прогрев частиц алюминия
от начальной температуры до температуры плавления окиси алюминия
осуществляется за счет теплоотдачи от газа. На основе этой гипотезы была
вычислена задержка времени воспламенения частиц алюминия. Результаты
проведенных расчетов, демонстрируя качественное согласие с данными
экспериментальных исследований по зависимости периода индукции от
размера частицы алюминия, в количественном отношении не вполне
удовлетворительно описывают экспериментальные результаты.
В [40] осуществлялась попытка построить теорию воспламенения частиц
алюминия, которая была бы в состоянии описать наблюдавшуюся при
экспериментальных исследованиях зависимость температуры воспламенения
от размера частиц. Было высказано предположение, что окись алюминия,
которая может существовать в аморфном и кристаллическом состоянии,
вначале при низких температурах, находясь в аморфном состоянии, не
обладает защитными свойствами. Однако по мере повышения температуры
частицы аморфная пленка окиси алюминия кристаллизуется и становится
151
непроницаемой для окислителя. Для мелких частиц алюминия время прогрева
частицы до температуры плавления окиси алюминия меньше времени
кристаллизации окисла, поэтому воспламенение таких частиц может быть
описано в соответствии с теорией гетерогенного воспламенения топлив. В
теории
гетерогенного
воспламенения
частицы
топлива
температура
воспламенения уменьшается с ростом размера частицы.
Для крупных частиц алюминия кристаллизация окисной пленки на
поверхности частицы происходит раньше, чем температура частицы достигнет
температуры плавления окиси алюминия. Поэтому для воспламенения таких
крупных частиц алюминия критическая температура воспламенения должна
возрастать с ростом размера частицы алюминия.
Таким образом, введение в теорию воспламенения частицы алюминия
некоторого фактора, например, кристаллизации пленки окиси алюминия,
который облегчает процесс окисления алюминия при низких температурах и
затрудняет процесс окисления с повышением температуры частицы, позволяет
объяснить экспериментальные результаты по зависимости температуры
воспламенения частицы алюминия от ее размера.
Однако, как отмечается в [41], вряд ли существуют особые основания
для введения в теорию воспламенения частицы алюминия фактора, связанного
с кристаллизацией окиси алюминия. Хотя достоверно установлено, что
кристаллизация окиси алюминия имеет в диапазоне температуры 680 ÷ 710 °С,
однако предположение об отсутствии защитных свойств аморфной пленки
окиси
алюминия,
по-видимому,
несправедливо.
Это
предположение
опровергают многочисленные опыты по окислению алюминия в широком
диапазоне температур, в которых установлено, что алюминий, лишенный
окисной пленки на поверхности, окисляется весьма интенсивно даже при
низких температурах, но скорость его окисления резко падает при нарастании
окисной пленки и практически полностью прекращается при толщинах пленки
152
окиси около 0.2 микрон, даже при температурах ниже температуры
кристаллизации.
Теория воспламенения металлических частиц, аналогичная теории
гетерогенного воспламенения, но с кинетикой окисления соответствующей
окислению металлов, была рассмотрена в [41]. Прежде всего, рассматривались
степенные законы окисления. Были рассчитаны критические условия
воспламенения частиц металла и, в частности, зависимость критической
температуры воспламенения от размера частиц. При расчетах полагалось, что
воспламенения частицы металла может происходить в двух случаях: если в
процессе докритического разогрева частицы ее температура достигнет
температуры плавления окиси алюминия, или, если в процессе разогрева
частицы при температуре ниже температуры плавления окиси наступит срыв
теплового равновесия частицы с окружающей средой. Было показано, что при
законах
окисления
металла
более
сильного,
чем
параболический,
в
зависимости температуры воспламенения от размера частицы появляется
минимум. Однако этот минимум при кубическом законе окисления слабо
выражен и не описывает удовлетворительно экспериментальные данные.
Для описания опытных данных в теории гетерогенного воспламенения
необходимо рассматривать более сильные, чем степенные, зависимости
скорости окисления металла от толщины пленки окиси. Были рассмотрены
логарифмические законы окисления металлов. Использование таких законов,
при соответствующем подборе кинетических констант, дают результаты по
зависимости температуры воспламенения от размера частицы алюминия
близкие к экспериментальным данным.
Следует отметить, однако, что при исследовании кинетики окисления
металлов
законы
окисления
более
сильные,
чем
параболический,
наблюдаются редко. Параболический закон окисления металлов, в частности
алюминия,
является
наиболее
распространенным.
Необходимость
использования более сильных законов окисления, по-видимому, связана с
153
существованием других механизмов процесса воспламенения металлов, кроме
окисления через окисную пленку.
Другим механизмом воспламенения частиц металла, и в частности
частицы алюминия, является нарушение сплошности окисной пленки
вследствие, например, теплового расширения алюминия. Так как для
алюминия коэффициент теплового расширения примерно в три раза больше,
чем коэффициент теплового расширения окиси алюминия [42]. В связи с этим,
при нагреве частицы алюминия окисная пленка на поверхности металла под
действием внутренних напряжений будет трескаться, и жидкий алюминий
будет выходить на внешнюю поверхность пленки окиси. Алюминий,
вышедший на внешнюю поверхность окисной пленки, будет интенсивно
взаимодействовать с окислителем, в результате чего на поверхности частицы
будет образовываться дополнительный слой окиси или, если температура
окружающей среды достаточно велика, произойдет воспламенение частицы
алюминия [43].
В процессе воспламенения температура частицы алюминия значительно
ниже температуры кипения металла, поэтому, при рассмотрении процесса
воспламенения, можно пренебречь испарением металла, а также явлениями,
связанными с взаимодействием паров металла с окислителем в газовой фазе.
Процессы взаимодействия продуктов испарения частицы алюминия с
окислителем в газовой фазе начинают развиваться, по-видимому, уже тогда,
когда температура частицы достигнет величины, близкой к температуре
кипения.
При воспламенении частицы алюминия взаимодействие между металлом
и окислителем происходит гетерогенно на поверхности частицы, так что
можно считать, что потребление окислителя и тепловыделение происходит
только
на
поверхности
частицы,
конденсированной и газовой фаз.
154
являющейся
границей
раздела
Обычно
при
рассмотрении
процесса
воспламенения
металлов
пренебрегают стефановским потоком в связи с низкой температурой частицы,
малой скоростью испарения металла и не высокой скоростью реакции
окисления. Однако в том случае, если процесс окисления идет на поверхности
металла, свободной от окисного слоя, то скорость потребления окислителя на
поверхности металла может быть весьма велика. В связи с этим при
теоретическом рассмотрении воспламенения частицы алюминия, когда
реакция взаимодействия окислителя происходит с металлом, вышедшим на
внешнюю поверхность пленки окиси, пренебрегать стефановским потоком
нельзя. В этом случае стефановский поток будет связан не с испарением
металла, а с потреблением окислителя в процессе гетерогенной реакции на
поверхности частицы.
Наконец,
при
математической
формулировке
задачи,
можно
воспользоваться предположением, которое обычно используется в теории
горения для упрощения, о том, что бинарные коэффициенты диффузии в
газовой фазе равны и критерий Льюиса равен единице.
Введем безразмерные переменные и параметры: Θ = (T − T∞ ) /(Tm − T∞ )
температура;
z ox −
ξ = r / R − координата;
относительная
массовая
τ = χ mt R 2 − время;
концентрация
окислителя;
β =U0R D −
скорость
стефановского потока у поверхности частицы металла (вдали от частицы
β = β 0 / ξ 2 ); ε = χ m χ − отношение коэффициентов температуропроводности
алюминия и газа; размерные параметры имеют смысл: Tm , T∞ − температура
плавления окиси и окружающей среды; R − радиус частицы алюминия;
D − коэффициент диффузии.
Уравнения теплопроводности и диффузии, описывающие процесс
окисления частицы металла, при учете указанных выше положений, могут
быть записаны в виде:
при ξ ≤ 1
155
∂Θ 1 ∂ 2 ∂Θ
ξ
=
∂τ ξ 2 ∂ξ
∂ξ
(9.1)
1 ∂
∂Θ
∂Θ
=− 2
(β 0Θ − ξ 2
)
∂τ
ξ ∂ξ
∂ξ
(9.2)
∂z
∂zox
1 ∂
=− 2
( β 0 zox − ξ 2 ox )
∂τ
ξ ∂ξ
∂ξ
(9.3)
при ξ ≥ 1
ε
ε
Начальные и граничные условия для решения уравнений (9.1) – (9.3)
будут:
τ = 0, Θ = 0, z ox = z ox∞ ; ξ = 0,
∂Θ
=0
∂ξ
ξ = 1, Θ = Θ 0 , z ox = z ox0 ;
(9.4)
ξ = ∞, Θ = 0, z ox = z ox∞
где Θ 0 и zox0 − соответственно, зависящие от времени и подлежащие
определению, значения температуры поверхности частицы металла и
концентрация окислителя у поверхности частицы.
Для определения неизвестных величин Θ 0 и z ox0 рассмотрим условия на
поверхности частицы металла. Этими условиями являются: равенство потока
окислителя
на
поверхность
частицы
скорости
химической
реакции
гетерогенного взаимодействия металла и окислителя W, а также равенство
разности тепловых потоков в конденсированной и газовой фазах скорости
тепловыделения на поверхности частицы:
β z ox0 −
∂z ox
|ξ =1 = −W
∂ξ
156
(9.5)
−
⎞
⎛
1 ∂Θ
∂Θ
|ξ =1−0 +⎜ β 0 Θ 0 −
|ξ =1+0 ⎟ = qW
γ ∂ξ
∂ξ
⎠
⎝
(9.6)
где γ = λ / λm и q – тепловой эффект реакции взаимодействия металла и
окислителя.
Кроме указанных условий, следует также учитывать, что в газовой фазе
сумма относительных концентраций окислителя и инертного газа равна
единице.
При наличии окисной пленки на поверхности металла скорость реакции
окисления металла определяется в основном процессами диффузии атомов
металла и кислорода в твердой окиси. При отсутствии окисной пленки на
поверхности металла кислород может взаимодействовать с металлом весьма
активно. Высокая активность взаимодействия металла с кислородом при
отсутствии окисной пленки на поверхности может быть объяснена малой
величиной энергии активации данного процесса. Так, например, при
взаимодействии алюминия с хлором, когда на поверхности не образуется
конденсированного окисла, энергия активации химического взаимодействия
составляет всего 2 ккал/моль. При малой величине энергии активации, а также
при высоких температурах (близких к температуре плавления окиси
алюминия), при которых протекает процесс окисления, зависимость скорости
реакции окисления от температуры является слабой, так как мала величина
показателя экспоненты в аррениусовской зависимости скорости химической
реакции от температуры.
Таким образом, можно предположить, что при отсутствии окисной
пленки на поверхности металла скорость окисления определяется только
концентрацией окислителя у поверхности частицы. Тогда, в предположении о
первом порядке реакции окисления, запишем
157
Kzox0 R
W=
ρD
(9.7)
Следует заметить также, что защитная окисная пленка на поверхности
металла в процессе окисления образуется только при накоплении некоторого
критического объема окисла. Как показывают наблюдения, вначале на
окисляемой поверхности металла образуются отдельные островки окиси,
которые со временем увеличиваются в размерах до тех пор, пока при их
слиянии не образуется сплошная окисная пленка.
9.3. Критерий воспламенения частицы алюминия
Для решения уравнений (9.1) – (9.3) рассмотрим величину параметра ε .
Принимая, что при высоких температурах λm = 50 вт/м⋅К, ρ m = 2.4 ⋅ 10 3 кг/м3,
c p = 900 Дж/кг⋅К, λ = 0.1 вт/м⋅К, ρ = 0.15 кг/м3, c p = 920 Дж/кг⋅К, можно
m
определить, что ε = 3.2 ⋅10 −2 P , где P – давление. Таким образом, видно, что при
давлениях порядка одной атмосферы параметр ε << 1. Это означает, что
характерное время установления температуры в газе значительно меньше
времени установления распределения температуры внутри частицы металла.
Иначе, можно считать, что в процессе разогрева частицы металла
распределение температуры и концентрации в газовой фазе вокруг частицы
квазистационарно. В этом случае можно в уравнениях (9.2)-(9.3) пренебречь
производными по времени и рассматривать их как стационарные. Тогда
решение уравнений теплопроводности и диффузии в газовой фазе с учетом
граничных условий может быть записано в виде:
−
Θ = Θ0
β0
ξ
1− e
1 − e −β
0
158
(9.8)
zox = z oz∞ − (z ox∞ − z ox0 )
−
β0
ξ
1− e
1 − e −β
0
(9.9)
Из условия равенства потока инертного газа нулю и равенства суммы
относительных концентраций в газе единице получим:
z ox0 = 1 − (1 − z ox∞ ) e − β
(9.10)
0
Тогда с учетом (9.7) – (9.10) условия на поверхности частицы металла
(9.5)- (9.6) могут быть записаны в виде:
1 − z ox0
KRz ox0
− β0 =
= ln
ρD
1 − z ox∞
(9.11)
Θ0 ⎤
1 ∂Θ
⎡1
|ξ =1−0 = − β 0 ⎢ +
−β
γ ∂ξ
⎣ Ω 1 − e ⎥⎦
0
(9.12)
где Ω = (Tm − T∞ ) /(q / c p + T∞ ) .
Для определения зависимости температуры поверхности частицы
металла Θ 0 от времени рассмотрим уравнение (9.1) с граничными и
начальными условиями (9.4) и (9.12). Решение этого уравнения при условии
γα << 1 будет:
Θ0 =
1 − e −β
Ω
0
⎛ sin 3γα ξ −3γατ
⎞
⎜
⎟
e
1
−
⎜ 3γα ξ
⎟
⎝
⎠
(9.13)
где α = β 0 /(1 − e − β ) .
0
Для температуры поверхности частицы с учетом условия γα << 1
получим выражение:
159
1 − e − β −3γατ
(e − 1)
Θ0 =
Ω
0
(9.14)
Величина параметра β 0 может быть определена из уравнения (9.11). При
концентрациях окислителя в среде z ox∞ < 0.5 можно разложить логарифм в
выражении (9.11) и, после подстановки выражения для скорости реакции
окисления (9.7), найти:
z ox∞
z =
1 + ζ (1 − z ox∞ )
(9.15)
ζ z ox∞
β0 = −
1 + ζ (1 − z ox∞ )
(9.16)
0
ox
где введено обозначение ς = KR / ρD .
По
заданной
скорости
реакции
окисления
можно
определить
зависимость объема окисла, образующегося на поверхности частицы металла,
от времени
δ =−
µc ρ mc p
β γRτ
ν ox µ ox ρ c c p 0
m
(9.17)
Здесь µ c и µ ox − соответственно молекулярные веса окисла металла и
окислителя, ν ox − стехиометрический коэффициент по окислителю в реакции
образования окисла (для случая окисления алюминия в кислороде ν ox = 1.5 ).
Таким образом, существуют два развивающихся во времени процесса. С
одной стороны, на поверхности частицы металла происходит накопление
окисла металла, который при некоторой его критической величине объема δ *
образует защитную пленку. С другой стороны, температура поверхности
160
частицы металла возрастает со временем и может достигнуть температуры
плавления окисла.
Если температура поверхности частицы металла достигнет температуры
плавления
окисла
раньше,
чем
на
поверхности
частицы
образуется
критический объем окисла, то произойдет воспламенение частицы металла.
Если же на поверхности частицы металла раньше образуется критический
объем окисла, то образуется защитная окисная пленка, которая резко снизит
скорость окисления металла и, следовательно, скорость тепловыделения.
Из вышесказанного следует, что условие воспламенения частицы
металла, свободной от окисла на ее поверхности в начальный момент, может
быть записано в виде:
Θ 0 = 1, δ ≤ δ *
(9.18)
Данное условие, естественно, является только достаточным для
воспламенения металлической частицы. При невыполнении данного условия
воспламенение частицы металла все же может произойти, например, по
механизму, описанному в [43].
Исключая из уравнений (9.14) и (9.17) время, подставляя в полученное
уравнение условие воспламенения (9.18) и полагая, для упрощения, что
параметр β 0 << 1 , найдем критическое условие воспламенения частицы в виде:
⎛ βχ∆
⎞
Ω = β 0 ⎜⎜ e − 1⎟⎟
⎝
⎠
где ∆ =
(9.19)
3ν ox µ ox c p ρ c K *
δ .
µ c ρ m c p ρD
m
На рис. 15, при z ox∞ = 0.2 и значениях параметра ∆ = 0.01 (кривая 1) и
∆ = 0.005 (2), представлена зависимость параметра Ω , включающего в себя
161
температуру воспламенения T∞ , от параметра ζ , пропорционального размеру
частицы металла. Данная зависимость разделяет все пространство параметров
таким образом, что при значениях параметров, принадлежащих области ниже
кривой, происходит воспламенение частицы металла.
Рис.15 Области значений параметров, при которых происходит
воспламенение металлических частиц при
z ox∞ = 0.2 и 1 - ∆ = 0.01, 2 - ∆ = 0.005 .
На рис. 16 для частицы алюминия (при
z ox∞ = 0.2 ) представлена
зависимость температуры воспламенения от размера частицы, при значениях
параметров ∆ = 3.4 ⋅ 10 −2 и K/ρD = 1.3 ⋅ 10 5 м-1. Экспериментальные точки на
рис. 16 взяты из работы [35]. Как видно, при выбранных значениях параметров
∆ и K / ρD расчетная зависимость температуры воспламенения частицы
алюминия от ее размера удовлетворительно описывает экспериментальные
данные.
162
Рис.16 Зависимость температуры воспламенения частицы алюминия в воздухе
от диаметра (экспериментальные точки [35]).
На рис. 17 представлена зависимость температуры воспламенения
частицы алюминия диаметром 20 микрон от концентрации кислорода в среде
при тех же значениях параметров ∆ и K / ρD , что и на рис. 16. Сопоставление
расчетной кривой с экспериментальными данными [35], приведенными на рис.
17, также дает удовлетворительное их соответствие.
Рис.17. Зависимость температуры воспламенения частицы алюминия
диаметром 20 мкм от концентрации кислорода в среде
(экспериментальные точки из [35]).
163
9.4. Воспламенение частицы алюминия при произвольных параметрах
тепло- и массообмена частицы с окружающей средой
В приведенном выше теоретическом рассмотрении воспламенения
частицы алюминия предполагалось, что частица металла находится в
газообразной
окисляющей
среде.
При
этом
теплообмен
частицы
с
окружающей средой осуществляется путем теплопроводности в окружающем
частицу газе. Однако, при использовании частиц алюминия в составе твердого
ракетного топлива взаимодействие частиц алюминия с окисляющей средой,
как показывают наблюдения, происходит уже на поверхности твердого
ракетного топлива, где частица алюминия окружена не только газом, но и
жидкими и твердыми компонентами топлива.
Можно предполагать также, что такое явление, как агломерация частиц
алюминия
на
поверхности
твердого
ракетного
топлива,
связана
с
воспламенением частиц. Процессом агломерации частиц алюминия на
поверхности твердого ракетного топлива является слияние отдельных частиц
алюминия аналогичное слиянию отдельных капель жидкости. Однако следует
учитывать, что частицы алюминия покрыты твердой пленкой окиси и
агломерация, то есть слияние двух или нескольких частиц в одну частицу
возможно только при условии, что твердая пленка окиси алюминия на их
поверхности будет расплавлена. Плавление пленки окиси алюминия на
поверхности частиц при достаточно низкой температуре поверхности
горящего твердого ракетного топлива (~ 1000 К) невозможно, так как
температура плавления окиси алюминия (2300 К) значительно выше
температуры окружающей среды. Таким образом, процесс агломерации частиц
алюминия на поверхности твердого ракетного топлива возможен, если
частицы алюминия воспламеняются на поверхности твердого топлива при
относительно низких температурах.
Следует отметить также, что частицы алюминия в составе твердого
ракетного топлива находятся в контакте друг с другом, заполняя области,
164
«карманы», между более крупными частицами перхлората аммония. При
нагреве частиц выше температуры плавления алюминия, жидкий алюминий
выходит на поверхность частиц через образующиеся трещины в пленке окиси
алюминия. Это способствует слипанию, но не слиянию, мелких частиц
алюминия, в результате чего возможно образование крупных конгломератов
частиц алюминия, которые представляют собой пористые образования
довольно крупного размера. Реакция окисления жидкого алюминия внутри
такой
пористой
структуры
должна
существенно
облегчать
процесс
воспламенения алюминия, так как реакция окисления и тепловыделение
происходит в объеме пористого конгломерата, а теплоотдача от конгломерата
осуществляется с его поверхности.
Процесс
воспламенения
частицы
алюминия
будет
описываться
нестационарным уравнением теплопроводности внутри частицы:
∂T χ ∂ 2 ∂T
=
r
∂r r 2 ∂r ∂r
(9.20)
с начальными и граничными условиями:
t = 0, T = T∞
r = 0,
∂T
=0
∂r
r = R, λ
(9.21)
∂T
+ α (T − T∞ ) = qβ z ∞
∂r
Кроме этого необходимо записать уравнение для массы окиси
алюминия, которая образуется на поверхности частицы алюминия при ее
окислении:
165
dm
= 4π R 2 β z ox
dt
(9.22)
В безразмерном виде уравнение (9.20) с начальными и граничными
условиями (9.21) перепишется в следующем виде:
∂Θ 1 ∂ 2 ∂Θ
ξ
=
∂τ ξ 2 ∂ξ
∂ξ
τ = 0,
ξ = 0,
(9.23)
Θ=0
∂Θ
=0
∂ξ
(9.24)
∂Θ
= Nu (Θ * − Θ )
∂ξ
ξ = 1,
Здесь введены безразмерные переменные и параметры: температура;
Θ* = qzox β α (Tпл − T∞ )
– характерная температура; ξ = r / R − координата;
τ = χ t R 2 − время; размерные параметры имеют смысл: Tïë , T∞ − температура
плавления окиси и окружающей среды; R − радиус частицы алюминия; λ –
коэффициент теплопроводности; z ox – относительная массовая концентрация
окислителя; α , β – параметры.
Решение уравнения (9.23) с граничными условиями (9.24) имеет
следующий вид [44]:
∞
Θ
1
2 sin (µ n ) − µ n cos(µ n )
2
(
)
(
)
µ
ξ
µ
τ
=
−
A
⋅
−
A
=
1
sin
exp
,
∑
n
n
n
n
ξ
µ n µ n − sin (µ n )cos(µ n )
Θ*
n =1
(9.25)
где µ n – положительные корни трансцендентного уравнения
(Nu − 1) tan (µ ) + µ
n
n
=0
166
(9.26)
Учитывая то, что корни уравнения (9.26) возрастают в уравнении (9.25)
можно пренебречь членами с n ≠ 1 . Тогда уравнение (9.25) можно переписать
в следующем виде:
Θ
1
= 1 − A1 sin (µ1ξ ) ⋅ exp(− µ12τ )
*
Θ
ξ
На
поверхности
частицы
алюминия
(9.27)
(ξ = 1)
температура
будет
определяться выражением
Θ
= 1 − A1 sin (µ1 ) ⋅ exp(− µ12τ )
*
Θ
(9.28)
Решая уравнения (9.22) получим
t=
δR
(9.29)
z Sh D
На рис. 18 приведены графики зависимости температуры воспламенения
от размера частицы алюминия, при концентрациях z = 0.2 , z = 0.5 и z = 0.9 , и
Nu = 5 , Sh = 300 . Такое поведение следовало ожидать, так как при малых
концентрациях никакой реакции на поверхности частицы алюминия почти нет
и, соответственно, температура воспламенения будет близка к температуре
плавления окисла (2300 К). При увеличении концентрации окислителя
тепловыделение на поверхности частицы возрастает и температура частицы
может достигнуть температуры плавления окиси алюминия даже в том случае,
если температура окружающей среды будет ниже температуры 2300 К.
167
Частицы алюминия, размер которых мал, должны легко воспламеняться
при низкой температуре. Однако, было установлено [43], что частицы
алюминия, размер которых меньше 1.19 микрон, не могут воспламениться ни
при каких температурах ниже температуры плавления окиси алюминия.
Можно предположить, что при малых размерах частиц алюминия напряжений,
возникающих в пленки окиси алюминия, недостаточно для появления в ней
трещин.
Полагая, что минимальный размер частиц алюминия, при котором в
пленке окиси алюминия появляются трещины, равен 1.2 мкм , можно оценить
предельное напряжение в пленке окиси алюминия, выше которого в ней
появляются трещины. Напряжения в сферической оболочке, возникающие под
действием внутреннего давления, определяются выражениями [45]
σ rr =
p
pR
, σ θθ = σ ϕϕ =
2
2h
где σ ik - тензор напряжений, p - давление внутри сферы, R - радиус частицы,
h - толщина пленки.
Рис. 18. Зависимость температуры воспламенения от размера частицы
алюминия при различных концентрациях окислителя.
168
Полагая, что увеличение давления внутри частицы пропорционально
увеличению объема жидкого алюминия при его тепловом расширении до
температуры плавления окиси алюминия, найдем величину предельного
напряжения в пленке окиси алюминия для частицы заданного предельного
размера.
Если положить толщину пленки окиси алюминия равной 0.2 мкм [18],
то получим предельное напряжение в пленке окиси алюминия
σ θθ* = 102 кг / мм 2
Давление внутри частицы, пропорциональное температуре, обратно
пропорционально
размеру
частицы.
Следовательно,
температура
воспламенения для малых размеров частицы алюминия будет падать при
увеличении
размера
частицы.
Общая
зависимость
температуры
воспламенения частицы алюминия от ее размера имеет экстремальный
характер с минимумом при размерах частиц алюминия около 7-12 микрон.
На рис. 19 представлена зависимость температуры воспламенения
частицы алюминия от критерия Нуссельта, Nu , при концентрации окислителя
z = 0.5 , размера частицы r = 10 мкм и критерии Шервуда равном 50, 200 и 500.
При высоких числах Нуссельта, ввиду сильной теплоотдачи, температура
частицы достигает температуры плавления окисла (2300 К) только в том
случае, если температура окружающей среды близка к температуре плавления
окиси алюминия. Тогда как при малых числах Нуссельта, что соответствует
слабому теплообмену, вся теплота, образующаяся в ходе реакции на
поверхности частицы алюминия, идет на нагрев частицы, и, соответственно,
температура воспламенения будет существенно ниже температуры плавления
окисла.
169
На рис. 20 представлена зависимость температуры воспламенения
частицы алюминия от критерия Шервуда, Sh , при концентрации окислителя
z = 0.5 , размера частицы r = 10 мкм и критерии Нуссельта равном 5, 20 и 40.
Видно, что при увеличении числа Шервуда температура воспламенения
частицы алюминия уменьшается, и это наиболее ярко отражается при малых
числах Нуссельта.
Рис. 19. Зависимость температуры воспламенения от критерия Нуссельта при
различных числах Шервуда
Таким образом сформулированная теоретическая модель процесса
воспламенения частиц алюминия удовлетворительно описывает основные
количественные закономерности воспламенения частиц алюминия, и в
частности зависимости температуры воспламенения частиц алюминия от их
размера и параметров тепло- и массообмена частицы с окружающей средой.
Показано, что при увеличении концентрации окислителя температура
воспламенения частицы алюминия падает.
170
Рис. 20 Зависимость температуры воспламенения от критерия Шервуда при
различных числах Нуссельта
Из рис. 19 видно, что при числах Нуссельта больших 25 температура
воспламенения частицы алюминия не зависит от числа Шервуда, и
приблизительно равна температуре плавления окисла.
Температура воспламенения существенно ниже температуры плавления
окисла при больших числах Шервуда и малых числах Нуссельта.
171
Список литературы
1. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической
кинетике. М.: Наука, 1967.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.
3. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч, Берд Р. Молекулярная теория газов и
жидкостей. М.: ИИЛ, 1961.
4. Предводителев А. С., Хитрин Л. Н., Цуханова О. А. И др. Горение
углерода. М.-Л. АН СССР, 1949, 407 с.
5. Блошенко В. П., Хайкин Б. И. О стефановском потоке при гетерогенных
химических реакциях. ЖФХ, 1967, вып. 12.
6. Варшавский А. Г. Горение капли жидкого топлива. – Тр. БНТ НКАП,
1945, № 6.
7. Вильямс Теория горения. М.: Наука, 1971.
8. Кумагаи С. Горение. Перевод с японского. М.: Химия, 1979, 255 с.
9. Исаев С. И., Кожинов И. А., Кофанов В. И. И др. Теория
тепломассообмена. Учебник для технических университетов и вузов
(под ред. А. И. Леонтьева) – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1997.
683 с.
10. Лойцанский Л. Г. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, ГРФМЛ, 1987,
840 с.
11. Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло- и массообмена: Пер. с англ. –
М.: Госэнергоиздат, 1961. – 680 с.
12. Кутепов А. М., Полянин А. Д., Запрянов З. Д., Вязьмин А. В., Казенин
Д. А. Химическая гидродинамика. Справочное пособие. М.: Бюро
Квантум, 1996. 336 с.
13. Holber T. Minimum Zrasazaia Powierznchi // Chimia Stozowana. – 1964. –
Bd. 2B. – S. 205 – 267.
14. Левич В. Г. Физико-химическая гидродинамика. – М.: Физматлит, 1959,
670 с.
172
15. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. – М.: Атомиздат, 1979,
416 с.
16. Петухов Б. С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении
жидкости в трубах. – М.: Энергия, 1967, 412 с.
17. Себиси Е. К., Бредшоу П. Конвективный теплообмен. – М.: Мир, 1987,
592 с.
18. Похил П. Ф., Беляев А. Ф., Фролов Ю. В., Логачев В. С., Коротков А. Н.
Горение порошкообразных металлов в активных средах. М.: Наука,
1972.
19. Davis A. // Combustion and Flame – 1963, Vol. 7, № 4.
20. Мачек А., Фридман Р., Сэмпл Дж. Гетерогенное горение. Пер. с англ.
М.: Мир, 1967.
21. Гремячкин В. М., Истратов А. Г., Колесников-Свинарев В. И., Кузнецов
Г. П., Лейпунский О. И. и др. // Химическая физика процессов горения и
взрыва. Горение конденсированных систем, Черноголовка: Из-во АН
СССР, 1977.
22. Термодинамические свойства индивидуальных вешеств. Спр. Под ред.
В. П. Глушко. М.: Из-во АН СССР, 1962.
23. Drowart J., De Maria G., Burus R. P., Inghram M. G. // J. Chem. Phis., 1960,
Vol. 32, p. 1366.
24. Бржустовский Т., Глассмен И. Гетерогенное горение. Пер. с англ. М.:
Мир, 1967.
25. Зельдович
Я.
Б.,
Райзер
Ю.
П.
Физика
ударных
волн
и
высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966.
26. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. М.: Из-во АН СССР,
1945.
27. Spolding D. B. // Fuel, 1950, Vol. 29, № 2.
28. Henderson C. B. // Combustion Science and Technologe. 1969, Vol. 1, № 4.
29. Маркштейн Г. // Вопросы ракетной техники. 1968, № 4.
173
30. Гремячкин В. М., Истратов А. Г., Лейпунский О. И. К теории горения
металлических частиц. // Физические процессы при горении и взрыве.
М.: Атомиздат, 1980, с. 1-60.
31. Семенов
Н.Н.
Развитие
теории
цепных
реакций
и
теплового
воспламенения. М.: Знание, 1969, С.94.
32. Мержанов А.Г., Дубовицкий Ф.И. Современное состояние теории
теплового взрыва. // Успехи химии, 1966, Т. XXXV, вып. 4, С.656-683.
33. Блошенко В.П., Мержанов А.Г., Перегудов Н.И., Хайкин Б.И. К теории
газофазного воспламенения капли. // Горение и взрыв. М.: Наука, 1972,
С. 227-234.
34. Freedman R., Macek A. Ignition and Combustion of Aluminum Particles in
Hot Ambient Gases. // Combust. & Flame, 1962, V. 6, № 1, P. 9-19.
35. Гуревич М.А., Лапкина К.И., Озеров Е.С. Предельные условия
воспламенения частиц алюминия. // ФГВ, 1970, № 2, С. 172-176.
36. Кюл Д. Воспламенение и горение алюминия и берилия. // Ракетная
техника и космонавтика. 1965, Т. 3, № 12, С. 83-95.
37. Grosse A.V., Conway J.B. Combustion of Metals in Oxygen.// Industrial and
Engineering Chemistry, 1958, V. 50, P. 663-672.
38. Freedman R., Macek A. Combustion Studies of Single Aluminum Particles.//
9-th International Symposium on Combustion, New-York: Academic Press
1963.
39. Freedman R., Macek A. Combustion Studies of Single Aluminum Particles.
9-th International Symposium on Combustion, New-York: Academic Press
1963.
40. Гуревич М.А., Озеров Е.С., Степанов А.М. Гетерогенное воспламенение
алюминиевой частицы в кислороде и водяном паре. ФГВ, 1970, № 3, С.
326-335.
41. Таблицы физических величин. Спр. Под ред. И.К. Кикоина. М.:
Атомиздат, 1976, С.115.
174
42. Гремячкин В.М. К теории воспламенения металлических частиц. ФГВ,
1983, № 3, С. 9-14.
43. Хайкин Б.И., Блошенко В. Н., Мержанов А.Г. О воспламенении частиц
металлов. ФГВ, 1970, № 4, С. 474-488.
44. Полянин А.Д., Вязьмин А.В., Журов А.И., Казенин Д.А. Справочник по
точным решениям уравнений тепло- и массопереноса. М.: Факториал,
1998, С. 59.
45. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика, Т. 7. М.: Наука,
1987.
175