Ообобщенный закон фильтрации Дарси, как следствие

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
том 13 номер 1 год 2001
ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ФИЛЬТРАЦИИ ДАРСИ, КАК СЛЕДСТВИЕ
СООТНОШЕНИЙ СТЕФАНА-МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ГЕТЕРОГЕННОЙ СРЕДЫ
©
А.В. Колесниченко, ВМ. Максимов*
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва
•Институт проблем нефти и газа РАН, Москва
Методами неравновесной термодинамики получены соотношения Стефана-Максвелла для гетеро­
генной среды и скоррелированное с ними выражение для полного потока тепла. На основе этих
соотношений проанализированы фильтрационные движения многофазной смеси в поровом про­
странстве твердого тела (с капиллярными свойствами), при учете несовпадения давлений в фазах,
и получен обобщенный закон фильтрации Дарси, распространяющий классическую теорию двух­
фазного течения на общий случай. Предложены алгебраические уравнения, позволяющие опреде­
лить коэффициенты относительной проницаемости фаз (для которых в литературе отсутствуют
систематические экспериментальные данные) через бинарные коэффициенты межфазного трения.
THE GENERALIZED DARCY LAW OF FILTRATION AS INQUEST
OF STEFAN-MAXWELL RELATIONS FOR HETEROGENEOUS MEDIUM
A.V. Kolesnichenko, V.M. Maksimov*
Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russia Academy of Sciences
•Institute problems of naphtha and gas, Russia Academy of Sciences
The methods of non-equilibrium thermodynamics give Stefan-Maxwell relations for a heterogeneous
medium and adjusted expression for a full flow of heat. Filtration movement of a multiphase mixture
in a pore space of a rigid body are analysed on the basis of these relations (with capillary properties),
provided that the pressure in phases do not coincide, and the generalized Darcy law of a filtration,
spreading the classic theory of two-phase flow on a common case, is received. The algebraic equations
are offered permitting to define factors of relative permeability of phases (for which there are no sys­
tematic experimental data in the literature) through binary factors of interphase friction.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследова­
ний; код проекта: 00-01-00015.
1. Введение
Проблема моделирования совместной фильтрации двух и более взаиморастворимых
многокомпонентных жидкостей (каждая из которых составляет фазу и моделируется соответ­
ствующим континуумом) в пористой среде является в современной подземной гидродинамике
фундаментальной: помимо теоретического интереса, эта проблема имеет важное прикладное
4
А.В. Колесниченко, В.М. Максимов
значение, в частности, в связи с применением активных методов воздействия на пласт с целью
повышения его углеврдородоотдачи. Существенная составляющая этой проблемы, связанная с
необходимостью распространения классического закона фильтрации Дарси для однородной
жидкости на случай совместного фильтрационного течения в пористой среде многофазной
смеси, еще далека от своего решения. Например, широко используемая в литературе версия
обобщенного закона Дарси для двухфазной фильтрации, предложенная Маскетом и Левереттом, носит ограниченный характер, в частности, потому, что не охватывает перекрестные эф­
фекты, учитывающие дополнительные силовые взаимодействия между фазами.
Формализм термодинамики необратимых процессов (см., например, [1,2]), являясь важ­
ным инструментарием при изучении процессов переноса в пористых средах методами конти­
нуальной механики, позволяет получить наиболее полный вид определяющих (реологических)
соотношений для термодинамических потоков, входящих в систему дифференциальных урав­
нений движения моделируемой гетерогенной системы. С этой целью он многократно приме­
нялся в подземной гидродинамике, с той или иной глубиной проработки у разных авторов.
Достаточно полный обзор наиболее важных результатов в обсуждаемом направлении можно
найти в монографиях [3-6].
В настоящей работе методами неравновесной термодинамики с использованием прин­
ципов Онзагера и Кюри получены определяющие соотношения для процессов тепло- и массопереноса в многофазной химически реагирующей газожидкой смеси; в частности, подобные
уравнения выведены для скоростей относительного движения фаз в форме соотношений Сте­
фана-Максвелла для гетерогенной среды, обобщающие аналогичные уравнения для многоком­
понентной диффузии в смеси газов. Предложенный термодинамический подход позволяет по­
лучить наряду с традиционной формой записи обобщенного закона фильтрации Дарси для
многофазной жидкости в насыщенных пластах (при которой фильтрационные скорости ли­
нейно связаны с соответствующими термодинамическими силами) также и альтернативную
форму записи этого закона, не разрешенную относительно скоростей фильтрации отдельных
фаз. И что еще более важно, он позволяет выразить коэффициенты относительной проницае­
мости фаз, входящие в классическую версию закона Дарси, через экспериментально опреде­
ляемые бинарные коэффициенты межфазного трения, входящие в обобщенные соотношения
Стефана-Максвелла для гетерогенных сред. Последнее обстоятельство имеет существенное
значение, поскольку до настоящего времени в литературе отсутствуют систематические экспе­
риментальные данные по коэффициентам относительной проницаемости фаз в случае фильт­
рационных течений многофазной газожидкой смеси.
Отметим, что аналогичный континуальный подход к описанию процессов тепло- и массопереноса достаточно полно разработан для многокомпонентных газовых смесей (см., напри­
мер, [2,7-10]), когда диффузионное перемешивание происходит на молекулярном уровне, и
каждая компонента "размазана" по всему элементарному объему. Отличие гомогенной смеси
от рассматриваемого здесь гетерогенного континуума связано, главным образом, с присутстви­
ем в нем множества межфазовых границ на микроуровне, причем каждая фаза занимает толь­
ко часть элементарного объема насыщенной пористой среды. Кроме этого при термодинами­
ческом анализе многофазного континуума необходимо учитывать вклад макроскопической ки­
нетической энергии диффузии фаз в полную энергию системы. В случае многокомпонентной
смеси подобная добавка является величиной второго порядка малости и потому не принимает­
ся во внимание.
Наиболее полная попытка феноменологического вывода определяющих соотношений
(включая соотношения Стефана-Максвелла для многокомпонентной диффузии) для неидеаль­
ных многокомпонентных сплошных сред была предпринята в [7]. Полученные в этой работе
определяющие соотношения по структуре тождественны аналогичным соотношениям, выве­
денным методами газовой кинетики в широко используемой и до настоящего времени моно-
Обобщенный закон фильтрации Царей
5
графии Гиршфельдера, Кертисса и Берда [11]. Однако указанные авторы приняли весьма не­
удачное определение коэффициентов многокомпонентной диффузии, как несимметричных по
индексам величин, и коэффициентов термодиффузии, не согласующееся с соотношениями
взаимности Онзагера-Казимира в неравновесной термодинамике [1,2]. Вместе с тем, этот эм­
пирически установленный принцип "взаимности", носящий фундаментальный характер (он
может быть назван четвертым законом термодинамики), требует обязательной симметрии вво­
димых в рассмотрение коэффициентов молекулярного переноса. В частности, симметрия по­
добных коэффициентов приобретает исключительно важное значение в случае обычного в
практике распространения результатов, полученных в рамках кинетической теории одноатом­
ных разреженных газов, и на реальные многоатомные газовые смеси, когда при моделирова­
нии среды важны, как переходы между состояниями с различными внутренними степенями
свободы, так и химическая активность смеси [12].
Кроме этого, в книге [И] соотношения Стефана-Максвелла были получены лишь в
рамках учета первого приближения теории Чепмена-Энскога для многокомпонентных коэф­
фициентов диффузии и второго приближения для коэффициентов термодиффузии. В связи с
этим С. Трусделлом [13] было высказано предположение, что уже во втором приближении
матрица коэффициентов сопротивления в этих соотношениях несимметрична, другими слова­
ми, по мнению Трусделла соотношения Стефана-Максвелла не носят универсального характе­
ра, а являются математическим феноменом, свойственным лишь первому приближению тео­
рии Чепмена-Энскога. Позднее, в [14] предпринималась попытка получить подобные соотно­
шения из кинетической теории газов в любом приближении, но автором был сделан неверный
вывод о том, что поправочные множители к бинарным коэффициентам диффузии (учитываю­
щие высшие приближения при разложении возмущенных функций распределения отдельных
компонентов в ряды по полиномам Сонина-Лаггера) связаны только с числом приближений
теории Чепмена-Энскога и общим числом компонентов, но не зависят от термодинамических
параметров (в частности, пропорций) самой смеси.
Соотношения Стефана-Максвелла и формулы для поправок к бинарным коэффициен­
там диффузии в любом приближении коэффициентов молекулярного переноса для смеси час­
тично ионизованных газов в предельном случае нулевого магнитного поля были получены в
[15], а затем в [16,17] они были обобщены на случай сильного магнитного поля, вносящего
анизотропию в коэффициенты молекулярного переноса. В указанных публикациях была пока­
зана симметрия коэффициентов сопротивления в полном согласии с соответствующим резуль­
татом термодинамики необратимых процессов [7]. Наряду с этим, в [9] был предложен уточ­
ненный феноменологический вывод соотношений Стефана-Максвелла для многокомпонентной
диффузии и скоррелированного с ними выражения для полного потока тепла в смеси. Там же
были получены важные алгебраические соотношения, связывающие между собой введенные
коэффициенты молекулярного переноса и, в частности, формулы, позволяющие определить
симметричные коэффициенты многокомпонентной диффузии по известным бинарным коэф­
фициентам. Перечисленные результаты были распространены на турбулентные многокомпо­
нентные сплошные среды в монографии [10]. Таким образом, уточненный газокинетический и
феноменологический вывод соотношений Стефана-Максвелла для многокомпонентной диффу­
зии доказывает, вопреки мнению С. Трусделла, их универсальность, и тем самым законность
использования для описания диффузионных процессов в сложных многокомпонентных средах
(например, в многоатомных химически активных газовых смесях, в жидких растворах, в элек­
тролитах, суспензиях и т.п.), для которых не разработан соответствующий кинетический ап­
парат. В настоящей работе показана возможность использования подобных соотношений и в
механике любых гетерогенных сред, в частности, пористых сред, насыщенных газами или
жидкостями.
6
А.В. Колесниченко, В.М. Максимов
2. Производство энтропии и конститутивные соотношения
Итак, проведем термодинамический анализ многоскоростного континуума, состоящего
из Ф соприкасающихся друг с другом сжимаемых фаз, находящихся при общей температуре Т
и достаточно хорошо взаимоперемешанных внутри каждого элементарного объема 8V в силу
хаотической внутренней структуры среды. Будем предполагать, что фазы (некоторые из них
могут быть метастабильны) представляют собой гомогенные N-компонентные смеси (причем
каждый компонент i присутствует в каждой фазе а), в которых отсутствуют эффекты прочно­
сти, за исключением возможной твердой матрицы для пористой среды (которой присвоен ин­
декс а=Ф). Далее везде для обозначения фазы будем использовать верхний индекс а или (3, a
нижний индекс i у любой величины будем относить к молекулярной компоненте. Каждая из
сосуществующих фаз характеризуется средней плотностью р а , молярными концентрациями от­
дельных компонентов w,a(i=l,...,N) (числом молей содержащихся в единице объема суммарно­
го континуума), удельной внутренней энергией еа, средней фазовой скоростью Vх, собствен­
ным давлением ра (различие фазовых давлений возможно только при искривленной поверхно­
сти раздела фаз). При этом в качестве характеристик фазы будем использовать величины, осФ
редненные, как по совокупному элементарному объему 5 V = ^ 5 F P , занимаемому всей систеp=i
мой, так и по части элементарного объема 8 Vх, занятой рассматриваемой фазой а. В частнос­
ти, наряду с плотностью р а далее будем использовать истинную массовую плотность фазы, опФ
ределяемую выражением p a = p 7 a a , где aa=8V78V - объемное содержание a-фазы ( £
а р =1).
р-1
Именно величина р а совместно с другими параметрами состояния (например, такими, как
температура Т и молярные доли отдельных компонентов i в a-фазе xf (= w f / T w " ) ) onj
ределяет термодинамические свойства (внутреннюю энергию еа, давление р а , энтальпию ha=
=E°+p a /p a , и т.п.) элементарной макрочастицы a-фазы в различных ее состояниях [18]. Будем
также предполагать, что между компонентами системы возможны г' независимых химических
реакций, не считая #(Ф-1) процессов простого перемещения химических веществ из одной
фазы в другую. Предполагая локальное равновесие в пределах фазы, воспользуемся для описа­
ния таких сред и движений (с соответствующими физико-химическими процессами) тер­
модинамической теорией многожидкостных взаимопроникающих континуумов [5,8,19], учиты­
вающей динамические эффекты из-за несовпадения скоростей составляющих систему фаз.
Но прежде чем применить формализм неравновесной термодинамики, обсудим очень
кратко сущность тех основных постулатов, которые лежат в основе теории и могут быть
практически использованы при термодинамическом анализе любых сплошных сред (в том
числе и пористой среды, насыщенной газожидкой смесью).
2.1. Принцип Онзагера. Как известно [1,20], в линейной неравновесной термодинами­
ке в качестве определяющих уравнений, которые дополняют соответствующую систему диф­
ференциальных уравнений сохранения массы, импульса и энергии, применяются феноменоло­
гические соотношения необратимых процессов (соотношения Онзагера) J^^L^Xi
(£=1,...,
0 , где Q - число независимых физических процессов, Lu - матрица феноменологических
(кинетических) коэффициентов, связывающая между собой термодинамические потоки У* и
силы X/. Число отличных от нуля кинетических коэффициентов Lu ограничивается принци­
пом Кюри [1,2], согласно которому, в силу имеющихся свойств симметрии рассматриваемой
материальной среды, термодинамические потоки будут зависеть не от всех термодинамических
7
Обобщенный закон фильтрации Царей
сил. Так, в частном случае изотропной системы, свойства которой в равновесном состоянии
одинаковы во всех направлениях, процессы разной тензорной размерности не взаимодейству­
ют друг с другом.
Кроме этого, при аксиоматическом подходе принимаются в качестве независимого по­
стулата соотношения симметрии Онзагера-Казимира (принцип "взаимности"), позволяющие
свести до минимума число феноменологических коэффициентов в линейных соотношениях. В
частном случае изотропной не вращающейся системы и при отсутствии внешнего магнитного
поля соотношения симметрии имеют вид L*/=L/*, где L*/ - скалярные величины. Принцип "вза­
имности" может считаться эмпирически устойчивой аксиомой независимо от его доказатель­
ства в рамках статистической механики [1]. Согласно Мейзону [21], экспериментальное под­
тверждение принципа взаимности столь же убедительно, как и подтверждение 1-го, 2-го и 3-го
начал термодинамики. Это дает основание возвести его в статус парадигмы и использовать в
качестве основы для описания широкого круга явлений.
Для определения в рамках феноменологической теории потоков и сопряженных им тер­
модинамических сил используется обычно конкретное представление скорости производства
энтропии о~(5) внутри рассматриваемой системы в виде билинейной формы 7 а ( 5 ) = 2 ] Л ^ - ^ '
причем, после того как установлены потоки /*, сопряженные им термодинамические силы X*
находятся однозначным образом, как коэффициенты перед соответствующими потоками в
этом выражении (неравенство а^^О выражает второе начало термодинамики).
Для расшифровки формулы для рассеяния энергии Tc^s) необходимо получить в явном
виде уравнение эволюции энтропии S системы pDS/Dt=-VJ(S)+G(S)> в котором J($) - вектор
субстанциональной плотности потока энтропии (дивергенция VJ($) описывает обратимый теп­
лообмен между системой и внешней средой). Конкретный вид этого уравнения для рассматри­
ваемой среды может быть получен, с учетом уравнений сохранения массы (для каждой состав­
ляющей и смеси в целом) и внутренней энергии, из фундаментального тождества Гиббса для
этих величин, записанного вдоль траектории движения центра масс физического элементарно­
го объема.
Таким образом, первоначальный шаг термодинамического анализа состоит в получении
фундаментального соотношения Гиббса для анализируемой среды.
2.2. Соотношение Гиббса для пористой среды, насыщенной жидкостью. Рассмотрим
сначала соотношение Гиббса для системы, состоящей из объемных взаиморастворимых много­
компонентных химически активных жидких фаз (в которых не проявляются эффекты прочно­
сти) с равными температурами, но несовпадающими фазовыми давлениями. Это соотношение,
записанное вдоль траектории движения центра масс физического элементарного объема, имеет
вид [2]
рТ— = р — + р р — -
+ У(р
-рр)
Da
V V
a ^
( a
a=ly=l
где
p=2>e •
a=l
p= 2 У ^(pp.r.xf,..., x$),
a=l
г=р- , £р в в в (р в .Г,х 1 в .....х»),
a=l
5 = р-'|> а 5 а (р<\7\х{\...,хй)
a=l
(2.1)
8
А.В. Колесниненко, В.М. Максимов
- средняя плотность, полное давление, удельная внутренняя энергия и удельная энтропия
суммарного континуума соответственно; цу - химический потенциал у-го компонента (рассчи­
танный на одну частицу) в а-фазе; DIDmdldt+VV - субстанциональная производная, связанная
Ф
с движением среды в целом; V = p 4 ^ p a V a - среднемассовая скорость системы. Соотношеa=l
ние (2.1) было получено с использованием тождеств Гиббса
Dt
Dt
Dt
V
J
для соприкасающихся объемных фаз в предположении, что переходные слои между любыми
двумя фазами (разделяющие поверхности) вносят малый вклад в механическое и термодина­
мическое поведение всей гетерогенной системы в целом и ими можно пренебречь (здесь
Da/D/=d/d/+VaV - субстанциональная производная по времени, относящаяся к a-фазе). СлаФ
Daa
a
гаемое V ( p - p )
в (2.1) в этом случае определяет приращение полной энтропии S
Dt
a=l
смеси за счет необратимых процессов, связанных с выравниванием внутрифазовых давлений.
Следует отметить, что используемое при выводе (2.1) допущение об аддитивности внут­
ренней энергии и энтропии смеси по массам фаз также связано с возможностью пренебреже­
ния влиянием поверхностого слоя, где терпят разрыв какие-либо параметры. Вместе с тем, для
адекватного описания гидротермодинамики жидких фаз, сосуществующих в поровом про­
странстве твердого тела (с капиллярными свойствами), важно учитывать вклады в термодина­
мические величины от разделяющих поверхностей между твердой (а=Ф) и жидкими фазами
(вклады от (Ф-1) поверхностно-капиллярных слоев), на которых действуют поверхностные
натяжения а£ .
Так, в случае частичного заполнения капилляра жидкостью сорта а, на трехфазной
границе системы (пористое тело - жидкость сорта a - жидкость сорта Р) возникают значи<хВ
аФ
ВФ
тельные силы капиллярного давления р^И, которые определяются параметрами a s
и а£ .
Эти силы, обусловливая существование менисков (капиллярных затворов), создают дополни­
тельное фильтрационное сопротивление, ослабляющее действие гидродинамического перепада
давления (=/?а-рр) и, тем самым, затрудняют в капилляре замещение одной жидкости другой.
При равновесном распределении фаз (которое возможно только при длительном фильтраци­
онном движении жидкости через пористую среду) из условия механического равновесия выте­
кает известное соотношение Лапласа-Кельвина
p a - / = pf
= - 2 a f cos6 a P//? a P
(2.2)
между внутрифазовыми давлениями ра и рр и поверхностным натяжением а^
на искривлен­
a
ной границе жидких фаз (согласно уравнению Юнга о^Р = ( а | - а § )/cos0 ^; здесь 0ар, К*
- угол, образованный поверхностью мениска с твердой поверхностью, и "эквивалентный" ра­
диус капилляра [22] соответственно). Соотношение (2.2) в классическом варианте теории
привлекается для замыкания обобщенного закона Дарси для равновесной двухфазной фильт­
рации. Наша цель - обобщить его на практически важный случай нестационарной фильтра­
ции (когда необходим учет конечности времени установления равновесной величины капил­
лярного давления) многофазной жидкости.
9
Обобщенный закон фильтрации Царей
Так как переходный между фазами слой обычно очень тонок, то в термодинамике по­
верхностных явлений используются такие понятия, как поверхностные "избытки" термодина­
мических параметров (например, поверхностная внутренняя энергия г\ , поверхностная энт­
ропия S%® и т.п ), для которых и записывается собственное тождество Гиббса [23]. Для воз­
можности использования подхода, развитого в [2], будем далее движения указанных припо­
верхностных слоев рассматривать совместно с движением объемной твердой фазы Ф [6]. То­
гда соотношение Гиббса для суммарной (с учетом избыточных величин) энтропии S* =S®+
Ф-l
+
Ф-l
Х5£Ф
и
сухарной внутренней энергии е ф * s е ф + ] Г е £ ф "ассоциированной" твердой
а=1
а=1
фазы может быть записано в виде
рфГ
РФБФ*
=Р
Dt
d> Ф*
, ~Ф„Ф
DФГ
+р р
K
Dt
И
Ф-1
1
~ф
аф
^ФЛа
Dt
а=1
Dt
~фу
а
D
У=1
аФ
Ф ( ^Ф* ^
ф D_
Dt
~Ф
IP
аФ /
где р% - величина размерности давления, связанная с поверхностным натяжением а^ (на
поверхности раздела твердое тело - жидкость сорта а).
В соответствии с этой модификацией, фундаментальное соотношение Гиббса (2.1) для
полной энтропии системы "пористая среда плюс газожидкая смесь" может быть скорректиро­
вано следующим образом:
^DS
De
Df\)
рТ
= р — + рр— —
Dt
Dt
D{p)
ф
Ф-11
~
п
(Р-Р ~Рг
а=1
„а
Ф yv
n
)-W^lX^JTt
(2.3)
а=1у=1
Здесь третий член справа связан с приращением энтропии за счет запаздывающего действия
капиллярных сил.
23. Эволюционное уравнение переноса энтропии. Для того, чтобы можно было вос­
пользоваться линейными соотношениями Онзагера, вначале необходимо найти явную форму
уравнения субстанционального баланса энтропии для рассматриваемой гетерогенной системы.
Исключим с этой целью из правой части тождества Гиббса (2.3) субстанциональные произ­
водные р£>р~ /Dt, pDin* /p)/Dt и pDzlDt с помощью законов сохранения массы (для ка­
ждой химической составляющей и смеси в целом) и полной внутренней энергии системы,
дифференциальная форма которых имеет вид [2]
pD(p~l)/Dt = V\,
(2.4)
pD(^/p)/D/ = - V ( J ^ + ^ w a ) + Xvy,p4p»
(2.5)
p=l
N
Ф N
N
a=l
a=l;*=l
a=l
pDe/Dt = -Vq - pW + £ я а : VVa + £ £ J? Ff +£\V a K a .
(2.6)
Здесь J " - диффузионный мольный поток i'-й компоненты, находящейся в a-фазе ( V M , J ™ =
=0 (а=1,...,Ф)); W°WV"-V - скорость относительного движения фазы а относительно центра
10
А.В. Колесниченко, В.М. Максимов
масс системы; £р - скорость р-й химической реакции (р=1,2,...,г; г=г'+Ы(Ф-\))\ v£ p - стехиометрический коэффициент компоненты / в фазе а по отношению к р-й химической реак­
ции, стехиометрическое уравнение которой символически может быть записано в виде
Ф N
V Vv" p A//=0 (реакции возможны и между компонентами, находящимися в разных фазах);
а=1 /=1
N
a
a
Mi - молярная масса (грамм-молекулярный вес) i-й компоненты; F = ( p )
^^"Fj
a
-
/=i
внешняя сила (на единицу массы) в a-фазе ; Ff" - внешняя сила, действующая на один моль
Ф
а
1 aP
a _wP^
H
п _
i-й компоненты, находящейся в фазе a; K s-p D V7Dr+Vn +p F - - £ a ( W - W ) ;• q
2
М
a
a
a
a
a a
a
a
N
a
a
поток теплоты, переносимой частицами фазы a; q = V ( q + p / i W ) - плотность полного
а=1
потока тепла, переносимого за счет теплопроводности в среде; я - тензор вязких напряжении
a-фазы. В результате будем иметь
(г
D S
р
V7
+V
Dt
Ф N
ф
4
Z
Z
^
M
p
a=l
U
a=l =l
aGV
л
= a (S)
(2.7)
J
7
где
f
0 < Tc(S)
a
=
T
K a=l
Ф-1
+ 2^\P -P
N
-Pi
a=l
)
У=1
\
Da
Dt
a
a
(
\
J
Ф N
+
nJfTW^
T
r
)
IE'?
a=l j=\
aЛ
I7 a
7V^
T
+
\
Ф
(2.8)
a=l
p=l
Ф N
рассеяние энергии в необратимых процессах; Лр =
- химическое сродство
a=iy=l
Ф
a
р-й реакции; G = ^njц"
/p
a
- свободная энергия Гиббса для а-фазы.
7=1
Отметим, что при написании уравнения для внутренней энергии полного континуума е
в виде (2.6) предполагалось, что г* межфазных химических реакций (т.е. реакций, идущих
между компонентами a-фазы и компонентами из других фаз) могут быть разбиты на (Ф-1)
r
р
aP
N
a
групп по г" реакций в каждой так, что величины a " s V J^M/V^Z,*
ap
,k
aa
(a =-<J \ a =0)
p=l y=l
характеризуют интенсивность массообмена между фазами а и (3 за счет химических реакций
(включая простые переходы компонентов из одной фазы в другую). Важно также подчеркнуть,
что уравнение (2.6) получено из формальных балансовых уравнений сохранения полной энер­
гии отдельных фаз, т.е. без конкретизации величин, описывающих межфазный энергетический
обмен (например, связанных с теплопередачей на межфазной границе, с переносом внутрен­
ней и кинетической энергий (вместе с переносом масс) за счет химических реакций, с прито­
ком энергии в отдельную фазу за счет работы межфазных сил) и потому носит универсальный
характер, оставаясь, в частности, справедливым и при добавлении поверхностных фаз (имею-
Обобщенный закон фильтрации
11
Царей
щих нулевой объем).
Для вывода определяющих соотношений выразим в (2.8) градиент химического потен­
циала ц" j-Pi компоненты в а-фазе через градиенты термодинамических параметров. Рассмат­
ривая далее фазы, как неидеальные смеси (либо растворы), возьмем парциальный химический
потенциал в виде [24]
\1*}=\$Чра,Т)
+ КГЩЬ?)
(а = 1,...,Ф;
j =
(2.9)
l...,N),
где |!у*(/? а ,Г) - химический потенциал чистой компоненты а при температуре Т и давлении
ра\ bj =XyYy, уу - активность и коэффициент активности у'-й компоненты в а-фазе (для
неидеальных смесей активность bj
компонентов xj,
является функцией от р а , Т и молярных концентраций
определяемой либо из теории, либо из эксперимента, так же, как и стан­
дартная функция Цу*(/? а ,Г)). Так как химический потенциал отдельной компоненты jiy за­
висит от состава только через параметры bj , то будем иметь
ГУ
(Vb?)BaT
p ,/
ba
U
J
RT
т
\
V7
„ y a _ha^J_
J r
J j
( а = 12,...,ф;
/ = 1,2,...,N).
J
(2.10)
J
При написании (2.10) использованы известные термодинамические соотношения [24]
*?
_д_
дТ Т
\
п29
JР
dp
>*j
Здесь Щ, vJ(Tfpa,x^)
= v?=v? w +R7l
T,xJ
Г.дг?
- соответственно парциальные энтальпия и молярный объем компоN
ненты j в фазе а (заметим, что a a =Vw/ x v" ); индекс "wf означает, что соответствующая
функция относится к идеальным смесям (растворам), когда справедливы, в частности, равенvJ>=R77pa.
ства Х у=1, bf=xj,
N
Подставляя (2.11) в (2.8) и учитывая тождество Гиббса-Дюгема V nj^lubj")
а т
= 0,
получим
^(S)=J,x, - a=l
f № - f t J?x?+ a=l
f> a •• w a +
a=l;=l
Ф-1
+
Daa
1 Л Р ^ Р + 1 ( / > а - Р Ф - / > 1 Ф ) Dt
p=l
a=l
Ф
Ф Af
где J ^ s q - ^ p a / i a W a - ^ ^ / i y t J j t
a=l
(2.11)
- приведенный поток тепла в суммарном континуу-
a=ly=l
ме; J a sp a W a . Таким образом, рассеяние энергии Га^, являющееся локальной мерой неравно­
весности системы, имеет вид суммы парных произведений термодинамических сил X^s-УГ/Г,
12
*а_
А.В. Колесниченко, В.М. Максимов
K»YP1
,nT
Хv aшКГ
* " — ^ - ^
1
(^V,r,..«..a
„а
+v?Vpa-F;,
a
VV", Ар) ( р а - / - р £ ф ) на потоки
Jq, J a , Jy, я а , £р, DaaIDt, соответствующие шести источникам неравновесных процессов,
имеющих различную физическую природу. Поэтому если далее постулировать линейную связь
между потоками и термодинамическими силами, то можно воспользоваться соотношениями
взаимности для уменьшения числа неизвестных кинетических коэффициентов и получить в
итоге необходимые определяющие соотношения.
Отметим, что, в силу уравнения импульсов для суммарного континуума, которое может
быть записано в виде [2]
-Vp + Y p a F a = p — -Vl £ ( - p a W a W a + 7 t a )
a=l
Ф
„ Da\l
•z
(2.12)
Dt
P=I
a=l
/=i
справедливо следующее равенство:
£ ( p a X a + / > a V a a ) = 0,
(2.12 )
a=l
показывающее, что силы X a являются линейно независимыми.
2.4. Конститутивные соотношения для процессов тепло- и массопереноса. Ограничим
здесь наш анализ рассмотрением изотропных сред. Как было отмечено выше, следствием от­
сутствия интерференции потоков и термодинамических сил различной тензорной размерности
в изотропной системе (принцип Кюри) является тот факт, что, например, явления, описывае­
мые полярными векторами (теплопроводность, диффузия, относительное движение фаз и т.д.),
могут быть изучены независимо от явлений скалярных (химические реакции, процессы релак­
сации фазовых давлений) и тензорных (вязкие процессы). Рассмотрим подробнее векторные
явления.
По сравнению с гомогенными смесями, в случае гетерогенных многокомпонентных сис­
тем спектр перекрестных векторных эффектов, как это видно из (2.11), существенно расши­
ряется. Так, скорости относительного движения фаз Wa определяются не только сопряжен­
ными термодинамическими силами Х а , но зависят и от термодинамических сил внугрифазной диффузии Ху . С другой стороны, внутрифазные диффузионные потоки J " могут воз­
никнуть под влиянием сил Х а , обусловливающих относительное движение фаз. Тем не менее
мы не будем учитывать подобные перекрестные эффекты, поскольку в настоящее время отсут­
ствует их полное экспериментальное подтверждение. Кроме того, обычно вклад перекрестных
эффектов в общую скорость протекания какого-либо процесса переноса на порядок меньше
вклада от прямого эффекта [1].
С учетом сказанного, для описания внутрифазной диффузии могут быть использованы
следующие соотношения Стефана-Максвелла для многокомпонентной диффузии в неидеаль­
ных многокомпонентных смесях, впервые полученные в [7]:
da
=
у
x
i'=l.
j Ji
x
i
J
J
,
V 7
у
X
*T>$
**J
i XJ
D
iT
U
jT
(2 13)
Обобщенный закон фильтрации
13
Царей
где
J
„a
— X? - — Vpa + — У п?¥?
\^ M J
P
P
J J
а
i=l
V l n p ° - ^ - F?
^Y^F/*
- векторы обобщенных диффузионных сил для неидеальных многокомпонентных смесей; Vy ,
Dyj-- соответственно бинарные коэффициенты диффузии и коэффициенты термодиффузии
для внутрифазных диффузионных процессов. Векторы d" в случае идеальных смесей или
растворов совпадают с векторами диффузионных сил, введенных в кинетической теории газов
[П].
Проанализируем теперь процессы тепло- и массообмена, возникающие под влиянием
исключительно межфазовых термодинамических сил. На первых порах мы не будем специ­
ально выделять твердую фазу, а всю необходимую модификацию полученных соотношений,
связанную с присутствием пористой среды, выполним позднее. Тогда, соответствующие реоло­
гические соотношения в прямоугольной системе координат могут быть записаны в виде
(2.14)
J
<? - A ) 0 X ? ~ 2 J 0а Х(Х >
а=1
jP = L^Xg - £ l p a X a
(P = 1,2,...,Ф) .
(2.15)
а=1
Как только постулированы линейные связи (2.14) и (2.15), теорема Онзагера-Каземира
дает
Ахр=£ра
(а,Р = 0,1,...,Ф)
(2.16)
Кроме этого, из факта линейной независимости термодинамических сил Xq и Х а (а=1,2,...,Ф)
Ф
и из соотношения V J ^ =0, следуют еще (Ф+1) дополнительных соотношений между феноР=1
менологическими коэффициентами:
f>a0=0,
a=l
f>ap=0
(2.17)
(Р = 1,2,...,Ф).
a=l
Таким образом, из (Ф+1)2 остается только Ф(Ф+1)/2 независимых кинетических коэффициен­
тов LaP (а,р=0,1,...,Ф). В линейной теории кинетические коэффициенты считаются зависящи­
ми от локальных параметров состояния системы и не зависящими от градиентов этих пара­
метров.
Для того, чтобы далее сохранить некоторую аналогию с соответствующими выражения­
ми для многокомпонентной газовой смеси, введем вместо линейно независимых диффузионФ
ных сил Х а новый набор линейно зависимых векторов da ( ^ d a =0), положив для этого
a=l
a
a
a
d sp ( X +Q). Здесь Q - некоторый неизвестный вектор, общий для всех фаз системы. Тогда
14
А.В. Колесниченко,
В.М.
Максимов
с учетом уравнения импульсов (2.12*) для Q легко получить Q= p ^T/?aVaa, откуда
das.K
a
+aaVpa+-^^/Vap = -Ka+aaV/>a-^£(-K^apV) =
Р p=i
= pa —
P р=1
а Ф
Vna+i|;aaP(Va-vP)-paFa+aaV/?a+^|;/Vap.
Dt
2
p=l
(2.18)
P p=l
Векторы d a имеют смысл обобщенных термодинамических сил, вызывающих относительное
движение фаз, причем слагаемые ppVap связаны с действием сил давления из-за расширения
трубки тока фазы. В силу условий (2.17), в конститутивных соотношениях (2.14) и (2.15) си­
лы Х а могут быть заменены на силы d a /p°^-X a .
По аналогии с феноменологической теорией многокомпонентных смесей, определим че­
рез коэффициенты Онзагера симметричные коэффициенты многофазной диффузии D ap (a,p=
=1,2,...,Ф), коэффициенты межфазной термодиффузии Dj (а=1,2,...,Ф) и парциальный коэф­
фициент теплопроводности XQ (через который далее будет выражен истинный коэффициент
теплопроводности гетерогенной среды X) с помощью следующих соотношений:
D a P ш Lap / p V
Х0 = LQO IT,
Ф а Р = ДаР)
D? = L0a / p a
(<х>Р = 1,2,...,Ф),
(a = 1,2,...,Ф).
(2.19)
Тогда реологические соотношения (2.14) и (2.15) для приведенного потока тепла в суммарном
континууме и скоростей относительного движения фаз примут вид
Ф
Зд=-Х0ЧТ-^?6а,
(2.20)
a=l
Ф
Ф
a=l
a=l
Wp = - D £ v ( l n r ) - £ D a ( 3 d a = - £ D a p ( d a + KfVlnT)
(p = 1,2,...,Ф).
(2.21)
Неотрицательные коэффициенты переноса Яо, Z)" и D ap , удовлетворяющие в силу (2.17) со­
отношениям
Ф
Ф
£ paD£ = 0,
£ paZ)ap =0
a=l
a=l
(р = 1,2
Ф),
(2.22)
зависят от свойств фаз и структуры смеси в целом и должны определяться из эксперимента
или детального анализа микродвижений. Вторая форма записи определяющих соотношений
Ф
для скоростей Wp (обобщенный закон Фика) возможна при использовании формулы ^ Z ) a p •
0=1
•Kj =£>"для термофоретических отношений Kj, введенных ниже (см. (3.17)). Если гетеро­
генная среда анизотропна, то предыдущее рассмотрение усложняется. В этом случае в аргу­
менты кинетических коэффициентов добавочно к метрическому тензору необходимо вводить
еще другие тензоры, характеризующие характер анизотропии [25].
Получим теперь обращение уравнений (2.21), в виде обобщенных соотношений Стефа­
на-Максвелла для гетерогенных сред, включающих бинарные коэффициенты межфазного
трения /?°*. Использование подобных коэффициентов удобно, в частности, потому, что, в от-
15
Обобщенный закон фильтрации Царей
личие от коэффициентов многофазной диффузии D ap , для них легче, вообще говоря, восполь­
зоваться эмпирическими данными.
3. Термодинамический вывод обобщенных соотношений Стефана-Максвелла для гетеро­
генных сред
3.1. Обращение конститутивных соотношений. Основная задача состоит в том, чтобы
разрешить соотношения (2.14) и (2.15) относительно термодинамических сил Xq и d a /p a s-X a
(а=1,2,...,Ф) через потоки J q и J a в виде, аналогичном (2.13), и показать, что полученные та­
ким образом соотношения обладают симметричной матрицей сопротивлений. В силу условия
Ф
Х « ^ = 0 , в соотношениях (2.14) и (2.15) - только Ф независимых уравнений. Поэтому, опур=1
екая последнее уравнение из системы (2.15), запишем сначала (2.14) и (2.15), воспользовав­
шись (2.17) и формулой X a = - X a - Q , в виде
Ф-1
Jq -Ь^ХЯ
= 5>0a(Xa -ХФ),
(3.1)
а=1
Ф-1
^-1роХ* = Х^а(Ха-ХФ)
(Р = 1,2,...,Ф-1).
(3.2)
а=1
Процедура разрешения системы (3.1) и (3.2 ) относительно потоков подобна той, кото­
рая была разработана для аналогичных целей в случае многокомпонентной смеси в [7]. Ис­
пользуя эту аналогию, приведем сразу окончательный результат:
^00
л
00
a=i
ф
Хр = -ЛроХ9 - X V
j a
(P = 1А....Ф).
(3-4)
а=1
где коэффициенты А определяются выражениями
Ф-1 Ф-1
Ф-1 Ф-1
Аю =Аю ~ Х Х^Оа^оФ^РО'
a=lp-l
Ф-1
4>Ф= ^Ф0= ~ Х Х-У ^o.La0
а=1(Ы
(3-5)
Ф-1
(
A
0a= Ла0= XL0P ^ра~ Х^^УР
Р=1
»
I
(а = 1,2,..., Ф-1),
(3.6)
У=1
ф-1
^сф= ^(За= ~Сф + 2> Y (*У<х
+
^уР> " * а в
(а, Р = U
Ф - 1),
(3.7)
У=1
Ф-1
АаФ= Афа = - с ф + X^ Y ^ya»
У=1
а коэффициент с ф равен
у4
ФФ = ~СФ»
(З-8)
16
А.В. Колесниченко, В.М. Максимов
Ф-1Ф-1
^=I2>V* a P .
(3.9)
a=l 0=1
Элементы обратной матрицы r#p a удовлетворяют соотношениям
ФЧ
fl
Е^Р«^У=5РУ=|0'
P = Y,
р
(ЗЛ0)
*у'
причем из симметрии феноменологических коэффициентов LaP следует симметрия коэффици­
ентов r#p a
'Яра = *<#
(а,Р = 1,2,...,Ф-1).
(3.11)
Кроме того, коэффициенты Аао и АаР удовлетворяют соотношениям
Ф
Ф
2>аАхО =0, (!)
1> а ру а =0
а=1
а=1
(Р = 1,2,...,Ф). (2)
( Ф
Здесь ^ а ^ р а / р - массовая концентрация а- фазы
У]уа
(3.12)
^
=1
\а=\
j
3.2. Соотношения Стефана-Максвелла. Преобразуем теперь уравнения (3.4) к виду
обобщенных соотношений Стефана-Максвелла для гетерогенной смеси. Вычтем для этого из
(3.4) выражение (3.12(2)), умноженное на Jp/yp; тогда найдем
Ф
da = 2>ap(PPj<X - p a J P ) + paAa0X„
p=i
(а = 1,2,...,Ф),
(3.13)
или, с учетом (2.18),
d<*s_K
a
+
aaV/7a-^a^(-Kp+apVpP) =
p=i
Ф
= £/?aP(Wp-Wa)-/i:fVlnr
• P=l
Р*а
(а = 1,2,...,Ф),
(3.13*)
где использованы следующие обозначения для коэффициентов переноса:
Kf = РаКо>
^
s
PPpaAap
(a,p = 1,2,..., Ф).
(3.14)
Коэффициенты Kj будем далее называть фазовыми термодиффузионными отношения­
ми (или термофоретическими отношениями), поскольку они являются аналогом термодиффу­
зионных отношений, используемых в теории тепло- и массопереноса многокомпонентных го­
могенных смесей. Величины R* имеют смысл коэффициентов межфазного трения (сопротив­
ления) и, подобно бинарным коэффициентам диффузии в гомогенной смеси, определяются
столкновениями между двумя частицами разного типа. Они могут быть определены экспери­
ментально в ходе специально поставленных опытов по совместному движению двух фаз
(включая случай, когда одна из них является твердой).
Так как, в силу (3.7) и (3.8) имеет место симметрия коэффициентов Лар, то коэффици­
енты сопротивления /?"р в соотношениях Стефана-Максвелла (3.13*) симметричны: / Г ^ / ? ^ .
Обобщенный закон фильтрации
17
Дарси
Кроме того, поскольку матрица коэффициентов /?°р, определяемая выражением (3.14) являетФ
ся, в силу тождества V / ? a ^ = 0 (см. (3.12)) вырожденной, то не все скорости относительного
a=l
движения фаз W a могут быть найдены из соотношений (3.13*). Необходимым дополнительФ
ным условием является алгебраический интеграл ^ p a W a = 0.
<х=1
В обычных обозначениях обобщенные соотношения Стефана-Максвелла в гетероген­
ной среде (3.13*) приобретают вид
DaVa
Я'
1 —
a a V/7 a + Уя а + p a F a + ± £ a a P ( V p - V a ) 2
Й
Р*а
->;a£(/7P-/7(X)VaP+ £/?aP(VP-Va)-/i:?Vlnr
р=1
(3=1
Р*а
р*а
(a = 1,...,ФЧ)
(3.15)
и могут трактоваться, как уравнения движения отдельных фаз системы. Тогда четвертый член
справа, связанный с дополнительным потоком импульса за счет фазовых превращений и хи­
мических реакций, определяет реактивную силу, пятый член, связанный с силовым воздейст­
вием системы на выделенную фазу из-за несовпадения внутрифазовых давлений, определяет
силу Рахматулина [4] (и учитывает, в частности, капиллярные эффекты), шестой член описы­
вает силу вязкого межфазного трения (стоксова сила) , а последний член отражает влияние
термофоретической силы, вызывающей относительное движение фаз за счет градиента темпе­
ратуры. Следует, однако, отметить, что хотя соотношения (3.15) и имеют вид уравнений дви­
жения отдельных фаз, они все же не является ими в общем случае, поскольку не включают
всех возможных сил межфазного взаимодействия, например, сил Магнуса, или сил, связанных
с воздействием "присоединенных масс". Выражения для подобных сил, не вносящих вклада в
исходные законы сохранения импульса и энергии для суммарного континуума (см., например,
уравнение (2.12)), не могут быть найдены в рамках развиваемого здесь подхода.
33. Термофоретические отношения. Рассмотрим некоторые свойства термофоретических отношений Kf, определяемых формулой (3.14). В силу (3.12), имеет место равенство
Ф
2 > Г =0.
(3.16)
a=l
Кроме того, легко проверить, что справедливо соотношение
*? = 1Х Р Ф? ~DT)
связывающее между собой Kf
( a = 1.2>-»Л0.
(ЗЛ7)
и введенные ранее формулой (2.19) коэффициенты термодиф­
фузии Df для многофазной смеси. Действительно, используя выражения (3.6), (3.7), а также
тождества (3.12), можно последовательно получить
Ф
Z
p=i
(т^
R А | А)р
IPH
т
\
Ф-1
L0a ] _ V nP I I()P
P
;
p=i
IPP
L(
><*
P
Ф-1
- СФ+ XУ У Wy*
+
* % ) " ^«p \*-
18
А.В. Колесниченко, В.М. Максимов
ф-1
+Р
vР
Ф-1
Р
Л
p=i
^
Ф-1
у
p=i
=\У
-%(-«>+
у=1
г
(Ф-1
+ Z-^уа h Z ^ O a
у=1
)
юр
Ф-1
Z^PY"^aY = Z^Op Z-yY'*YP~'*aP = 4aO»
P=l
Ы
,И
откуда, при учете (2.19) и (3.14), следует (3.17).
Покажем теперь, что справедливо соотношение Z ^ a p ^ P O = ^Oa (<х=1,2,...,Ф), из кор=1
торого, с учетом определений (2.19) и (3.14), вытекает система алгебраических уравнений для
нахождения величин Kf через коэффициенты D ap и Dj :
£ £ < * * £ = Я?
р=1
(3.18)
(а = 1,2,...,Ф).
Действительно, используя (2.17), (3.10), (3.6) и (3.8), будем иметь
Ф
Ф-1
Z^aP^PO
=
Ф-1 Ф-1
АхФ^ФО + Z^aP^PO
р=1
=
Ф-1
~^аФ Z Z - ^ ^Py^yO + Z 5 a y ^ 0 y '
р=1
р=1 у=1
у=1
(3.19)
Ф-1 Ф-1 Ф-1
Ф-1 Ф-1
Г
Ф-1
" Z Z Z-У ^аР^Оу^бу = А)а + Z Z^&^Sy^yO ~^аФ ~ Z^<*P
Р=1 у=1 5=1
5=1 у=1
V
Р=1
Ч)а-
Таким образом, соотношения (3.16)-(3.18), выведенные для аналогичных коэффициен­
тов переноса в кинетической теории многокомпонентных газовых смесей, носят универсаль­
ный характер.
3.4. Выражение для полного потока тепла. Полный тепловой поток суммарного мно­
гофазного континуума, согласно (2.20), равен
q S J, + f > a J
a=l
a
+tthJJ"
a=iy=l
=- W - I ^ d ° + I*".»" + t t h J
a=l
a=l
a=ly'=l
J
" •
(32°)
С другой стороны, из (3.3), с учетом (3.14), можно найти для приведенного потока теп­
ла J q другое выражение, скоррелированное с обобщенными соотношениями Стефана-Мак­
свелла (3.13*)
J9=^00X^+Z^oaJa=^Vr + Z^rWa.
a=l
a=l
(3.21)
Здесь через X=AQO/T определен так • называемый истинный коэффициент теплопроводности,
который связан с ранее определенным коэффициентом XQ соотношением
(3.22)
a=l
a=ip=l
Действительно, в силу (3.10) , (3.5) и (3.19), последовательно получим
19
Обобщенный закон фильтрации Царей
Ф-1Ф-1
Ф-1Ф-1
а=16=1
а=16=1
Ф-1
Ф
Р=1
р=1
Ф-1
Р =1
|_
откуда, при использовании обозначений (2.19), (3.14) и (3.18), вытекает выражение (3.22).
Таким образом, полный поток тепла в многофазном многокомпонентном континууме
может быть записан в традиционном виде
q = -XVr+£A:?Wa + £paAaWa + YLhP1,
a=l
a=l
(3.23)
a=iy=l
обобщающем на гетерогенные среды аналогичное соотношение для многокомпонентной гомо­
генной смеси [9,10]. Последние три слагаемых в (3.23) учитывают перекрестные эффекты до­
полнительного переноса тепла потоками относительного движения фаз и диффузионными по­
токами химических компонентов. Из сравнения выражений (3.20) и (3.23) видно, что, в отли­
чие от коэффициента Хо, коэффициент истинной теплопроводности X смеси может быть не­
посредственно измерен экспериментально в стационарном случае, когда диффузионные скоро­
сти отдельных химических компонентов в фазах J " и скорости относительного движения фаз
W a обращаются в нуль. Наряду с этим, из формул (3.22) и (3.17) следует, что разность между
коэффициентами X и Хо порядка (D%)
и потому, вследствие малости коэффициентов фазо­
вой термодиффузии, этой разностью часто можно пренебречь.
3.5. Связь коэффициентов межфазной диффузии с коэффициентами сопротивления.
Получим теперь важные для практических целей алгебраические уравнения, позволяющие вы­
числять коэффициенты межфазной диффузии D aP для многофазной среды через бинарные ко­
эффициенты сопротивления Я"15. Легко проверить, что справедливы соотношения
£4а(Р^уа^а1Ур)=РУ(6ау-^а)
(3.24)
(<X,Y = 1,2,...,Ф),
Р=1
р*а
которые, при использовании обозначений Лар=/?ар/рарр и L ap =p a p p D ap , могут быть переписаны
в виде следующих уравнений, пригодных для определения коэффициентов D ap ,
£/?ap(DYa- D*) = 6ya-ya
(3.25)
(y, a = 1,2,..., Ф),
p=l
P*a
где 8^ - символ Кронекера. Действительно, в силу (3.7), (3.8) и (3.12/ \ имеем
Ф
Ф
Ф
Х ^ р а ( Р Р 1 у а - р а £ у р ) = £^Ра(Р> Р 1 уа-р а £ур) = - р а ] Г Лр а 1 у р=
Р=1
Р=1
Р=1
Р*а
Ф-1
= - Р " 2*, ^Ра^Ур + АхФ^уФ
Г Ф-1
Ъ
,6=1
Ф-1
;
P=I
20
А.В. Колесниченко,
Ф-1
%
Ф-1Ф-1
^ р=1
р=16=1
=-р°
5=1
(
Ф-1
В.М. Максимов
ф-1
P Y (6 Y a ->> a ).
•-Р"
6=1
Уравнения (3.25) линейно зависимы (суммирование их по а приводит к тождеству), по­
этому к ним следует добавить еще одно уравнение, а именно (2.22). С учетом вытекающих из
Ф
(2.22) соотношений p a D YOt = - ] ^ p 6 D 6 Y
(a,у = 1,...,Ф) уравнения (3.25) легко могут быть
6=1
6*а
преобразованы к следующей удобной для практических расчетов форме:
Ф
Z
Р=1
Р*а
ф
?сф
„Р
6=1 р
6*а
аб
\D^=y°
^уа
(а,у = 1,2,...,Ф).
(3.26)
В частном случае среды, состоящей из трех фаз, из (3.26) могут быть найдены следую­
щие типичные выражения для коэффициентов многофазной диффузии:
D
n
(y3)2Rn+(y2)2R]3Hy2+y3)2R23
R R +R]2R2\R23R"
]2
D
(3.27)
]3
i2 _ (у3)2 Rn- y2(y]+y3)R3]y](y2+
RnRU+RnR23+R23R\3
y3)R23
(3.28)
Выражения для остальных коэффициентов D ap могут быть получены из (3.27) и (3.28) с по­
мощью соответствующей перестановки индексов.
Формулы типа (3.26) для определения многокомпонентных коэффициентов диффузии
через бинарные коэффициенты впервые были получены в кинетической теории одноатомных
газов в первом приближении метода Чепмена-Энскога в известной работе [26], а в [9] их
справедливость была подтверждена для любых гомогенных многокомпонентных сред феноме­
нологически. Здесь же их справедливость доказана и для гетерогенного континуума.
4. Обобщенный закон Дарен
Определяющие соотношения для скоростей относительного движения фаз (2.22), также
как и обобщенные соотношения Стефана-Максвелла для гетерогенных сред (3.13*), могут
быть использованы (после некоторой модификации) и для описания массопереноса жидкостей
и газов в пористых средах с учетом различных физических процессов, в частности, для уста­
новления законов фильтрации многофазных смесей при условии различных внутрифазовых
давлений.
4.1. Закон Дарен для сред, насыщенных неоднофазной жидкостью. Проанализируем
совместное фильтрационное (медленное, безынерционное) движение нескольких жидких или
газообразных фаз в недеформируемой пористой среде и в случае, когда отсутствуют химиче­
ские реакции и фазовые переходы. Учтем также основные допущения, используемые при опи­
сании фильтрационных течений: твердая фаза неподвижна (V*=0), пренебрежимо малы силы
инерции из-за ускорения фаз и тензоры вязких напряжений в фазах.
21
Обобщенный закон фильтрации Царей
Используя линейную зависимость векторов da, а также формулы (2.22) и (3.16), перепи­
шем соотношения (2.21) с учетом сделанных предположений в виде
Ф-1
W p = - £ Ф а р - £>фр)(<1а + К?V In T)
(Р = 1,2,...,Ф - 1 )
(4.1)
а=1
a
\УФ = - V = -£(£> а Ф - £ * * ) ( d e + АГгаУ1пГ) = - ] П / ) а ф + ^ £ 1 D ^ ( d + ^ V l n r ) . (4.2)
a=l
a=!V
Y-l P
Отсюда истинная скорость переноса жидкой фазы в поровых каналах равна
Vp = - £ D a ° - D
a=ll
o p
где
- £ > ф а - Х - ^ - Я * * (d a + K?V\nT)
Y=lP
J
(Р = 1,...,Ф-1),
(4.3)
^a Ф -
da
- p e F a + a a V p a + ^ - Y (p T - p p ) V a T
s
(4.4)
P£
- векторы диффузионных сил. Вклад различных слагаемых в полную термодинамическую си­
лу, вызывающую относительное движение фаз, очевидно, не равнозначен: учет термофоретических сил KfVXnT несомненно важен, если в пласте имеется градиент температуры; отно­
сительно вклада сил Рахматулина (последнее слагаемое в (4.4)), описывающих суммарное воз­
действие капиллярных эффектов, необходимы соответствующие экспериментальные оценки.
Для описания специфики пористой среды (состоящей из сплошного твердого материала
и пустот - совокупности пор и трещин) введем характерные фильтрационные параметры [3]:
Ф-1
г
_ иbV
пор _
bV
2>°
a=i
8 Ктвердый скелет пласта
bV
5Уа
— 6к(1
т)\
Ф-1
ЬУа
ф-1
5V n o p
~ "*
(а = 1,2,..., Ф-1),
(]£ja=l),
а=1
lev"»
р=1
а
а
U
=—
8Vfпор
Ф
a
=
bV
=a V
(а = 1,2,..., Ф -1),
Ф-1
Ф
= 0-m),
6V
a
т-*- = s т
bV
£аа=1-аф=т;
а=1
a
a
= ms V
a
(4.5)
(a = 1,2,..., Ф -1),
a
a
где т - эффективная пористость пласта, определяющая объемную долю пор; s , U - соответ­
ственно, насыщенность порового объема и скорость фильтрации а-фазы.
При использовании этих параметров, реологические соотношения (4.4), служащие для
определения фильтрационных скоростей жидких фаз Up (р=1,...,Ф) в пористом пласте, могут
быть преобразованы к виду обобщенного закона фильтрации Дарси
22
А.В. Колесниченко, В.М. Максимов
Ф-1 ь^Ра 1
а=1 И а
Ф-1 ^Ва
«а
v P a -paFa +m£-Y(py
-pp)V5y +_i_A:?vinr
(4.6)
а=1 Ц
Здесь А?° - так называеые многофазные коэффициенты относительной фазовой проницаемо­
сти, введенные соотношением
4*paSmW
(
_|
Л
Ф-1
„
Л
D°Ф DФа _ D * P _ £ _ P _ D * Y
(а,р = 1,...,Ф-1);
(4.7)
IP
tf - абсолютная проницаемость пласта, цр - коэффициент динамической вязкости фазы р, / фазовые насыщенности, от которых в основном и зависят относительные фазовые проницае­
мости K^a(s\...is°~l). В уравнениях (4.6) заложено взаимодействие между всеми фазами (как
между жидкостями, так и между каждой из жидкостей и пористой средой): скорости фильтра­
ции отдельных фаз зависят в общем случае от градиентов всех внутрифазовых давлений, всех
массовых и термофоретических сил, а также от сил Рахматулина (связанных с капиллярными
эффектами).
Алгебраические уравнения (3.26), служащие для определения межфазных диффузион­
ных коэффициентов DaP, позволяют найти коэффициенты относительной проницаемости фаз
К^1 (для которых в общем случае многофазной фильтрации, как правило, отсутствуют опыт­
ные данные) по известным коэффициентам сопротивления двух фаз Лар. В частном случае
фильтрационного движения двухфазной жидкости в пористой среде (Ф=3), соотношения (4.7),
при учете формул (3.27) и (3.28), принимают простой вид [6]
7
—К
ц1
=
Л.2+/?23
=—гК
ц2
(т^\2
К
(ms ) ,
=—-(т)
А
У22
Л 1 2 +Л 1 3
—К
ss
,
A=
mV) 2 ,
RnRl3+RnR23+Rl3R2\
(4.8)
Следует однако отметить, что традиционный вариант записи (4.6) обобщенного закона
Дарси может оказаться весьма неудобным при использовании его в численных расчетах неста­
ционарной фильтрации многофазной жидкости. Во-первых, потому, что коэффициенты отно­
сительной проницаемости фаз (при большом их числе) все-таки сложным образом рассчиты­
ваются через бинарные коэффициенты сопротивления и состав смеси. Во-вторых, система
дифференциальных уравнений
d(msapa)/dt
+ V(paUa) = 0
(a = 1,2,...,Ф-1),
(4.9)
получающаяся после исключения скоростей фильтрации Ua из соотношений (4.6) и уравнений
неразрывности для каждой фазы, оказывается не разрешенной относительно старших произ­
водных. Как известно, численная реализация подобных систем сопряжена с большими трудно­
стями.
Вместе с тем, для указанных целей могут быть применены модифицированные соотно­
шения Стефана-Максвелла для гетерогенной среды (3.13*)
Обобщенный закон фильтрации
23
Царей
msa
Р p=i
p*a
Ф «ар
= -±— J ^ - j H * 0 ^ P - Л / а )
(a = 1,2,...,Ф-1),
(4.10)
/W S p = l 5 5 Р
Р*а
в которые непосредственно входят коэффициенты Л0*. Кроме этого, итеррационные методы
последовательных приближений, эффективно используемые в задачах подобного сорта, не по­
требуют исключения фильтрационных скоростей из уравнений (4.9) -(4.10).
Система уравнений (4.9)-(4.10) в сделанных предположениях бесспорна, но не замкну­
та. Для ее замыкания следует получить условия совместного движения фаз. Эти условия, как
известно, сводятся к уравнениям, определяющим объемное содержание фаз.
4.2. Реологические уравнения для фазовых насыщенностей. Согласно (2.8), выраже­
ние для скорости возникновения удельной энтропии S за счет скалярных процессов в порис­
той среде, насыщенной неоднофазной жидкостью, в принятых выше предположениях прини­
мает вид
Ф-1
n
„a
Ф-l
я„а
0 < Г а ( 5 ) = т Х ( р а - р Ф - Р 1 а Ф )US
^ Г = т 1v -(>р, а«- р Р R
- Р 1 ааВ3 ч) ^OSГ .
£Г
а=1
Dt
^
*
(4.11)
а*р
где р ^ = (р% ~ Ръ ) ~ капиллярное давление. Замена в (4.11) полной производной на час­
тную может быть оправдана следующим образом. Так как, с учетом (4.2), можно написать
^
Dt s
^ + V V, a =^ + y\D^-D^)(dP
4vinr)V, a ,
Bt
dt j ~ V
л+
r
'
•
то в выражение для То($) будут входить слагаемые (связанные с конвективным членом) третье­
го порядка малости по градиентам. Поскольку эти слагаемые могут быть как положительными,
так и отрицательными, то и величина Tc^s) не будет существенно положительной, что невоз­
можно. Следовательно, такая замена необходима.
Использование формализма термодинамики необратимых процессов приводит к следу­
ющим релаксационным соотношениям:
я a
Ф-l „a
„P „ар
Ъ-ЪЧ?*-
.
.
> - ± <«>" ф-2>-
Р*а
в которых параметры таР имеют смысл времен запаздывания действия капиллярных сил. В
случае, когда эти времена малы по сравнению с характерным временем изменения параметров
Л уравнения релаксации (4.12) вырождаются в уравнения Лапласа-Кельвина (2.2):
pa-p*=pf
(а,|*=1,2,...,Ф-2).
(4.13)
Здесь р%Р = а£^ JmIKJ(sa,s^,0а")
- равновесное капиллярное давление; а£ - межфазо­
a p aP
вое натяжение; 7(5 ,j ,9 ) - безразмерная функция Леверетта, параметрически зависящая от
межфазового угла контакта жидких фаз 0 аР на поверхности зерна скелета пласта.
24
А. В. Колесниченко, В.М. Максимов
5. Заключение
Таким образом, реологические соотношения (4.6) и (4.12) обобщают на многофазный
случай классическую теорию двухфазной фильтрации, развитую в работах Маскета и Леверетта и их последователей и основанную на концепции фазовых проницаемостей. Необхо­
димость предлагаемого обобщения должна быть, однако, обоснована количественной оценкой
вклада перекрестных коэффициентов и указанием метода их определения. Проблема
определения материальных функций в моделях многофазной фильтрации остается, однако, до
сих пор не решенной. Нет ясного ответа на этот вопрос даже для трехфазных течений. В на­
стоящее время имеется считанное число примеров экспериментального определения фазовых
проницаемостей Я^для трехфазных систем на основе стандартного метода реализации устано­
вившихся режимов течения в лабораторных моделях. Примеры определения соответствующих
капиллярных давлений /?£^(s a ,s") нам не известны.
Имеются физические предпосылки и некоторые экспериментальные данные, показы­
вающие, что фазовые проницаемости К1 для некоторых фаз зависят только от "своих" насыщенностей sa и слабо зависят от насыщенностей остальными фазами. Еще Левереттом и Левисом (1941) было замечено для конкретной системы, что фазовая проницаемость воды явля­
ется функцией только водонасыщенности и не зависит от насыщенности другими фазами. Но
это не является постоянным правилом, и в каждом конкретном случае требует специальной
проверки. К замене ^ a (^ a ,5 p )=>^ a (j a ) нужно подходить предельно осторожно: она может изме­
нить тип уравнения и существенно повлиять на характер решения (как качественно, так и ко­
личественно).
Существующие в настоящее время подходы к расчету трехфазных течений основаны на
полуэмпирическом методе аппроксимации фазовых проницаемостей и капиллярных давлений.
Он состоит в замене реального трехфазного течения как бы вложенными друг в друга двух­
фазными потоками. Физические основания для такой замены проиллюстрируем на примере
совместного течения в гидрофильной среде, состоящей из трех флюидов: 1 - воды (смачиваю­
щая фаза), 2 - газа (несмачивающая фаза) и 3 - нефти (жидкости с промежуточной смачивае­
мостью). Предполагается, что по мелким порам движутся жидкости 1 и 3, а по более крупным
порам - фазы 3 и 2. Отсюда следует, что фазовые проницаемости для воды и газа зависят
только от их насыщенностей, т.е. являются функциями одной переменной, соответственно
K\sl) И K2(S2). ПО ЭТИМ же причинам капиллярное давление на контактах вода-нефть и нефть
-газ также можно считать функциями только одной насыщенности - соответственно водной
(s1) и газовой (s2) фазами, так что p3-pl=pj?(sl)
и p2-pl=pj}(s2).
Физически это означает,
что: 1) мениск водной фазы, граничащей с нефтью, остается неподвижным при замене части
нефти газом; 2) точно также мениск газовой фазы на границе с нефтью неподвижен при заме­
не части нефти водой. Очевидно, эти допущения являются очень приближенными. При этом
относительная фазовая проницаемость для нефти K\sl,s2) пересчитывается по определенному
правилу (Stone) через фазовые проницаемости, отвечающие двум двухфазным течениям, про­
исходящим в отсутствие либо газа (K3l(s1)), либо воды (K32(s2)).
Предлагаемая нами процедура определения относительных фазовых проницаемостей
(ОФП) в многофазном потоке является существенным обобщением этого подхода. Она состо­
ит в проведении и корректной интерпретации результатов (Ф-1)-го эксперимента для соответ­
ствующих двухфазных течений в одном и том же образце пористой среды с определением
"бинарных" коэффициентов трения, как функций соответствующих насыщенностей. Дальней­
шее решение системы алгебраических уравнений (4.8) даст представление (ОФП) каждой фа­
зы в зависимости от всех насыщенностей.
Обобщенный закон фильтрации Царей
25
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Де Гроот С, Мазур П. Неравновесная термодинамика. -М.: Мир, 1964, 456 с.
2. Колесниченко А.В., Максимов В.М. Термодинамика многофазной химически активной смеси. Законы
фильтрации Дарси и диффузии / Препринт ИПМ РАН, 1997, №52, 32 с.
3. Максимов В.М. Основы гидротермодинамики пластовых систем. -М.: Недра, 1994, 201 с.
4. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. -М.: Наука, 1978, 336 с.
5. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред, часть I. -М.: Наука, 1987, 462 с.
6. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. -М.: Недра, 1984, 232 с.
7. Колесниченко А.В., Тирский Г.А. Соотношения Стефана-Максвелла и поток тепла для неидеальных
многокомпонентных сплошных сред // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск,
1976, т.7, №4, с. 106.
8. Колесниченко А.В., Максимов В.М. Методы неравновесной термодинамики для моделирования мно­
гофазного многокомпонентного континуума. В сб. науч. тр.: Механика многофазных многокомпо­
нентных систем. -М.: Моск. ин-т нефти и газа, 1986, №200, с. 10-28.
9. Колесниченко А.В. К макроскопической теории процессов диффузионного переноса в газах / Пре­
принт ИПМ РАН, 1994, №42, 39 с.
10. Колесниченко А.В., Маров М.Я. Турбулентность многокомпонентных сред. -М.: Наука, 1998, 456 с.
11. Гиршфельдер Д., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. -М.: ИЛ. 1961, 930 с.
12. Van de Ree J. On the definition of the diffusion coefficient in reactinggases // Physica, 1967, v.36, p.l 18.
13. Truesdell С Mechanical Basis of Diffusion // J. Chem.Phys., 1962, v.37, №10.
14. Muckenfuss C. Stefan-Maxwell relations for multicomponent diffusion and the Chapmen-Enskog solution
of the Boltzmann eguations // J. Chem.Phys., 1973, v.59 №4.
15. Колесниченко А.В. Соотношения Стефана-Максвелла и поток тепла в высших приближениях коэф­
фициентов переноса для частично ионизованных смесей газов / Препринт ИПМ АН СССР, 1979, №
66, 23 с.
16. Колесниченко А.В. Соотношения Стефана-Максвелла и поток тепла в высших приближениях коэф­
фициентов переноса для многокомпонентных ионизованных смесей газов в магнитном поле / Пре­
принт ИПМ АН СССР, 1982, №14, 16 с.
17. Маров М.Я., Колесниченко А.В. Введение в планетную аэрономию. -М.: Наука, 1987, 456 с.
18. Седов Л.И. Механика сплошной среды. -М.: Наука, 1984, т.2, 560 с.
19. Басниев КС, Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика. -М.: Недра, 1993, 414 с.
20. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. -М.: Мир, 1974, 303 с.
21. Mason E.A. The Onsager reciprocal relations. -Experimental evidence. - In: Foundations of continuum
thermodynamics. -London and Basingstoke: Mac-Milan. 1974.
22. Хейфец Л.И., Неймарк А.В. Многофазные процессы в пористых средах. -М.: Химия, 1982, с.319.
23. Оно С, Кондо С. Молекулярная теория поверхностного натяжения в жидкостях. -М.: Изд-во иностр.
лит., 1963, 292 с.
24. Пригожий И., Дефей Р. Химическая термодинамика. -Новосибирск: Наука, 1966, 509 с.
25. Дмитриев Н.М., Максимов В.М. Определяющие уравнения двухфазной фильтрации в анизотропных
пористых средах // Механика жидкости и газа, 1998, №2, с.87-94.
26. Curtiss C.F. Symmetric gaseous diffusion coefficients // J. Chem.Phys., 1968, v.49, №7.
Поступила в редакцию
02.03.2000