Олимпиада по физике, 11 класс

Школьники
Зимняя олимпиадная школа 2015
МФТИ
Ответы, решения и критерии проверки олимпиады по физике
11 класс
Задача 1. Блочная система (6 баллов)
Ответ: 𝑀 > 6𝑚.
Решение:
Ускорение груза 1 после пережигания нити будет больше, чем 𝑔, только если нить, огибающая нижний
блок, останется натянутой (сила её натяжения будет отлична от нуля). При этом груз 2 будет двигаться
с таким же по модулю ускорением, направленным вверх. А это значит, что сила упругости пружины,
действующая на него, 𝐹упр > 2𝑚𝑔. С другой стороны, эта сила в первый момент после пережигания нити будет такой же, как до пережигания, поскольку для изменения расстояния между грузами 2 и 3, а
следовательно, и длины пружины необходимо конечное время. Поэтому силу упругости можно найти из
условия равновесия груза 3 до пережигания нити. Сила натяжения нити, действующая на груз, равна
𝑀 𝑔/2, поэтому 𝐹упр + 𝑚𝑔 − 𝑀 𝑔/2 = 0, откуда 𝑀 > 6𝑚.
Критерий оценки:
Найдено условие 𝐹упр > 2𝑚𝑔.
Сказано, что сила упругости за время пережигания не успела измениться.
Найдено условие равновесия для груза 3.
Получен правильный ответ.
+2 балла
+1 балл
+2 балла
+1 балл
Задача 2. Тепловая машина (6 баллов)
Ответ:
1. 𝐴12 =
5
𝐴 = 500 Дж.
16
2. 𝐴23 =
15
𝐴 = 1500 Дж.
16
3. 𝐴∑︀ =
1
𝐴 = 400 Дж.
4
4. ∆𝑇 =
5𝐴
≈ 60 К.
8𝜈·𝑅
Решение:
1. Пусть 𝐴∑︀ − работа тепловой машины за один цикл. Тогда
𝐴∑︀ = 𝐴12 + 𝐴23 + 𝐴31
(1),
где 𝐴12 , 𝐴23 и 𝐴31 − работы газа в процессах 1−2, 2−3 и 3−1 соответственно. По условию 𝐴31 = −𝐴
(так как в условии 𝐴 — работа, совершенная над газом в процессе 3 − 1). Для ответа на последние
два вопроса задачи следует определить 𝐴12 и 𝐴23 . Это один из способов решения данной задачи.
2. Более быстрым и красивым является другой способ, который мы и проиллюстрируем в решении.
Пусть 𝑄∑︀ − суммарная подведённая теплота к газу за весь цикл. Тогда
𝑄∑︀ = 𝑄+ + 𝑄−
(2),
где 𝑄+ − сумма подведённых теплот к газу за весь цикл, 𝑄− − сумма отведённых теплот от газа за
весь цикл. Отметим, что 𝑄+ > 0 и 𝑄− < 0.
3. По определению КПД 𝜂 = 1 +
𝑄−
1
. По условию 𝜂 = 20% = . Выходит, что
𝑄+
5
5
𝑄+ = − 𝑄−
4
(3).
По первому началу термодинамики для всего цикла 1 − 2 − 3 − 1
𝐴∑︀ = 𝑄∑︀ = 𝑄+ + 𝑄−
(4).
Соотношение (4) называется уравнением энергетической связки данного цикла. Именно им мы и
воспользуемся для определения 𝐴∑︀ .
Разработка:
М.А. Пенкин - преподаватель
кафедры общей физики МФТИ.
Школьники
Зимняя олимпиадная школа 2015
МФТИ
4. Пусть 𝑇𝑚𝑎𝑥 и 𝑇𝑚𝑖𝑛 − максимальная и минимальная температуры газа в цикле. Нарисуем на 𝑝𝑉 диаграмме изотерму, проходящую через точку 2.
Видим, что она находится выше изотермы 3−1, поэтому в состоянии 2 газ будет иметь максимальную
температуру 𝑇𝑚𝑎𝑥 , а в состояниях 1 и 3 − минимальную температуру 𝑇𝑚𝑖𝑛 . Пусть ∆𝑇 = 𝑇𝑚𝑎𝑥 −𝑇𝑚𝑖𝑛 .
Итак, в процессе 1 − 2 температура газа увеличивается на ∆𝑇 , в процессе 2 − 3 температура газа
уменьшается на ∆𝑇 , а в процессе 3 − 1 температура газа не изменяется.
5. Проанализируем каждый из процессов на предмет подвода и отвода теплоты.
∙ Рассмотрим процесс 1−2. Газ расширяется, поэтому 𝐴12 > 0. Он нагревается, поэтому ∆𝑈12 > 0.
По первому началу термодинамики 𝑄12 = 𝐴12 +∆𝑈12 > 0, следовательно в процессе 1−2 теплота
подводится к газу.
∙ Рассмотрим процесс 2 − 3. Это − адиабатный процесс, поэтому 𝑄23 = 0, то есть газ теплоизолирован. В процессе 2 − 3 теплота не подводится и не отводится.
∙ Рассмотрим процесс 3−1. Он является изотермическим, поэтому изменение внутренней энергии
газа в этом процессе равно нулю, то есть ∆𝑈31 = 0. Газ сжимается, поэтому 𝐴31 < 0. По первому
началу термодинамики 𝑄31 = 𝐴31 < 0, следовательно в процессе 3 − 1 теплота отводится от
газа.
Получается, что 𝑄+ = 𝑄12 и 𝑄− = 𝑄31 = 𝐴31 = −𝐴. Нам известна теплота 𝑄− . Пользуясь соотношением (3) мы сможем определить 𝑄+ .
5
5
6. Действительно, 𝑄+ = − 𝑄− = 𝐴. Воспользовавшись соотношением (4), мы можем получить ответ
4
4
5
1
на первый вопрос задачи. Действительно, 𝐴∑︀ = 𝑄+ + 𝑄− = 𝐴 − 𝐴 = 𝐴 = 400 Дж. Идея, которую
4
4
иллюстрирует этот способ, имеет важное значение для множества задач на циклы и тепловые машины. Суть в том, что работу газа в цикле порой проще находить с помощью уравнения энергетической
связи (4), а не по определению (1). Запомните это!
7. Для нахождения разности ∆𝑇 = 𝑇𝑚𝑎𝑥 −𝑇𝑚𝑖𝑛 максимальной и минимальной температур газа в цикле
рассмотрим более подробно процесс 1 − 2. Количество теплоты 𝑄12 , которое получил газ в процессе
1 − 2, складывается из изменения его внутренней энергии ∆𝑈12 и работы 𝐴12 , которую он совершает
в этом процессе:
𝑄12 = ∆𝑈12 + 𝐴12 (5).
3
Поскольку гелий является одноатомным газом, то ∆𝑈12 = 𝜈·𝑅·∆𝑇 . Отметим, что 𝐴12 = 𝑆12 , 𝑆12 −
2
площадь под графиком процесса 1 − 2 в координатах 𝑝 и 𝑉 . Расчёт площади даёт:
𝑆12 =
1
1
·(𝑝1 + 𝑝2 )·(𝑉2 − 𝑉1 ) = (𝑝1 ·𝑉2 + 𝑝2 ·𝑉2 − 𝑝1 ·𝑉1 − 𝑝2 ·𝑉1 ).
2
2
В процессе 1−2 давление 𝑝 прямо пропорционально объёму 𝑉 , поэтому
𝑝2
𝑉2
=
, откуда 𝑝2 ·𝑉1 = 𝑝1 ·𝑉2 ,
𝑝1
𝑉1
1
следовательно, 𝑆12 = (𝑝2 ·𝑉2 − 𝑝1 ·𝑉1 ). Уравнения Менделеева-Клапейрона для газа в состояниях 1
2
и 2 имеют вид 𝑝1 ·𝑉1 = 𝜈·𝑅·𝑇𝑚𝑖𝑛 и 𝑝2 ·𝑉2 = 𝜈·𝑅·𝑇𝑚𝑎𝑥 . Получается, что:
𝐴12 =
1
1
·𝜈·𝑅·(𝑇𝑚𝑎𝑥 − 𝑇𝑚𝑖𝑛 ) = ·𝜈·𝑅·∆𝑇
2
2
Разработка:
(6).
М.А. Пенкин - преподаватель
кафедры общей физики МФТИ.
Школьники
Зимняя олимпиадная школа 2015
МФТИ
С учётом соотношения (6) уравнение (5) принимает вид:
𝑄12 =
Мы знаем, что 𝑄12 = 𝑄+ =
3
1
·𝜈·𝑅·∆𝑇 + ·𝜈·𝑅·∆𝑇 = 2𝜈·𝑅·∆𝑇 .
2
2
5𝐴
5
𝐴, поэтому ∆𝑇 =
≈ 60 К.
4
8𝜈·𝑅
8. Теперь несложно получить ответ на первые два вопроса задачи.
5
𝐴 = 500 Дж.
16
15
=
𝐴 = 1500 Дж.
16
∙ В процессе 1 − 2 работа, совершаемая газом, равна 𝐴12 =
∙ В процессе 2 − 3 работа, совершаемая газом, равна 𝐴23
Критерий оценки:
Правильно
Правильно
Правильно
Правильно
найден
найден
найден
найден
ответ
ответ
ответ
ответ
на
на
на
на
первый вопрос задачи.
второй вопрос задачи.
третий вопрос задачи.
четвёртый вопрос задачи.
+1, 5
+1, 5
+1, 5
+1, 5
балла
балла
балла
балла
Задача 3. Индуктивная призма (6 баллов)
Ответ: Ток через источник равен 15𝑖 = 60 мА.
Решение:
При расчёте электрической цепи следует заменить катушки резисторами и воспользоваться симметрией задачи. Расчёт приведён на рисунке.
Критерии оценки:
Показано, что через верхнее ребро не протекает тока.
Показано, что через симметричные ребра протекают равные токи.
Токи через все ветви выражены через одну величину.
Получен правильный ответ.
Разработка:
+2 балла
+1 балл
+2 балла
+1 балл
М.А. Пенкин - преподаватель
кафедры общей физики МФТИ.
Школьники
Зимняя олимпиадная школа 2015
МФТИ
Задача 4. Сдвиг линзы (7 баллов)
Ответ:
1. Г0 = 4;
2. на расстояние 2𝐹 = 36 см.
Решение:
1
1
1
Оптические силы вплотную прижатых линз складываются, поэтому
=
−
. Выходит, что их
𝐹0
𝐹
2𝐹
можно заменить одной собирающей линзой с фокусным расстоянием 𝐹0 = 2𝐹 . Поскольку 𝑑1 = 3𝐹/2 < 𝐹0 ,
𝐹0
то изображение предмета является мнимым. Его увеличение Г0 =
= 4.
𝐹0 − 𝑑1
После сдвига рассеивающей линзы на расстояние 𝐿 систему двух линз следует рассматривать поочередно. Поскольку 𝑑1 > 𝐹 , то изображение 𝑆1 предмета 𝑆 в собирающей линзе является действительным
1
1
𝑓1
1
=
+ , откуда 𝑓1 = 3𝐹 . Его увеличение Г1 =
= 2. Теперь изображение 𝑆1 становится дейи
𝐹
𝑑1
𝑓1
𝑑1
ствительным или мнимым предметом для рассеивающей линзы. По условию увеличение изображения 𝑆2
𝑓2
системы остаётся прежним, поэтому Г0 = Г1 ·Г2 . Выходит, что Г2 =
= 2, то есть изображение 𝑆2
𝑑2
предмета 𝑆1 в рассеивающей линзе должно быть увеличенным, что невозможно, если 𝑆1 окажется между
линзами. Значит, 𝑆1 находится за рассеивающей линзой и является для неё мнимым предметом, то есть
1
1
1
−
= −
+ , где 𝑓2 = 2𝑑2 . Получается, что 𝑑2 = 𝐹 . Поскольку 𝑑2 = 𝑓1 − 𝐿, то искомый сдвиг
2𝐹
𝑑2
𝑓2
рассеивающей линзы 𝐿 = 2𝐹 = 36 см.
Критерии оценки:
Правильно найдено увеличение Г0 до перемещения линзы.
Правильно найдено увеличение изображения Г1 в первой линзе.
Правильно найдено увеличение изображения Г2 во второй линзе.
Обосновано то, что изображение предмета в собирающей линзе должно
стать мнимым предметом для рассеивающей линзы.
Верно написана формула рассеивающей линзы после сдвига.
Получен правильный ответ.
Разработка:
+2 балла
+1 балл
+1 балл
+1 балл
+1 балл
+1 балл
М.А. Пенкин - преподаватель
кафедры общей физики МФТИ.