ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ в низкотемпературной ПЛАЗМЕ

ИАСемиохин
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ПРОЦЕССЫ
в низкотемпературной
ПЛАЗМЕ
Допущено 'Министерством высшего и среднего
специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов химических специальностей высших учебных заведений
Издательство
Московского
университета
УДК
533.9;541.124
Семиохин И. А. Элементарные процессы в низкотемпературной плазме*
Учеб. пособие. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. — 142 с —ISBN 5—211ь-^
00116—8.
В пособии излагаются основы теории взаимодействия частиц и кинетики
столкновительно-излучательных процессов в низкотемпературной плазме
учетом ионизации и диссоциации молекулярных газов. Рассмотрены различ
ные виды распределений частиц по свободным и связанным состояниям и
эффективные сечения различных процессов, необходимые для расчета кон<
стант скорости элементарных процессов. Значительное внимание уделяется
моделям плазмы и методам ее диагностики.
Рецензенты:
кафедра химии МИИТ (зав. кафедрой проф. Л. А. Николаев),
доктор химических наук, профессор Г. П. Хомченко
С
1805000000(4309000000)—031
«л
л л
—116—оо
077(02)—88
ISBN 5—211—00116—8
© Издательство Московского
университета, 1988 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Элементарные процессы в плазме и методы ее диагностики
освещены наряду с другими, вопросами в различных монографиях и обзорных статьях по физике, спектроскопии и диагностике плазмы, появившихся й последние годы в нащей стране
ж за рубежом в связи с развитием новой техники — техники
высоких скоростей и температур, плазмохимии и лазерной химии.
В то же время приобщение химиков к исследованию различных процессов и явлений в плазме вызывает необходимость
появления данной книги, в которой изложены основные ПОНЯТИЯ, основы теории взаимодействия частиц и кинетики элементарных процессов в низкотемпературной плазме.
Поскольку предлагаемая книга нацелена главным образом
на анализ кинетических уравнений
столкновительно-излучательных процессов в плазме, в первых шести главах довольно
подробно обсуждаются необходимые для этого ^вопросы распределения частиц по свободным и связанным состояниям ,и релаксационные процессы, приводящие к установлению равновеси я х распределений. Большое внимание ^уделяется вопросам
классического и квантово-механического расчета и экспериментальному определению эффективных сечений различных ^уйрутих и неупругих процессов, крайне необходимых для расчета
асонетант скорости неравновесных элементарных процессов в
плазме. При этом наряду со столкновениями электронов с тяжелыми частицами (атомами, молекулами и ионами) учтены
также столкновения между различными типами тяжелых час*
тиц и возможные в плазме процессы фотовозбуждения и фотоионизации.
v
В седьмой главе, посвященной в основном кинетике электронно-ионной рекомбинации, рассмотрены практически fcce возможные процессы, приводящие к заселению и опустошению
энергетических уровней, кинетические уравнения
отдельных
элементарных процессов, дан общий вид фундаментального
уравнения электронно-ионной рекомбинации в однородной квазистационарной плазме. Здесь же показано влияние плотности
и температуры электронов на эффективные коэффициенты скорости рекомбинации и ионизации, даны кинетические уравнения процессов в неоднородной и нестационарной плазмах, детально рассмотрена кинетика ионизации молекулярного водорода в плазме импульсного разряда.
В последних двух главах книги дано представление о мо?
делях плазмы, изложены основные спектральные методы ее
Диагностики.
Глава 1
ПЛАЗМА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 1. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Плазмой называют квазинейтральную систему, содержащую
заряженные и, возможно, нейтральные свободные частицы. Условие квазинейтральности означает, во-первых, малость суммарного заряда плазмы по сравнению с суммой зарядов одного знака; во-вторых, подразумевается электрическая нейтральность плазмы в среднем, в достаточно больших объемах йлц за
достаточно большие промежутки времени. Величины объемов
и промежутков времени, в которых проявляется квазинейтральность, определяются пространственным и временным- масштабами разделения зарядов.
Рассмотрим сначала пространственный масштаб разделения зарядов. В некотором объеме плазмы с характерным размером /D, который называется дебаевской длиной, потенциальная и кинетическая энергия заряженной частицы равны между собой:
откуда
(1.2)
где п — число зарядов в единице объема, е — заряд электрона, ео —• диэлектрическая
постоянная
вакуума,
равная
8,85-10~12 Кл2/Н*м2. Ясна, что вследствие ограниченности кинетической энергии частиц невозможно провести разделение
зарядов в плазме на расстояниях, превышающих дебаевскую
длину. На расстоянии, меньшем дебаевской длины, частицы
«чувствуют» присутствие отдельных заряженных частиц, на
больших расстояниях частицы объединяются в непрерывное
зарядовое облако. Дебаевская длина является верхним пределом микроскопического взаимодействия между- заряженными;
частицами.
Что же является временным параметром разделения зарядов в плазме?
Перемещение заряженных частиц в плазме приводит к появлению электростатических сил. Уравнение движения частицы с массой может быть записано ъ виде
-3- = — * - - — *•
(1.8)
где б — смещение частицы; Е — электростатическое поле (напряженность поля), равное
£.
(1.4)
8
Движение частицы представляет собой гармоническое колебание около положения равновесия:
6=Л sin (6)рН-фо),
где А — амплитуда, <р0 — начальная фаза колебаний, и сор —
угловая частота, равная
()'"•
(1.5)
1 2
Для электронов
(£>р*=56,458п / рад/с (где п — число электронов в 1 м3) и называется электронной плазменной частотой.
Таким образом, плазменная частота — это резонансная или характеристическая частота системы образующих плазму ^.заряженных частиц, зависящих от их массы, Она, как и дебаевская длина, является макроскопическим параметром, плазмы.
Время отдельного микроскопического взаимодействия не может
/превысить период плазменных колебаний, т. е. сор представляет собой нижний предел частоты микроскопического взаимодействия заряженных частиц.
§ 2. МИКРОСКОПИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Рассмотрим две микроскопические характеристики, плазмы,
отражающие дискретность заряда и массы. Дискретнбсть заряда характеризуется числом частиц TID В объеме дебаевской
сферы:
Приближение непрерывной среды применимо только при
больших ля, когда
/iz>>l
(1.7)
В этом случае взаимодействие между отдельными частицами
незначительно, т. е. выполнено необходимое^ условие применимости методов статистической механики,Поскольку сдедняя потенциальная энергия частицы, (энергия взаимодействия двух частиц) равна
(
)
4neod
4де 0
^где ^=(2л) / — среднее расстояние между частицами), то отношение
плотности потенциальной энергии к плотности кинетической энергии
1
3
- —
( 2 п ) 1
/ з
:
_
При по">1 это отношение мало.
10is
т. к
s
10
6
JO
7
W
10* vt,M/c
Рис. 1. Характерные значения плотности электронов и температуры плазмы в различных условиях
ее существования:
/ — центр Солнца; 2 —. квантовая плазма, включая металлы
и полупроводники; 3 — управляемая термоядерная реакция;
4 — релятивистская плазма; 5 — лабораторный импульсный
газовый разряд; 6 — видимая область Солнца; 7 — классическая кинетическая плазма (незаштрихованная область);
8 — стационарный разряд; 9 — ионосфера; 10 — корона;
11 — межпланетная плазма
Другим микроскопическим параметром плазмы является зависящая от массы частицы скорость ее теплового движения vt
в данном направлении. При заданной плотности кинетической
энергии или температуре
=
±nkT
2
(1.10)
2
средний квадрат скорости <i> > равен
т
Заметим, что тепловая скорость (параметр микроскопичен
ский) выражается через макроскопические характеристики —
плазменную частоту шР и дебаевскую длину lD (см. L2 и 1.5):
2
tf^JE- =(0 /2
[т
р
(1.12)
За один период плазменных колебаний частица перемещается
на одну дебаевскую длину.
Электроны, обладающие
максимальной подвижностью,
обычно рассматриваются как важнейшая составная часть
плазмы. Поэтому все приведенные выше параметры, в которых
фигурируют масса, заряд и скорость теплового движения электронов, часто применяют для характеристики свойств плазмы
в целом.
На рис. 1 указаны значения соответствующих параметров
ID> (Op и vt при различных температурах и концентрациях электронов. По осям отложены в логарифмическом масштабе .соответственно ,температура (нерелятивистская скорость теплового движения) и концентрация (плазменная частота) электронов. Кривые зависимости концентрации от температуры приведены при "заданном числе частиц /ZD=0,1 И Я Д = 1 0 0 0 В сфере
дебаевского радиуса, причем указаны области, соответствующие электрическим разрядам в газах в лабораторных условиях. Обозначены области релятивистской плазмы {kT=mc2) и
квантовой плазмы ЪТ^Нщ и &Г=£>, где Ер — энергия Ферми,
с — скорость света.
Глава 2
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ ПЛАЗМЫ
§ 1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ
В теории неионизованных газов ясно видно различие между результатами микроскопических столкновений и макроскопическими перемещениями частиц. ^Действительно, взаимодействие между частицами газа определяется значительными короткодействующими силами, проявляющимися' при столкновениях. Обычно для неионизованных газов можно считать, что
предшествующий акт столкновения не влияет на последующий,
т. е. состояние частиц после столкновения зависит только от
состояния их перед столкновением, в данный момент времени.
Эта. особенность является характерной чертой так называемых
марковских процессов.
Вплоть до самых высоких концентраций вероятность одновременного взаимодействия трех и более частиц ничтожна,.
Предположение парных столкновений и «молекулярного хаоса»-приводит к уравнению Больцмана, играющему важную
роль в кинетической теории газов.
Развитые для решения уравнения Больцмана методы мож*
но перенести на взаимодействие заряженных частиц с йейтральными, так как утакое взаимодействие остается в основном короткодействующим.
В газовой плазме происходят столкновения электронов с
нейтральными частицами, ионами и друг с другом. Даже в
слабоионизованном газе со степенью ионизации 0,1% при вычисл^нцр полной проводимости необходимо учитывать не только столкновения электронов с нейтральными частицами, но и
с ионами.
Электростатическое -кулоновское взаимодействие лгежду заряженными частицами имеет гораздо больший радиус действия по сравнению с силами, действующими между нейтральными частицами и между электронами и «нейтралами». Поэтому
столкновения нельзя рассматривать как отдельные события,
.которые происходят при тесном сближении частиц. Вследствие
дальнодействующего кулоновского потенциала (V(r)~r~l)
необходимо учитывать и влияние частиц более отдалённых; можно считать, что почти все время электрон взаимодействует одновременно с большим числом электронов и ионов. Так как при
таком взаимодействии число претерпеваемых электроном столкновений велико, взаимодействия между заряженными частицами становятся сглаженными и перестают быть независимыми. Поэтому на больших расстояниях влияние электрических
полей можно считать макроскопическим.* Взаимодействие системы из большого числа заряженных частиц в дебаевской сфере
описывается не кинетическим уравнением Больцмана, а уравнением Фоккера — Планка, которое, как и уравнение Больцмана, является предельным случаем уравнения Лиувилля и
может быть из него получено.
§ 2. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
1. Поле центральных сил
В наиболее простой форме потенциальную энергию взаимодействия между атомами можно считать только функцией
расстояния между двумя ядрами («поле центральных сил»)
При этом можно выделить две области: область короткодействующего экспоненциального поля и область дальнодействующего поля сил поляризации. Первая из них является областью
сил отталкивания, так как при достаточно малых межъядерных
расстояниях преобладает кулоновское отталкивание. Поскольку
дальнодействующие силы в основном являются, силами притяжения, а короткодействующие — силами отталкивания, то бу-
дет существовать минимум потенциальной энергии. Мы будем,
рассматривать силы, измеряемые ускорением одного ядра в
присутствии другого, а не силы, действующие на отдельные
электроны атомов.
Вследствие значительных трудностей, возникающих как при
определении потенциальных функций, так и в самой теории
рассеяния, часто используют упрощенные потенциальные функции, полученные на основе различных моделей взаимодействующих частиц.
2. Простые потенциальные функции
Потенциальные функции для короткодействующих сил могут быть записаны в виде формулы Бора для экранированного
кулоновского взаимодействия между ядрами с зарядами Z\ и
22, окруженными взаимно проникающими электронными оболочками:
-'/P/r,
(2Д)
где >р — экранирующий множитель, равный
P=ao/(*i2/4-222/*),
<2.2)
и ПО — боровский радиус, равный 0,5-10~8 см.
Экспериментальным данным по упругому рассеянию ионов
на атомах лучше соответствует формула Фирсова
(2.3)
VF(r)^zxz2e^{x)lr,
где ф(х) — функция экранирования и
0,885a0
'
•
(2.4,
Для дальнодействующих сил взаимодействия между нейтральными атомами и молекулами потенциальная энергия описывается формулой Ван-дер-Ваальса
=-C/r*.
(2.5)
Силы Ван-дер-Ваальса возникают вследствие «динамической
поляризации атомов». Постоянную С можно определить, исходя из собственных значений энергии и сил осциллятора электрического дицоля.
В случае Двух одинаковых атомов, один из которых находитоя в основном состоянии 0, а другой — в возбужденном
или ионизованном сострянии /г, большую роль играет «резонансное*, или «обменное», взаимодействие. Оно возникает в
результате Обмена радиационной энергией Между атомами, и
Щ величина может быть представлена в виде
где /on — сила осциллятора; Von — частота перехода 0-*л. Величина ^ " " З , если магнитный момент т состояния п равен
нулю, и Y = + 1 > если т = ± 1 .
Взаимодействие иона с зарядом е и атома с поляризуемостью а имеет поляризационный характер и может быть выражено в виде
Ч
(2.7)
Взаимодействие иона с молекулой включает, члены, зависящие от пространственной ориентации молекулы. Наиболее существенный из них пропорционален г~2 для гетерополярной
молекулы и Г"3 для гомеополярной молекулы.
В случае взаимодействия двух ионов при больших расстояниях между ними потенциальную энергию можно считать просто кулоновской:
3. Сложные потенциальные функции
Для описания дальнодействующих сил притяжения и короткодействующих сил отталкивания используется потенциал
Леннард-Джонса
v
(')=••£—$г-
Наиболее часто употребляется
6—12», имеющий вид
так называемый
"«-«•[(тГ-Ш
<2-9>
«потенциал
(2 9а)
-
Ясно, что V(r)=0 при г*=о.
В последнее время делаются неиытки представить полное
центральное силовое поле в виде комбинации простых аналитических функций. Наиболее простой вид потенциала
be
(2.10)
был детально изучен Линнеттом, который показал, что он лучше согласуется со спектроскопическими данными, чем обычно
применяемая функция Морзе.
В последнее время чаще используют модифицированный потенциал Букингема
?Я£ г* — равновесное расстояние между ядрами; а — параметр, не имеющий отношения к поляризуемости. Глубина по10
тенциальной ямы в минимуме е связана с колебательной энергией Ev соотношением
^(~L)\
(2.12)
Типичная потенциальная функция для двухатомной молекулы может быть представлена формулой Морзе
)}]2,
(2.13);
когда за нуль принята энергия устойчивой молекулы, или
V (f-ге) = е [ехр{-2а (г-ге) }-2 ехр {-а {г-ге)}],
(2.14)
когда энергияvразъединенных атомов принята
В формулах (2.13), (2.14) а равна:
равной нулю.
<2Л6)
Здесь \i — приведенная масса молекулы; D — энергия диссоциации и сое - частота колебаний, связанная с колебательной
энергией выражением
где хе — коэффициент ангармоничности.
пля аппроксимации энергии взаимодействия одинаковых
сферически симметричных или близких к4 сферически симметричным частиц с замкнутыми электронными оболочками предлочтительнеё использовать потенциалы Леннард-Джонса (2.9),
Букингема (2.11) или Штокмайера (для полярных молекул):
1
),
(2.17)
где g=2cos6i• cos82—sin9i-sin92-cos((p2—<Pi); 6i, 02, ф=ф2—Ф1 —
ориентационные углы, \х — дипольный момент.
Если известны параметры потенциала лары одинаковых молекул, например аи и хг//, га и в//, \ia и |х//, то для. взаимодействия разных молекул параметры вычисляются по полуэмпирическим комбинационным формулам
(2.18)
где > — дипольный момент.
Для атомов с ненасыщенными электронными оболочками
потенциалы притяжения удовлетворительно аппроксимируются
функцией Морзе (2.14), а потенциалы отталкивания — функцией вида
V(r) =£*-«/'.
(2Л9)
и
Кинетическая теория газов из частиц с несферйческими потенциалами взаимодействия разработана еще недостаточно.
Известно большое число работ, посвященных квантово-механическом^ расчету потенциальной энергии взаимодействия
частиц, однако используемые упрощения снижают точность поручаемых результатов. В работах Масона и Вандерслайса для
оценки хода потенциала лри г> (\$+2)ге
использовался полуэмпирический метод. Основу его составляет выражение для
энергии взаимодействия атомов, полученное по методу валентных связей (ВС-метод):
Е = Еп + 2Q4 + ад,- Y ЗД/ - 2 i # , , ,
(2.20)
где Еа — энергия свободных атомов; Qx/ — энергия кулоновского взаимодействия электронов; Sf\\ — обменный интеграл; Si и
2а — суммы по всем парам электронов с антипараллельными
и соответственно с параллельными спинами; 2s — сумма по
всем электронам, не образующим пар.
Из экспериментальных методоц определения потенциалов
взаимодействия частиц' следует отметить метод рассеяния ионных и нейтральных пучков на газовых мишенях (позволяющий
измерять полное и дифференциальное сечения рассеяния), термодинамический метод (нахождение вириальных коэффициентов) и спектральные методы.
4. Взаимодействие трех атомов
Энергетические соотношения в случае взаимодействия трё#
атомов могут быть пблучены на оснше представления, о поверхности потенциальной энергии. Такая модель имеет смысл только тогда, когда движение системы, состоящей из трех взаимо-.
действующих частиц, соответствует движению частицы без
трения по поверхности под действием силы тяжести. Энергия
такой системы зависит от взаимной ориентации межъядерных
осей, причем можно показать, что энергия имеет минимум, когда все три частицы расположены на одной прямой.
Для построения поверхности потенциальной энергии необходимо, чтобы кинетическая энергия системы была выражена в
виде суммы двух квадратичных членов:
^)2
(2.21)
+ ±т(Щ\
2
dt )
\ dt )
v
'
где т — масса системы, а х и у — координаты на поверхности
потенциальной энергии. Потенциальная энергия откладывается
вдоль оси 2, как в случае двухатомной молекулы.
Поверхности потенциальной энергии были рассмотрены для
некоторых простых трехъядерных систем; обычно они изображаются в виде контурных кривых. Примером может служить
взаимодействие атома и двухатомной молекулы, при котором
12
происходит сначала сближение вдоль оси х по «долине» потенциальной поверхности, затем переход через «вершину» и, наконец, удаление по «долине» вдоль оси у. Эта картина является
иллюстрацией простой химической реакции или-ионно-атомного обмена.
Глава 3
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ ПО СВОБОДНЫМ
И СВЯЗАННЫМ СОСТОЯНИЯМ
§ 1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
БОЛЬЦМАНА
Точное описание макроскопических свойств газа связано с
некоторой функцией [ (г, v, t) координат г, скорости v и времени t для каждой компоненты газа. Такая функция называется
функцией распределения, она показывает зависящую от времени плотность частиц п (число частиц в единице объема d3r),
скорость которых заключена в единичном объеме пространства
скоростей dzv. Другими словами, функцию распределения можно рассматривать как плотность числа частиц в фазовом пространстве, составленном из конфигурационного пространства и
пространства скоростей.. Поэтому для функции распределения
f можно написать уравнение непрерывности, аналогичное обычному уравнению, выражающему закон сохранения числа частиц в конфигурационном пространстве:
JL + JLJL + JLJL-JL
dt
"*" дг
dt "*" dv
nn
к
dt ~ d t '
' '
Это уравнение в виде
JL + vJL+JLJL=lL
dt
dt
m
dv
dt
(
з.2)
v
получило название кинетического уравнения Больцмана.
В этом уравнении слева — дрейфовые члены, описывающие
зависимость / от времени, диффузии и величины сил (поля),
справа — стоЛкновительные члены, учитывающие изменения /
при всех взаимодействиях на малых расстояниях между частицами. Вследствие малого раДиуса действия (ге) сил между
нейтральными частицами (или между электронами й нейтралами) по сравнению со средним расстоянием \d\ между частицами можно пренебречь статистически маловероятными взаимодействиями, в которых участвует более двух частиц. Это со-,
ответствует модели бинарйых- (яарнык) столкновений.
13
§ 2. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ
Чтобы получить гладкую функцию распределения, учитывающую взаимодействия, надо усреднить результаты отдельных
парных столкновений с помощью интеграла. В связи с этим
член df/dt представляет собой интеграл столкновений, а уравнение Больцмана (3.1—3.2) является интегродифференциальным.
Вывод интеграла столкновений обычно довольно громоздок.
Рассмотрим для простоты однородные и изотропные газы в отсутствие внешних сил. В этом случае функция распределения
не зависит от координат, а зависит лишь от абсолютной величины v скорости v, т. е. является функцией квадрата скорости
(3.3)
Функция f (v) должна быть нормирована
(3.4)
где п — плотность частиц данного сорта.
Рассматривая столкновения двух частиц со скоростями vt
и р ? , найдем обусловленное столкновениями изменение f(v2).
Ограничимся, столкновением упругих шаров одного сорта диаметром а. При условии
re<d<lc,
(3.5)
где 1С — длина свободного пробега, ограничимся учетом только двойных столкновений.
Чтобы уменьшить число переменных, перейдем от лабораторной системы координат к системе центра масс. Запишем
относительную скорость движения двух частиц:
(3.6)
и скорость движения центра масс:
(3.7)
mt
Из соотношений (3.6) и (3.7) следует, что якобиан равен
ду
—1
= 1, (3.8)
откуда
(3.9)
Как показано на рис. 2, одна из частиц приближается к
частице-мишени с относительной скоростью v и удаляется от
нее со скоростью v'=vi'—V2'. Единичный вектор к задает направление соударения по линии центров (вдоль биссектрисы
угла между v и v,). Тогда
v'=v,-k(kv)
и
| = |v'|.
(3.10)
Вычисляя якобиан преобразований
для заданных к и v, находим
ду,
1 о
= 1,
dv,
0
1
Рис. 2. Столкновение двух частиц
(3.11)
(3.12)
рткуда
Согласно уравнению (3.12) элементарный объем в пространстве скоростей инвариантен относительно столкновения.
Рассмотрим концентрическую с поверхностью частицы-мишени сферу радиусом а и построим цилиндр столкновений,
Рис. 3. Геометрия двухчастичного столкновения
Рис. 4. Сферическая система координат
центр основания которого лежит на этой сфере и на линии
центров (рис. 3). Образующая цилиндра параллельна траектории частицы 1 до столкновения. Пусть площадь основания косого цилиндра рабна a2dQ> где rfQ=sin QdQdy, б — полярный и
<р — азимутальный; углы рассеяния, а длина образующей цилиндра равна |v|.
Исследуем теперь рассеяние в сферической системе координат (рис. 4). Пусть мишень находится в начале координат,
а налетающая частица движется вдоль отрицательной оси z.
Тогда дифференциальное сечение упругого или неупругого процесса будет определено как сечение, соответствующее рассея-.
нию ударяющей частицы* в пределах элементарного телесного
угла dQ в виде выражения
(ЗЛЗ)
где Р(9) — вероятность рассеяния частицы в угол du, а а —
эффективное сечение столкновения, равное а=ла2.
За единицу времени с мишенью столкнутся все частицы, скорости которых лежат в интервале v b vi+rfv b а центры попадают в рассматриваемый цилиндр (см. рис. 3). Число таких частиц равно величине f(v\)dvu
умноженной на объем цилиндра
v=u cos 8 cfldQ, т. е.
(3.14)
Число мишеней — центров рассеяния, т. е. число молекул, скорости которых лежат в интервале v2, v 2 +dv 2 , равно /(v 2 )dv 2 .
Поэтому общее число столкновений молекул двух видов в единицу времени составляет
A =±f (у!-)/ (v 2 ) dVidv2va2 cos 6 dQ.
(3.15)
В силу механической обратимости в указанном элементе
объема число обратных столкновений, когда частицы до соударения обладают скоростями v/ и у/, а после соударения скоростями Vi и v2, будет равно
(3.15а)
Полное изменение функции распределения, которое обозначим
как (—- | dv2, определяется разностью В—А, проинтегриро\ dt )
ванной по Vi или v/ и по углам В и О. С учетом уравнения
(3.12) получим выражение
•f" = Я (П П-Ш
г
™ cos erfVidQ,
(3.16)
которое называется интегралом столкновений.
Обозначая дифференциальное сечение в единицу телесного
2
угла рассеяния через a (v, 6 ) = a c o s 0 , запишем уравнение
(3.16) в форме
dQ.
В результате получено простое выражение
столкновений при упругом рассеянии частиц.
16
(3.16а)
для
интеграла
Для упругих столкновений электронов с молекулами газа,,
находящимися при температуре Tg, интеграл столкновений приобретает следующий вид:
dt
v
o(v2) I М — т\
\
m
д(и2
где v m — частота столкновений при рассеянии электронов на
нейтральных частицах. Эта величина равна
(3.17a>
где щ — плотность рассеивателей сорта/.
Функция распределения в общем случае (ур. 3.1) может зависеть от пространственных координат и меняться со временем.
Однако в условиях равновесия газа движение частиц между
столкновениями определяется независимым от времени гамильтонианом:
tf=_£, + V,
(3.18>
т
здесь р — обобщенные импульсы; V — потенциальная энергия.
В этом случае функция распределения в фазовом пространстве
равна
f(ry v)=F(H).
(3.19)
Если потенциал V не зависит от скорости, то
F(H) =const €ги'кТ9
(3.20)
и решение уравнения (3.19) будет иметь вид
/ (Г, v) = const е-«*/2*г e-v(n/kT u
(3.21 >
В отсутствие внешних сил (V=0) получаем известную формулу распределения Максвелла—Больцмана:
е
(3.22)
описывающую распределение свободных нерелятивистских частиц по скоростям (или энергиям) поступательного движения^
§ 3. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ.
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И ДРАЙВЕСТЕЙНА
Уравнение Больцмана применимо, только к слабоионизованным га5ам, когда учитываются лишь взаимодействия электронов с нейтральными частицами (короткодействующие силы)»
17
В однородной плазме в отсутствие существенно неупругих
процессов уравнение Больцмана принимает вид
(3.23)
Здесь иЭф — эффективная
равная
кинетическая
энергия
электрона,
«зф^-f-^+f ф-.
(3.24)
где 7^ — температура молекул газа; | — зависящий от скорости обобщенный параметр, учитывающий действие всех столкновений с малой передачей энергии, например при возбуждении вращательных уровней. В эффективном электрическом по-.
л е £Эф величина а ^ равна
аэф = ^ - £ э ф .
(3-25)
С учетом (3.24), (3.25) уравнение (3.23) будет иметь следующее решение:
l
J
3mvdv
,
(3.26)
2и
где mvdv=du.
Если температура газа достаточно высока, а электрическое
:поле мало, то
(3.24а)
ИЭФ=™*Т<'
и получается классическое распределение Максвелла:
(3.26а)
а — некоторая постоянная.
Рассмотрим теперь противоположный случай сильного постоянного электрического поля при низких температурах газа
(постоянное магнитное и переменное электрическое поля отсутствуют). Предположим, что как параметр | , так и средняя
длина свободного пробега:
(3.27)
tc=v/vm
:не зависит от скорости. Тогда
f = be-cv\
З т а функция называется
^тей
функцией
18
(3.28)
распределения
Драйве-
На рис. 5 приведены для сравнения функции распределения электронов, ^соответствующие распределениям Максвелла
и Драйвестейна. Из рисунка видно, что функция Драйвестейна при больших скоростях убывает быстрее, чем функция
Максвелла. Поэтому расчет вероятностей возбуждения и ионизации с помощью распределения
Драйвестейна приводит к меньшим значениям, чем с помощью
распределения Максвелла.
Введем энергетический множитель Тауысенда kr, характеризующий отношение средней
энергии электронов к энергии
<и >
2eV/m
молекул газа:
2
_m£/2_
(3<29)
Рис. 5. Зависимость умноженной
на скорость функции распределения vf от v2: 1 — распределение
Максвелла; 2 — распределение
Драйвестейна.
Величина v2
и
число электронов (площадь
под.
кривой) в обоих случаях одинаковы; eVi — потенциал ионизации
Оказывается, что в области упругих соударений, при &г=5-т-100,
распределение Драйвестейна прийодит к лучшему согласию с
экспериментальными
данными.
Необходимо иметь в виду, что это
распределение было
выведено
при дополнительных предположениях: независимости £ и 1С от
скорости. В одноатомных газах
2т
М+т
• = const,
(3.30>
хотя 1С может зависеть^ от скорости; в двухатомных газах оба
этих предположения могут не выполняться. Оно справедливо*
при низких частотах тока (по сравнению с частотой столкновения), т. е. при oxCvm или низкой температуре газа. В высокочастотных электромагнитных полях или при высокой температуре газа (при постоянных 1С и \) мы получим распределение Максвелла.
Для произвольной степенной зависимости | и v m от v при
существенном влиянии температуры имеем распределение
Максвелла. Если приложенное поле значительно, как например в газовом разряде, содержащий электрическое поле член
в уравнении (3.24) может превысить член, зависящий от температуры газа. В этом случае показатель экспоненты W в функции распределения имеет различные выражения, зависящие
от частоты приложенного переменного тока.
Неупругие столкновения меняют форму распределения f9
обрезая ее при энергиях, больших eVXy и сдвигая максимум
распределения в область .меньших энергий. Можно ожидать^.
что максимум этого распределения расположен ближе к максимальному значению функции Максвелла, а энергия, при которой происходит обрезание кривой, соответствует распределению Драйвестейна.
§ 4. БОЛЬЦМАНОВСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Если умножим уравнение Больцмана,
|
(3.31)
на некоторую функцию скорости <р-или~ постоянную и проинтегрируем по пространству скоростей, получим уравнение переноса
— п Ш ^ + v Vrq> + h V0<P ) = пАф, (3.32)
dt
где Дф — средняя скорость изменения величины ф в единице
объема в результате столкновений.
Для упругих столкновений электронов при ф=1 из (3.32)
можно получить уравнение для изменения концентрации частиц:
—r+V(/iv)=0.
(3.32а)
dt
Это уравнение выражает закон сохранения числа частиц или
массы. При значениях y — mv |и ф ~ — mvv из- (3.32.) получаются соответственно уравнения сохранений импульса и энергии.
§ 5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ СВЯЗАННЫХ
СОСТОЯНИЙ
3
Если в 1 см газа при температуре Т имеется п одинаковых
атомов, то часть их может находиться в возбужденном состоянии. В термодинамическом равновесии, доля m атомов, находящихся на 1-м квантовом уровне с энергией е/, дается формулой Больцмана
J!L=-2Le-Bt!kT
п
(3.33)
Qi
Сумма по состояниям Q,- определяется соотношением
.<TV*r,
t
(3.34).
где gi — статистический вес £-го уровня.
Суммирование должно проводиться по всем уровням, вплоть
до самого высокого. Уровни, очень близкие к границе иониза20
дни, не реализуются, потому что квантовые орбиты энергетических состояний возмущаются окружающими частицами.
Энергия последнего уровня, который необходимо учитывать,
равна
8/ = 8ион—Дйион-
(3.35)
Снижение энергии ионизации, которое необходимо знать для
расчета статистических сумм и применения уравнения Саха,
зависит от плотности возмущающих частиц:
Здесь lD —дебаевский радиус экранирований:
/,,_-Lr__J£
Lr__J£
АА"'
22
е
II ^ +
+ 2(2-i)
2 ( i ) nv.1 I
(3.37)
Для плазмы с однократно ионизованными частицами
2
-^-V'
эВ,
^
(3.38)
где пе выражено в см~3, Те — в К.
Статистические веса находят по квантовому числу полного
углового момента /,- с помощью известного соотношения
gi=2Ji+\.
(3.39)
В таблицах Мур можно найти величины /, и е/ для всех
элементов и почти всех степеней
ионизации. В них энергии
квантовых уровней даны в см* 1 . Для практических приложений
лользуются расчетной формулой
-grHrf
=1
'438.8-|L:
(3.40)
§ 6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТИЦ ПО СТЕПЕНЯМ ИОНИЗАЦИИ
В РАВНОВЕСНОЙ (ТЕРМИЧЕСКОЙ) ПЛАЗМЕ. УРАВНЕНИЕ САХА
Уравнение Больцмана {3.33) связывает плотности частиц,
находящихся в различных энергетических состояниях данного
атома или иона. В то же время с его помощью можно получить
уравнение, связывающее плотность частиц в данной (которая
Сбудет нулевой для нейтральных частиц) степени ионизации
с плотностью свободных электронов.
Чтобы показать это, запишем число свободных электронов
в некотором интервале энергий:
dne
dge
21
Здесь dge — число состояний свободного электрона, отнесенное
Я некоторому интервалу энергий йгк\ g^Lx—" статистический
вес уровня г, e/ — энергия связи электрона на этом уровне к
sk — средняя кинетическая энергия электронов в выбранном
интервале энергий.
Для того чтобы вычислить dge, представим волновые функции свободных электронов в виде плоских волн с длиной волны
}J=2nh/mv или волновым вектором к=т\/Н. Как и для поля
излучения, число состояний можно определить, рассчитав число собственных колебаний, существующих
в нормировочном
объеме L3. Обычные граничные условия дают kxL=2nnx и т. д»
Число колебаний dge' приближенно равно
+ л2 + ^^^
(3.42)
Множитель 2 возникает из-за двух ориентации спина. Учитывая, что efe=(ft2/2m)&2, получаем
Объем L 3 не произволен, потому что «верхнее состояние»
определено, если определено положение и остальные . координаты результирующего иона. Другими словами, как связанный
электрон приписывается атому или иону с зарядом (г—1), свободный электрон и ион должны быть взяты вместе как единая^
квантовая механическая система. Для связи пе и n^z-i с плотностью ионов в основном состоянии пг (1) необходимо взять
следующий объем:
3 44
L
<- >
'=xur-
Если основное состояние иона вырождено, надо учесть era
статистический вес gz (1). С учетом этого и формул (3.43) >
(3.44) статистический множитель, относящийся к свободным:
электронам, равен
ё е
п2(1) V я /
\2Л* )
Подставим этот результат в уравнение (3.41),
его, получим одну из форм уравнения Саха:
пепг(\)
2g z (l)
интегрируя
/ mkT
Если использовать полные плотности пг~\ и пг атомов ила
ионов данного химического сорта в двух последовательных
ступенях ионизации, то уравнение Саха примет вид
H.-.
i*-i
Qz-i (Т) \ 2яЛа /
r
\
22
кТ
N
I
( 3 > 4 7 >
где еИон,г-1 — энергия (z—l) степени ионизации для изолированных систем; AeHoH,z-i — уменьшение энергии ионизации,
обусловленное взаимодействием в плазме. В дебаевской плазме
^
.
(3.48)
где ID — дебаевский радиус, учитывающий экранирующее действие электронов.
§ 7. УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА
Так как при одновременном взаимодействии с большим числом электронов и ионов число претерпеваемых электроном малых отклонений велико, обычное рассмотрение интеграла столкновений в уравнении Больцмана (см. ур. 3.17) неприменимо.
Для описания таких квазинепрерывных взаимодействий
можно использовать другую форму интеграла столкновений,
которая имеет большое значение в небесной механике и теории
броуновского движения. Такая форма приводит к уравнению
Фоккера—Планка
Е ^ -
(3 49)
-
Оно описывает изменение функции распределения в результате
почти непрерывных, накладывающихся друг на друга, слабых
соударений электронов, диффундирующих в пространстве
скоростей.
В основу вывода уравнения Фоккера—Планка легли следующие предпосылки.
1. Предполагается марковский характер процесса рассеяния,
когда развитие системы в будущем зависит только от состояния
системы в данный момент времени и не зависит от ее состояния
в предыдущие моменты времени.
2. Столкновения считаются упругими.
3. Результирующее микроскопическое поле, в котором происходит рассеяние, образуется суперпозицией полей каждой из
частиц, заключенных в сфере дебаевского радиуса lD.
Фигурирующие в уравнении (3.49) средние значения
(AiV)cp, (AtVv)cp называют коэффициентом динамического трения и тензором обобщенных коэффициентов диффузии. Вектор
с составляющими m{Avv)cp представляет собой силу трения,
направленную противоположно скорости электронов. Тензор
с компонентами ( Д ^ Ь Р описывает случайные флуктуации
скорости относительно среднего значения и препятствует выравниванию энергии всех электронов. Под действием диффузии
в пространстве скоростей и динамического трения симметричная часть функции распределения по скоростям в отсутствие
внешних сил стремится к равновесному максвелловскому распределению.
23
Глайа 4
РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗАХ
§ 1. ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ. ПРОСТЕЙШЕЕ РЕЛАКСАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ
При отклонении некоторой величины q от равновесного знанения возникают факторы, стремящиеся вернуть ее к равновесному значению. Так, в результате явлений переноса происходит выравнивание температур и концентраций. Скорость приближения величины q к равновесному значению, <7о, пропорциональна ее отклонению от равновесного значения:
~1Г=*''в-*о).
(4.1)
где ki — коэффициент пропорциональности. Обратная величина
коэффициента пропорциональности
т=1/£/
есть время достижения величиной д
Решение уравнения (4.1) имеет вид
(4.1а)
равновесного
7—?o = (<7-<7oW~V = (?-%)м>е~' / т .
значения.
(4.2)
где (q—<7о)*=о — отклонение от равновесного значения в начальный момент времени. В соответствии с уравнением (4.2), дающим экспоненциальную зависимость, т имеет смысл времени:
релаксации.
Часто бывает, что q = 0 при / = 0 , тогда из (4.1) и (4.1а) получается выражение вида
7*
\ dt
которое является простейшим выражением для времени релаксации. В состоянии, далеком от равновесного, это выражение
не всегда справедливо, однако оценка порядка величины времени релаксации с помощью уравнения (4.3) возможна R
в этом случае (в разных процессах переноса).
В применении к процессам переноса (обмена) энергии уравнение (4.3) можно записать следующим образом:
dE
24
(4.3а)
§ 2. ПОСТУПАТЕЛЬНАЯ РЕЛАКСАЦИЯ
1. Время установления максвелловского распределения
Наиболее быстрый процессом, связанным со столкновениями, является обмен энергий между поступательными степенями свободы. Пусть вначале неподвижный одноатомный газ А
составляет небольшую примесь в газе, имеющем температуру Г.
Вследствие столкновений с молекулами В газ А переходит из
некоторого начального состояния в состояние с температурой Г.
При этом в равновесии энергия газа становится равной
(4.4)
±kTnA,
Eo=
где Пд — плотность молекул в 1 см 3 .
Для вычисления dE/dt используем модель твердых упругих
шаров (непроницаемых сфер) диаметром dA для молекул А и
dB — для молекул В. Примем, что все столкновения происходят
вдоль линии центров, тогда
dE
dt
лГДег<°>(10Л>
(4.5)
£=0
Здесь z(0)(v)dv — частота столкновений молекулы А (массы
тА) с молекулами В (массы т в ) , имеющими скорости в интервале от v до v + dv; Де — энергия, передаваемая неподвижной
молекуле А при одном столкновении с молекулой В. Из теории
упругих столкновений следует
Ае _^
4mAmB
c
_^ mBv*
Поскольку считается, что молекулы В имеют максвелловское
распределение по скоростям, то
^
mB
(4.7)
\ kT )
Подставляя (4.6) и (4.7) в формулу (4.5), находим
dE_
dt
Е=0
'~
ч
' ~
z2kTf
(4.8)
где z — полное число столкновений молекулы А с молекулами
.В в единицу времени в единице объема.
Если теперь в уравнение (4.2) подставить значения Ео
Хур. 4.4) и dE/dt (yp. 4.8), то получим выражение для времени
установления максвелловского распределения
т
__ 3 (т А + т в )
4
4m A m B
25
2
1
и
q
.
При гпА=тъ формула принимает простой-вид:
(4Л0)
где to — среднее время свободного пробега.
Таким образом, установление равновесия по поступательным
степеням свободы в газе, А происходит за время между двумя
столкновениями.
При т^>гпв время релаксации
*я~—то>то-,
(4.11)
т
т. е. обмен поступательной энергией между легкой и тяжелой
компонентами затруднителен.
2. Релаксация электронов и ионов
При изотропном распределении средняя частота столкновений (vaa) между произвольными одинаковыми частицами сорта
а определяется формулой, подобной уравнению (4.18):
/v )
4(2я)1/2
л
( *2g2 Y(
kT /2
Y
где In Л — кулоновский логарифм, равный
lnA=ln(fo/5 0 );
(4.12а)
&о — прицельное расстояние, соответствующее рассеянию час*
гицы на 90°. Нормированное время релаксации равно ло порядку величине
1/2
---
(4.13)
Сравним между собой времена релаксации электронного газа (хее) и ионного газа (tii). Если т и М — массы электрона и
иона, п и п+ — их концентрации, а Т и Г+ — температуры, та
1/2
=
(vgg) _ / i l \
(v«> ~ \ пг )
ъ/2
(1±. \
\ Т )
/2
т
3/2
(*!±\ = / М_У / + \ zs
\ п )
\ т ) [ Т )
(4.14)
где zn+=n. Видно, что ионы приближаются медленнее к максвелловскому распределению, чем электроны. Состояние равновесия для электронной компоненты достигается гораздо быстрее
вследствие их малой массы, если только температура электронов не очень высокая, т. е. если
1/3
Т+
\mI
26
z\
(4.14a)
3. Установление равнораспределения энергии между
электронами и ионами
При максвелловском распределении ионов и электронов по
скоростям со своими Т+ и Т уравнение переноса энергии имеет
вид
дТ __
dt
где
Sn+Yet m
Т-Т+
2>Vn M {(2kT+/M)+(2kT/m)f2
Yei=4n(
Поскольку
n
-F
=
*** YlnA.
'
K
'
.-.
'
(4.15a)
\ 4яе 0 т у
-
n+
(4Л6)
^T'
то в процессе релаксации величина (пТ+п+Т+) не меняется.
Если обозначить равновесную температуру через Teqy то
Т
+ .
(4.17)
Величину скорости релаксации температур электронов и ионов
можно получить из уравнений (4.15) и (4.16). Частота столкновений электронов с ионами и время релаксации для распределения энергии между электронами и ионами равны соответственно
4я(2я)1/г
( ^ У (^У/2
m )
1ГТ^Ш-
(4.18)
(4Л9)
где
3
(vel)=n+Yei/v .
(4.19а)
Сравним время <Tei> с характерными временами изотропного
или максвелловского распределения, равными по порядку ве1
личины (vaa)' . Из уравнений (4.13) и (4.14) имеем
п
т. е.
\ -^- -L
(4.20)
{Гее)
{Tei)liXee)~Mlm.
(4.20а)
Используя уравнения (4.13) и (4.19), находим
Таким образом, равнораспределение между электр.онами и
ионами устанавливается гораздо медленнее
(примерно в
27
раз), чем равновесие между электронами. Однако релаксация между ионами в любой момент времени протекает быстрее, чем процесс равнораспределения энергии между электронами и ионами, т. е. выполняется условие (т<?;)>(т«>, если
/7Ц»/.2 ^ / Л у / » -
'*"+
(4.22)
VТ ) ^ \m)
2(п+п+)
При выполнении этого условия установление равнораспределения энергии между электронами и ионами осуществляется уже
после установления равновесных распределений для каждой
компоненты.- Только в этом случае распределения электронов и
ионов на протяжении всего процесса приближения системы
к равновесию можно считать максвелловскими.
§ 3. ВРЕМЯ УСТАНОВЛЕНИЯ РАВНОВЕСНЫХ ДИССОЦИАЦИИ
И ИОНИЗАЦИИ
Наиболее медленные процессы установления
равновесия
связаны с диссоциацией, ионизацией и электронным возбуждением. Начальная стадия диссоциации в системе, где распадающиеся молекулы составляют небольшую примесь, описывается
кинетическим уравнением
Л
= -knN,
(4.23)
at
где п — плотность диссоциирующих частиц; Аг — плотность молекул нейтрального газа. Время установления равновесной диссоциации тдис по порядку величины равно
Тдис~ (бдисЛО"""1.
(4.24)
Конкретный расчет & дис требует знания механизма диссоциации.
Однако в обычныг условиях термическая диссоциация происходит при столкновении молекул, энергия которых (внутренняя
плюс кинетическая) превышает энергию диссоциации. Еслк
процесс диссоциации не нарушает равновесия в системе, то
^ - W ^ ,
(4.25).
где Р — стерический фактор; z° — число столкновений диссоциирующей молекулы в 1 с при N=\. Объединяя выражения
(4.24) и (4.25), получим
£^!1,
Тдис
(4.26)
где z = z°N.
Процесс ионизации одноатомного газа в плазме происходит
в основном за счет электрон-атомных столкновений;
~А++е+е;
28
(4.27)
Кинетическое уравнение, описывающее начальную стадию ионизации, где можно пренебречь рекомбинацией, имеет вид, аналогичный (4.23):
^
(4.28>
По аналогии с соотношениями (4.24) и (4.25) можно записать(4.29)
(4.30>
При 3TQM принимаем, что электронный газ имеет максвелловское распределение с температурой 7\, которая, вообще говоря,
может отличаться от температуры газа Т. Тогда время установления, равновесной ионизации будет равно
(4.31)
где 8ион — энергия ионизации, z = z°N.
Поскольку энергия возбуждения и энергия диссоциации одного порядка с энергией ионизации, эти процессы могут идти
параллельно, поэтому
^
^
Т
Т ион ..
и о н
(4.32>
При высоких температурах (10000—20000 К) наиболее медленным процессом является установление ионизационного равновесия.
Проведенное рассмотрение позволяет установить последовательность (иерархию) релаксационных процессов в плазме:
Т/1«<Тдис<Твозб<Тион.
(4.33)
Глава 5
ЭФФЕКТИВНЫЕ СЕЧЕНИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
§ 1. УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ С ТЯЖЕЛЫМИ
ЧАСТИЦАМИ
1. Полное сечение столкновений
Средняя длина свободного пробега между столкновениями
электронов в некотором молекулярном газе в представлении
упругих шаров равла
29
где rim — число молекул в единице объема. Поскольку х^
"то П2~/*2, и выражение (5.1) принимает вид для электронов
/х=—Ц-.
(5. Га)
Число столкновений, претерпеваемых электроном на единицу
длины, равно
*=-Т = птпг\ = пмот,
(5.2)
где От=пг22 определяется как площадь поперечного сечения
молекулы.
Атбм не имеет резко обозначенной внешней границы, поэтому модель упругих сфер неверна, и столкновения можно
рассматривать как происходящий при сближении двух частицпроцесс изменения физического состояния самих частиц или их
импульсов. Полезно ввести понятие полного течения столкновений а: столкновение происходит каждый раз, когда электрон
пересекает эту «эффективную площадь» атома а.
Связанная с полным сечением частота столкновений определяется с помощью средней длины Свободного пробега:
(5.3)
где v — скорость электронов.
2. Дифференциальное сечение рассеяния
Определенное выше значение а представляет собой проинтегрированную по пространственным углам величину. В то же
время рассеянные электроны обладают некоторым распределением по углам. При упругих столкновениях рассеяние не сопровождается заметной потерей энергии; при неупругих взаимодействиях потери энергии велики. Энергетический спектр может
дать зависимость от угла рассеяния дифференциального сечения Gd(Q) для процессов упругого рассеяния, возбуждения,
ионизации и т. д.
Определим дифференциальное сечение рассеяния при упругих столкновениях. Рассмотрим проходящий через газ поток
электронов. Пусть птОд{&) — доля электронов, рассеиваемых
на единице пути в Данном направлении (определяемом полярным углом 8 и азимутальным углом ф) в единицу телесного
угла й. Величины aa(Q) и а связаны соотношением
a(v)= f 0d(v,Q)dQ= f od(v, Q)sin9d6d<p,
(5.4)
где dQ — элемент телесного угла. Если оо не зависит от ср, то
л
fae(t», 6)sin6d0.
S
30
(5.5)
3. Рассеяние в системе центра масс
До сих пор мы рассматривали все величины в лабораторной
системе отсчета. Более удобной при изучений рассеяния является система центра масс. Например, измеряемый в опыте угол
рассеяния 0 есть угол между векторами конечной и начальной
скоростей рассеиваемой частицы. С другой стороны, в системе
центра масс угол рассеяния 0С, который вычисляется в эквивалентйой задаче одного тела, представляет собой угол между
конечным и начальным направлениями вектора относительной
скорости двух частиц. Если массой налетающей частицы можно*
пренебречь по сравнению с массой рассеивателя, то углы совпадают.
В случае упругого столкновения при нулевой скорости рассеивателя соотношение между 9 и 9С можно получить из уравнения
sin6f
m2
,
(5.6)
/
а соотношение между дифференциальными сечениями рассеяния можно представить в виде
^
(5.7)
Для электронов 0 « 0с и аа(0) »а<э(0с).
§ 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ
Представим силовое поле атома в виде сферически симметричного поля. Тогда электрон будет рассеиваться на потенциале
У(г), обратно пропорциональном некоторой степени расстояния
между электроном и центром атома:
У(г)=Лг-",
(5.8)
где А — постоянная. Для полностью ионизованного атома
поле — кулоновское (п=1), в случае же нейтральных атомов»
кулоновская сила между ядром и электроном частично экранируется атомными электронами. В результате с увеличением,
расстояния от атома поле уменьшается быстрее, чем чисто кулоновское поле. Полная потенциальная энергия может быть
представлена в виде суммы функций, подобных (5.8).
При центральном взаимодействии электрона с тяжелой частицей момент количества движения электронов и полная энергия не меняются и равны начальным значениям. Для сферичес31
зсого симметричного потенциала это приводит к следующей зависимости дифференциального сечения от вида потенциала п:
а а ( 9 с ) ~ (</)-4М>
(5.9)
где v' — скорость налетающего электрона.
Уравнение (5.9) дает в рамках классической механики ответ
на вопрос, какая зависимость силы от расстояния соответствует, например, предположению о постоянстве частоты столкновения при передаче импульса v m . Из определения vm следует
ад (у, Q) v (1 — cos 6) dQ.
т
(5.10)
При vm=»corist Od{Qc) ~l/v,
поэтому, согласно
уравнению
(5.9), п — 4. Потенциал V=Ar~4 описывает взаимодействие между зарядом электрона и дииольным моментом, индуцируемым
электроном в нейтральном поляризуемом атоме. В кулоновском
ноле V(r)s=
потенциальная энергия взаимодействия элект-
рона с ионом ze равна
V(r)~-?-.
(5.11)
Дифференциальное сечение рассеяния в этом случае может быть
выражено известной формулой Резерфорда
где A
f = —-—-—
приведенная масса; b0 — прицельное расстоя-
т -\- М
ние, при котором происходит отклонение электрона на 90°.
Формула Резерфорда приводит к бесконечному значению полного сечения рассеяния; в физике плазмы вместо нее применяют формулу для рассеяния в экранированном кулоновском
лоле.
Используя зависимость сечения рассеяния от скорости налетающего электрона на различных молекулах, можно определить
характер сил, взаимодействия электрона с молекулами. Так,
для полярных2 молекул, обладающих
собственным диполем
2
<Н2О), od~v- ,
n=2tV~r- .
§ 3. КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
^В квантовой механике движение частиц описывается волнр*
вой функцией if>. Квадрат амплитуды волны |-ф| 2 в некоторой
точке дает вероятность нахождения частицы в этой точке. Длина волны такой вероятности, описывающей движение любой
частицы, равна
(5.13).
32
поскольку для всех материальных систем сохраняется соотношение между импульсом частицы mv и волновым числом k
для волны, связанной с частицей:
(5.12а)
™
Если Е — энергия налетающих электронов, то волновое
уравнение Шредингера для электронов в отсутствие силового
поля будет иметь вид
^
(5.14)
Решением такого уравнения для линейного движения является
плоская монохроматическая волна единичной амплитуды, распространяющаяся в положительном направлении z:
Чо-Л2,
(5.15)
где
^
^у\
(
5.15а)
В качестве простейшей задачи рассмотрим рассеяние в поле
центральных сил V(r), где потенциал V будет представлять
собой сумму всех существенных потенциалов, перечисленных
в предыдущем параграфе. Другими словами, V будет представлять потенциальную энергию в поле атома. Тогда при столкновении потока электронов (плоской волны) с атомами энергия
электронов изменится до (U—V) и уравнение Шредингера
примет вид
J^l
o.
h2
Нтобы решить это уравнение, можно разложить
функцию в ряд по полиномам Лежандра:
з е )
'
(5Л6)
волновую
(15.17)
/=«0
где
2'Л (/ - т)! [
2 (2/ - 1 )
1
J
(5.18)
(При / = 0 получается s-состояние атома, при 1=1 — р-состояние.)
В ряде задач существенную роль играет только 5-волна
(/ = 0), но для большей точности необходимо также учитывать
более высокие значения /.
33
Решение уравнения (5.16) можно представить в виде
(5.16а)
где \f>o характеризует падающую s-волну,
волну:
^
a tfi — рассеянную»
,
(5.166)
где f(Qc) — амплитуда рассеяния.
Дифференциальное сечение рассеяния определяется как
где г — расстояние от атома до точки наблюдения, расположенной вдали от области, в которой происходит рассеяние.
1. Борновское приближение
Существует несколько методов решения уравнения (5:16)Один из них основан на борновском приближении E^V
и
приводит к следующему выражению для. дифференциального
сечения:
00
(5.20>
О
где
Kg = 2kasin I—) =~(2m£) 1/2 sin (—).
\ 2 /
h
(5.20а)
\ 2 /
Формула Борна не применима для электронов низких энергий (£<100 эВ). Действительно, проведенные по уравненшо
(5.20) расчеты дают монотонное уменьшение сечения рассеяния
с возрастанием скорости электронов. В то же время экспериментально наблюдается эффект Рамзауэра—Таунсенда, когда
кривые рассеяния в аргоне, криптоне лри низких энергиях имеют максимумы и минимумы (рис. 6). Так как энергия электронов низкотемпературной плазмы не превышает 10 эВ, необходима более точная теория.
2. Разложение по сферическим гармоникам
Другой возможный подход использует разложение по сферическим гармоникам, сходящееся для медленных электронов.
Для атомов можно считать потенциал сферически симметричным, тогда
(2 / +
1)^^тб/Р/(со8е г )| а ,
34
(5.21)
бе,
1е
г
Ю' см
[sL
(2]
V
V
0,7
03
02
0,4
0,6
0.8
1M
1.0
7.6
Рис-. 6. Сечения рассеяния электронов на атомах аргона в зависимости от энергии электронов по данным различных авторов:
1. R a m s аи ег С.//Апп. Phys, 1921. Bd 64. S. 513.
2. R u s h E.//Phys. Zeitschr. 1925. Bd 26. S. 748.
3. N o r m a n d C.//Phys: Rev. 1930. Vol. 35. P. 1217.
4. L i n S. et al,//J. Appl. Phys. 1955. Vol. 26. P. 95; 1957. Vol.28.
P. 754.
5. Wahlin.H.//Phys. Rev. 1931. Vol.'37. P. 260.
6. P h e l p s A. et; al.//Phys. Rev. 1951. Vol. 84. P. 559.
7—9. T o u n s e n d J., B a i l e y V.//Phil. Mag. 1922. Vol. 44.
P. 1033.
где 6/ — сдвиг фазы парциальной волны, определяемой из гра*
ничных условий.
Вследствие ортогональности полимонов Лежандра полное
сечение рассеяния не содержит произведений с разными индексами сомножителей и определяется следующей формулой:
2
(5.22)
Зависимость ve от электроадой энергии приводит к. дифракциолной картине рассеяния с максимумами и минимумами.
В-частном случае 6/= 180° сечение рассеяния ое обращается
в нуль (полное поглощение).
В области, низких энергий (до 0,5 эВ) вклад от / > 1 незначителен, т. е.
ч
(5.22а)
Как можно видеть из уравнения (5.22а), решение задачи о рассеянии в основном сводится к определению фазовых сдвигов 6/При малых фазовых сдвигах применяется приближение Борна„
при больших — приближение Джеффриса. Для расчетов эффективных сечений неупругих процессов, в частности процессов*
перезарядки, используют метод прицельных расстояний или:
метод возмущенных стационарных состояний. В проблемах связанных состояний велико значение вариационных методов, развитых Хюльтеном и Таммом.
3. Рассеяние электронов на молекулах
При рассмотрении рассеяния электронов на молекулах используется разложение волновой функции кцк функции г и
угла в (а не одного расстояния./*). Кроме того, предполагается,
что молекула обладает полуэмпирическим эффективным потен'циалом и эффективным зарядом. Вычисленное Фиском при таком разложении полное сечение рассеяния равно
in 2 6 / f m для
> '"
ае= —2L
Vsin 2 6/
2
k q LJ
тфО,
.
длят=0,
(5.23)
I
где 6/,т — сдвиги фаз для волны (1,т) при рассеянии электрона молекулой.
Очевидно, решения, отвечающие правильному трехмерному
потенциалу, действующему на электрон в поле молекулы, получить очень трудно. Дополнительные трудности связаны с квазиупругими столкновениями, в результате которых
происходит
возбуждение вращательных или колебательных уровней. По ЭТОЙ
причине теоретические расчеты проводят в основном для атомов, и только для молекулы водорода Фиском были выполнены»
полуэмпирические расчеты. Обычно для атомов
используют
теоретические оценки (экспериментальное определение сечений
рассеяния затруднительно); большая часть данных для молекулы получена экспериментальным путем.
§ 4. НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
С ТЯЖЕЛЫМИ ЧАСТИЦАМИ
1. Ионизация атомов и молекул. Классическая теория
Томсон (1912) впервые изучил ионизацию атомов заряженными частицами,, рассматривая ее .как процесс передачи энергии между налетающим электроном е с энергией Е и атомным
электроном. Атомный электрон предполагался неподвижным и
свободным.
36
Чтобы получить выражение для сечения ионизации и зависимости его от энергии налетающего электрона, рассмотрим
сначала классическую задачу рассеяния сталкивающихся частиц в классическом представлении. В системе центра масс эта
задача сводится к исследованию движения частицы с массой,
равной приведенной массе сталкивающихся частиц. Потенциал взаимодействия этой частицы с силовым центром равен потенциалу взаимодействия между частицами. На рис. 7
представлены параметры столкновения при упругом рассеянии частиц.
При сферически симметричном потенциале V=A/rn угол рассеяния 9 определяется
прицельным
параметром
столкновения частиц 6. Рассеяцие ча- Рис. 7. Траектория относистиц в элемент угла от 6 до 0 + d 9 тельного движения сталкичастиц в систеоднозначно связано с интервалом из- вающихся
ме центра масс: 0 — центр
менения параметра от Ь до b+db. масс частиц; Ь — прицельПусть имеется поток частиц nv (n — ный параметр; 9 — угол
рассеяния
плотность частиц, v — их скорость).
В рассматриваемый телесный угол
dQ (и dQ) рассеиваются частицы, находящиеся в элементарном
объеме nv2nbdb. Разделив эту величину на поток падающих
частиц nvy получим выражение для дифференциального сечения
рассеяния:
od(b)=2nbdb.
(5.24)
Определим это сечение рассеяния в малый угол. В этом случае движение частицы в поле силового центра происходит по
прямолинейной траектории,-так что расстояние частицы от си*
лового центра, согласно закону свободного движения, равно
(5.25)
Поскольку на частицу со стороны силового центра действует
сила в направлении, перпендикулярном траектории движения:
г,
О
(5.26)
OV
частица приобретает в этом направлении импульс
QD
ОО
dr
dr
(5.27)
Отсюда находим
0=
Р
. е J I дг
37
dr
(5.28)
где p=\iv — импульс; e=\iv2/2 — энергия частиц, определяемая
в системе центра масс. В частности, если У=Л/г п , формула
(5.28) дает 6=Л/е&Л, то дифференциальное сечение рассеяния
будет равно
п \ еJ
где
-J®-,
1+
е
JпL
i 2 L L .
93
^JL
е2
93
5.29)
(5.30)
В случае кулоновского взаимодействия частиц, когда
получаем формулу Резерфорда
е*
(
****
V=e2/r,
(
5 31)
где Де — энергия, которой обмениваются сталкивающиеся частицы:
Пусть е = £ — энергия налетающего электрона, а Еион —
потенциал ионизации атома. Согласно уравнению (5.31) сечение
столкновения налетающего электрона с энергией Е и покоящегося электрона, при котором они обмениваются энергией в интервале от Де до Де+б?Де, равно
do (b) = ^ f ^ .
(5.31a)
Интегрируя это выражение по передаваемой энергии от £Ион
до Е, получим для сечения ионизации атома выражение
а
ион =
ле*
—•"
(т—:т)-
(5:32)
Эта формула носит название формулы Томсона и написана
для одного валентного электрона. При наличии нескольких валентных электронов, которые принимают участие в ионизации,
по-ним следует провести суммирование. Уравнение (5.32) можно представить в ином виде
(5.33)
где f(x) — функция ионизации, равная, по Томсону,
4x) = J L _ J L .
38
(5.33а):
Модель Томсона дает правильную качественную картину зависимости сечения ионизации от энергии налетающего электро*
на, но имеет два существенных недостатка. Во-первых, она
приводит к слишком высоким значениям <Хмакс, которые к тому
же располагаются очень близко к порогу. Во-вторых, поведение
сечения при высоких энергиях
описывается не совсем правильно. Теория предсказывает, что
При £>£ион
° г ион'^'"~§
(О.о4)
hi
в то время как в экспериментах
наблюдается, другая зависимость:
(5.35)
Дальнейшее усовершенствование модели Томсона было связано с учетом движения атомного электрона. Чтобы получить
логарифмическую
зависимость
сечения при высоких энергиях,
Гризинский использовал эвристическую функцию распределения
атомного электрона по скоростям:
Рис. 8. Функция ионизации: f—
модель Борна; 2 — модель Гризинского; 3 — модель Томсона;
пунктирные линии — опытные
данные
(5.36)
где (v) — средняя скорость движения атомного электрона.
Эту функцию трудно обосновать в деталях, хотя в целом она
выглядит правдоподобно. Гризинский предположил, что средняя
энергия атомного электрона совпадает с энергией связи. Для
функции ионизации f(x) им было получено соотношение
которое хорошо согласуется с опытными данными (рис. 8)«
Для сравнения на рис. 8 приводится кривая 1, вычисленная
в борновском приближении. Из рисунка видно, что в основной
области энергии полуэмпирическая модель Гризинского лучше
отвечает опытным данным, чем борновское приближение.
39
2. Квантовая теория. Приближение Борна
Борновское приближение представляет собой первый порядок теории возмущений для системы атом—налетающий электрон.
Рассмотрим простой случай атома водорода, возбуждаемого из состояния 0 в состояние л. Пусть i"i и г 2 — координаты
атомного и налетающего электронов, причем они отсчитываются относительно неподвижного ядра.
Волновое уравнение для двух электронов в этом случае
принимает вид
1
т
*
(VJ+ V!) + fi— — + r^- + — ] • = <>,
Г
т
12
*1
*2
(5.38)
J
где г л ^ = | г 1 — r 2 | .
Если электрон с волновым числом kQ налетает на атом, находящийся в основном состоянии с энергией £ 0 , то полная
энергия определяется выражением
(5.39)
Е = Е0 + -£-Щ9
где & 0 =
т8
h
°
; во — энергия налетающего электрона.
Чтобы получить функцию *ф в приближении, достаточном
для определения сечений упругих и неупругих столкновений,
обычно ищут решение в виде
JJrJF^r,),
(5.40)
где символ интегрирования учитывает вклад от сплошного
спектра, а функции tyn являются функциями разных состояний.
Подставляя уравнение (5.40) в (5.38) и зная, что
(
)(Гх)=0,
(5.41)
получаем
j)b£
^ f J - h W - W - O . (5-42)
где
№п •=
(5.43)
(Е—Еп).
Умножая уравнение (5.42) на i|) n *(ri) и интегрируя по
rfrb получаем бесконечный ряд совместных дифференциальных
уравнений для Еп\
„m£m,
40
(5.44)
где
г2
г12
Теперь надо найти решение этих уравнений. Решения представляют собой конечные непрерывные функции, асимптотическая форма которых имеет вид
Fn ~ е** 80п + - ^ - /„(в,, Ф2),
(5.46)
где второй член выражения, стоящего в правой части, представляет амплитуду рассеянной волны в точке (г2, 02, фг).
Дифференциальное сечение возбуждения и-го состояния
определяется соотношением
v
•
(5.47)
где du — элемент телесного угла около (0, <р).
Для решения уравнения (5.44) Борн принял, что плоская
волна, характеризующая ударяющую частицу электрона, не*
искажается силовым полем рассеивающей частицы (атома).
В этом случае
F 0 = e' k *
(5.48)
l
Vnoe***.
(5.49)
Это справедливо для энергии падающего электрона:
£в-
2т
(5.60)
В результате этого при решении уравнения (5.44) методом итерации в качестве первого приближения Борна получается следующее выражение для функции f n (0, cp):
VnOe4K*-Kn)r>dr2,
tn (в, Ф ) = - —
(5.51)
где
Дифференциальное сечение возбуждения (или ионизации)
в борновском приближении (ур. 5.51) равно
сга(0) = — - — |—£- j |У 0 Г 1 | 2 .
(5.53)
Полное сечение
od(Q)$inQdQ
41
(5.54)
для оптически разрешенных переходов может быть представлено формулой
(5.55)
где (Еп — «Ео)—разность энергий возбужденного и основного
состояний атома. Борновское приближение хорошо работает
при энергиях электрона £ ^ 1 0 0 эВ, но еще не релятивистских
значениях энергии.
Для сечения ионизации получено следующее выражение:
In lOSL f | Vox | dx.
0ион =
(5.56)
Здесь С—некоторое среднее значение между £„•—Ео порядка
Ео; и — волновое число вылетевшего электрона, энергия которого находится между — х 2 и --— (х 2 + 2xdx>.
2/п
2/71
и з этого соотношения видно, что, если Vox не равен нулю,
при больших энергиях падающего электрона сечения уменьшаются по закону
*ион~--7
с
наблюдаемому в экспериментах.
Из теории Борна следует, что существует следующая связь
между сечениями ионизации и энергией ударяющего электрона:
ИОН==
Г£
£
V
£>£
(
}
где /г —кратность ионизации; £ИОн — потенциал ионизации атома. Для сечения возбуждения получается следующая зависи*
мосты
0 /
(
ЖЯ
( 5 5 8 )
Электронный обмен может оказывать существенное влияние
на вероятность возбуждения и ионизации атомов. Приближение Борна—Оппенгеймера позволяет учесть это влияние.
3. Возбуждение атомов и молекул
а. Метод искаженных волн. Большая часть расчетов сечений возбуждения атомов выполнена в борновском приближении. Анализируя опытные данные, Месси и Бархоп показали,
что для разрешенных переходов борновское приближение
(5.55) применимо к энергиям соударения, превосходящим
примерно в семь раз энергию возбуждения (рис. 9). При мень42
Ших значениях энергии соударения вычисленные сечения могут отличаться от, измеренных в два раза и болез.
Для медленных электронов приближение Борна перестает
быть справедливым. В этом случае принимается более грубое
предположение о том, что диагональные матричные элементы
Упп в уравнении (5.45) много больше недиагональных
(тф
0.8
50
100
150
200
250
Рис. 9. Сечение возбуждения Н-атома для перехода Is—
—2р (па2•— 8,806'Ю- 17 см 2 ): 1 — борновское приближение;
2 — метод искаженных волн
Фп). Поэтому всеми недиагональными элементами, за исключением/ тех, которые связаны с начальным состоянием, можно
пренебречь. При этом получается система уравнений
(5.59)
- Vnn)Fn=VnOFot
пфО.
(5.60)
Уравнение для упругорассеянной волны F o имеет такой же
вид, как и уравнение для частицы с волновым числом Ао, движущейся под действием статического потенциала h2Voo/2m.
Уравнение для Fn может быть решено путем использования
обобщенной функции Грина. Решение имеет вид
Здесь c o s 7 = c o s Bcos 82+sin 9sin92cos(9 —-qfe),
уравнения (5.59), имеющее асимптотическую
43
Fo -^ решение
форму вида
J5.46). В то же время ЗГп — решение однородного
типа
(V4k2n— Vnn)3rn=0
и имеет вид
9п~е^ТшНп(%,Ъ)-££ъ'
уравнения
(5.62)
(5,63).
Сравнение с первым приближением Борна (ур. 5.51) показывает, что теперь учтено искажение начальной и конечной
электронных волн, обусловленное средним статическим полем
атома в начальном и конечном состояниях»
б. Случай сильной связи. В методе искаженных волн предполагалось, что в процессе возбуждения промежуточное состояние вообще не играет никакой роли. Таким образом, можно было получить сразу уравнения (5.59) и (5.60), считая, что
лр в уравнении (5.40) имеет вид
отсюда
f(rir 2 )=^o(r 1 )Fo(r 2 )+^n(ri)/ 7 n(r2),
(5.64)
( V 2 + W - Voo)Fo= VonFn
(5.65)
В приближении искаженных волн связь |V O n | считается малой, так что УопЛг — О. В некоторых случаях, когда промежуточными состояниями пренебрегают, а связь |У О п| все же достаточно сильная, удовлетворительное приближение обеспечивается уравнениями (5.60) и (5.65), которые решаются методом итераций.
в. Оптически запрещенные переходы. В случае оптически
запрещенных переходов V0n=0 (ур. 5.55),
и надо взять слеikr
дующий член разложения функции e * под знаком интеграла (5.51), что приведет к выражению
1У 0 п | 2 |Яо1.
(5-66)
В этом случае эффективные сечения возбуждения уменьшаются со скоростью более резко:
<Jon~v-\
(5.67)
чем в оптически разрешенных переходах, и имеют острый максимум (рис. 10). Такая зависимость характерна для переходов
с изменением мультиплетности. В общем случае сечения запрещенных переходов намного меньше сечений разрешенных переходов.
г. Полное эффективное сечение возбуждения. Приближенное выражение, пригодное для грубой оценки полного эффективного сечения, являющегося суммой всех эффективных сече44
ний возбуждения, дано Ситоном
в виде
°
М
Дат2
Ч
0
(
у
у
}
(5.68)
где vep — скорость электрона после столкновения; f(j, i) — сила
осциллятора линии; G — фактор
Крамерса — Гаунта.
Последний может быть написан в
виде
КГ'
=JGLlnY_£-±
л
\ \ve\—
(5.68a)
и определяет отклонение
классического.
Рис. 10. Сечение возбуждения Неатома (относительный масштаб)
для перехода 1*5—4*D (кривые
/) и для перехода 1*5—51/) (кривые 2). Сплошные кривые вычислены в приближении Ёорна—Оппенгеймера, пунктирные кривые—
опытные данные
спектрального
распределения
от
4. Взаимодействие медленных электронов с атомами
и молекулами
а. Захват электронов. Процессы столкновений, при которых
относительно медленные электроны захватываются атомами и
молекулами и образуются отрицательные ионы, происходят с
выделением энергии, так как энергия устойчивого отрицательного иона несколько меньше энергии исходного атома или молекулы.
Энергия связи избыточного электрона называется энергией
сродства атома или молекулы к электрону. Наиболее надежным способом определения энергии сродства атома к электрону является метод поверхностной ионизации, основанный ца
измерении отношения токов отрицательных; ионов двух различных элементов.
Классические измерения сечения захвата производились путем исследования ослабления электронного роя, перемещающегося в газе под действием однородного электрического поля с
напряженностью Е при давлении газа в несколько мм рт, ст.
Отношение электронных токов после прохождения отрезков х\
и Х2 равно
1и/11е = е-^*-*-),
(5.69)
где г| —«коэффициент захвата, равный вероятности захвата молекулой газа электрона при прохождении им единицы пути по
45
направлению электрического поля. Величина т] связана с эффективным сечением захвата оа формулой
{ )
(5.70)
где (ve) — средняя скорость хаотического движения, a vd —
скорость дрейфа электронов.
Более существенными являются процессы захвата электронов молекулярными газами, поскольку они зачастую сопровождаются колебательным возбуждением
дли диссоциацией
молекул. Сечение образования связанного состояния электрона и молекулы определяется формулой Брейта—Вигнера
o
( 2 / +
l )
2
"
(£-£о) + —
где Е, vy I — энергия, скорость и момент электрона; Г — полная
ширина уровня квазистационарного состояния отрицательного
иона молекулы; Гупр — ширина уровня, соответствующая его
распаду на первоначальную молекулу и электрон; Е — Ёо —
разность между энергиями отрицательного
молекулярного
иона и молекулы.
б. Колебательное возбуждение и диссоциация молекул. Сечение колебательного возбуждения или диссоциации молекулы
при столкновении с электроном, которое идет через образование отрицательного молекулярного иона, равно
(2/ + .1) - т f r{R)dRT™T»*™>
,
V
J [E-E0(R)]*+ —
(5.72)
здесь y!p2{R) учитывает распределение ядер в некоторой области расстояний, в которой может меняться и терм связанного
состояния электрона и молекулы E0(R);
Гнеупр— неупругая
ширина уровня квазистационарного состояния отрицательного
молекулярного иона, соответствующая его распаду по данному
каналу.
•
Найденное Шульцем максимальное сечение возбуждения
колебательных уровней азота электронным ударом при 2,0—
2,5 эВ составляет [3—5]-10~16 см 2 . Для водорода оно на порядок меньше и составляет при 2 эВ примерно 6-10~17 см2.
При монотонной зависимости электронного терма молекулы
от расстояния между ядрами и малых энергиях взаимодействия ядер (по сравнению с энергией диссоциации) диссоциации
практически не наблюдается при столкновении электрона с
молекулой. Отсюда мож«о заключить, что сечение диссоциации молекулы при столкновении молекулы с медленными элек*
тронами будет, много меньше^ сечений возбуждения и иониэ^а*Ц
Диёсоодадня молекулы электронным ^ударом обязана
46
электронному возбуждению молекулы. Так, например, порог
диссоциации молекулы водорода электронным ударом наблюдается при энергии электрона 8,8 ±0,2 эВ, что соответствует
3
образованию 2+-состояния и последующему обменному взаимодействию электрона с молекулой. Максимум в сечении диссоциации молекулы водорода электронным ударом наблюдается при энергии электрон^ 16,5 эВ и составляет 9Х
X Ю-
17
см 2 .
в. Рекомбинация молекулярных ионов. В плотной плазме
низкой температуры образуются в основном молекулярные
коны. Рекомбинация молекулярного иона с электроном происходит, как правило, быстрее, чем рекомбинация атомных
ионов, так как она совершается без участия третьей частицы.
Рекомбинация приводит к диссоциации иона в соответствии со
схемой процесса:
Если принять, что сечение рекомбинации не зависит ни от колебательного, ни от вращательного состояния молекул, то
*
.
8а§а
а
~
- h*
( **(е я +5 Do — е. и о н )лэф7
3
/c
-
)
7
м
В этом выражении
(5.74)
где D o — энергия диссоциации молекулярного иона в основном
колебательном и вращательном состояниях; е*ИОн— потенциал
ионизации возбужденного атома. В уравнении (5.73) /гЭф —
эффективное число колебательных состояний молекулярного
иона, в которых он может образовываться при ассоциативной
ионизации. Обычно значение (ея + А)—е*ИОн) мало (~ 1 эВ)
а статистический вес возбужденного атома ga* велик, поэтом}
сечение рекомбинации превышает сечение обратного процесса
Так, в случае реакции
при тепловых энергиях арек-^Ю"43 см2, тогда как сечение об
ратного процесса аИОн~2-10~15 см2.
§ 5. НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ТЯЖЕЛЫХ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ
1. Ионизация и возбуждение атомными частицами
Эффективное сечение возбуждения водородоподобного
ма с зарядом zae из состояния р в состояние
ударом голого ядра с зарядом zbet в первом
47
Борна можно записать в виде
00
I
(5.75)
t, мин
где
(5.76J
2
е
возб
F
H
(5.77)
6
1+
(5.78)
Здесь / — нормированные на единицу собственные функции;
Гд — радиус-вектор электрона; t — переменная интегрирования;
8iH — потенциал .ионизации атома водорода (13,595 эВ).
Математически эквивалентное выражение можно получить
с помощью метода прицельных расстояний:"
(5.79)
где Pvq — вероятность перехода, определяемая потенциальной
энергией взаимодействия, скоростью налетающей частицы и
расстоянием между ядрами.
В случае более медленных частиц, для которых борновское
приближение неприменимо, широко используется приближение
искаженных волн (рис. И ) .
Эффективное сечение возбуждения значительно меньше эффективных сечений ионизации и
составляет
(1—2) • 1017 см 2 в
случае столкновений Н+—Н 2 при
е н + = 1 — ЗкэВ.
2. Процессы перезарядки атомов
Рис. 11. Сравнение сечений возбуждения Н-атома в состояние
2р ионами Н+ и Не 2 + , вычисленных Бэйтсом в борновсюом приближении
(верхняя кривая)
и
методом искаженных волн (средняя кривая — для Н+, нижняя
кривая — для Н + )
а. Симметричная резонансная
перезарядка. Формула Розена —
Зенера. Обычная перезарядка:
X++Y->X+Y++A£
(5.80)
связана с переходом от атома мишени Y к иону Х+ одного электрона и очень малого количества
кинетической энергии. Процесс
X++Y-+X+Y+
(5.81)
48
с нулевым значением дефекта энергии носит название симметричной резонансной перезарядки. Эффективное сечение его*
по величине может.быть таким же, как газокинетическое эффективное сечение или даже больше. Теория резонансной симметричной перезарядки в ее первоначальном виде была предложена Месси и Смитом.
Это явление рассматривалось как переход между симме*
тричными и антисимметричными стационарными состояниями
квазимолекулы. Вероятность перехода вычислялась методом
возмущенных стационарных состояний квазимолекулы. Эффективное сечение перехода равно
00
(5.79a>
Вероятность перехода Р(Ь) системы в конечное состояние q
дается формулой Розена—Зенера
р
=£™'{т)-
< 5 - 82 >
где
Q(b)= ]vpqdx=
] Vqpdx,
= ] Vpqee«dx,
pq
а=Де/а, a величина Vpq — матричный элемент потенциала
взаимодействия. Формула Розена—Зенера применима к перезарядке и к процессу передачи возбуждения либо при наличии
точного баланса энергии, либо когда взаимодействие достаточно мало и справедливо борновское приближение.
Простой метод решения задачи был предложен Фирсовым.
Из формулы (5.82) видно, что при изменении Q/v значение
вероятности перехода Р колеблется между нулем и X2/Q2, и
эффективное сечение перезарядки может быть выражено в:
виде
ь*
х, - 2я [—bdb,
(5.83>
о
где Ь* — наибольший корень уравнения;
b = v/n.
(5.84)
При малых прицельных параметрах столкновения приближение
Фирсова дает
<>г=^ь'2-
49
(5-85>
На рис. 12 приведено сопоставление вычисленных по уравнению (5.85) значений а с опытными данными по резонансной
перезарядке протона на атоме водорода. Эффективные сечения
симметричной перезарядки сильно зависят от ионизационного
потенциала (рис. 13).
Симметричная резонансная перезарядка между однородными двухатомными молекулярными ионами и молекулами возможна только в том случае, когда в молекуле и ионе совпадают равновесные расстояния между ядрами и колебательные
10000
1000QO
Рис. 12. Резонансная перезарядка протона на атоме водорода: + —
расчет Дальгарно (D а 1 g a r n о Ам Y a d о v H. D.//Proc. Phys. Soc.
1956. Vol. A69. P. 615); A — расчет Мурахвера ( М у р а х в е р Ю . Е.//
//ЖЭТФ. 1962. Т. 42. С, 1241)
уровни. В связи с тем, что такое совпадение встречается редко, эффективное сечение уменьшается вследствие нарушения
принципа Франка—Кондона.
б. Несимметричная перезарядка. Адиабатический критерий
Месси. В случае несимметричной перезарядки (между разнородными ионами и атомами) проблема сложна даже при больших скоростях относительного движения, поскольку неизвестен
потенциал взаимодействия.
Процессу перезарядки между разнородными ионами А+ и
атомами В соответствует дефект внутренней энергии:
Ае=8ион(А) —8ион(В).
(5.86)
Эффективные сечения малы при самых малых энергиях; с увеличением энергии они растут, достигают максимума и далее
уменьшаются, как и в случае резонансного процесса. Месси
был ^предложен так называемый «адиабатический критерий».
50
Обычно имеется область взаимодействия, в которой энергия
относительного движения так мала, что движение электронов
как бы приспосабливается к небольшим изменениям межъядерного расстояния. Это адиабатическое приспособление делает
вероятность рассматриваемого перехода столь же малой, как
и при полном отсутствии относительного движения частиц.
о2
б,А
то
ю
1 tie
10
20
50 100
и, ем - с
Рис 13. Зависимость сечения
симметричной перезарядки от
ионизационного
потенциала:
вертикальными линиями обозначены
экспериментальные
данные (верхняя черта) и расчетные данные Фирсова (нижняя черта)
Рис. 14. Сравнение расчетных и
опытных
сечений перезарядки:
/ — Не+—Ne(|Ae| =-3,02 эВ); 2 —
Не+—Не(Де=0); 3 — для процесса Н е + — Н е ( | Д ё | = 3 эВ)
Пусть Ae(Q)—разность двух любых адиабатических термов в точках конфигурационного пространства ядер, a l(Q) —
характерная длина, на которой существенно меняется волновая функция быстрой подсистемы (электронов). Если скорость
относительного движения ядер v, то критерий Месси
(5.87)
'эл
дает отношение времени прохождения медленной системой отрезка к характерному времени движения быстрой подсистемьи
В теории неадиабатических переходов показано, что в тех областях конфигурационного пространства медленной подсистемы, где параметр Месси велик (|^>1), неадиабатические переходы маловероятны, поскольку при малых v быстрая подсистема успевает безынерционно следовать за медленной. Это зна51
чит, что может быть использовано адиабатическое приближение.
В тех областях, где условие £^>1 нарушается, неадиабатические переходы могут происходить с большой вероятностью.
При этом e(Q) теряет смысл потенциальной энергии, и движение медленной и быстрой подсистем нельзя рассматривать независимо; поэтому вычисление вероятностей и сечений переходов, осо&енно в области не очень высоких энергий, является
трудной задачей. В этих случаях эффективные сечения нерезонансной перезарядки выражаются формулой Раппа и Френсиса
• - J - * {'•£•(•?• Л «••
<5 М)
-
где
Рассчитанные по этой формуле и ойытные значения эффективных сечений перезарядки Не+— Ne приведены на рис. 14.
Эффективные сечения перезарядки определяются не только дефектом энергии и потенциалами ионизации, но и статистическими весами. Из принципа детального равновесия отношение эффективных сечений неупругих процессов столкновений, идущих в прямом и обратном направлениях, пропорционально отношению статистических весов конечного и начального состояний системы:
4г = — .
(5.89)
а,
ft
Это отношение применимо не только к прямым и обратным
процессам. Оно позволяет сравнить эффективные сечения двух
процессов, обладающих различными статистическими весами,
тсоторые имели бы одинаковые эффективные сечения, если бы
этого различия,не было. Примером могут служить процессы
случайного резонанса, например, для Н+—Н и 0+—Н, когда
ионизационные потенциалы фактически одинаковы, а отношеяие статистических весов равно 3/2. Указанные процессы исследованы Файтом и сотр. (рис. 15)'.
в. Псевдопересечение кривых потенциальной энергии. Формула Ландау—Зенера. Если рассматривать процесс перезарядки на основе двух кривых потенциальной энергии начального
и конечного состояний системы, то с классической точки зрения возможно такое положение, при котором кривые пересекаются. В квантовой теории подобная ситуация должна встречаться редко, однако можно рассчитать для этой системы две
кривые собственных энергий при межъядерных расстояниях,
близких к точке классического пересечения. Вид этих кривых
показан на рис. 16 (вверху).
52
Переходы могут происходить в области пересечения, в месте, где форма кривых потенциальной энергии искажена. Вероятность перехода в точке пересечения вычислена Ландау к
Зенером.
10 20
50
200
WOO
5000
-7
Рис. 16. Расчетные значения интеграла &(ц) по данным Моисейвича
Рис. 15. Эффективные сечения перезарядки: Н+—Н и Н+—О
Формула Ландау—Зенера для вероятности перехода имеет
вид
Р=е-Угу
(5.90)
где
Выражение
w
= ^7-^) -
у ^ ^ Г ф * {—\ Нф„ ( — \ dr
(5 91)
*
(5.92)
получило название матричного элемента взаимодействия. Здесь
Н — оператор Гамильтона; <рт и ф п — ортогональные линейные
комбинации волновых функций г|)т и фл. Переменная г определяет положение электрона, совершающего переход относительно середины межъядерного расстояния R (в случае* классического пересечения R=RX).
В качестве матричных элементов
можно принять разность собственных значений энергии. Разность энергий в точке пересечения, соответствующую Vmn9 обозначим через Д£//?^. Если эта величина известна, то эффективное сечение можно представить в виде
(5.93)
где
(5.94
53
AUr
(5.95)
Здесь JLX — приведенная масса; (п+ 1) — кратность заряда,
сталкивающегося с атомом иона; Р — вероятность образования
конечного состояния, определяемая законом сохранения спина и его проекции. Интеграл У(ц) может быть записан в виде
комбинации неполных гамма-функций. Моисейвич вычислил
его значение и показал, что при г)=0,424 3?(ц) достигает максимальной величины 0,113 (см. рис. 16). Формула Ландау—Зенера удовлетворительно описывает процессы перезарядки многозарядных ионов на атомах и рекомбинацию положительного
и отрицательного ионов.
§ 6. СТОЛКНОВЕНИЯ ВОЗБУЖДЕННЫХ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ
1. Передача возбуждения
Процесс
(5.96)
при котором возбужденный атом X*, сталкиваясь с атомом Y,
находящимся в основном состоянии, переходит без излучения
в основное состояние, а другой
атом переходит в возбужденное
состояние, впервые был рассмот50
рен Франком.
»
Ранее отмечалось, что в про40
цессе (5.9£) столкновения двух
одинаковых атомов
возникает
30
«обменное» взаимодействие, обратно пропорциональное третьей
20
степени расстояния.
Первые
экспериментальные
10
исследования процесса (5.96) названного «сенсибилизированная,
флуоресценция», были проведены
%
Карио и Франком. Они облучали
смесь паров ртути и таллия ртутной лампой и^измеряли интенсивРис. 17. Интенсивность, излучения
ность испускаемых линий таллия.
атомов Na, возбужденных атомаНа рис. 17 представлены резульми Hg , находящимися в состояниях 6 Р и 6 Pi
таты опытов по взаимодействии*
возбужденных атомов ртути с
атомами натрия. Как видно из рисунка, при прочих равных условиях вероятность процесса тем больше, чем меньше дефектэнергии.
5
+
3
3
0
54
Вигнером было показано, что из всех возможных процессов
передачи энергии с примерно одинаковым значением |Де|
наиболее вероятен процесс, при котором полный результирующий спин двухатомной системы остается прежним (правило
Вигнера).
2. Тушащие столкновения
Тушащими называются столкновения, при которых в результате добавления небольшого количества примесного газа
сильно уменьшается интенсивность резонансного излучения
разряда. Резонансные* возбужденные состояния разрушаются в
результате процессов типа
(5.97)
где YZ*— колебательно-возбужденная молекула.
Столкновения с тушением иногда могут происходить и без
возбуждения колебаний, но такие процессы возможно только
в случае очень малых значений разности внутренних энергий,
например
Na (3 2 Р 3 / 2 ) + Ar-*Na (3 2 P 1 / 2 ) +Аг+Де.
3. Столкновения метастабильных атомов
Если атом находится в состоянии, для которого дипольное
излучение запрещено, то излучение все же возможно, если в
процессе столкновения с другим атомом образуется квазимолекула в таких состояниях, из которых переход является разрешенным. Это явление известно как излучение, индуцированное столкновением. В результате такого процесса, например,
l
разрушается метастабильное состояние гелия 2 S и в спектре
гелия появляется непрерывная полоса в области 600 А:
Кванторо-механические расчеты эффективного сечения процесса, приводящего к излучению, индуцированному столкновением, были выполнены Крамерсом и Тер-Хааром. При тепловых энергиях среднее эффективное сечение такого процесса
равно
(5.98)
0
где
&{r)
=
[vre
ldto r .
(5.99;
Здесь jx(r) — дипольный момент, соответствующий определенному молекулярному переходу при межъядерном расстоянии г;
jx — приведенная масса; g — статистический вес начальных с о
стояний молекулы; Ьмакс — максимальное значение прицельного параметра столкновения, согласующееся с выбранными значениями относительной скорости vr\ V(r) и
Vm(r)—потенциальные энергии взаимодействия двух атомов в основном состоянии и взаимодействия атома в метастабильном состоянии
с атомом в основном состоянии.
При столкновении атома Не* в состоянии 2lS с атомом Не
в основном состоянии соответствующими молекулярными . состояниями являются 2 J 2 M и 212/?,
Из них последнее в результате радиационного перехода может перейти в состояние l ] 2g. Среднее эффективное сечение
этого процесса при 300 К, вычисленное по формуле (5.98) г
оказалось равным 0,9-10~20 см2.
В присутствии третьего атома или молекулы увеличивается
вероятность образования молекулы Нег в результате «прилипания» возбужденного атома Не* к атому Не в основном состоянии. Время жизни . молекулы Нег (состояние 3 3 2 W +) составляет ~ 0,05 с.
При столкновении метастабильных атомов с атомами или
молекулами более легко ионизуемого газа может происходить ионизация Пеннинга, например
He(2 1 S) + Аг->Не+Аг++е+Де.
(5.100)
§ 7. ИОННО-МОЛЕКУЛЯРНЫЕ РЕАКЦИИ
Простейший процесс ионно-молекулярной реакции может
быть представлен в виде
X++YZ-+X+Y+Z.
(5.101)
К таким процессам относятся:
а) процессы с переходом протона
H2S+ + Н 2 О-> HS + Н 3 О+;
б) процессы с переносом атома водорода
Н 4 -+ C2Ht + С 2 Н 3 ;
в) процессы с переносом гидрида
R+ + R 2 H - *
и многие другие.
Весьма часто константы скорости реакций ионов с молекулами не зависят от температуры и обладают большими сечениями (до 10" 14 см 2 ). Указанные эфф.екты связаны в основной
с дальнодействующими силами притяжения между ионами к
поляризуемыми молекулами или диполями.
56
В силу закона сохранения момента количества движения в
системе центра масс траектории движения частиц полностью
определяются прицельным параметром Ь и энергией относи-
Рис. 18. Различие в траекториях ионно-молекулярных реакций:
1 — траектория, не ведущая к реакции; 2 — траектория, приводящая к реакции
тельного поступательного движения Е (рис. 18"). Радиальное
движение происходит в поле эффективного потенциала:
т/
/„
1_\
т/ /„\
I
О Е
(5ЛО2)
где
V(r)=-
2r*
(5.103)
*— потенциальная энергия взаимодействия иона с молекулой
по Ланжевену, а — поляризуе- Рис. 19. Эффективный потенциал
моеть молекулы, г — расстоя- УЭФ^, Ь) для образования ионномолекулярной пары
ние между «оном и молекулой.
Если энергия поступательного движения такова, что ионмолекулярная пара может преодолеть центробежный барьер
V(r*, b) (рйс. 19), то вероятность протекания реакции достаточно велика.
Функция. УЭф(г) имеет максимум при Гг=*г*% где
( 5 1 0 5 )
57
Для преодоления такого потенциального барьера необходимо выполнение условия
(5.106)
| ^
Это условие определяет максимальное (критическое) значение
прицельного параметра Ьс (при заданном значении Е), при котором возможна реакция
Г(£)"*•
(5 107
->
Если обозначить вероятность реакции через Р л (ft, £), то сечение реакции можно записать в виде
Ь
Ъ
с
с
aR (v) = 2я J PR (6, Е) bdb ^ л J doR (6, Е).
о
о
Отсюда для экзотермической реакции (Р*(6, Е) = \)
-> t \
U9
2jl
У
а^ (о) = л*2 = — J
а е 2
\
1/2
(5.108)
/с
J ;
mnv
(5.109)
для эндотермической реакции (Ря(Ь, £) = 0 ) а я =?0.
Поскольку в уравнении (5.109) сечение реакции оказывается пропорциональным v~\ то vaR(v) не зависит от скорости, a ka не зависит от температуры. При равновесном распределении частиц По скоростям поступательного движения выражение для статистической константы скорости:
k0 (Т) = J vaRfx+ (v x+ ) Ьг (VYZ) dv x+ dv YZ
(5.110)
приобретает вид
о
Подставляя в уравнение ( 5 . I l l ) dv = 4nv2dv,
32
J^We-
получим
2ftr
A.
(5.112)
о
Из уравнений (5.109) и (5.112) после интегрирования найдем
— y2.
(5.113)
С учетом вероятностного фактора PR(V, E)> уравнение (5.113)
примет окончательный вид
^£)(-у-) 1 / 2 .
58
(5.114)
Факт независимости константы скорости от температуры
явился основной предпосылкой для теоретической интерпретации данных, полученных при исследовании реакций между
ионами и нейтральными молекулами.
Сечения ион-молекулярных реакций при энергиях 5—100 эВ
можно измерять методом скрещенных пучков. Специфические
трудности, которые возникают при анализе продуктов по массе,, разрешаются с помощью квадрупольных масс-спектрометров.
Наиболее перспективные методы исследования ион-молекулярных реакций при тепловых энергиях основаны на классическом измерении подвижности ионов в ионизованных газах и
коэффициентов скоростей распадающейся плазмы.
Проще всего определять сечения для атомарных ионов, так
как при "отсутствии процессов ионнр-атомного обмена или перезарядки их концентрация уменьшается лишь в результате
сравнительно медленных процессов диффузии и рекомбинации
с излучением. Так, например, экзотермический процесс
О++О*->О 2 + +О
приводит к исчезновению ионов 0 + с частотой столкновения
Vj = crtnOf (y Q +) =
fc/rtcv
(5.115)
Если пренебречь рекомбинацией с излучением, то уменьшение
концентрации ионов 0 + в распадающейся плазме будет определяться уравнениями
-0°L =£) a V 2 n o + —vn o + >
(5.116)
(5.117)
(5.118)
где lD — диффузионная длина (ia*=V*tDt)t
а р —полное давление газа.
Результаты измерений времени спадания
концентрации
ионов анализируют с помощью графика зависимости р/х от
давления р\ наклон кривой дает величину pvu а ее пересечение
с осью ординат —величину Dajl2DБолее общей задачей при исследовании распадающейся
плазмы является изучение процесса взаимного
превращения
ионов двух типов, концентрация каждого из которых уменьшается в результате процессов диссоциативной рекомбинации,
характеризующихся не слишком малыми скоростями cti и аг и
коэффициентами амбиполярной диффузии DOi и D f l t . В этом
59
случае скорость взаимного
можно записать в виде
превращения
ионов
двух типов
г
я1+...,
(5.119)
..V»»,'*...
dt
Здесь k\2 — коэффициент скорости процесса взаимного превращения ионов 1 и 2, kij и ^ — коэффициенты скорости всех
О
F
о
0.5
20
40
:
60
t,MKC
Рис. +20. Зависимость
/?=
= [O2 ]/[N 2 + ] от / в распадающейся плазме
Рис. 21. Фотоионизация
или ионов
атомов
остальных процессов взаимного превращения. Скорость изменения отношения концентрацией ионов пх+ и n2+(R = n2+/n{+)
выражается уравнением
= /? {(«1—a2)n#+-(*iy~*a/l
(D v 2 n 9 + -D v*n +\]
+ ( — ^ — ^ l- I i + k12n2(1 + R).
.119a)
(5.1
В пределе, при малых значениях Ry первое слагаемое мало,
поэтому
—
= k12n2.
(5.1196)
Типичный вид функции R{t) представлен на рис. 20.
Условия, обеспечивающие малые значения R, выполняются
во многих случаях распада плазмы.
60
Глава 6
ФОТОВОЗБУЖДЕНИЕ И ФОТОИОНИЗАЦИЯ
§ 1. СЕЧЕНИЕ ФОТОВОЗБУЖДЕНИЯ И ФОТОИОНИЗАЦИИ АТОМОВ
1
При поглощении излучения, сопровождаемого переходом
(«резонансное поглощение»), максимальное значение эффективного сечения поглощения дается выражением
М у/2
Если энергия фотона достаточно велика, атом или ион могут
ионизоваться. Закон сохранения энергии в этом процессе приводит к следующему соотношению (рис. 21):
(6.2)
здесь v-—скорость свободного электрона; е* — энергия уровня,,
на котором находится атом или ион перед поглощением; v* —
нижняя граница для частоты света, при которой может произойти фотопоглощение с уровня L Атомное эффективное сечение рассматриваемого процесса есть сечение фотоионизации7
(V). ОНО зависит от частоты и обращается в нуль, если*
Согласно пол у классической теории сечение фотоионизации
для водородоподобных систем (Не+, Li++ и т. д.) имеет вид
«ГМ-с^.
(б.з>
где л — главное квантовое число; z — число валентных электронов, которые «видит» излучающий электрон (Н, 2 = 1 ; Не+
2=2 и т. п.). Постоянная С{ равна
Квантово-механический расчет приводит к следующему выражению для сечения фотоионизации:
| j , f f l 2 m > m ' ^ w | \ (6.4)
где т и т' — магнитные квантовые числа для нейтрального
атома 2=1. Волновая функция tl>i,m' описывает атом или ион
в основном состоянии. Расчет матричных элементов в (6.4)
представляет большие трудности. Число точных расчетов сечений фотоионизации (методом Хартри-Фока) мало. Выполг
ненные расчеты показывают, что формула (6.4) дает значение
61
= AF' {С/_л| ]fp(n9
l)(r)fq(ee, /
2
)(r)/,(ee, /+ I)(r)r3dr| }.
(6.7>
Здесь все fp n fg — радиальные волновые функции для главного и азимутального квантовых чисел п и / (р — 'начальное» zt
q — конечное состояния). Все С — численные коэффициенты,
табулированные в работах Бейтса и Ситона, А — нормирующий множитель. Поправочный множитель F' — аппроксимируется произведением по всем электронам, не принимающим участие в переходе
] fp(n,l)(r)fq(n, l)(r)r*dr[
(6.8)
6
К сожалению, из-за отсутствия точных данных о ходе кривой потенциальной энергии вблизи ядра очень трудно получить
точные радиальные функции уравнения Шредингера. Тегё не менее Ситоном .была получена аналитическая форма решения, выраженного через отрицательные собственные значения ее, которые связаны с квантовыми дефектами. В этом случае собственные функции свободных состояний определялись с. помощью
квантовых дефектов серий термов. Для связанного состояния
использовались водородные собственные функции.
Метод квантового дефекта успешно применен Берджессом
и Ситоном к Не, Li, С, N, <VNa, Mg, К, 0+ Ne+, Na+, Mg+,
Si+ и Са+.
§ 2. СЕЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОННО-ИОННОЙ РЕКОМБИНАЦИИ
Зная сечение фотоионизации, можно также определить и
сечение а р е к обратного процесса
X++e->X+/iv,
(6.9)
которое нельзя практически измерить из-за малой интенсивности излучения в сплошном спектре. С другой стороны, прямому определению сечения этого процесса мешают процсхЬдящие
с большой вероятностью конкурирующие процессы, такие, как
диссоциативная рекомбинация с излучением
X2++e->X+X+/iv
и ударная рекомбинация с излучением
X++e+e-+X+e+hv.Поэтому для определения сечения рекомбинации а р е к обычно
63
пользуются соотношением, вытекающим из принципа детальното равновесия:
(6.10)
<7фотоион
тде go и gi — статистические веса атома и иона;
нетические энергии фотона и электрона. Спин
электрона учтен коэффициентом 2.
и ее — кисвободного
§ 3. ФОТОПОГЛОЩЕНИЕ МОЛЕКУЛ
Рассмотрим теперь фотопоглощение для ряда важных молекулярных газов О 2 , N 2 , H 2 . Данные для кислорода приведены на рис. 23. Примерно с 1750 А начинается диссоциационный
континуум, примыкающий к полосам Шумана—Рунге. Второй
континуум находится у ионизационной границы 1040 А. Наблюдается также третий континуум, который начинается с
763 А и обусловлен, вероятно, наложением трех ионизационлых процессов наряду с диссоциацией.
У азота в области длин волн, превышающих границу фотоионизационного континуума, который начинается ниже 800 А,
наблюдались две ридберговские серии полос.
У водорода фотоионизационный континуум трудно идентифицировать из-за перекрытия полос и диссоционного континуума, лежащего в области более коротких волн.
Следует указать на некоторые интересные особенности спектра поглощения молекул вблизи порога диссоциации. Первое
из них — это явление предиссоциации, которое обычно объяс-,
няется псевдопересечением потенциальных кривых. В некоторых спектрах поглощения высокие колебательные полосы
отсутствуют либо имеют размытую вращательную
тонкую
•структуру. Молекулы, попадающие в эту область при возбуждении, нестабильны, и часть из них может переходить в не-
Рис. 24. Кривые потенциальной энергии молекулы в состоянии А и в различных типах возбужденного состояния В: D — предиссоциация, X — точка псевдопересечения потенциальных кривых
64
стабильные или стабильные состояния с последующей диссоциацией. Таким образом, диссоциация может происходить при
энергии, меньшей, чем диссоциационный предел (рис. 24).
§ А. МНОГОКВАНТОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
Процессы, в которых атомом или молекулой одновременно
поглощаются или испускаются два или более квантов света,
называются многоквантовыми. Эти процессы подчиняются другим правилам отбора, нежели одноквантовые процессы. Так
как вероятность даже двухквантовых процессов на много порядков меньше вероятности одноквантовых процессов, многоквантовые процессы можно наблюдать только при поглощении
излучения очень высокой интенсивности, какое можно получмть, например, в сверхмощных лазерных пучках.
Эффективное сечение фотопоглощения в двухквантовом процессе дается формулой
1 ^ Y ( ± \ .
8 2 AV
(6.11)
Здесь е — диэлектрическая проницаемость вещества; F — интенсивность падающего светового потока; Av — ширина полосы поглощения около частоты 2v; Kr — длина волны падающего света.
Таким образом, число случаев возбуждения пропорционально квадрату интенсивности излучения. Вероятность процесса
максимальна, когда энергия перехода наиболее близка к 2/iv
в двухквантовых и к nhv в многоквантовых процессах!
Глава 7
ЭЛЕКТРОННО-ИОННАЯ РЕКОМБИНАЦИЯ
Общие понятия
Рекомбинация и ионизация в плазме являются результатом многих столкновительных: н -излучательных процессов, а
также процессов переноса. Однако в оптически тонкой квазистационарной плазме можно пренебречь процессами переноса
и описать коэффициенты скоростей рекомбинации и. ионизации как функции двух параметров: электронной плотности
п(с) (c=continuum, или свободные электроны) и электронной
температуры Те. В случае, когда плотность нейтральных частиц
(атомов) сопоставима с плотностью электронов, необходимо
учитывать влияние на электронные процессы в плазме столкновений с нейтральными частицами. Для вычисления коэффициентов скоростей рекомбинации и ионизации в плазме обыч65
но используется система сцепленных кинетических уравнений,
учитывающих все возможные столкновительные и излучательные процессы при определенных заданных параметрах плазмы. Рассмотрим вначале каждый возможный процесс в отдельности.
§ 1. ОСНОВНЫЕ СТОЛКНОВИТЕЛЬНО-ИЗЛУЧАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
1. Ионизация
электронами:
частиц
вида
A(z~1)+(p) при столкновении с
где р > 1 .
Скорость такого процесса равна
(7.1)
где п(р) — концентрация ионов на уровне р; п (с) — концентрация электронов.
Коэффициент скорости любого элементарного процесса при
максвелловском распределении сталкивающихся частиц по
скоростям равен
]
-
(7 2)
'
Ш
где <и> — средняя относительная скорость частиц. Поперечное сечение ионизации электронами р-го уровня
-*-) Jph-^f-
In (1,25(5//,).
(7.3)
Здесь
l/
W
&
*2, гр =
^{
SP — число эквивалентных электронов на уровне р, подлежащих ионизации (для Н : | р = 1 ) ; fp — сила осциллятора для
процесса ионизации с уровня р, в расчете на 1 электрон -(/i e = 0,66; / 2 =0,71; /з==0,81; f 4 =0,94; / Р > 5 = 1 ) ; еР - энергия ионизации с р-го уровня.
После интегрирования уравнения (7.1), при максвелловском
распределении частиц по скоростям, можно получить следующее выражение для коэффициента скорости ионизации частиц
при столкновении с электронами:
(^)
66
fc),
(7.4)
где
a
Y x (P, x) = J [ ( 1 - -£•) e-« In (1,25fh*/*)] d«
(7.4a)
(YiC'P, x) — квантово-механическая поправка для атомов).
2. Рекомбинация ионов при тройном столкновении с электронами:
А2+ (1) +е + е ->А^Ц
Скорость процесса равна
^
(
c
)
]
(7.6)
\
где
В соответствии с принципом детального равновесия коэффициент скорости тройной столкновительной электронной рекомбинации частицы на уровень р представим в виде
Здесь gp — статистический вес2 уровня р (для водорода и водородоподобйых ионов gp=2p
); gz — статистический вес основного состояния иона Az+ (1) (для 1протонов £г=1); 2 —
статистический
вес электрона
(+ /2
и .—Уг); Q^=
~(2nmekTe)z/2lh}
— статистическая сумма поступательного движения электронов.
3. Излучательная рекомбинация ионов:
Скорость ^процесса равна
- ^ - = Р( С ,р)п 2 (1)«(с).
(7.7)
Коэффициент скорости излучательной рекомбинации равен
l 4
?
/ 2 3
[-Et^p>]eV
(7.8)
Здесь Gp —. эффективный фактор Гаунта (Gi==0,8; G p >i=l,0);
—Ei(—JC) — интегральная показательная функция:
(7
02>
67
-9)
где С — постоянная Эйлера:
k=\
4. Фотоионизация частиц с уровня р:
Скорость процесса равна
(7.10)
Коэффициент скорости фотоионизации зависит от поля излучения pv для частот выше ионизационного предела v/. Согласно
Элверту вероятностный коэффициент ионизации
(7.11)
г
эф
здесь во — сечение рассеяния электронов по Томсону:
un = z2e\Hln2kT; a=l/137 — постоянная тонкой структуры Зоммерфельда; h{. — множитель, учитывающий ионизацию возбужденных уровней наряду с основным состоянием
(h\>l).
В свою очередь fx — множитель, учитывающий неточность использованной при выводе уравнения (7.11) формулы Крамерса
65я 4
для коэффициента поглощения х, а V — поправка на заполнение полости газом в формуле Планка для плотности излучения:
p
v
1) •
(
7
Л
1
а
)
Чтобы избежать вычисления pv из уравнений радиационного
переноса, фотоионизацию представляют в виде отрицательной
спонтанной рекомбинации, скорость которой будет равна
.-р(с,р) Л 1 (1)я(О(1-Ч).
( 7 - 10а >
Величина |х=1—А,р является множителем, учитывающим поглощение фотонов частицами на уровне р. При |Лр=0 ( V = l ) плазма разрежена и фотоионизация отсутствует, при | i P = l (Яр=0)
плазма непрозрачна (оптически толстая) и скорость излуча68
тельной рекомбинации сбалансирована скоростью фотоионизации.
5. Электронное возбуждение частиц с уровня р:
Скорость процесса равна
Л^-
= -гК(е)(Р,Я)п(р)п(с).
<7Л4)
Поперечное сечение процесса запишем в виде
'"
) fMU).
(7.15)
где
(7.15а)
-ер),
для атомов ( 2 = 1),
0,302 для 1<(/ P .,<3,$|j5,
и
,25pp,//p,<7) Для (У м > 3,85
(7 156)
* '
v
для ионов
Обычно принимают pPt<7« 2 для атомов и р/мг=1 для ионов. Если распределение частиц по скоростям максвелловское, то после интегрирования уравнения (/.14) получают следующее выражение для коэффициента скорости электронного возбуждения:
= 8,69 • 1 0 - ^ г - з -±-\
где
^
t
и р ч 1 д л я ионов>
(7.16)
.
— e fl
Выражения для 4Y(p, x) и ^ ( Р , х) даны в работах Дравина.
5(а). Электронное возбуждение частиц с более низких уровней на уровень р:
A(2~1}+ (/) + е -» А (2 - ]) + (р) + е. j < р.
69.
Скорость такого процесса равна
^
=*<<>(/, ,)„(/)» (с).
Выражение для К(еЩ, р) дано уравнением (7.16).
6. Электронное девозбуждение частиц с уровня р:
Скорость процесса равна
Л*М.^-.К«(р,1)п(р)п(с).
(7.17)
Согласно принципу детального равновесия коэффициент скорости электронного девозбуждения частиц с уровня р равен
K{e)(P,i) = JLK{e)UrP)eup>>\
(7.18)
6(а). Электронное девозбуждение частиц с более высоких
уровней на уровень р:
A(z~1}+ (?) + е-> A(z~l)+ (р) + е.
Скорость этого процесса равна
Выражение для K(e)(q> р) дано уравнением (7.18).
7. Спонтанное девозбуждение частиц с уровня р:
Скорость процесса равна
Коэффициенты скорости спонтанного девозбуждения частиц с
излучением, или, иначе, вероятности спонтанных электронных
переходов А (р, /), равны
//tp.
(7.20)
Силы осциллятора при поглощении f]tP определены для атомных и ионных линий многих элементов.
7(а). Спонтанное девозбуждение частиц с более высоких
уровней на уровень р:
70
Скорость такого процесса равна
dt
Выражение для A (q, p) дано уравнением (7.20).
8. Фотовозбуждение частиц на уровень р:
Скорость процесса равна
£L
(7.21)
Коэффициенты скорости возбуждения частиц при поглощении
излучения зависят от плотности излучения. Однако в данном
случае, как и при фотоионизации, влияние поля излучения
можно заменить коэффициентом реабсорбции (1— V/)- Благодаря этому скорость возбуждения частиц при поглощении излучения можно представить как
(7.21а)
K,i).
Линия может быть оптически толстой, если Хр,/<1, и оптически тонкой, если Хр,/=1.
8 ( а ) . Фотовозбуждение частиц с уровня р на более высокие
уровни:
Скорость этого процесса равна
Выражение для. Л (qy p) дано уравнением (7.21а).
§ 2. СТОЛКНОВЕНИЯ ТЯЖЕЛЫХ ЧАСТИЦ С ТЯЖЕЛЫМИ ЧАСТИЦАМИ
B(2~°+(l),
ВИДА
НАПРИМЕР С АТОМАМИ ВОДОРОДА
1. Ионизация частиц вида
(г
А -
!)
{2
+
Р$*~1)+(р):
1)
(р) + В ~ + (1) - * А
2
(
+
+ е + В *-
1}
+
(1).
Скорость процесса равна
=
_ # с * (р, с) п (р) « г _, (1).
71
(7.22)
Поперечное сечение процесса равно
Н \2
(—
Р
1 -^rfplp • 'т
6п /
"*Н
—.
г*
(7-23>
tTla -\~ Ше
где m a — масса ударяющей частицы вида B (2 "" ]) +(l); Wp —
приведенная поступательная энергия сталкивающихся частиц
1177
£
&D
(7.23а)
Интегрирование уравнения (7.22), при максвелловском распределении тяжелых частиц, дает выражение для коэффициента
скорости ионизации при столкновении с тяжелыми частицами
(например, атомами водорода) в системе центра масс:
> (р, с) = of (va) = 32nal ( i i - ) Цр х
8
где Та — температура тяжелых частиц;
2 6.
wp = -—£- =
».
и
' (7.24а>
(/Пд -|~ /Tig) .
2. Рекомбинация ионов при тройном
электронами и тяжелыми частицами:
столкновении их t
Скорость процесса равна
J^£L = K{a)(c,p)nz(\)nz-l(l)n(c).
(7.25)
at
Коэффициент скорости рекомбинации ионов при тройном столкновении с тяжелыми частицами, например с атомами водорода, равен
К(а)(с
D)-
gp
XJ ^ A
тате
/2
ехр ( _ ир + 2и]Г wl h
72
(7.26)
(а)
W
Так как К (р, с) пропорционален е P, ТО при Та=Те
экспоненциальный множитель в КРЦс, р) равен
l /2
общий
x /2
ехр ( — wp—ир + 2u p
w p ) = 1.
3. Возбуждение частиц с уровня р:
(2
2
(z
А " ^ (р) + В* "^ (1)-> A ~
!)
{2 1)
+
(q) + В ~ + (1).
Скорость процесса равна
JS^Ls=-KiA{p9q)n(p)n^l(l)i
(7.27>
По аналогии с уравнением (7.23) для ионизации поперечное
сечение процесса возбуждения равно
х
где
•P
|ep—ea|
Интегрируя уравнения (7.27), получим при максвелловс^ом
распределении частиц по скоростям выражение для коэффициента скорости возбуждения частиц с уровня р при столкновении с тяжелыми частицами:
где хюр;я— '8/?>~£^'
t
а вид функции ^ т (х)
дан в уравнении
(7.24а).
3(а). Возбуждение частиц с более низких уровней на уровень р:
(2 1}
- + (1)-^ A (2 - 1} + (р) + В* 2 " 0 * (1).
Скорость такого процесса равна
Выражение для /C(a)(/> P) дано уравнением (7.29).
73
4. Девозбуждение частиц с уровня р:
(
!)
(
!)
А *- + р + В - + (1) -
1)
+ (1).
Скорость процесса равна
dn(p)
=
dt
(7.30)
{a)
-K (P,i)n(p)n2-X(l).
Коэффициент скорости девозбуждения частиц с уровня р при
столкновении с тяжелыми частицами равен
С«(/. р)е—/^.'
(7.31)
4 ( а ) . Девозбуждение частиц с более высоких уровней
уровень р:
(z
#*-% (q) + B -"
!)
+
(1) -
(р)
на
(1).
Скорость этого процесса равна
K(q,p)
Выражение для /С(а)(<7> р) дано уравнением
(7.31).
§ 3. ПРОЦЕССЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ЗАСЕЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ
УРОВНЕЙ В ПЛАЗМЕ
Рассмотрим в качестве примера схему энергетических уровней атомов водорода (рис. 25), на которой сплошными стрелками изображены процессы, уменьшающие населенность р-го
уровня, а пунктирными — увеличивающие ее.
'У/////////////////////////,
Итак, р-й уровень заселяется за
счет следующих процессов.
i I
1. Электронное возбуждение с
I
более низких уровней:
ti
til
•л
10,2-
I
I
Рис. 25. Схема энергетических
уровней атома водорода
п(с)
2. Электронное девозбуждение с
более высоких уровней:
K{e)(q,p)n(q),
^
здесь р* — номер наиболее высокого, еще связанного
2
= 1,08-. 10*2/г71/6,
74
уровня:
(7.32)
a <d+> — среднее расстояние между заряженными частицами.
3. Возбуждение частиц A(z~1)+ (/)• с более низких уровней
тяжелыми частицами B(z~1)+(1): .
l
4. Девозбуждение частиц \Ai*- >(q) с более высоких уровней
тяжелыми частицами:
5. Фотоврзбуждение частиц A(z~J)+(/)
ней:
с более низких уров-
6. Спонтанное девозбуждение частиц A{z~~l)+(q) с более высоких уровней:
£ A(q,p)n(q).
7. Излучательная рекомбинация ионов:
с9 р ) .
8. Рекомбинация ионов при тройном столкновении с электронами:
Пш'(1)[п{с)7КЩс9р).
9. Рекомбинация ионов при тройном столкновении с тяжелыми частицами:
п,(1)п(1)п[с)К<лЦс9р).
Уменьшение населенности р-го уровня обусловлено следующими процессами.
1. Электронное возбуждение на более высокие уровни:
-п(р)п(с)
2. Электронное девозбуждение на более низкие уровни:
()
75
3. Возбуждение тяжелыми
уровни;
частицами
на более высокие
-п(р)п(\) £
4. Девозбуждение
уровни:
тяжелыми частицами на более низкие
)
5. Фотовозбуждение на более высокие уровни:
A(q,p)n(q)(l-K<,tP).
6. Спонтанное деёозбуждение на более низкие уровни:
7. Ионизация при столкновении с электронами:
8. Ионизация при столкновении с тяжелыми частицами:
-я(р)я(1)#С<">(р, с).
9. Фотоионизация:
§ 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ КИНЕТИКИ ЭЛЕКТРОННОИОННОЙ РЕКОМБИНАЦИИ В ОДНОРОДНОЙ
КВАЗИСТАЦИОНАРНОЙ ПЛАЗМЕ
В однородной квазистационарной плазме скорость изменения плотности частиц A(z~~i)+(/?) равна
р*
Р—1
dn(p)
dt
/=1
q=P+\
76
Р-l
д*
р*
(р» /) + V] К{а (р, ^) + Ка
(Р»
с
)} п\р) \п(0 +
(е)
+ КР (cf Р) X, + К (с, Р) я (с)} л2 (1) п (с)] +
+ [^ ( a ) (c,p)n 2 (l)n(c)]n(l).
(7>33)
В этом уравнении первая пара квадратных скобок включает
процессы электронного и фотовозбуждения и девозбуждения
частиц на уровень р и с уровня р, а также процессы ионизации
при столкновении с электронами.
Вторая пара квадратных скобок относится к аналогичным
процессам, наблюдающимся^ в плазме при столкновении с тяжелыми частицами, особенно если их плотность значительно (на
четыре порядка и более) превышает плотность электронов.
В третьей паре квадратных скобок рассматриваются процессы фотоионизацйи, излучательной и столкновительной рекомбинации ионов.
Последняя пара квадратных скобок дает представление о
процессах рекомбинации ИОНОВ в присутствии тяжелых частиц.
Кинетическое уравнение (7.33) можно представить в более
простом виде
Р*
dn(p)
\^
*/iu#t//\_L.*r _i./y'-n/n
_у
(t%
шЛ
(7.34)
.=1
Здесь аР и а' р п(1) — скорости столкновитейьно-излучате^ьной
рекомбинации на уровень р; cp,,n(t) и c'p,in(l)n(i) — скорости
столкновительно-излучательной ионизации и возбуждения частиц:
% = {р* {с, Р) К + К(е) {о, р) п (с)} пг (1) п (с),
(е)
(е)
срл п (0 = {К U, р)п{\)~К
(р, /)п(р)} п(с)-А(р,
м
le)
с„.tn(0 = {К (<7, Р)п(q)-K (p,
/) \pjn (p),
q)n(p)-
(7-35
77
{а)
п\1)-К {Р,
{a)
i)n(p),
{a)
cp.,n(i) = K (<7, P) n№-{#*
(p, q) + K (p, с)} п(p).
i=q<P
Нелинейные члены в уравнении (7.34) оказывают влияние
лишь тогда, когда плотность частиц B (z ~ 1) +(1) в основном состоянии высока. В этом случае уравнение (7.34) столкновительно-излучательной рекомбинации решается в два этапа: сначала для линейной системы, когда плотность я(1) мала, после
чего полученные величины корректируются благодаря наличию
нелинейных членов.
Значение п(р) можно представить в виде
л(р)=п(1)+п(р).
(7.36)
Когда возбужденные состояния (р>1) отделены от основного
(р=1) достаточно большей энергией, так что
(7.37)
времена установления
квазйстационарного распределения
среди возбужденных состояний и свободных электронов очень
часто гораздо короче, чем время релаксации основного состояния. Тогда, начиная с очень малого времени, можно предположить, что при р > 1
dn
_п
(P)
в отличие от dn(l)/dt. В этом случае из системы уравнений
(7.34) получают набор алгебраических уравнений вида
О = £ {cP,i + cPtin(l)}n(i)+ap
+ apn(l),
где р=2, 3 ... р*.
С учетом условия электронейтральности
квазистационарной плазме имеем
1
dn(с)
г
dt
dn2(l)
~~
dt
_
dn(\)
(7.38>
n(c)=rznz(l)
__
dt
(7.39>
78
Заменив плотность основного состояния в слагаемых c'p,in(lf
и а/рп(\) уравнения (7.38) на переменную Фи получим для
возбужденных уровней (р>1) следующее выражение:
Р*
•«
. + c'P.Pi) п{\) + ар + a;O x = 0.
При Oi=0, когда плотность я(1) мала, система
уравнений (7.38а) приобретает решения вида
(7.38а)
линейных
(Ф1 = 0).
(7.40>
Подставляя эти решения в уравнение (7.39), найдем при Ф1—
=0
Р*
dn(\)
dt
Р*
1 = О)]Ч- лг < 1)[ c n + J ] ^ ( Ф
,
i=2
х
= 0)].
(7.41)
§ 5. ЭФФЕКТИВНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ СКОРОСТИ
СТОЛКНОВИТЕЛЬНО-ИЗЛУЧАТЕЛЬНОЙ РЕКОМБИНАЦИИ И ИОНИЗАЦИИ
Определяя коэффициенты скорости столкновительно-излучательной рекомбинации а и ионизации S с помощью обобщенного кинетического уравнения
at
anzn)n(c)
(c)y
+
(7.42)
найдем из уравнений (7.41) и (7.42)
а(Ф х -0) М «(0)- „г ( | ) п ( с ) п +Д.^пр),
+
(7.43>
1=2
Р*
^ { - ^ ^ ^ ( Ф ^ О ) } . (7.44)
t=2
Определяемые с помощью соотношений (7.43), (7.44) величины
а и S зависят только от параметров пе=п(с) и Ге, т. е.
а ( Ф 1 - 0 ) = а ( 0 ) = а ( / г „ Г.)
(7.43a)
S(<t>x=0)m*S(0)=S(ne,
(7.44а>
Те).
В случае наличия нелинейных членов, обязанных плотности ча<2
1)
стиц В "" +(1) в основном состоянии, можно представить коэффициенты а и 5 в виде
(Ф0]а(0)
79
(7.45$
(7.46)
где Ao(Oi) и As(Oi) — поправочные члены, учитывающие влияние п(1) и Г(1) на скорость столкновительно-излучательных
процессов. Иначе можно записать
а(пе, Те, л г _ 1 ( Ь Г г _ 1 )={1+Аа]а(п е , Те)
S(ne, Те, /»_,.,, r z - 1 )=P+As]S(n e , Te).
(7.45а)
(7.46a)
Решение системы уравнений (7.38а) при Ф ^ О будет иметь
вид
п(р) (Ф,)=л«
)],
где р=\,
(7.47)
2, З...Д*;
Подставляя решения (7.47) в уравнение типа (7.39) для ФХФ
^ 0 получим
Р*
5]^+снф1)п(0-
l
il
(7.39а)
Сопоставляя уравнения (7.39а) и (7.42), найдем по аналогии
«с уравнениями (7.43), (7.44)
t=2
1=2
t=2
(7.50)
1=2
Поправочные члены Да(Ф0 и As(Oi) в уравнениях
(7.45),
(7.46) зависят ,от плотности тяжелых частиц В<г~1)+ (1) в ос80
W
160004
^ 10
10"
10'
8000 К
10'
10'
10*
10ю
W12
1Оп
1016
пе,смРис. 26. Коэффициенты скорости
столкновительно-излучательной рекомбинации в оптически тонкой
водородной плазме при
разных
Те, К; 1 — 500; 2 — 1000; 3 —
4000; 4 — 32000. Сплошные кривые — данные Дравина, пунктирные кривые — данные Бэйтса и
сотр.
Рис. 27. Коэффициенты скорости столкновительно-излучательной
ионизацид в оптически тонкой водородной плазме при
разных
Те, К: i — 16000; 2 - 8000.
Сплошные кривые — данные, Дравина, пунктирные кривые —-данные Бэйтса и сотр;
т
10"'
-Ж4
w
1Ь
10"
-
10™
10
3
п(1),см-
Рис. 28. Эффективные коэффициенты скорости столк-*
новительно - излучательной
рекомбинации а (пе, п (1),
Te=Tg) в оптически тонкой
водородной %плазме
при
разных
Те, К (а — 500;
б — 1000; в — 2000) и
3
13
пе см~ (/ ~ 10 2
Ю12; 3 — 10"; 4 — Ю10)
4
И. А. Семиохин
n(1j,CM~
Рис. 29. Эффективные коэффициенты скорости столкновительно - излучательной
ионизации 5(п е , п(1), Те=
= Tg) в оптически тонкой
водородной плазме при разных Те, К (а — 16000- б —
12000; в — 8000) и пе,
3
см(как указано в подписи к рис. 28)
новном состоянии и могут быть легко вычислены по формулам
1
п(с)пг( 1
Ф 1=
(7.49а)
(7.50a)
Ha рис. 26, 27 представлены значения эффективных коэффициентов скорости столкновительно-излучательной рекомбинации а(пеТе) и ионизации S(ne, Te}
в оптцчески тонкой водородной
а, см
плазме без. учета столкновений с
тяжелыми частицами.
10
На рис. 28, 29 даны зависимости
значений
а(пе, пг-\,и Те=ТЁ)
и
S (Пе, Пг-Ы, Te=Tg)
10'
ОТ ПЛОТНОСТИ
тяжелых частиц видаВ ( 2 ~ 1 ) + ( 1 ) в основном состоянии. На рис. 28 видно,
что при условии
10
{7.51}:
VT
ш
ю
101'
ю'
19
W
Рис. 30. Коэффициенты скорости рекомбинации а(пе, п(\),
Te=Tg) в водородной плазме,
оптически толстой по отношению к линиям и континууму
Лаймана (все другие линии и
континуумы — оптически тонкие). На рисунке указаны разные Те> К (а — 500; б — 2000;
в — 12000) и пе, см- 3 (1—4 —
как указано в подписи
к
рис. 28; 5 — Ю9)
а становится независимым от плотности свободных электронов.
В присутствии тяжелых* частиц,
резонансное поглощение увеличивается, так что плазма становится
оптически толстой по отношению к
линиям лаймановской серии и к
лаймановскому континууму.
На рис. 30 показана зависимость
а{Пе,
tl(l),
Te=Tg)
ОТ
П
(1)
для такого случая, наиболее близкого к реальным опытным условиям. Резонансное поглощение особенно заметно при более высоких температурах; оно уменьшает скорость
рекомбинации и увеличивает скорость ионизации.
§ 6. СТОЛКНОВИТЕЛЬНб-ИЗЛУЧАТЕЛЬНАЯ РЕКОМБИНАЦИЯ
ОДНО- И МНОГОЗАРЯДНЫХ ИОНОВ
1. Оптически тонкая плазма
Бэйтс, Кингстон* „и Макуиртер предложили статистический
метод расчета коэффициентов скоростей столкновительно-излучательной рекомбинации в оптически тонкой плазме. Скорость
распада плазмы обусловлена комплексом взаимосвязанных
столкновительных и излучательных процессов в плазме. В качестве неупругих столкновительных процессов авторы учитывали соударения только с электронами и пренебрегали соударениями между тяжелыми частицами. Для водорода такими процессами являются следующие.
1. Тройная рекомбинация ионов:.
К'(е,р)
2. Обратный процесс — столкновительная ионизация:
К(р,с)
Н(р) + е
3. Сверхупругие соударения:
Щр)
К(р,П
4. Неупругие соударения:
К(Р,Я)
5. Спонтанный радиационный распад:
A(PJ)
6. Переход вверх при поглощении фотона:
7. Радиационная рекомбинация:
Н+1
8, Фотоионизация:
H(p) + i
Скорость изменения п(р) со временем равна
^^^-[п(с)К(р)
+ А(р)]п(р) + [К(сур) + ИР)]п{с)пг(\)9
(7.52
4*
83
где
Я>Р
(7.52а)
Поскольку населенность возбужденных уровней в плазме п(р)
обычно много меньше населенности основного состояния л(1)
и плотности свободных электронов^ т. е.
и
(1)
(7.53)
л(р)<я(с),
(7.54)
квазистационарное распределение возбужденных уровней устанавливается без заметного уменьшения плотности свободных
электронов и ядер. В результате этого производные dn(p)/dt
при р>1 можно приравнять нулю без заметной ошибки, а уравнение (7.52) переписать в виде
),
ut-
(7.55)
ut
или-
где a, S H Y называют коэффициентами скорости столкновительно-излучательной рекомбинации, ионизации и распада соответственно. В начале можно пренеОречь ионизацией и вычислить скорости рекомбинации. Как видно из получающегося в
этом случае кинетического уравнения
^
)пг(Х)
= owi(c)n
2 (l)
(7.55а)
dt
и уравнения реакции (1), а не является истинным коэффициентом скорости заселения основного уровня, поскольку зависит
от плотности свободных электронов.
При температуре 64 000 К и выше условие (7.53) обычно
не выполняется, и, если величина п{с) достаточно велика, получаются заниженные значения а.
В разряженной плазме (при низких значениях л (с)) рекомбинация — чисто излучательная, и коэффициент скорости излучательной рекомбинации 0(1) слабо зависит от температуры плазмы. На рис. 31 представлена зависимость коэффициентов а и р(1) от температуры в оптически тонкой водородной
плазме.
84
Значения столкновительно-излучательных коэффициентов а
и S зависят от заряда рекомбинируемых ионов ,и мало чувствительны к видам ионов. Для многократно заряженных ионов
законы подобия позволяют выбрать" приведенные значения
1000 4000 76000 64000
т,к
Рис. 31. Зависимость коэффициента скорости столкновительно-излучательной рекомбинации ионов
водорода а от температуры в оптически тонкой плазме. Для каждой кривой указана плотность
электронов;' Р(1) — коэффициент
излучательной рекомбинации в основной уровень
Рис. 32. Относительная скорость
заселения основного уровня: / —
при спонтанных
излучательных
переходах с возбужденных уровней; 2 — при излучательной рекомбинации; 3 — При сверхупругих столкновениях с электронами.
Тройная рекомбинация из континуума дает всюду менее 0,5%
электронных температур Q = T/z2 и плотностей
i\(c)=n(c)fz79
так что приведенные значения коэффициентов скоростей
a/z=/(0, у\(с)) и Sz3=<p(0, r\(c))
(7.57)
являются функциями только 6 и т|(с). При заданных значениях
6 и г\(с) они имеют величины того же порядка, что и коэффициенты а и S при тех же численных значениях Т и п(с).
2. Оптически толстая плазма
В случае очень горячей и очень плотной плазмы, когда основной уровень заселяется главным образом при столкновительных переходах с возбужденных уровней, п(р) не Зависит
от г, а К(р, 1) ~z~2 иг следовательно,
a~z~2.
(7.57а)
На рис.32 показано заселение основного уровня (в процентах) при. 6 = 4000 К. Если оптическая толщина, например, во*
дородной плазмы такова, что для всех линий и континуума
(7.58)
а для лаймановской серии линий
t(v)>l,
(7.58а)
то в этом случае лаймановские линии реабсорбированы и каждый спонтанный радиационный распад уровня р уравновешен
обратными переходами с нижележащих уровней. В общем, становится невозможным сгруппировать уровень 2 с другими возбужденными уровнями, и условия (7.53), (7.54) записываются
в виде
л(р)(р>2)<{я(1)+/г(2)}
Х7.59)
л(р)(р>2)<л(с).
Уравнение
(7.60)
п
*^ • = п ' должно быть заменено на другое:
dt
dt
dnz(l) _ dn(\)
dn(2)
/
Оба слагаемых уравнения (7.61) можно
представить в виде
)n(c)-/? 1 rz(l)n(c)
= a2n2(l)n(c)+i>12n(\)n(c)-R2n(2)n(c).
(7.62)
(7.63)
и
Здесь аи U2, Pit, P2U Ri
#2, подобно а и S в уравнении (7.55),
положительные величины, зависящие от n(c)t T и атомных параметров, которые могут быть вычислены при определенных
-значениях п(с) и Т.
В соответствии с иерархией времен релаксационных процессов (ур. 4.33) можно записать
(7.64)
т(2)<т2(1),
(7.65)
где т — соответственно времена релаксации частиц вида
A(z-1)+
на уровнях (1) и (2), электронов и ионов вида
A z +(1).
Следовательно, п (2) очень быстро достигает квазистационарного значения:
(7.63а).
86
Уравнение (7.61) можно записать так:
(7.66)
(\)п(с)}.
В этом уравнении коэффициенты а ( 0 и S ( t ) учитывают самопоглощение лаймановских линий:
(7.67)
(7.68)
Кг
Поскольку Р2\ лишь немного меньше R2, можно принять
аМ = ах + а2
/?!—Д2.
В плазме,
Лаймана,
оптически
(7.67а)
(7.68а)
толстой и по отношению к континууму
(7.69)
где Р(1) — коэффициент скорости излучательной рекомбинации в основное состояние.
Если наряду с линиями Лаймана поглощаются линии других серий (Бальмера, Пашена и др.), вероятности всех спонтанных переходов стремятся к нулю. Это вносит упрощение в
систему уравнений, определяющих квазистационарное состояние распадающейся плазмы. Коэффициент скорости столкновительно-излучательной рекомбинации может быть представлен в
виде
(7.70)
где ^ ( с м ^ с * 1 ) — коэффициент скорости тройной столкнови3
1
тельной рекомбинации, аг (см ^- ) .— коэффициент- скорости
двойной столкновительно-излучательной
рекомбинации. Оба
этих коэффициента являются функциями только температуры.
При поглощении и континуума Лаймана
a(»c) = a (H)_p(i) = [ a r _ p ( l ) ] + ^ ( c ) ,
(7.71)
где аг—Р(1) много меньше, чем аг или Р(1).
На рис. 33, 34 показано изменение с температурой и плотностью электронов коэффициентов скорости столкновительноизлучательной рекомбинации ионов водорода.
Опыты показывают, что лабораторная плазма — обычно оптически толстая по отношению к линиям Лаймана, т. е. при
87
СС,СМ*-С'1
250 WOO
10е
400Q- 16000 64 000
Г, К
Рис. 33. Зависимость коэффициента скорости столкновительно-излучательной рекомбинация, ионов
водорода от температуры:
/ —
в оптически тонкой плазме; 2 —
в плазме, -ептически толстой по
отношению к линиям серии Лаймана; 3 — в плазме, оптически
толстой по отношению к линиям
всех серий;. (3(1) — коэффициент
излучательной рекомбинации
на
основной уровень. На рисунке
указана плотность электронов
Юю
W12
10п
W16
пе,см'3
Рис. 34. Зависимость коэффициента скорости сто л кновительно -излучательной рекомбинации ионов
водорода от плотности электронов: 1—3 — как указано в подписи к рис. 33; 4 — в плазме,
оптически толстой по отношению
к линиям и континууму Лаймана;
5 . — в плазме, оптически толстой
по отношению к линиям всех серий и к континууму Лаймана. На
рисунке указана электронная температура
расчетах кинетики распада такрй плазмы без серьезных ошибок можно пользоваться коэффициентами* вида а ( 0 . Континуум
Лаймана поглощается при выполнении условия
n ( l ) d > 2 . 1 0 1 7 см- 2 ,
(7.72)
где d — геометрическая толщина плазмы.
§ 7. РОЛЬ ДИФФУЗИИ В МЕХАНИЗМЕ РЕКОМБИНАЦИИ
В НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ
Изменение плотности электронов в период распада плазмы
обусловлено рядом конкурирующих процессов. Рассмотрим простейший случай, когда плазма вначале содержит только электроны, положительные ионы и атомы. Примем в качестве про88
цессов увода электронов объемную рекомбин-аодю и амбиполярную диффузию к стенкам, где заряженные частицы нейтрализуются. Тогда можно записать, что
дпе
= Da\72ne—an+ne,
(7.73)
dt
где Da — коэффициент амбиполярной диффузии; а — коэффициент скорости столкновительно-излучательной рекомбинации.
Так как плазма в любой момент времени должна быть
электронейтральной, то ne~n+f и поэтому
(7.73а)
J£L =Da4\-*n\.
В водородной плазме, когда диффузия отсутствует, .имеем
—
= — — + at.
(7.74)
При отсутствии рекомбинации (высокая температура) получим
(
7.75)
где ti — l2D>i/Da и lD,i — характеристическая длина диффузии
для i-ro распределения. Для слабой диффузии и небольшой рекомбинации решением уравнения (7.73а) является
(7.76)
l +а>кпе(0)
где t\ относится к первому члену ряда (7.75).
В общем случае решение уравнения (7.73а) было рассмотрено Вильгельмом, который переписал его в следующем виде:
-JLrt ± = £>V2rt±—осп2..
(7.77)
dt
Вследствие коллективного движения этому уравнению должны
удовлетворять плотности электронов и иопав (пе и n'i). При п о вышенной'электроннойтемпературе (Те>Т0) будет преобладать
диффузия, при релаксирующей электронной температуре (газ
с низкой энергией возбуждения, Те~Т0) ответственной за распад плазмы будет чистая рекомбинация.
Коэффициент диффузии D описывает комбинированное движение заряженных частиц противоположного знака и равен
д _
(7 78)
(DiqeBe — DeqiBi)
ЯеВе-qiBi
где qe и qt — заряды; De и Dt—диффуэноетй;
89
Вё и
Bi—под-
йижности электронов и ионов. Последние даются соотношениями
где t/o — в Р е м я релаксации момента импульса, определяемое
с помощью столкновительного интеграла Больцмана
JJ
• - J v[6/ y <v-v 0 )/&] o dv = - ( n / V / ) Yo1.
(7.80)
•— GO
В приближении инфразвукового дрейфа, когда
(7.81)
i№H,o,
значение т~!уо равно
Для низкотемпературных взаимодействий сечение транспортного переноса равно
i
(7.83)
где а /0 — соответствующая амплитуда рассеяния.
Решение нелинейного уравнения (7.77) приводит к следующему пространственному распределению плотности заряженных
частиц в плазменной (ионизационной) колонне:
Здесь ^±(0) — общее число частиц на единицу колонны;
A=62+4D/;
(7.85)
b — параметр распределения:
(7.86)
f (0) ••— среднее расстояние частиц от оси колонны.
Рекомбинация в отдельной ионизационной колонне идет по
следующему закону:
~.
/^\
лл
/Г\\
^Н *1~О)
П± (t) == tl± (\))
а
irm О<"7\
•—t
(/.о/;
где а — безразмерный параметр, который зависит от времени:
= 0 при /->.0,
с^.(0)
:
±
(7.88)
прИ f-*Ob.
До смешения ионизационных колонн путем диффузии, т. е. во
90
времена 0</<'т С м, в колоннах происходит рекомбинационный
распад плазмы по линейному закону:
dn
(7.89)
dt
или по нелинейному закону:
(7.90)
dt
так что
aL(t)=aN{t)n±(i).
Решения уравнений (7.89) и (7.90) дают значения коэффициент
тов~ скорости электронно-ионной рекомбинации, которые зависят от времени вследствие динамики колонн, определяемой
электростатической диффузией:
(7
Лишь при малых значениях параметра a(a<£l)
ам не зависят от времени:
-9Оа)
величины
где z — число колонн в единице объема; L — длина колонны и
а — коэффициент скорости объемной рекомбинации по Бэйтсу,
Объемная рекомбинация происходит после смешения колонн
путем диффузии, т. е. начиная со времени t C M<^<°°, и следует
формально тому же закону, что и нелинейная рекомбинация в
отдельных колоннах. Однако распад замедляется по мере то*
го, как он распространяется на весь объем, так что после времени
который не зависит от времени.
Уравнение (7.84) теряет свое значение для времен, при которых дебаевский радиус экранирования
tn=*
превышает радиус колонны:
lD>r{jt)9
В этом случае плотность 4 заряженных частиц столь мала
(вследствие совершенной рекомбинации и диффузии), зто нарушается условие коллективного движения заряженных частиц.
Изучая распад гелиевой плазмы при Ро=3—8 мм рт. ст.
и аргоновой
плазмы при р о =О,2—0,8 мм рт. ст. в плазмотроне
при плотности электронов л в =10 14 —10 1 - 5 см~3, Гуси-
,10 кВ
О.ЧмкФ
бОмкс
0
2
4
6
г, мм
Рис. 35. Коэффициент , скорости
рекомбинации как функция радиуса в гелиевой плазме через 36 мкс
после выключения разряда (/?не=
«=7 мм рт. ст.)
Рис. 36. Зависимость
\gPfz,i(ney Те)
от Де<(Ае<*=г
=еИон—е*) для атомов водорода при kTe= 10 эВ и разных
пе, см- 3 (/, 2, 3, 4 — как
указано в подписи8 к рис. 28,
5 — 10 )
нов и сотр. обнаружили
неоднородность
распределения
нейтральных частиц и температуры. Вычисленные по Бэйтсу
коэффициенты а отличались от опытных величин, которые зависели от времени и расстояния от оси плазматрона (рис.35).
Сравнение вычисленных коэффициентов с опытными дало возможность оценить потерю электронов благодаря диффузии.
I. О «двух группах» электронов с различными средними
энергиями
В разрядах низкого давления (в высокочастотном безэлектродном разряде, в лампах с полым катодом, в отраженной дуге и т. п.) населенность высоких возбужденных уровней часто
02
отклоняется от равновесной. Вычисленная из отношения интенсивностей температура оказалась чрезвычайно низкой (500—
1500 К), т. е. была явно недостаточной для осуществления самостоятельного разряда в стационарном состоянии. Для стаци12
3
онарного разряда при л в ~1б см~ и общей плотности частиц
8
4
~10Ч см- необходима более высокая температура ~ 10 К
газа. Для объяснения расхождений было предложено ввести в рассмотрение две труппы электронов с различными средними энергиями. Впоследстчии Дравин с сотр. показал, что- для
I
1
4
6
О
2
-п
Ионизационный AsL>10 эрг
предел
Рис. 37. Зависимость
g
t
( n
e
i
Те)
ОТ AEi ДЛЯ «ТО-
мов и ионбв гелия при 3 kTe=
= 10 эВ и разных пе, см " (/—
5 — как указано в подписи
к
рис. 28 и 36, 6 — 1014)
Рис. 38. Измеренная населенность уровней водорода (при
г=0,25 см) и гелия (при г=»
=0,0 см) при разных Де*
всех-нетермических разрядов низкого давления учет диффузии
нейтральных частиц через плазменную колонну без ионизации
позволяет достаточно хорошо объяснить имевшиеся расхождения при учете одного набора электронов с максвелловским распределением по скоростям движения. В этом случае необходимо лишь статическую модель плазмы заменить динамической и
учесть при вычислении населенностей возбужденных уровней
большую длину свободного пробега
нейтральных частиц
^атомов), т. е. надо записать уравнение распада плазмы в вяде
где Кц и Кц — коэффициенты заселения и распада /-го уровня
соответственно; VF, — Диффузионный член. Если существуют
градиенты температуры и плотности в плазменной колонне,
уравнение (7.92) будет нарушаться. В случае стационарной
диффузии VI\ = 0, и населенность возбужденных уровней следует уравнению
2hL =nz(l)ne
P
*>i(ne>T<)
=пг(1)пеР'2.(п„Те),
(7.93)
которое отличается от уравнения Саха. В уравнении (7.93) величина P'z>i{ne, Te) — сложная функция от электронных температуры и плотности, от вероятностей переходов, сил осцилляторов и т. п.; gi — статистический вес. Так, если принять для
HI (z=0) Р^,/, равную 10-22, для Hel (2=0) —1(Н 3 и для
НёП (2=0) — 10~24, то для различных значений пе и Те получаются кривые зависимости lg nZti/ggti от Лги совпадающие с
опытцыми кривыми (рис.36—38). Таким образом, введение нескольких температур (или нескольких групп электронов) не
является необходимым для объяснения получаемых зависимостей. Из опытных зависимостей определены следующие значок
ния пе и Те: а) в водородной плазме; при лг о =3-10 13 см~3: пе =
= (1—3) • 1012 см-?, kTe=8— И эВ; б) в гелиевой плазме при
я о ^4.1О 1 4 см- 3 : л*=2,5-10 13 см" 3 , ЛГ^=11—15 эВ,
Полученные значения Те согласуются с определенными из
масс-спектрометрических измерений отношениями плотностей
ионов Не+ и Не 2 + и вычисленными для стационарной корональной модели плазмы, когда
S(Te)
=
(
где Р(Г е ) — вероятность излучательной рекомбинации.
2. Модель двумерной ионизационной колонны
Рассмотрим упрощенную двумерную модель плазменной колонны (рис. 39). Пусть Ro — радиус внешней колонны, .окру^женной нейтральными атомами с плотностью no=no(Ro)
при
г>/? 0 ; длина свободного пробега нейтральных атомов Хо>2£ о После некоторого времени установится стационарное состояние
- ^ - = 0, f = 1 , 2 , 3 . . . р.
(7.95)
Существенны столкновения нейтральных атомов только с элект*
ронами, поэтому
dn
<
dt
dn+
= ,
= 0 .
dt
Определим nt в элементе объема AV:
m
(7.96)
v
где L — длина колонны. Пусть п0 нейтральных атомов прохо
дит через элемент AF в направлении объема AV(rk) со ско
ростью vt=const (если пренебречь перезарядкой). Расстояние
от AF до AV(rk) равно p=r*cosv+ (#о2—г2* sin 2 v) 1/2 * Д л "
rk<r<cRo получим dp =
^ [ . г 2 | / 2 , где г* — радиус внут
ренней колонны.
Элемент^ поверхности AF, который «виден» из элемента объ
<ема AV(rk)] можно определить из выражения
AF =
Общая поверхность колонны оказывается равной
UF
Пусть вероятность рекомбинации
(ai+n e pi) частиц в основном
состоянии при kTe=l~ 10 эВ
много меньше вероятности ионизации, равной Si=*(aHoH^>, т. е.
PS
и
Рис. 39. Двумерная модель пла
менной колонны: при г>/?0 плс
ность нейтральных^ частиц п0
e/|
o(*o)* Поток частиц Л«о теч
через элемент AF в направлен:
1огда
где rti(r) определяется из дифференциального уравнения
При этом
vtd (Дпо (г)) = ~-Ля0 (г) пе (г) Si (r) dp.
(7.98
т. е. равно числу частиц, проходящих через AF в единицу вр<
мени по направлению AV(rk).
Интегрирование уравнени
(7.98) по dp и Д> дает
-г
rdr
—./J.sin»
vt
95
(7.9
где Si={op0HVe)=$OuoHf{Ve)Vedve и f(ve) — функция распределения электронов по скоростям.
Плотность частиц на возбужденных уровнях определяется
при решении системы сопряженных уравнений вида
(а//)Л/ = — n+ne(ai+nefr)9
(7.100)
где (ciij) — матрица коэффициентов ПЦ, зависящих от поперечных сечений столкновительных процессов, от сил осцилляторов
и вероятностей переходов. Через величины п\(г), пе(г) и Те(г)
уравнение (7.99) сопряжено с уравнением (7; 100), которое было решено для оптически тонкой плазмы и максвелловского
распределения электронов.
Значения пе (г) определяют из вероятностей Р/(пву Те)> измеряя интенсивности Ш—15 бальмеровских линий на разных
расстояниях от оси колонны, т. е. ni(r)/gt, которые мало чувствительны, к Те. После этого решают совместно уравнения
(7.93) и (799). и из абсолютных значений щ/gi определяют
Те (Г).
Решение уравнения (7.100) показало, что в лабораторной
плазме при пе<^щи 1010 см"" 3 <Д 0 <10 1 5 см- 3 вплоть до /=15
(7.101)
щ~пх
и не зависит от пе. Пропорциональность теряется, если пе>п>\
и i > 15, когда населенность возбужденных уровней определяется в основном рекомбинацией при тройных столкновениях с
электронами. Для условий'п е <п 1 <10 1 5 см- 3 r kTe>3 эВ,
(7.102)
£< ЮУ10^/пе(сй^)
населенность возбужденных уровней целесообразно вычислять
по формуле
ШШ^ЩПеР?'(Пе, Те),
(7.102а)
где gi— статистический вес i-ro уровня.
При высоких значениях i функция Р/ прямо пропорциональна i (рис.40) и обратно пропорциональна kTe. Если населенность tii/gi достигает прямой, то она согласуется с вычисленной по уравнению Саха
JtL=Jb?_
$$>
gi
2g+ (2nmkTef2
е
/
«\
(
7.ЮЗ)
н
t==-~- и ef— энергия ионизации Н-атома, g + = l для водорода.
Так, при я в >-10 14 см- 3 (как это наблюдается в плазмотронах), rii~n\ вплоть до й=ГО. Для />10 населенность подчиняется уравнению Саха (7.103).
96
На рис.41 показана зависимость lg—— от i трех различных
состояний плазмы: 1) локальное термическое равновесие (ЛТР),.
2) стационарная плазма с отклонением от ЛТР и 3) нетермическая стационарная плазма с диффузией нейтральных частиц.
Рис. 41. Зависимость lg(ni/g,)
от главного квантового числа i: 1 — плазма в состоянии
полного ЛТР;' 2 — стационарная плазма с отклонениями от
ЛТР; 3 — стационарная нетермическая плазма
с сильным
диффузионным потоком
нейтральных частиц
Рис. 40. Зависимость \gPi от
номера уровня i для заданных
значений электронной температуры и плотности частиц (Г е =
= cohst, /z(l)=const) при разных значениях пе, см~3 (1 —
1014; 2 — 1013; 3 — 1012; У—
3' — те же значения я*, вычисленные по уравнению Саха)
Если вдувать инертный газ во внешнюю ^ону, так чтобы
уменьшить диффузию, то кривая 3 перейдет в кривую 2. При
переходе через прямую 1 уровни будут показывать населенность
по уравнению Саха, хотя никакого ЛТР в плазме не будет.
§ S. РЕКОМБИНАЦИЯ В НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПЛАЗМЕ
1. Учет уравнения энергетического баланса.
Отсутствие диффузии частиц
Вследствие того что скорость тройной столкновительнои рекомбинации весьма чувствительна к электронной температуре
[а~xonst-Те9/2),
уравнения распада электронной энергии игра*
ют существенную роль при расчетах коэффициентов скорости
рекомбинации.
97
В случае чистой рекомбинации (при отсутствии диффузии)
электронная температура определяется из следующего уравнения электронной энергии:
^
)
^
y
n
P
)
(7.104)
тде Мнеупр — скорость неупругого переноса энергии к электродам при рекомбинации; WyTl? — скорость упругого переноса
энергии от электронов к атомам и ионам.
Легко доказать, что
^Ц
(7.105)
тде е .— средняя энергия, отдаваемая электрону каждым рекомбинирующимся ионом.
Часто е>—-&Г е , так что — n e k —-<С^неупр.При этих условиях, используя уравнения кинетики столкновительной рекомбинации
= cxnj
dt
(7.106)
и энергетического баланса
i*r.)
dne
dt
•Wynp,
(7.107)
—.
(7.108)
можно прямо вычислить значения а:
а~
' ^упР
Вычисляемые по уравнению (7.108) коэффициенты а оказываются примерно на два порядка выше коэффициентов излу^чательной рекомбинации, но хорошо удовлетворяют опытным
.данным.
Так как электроны отдают энергию преимущественно ионам,
•скорость упругой передачи энергии равна
УР
:=
в
Mi
£* J
Т
\ kTe J
\
(
е
i— I If! I •
Te
j
\
где Mi и Ti — масса и температура ионов. Подставляя, Wynp в
уравнение (7.108), получим в грубом приближении, что а не
зависит от плотности электронов. Тройной* характер столкновительной рекомбинации и процесс девозбуждения маскируются
скоростью изменения электронной температуры. В общем случае надо одновременно решать уравнения тройной рекомбина98
ции и электронной энергии, чтобы получить значения —^£- и
нт
——.
Это было сделано Куксом и сотр., которые исследовали
dt
рекомбинацию в послесвечении гелиевой плазмы. Авторы нашли, что в интервале
изменения плотности электронов
1011 см- 3 <Яе<5-10 1 3 см~3
и электронной энергии 0,03 э В <
<&7%<0,3 эВ скорость изменения плотности электронов меняется по уравнению
- ^ L = 0 , 7 . Ю- 19 - ^ - - .
(7:110
K
dt
'
(kTef
Изменение температуры со временем объяснено протеканием двух конкурирующих процессов: а) перезарядкой, когд<
электроны теряют энергию* и б) рекомбинацией ионов, когдг
электроны приобретают энергию в основном от образующихся
метастабильных атомов. Вследствие этого изменение электрон
ной энергии со временем будет равно
3 г | - (nekTe)= -п0пеоги~к(Те-Т0)
+ птпеа^егаг
(7.Ш
где щ и пт — плотность атомов в основном состоянии и соот
ветственно плотность метастабильных атомов; аг — сечение пе
резарядки (— 3-10~15 см 2 ); ое — сечение разрушения метаста
бильных атомов (~8-10- 1 7 см 2 ); Vi и ve — скорости движения
ионов и электронов; га — энергия девозбуждения метастабиль
ного атома гелия (He2 3 S, е<*=19,8 эВ).
Плотность метастабильных атомов равна примерно 3/4 плот
ности рекомбинируемых электронов:
Lib..
пт
т
(7.112
v
dt
A
При низком давлении газа (р о <4-1О- 3 мм рт. ст.) метает*
бильные атомы свободно движутся к стенкам, где происходи
их разрушение. В этом случае
1
3
neoeve + щ/d
'in.
4
dt
d — диаметр разрядной трубки.
2
Если давление газа относительно высоко (ро>1,5-10~ мм
рт.ст.), метастабильные атомы исчезают благодаря диффузии
стенкам. Тогда
_
где Ok — сечение
Х10- 1 5 см 2 ).
1
диффузии
L*HL.
метастабильных
99
(7 11
атомов (3,4
На рис.42 сопоставлены опытные и вычисленные зависимости пе и Те от времени. В начале распада плазмы пе меняется
экспоненциально со временем. Однако, когда Те-^Тггз, наступает излом в ходе изменения пе со временем.
150 мкс
тш ю3к
Рис. 42. Зависимость лв и Те от
времени для разряда в
гелии
(Рне = 4 мм рт. ст.)
Рис. 43. Зависимость от температуры коэффициента теплопроводности плазмы, вычисленного
по
уравнению (7.119) (сплошная линия). Опытное значение Коп получается из уравнения
(7.118),
когда величина R(r, t) мала
Модель распада электронной энергии, рассмотренная Куксом и. сотр. применима к послесвечению в стеллараторах, ограниченному магнитным полем, при низких плотностях газа.
2. Учет диффузии частиц
Положение становится иным в относительно более плотной плазме, в которой температура атомов оказывается зависящей от температуры электронов. Как показали Купер и Канкель, в плотной водородной плазме (р о >О,1 мм рт. ст., 7* =
•=1'04 К), ограниченной радиальным магнитным полем, распад
плазмы происходит главным образом благодаря радиальному
переносу энергии, сопровождающемуся рекомбинацией в объеме.
В отсутствие массового потока {конвекции) и электрического тока (омического нагрева) уравнение энергетического баланса может быть записано в виде
де
(7.115)
dt
е — плотность энергии; Q — вектор потока энергии частиц;
too
R — скорость чистого поглощения излучаемой энергии в единице объема. В качестве хорошего приближения для атомов
водорода можно записать
е = рНп, + А ( П + + Пе) kT,
(7.116)
тде 8i H =13,6 эВ — энергия ионизации Н-атомов; п+ — начальная плотность протонов, т. е. величина постоянная. Следовательно, главную часть скорости распада составляет величина
н
г
1
дп
е
di
Вектор потока энергии частиц равен
(7Л17)
поскольку перенос зависит от взаимной диффузии различных
компонент. Если радиальная диффузия подавляется магнитным
полем, то уравнение (7,115) приобретает вид
--=-j -^-rK(r, t) -%r + R(r, t),
(7.118)
где K(r, t) — локальный коэффициент теплопроводности плазмы. В соответствии с упрощенной моделью кинетической теории можно принять
где суммирование выполнено для трех разновидностей частиц:
лтомов (а), ионов (i) и электронов (е).
Когда вклад свободных электронов значителен, величина
Ке очень близка к таковой для полностью ионизованного газа.
Вклад Ki всегда меньше Ке, и поэтому величина К зависит
ТОЛЬКО ОТ Ке
И Ка-
Используя
в качестве 15первого
приближения значения а а а =
15
2
2
— Ю" см и а,,а = 5-10- см для резонансной перезарядки,
Купер и Канкель из опытных значений пе иТе определили
K(r'9't) как функцию t и Те (рис.43). Из рисунка видно, что
скорость распада энергии существенно выше, чем можно было
ожидать из кинетического переноса тепла (благодаря теплопроводности). Вклад излучения R(r, t), т. е.- радиационный пере*
нос тепла, оценить весьма трудно, поскольку коэффициенты
испускания и поглощения являются быстро меняющимися
101
функциями не только положения и времени, но и частоты из*
лучения.
В то же время полученные опытные значения коэффициентов:
распада оказываются ближе к значениям уу вычисленным па
уравнениям Бэйтса и сотр. для модели плазмы, оптически тол*
стой по отношению к линиям Лаймана (рис.44), чем к значениям у, вычисленным для модели оптически тонкой плазмы,,
у,
10'12CMJC'1
100 г
5,к
6000
10 кВ
0,4 мкФ
4000
2000
160
200
t,MKC
Рис. 44. Зависимость коэффициента распада у от времени:
1 — оптически тонкая плазма;
2 — плазма, оптически толстая
по отношению к линиям Лаймана
Г, Им
Рис. 45». Зависимость электронной температуры от радиуса в гелиевой плазме
чере»
36 мкс после выключения разряда 0?Не==7 ММ рТ. СТ.)
В более плотной плазме (рне=2(,8 мм рт. ст. или рлг=0,2—*
0,8 мм рт. ст.) Гусинов и сотр. наблюдали пространственнуюнеоднородность температуры в послесвечении (рис.45),
Градиент температуры при относительно высокой плотности электронов (10 й —10 1 5 см~3) оказался совсем неожиданным*
поскольку из уравнения энергетического баланса
JL (-1 пМе) =V
(7.120>
следовало выравнивание неоднородности Те при заданных условиях за 10~7 с. В уравнении (7.120), где 1т — характеристиг
ческая длина теплопроводности, равная
к — коэффициент температуропроводности, jpaBHbrii для элект*
ронов:
/С —- коэффициент теплопроводности.
Существовавший градиент температуры в пбслесвечении гаЗа мог быть обусловлен следующими механизмами нагрева и
Охлаждения плазмы:
Нагрев
&» Рекомбинационный нагрев:
Х++е+е-+Х(р) + (е+Аг),
б. Синглет-триплетная сверхупругая конверсия в гелии:
в. Сверхупругие переходы из метастабильного состояния в основное:
Хт+е-+Х+(е+&е).
г. Соударения метастабильных атомов:
Хт+Хт-+Х++Х+(е+Аг).
Охлаждение
а» Термодиффузия:
где к -- коэффициент температуропроводности.
45. Диффузное охлаждение VZ) a V^,
где Da — эффективный коэффициент амбиполярной диффузии.
fe. Электронно-атомные и электронно-ионные упругие ссуда*
рения:
г. Неупругие столкновения:
Я) + (е—Де),
q>p.
[ + hv
Расчеты показали, что преобладающим процессом нагрева
является рекомбинационный нагрев (*-2 эВ на один процесс),
преобладающим
процессом охлаждения — термодиффузия.
§ 9. КИНЕТИКА ИОНИЗАЦИИ МОЛЕКУЛЯРНОГО ВОДОРОДА
В ПЛАЗМЕ ИМПУЛЬСНОГО РАЗРЯДА
В отличие от многочисленных работ по ионизации водорода
& низкотемпературной плазме, в которых исследуется атомная
103
водородная плазма, рассмотрим кинетику процесса с учетом
диссоциации и ионизации молекулы Н21.
В качестве параметров для расчетов выберем значения
Те,о, Ро и а 0 (начальная степень ионизации), типичные для
импульсного разряда: 7\>=1,3; 1,5 - и 2 эВ; аб = 0,001 и 0,01;
Ро=,О,ООО1; 0,001; 0,01; 0,1 и 1 атм при 273 К.
Анализ возможных элементарных процессов в водородной
плазме начнем с рассмотрения реакций с участием молекулярных частиц. Число таких процессов достаточно велико, их константы скорости сильно различаются по величине, а некото^
рые из них пренебрежимо малы в наших условиях.
Перечислим наиболее важные процессах участием молекулярных частиц, имеющие место в высокоионизованной низкотемпературной водородной плазме (согласно данным Дравина)*
1. Диссоциация. Возможны два различных механизма:
а) через первое отталкивательное состояние
б) при столкновении двух молекул в возбужденных колебательных состояниях
2. Образование ион-электронных пар:
а) путем, прямой ионизации основного электронного состояния
Н2 (
б) в двухступенчатом процессе
!
2
Н 2 ( 2^) + в->Н2+ ( 2*) + 2^->Н (1) + Н (1 )
3. Диссоциативная рекомбинация:
Н2+ ( 2 2*) + е->Н2 (32И) ->Н (Д) + Н (1).
4. Образование иона Н 3 + :
5. Образование возбужденных молекул 2 :
а) прямое возбуждение при электронных столкновениях
1
По результатам кандидатской диссертации Л..Р> Парбузиной «Физикохимические процессы в азотно-водородной плазме импульсного
разряда*
(МГУ, химический факультет, 1982).
2
Электронное состояние возбужденной молекулы Hi в работе не указано.
104
б) передача
возбуждения
столкновения
через
атом-молекулярны<
6. Распад возбужденных атомов и молекул при .столкнове
ниях с атомами или молекулами в основном состояниз
или при испускании кванта:
7. Рекомбинация ионов Н2+ и Н+. Этот процесс в основном
происходит на стенках реактора.
8. Образование иона Hh:
а) диссоциативное прилипание электрона
б) полярная.диссоциация
H2(3S^)+^в) диссоциативная рекомбинация
г) столкновительное «отлипание» электрона
д) нейтрализация
Как было установлено в результате предварительных расч<
тов, образование иона Н" в области выбранных нами значени
Те и ро несущественно.
После тщательного анализа значений констант скорости ос
давшихся процессов для выбранных условий остановимся на
следующих реакциях:
2. Н2(}Ъ ё) + е-+Н2+ (Ъ8) +2е,
2
3. Н 2 + ( 2 ^ ) + е ^ Н ( 1 ) + Н + + е ,
4. Н
5. H
105
(7.12с
Рассмотрим теперь процессы, приводящие к изменению на->
селенностей основного и возбужденных уровней атома водорода (согласно данным Капителли с сотр.).
1. Ударная ионизация атомов и тройная рекомбинация
ионов:
+
2. Ударное возбуждение и девозбуждение атомов;
3. Фотовозбуждение и спонтанное девозбуждение атомов:
А
'и
H(t)+ftv;£H(/).
А
н
4. Фотоионизация и излучательная рекомбинация:
Здесь Н ( 0 — атомы водорода в i-м энергетическом состоянии,
над стрелками указаны обозначения соответствующих констант
скорости процесса. Поскольку мы рассматриваем случай оптически тонкой плазмы, а процесс фотовозбуждения эквивалентен
проблеме реабсорбции линий, то его учитывать не будем. Про*
цесс фотоионизации соответствует Поглощению света и зависит
от геометрических размеров плазмы. Оценка поглощения в нашем случае показала, что, даже если излучение
пересекает
плазму по самому длинному пути, пропускаемость оптически
тонкой плазмы составляет —93%, т. е. фотоионизация пренебрежительно мала»
Поэтому для экспериментальных условий импульсного разряда можно практически пренебречь двумя процессами: фотоионизацией и фотовозбуждением. Ниже представлена полная
кинетическая схема ионизации водорода в импульсном разряде.
2. Н2 (Ч!£) + еЬ-+ Н2+ (2Sg) + 2e,
3.
4.
5. Н2+(22,) + Н 2 ( ^ ) ^ Н ^ + Н ( 1 ) ,
106
(7Л24)
6.
7.
F
H
8.
9.
Значения констант скорости k\—k$ для исследуемых температур приводятся в работах Капителли и сотр. Величины S, и
Р/ рассчитывались по полуэмпиричес^им формулам, взятым из
работы Дравина и Эмарда; ai рассчитывается в соответствии
с принципом детального равновесия:
где Ki(Te) — константа равновесия для i-ro уровня при температуре ТеУ ее вид известен (см., например, книгу Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера). Коэффициенты сц и Fa также были
рассчитаны по эмпирическим формулам, взятым из КНИГИ
Л. А. Вайнштейна и сотр., а коэффициенты Ац заимствованы
из книги Аллена.
Предложенная нами (совместно с Л. Р. Парбузиной) кинетическая модель дает обоснованное приближение, достаточно
хорошо отражающее реальную ситуацию в плазме импульсного
разряда в среде молекулярных
газов. Обозначим через
n H f , n H + , пн+, пе
концентрации соответствующих компонентов плазмы, через 'п% — концентрацию атомов водорода на i-w
электронном уровне, через / — время в секундах. Тогда система
дифференциальных уравнений, соответствующая кинетической
схеме, будет иметь вид
= — ( ^ + k2) пНжПе—
Stntn§—[£ (^ + a^)]nH+ne, (7.125
dnjdt = 2kxnHtne + (k3 + 2kt) nH**>ne + kbn
n
107
2
- ( t c»+Ip*+s>)
Л=/+1
n +
h 5! Ак>Пк~
i=l
'
*=/+l
LA»n't^l
Для численного решения удобно перейти к другим переменным, поэтому разделим концентрации всех компонентов на начальное число атомов в системе, т. е. на Afo=2[H2]o. Тогда относительные концентрации будут безразмерными и меняются
от 0 до 1. После такого преобразования получим приведенное
3
время x=tN0 (см~ -с). Новые обозначения приобретут вид
х 2 = ян,/#0> х 2 = я н + / # 0 | x3 = nH+/N09 xe=ne/N0,
Представим группу уравнений
в более удобной форме:
щ=пг/М0.
заселения отдельных уровней
Здесь ац — столкновительно-излучательные частоты реакций;
б/ — скорость рекомбинации на уровень /:
(7.126)
Окончательно система (7.125) сведется к виду
Х± = =
t
(«^ + /с27 Х^Хе
Я^Х^Х^
х2 = — (k3 4- А4) л : 2 * в — ^ Л + М
йх =
1=1
108
Обозначая через ао начальную степень ионизации, получим^
следующие граничные условия для системы (7.127):
при т = 0 *1°=(1-ао)/2,
о
о
*з =** =ао.
(7.128>
Численные расчеты с использованием алгоритма Гира проведены для электронных температур Те: 1,3; 1,5 и 2 эВ, началь4
ное давление водорода варьировалось от 10~ до 1 атм, начальная степень ионизации а 0 — от 0,001 до 0,01. Эти условия приблизительно соответствуют импульсному разряду с квазипрямоугольной формой токового импульса.
(5J-W0
7
2
а
t,MJ<c
0
100
200
t/fkc 0'
6
Рис. 46. Кинетические кривые ионизации молекулярного водорода: а — 7\»=
?=1,3 эВ, ро=О,1 атм, а о = 1 % ; б — Г в =1,3 эВ; ро==0,001 атм при разных:
значениях <х0 (/ — 1%, 2 — 0,1%, 3 — 0,05%); в — Г е =2,0 эВ, р а =
=0,001 атм, а о = 1 %
Типичные кинетические кривые изображены на рис. 46. Как:
видно из рисунка, поведение компонентов плазмы сложным образом зависит от трех основных параметров: начальной степени,
ионизации ао, температуры Г е и начальной плотности частиц.
(давление водорода р 0 ).
При увеличении температуры Те все процессы значительна
ускоряются (ср. рис. 46, б, в). Кроме того, при р = c o n s t происходит увеличение предельных значений хи+(хе). Так, при изменении Те от 1,3 до 2,0 эВ (ро=1 атм) хи+ возрастает на порядок.
При Те = const уменьшение р 0 приводит к возрастанию^
хн+(хс)9
так что при Те = 2 эВ и Ро<О,О1 атм хн+—1.
Относительная концентрация атомов водорода в основном состоянии:
падает при уменьшении р0 (см. рис. 46, а, в). Аналогично меняется и населенность возбужденных уровней атомов водорода.
При повышении степени ионизации и понижении давления
на кривых Hi(t) появляются максимумы (см. рис. 46, в). Этосвязано прежде всего с сильным уменьшением вклада рекомбинационных процессов.
Глава 8
МОДЕЛИ ПЛАЗМЫ
§ 1. МОДЕЛЬ ЛОКАЛЬНОГО ТЕРМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ (ЛТР)
Критерии применимости модели ЛТР
Введение. Для того чтобы по измеряемым в плазме величинам, например, по интенсивностям спектральных линий или
континуума или по ширине линий, определить некоторые параметры плазмы, положим ее'температуру, необходимо знать не
только плотности электронов, атомов и ионов в различных возбужденных состояниях, но и в общем случае вероятности стол кновительных и излучательных процессов ионизации и рекомбинации, возбуждения и девозбуждения, форму линий и коэффициенты поглощения. В плотных плазмах для расчета спектра
надо дополнительно решать уравнение радиационного переноса.
В оптически тонких плазмах последняя проблема отсутствует.
Расчет спектров значительно упрощается при наличии локального термодинамического или термического (как «го обычно называют в применении к оптически тонкой плазме) равновесия в плазме, когда нет необходимости в знании вероятностей
переходов, формы линий и коэффициентов поглощения, поскольку в этом случае имеет место баланс обратимых столкновительных процессов в соответствии с принципом детального
равновесия.
Локальное термическое равновесие. Если распределение
атомов и ионов по различным связанным состояниям, по крат*
ности ионизации и по скоростям в данной точке плазмы в данный момент времени такое же, как и в системе с термодинамическим равновесием при Vex же значениях температуры, массовой плотности и химического состава, говорят о наличии в плазме полного локального термодинамического равновесия.
В этом случае распределение тяжелых частиц и электронов
по скоростям описывается уравнением Максвелла, например
для электронов:
(8.1)
где пе — плотность электронов (см~ 3 ).
Распределение атомов и ионов по связанным состояниям задается уравнением Больцмана
JLS£L=Jl£Le
п(я)
110
"',
(8.2)
где р и q — значения главных квантовых чисел (номера возбужденных состояний), g(p) и g(q) — их статистические веса
и ер,<7 — энергия перехода между состояниями р и q.
Распределение ионов по кратности ионизации выражается
уравнением Саха
e X3/2 е
nz-\ '
gz-i
2
\
h
*Те ^
)
где еион — потенциал ионизации атома (2=1) или иона ( )
из основного состояния; г— 1 и z — кратность (заряд) ионов»
(в спектроскопии плазмы принято .считать для нейтральныхатомов 2 = 1 ) .
Плазма в состоянии термодинамического равновесия излучает как черное тело. Спектральная плотность излучения p v
в интервале длин волн от X до X+dX в соответствии с формулой.
Планка равна
1
8nhc
P
В лабораторной низкотемпературной плазме, которая обычна
является оптически тонкой, не выполняются условия абсолютного черного тела, и формула Планка (8.4) в этом случае
неприменима. Оптически тонкой плазмой называют плазму
с оптической толщиной x(v)<Cl (например, с t(v)<JO,l), причем
J
(8.5>
В однородной плазме T(v)=x v p/, где x v — массовый коэффициент поглощения, р — плотность вещества, / — толщина слоя
в направлении наблюдения.
В связи с этим плазму, в которой выполняются условия
(8.1) — (8.3), но не выполняется условие (8.4), рассматривают
находящейся в локальном термическом равновесии.
Частичное локальное термическое равновесие. Кинетические
расчеты Бейтса, Кингстона и Макуиртера, а позднее и Дравина
показали, что в оптически тонкой плазме, даже при относительно высоких плотностях электронов, уравнение Саха неприменимо к основному состоянию атомов (или ионов). Однако,,
как показали Макуиртер и Хирн, для возбужденных состояний
это уравнение может быть использовано при относительнонизких плотностях электронов (рис. 47). Величины а и Ьп определяются следующими соотношениями:
(8 6>
-
где индексы i и 1 относятся к
ш
главному
квантовому
числу,
через «eq» обозначены населенности в состоянии ЛТР, определяемые...ПО Те И tie,
Плазма будет находиться в состоянии частичного ЛТР, если
населенность возбужденных уровней, вплоть до уровня /
(сверху вниз), будет на 90% или более определяться уравнением Саха. Это имеет место, если, по Гриму, радиационный
распад с уровня / или более высокого уровня будет в 10 раз
менее вероятен, чем столкновительные прюцессы заселения этого
уровня.
Макуиртер первым ввел понятие столкновительно-излуча-.
тельного предела для уровня /, выше которого связанные сое-
Iga
Old
0f12
-2
-Ч
12
Ofld
14
16
78
101
Рис. 47. Частичное локальное
термическое равновесие в водородной плазме при разных
Т., К (/ — 64000; 2 —. 16000;
3 — 4000) и номерах уровней
i (4 — 2; 5 — 3; 6 — 15)
101
Рис. 48. Относительное заселение
состояний с tr=3 и 4 ионов О II:
/ — по результатам опытов Берга; 2 — по теории Гримма; 3 —
по теории Макуиртер а
тояния находятся в равновесии между соОой и с континуумом.
При низких плотностях электронов этот предел очень близок
к порогу ионизации. По мере повышения плотности электронов
предел уменьшается до тех пор, пока при некотором значении
не достигнет основного состояния. Тогда ко всем состояниям
будут применимы уравнения Больцмана и Саха.
Для водорода и водородоподобных ионов - Грим вычислил
значение / как функцию плотности пе и TeMnepafypbi Te электронов и заряда ядра z. Условию частичного ЛТР, по Гриму,
должна удовлетворять
минимальная плотность электронов
в соответствии с соотношением
ю
a
2л 1 / 2
112
1/2
СМ" 3 ,
(8.7)
где а0 —боровский радиус; а—• постоянная тонкой структуры;
8iH — потенциал ионизации атома водорода или водородоподобного иона, когда z2e\H=z2e2/2a0. Частичное ЛТР наблюда^
ется вплоть до ч = 2 (первый возбужденный уровень): а) для
водорода с Те=1 эВ при пе^6-1015 см~3; б) для гелия с Т е =
= 4 эВ при Пе>7- Ю17 см- 3 .
Берг определил населенность однократно заряженного иона
О II в состояниях с / = 2, 3, 4 при 24600 К и различных плотностях электронов. На рис. 48 приведены результаты опытов
и расчетов населенностей уровней 3 и 4. В качестве подходящего эффективного заряда иона О И выбрано значение г Э ф=1Д
Из рисунка видно, что для энергетических уровней иона О II
нет заметных отклонений от ЛТР даже при меньших плотностях электронов,„ чем это должно было бы наблюдаться по теориям Грима и Маг^уиртера в «водородном» приближении.
Дравин ввел квантово-механические поправки W\ и Ч?2
к классическим выражениям Грима, так что для водородоподобных ионов условиями частичного ЛТР в плазме являются следующие:
i
i7/2
/ kT° VV/ f2 {ЧЛЩ}*)]-1 свг-*; для атомов
\-*8? ; х i p F ^ / / 3 ) ] - 1 см-3, для ионов,
(8.8)
где Ui=z2&iH/kTe. Это уравнение приводит к более высоким
плотностям (примерно в четыре раза) электронов, чем критерий
Грима уравнения (8.7), при малых и средних квантовых числах
•/ и к меньшим плотностям (примерно на порядок) электронов
при высоких'квантовых числах (/>8).
Полное локальное термическое равновесие. Полное ЛТР
имеет место в оптически тонкой плазме, по Гриму, если скорость столкновительного заселения основного уровня, по крайней мере, в 10 раз выше, чем, скорость радиационного распада
верхнего уровня резонансной линии. Это осуществляется при
выполнении условия
ИЛИ
Для водорода, например сТе=ЛэВ,
полное ЛТР достигается
при пе> Ю17 см~3. На рис. 49—50; показаны результаты измерений температур, выполненных В. Н. Колесниковым в свободно горящей дуге в аргоне и гелий при атмосферном давлении.
. Различия в температурах, проявляющиеся при малых плотное5
И. А. Семиохин
ИЗ
15
3
тях электронов, исчезают в аргоне при п е >8-10 см~ (при
16
3
/>12 А),в гелии при Аг е >5-10 см- ( п р и / > 2 0 0 А ) .
Дравин показал, что для полного ЛТР в плазме вместо
разницы 62—ei в- уравнении (8.9) надо ввести максимальную
разницу ЛеМакс=е/+1—е/ между двумя соседними уровнями для
данного атома или иона. В водороде и гелии эта разница отвечает энергии перехода между основным и первым возбужденным уровнями. Однако существует много систем, которые отк-
Т. 70 3 К
10
2
10
7
*****
-г-Ssm
5.
Ц
***
15,0
1
75,5
I
16,0
1
/6,5
14
lgne
100 LA
10
1
15
10
16
100
17 1дпе
1000.1 А
^ис. 50. Температуры,
измеренные в гелиевой плазме с 5,% неона и небольшими добавками водорода: / — 7V, 2 — Траспр
VHC. 49. Температуры, измеренные
в аргоновой плазме с небольшими
добавками
водорода
(свободно
горящая дуга при L атм):
/ —
Те из относительных
измерений
тормозного
излучения;
2. —
7*вОзб из уровней аргона относительно основного состояния; 3 —
Тцов из формулы Саха;
4
—
Ураспр из населенностей высоко-,
лежащих уровней
(по Больцман
У)э Т'распр совпадает с . Г г а з
лоняются от этого правила. Так, например, О II имеет L
= е 4 —8з=10 эВ, тогда как 82—ei = 3,3 эВ и ез—82=1,7 эВ.
С учетом квантово-механических поправок Дравин получил
следующие условия применимости полного ЛТР в оптически
тонкой плазме:
. I016
£макс—1
X
е) см~ 3 , для атомов
Ф 2 (А««
3
е) С М - , ДЛЯ ИОНОВ,
(8.1.0)
где Д и м а к с = ( е м а к с _ е м а к с _ 1 ) / ^ Г е .
Численные значения пе, найденные по уравнению (8.10), отличаются от более ранних результатов других авторов не более
чем в 3—4 раза. Однако температурная зависимость получается
114
иной, что обусловлено использованием для расчета поперечных
сечений элементарных столкиовите^ьных процессов возбуждения и ионизации не классических формул Ситона и Томсона, а
других — квантово-механических выражений.
В оптически толстой плазме ( t ( v ) > l ) , например при сильном поглощении в резонансных линиях Лаймана, полное ЛТР
будет иметь место при меньших плотностях электронов, чем
в оптически тонкой плазме, т. е. по Гриму — при условии
(8.11)
В то же время условия применимости частичного ЛТР по плотности электронов (ур. 8.7, 8.8), даже при сильном резонансном
поглощении излучения, меняются (пе уменьшается) не более
чем в два раза.
Нестационарная однородная плазма. В нестационарной однородной плазме модель частичного ЛТР применима, если в дополнение к неравенствам (8.7), (8.8) выполняется условие
постоянства температуры за времена установления равновесного распределения по связанным состояниям (процессы ионизации и рекомбинации) при столкновениях тяжелых частиц
с электронами. Для водорода при kTe=l эВ и пе=\016 см~3
тВозб = 3 мкс, для ионизованного гелия при kTe = 4 эВ и пе =
= 1018 см~3 Твозб = 0,3 мкс и Тион=10-3 мкс, т. е. на много меньше
времени изменения макроскопических характеристик плазмы.
Следовательно, нестационарная природа плазмы редко вызывает отклонения от частичного ЛТР между возбужденными состояниями и свободными электронами.
Совсем по-иному обстоит дело с высокотемпературной нетермической плазмой, когда кинетические температуры различных
компонент плазмы могут значительно отличаться друг от друга.
Условие полного ЛТР выполняется в нестационарной однородной плазме, если время существования плазмы больше времени релаксации основного уровня:
(8.12)
и больше времени существования возбужденных уровней:
(8.13)
При низкой плотности электронов релаксация определяется
в основном вероятностями спонтанных переходов (коэффициентами Эйнштейна).
Неоднородная стационарная плазма. В неоднородной стационарной плазме градиенты плотности и температуры будут
вызывать диффузионные потоки разного вида. Если скорость
диффузии велика и диаметр плазменной колонны мал, релак5*
115
сационные явления могут привести к пространственному'
делению частиц по плотностям и кратностям ионизации.
Более чувствительными к их неоднородностям будут основные уровни частиц, так как поперечные сечения их заселения
гораздо меньше, чем у высоковозбужденных уровней. Если
характеристическая длина плазмы / (диаметр колонны или
доля диаметра) больше средней длины диффузии lD, определяемой по формуле Эйнштейна
ID= (xz-\,\
(8.14)
I 1/2
то можно пренебречь пространственной релаксацией основного
уровня. (Средней длиной диффузии в плазме называют расстояние, которое проходят частицы в основном состоянии, прежде
чем они придут в равновесие с электронами.)
Поскольку для полного ЛТР в плазме требуется высокая
плотность электронов, более важными в неоднородной плазме
будут столкновения между ионами и атомами (резонансная перезарядка) и столкновения между ионами. Коэффициент диффузии атомов при резонансной перезарядке выражается следующей формулой (по Дравину):
\6па20 пгЛ
(8.15)
\ тг
где пг,и тг и Т 2 — плотность, масса и температура ионов. Для
атомов водорода, гелия и аргона в основном состоянии в оптически тонкой плазме найдены следующие значения средних
диффузионных длин (таблица).
Таблица
Средние длины диффузии lD (см) при пе — Ю16 см~3
Газ
н
Не
Аг
. т, к
12000
16000
24000
48000
1,9
1900
4,5
0,19
14
0,092
0,034
9,8
0,02 Г
0,078
Из таблицы видно, что при пе=1016 см~3 полное ЛТР с трудом устанавливается во всех газах при температуре
ниже
12 000 К, а в гелии — даже при температуре 24 000 К.
Для высоковозбужденных уровнейа>о\ и Ь,;<Ь,ь следовательно, для них при тех же условиях легче устанавливается
ЛТР (частичное).
§ 2. КОРОНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ПЛАЗМЫ
Если скорость радиационного распада для связанно-связанных и свободно-связанных переходов больше скорости столкно-;
116
вительных процессов (что наблюдается в солнечной короне),
имеет место корональное распределение.
В стационарной корональной модели плазмы заселенность
возбужденных уровней р вычисляется, из условия
• Sipneni=Apnp9
(8.16)
где Sip — коэффициент скорости столкновительного возбуждения при температуре Те и Ар — общая вероятность перехода
с уровня р. *
' •
wo
ю
V
\
1 \
01
\
10"
u-3
Рис. 51. Степень ионизации в
водородной плазме в зависимости от плотности электронов
при Те= 16000 К: 1 — корональное распределение;
2 —
ЛТР-распределение
Рис. 52. Области
применимости
рассматриваемых моделей
водородной плазмы:
1 — Н:Н+ = 50:50, z - 1 , формула
Саха; 2 — граница СИ-модели;
3 — граница
ЛТР-модели, Н,
г=1;
4 — граница
корональной
модели, Н, 2 = 1 , р = 6; 5 —:'
+
Н:Н = 50:50, z—\,
корональная
модель и 6 — Не+:Не2+ = 50:50,
z ='2, корональная модель
Для ионизации частицы с зарядом z—1 имеет силу соотношение
Sfl*-i = p(O/fc,
(8.17)\
где S — коэффициент скорости столкновительной ионизации;
P(i) — коэффициент скорости радиационной рекомбинации
(для перехода i-+i—1).
Коре«альная модель плазмы ограничена сверху плотностью
электронов в соответствии с условием
4
117
см- 3 ..
(8.18)
Сопоставление неравенств (8.9) и (8.18) показывает, что
минимальная плотность электронов для ЛТР-модели плазмы и
максимальная плотность электронов для корональной модели
различаются примерно на шесть порядков для водорода и водородоподобных ионов.
На рис. 51 показаны кривые коронального распределения (1) и ЛТР-распределения (2) для водородоподобной плазмы
при z = l и Г е = 16000 К (по Вильсону). Сплошная кривая получена из расчетов Бэйтса и сотр. При плотности электронов
менее 1011 см~3 имеет место независимое от плотности электронов корональное распределение. При плотности электронов более 1017 см~3 наблюдается термическое (равновесное) распределение, обратно пропорциональное .плотности электронов. Максимум на рпытной кривой обусловлен более .быстрым ростом скорости ионизации в начальных стадиях при плотности электронов 1011 см- 3 </1 е <10 1 7 см- 3 .
§ 3. СТОЛКНОВИТЕЛЬНО-ИЗЛУЧАТЕЛЬНАЯ МОДЕЛЬ
Между ЛТР- и корональной областями (см. рис. 51) ситуация сложна, и надо решать систему дифференциальных уравнений, описывающих все скорости заселения и распада связанных состояний. Для стационарной однородной плазмы большую
помощь оказывает столкновительно-излучательная (СИ) модель, впервые предложенная Джиованелли и Д'Анджело, а затем детально исследованная Бэйтсом, Кингстоном и Макуиртером. В этой модели учитываются электронные столкновения,
вызывающие переходы между верхними уровнями
и тройную рекомбинацию
При очень высокой плотности электронов СИ-модель переходит в ЛТР-модель плазмы (рис, 52). Из рисунка видно,
что в лабораторных низкотемпературных плазмах могут наблюдаться области применимости различных моделей в зависимости от плотности и температуры электронов.
В соответствии с этим.при определении электронной температуры из спектральных данных необходимо пользоваться формулами, отражающими истинное состояние (модели) плазмы.-
Глава 9
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ И ПЛОТНОСТИ
ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ ИЗ СПЕКТРАЛЬНЫХ ДАННЫХ
ВВЕДЕНИЕ
В каждом случае, прежде чем определять температуру и
плотность частиц в низкотемпертурной плазме, необходимо детально оценить применимость той или иной модели и уравнений,
связывающих определяемое параметры плазмы (температуру,
плотность и т. д.) с измеряемыми величинами (интенсивностью
линий, полос или континуума, шириной или сдвигом линий
и т. п.). При наличии ЛТР в плазме определение параметров
плазмы основывается на применимости: .
а) больцмановского распределения энергии и частиц по
дискретным уровням (интенсивности спектральных линий иди
полос либо непрерывного излучения при свободно-связанных
переходах);
б) максвелловского распределения частиц по скоростям
(интенсивность континуума при свободно-свободных переходах
или уширение линий благодаря допплеровскому эффекту);
в) уравнения Саха (интенсивность линий ионов разной кратности, штарковское уширение линий, зависящее от плотности
заряженных частиц). *
§* 1. МЕТОДЫ ДИАГНОСТИКИ ЛТР-ПЛАЗМЫ
Температура оптически тонкой однородной ЛТР-плазмы определяется многими методами..
Наиболее простым в лабораторной практике является метод,
основанный на измерении относительных интенсивностей спектральных линий:
h
где At.— коэффициент Эйнштейна; щ — плотность частиц в ос-»
новном состоянии; Q, — сумма по состояниям.
Для одного и того же атома или иона Q\ = Q2 и П1 = я 2 , так
что
А
=
Aiik.
е х р
( _ ll=H.)
f
(9
.2)
откуда
I n — ^ — = — ^ +const,
т. е. по наклону прямой (рис. 53), характеризующей
119
(9.2a)
зависи-
мость левой части уравнения от энергии возбуждения атома
(или иона) с/, можно определить температуру плазмы.
Из отношения
kT
А
(1хц%)
(9.3)
Т
видно, что точность определения температуры тем выше, чем
больше разность энергий верхних уровней двух линий. При намерений отношения интенсивностей линий с точностью в 10%
при 7-20000 К, например, пара линий Не I 4026 А и 3889 А
показывает неточность в определении температуры в 19%.
ж
1
ОТН
20
30
40
50
Т. 103К
Рис. 54. Зависимость от температуры интенсивностей линий Нр
(Х=4861 A), O i l (Л,=4561 А) и
О III (Х=3447 А)
"Рис. 53. Определение температуры плазмы по относительным интенсивностям спектральных линий
Повышения точности можно достичь, используя уровни, принадлежащие ионам разной кратности одного и того же элемента. Однако в формуле для отношения интенсивностей
Л.
о ^SiM
f 2stmkT \
(9.4)
X ехр
появится дополнительно плотность электронов, которую надо
вычислять по уравнению Саха как функцию температуры. Кроме того, необходимо определить снижение энергии ионизации
ЛеИОн, обусловленное взаимодействием атома с окружающими
его заряженными частицами плазмы и равное, по Гриму и Эккеру
8яео/>
где lD — дебаевский радиус экранирования.
120
(3.36а)
Можно использовать относительные интенсивности линии
ионов различных элементов, поскольку для них уравнения Саха
связаны одними и теми же значениями Т и пе'. Отношение 1\\1%
в этом случае сильно зависит от Т:
A e J s f i . (2*1)* *L J&, expf-^Ц,
(9.5)
где ai и а г — степени ионизации двух элементов; f\ и /г — силы
ОСЦИЛЛЯТОрОВ
ЛИНИЙ; Дб=8ион.,1—е И он.,2 ~
(8i*—82*)#,
8ион,1
И
8Ион,2 •—. потенциалы ионизации 'этих элементов. Можно установить верхнюю и нижнюю границы области температур, для которых применим метод относительных интенсивностей линий.
В области высоких температур рассматриваемые отношения
начинают слабо зависеть от температуры. Следовательно, для
измерения температуры плазмы в конкретных условиях надо
выбирать те атомы или ионы, потенциалы возбуждения которых того же порядка, что и электронная температура. Пр*ьболее низких температурах, когда отношение интенсивностей становится очень большим, применение метода невозможно, если
интенсивность линии с более короткой длиной волны настолько
мала, что ее не удается зарегистрировать. В качестве максимальной величины. отношения интенсивностей принимают значение 103. За наибольшее, возможное для измерений, значение
температуры принимается такое, при котором наклон логарифма отношения интенсивностей как функции логарифма температуры равен единице.
Фаулёром и Милном развит впервые в астрофизике, а затем
применен Ларенцом к лабораторной плазме, генерируемой
в дугах, так называемый метод «нормальных»
температур.
Если нанести зависимость интенсивности линии от температуры
с плотностью частиц, получаемой при решении уравнения Саха
и уравнений электронейтральности и материального баланса,
то интенсивность каждой линии (по Лохте-Хольтгревецу):
/ = j /А = / J evdv = ~ - Akinkhvl =
=
JLAkiJ£-nhvle-**»!T
(9.6)
будет иметь максимум при определенной температуре Гн, называемой «нормальной» £ля линии. /
Максимум I = f(Ty не является резким, поэтому точность
определения Г, хотя и выше, чем в методе, относительных интенсивностей линий, все же недостаточно высока.
Для более точного определения температуры ЛТР-плазмы
применяют метод измерения наклона кривых абсолютных интенсивцостей в зависимости от температуры (рис. 54):
A(p, д)/1уфгд)М,
p
121
(9.7)
ер
где пр=пое ер
. Неопределенность в вычислении температуры
в этом случае много меньше, чем неопределенность в измерении
интенсивности. Связь между этими ошибками дается формулой^
Обычно kT/hv<l, и вследствие этого Д7/Г<Д///.
Можно определить температуру плазмы и по непрерывному
излучению (континууму), измеряя абсолютную интенсивность
такого излучения при различных длинах волн. Наклон ln/ v от
v даст значение Т. Излучение при свободно-связанных переходах всегда примыкает к границам серий и наблюдается в области, близкой к ; зидимой:
.(9.8)
где, например, для водорода
const = — г т п т г осл (bum6к) '
Свободно-свободные переходы, приводящие к тормозному
излучению электронов, описываются следующей формулой:
/ f f = const . z* J!tg-*-*/«•.
. (9.9)
Эти переходы преобладают " в микроволновой или инфракрасной области. Метод Грима основан на измерении отношения интенсивностей линий и континуума в области 50—100 А,
в середине которой находится центр линии. При этом необходимо учитывать одновременно свободно-связанные и свободносвободные переходы:
/ v = const-z2-^g§- |[l_*-fcv/«] J L g ( V f 7) + Ge-*v/*rb
(9.10)
где у — множитель, учитывающий статистический вес иона;
g(v, T) — фактор Бибермана, учитывающий скачкообразное изменение /v от v у границ серий^ G — фактор Гаунта, вносящий
квантово-механические поправки в классическое сечение фотоионизации.
Ситон предложил определять электронную температуру по
отношению интенсивностей континуума по обе стороны границы
серии Бальмера. Метод, примененный впервые Ситоном для
оценки электронной температуры в планетарной туманности,использован позднее Шлютером для измерения температуры
водородной плазмы в радиочастотном разряде. Метод применим для определения температур ниже 105 К, когда отношение
интенсивностей континуума заметно меняется с изменением-температуры (рис. 55). Точность определения температуры ЛТР*
плазмы увеличивается на порядок, если в относительно большом интервале изменения температур провести сравнение хода
122
6г
10
2
7
\
т,к .
V
. мое
12000уГ
- 1)000 /32
1
19А
10500/25
-5
01
15000
У 20
i
i
\
i
i
10°
Рис. 55. Зависимость от электронной температуры отношения интенсивностей (выраженных в фотонах)
континуума водородной
плазмы в выделенных спектральных интервалах:
1 — Я, 900 АД, 930 А (лаймановский скачок); 2 — Нт/континуум;
3 — К 3500 АД, 4500 А . (баль-меровский скачок); 4 — X,
3500 АД,
2500 А; 5 — Л,
6000 АД, 2500 А
Рис. 56. Сравнение интенсивностей линий Arl
(Я=4300 А)
и
Aril
(Я=4806 А). Измеренные
точки относятся к различным токам дуги. Сплошная линия — теоретическая кривая
\,Ч713А
14000
3960
Рис. 57. Сравнение интенсивностей линии Arl (A,=4300 А) и континуума при 3960 А. Измеренные точки относятся к различным
токам дуги
Рис. .58. Зависимость от электронной температуры отношения интенсивностей (выраженных в фотонах) синглетной и
триплетнои линий гелия
двух интенсивностей, например, одной линии Аг I и одной линии
Аг II или одной линии (Аг I или Аг II) и континуума (рис. 56,
57).
Пунктирная линия на рис. 57 (ниже 12 А) означает отклонение от ЛТР. Для повышения точности определения темпера-туры плазмы можно использовать сравнение вышеуказанных
интенсивностей линии и континуума с интенсивностью излучения черного тела и полушириной одной из линий.
В неоднородной оптически тонкой ЛТР-плазме коэффициент
испускания является функцией расстояния от оси плазменного
хтолба, поэтому для определения интегральной интенсивности
излучения плазмы делят ее радиус на несколько (10—40) частей и решают на ЭВМ уравнение Абеля
( 9 Л 1 )
где у — расстояние от оси.
В ЛТР-плазмах, не являющихся оптически тонкими, температуру определяют обычно по обращению спектральной линии.
Для этого за плазмой помещают независимый источник света.
Интенсивность излучения плазмы определяется по формуле
/v^ = B v { l - e x p [ - - x ( v ) / ] } ,
(9.12)
где By, — спектральная яркость излучения (по Планку), или
функция Планка; x(v) — коэффициент поглощения, равный
х (v)
V
'
J
^.
4яр
Г_л± v *<* _JL- ± (1 -€т^е)
(6я) 3 / 2 \ kTe )
hem2 v3
v
/
v
(д 13)
/
Полная интенсивность излучения вместе^с излучением независимого источника s дается выражением
,пл+/у,5 ехр[—x(v)/J,
(9.14)
в котором учитывается поглощение в плазме толщиной / некоторой доли излучения источника. Определив Bv, находят
значение Т.
Температуру тяжелых частиц в таких плазмах (если это понятие существует) можно определить по скорости звука:
(9.15)
где у— показатель адиабаты.
В нестационарных ЛТР : плазмах (пинчи, СВЧ, импульсные
разряды и ударные волны) установление ЛТР следует проверять в каждом случае отдельно, поскольку "процессы релаксации могут задерживать наступление ожидаемого равновесия.
Так, термализация ^электронов (установление Максвеллозского распределения по скоростям) при п в = 1017 см~3 и &Г=1 эВ
124
имеет "т^~10~ 7 с. Поэтому для процессов, происходящих за
времена, меньшие, чем 10~7 с (СВЧ — разряды с частотой
выше 10 Мгц), может наступить заметное отклонение от
максвелловского распределения, т. е. может отсутствовать важный для процесса ионизации энергетический «хвост» распределения. Если неизвестно действительное распределение электронов по скоростям, надо ясно представлять, что спектроскопическое* измерение может привести к значениям температур, которые отличаются от действительной эффективной температуры
в 2—3 раза. Под эффективной температурой здесь всегда понимается средняя кинетическая энергия электронов, т. е.
3/2 кТв.
Время установления кинетического равновесия между электронами и тяжелыми частицами (атомами или ионами), как и
время установления больцмановского распределения энергии по
возбужденным состояниям при ne=W7 см~3 и /гГ— 1 эВ, того
же порядка (10~7 с), что и время установления максвелловского распределения по скоростям. Время, необходимое для установления ЛТР, зависит от числа и вида столкновений (упругие
или неуйругие). При высоких плотностях частиц и низких напряжениях поля относительная разность (Те—Tg)/Te оказывается небольшой. Так, при 8000 К и Е~20 В/см в воздухе
ДГ = 4 К.
§ 2. ДИАГНОСТИКА ПЛАЗМЫ, НЕ НАХОДЯЩЕЙСЯ
В СОСТОЯНИИ ЛТР
Оптически тонкую плазму, не находящуюся в состоянии
ЛТР, исследуют с помощью методов, не зависящих от больцмановского или максвелловского распределения или от уравнения
Саха.
В плазме, описываемой корональной моделью (при низкой
плотности электронов), можно по зависимости функции (или
сечения) возбуждения <pi* уровня k из основного состояния от
Т е определить значение электронной температуры. При определении Те из интенсивности одной линии:
необходимо знание пе и пг-\. При определении Те из отношения
ннтенсивностей линий этого не требуется. Для повышения точности метода выбирают линии одного и того же элемента,
функции (или сечения) возбуждения которых сильно различаются. Каннингхем, например, предложил использовать комбинацию из синглетной и триплетной линий гелия. На рис. 58
изображено такое отношение интенсивностей.
125
Нормальная температура Те(0) может быть определена по
формуле ионизационного равновесия для дуговых линий:
Те(0)=
еК
где
'
еИон —
8
'26>
1028ион
—
:
1—0,162а —0,134 lg[rz n (l + г ) ] — 0 , 2 lge H 0 H
энергия ионизации
атома
(эВ);
(9.17)
К,
'
*
а = еВозб/еиоН;
г =
— Tg/Te'y zn — число эквивалентных электронов во внешней оболочке атома. Температуру электронов можно оценить по излучению плазмы в микроволновой области спектра. Мощность
излучения равна
P(v)=x(v)7VA/ f
(9.18)
где'х(г) — коэффициент поглощения плазмы; Гг — эффективная радиационная температура, равная Те при м'аксвелловском
распределении электронов по скоростям.; Д/ — полоса пропус-.
канияволноводного приемника.
Для неводородной плазмы температуру электронов можно
определить из квадратичного эффекта Штарка. В этом случае
ширина и сдвиг линий пропорциональны плотности электронов,
а их отношение по неадиабатической теории не зависит от пе>
но зависит от электронной температуры. Метод пригоден для
плазм при TV^IO5 К.
Температура электронов может быть определена из полуширины линии рассеяния лазерного излучения в плазме в пределе томсоновского рассеяния излучения на свободных электронах:
М = 4 К2~йГ2 — l / ^ L Sin А ,
с
f
m
2
(9.19)
где X — длина волны зондирующего излучения; Э — угол рассеяния.
§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ И ВРАЩАТЕЛЬНОЙ
ТЕМПЕРАТУР МОЛЕКУЛ
Колебательная температура молекул определяется по относительным интенсивностям отдельных полос двухатомных молекул, принадлежащих одной и той же системе полос. Известно, что сумма сил всех полос с одним и тем же верхним или
нижним состоянием пропорциональна числу молекул в этом
состоянии, т. е.
In У} -IssL = сх—
8 {v)
или
v4
kT
v'
126
he,
(9.20)
Вращательная температура молекул определяется путем измерения интенсивностей вращательных линий в молекулярной
полосе двухатомной молекулы. Число молекул на вращательном уровне основного колебательного состояния равно
где / — вращательное квантовое число;
постоянная молекулы (см""1):
В — вращательная
в
'--кг-
<9-21а>
/ — момент инерции молекулы. Интенсивность вращательных
линий определяется силой линии s, умноженной на число молекул на начальном уровне Nji
Можно показать, что
где S/'/*— фактор Хёнля—Лондона, определяющий относительные интенсивности ветвей внутри полосы; е Бр = В -2— /'(/'•+ 1) —
энергия верхнего вращательного уровня.
Если рассматривать R и Р — ветви полосы, то на кривой
зависимости интенсивности от длины волны будет существовать
одна точка, где обе ветви имеют одинаковые интенсивности.
Эта точка определяет температуру даже в том случае, когда
некоторые линии, образующие ветви, полностью не разрешены.
§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОЙ ТЕМПЕРАТУР^ АТОМОВ
(ИЛИ МОЛЕКУЛ)
Поступательная температура атомов (или молекул) определяется при измерении полуширины ДА, излучаемой линии, уширенной вследствие эффекта Допплера
ГЧ—7
ДЯ, = 7,16 > 10-7Х]ГТ/Ж
(9.23)
•если профиль интенсивности — гауссовский. Определению температуры по допплеровским профилям линии мешают турбулентность и резонансное уширение линий, которые все же можно отделить при измерениях. График зависимости интенсивности
от ДА, показывает, какой эффект уширения линий доминирует.
127
§ 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ЭЛЕКТРОНОВ
Плотность электронов пе при наличии ЛТР в плазме определяется из ширины линии при линейном: и квадратичном
штарк-эффектах. Профили водородных линий с линейными
штарк-эффектом (особенно профиль Н г линии) позволяют легко
определить пе:
М = п2С22^-пе^,
(9.24)
где АХ — полуширина линии Н р .
Чаще для этой цели используется зависимость lg ДА ОТ
\gne (рис. 59), поскольку температура мало влияет на полуширину линии.
Для неводородной плазмы пе определяется из уширения или
сдвига линий вследствии квадратичного эффекта Штарка
АХ=1У82 - С1/3 ~^-nevW.
(9.25)
с
Совпадение опытных значений пе с вычисленными составляет
25—30%. Можно определить пе и из измеренных ширин ионных
линий, хотя точность недостаточно высока — до 50%.
цлх
Т= 40 000 К
V
1(\,чоооЮ
фотон-см*-с~ -А
ofi
^'1Вг^
ofi
о
10'
-0,4
-18
-о/
10
14
15
16 17
Рис. 59. Зависимость логарифма
полуширины линии Нр от логарифма относительной плотности
электронов: Sa — функция, описывающая профиль линии
10н
10°
10°
W
Рис. 60. Зависимость от температуры спектральной плотности континуума водородной плазмы (на
длине волны 4000 А)
Более простым является определение пе из сдвига границы
серии. Согласно формуле Инглиса и Теллера для водорода
можно
(9.26)
In л/^23,26^7,5 ^
где Лмакс — главное квантовое число последней бальмеровской
линии, которая может наблюдаться в спектре раздельно. При
низких 7V следует учитывать влияние 'атомов и вместо п?
в уравнении (9.26) надо подставить (пе + п+).
Плотность электронов в некоторых случаях находится по относительной интенсивности линий, принадлежащих атомам различных кратностей ионизации (ур. 9.4) или из абсолютных инте'нсивностей линии либо непрерывного излучения (ур. 9.7—9.9)
(рис.69).
Для ЛТР-плазм, не являющихся оптически тонкими (при
р < 5 атм), пе определяют по изменению показателя преломления п э л :
пэл-1 = - ^ ^ ,
(9.27>
где Го=б 2 /т е с 2 =2,8ЫО~ 1 3 см — «классический радиус» электрона. Для исследования плазмы применяют лазерный или градиентный интерферометр.
.
В плазмах, не находящихся в состоянии ЛТР и не являющихся оптически тонкими, плотность электронов вычисляют ш>
абсолютной интенсивности зондирующего лазерного излучения,»
рассеиваемого свободными электронами:
Ie/Im = ПеОт/ПтОц,
(9.28)
где of И OR — сечения томсоновского (на электронах) и рэлеевского (на молекулах) рассеяния, отношение которых не зависит от плотности рассеивающих частиц. Плотность плазмы
можно определить также по поглощению 7" л У ч е й и л й пучков»
быстрых электронов или по поглощению излучения в крыльях,
линий.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
литература
В а й н ш т е й н Л. А., С о б е л ь м а н И. И., Ю к о в Е. А. Сечения возбуждения атомов и ионов электронами. М., 1973. 144 с.
Г р и м Г. Спектроскопия плазмы. М., 1969. 452 с.
Диагностика плазмы/Под ред. Р. Хаддлстоуна и С. Леонарда. М., 1967.
-516 с.
Кинетические процессы в газах и плазме/Под ред. А. Хохштима. М.,
1972. 368 с.
К о н д р а т ь е в В. Н., Н и к и т и н Е. Е., Р е з н и к о в А. И., У м а н " с к и й С. Я. Термические бимолекулярные реакции в газах. М., 1976. 192 с.
М е с с и Г., Б а р х о п Е. Электронные и ионные столкновения. М., 1958.
^604 с.
Методы исследования плазмы/Под ред. В. Лохте-Хольтгревена. М., 1971.
552 с.
С е м и о х и н И. А., С т р а х о в Б. В., О с и п о в А. И. Кинетика гомогенных химических реакций. М., 1986. 232 с.
С м и р н о в Б. М. Физика слабоиониаованного газа. М,, 1978. 416 с.
Теоретическая и прикладная плазмохимия/Под ред. Л. С. Полака. М-,
1975. 304 с.
Х а с т е д Д ж . Физика атомных столкновений. М., 1965. 710 с .
Ш к а р о в с к и й И., Д ж о н с т о н Т., Б а ч и н с к и й М. Кинетика частиц плазмы. М., 1969. 396 с.
Дополнительная
литература
К главе 2
Г и р ш ф е л ь д е р Дж., К е р т и с . Ч . , Б ё р д Р. Молекулярная теория
тазов и жидкостей. М., 19-61. 929 с.
Г л е е с т о н С , Л е й д л е р К., Э й р и н г Г. Теория абсолютных скоростей реакций. М., 1948. 584 с.
Л е о н а с В. Б., С а м у и л о в Е. А.//ТВТ. 1966. Т. 4. С. 710—724.
Ф и р с о в О! Б.//ЖЭТФ. 1957. Т. 33. С. 696—699.
D a l g a r n o A., K i n g s t o n A. E.//Proc. Phys. Soc. 1959. Vol. 73.
IP. 4 5 5 _ 4 6 4 .
D i r a c P. A. M.//Proc. Roy. Soc. 1929. Vol. A123. P..714—733.
L i n n e t t J. W.//Trans. Farad. Soc. 1940. Vol. 36. P. 1123—1134.
M o r s e Ph. M.//Phys. Rev. 1929. Vol. 34. P. 57—64.
V a n d e r s l i c e J. Т., M a s o n E. A., L i p p i n c o t t E. R.//J. Chem.
iPhys. 1959. Vol. 30. P. 129—136.
V a n d e r s l i c e J. T . , J M a s o n E. A , M a i s h W, О.//1Ш. 1959. Vol. 31.
P . 738—746, 1960. Vol. 32. P. 515—524.
К главе З
И с и х а р а А. Статистическая физика. М., 1973. 472 с.
Ч а н д р а с е к а р С. Принципы звездной динамики. М., 1948. 263 с.
D r u y v e s t e y n M. J., P e n n i n g F. M.//Rev. Mod. 1 Phys. 1940. Vol. 12.
p . 87—174.
E c k e r G., K r o l l . W . / / P h y s . Fluids. 1963. Vol. 6. P. 62—69.
F o c k e r A. D.//Ann. de? Phys. 1914. Bd 43. S. 810—820.
M o o r e Ch. E.//Atomic Energy Levels, Circular of the National Bureau
o f Standards, 467, Washington, 1949. Vol. I, II.
P l a n c k M.//Sitzber.,der Preuss. Akad. 1917. S. 324; по кн. И. Шкаров«ского и др. С. 192.
130
К главе
4
М а т в е е в А. Н. Молекулярная физика. М., 1981. 400 с.
С т у п о ч е н к б Е. В., Л о с е в С. А., О с и п о в А. И. Релаксационные
процессы в ударных волнах. М., 1965. 484 с.
К главе
5
К о н д р а т ь е в В. Н., Н и к и т и н Е. Е. Химические процессы в газах,
М., 1981. 262 с.
М о т т Н., М е е с и Г. Теория атомных столкновений. М., 1969. 756 с
С и т о н М.//Атомные и молекулярные столкновения/Под ред. Д. Бэйтса. М., 1964. 361 с.
С м и р н о в Б. М.//ТВТ. 1966. Т. 4. С. 429—449.
С м и р н о в Б. М. Атомные столкновения и элементарные процессы i
плазме. М., 1968. 364 с.
Т а мм И. Е.//ЖЭТФ. 1948. Т. 18. С. 337—345; Т. 19. С. 74—77.
Ф и р с о в О. B.//Ibid. 1951. Т. 21. С. 1001—1008.
Ш и ф ф Л. И. Квантовая механика. М., 1959. 474 с.
B a t e s D. R.//Proc. Roy. Soc. 1957. Vol. A243. P. 15-23.
B o r n M.//Zs. Phys. 1926. Bd 37. S. 863—867; Bd 38. S. 803—827.
B o r n M., O p p e n h e i m e r J. B.//Ann. Phys. 1927. Bd 84.. S. 457—484
C a r i o E., F r a n k J.//Zs. Phys. 1922. Bd 11. S. 161—166.
F a x e n H., H о 11 s m a r k J. Ibid. 1927. Bd 45. S. 307—324.
F i s k J. B.//Phys. Rev. 1936. V6l. 49. P. 167—173.
F i t e W. L., S t e b b i n g s ' f i . F., H u m m e r D. G., B r a c k m a n n R. T./y
//Ibid. 1960. Vol. 119. P. 663—668.
F r a n k J.//Zs. Phys. 1922. Bd 9. S. 259—268.
G г у z i n s k i M.//Phys. Rev. 1959. Vol. 115. P. 374--383.
H u l t h e n L.//K. Fysiogr. Sallsk, Lund. Forhandl. 1944. B d l 4 . S. 2—5.
J e f f r e y s H.//Proc. Lond. Math. Soc. 1923. Vol. 23. P. 428.
K r a m e r s H. A., T e r H a a r D.//Bull. Astronom. Inst. Netherlds. 1946
Vol. 10. P. 137; цит. по кн. Дж. Хастеда. С. 623.
K r u i t h o f A. A., P e n n i n g F. M.//Physica. 1937. Vol. 4. P. 430—43?
L a n d a u L. D.//Phys. Zs. Sowjetunion. 1932. Bd 1. S. 88—98; Bd i
S. 46—51.
L a n g e v i n P.//Arin. Chem. (Phys.). 1905. Vol. 5. P. 245.
M a s s e y H. S. W.//Rep. Progr. Phys. 1949. Vol. 12. P. 248—269.
M a s s e y H. S. W., S m i t h R. A.//Proc. Roy. Soc. 1933. Vol. A145
P. 142—172.
M o i s e i w i t s c h B. L.//J. Atm. Terr. Phys. 1955. Vol. 7. Spec. Supp
N 2. P. 23; цит. по кн. Дж. Хастеда. С. 591.
O p p e n h e i m e r J. B.//Phys. Rev. 1928. Vol. 32. P. 361—376.
R a p p D., F r a n c i s W. E.//J. Chem. Phys. 1962. Vol. 37. P. 26312645.
R o s e n N., Z e n e r C.//Phys. Rev. 1932. Vol. 40. P. 502—507.
T h о m s 0 n J. J.//Phyl. Mag. 1912. Vol. 23. P. 449—457.
W i g n e r E.//Zs. Phys. 1927. Bd 40. S. 883—892.
Z e n e r Cy/Proc. Roy. Soc. 1932. Vol. A137. P. 696—702.
К главе
б
Г е й д о н А. Энергии диссоциации и спектры двухатомных молекул. М
1949. 303 с.
Ф р и ш С. Е. Оптические спектры атомов. М.; Л., 1963. 640 с.
B a t e s D. R.//Mon. Not. Roy. Astronom. Soc. 1946. Vol. 1106. P. 432445.
В a t e s D. R., S e a t о n M. J.//Ibid. 1948. Vol. 109. P. 698—704.
B u r g e s s , A., S e a t o n M. J.//Ibid. 1960. Vol. 120. P. 121—151.
G a u n t J . A.//Proc. Roy. Soc. 1930. Vol. A126. P. 654—660.
G o e p p e r t - M a y e r M.//Arm. Phys. 1931. Bd 9. S. 273—294.
131
K a r z a s . W« J., L a t t e r Ry/Astrophys.-Journ. 1961. Vol. 6. Suppl. N 55.
p . 167—212.
K r a m e r s H. А.//РЫ1. Mag. 1923. Vol. 46. P. 836—871.
L i t v a k M., E d w a r d s D. F.//J.Appl. Phys. 1966. Vol. 37. P. 4462—
4 4 7
.
S e a t o n M . J.//Revs. Mod. Phys. 1958. Vol. 30. P. 979—1008.
U n s o l d A.//Ann. Phys. Lpz. 1938. Bd 33. S. 607—616.
К главе
7
Ал л е н К. У. Астрофизические величины. М., 1977. 446 с.
З е л ь д о в и ч Я. Б., Р а й з е р Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М., 1966. 688 с.
П а р б у з и н а Л. Р., С е м и о х и н И. А.//Ж. физ. химии. 1985. Т. 59.
С. 1769—1773.
П а р б у з и н а Л. Р., С е м и о х и н И. А.//Там же. С. 1774-—1778.
Р и х т е р Ю.//Методы исследования плазмы/Под ред. В. Лохте-Хольтгревена. М., 1971. Гл. 1.
D ' An g e l о N.//Phys. Rev. 1961. Vol. 121. P. 505—507.
B a t e s D. R., K i n g s t o n A. E., M c W h i r t e r R. W. P.//Proc. Roy.
Soc. 1962. Vol. A267. P. 297—312.
B a t e s D. R., K i n g s t o n A. E., M c W h i r t e r R. W. P.//Ibid. 1963.
Vol. A270. P. 155—167.
B i o n d i M.//Phys. Rev. 1963. Vol. 129. P. 1181—1188.
B y r o n S.. S t a b l e r R. C, B o r t s P. J.//Phys. Rev. Lett. 1962. Vol. 8.
P. 376—379.
C a c c i a t o r e M., C a p it e l l i M,, D r a w i n H. C.//Physica.
1976.
Vol. 84C. P. 267—274.
C a c c i a t o r e M., C a p i t e l l i M., G o r s e E.//J. Phys. (D).
1980.
Vol. 13. P. 575—582.
C a p i t el Li M., D e l o n a r d o M., M o l i n a r y E.//Chem. Phys. 1977.
"Vol. 20. P. 417—429.
C o o p e r W. S., K u n k e l W. B.//Phys. Rev. 1965. Vol. 138a. P. 1022—
1027.
D r a w i n g . W.//Ann., Phys., Lpz. 1964. Bd 1. 14. S. 262; Z. Naturforschg.
1964. Bd 19a. S. 1451—1460.
D r a w i n H. W.//Z. Phys. 1965. Bd 186. S. 99—107.
D r a w i n H. W.//Collision and Transport Sections, Report EUR—CEA—
FC—383, March 1966, revised 1967; Atompraxis. 1967. Vol. 13. P. 390—392,
413—418.
.
\_
D r a w i n H. W.//Zs. Phys. 1969. Bd 225. S. 470—482.
D r a w i n H. W.//Ibid. S. 483—493.
D r a w i n H. W.//J. Phys. 1979. Vol. 40. C7, Pt. 2. P. 149—170.
D r a w i n H. W., E m a r d F.//Physica. 1976. Vol. 85C. P. 333—353.
D r a w i n H . W , F u m e l l i M . , W e s t e G.//Z. Naturforschg. 1965. Bd 20a.
:S. 184—192.
E l w e r t G.//Ibid. 1952. Bd 7a. S. 432—439.
F i n k e l n b u r g W., M a e c k e r H.//Handbuch der ч Physik//Red.
S.
Flugge. Berlin. 1956. Bd 2. 520 S.
•• F i t e W. L., S j n i t h A. C. H., S t e b b i n g s R. F.//Proc. Roy. Soc. 1962.
Vol. A 268. P. 527—536.
G e a r C. W.//Com. ACM. 1971. Vol. 14. P. 176—179.
G i o v a n e l l i R . G.//Austral. J. Sci. Research. 1948. Vol. A1. P. 275—
304.
G l e n n o n B . M . , W i e s e W . L.//Bibliography on Atomic Transition Probabilities. Washington, 1966. 92 p.
G u s i n o w M. A., G e r a г d o J. В., V e r d e y e n J. T.//Phys. Rev. 1966.
Vol. 149. P. 91—96
H i n n o v E.. H i r s h b e r g J. G.//Ibid. 1962. Vol. 125. P. 795—801.
H i r s h b e r g J. G., H i n n o v E., H o f f m a n n F. W.//Proc. 6-th Int.
Conf. on Ionis. Phenom. in Gases. Paris. 1964. Vol. 3. P. 359—362.
y
132
I n g r a h a m J. C, B r o w n S. C//Phys. Rev. 1965.yVol. 138. P. 1015—
1022.
K u c k e s A. F., M o t l e y R. W, H i n n o v E., H i r s h b e r g J. G.//
//Phys, Rev., Lett. 1961. Vol. 6. P. 337—339.
M a s o n E.'A., S a x e n a S. C.//Phys. Fluids. 1958. Vol. 1. P. 361—369.
M c W h i r t e r R. W. P., H e a r n A. G.//Proc. Phys. Soc. London, 1963.
Vol. 82. P. 641—654.
. "•
M e y e r a n d R. G., ,Jr. et al.//Proc. 5-th Int. Conf. on Ionis. Phenom. in
Gases. Amsterdam, 1962. Vol. 1. P. 333—342.
P e t s h e k H., B y r o n S.//Ann. Phys., New York. 1957. Vol. 1. P. 270—
315.
S c h l u t e r H.//Z. Naturforschg. 1961. Bd 16a. S. 972—974.
S h k a r o f s k y I. P.//Can. J. Phys. 1961. Vol. 39. P. 1619—1703.
S w i f t J. D.//Proc. 5-th Int. Conf. on Ionis. Phenom. in Gases. Amsterdam. 1962. Vol. 1. P. 343—351.
T h o m s o n J. J.//Phil. Mag. 1924. Vol.,47. P. 337—378.
T w i d d y N. D.//Proc. Roy. Soc. 1963. Vol. A 275. P. 388—396.
W i e s e W. L., S m i t h M . W., G l e n n o n B. M.//Hydrogen through Neon. Atomic Transition Probabilities, Washington, 1966. Vol. 1. 153 p.
W i l h e l m H. E.//J. Chem. Phys. 1967. Vol. 47. P. 4356—4365.
К главе 8
К о л е с н и к о в В. Н.//Труды ФИАН СССР/ Под ред. Д. В. Скобельцына. М., 1964. Т. 30. С. 66—157.
Л о х т е - Х о л ь т г р е в е н В.//Мётоды исследования плазмы/Под ред.
B. Лохте-Хольтгревена. М., 1971. Гл. 3.
М а к у и р т е р Р.//Диагностика
плазмы/Под ред. Р. X а дд л стоун а и
C. Леонарда. М., 1967. Гл. 5.
Р и х т е р Ю.//Методы исследования плазмы/Под ред. В. Лохте-Хольтгревена. М., 1971. Г jr. 1.
D ' A n g e l о N.//Phys. Rev. 1961/Vol. 121. P. 505—-507.
B a t e s D. R.. K i n g s t o n A. E., M c W h i r t e r R. W. P.//Proc. Roy.
Soc. 1962. Vol. A267. P. 297—312.
B a t e s D. R., K i n g s t o n A. E., M c W h i r t e r R. W. P.//Ibid. 1963.
Vol. A270. P. 155—167.
В er g H. F.//Zs. Phys. 1967. Bd 207. S. 404—410.
B i e r t n a n n L.//Naturwiss. 1947. Bd 34. S. 87—88.
D r a w i n H. C.//Zs. Phys. 1969. Bd 228. S. 99—119.
G i o v a n e l l i R. G.//Austral. J. Scir Research. 1948. Vol. Al. P. 275—
304.
Gr i e m H. P.//Phys. Rev. 1963. Vol. 131. P. 1170-1176.
M c W h i r t e r , R . W. P.//Nature, London. 1960. Vol. 190. P. 902—903.
M c W h i r t e r R. W. P., H e a r n A. G.//Proc. Phys. Soc. London. 1963.
Vol. 82. P. 641—654.
M i y a m o t o S.//Publ. Astronom. Soc.^ Japan. 1950. Vol. 2. P. 23—31.
T h o m s o n J. J.//Phyl. Mag. 1912. Vol. 23. P."449—457.
W i l s o n R.//J. Quant. Spectr. Rad. Transfer. 1962. VoF. 2. P. 477—490.
W о о 11 e у R. v. d., А П е ц С W.//Monthly Notices Roy. Astronom. Soc.
1948. Vol. 108. P. 292—305.
К гла-ве 9
В и з е В.//Диагностика плазмы/Под ред. Р. Хаддлстоуна и С. Леонарда. М., 1967. Гл. 6.
.
. Л о х т е : Х о л ь т г р е в е н В.//Методы исследования плазмы/Под ред.
В. Лохте-Хольтгревена. М., 1971. Гл. 3.
Теоретическая и прикладная плазмохимия/Под ред. Л. С. Полака.- М.,
1975. 304 с.
У н з о л ь д А. Физика звездных атмосфер. М., 1949. 630 с.
С h u a n g H.//Appl. Optics. 1965. Vol. 4. P. 1589—1592.
133
E c k e r G., Кг 611 W.//Phys. Fluids. 1963. Vol. 6. P. 62—69.
G r i e m H: P.//Phys. Rev. 1963. Vol. 131. P. 1170—1176.
I n g l i s D. R., T e l l e r E.//Astrophys. J. 1940. Vol. 90. P. 439; цит. по
кн. В. Лохте-Хольтгревена. С. 131.
L a r e n z R. W.//Z. Phys. 1951. Bd 129. S. 327—342.
R i c h t e r J.//Z. Astrophys. 1965. Bd 61. S. 57—66.
УКАЗАТЕЛЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Буква
.алфави-
та
А,а
Условное обозначение
А — амплитуда колебаний
а0 — боровский радиус
а — диаметр
Дэф — ускорение
5
9
14
18
+
А
(р) — частица с зарядом (z—1) + на уровне «р»
А2 + (1) — ион с зарядом z+ в основном состоянии
А (РУ •/) — вероятность спонтанного девозбуждения
а/,о — амплитуда рассеяния
66
67
70
90
В,Ь
Ъ — прицельное расстояние (параметр)
Ьс — критическое значение прицельного параметра
Я О» Р) — коэффициент Эйнштейна для поглощения
+
В
( 1 ) — тяжелая частица в основном состоянии
Ве и Bi — подвижности электронов и ионов
Bv — спектральная яркость излучения
В — вращательная постоянная
С,с
Со — интеграл столкновений
Cpiti(i) и c'piti(i)n(\) — скорости столкновительно-излучательных
ионизации и возбуждения
су — коэффициент скорости ударного возбуждения
Dtd
Страница
d — среднее расстояние между частицами
D — энергия диссоциации
Dat и Da2 —коэффициенты амбиполярной диффузии частиц 1
и 2
(d+) — среднее расстояние между ионами
d — геометрическая толщина плазмы
De и Di — диффузности электронов и ионов
£>рез.пер. —коэффициент диффузии атомов при резонансной
перезарядке
26
58
71
71
90
124
127
17
77
106
5
И
59
75
88
89
116
Е,е
Е — электростатическое поле (напряженность поля)
Еу — энергия Ферми
Ev — колебательная энергия
Еа — энергия свободных атомов
£Эф — эффективное электрическое поле
EQ — равновесное значение энергии
—Ei(—х) — интегральная показательная функция
5
7
11
12
18
25
67
/\/
fo,n — сила осциллятора для перехода 0-+п
/ — функция распределения
F — сила
fp и fq — радиальные волновые функции
F — интенсивность падающего светового потока
Д/7 — элемент поверхности
А/ — полоса пропускания волноводного приемника
10
13
3|7
63
65
95
126
G>g
gt — статистический вес
G(v) — фактор Гаунта
(U)
— поправочный множитель для атомов и ионов
,20
4 5
135
69
H,h
Iti
Л=Л/2я, где h — постоянная Планка
Н — гамильтониан, функция Гамильтона
h — ускорение
h\ — множитель, учитывающий ионизацию возбужденных уровней^
7
17
2(>
2f.i\ — обменный интеграл
3f — якобиан
1\е <— электронный ток
&(ц) — интеграл Моисейвича
/ v , U — интенсивность спектральной линии
/ v f & и / v f / — интенсивности излучения при
и свободно-свободных переходах
9 (у) — интеграл Абеля
/ — момент инерции
1 уу, — интенсивность вращательной линии
12
14
45
54119
свободно-связанных
/,/
// — квацтовое число полного углового момента
/ — столкновительно-излучательныи предел
/ — вращательное квантовое число
K,k
k — единичный вектор
kT — множитель Таунсенда
к — волновой вектор, равный т\/Ь
&дис •—. коэффициент скорости диссоциации
&ион — коэффициент скорости ионизации
ko(T) — статистическая константа скорости
^12' — коэффициент скорости взаимного превращения ионов
К{е)(р,
с) — коэффициент скорости ионизации частиц при столкновении с электронами
:
К — коэффициент скорости любого элемеш'арного процесса
(е)
К (су р) — коэффициент скорости тройной электронной рекомбинаций
.
К(е)(р, q) — коэффициент скорости электронного
возбужде:
ния, частиц
К{е)(Р* j) — коэффициент скорости электронного девозбуждения частиц
К{а)(р, с) — коэффициент скорости ионизации частиц тяжелыми частицами
" \. К{аЦс, р) — коэффициент скорости рекомбинации ионов тяжелыми частицами "
' •. (а)
/С (р, q) — коэффициент скорости возбуждения частиц тяжелыми частицами'
{а)
К (р, j) '•— коэффициент скорости девозбуждения частиц тяжелыми частицами
.
*
Kij и Kji — коэффициенты скорости заселения л распада ;-го
уровня
.
•
К (г, t) — локальный коэффициент теплопроводности
к — коэффициент температуропроводности
Ki(Te) — константа равновесия
\L*l
М,т
№
122
124
127
127
21
112
127
15
\9
22
28
29
5860
66*
66*
67
69s
7(>
7-2
72
73"
74
9$
101
10$
107'
lD — дебаевская длина (радиус экранирования)
/с — средняя длина свободного пробега
L3 — нормировочный объем
/ — момент электрона
•
'
ID — характеристическая (средняя) длина диффузии
4
14
22
46»
S9
L — длина ионизационных колонн
%
h — характеристическая длина теплопроводности
пг — магнитный момешг
^ А и т в — массы молекул А и В
91
102,
10*
25»
Щ
Af — масса иона
та — масса ударяющей частицы типа В
N,n
+ (1)
nD — число частиц в объеме дебаевской сферы
_ возбужденное состояние атома
rij — плотность рассеивателей сорта «/»
щ — плотность атомов на уровне i
пг (1) — плотность ионов в основном состоянии
пА — плотность молекул А
пт — плотность метастабильных. атомов
Яэл — 'показатель преломления
п
Рур
Р — вероятность процесса
р — обобщенный импульс • Р, — стерический множитель
P* m (cos9) — полином Лежандра
Ppq — вероятность перехода p-*q
Pn(b, В)— вероятность реакции
р — номер наиболее высокого, но еще связанного уровня
Pz,i — сложная функция от пе и Те
Ро — начальное давление
P(v) — мощность излучения
26
72
5
9
17
20
22
25
99
129
16
17
28
33
48
58
74
94
104
126
Q>Q
Qij — энергия кулоновского взаимодействия
Qi — сумма по состояниям
qe и qi — заряды электрона и иона
R,r
ге — равновесное расстояние между ядрами
г — вектор конфигурационного пространства
г — расстояние от атома до точки наблюдения
га — радиус-вектор электрона
R -г- межъядерное расстояние
г(0) — среднее расстояние частиц от оси колонны.
Ro :— внешний радиус колонны
/V — внутренний радиус колонны
R — скорость поглощения излучаемой энергии
г0 — «классический» радиус электрона
10
13
34
48
53
90
94
95
101
129
S,s
S — коэффициент
скорости
ионизации
5 — сила линии
•Sy/y* "— фактор Хёнля-Лондона
79
127
127
*ГЛ
Tg%— темцература газа
Те — электронная температура
Т+ — температура ионов
Teq — равновесная температура
Те(0) — нормальная температура
Тг — эффективная радиационная температура
17
21
26
27126
126
U,u
«эф — эффективная кинетическая энергия электрона
&URX—разность ' энергий в точке пересечения
£/ о =е ( е ) /е о
18
53
66
67
69
69
* ^~
77 .
столкновительно-излучательной .
Ам М акс= (бмакс—бмакс-l)/kTe
{и2} :— средний, квадрат скорости
vt — скорость теплового движения частиц
V — потенциальная энергий (потенциал), потенциальная функция
"' <.";
:
137
12
20
89
о
v — вектор 'скорости
v c — скорость движения центра масс
Vnn — диагональный матричный элемент
Vmn — недиагональный матричный элемент
(ve) — средняя скорость хаотического движения электронов
Vd — скорость дрейфа электронов
Vm(r) — энергия взаимодействия атомов в метастабильном и
основном состояниях
УЭф — эффективный потенциал
Vi — скорость движения ионов
W,w
Wp= (e<°>—гр)/ер — приведенная поступательная энергия сталкивающихся частиц
*
Wp = Eplkfa
Wpq=(EW-\Ep-Eq\)/\EP-Eq\
Wpq=\Ep—Eq\lkTa
и^неупр и Wynv — скорости неупругого и упругого
переноса энергии
процессов
13
14
43
43
46*
46
55
57
99
72
72
73
73
98
хе — коэффициент ангармоничности
II
Y,у
YZ * — колебательно-возбужденная молекула
55
Z,z
z — заряд ядра (иона)
г<0)(и) — частота столкновений молекулы
z — полное число столкновений
г — число колонн в единице объема
zn — число эквивалентных электронов во внешней
атома
9
25
2S
91
Х,х
А,а
оболочке
ar
а — параметр в уравнении V=Ce~~ ii
а* — скорость диссоциативной рекомбинации
а — постоянная тонкой структуры
ар и dp'n(l) — скорости излучательнои рекомбинации на уровне
«р»
а — коэффициент скорости столкновительно-излучательнои рекомбинации
.
аг — коэффициент скорости двойной столкновительно-излучательнои рекомбинации
а ь ( 0 и aN(t) — коэффициенты скорости столкновительно-излучательнои рекомбинации по линейному (L) и нелинейному (N)
законам
а 0 — начальная степень ионизации
В>Р
Р — экранирующий множитель
Р(с, р) — коэффициент скорости излучательнои рекомбинации
Р(Р» с) — коэффициент скорости фотоионизации
Г,у
Г, Гупр, Гнеупр — ширины
стояния
Y — коэффициент распада
АГ,- — диффузионный член
Y — показатель адиабаты
А,б
б — смещение частиц б/ — сдвиг фазы /-й парциальной волны
A a (Oi) и As(<Pi) — Поправочные члены, учитывающие
и Г (1)
Ар(0) и А р (1) — комбинации п(р) и g(p)
б,- — общая скорость рекомбинации на уровень «i*
уровней
138
квазистационарного со-
п (1) -
125
10
59
6$
77
79
87
91
104
9
68
6S
46
84
93
124
5
35
80
80
108
Е,8
ео — диэлектрическая постоянная вакуума
Е —'глубина потенциальной ямы
е* — энергия i-ro уровня
8Ион —• энергия ионизации
АеИон — снижение энергии ионизации
го — энергия' налетающего электрона
е*ион — потенциал ионизации возбужденного атома
€i H — потенциал ионизации атома водорода
Ае — дефект энергии
8ф и е е — кинетические энергии фотона и электрона
е -—диэлектрическая проницаемость вещества
ъа —=• энергия девозбуждения
еРЯ — энергия перехода
еВр -г- вращательная энергия
Н,т]
г] -^коэффициент захвата
т|(с)=я(с)/г 7 /— приведенное значение электронной плотности
45
85
в,9
9 — ориентационный (полярный) угол рассеяния
9с — угол рассеяния в системе центра масс
0=Т/г2*— приведенная температура
11
31
85
К, и
к — волновое число вылетевшего электрона
х — коэффициент поглощения
42
68
Л,Я
1пЛ=1п .
26
—кулоновский логарифм
4
11
20
21
21
38
47
48
50
64
65
99
111
127
90
Ко — длина свободного пробега нейтральных атомов
АЯ — полуширина линии
94
126
М,[А
|л — приведенная масса молекулы, системы
\i(r) — дипольный момент
•
.
jiP=l—Хр — коэффициент реабсорбции
11
11
68
N,v
Vo,n — частота перехода
ут — частота, столкновений при рассеянии электрона на нейтральных частицах
{vaa) — средняя частота столкновений одинаковых частиц сорта
«а»
<yei) — средняя частота столкновений, электронов с ионами
10
17
26
27
S,£
£ — обобщенные параметр
g — параметр Месси
| р — число эквивалентных электронов на р-м уровне
| ( v , T) — фактор Бибермана
18
51
66
122
Р »Р
Pv, РА, — спектральная плотность излучения
р — плотность вещества
68
111
2,а
г=о при У(г)=0
сгдиф — дифференциальное сечение
а — эффективное сечение
От — площадь поперечного сечения молекулы
Сион — сечение ионизации
Свозб/— сечение возбуждения
оа — сечение захвата
сгнеупр — сечение колебательного возбуждения или диссоциации
огрек — сечение рекомбинации ионов
Or — сечение резонансной перезарядки
Омакс — сечение поглощения резонансного излучения
139
10
16
16
30
3)8
42
46
46
47
49
61