Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н.Толстого физический факультет кафедра общей физики

Тульский государственный педагогический университет
им. Л.Н.Толстого
физический факультет
кафедра общей физики
КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
Молекулярная физика
и
термодинамика
сборник задач
Тула 2005
Тульский государственный педагогический университет
им. Л.Н. Толстого
Физический факультет
Кафедра общей физики
КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
Молекулярная физика
и термодинамика
СБОРНИК ЗАДАЧ
Тула 2005
ББК 22.33я73
М 69
Рецензент:
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры теоретической физики ТГПУ им. Л.Н. Толстого
Ю. В. Бобылев
М69
Молекулярная физика и термодинамика. Сборник задач / Сост.
А. И. Грибков, Р. В. Романов.– Тула: Издательство Тульского государственного
педагогического университета им. Л. Н. Толстого, 2005.– 40 с.
Настоящее пособие представляет собой сборник задач по молекулярной физике и
термодинамике. Пособие предназначено для студентов-физиков. Может быть использовано
студентами нефизических специальностей, преподавателями и, вообще, всеми людьми,
интересующимися сущностью вещей.
ББК 22.33я73
© А. И. Грибков, Р. В. Романов, 2005
Предисловие
Настоящее пособие предназначено для проведения практических занятий по
дисциплине “Молекулярная физика и термодинамика” со студентами
физических специальностей ТГПУ им. Л.Н. Толстого. Составлено на основе
опыта проведения практических занятий на протяжении ряда лет на
физическом факультете университета. Содержит набор задач от простых до
достаточно сложных по всем разделам данной части курса общей физики.
При работе над пособием использованы материалы многих популярных
задачников, о чем в пособии есть соответствующие ссылки, однако тексты
многих задач уточнены, исправлены, переформулированы, проверены ответы и
т.д.
Пособие может быть полезно при преподавании физики на других
факультетах и при самостоятельной работе студентов.
В подготовке оригинал-макета пособия активное участие принимала
студентка физического факультета Е. А. Конюшина.
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
3
ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
§1. Физические параметры атомов и молекул
1. Вычислить молярную массу газа, состоящего из электронов. Масса
электрона 9,1095897 ⋅ 10 −31 кг. [4, № 2.3]
Ответ: µ = me N А = 5,485 ⋅ 10 −7 кг/моль.
2. Определить массу: а) атома водорода, б) молекулы кислорода, в) атома
урана. Относительные атомные массы: водорода – 1,0079; кислорода – 15,9994;
урана – 238,039. [4, № 2.2]
Ответ: а) 1,67⋅10-27 кг; б) 5,31⋅10-26 кг; в) 3,95⋅10-25 кг.
3. Моль таких газов, как гелий, водород, азот, кислород занимает при
нормальных условиях ( t = 0 °C , p = 1013 гПа) объем, равный 22,4 литра. Чему
равно в этом случае: а) число молекул газа в единице объема, б) среднее
расстояние между молекулами? Сравните это расстояние с диаметром
молекулы. [4, № 2.6]
Ответ: а) n=2,69⋅1025 м-3; б) ‹а›=33⋅10-10 м = 10 ⋅ d .
4. Определить: молярную массу воды, количество вещества в 1 кг воды,
сколько молекул воды содержится в 1 кг, какова масса молекулы воды,
геометрические размеры молекул воды, считая их плотно упакованными.
[9, стр. 16]
Ответ: 18,0148⋅10-3 кг/моль; 55,51 моль; 3,34⋅1025; 30ּ10-27 кг; 30 нм.
5. Как, зная плотность и молярную массу, найти число молекул вещества в
единице объема? [4, № 2.7]
Ответ: n =
ρ
N .
µ A
6. Какое число частиц находится в 16 г кислорода при н/у, степень
диссоциации которого равна 0,5? [1, № 5.44]
m
Ответ: N = (1 + α ) N A = 4,5⋅1023.
µ
Домашнее задание
1. Найти массу атома: а) водорода; б) гелия. Относительные атомные массы:
водорода – 1,0079; гелия – 4,00260. [1, № 5.34]
Ответ: mH = 1,67⋅10-27 кг; mHe = 6,65⋅10-27 кг.
2. Какое число частиц находится в единице массы парообразного йода (I2),
степень диссоциации которого 0,5. Молярная масса молекулярного йода
0,254 кг/моль. [1, № 5.43]
1
Ответ: N = (1 + α ) N A = 3,56⋅1024 кг-1.
µ
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
4
§2. Законы идеального газа
1. Определить число молекул идеального газа в единице объема при н/у.
[4, № 2.21]
pV
Ответ: N =
N A = 2,69⋅1025.
RT
2. Какую температуру имеют 2 г азота, занимающего объем 820 см3 при
давлении 0,2 МПа. [1, № 5.1]
pVµ
= 276,2 К= 3 °С.
Ответ: T =
mR
3. В баллоне находилось 10 кг газа при давлении 10 МПа. Какую массу газа
взяли из баллона, если давление стало равным 2,5 МПа? Температуру газа
считать постоянной. [1, № 5.6]
⎛
p ⎞
Ответ: ∆m = m⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ = 7,5 кг.
p1 ⎠
⎝
4. Баллон емкостью V = 5 л содержит окись углерода (СО). Ртутный
манометр, подключенный к баллону, показывает давление p1 = 0,5⋅105 Па при
нормальном атмосферном давлении p0 = 105 Па. Температура газа в баллоне
T = 400 К. Определите число молей газа в баллоне, массу газа и концентрацию
молекул. [2, № 13.12]
( p + p0 )V
Ответ: ν = 1
= 0,226 моля; m = νµ = 6,34·10-3 кг;
RT
( p + p0 ) N A
n= 1
= 2,72·1025 м-3.
RT
5. В баллоне находится азот при температуре Т1= 300 К и давлении
р1=1,5·107 Па. Из баллона выпустили часть газа, и при температуре Т2= 280 К
давление стало равным р2= 0,6·107 Па. Масса баллона с газом изменилась при
этом на ∆m= 3,2 кг. Какое количество вещества содержал баллон с газом и
какова масса оставшегося газа? [2, № 13.13]
m + ∆m
∆m
Ответ: m =
= 2,4 кг; ν =
= 200 моль.
p1T2
µ
−1
p2T1
6. В вертикальном цилиндре под сферическим поршнем радиусом 0,1 м
находится гелий массой 0,2 г при температуре 300 К. Масса поршня 12 кг,
атмосферное давление 105 Па. С какой силой нужно надавить на поршень,
чтобы он опустился до основания цилиндра? [2, № 13.14]
Ответ: 482 Н.
7. При комнатной температуре четырехокись
азота N2O4 частично
диссоциирует в двуокись NO2. В откачанный сосуд объемом 2,5·10-4 м3
вводится 0,9·10-3 кг жидкого N2O4. Когда температура в сосуде поднялась до
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
5
300 К, жидкость испарилась и давление стало равным 1,26·105 Па. Сколько
процентов четырехокиси азота при этом диссоциирует? [2, № 13.26]
Ответ: ≈28,4%.
Домашнее задание
1. Давление воздуха внутри плотно закупоренной бутылки при температуре
7 °С было 100 кПа. При нагревании бутылки пробка вылетела. До какой
температуры нагрели бутылку, если известно, что пробка вылетела при
давлении воздуха в бутылке 130 кПа. [1, № 5.4]
p
Ответ: T2 = 2 T1 = 364 К; t 2 = 91 °C.
p1
2. Найти массу воздуха, заполняющего аудиторию высотой 5 м и площадью
пола 200 м2. Давление воздуха 100 кПа, температура помещения 17 °С.
Молярная масса воздуха 0,029 кг/моль. [1, № 5.8]
pShµ
Ответ: m =
= 1,2⋅103 кг.
RT
3. Массу 5 г азота, находящуюся в закрытом сосуде объемом 4 л при
температуре 20 °С, нагревают до температуры 40 °С. Найти давления газа до и
после нагревания. [1, № 5.13]
mRT1
mRT2
Ответ: p1 =
= 109 кПа; p2 =
= 116 кПа.
µV
µV
§3. Законы идеального газа
1. Температура воздуха между оконными рамами меняется линейно от 263
до 293 К. Расстояние между рамами 0,25 м, площадь окна 2,00 м2, атмосферное
давление нормальное. Оцените массу воздуха между рамами. [2, № 13.15]
pSµ l
T
ln 2 = 0,628 кг.
Ответ: m =
R T2 − T1 T1
2. Сферическая оболочка воздушного шара сделана из материала,
квадратный метр которого имеет массу 1 кг. Шар наполнен гелием при
нормальных условиях. При каком минимальном радиусе он будет подниматься?
[2, № 13.20]
3σRT
Ответ: r ≥
= 2,72 м.
p ( µ возд − µ He )
3. В простейшей модели атмосферы Марса предполагается, что планету
окружает атмосфера постоянной плотности, высота которой 25 км. Температура
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
6
атмосферы на планете 300 К, радиус Марса 3400 км, масса 6⋅1023 кг. Какова
средняя молекулярная масса атмосферного газа Марса? [2, № 13.19]
RTr 2
= 28,8 г/моль.
Ответ: µ =
γMh
4. Объем газа, отсасываемого форвакуумным насосом за одну секунду,
σ = 3·10-4 м3/c. По какому закону с течением времени изменяется давление в
откачиваемом резервуаре объемом V0 , если начальное давление в нем p0 ? За
какое время резервуар объемом V0 = 1,5·10-2 м3 будет откачан от p0 = 105 Па до
p1 = 1,32·10-10 Па? [2, № 13.22]
Ответ: p = p0 ⋅ exp(−σ t / V0 ) ; ≈28 мин.
5. Посередине откачанного и запаянного с обоих концов тонкого сосуда
(капилляра), расположенного горизонтально, находится столбик ртути длиной
l = 20 см. Если капилляр поставить вертикально, то столбик ртути переместится
на ∆l = 10 см. До какого давления p0 был откачан капилляр? Длина сосуда
L = 1 м. [1, № 5.14]
2
⎛ L−l⎞
2
⎜
⎟ − ∆l
2 ⎠
Ответ: p0 = ρgl ⎝
= 375 мм рт. ст.= 0,493⋅105 Па.
∆l ( L − l )
6. Общеизвестен шуточный вопрос: «Что тяжелее: тонна свинца или тонна
пробки?» Так на сколько же истинная масса пробки, которая в воздухе весит
9,8 кН, больше истинной массы свинца, который в воздухе весит также 9,8 кН?
Температура воздуха t = 17 °С, давление 100 кПа. Плотность пробки 200 кг/м3,
плотность свинца 11300 кг/м3. [1, № 5.15]
N pµ ⎛⎜ 1
1 ⎞⎟
−
= 5,91 кг.
Ответ: ∆m =
g RT ⎜⎝ ρ пр ρ св ⎟⎠
7. В сосуде объёмом V = 30 л содержится идеальный газ при н/у. После того
как часть газа была выпущена наружу, давление в сосуде понизилось на
∆p = 0,78 атм. (без изменения температуры). Найти массу выпущенного газа.
Плотность данного газа при нормальных условиях ρ 0 = 1,3 г/л. [5, № 2.11]
∆p
Ответ: m = ρ 0V
= 30 г.
p0
Домашнее задание
1. Во сколько раз плотность воздуха, заполняющего помещение зимой при
температуре 7 °С, больше его плотности летом при температуре 37 °С?
Давление газа считать постоянным. [1, № 5.9]
Ответ: ρ1 / ρ 2 = T2 / T1 = 1,11.
2. Какое число молекул находится в комнате объемом 80 м3 при
температуре 17 °С и давлении 100 кПа. [1, № 5.40]
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
7
pVN a
= 2⋅1027.
RT
3. Масса m = 12 г газа занимает объём V = 4 л при температуре t1 = 7 °C.
После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равной
0,6 кг/м3. До какой температуры t 2 нагрели газ? [1, № 5.21]
m
Ответ: T2 =
T = 1400 К.
ρ 2V1 1
Ответ: N =
§4. Законы идеального газа
1. В баллоне объемом 1,64 л содержится смесь кислорода и азота общей
массой 12,0 г. При температуре 293 К давление смеси равно 5,86·105 Па. Смесь
газов пропускается через ловушку, содержащую раскаленные медные стружки,
и затем перекачивается в другой баллон объемом 30 л. Каково давление во
втором баллоне при температуре 360 К, если весь кислород соединится с
медью? [2, № 13.23]
Ответ: 1,74·104 Па.
2. Определите плотность ρ и концентрацию n молекул смеси, состоящей из
Z известных газов массами m1 , m2 , m3 ...mz . Температура и давление смеси газов
равны T и p . [2, № 13.24]
Z
Ответ: ρ =
p∑ mi
i =1
Z
RT ∑
i =1
mi
; n=
pN A
.
RT
µi
3. В баллоне объемом 0,250 м3 находится один моль углекислого газа и
водяной пар массой 3,6·10-2 кг. Температура газа 327 К. Вычислите молярную
массу смеси, давление и среднее расстояние между молекулами
газа.
[2, № 13.25]
Ответ: 27 кг/кмоль; 32,7 кПа; 5,2·10-9 м.
4. В сосуде объемом 3 л находится газ под давлением 0,2 МПа. В другом
сосуде объемом 4 л находится тот же газ под давлением 0,1 МПа. Температуры
газа в обоих сосудах одинаковы. Под каким давлением будет находиться газ,
если соединить сосуды тонкой трубкой. Считать температуру постоянной.
[1, № 5.26]
V
p1 1 + p2
V2
Ответ: p =
= 0,14 МПа.
V1
+1
V2
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
8
5. Сосуд объёмом V = 20 л содержит смесь водорода и гелия при
температуре t = 20 °С и давлении p = 2,0 атм. Масса смеси m = 5,0 г. Найти
отношение массы водорода к массе гелия в данной смеси. [5, № 2.4]
mRT 1
1−
m
pV µ 2
= 0,46.
Ответ: 1 = −
mRT 1
m2
1−
pV µ1
6. В вертикальном закрытом с обоих торцов цилиндре находится массивный
поршень, по обе стороны которого – по одному молю воздуха. При T = 300 К
отношение верхнего объема к нижнему n = 4,0. При какой температуре это
отношение станет равным n′ = 3,0? Трение не учитывать. [2, № 2.7]
Ответ: T ′ = T (n − 1 / n) /( n′ − 1 / n′) ≈ 420 К.
Домашнее задание
1. В закрытом сосуде объемом 1 м3 находится масса 1,6 кг кислорода и
масса 0,9 кг воды. Найти давление в сосуде при температуре 500 °С, зная, что
при этой температуре вся вода превращается в пар. [1, № 5.25]
Ответ: p = 640 кПа.
2. В сосуде находится масса 14 г азота и масса 9 г водорода при температуре
10 °С и давлении 1 МПа. Найти молярную массу смеси и объем сосуда.
[1, № 5.28]
Ответ: µ = 4,6⋅10-3 кг/моль; V = 11,3⋅10-3 м3.
3. В воздухе содержится 23,6 % кислорода и 76,4 % азота (по массе) при
давлении 100 кПа и температуре 13 °С. Найти плотность воздуха и
парциальные давления кислорода и азота. [1, № 5.32]
Ответ: ρ В = 1,2 кг/м3; p H = 21 кПа; p N = 79 кПа.
4. Начертить изотермы массы m = 0,5 г водорода для температур:
а) t1 = 0 °C; t 2 = 100 °С. [1, № 5.10]
m
m
Ответ: а) pV = RT1 = 567 Дж; б) pV = RT2 = 775 Дж. Задавая различные
µ
µ
значения V , будем получать различные значения P .
§5. Контрольная работа №1 «Законы идеального газа»1
1
см. спецприложение к УМКД.
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
9
ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
§6. Уравнение теплового баланса
1. В калориметре с ничтожно малой теплоемкостью находится вода массой
1 кг при температуре 283 К. В воду опускают спираль электронагревателя и
бросают пластинку алюминия массой 0,4 кг, охлажденную до температуры
73 К. Мощность нагревателя 800 Вт. Какая температура установится в
калориметре спустя 30 с после включения тока? Удельная теплоемкость воды
4,182 кДж/(кг·К). Удельная теплоемкость алюминия 0,896 кДж/(кг·К). Удельная
теплота плавления льда равна 335 кДж/кг. [2, № 15.1]
Ответ: 273 К (часть воды замерзнет).
2. В рассматриваемом интервале температур теплоемкость некоторого тела
определяется функцией C = 10,00 + 2,00 ⋅ 10 −2 T + 3,00 ⋅ 10 −5 T 2 (Дж/К). Определить
количество тепла Q , получаемого телом при нагревании от T1 = 300 К до
T2 = 400 К. [4, № 2.15]
Ответ: Q = 2,07 кДж.
3. В медный калориметр массой mк = 0,2 кг со льдом массой mл = 1,5 кг,
имеющие температуру Т к л = 270 К, впустили пар при температуре Т п = 390 К,
после чего в калориметре установилась температура Θ = 320 К. Определить
массу пара. Удельные теплоемкости пара, воды, льда и меди равны
соответственно 1,7; 4,2; 2,1; 0,38 кДж/(кг·К). Удельные теплоты
парообразования воды и плавления льда равны соответственно r = 2,1 МДж/кг
и λ = 0,335 МДж/кг. Считать систему лед-калориметр-пар изолированной.
[10, стр. 188]
m [с (Т − Т м л ) + λ + cв (Θ − Т плав )] + m м c м (Θ − Tм л )
Ответ: mп = л л плав
= 342 г.
r–cп (Т конд − Т п ) − cв (Tконд − Θ)
Домашнее задание
1. В изолированный латунный калориметр массой 200 г с водой, взятой в
количестве 400 г при температуре 293 К, поместили 100 г льда при температуре
243 К. Каковы
температура и объём содержимого калориметра после
установления равновесия? Удельные теплоёмкости латуни, воды и льда равны
соответственно 380, 4200, 2100 Дж/(кг·К). Удельная теплота плавления льда
равна 335 кДж/кг. Плотности воды и льда равны соответственно 1000 и
920 кг/м3. Искомый объём выразить в кубических сантиметрах. [10, стр. 189]
Ответ: Θ = 273 К; V = Vв + Vл = (mв + mк ) / ρ в + (m л − mк ) / ρ л = 501,1 см3.
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
10
§7. Первое начало термодинамики
1. Две льдинки с массами 1 г и 2 г, имеющие температуру 263 К, летят
навстречу друг другу. Какова должна быть минимальная скорость сближения
льдинок, чтобы при ударе они обратились в пар? Удельные теплоемкости воды
и льда равны соответственно 4,2 и 2,1 кДж/(кг·К). Удельные теплоты
парообразования воды и плавления льда равны соответственно 2,26 МДж/кг и
0,335 МДж/кг. [2, 15.9]
Ответ: ≈ 5,2 км/с.
2. Азот занимает объем V1 = 2,5 л при давлении p1 = 105 Па. На сколько
изменилась внутренняя энергия газа, если при его сжатии до объема V2 = 0,1V1
давление повысилось до p2 = 20 p1 ? Известно, что cµ V = 5 R / 2 . [2, 15.15]
5
pV = 625 Дж.
2
3. В баллоне емкостью 1 л находится кислород под давлением 10 МПа при
температуре 300 К. К газу подводят 8,35 кДж теплоты. Определить температуру
и давление газа после нагревания. Известно, что cµ V = 5 R / 2 . [2, 15.16]
Ответ: ∆U =
⎛
2Q ⎞
⎟⎟ = 400 К; p2 = p1T2 / T1 = 13,3 МПа.
Ответ: T2 = T1 ⎜⎜1 +
5
p
V
⎝
1 1 ⎠
4. Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на 72 К,
сообщив ему при этом 1,6 кДж теплоты. Найти совершенную газом работу,
изменение внутренней энергии и показатель адиабаты. [5, 2.30]
Ответ: A = νR∆T = 600 Дж; ∆U = Q − A = 1000 Дж; γ = Q / ∆U = 1,6.
5. Два моля идеального газа при температуре T1 = 300 К охладили
изохорически, вследствие чего его давление уменьшилось в n = 2,0 раза. Затем
газ изобарически расширили так, что в конечном состоянии его температура
стала равной первоначальной. Найти количество тепла, поглощенное газом в
данном процессе. [5, 2.31]
Ответ: Q = νRT1 (1 − 1 / n) = 2,5 кДж.
6. В вертикальном цилиндрическом сосуде высотой H находится моль
идеального газа. Найдите теплоемкость этого газа, учитывая наличие поля силы
тяжести и предполагая, что µgH << RT , где µ - масса моля газа. Расширением
сосуда при нагревании пренебречь. [2, 15.14]
( µgH ) 2
Ответ: c = cV +
.
12 RT 2
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
11
Домашнее задание
1. Найти внутреннюю энергию двухатомного газа, находящегося в сосуде
объемом 2 л под давлением 150 кПа. [1, 5.61]
5
Ответ: U = pV = 750 Дж.
2
2. 10 г кислорода находится при давлении 0.3 МПа и температуре 10 °С.
После нагревания при p = const газ занял объем 10 л. Найти количество
теплоты, полученное газом, и энергию теплового движения молекул газа до и
после нагревания. [1, 5.79]
⎞
7⎛
m
5m
5
Ответ: Q = ⎜ pV2 − RT1 ⎟ = 7928 Дж; U 1 =
RT1 = 1837 Дж; U 2 = pV =
2⎝
µ
2µ
2
⎠
= 7500 Дж.
3. В сосуде объемом 2 л находится азот при давлении 0,1 МПа. Какое
количество теплоты надо сообщить азоту, чтобы: а) при p = const объем
увеличился вдвое; б) при V = const давление увеличилось вдвое? [1, 5.81]
Ответ: а) Q = 7 pV / 2 = 700 Дж; б) Q = 5 pV / 2 = 500 Дж.
§8. Процессы в газах
1. В процессе изобарического нагревания моля углекислого газа было
подведено количество теплоты Q = 4 кДж. На сколько изменилась температура
газа? Чему равны изменения внутренней энергии и работа газа? Показатель
адиабаты 4/3. [2, 15.22]
Q
= 120 К; ∆U = 0,75Q = 3 кДж; A = 0,25Q = 1 кДж.
Ответ: ∆T =
4R
2. Кислород массой 0,1 кг сжимается адиабатически, температура газа при
этом возрастает с 273 К до 373 К. Во сколько раз изменятся объем и давление
газа? Чему равно изменение внутренней энергии и работа, совершенная при
сжатии газа? [2, 15.28]
5
V
p
Ответ: 2 = 0,458; 2 = 2,98; ∆U = A = ν R∆T = 6,5 кДж.
V1
p1
2
3. При расширении идеального газа его давление менялось по закону:
а) p = p0 + aV ; б) p = b / V 2 , где a, b и p0 - некоторые постоянные величины.
Найдите молярную теплоемкость газа в указанных процессах. [2, 15.41]
p + aV
; Cm = CmV − R .
Ответ: a) Cm = CmV + R 0
p0 + 2aV
4. Многоатомный идеальный газ, имеющий массу m и молярную массу M,
нагревают в цилиндре под поршнем так, что температура газа оказывается
пропорциональной квадрату давления ( T = kp 2 , где k - некоторый постоянный
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
12
коэффициент). Какую работу совершает газ при увеличении давления от p1 до
p2 ? Какое количество теплоты нужно при этом сообщить газу? Показатель
адиабаты 4/3. [2, 15.44]
7m
mR
Ответ: A =
k ( p22 − p12 ) ; Q =
kR( p22 − p12 ) .
2M
2M
Домашнее задание
1. Найти удельную теплоемкость при постоянном давлении: а) хлористого
водорода; б) неона; в) окиси азота; г) окиси углерода; д) паров ртути. [1, 5.67]
Ответ: а) c p = 808 Дж/кг⋅К;
б) c p = 1039 Дж/кг⋅К;
в) c p = 970 Дж/кг⋅К;
г) c p = 1039 Дж/кг⋅К; д) c p = 103 Дж/кг⋅К.
2. Плотность некоторого двухатомного газа при нормальных условиях
1,43 кг/м3. Найти удельные теплоемкости при постоянном объеме и при
постоянном давлении этого газа. [1, 5.70]
5 p
7 p
Ответ: cV =
= 649 Дж/(кг⋅К); c p =
= 908 Дж/(кг⋅К).
2 ρT
2 ρT
3. На нагревание 40 г кислорода от температуры 16 °С до 40 °С затрачено
количество теплоты 628 Дж. При каких условиях нагревался газ (при
постоянном объеме или при постоянном давлении). [1, 5.84]
Ответ: Cmx = MQ / m∆T = 20,8 Дж/(моль⋅К); т.к. кислород– газ двухатомный, то
полученное значение Cmx говорит о том, что нагревание происходило при
постоянном объёме.
§9. Процессы в газах
1. Теплоизолированный сосуд разделен пополам тонкой перегородкой. В
одной половине сосуда находится гелий (He) при температуре T1 и давлении p1 ,
в другой - углекислый газ (CO2) при температуре T2 и давлении p2 . Какова
будет установившаяся температура смеси, если убрать перегородку? [2, 14.6]
( p + 2 p2 )T1T2
Ответ: T = 1
.
p1T2 + 2 p2T1
2. В вертикальном цилиндре под невесомым поршнем находится 1 моль
идеального газа при температуре Т. Пространство над поршнем сообщается с
атмосферой. Какую работу необходимо совершить, чтобы, медленно поднимая
поршень, изотермически увеличить объем под ним в n раз. Трением поршня о
стенки сосуда пренебречь. [5, 2.34]
Ответ: A = νRT (n − 1 − ln n) .
3. Закрытый цилиндр разделен на 2 части поршнем радиуса r = 10,0 см и
массы m = 1 кг, который может перемещаться без трения. Установив поршень в
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
13
среднее положение, обе части цилиндра наполняют газом до одинакового
давления p0 = 105 Па. Объем газа в каждой половине V0 = 5,00 л. Газ можно
считать идеальным с показателем адиабаты γ = 1,40. Пренебрегая
теплообменом через стенки цилиндра и через поршень, найти частоту
колебаний поршня, возникающих при небольшом смещении поршня из
среднего положения. [4, 2.40]
Ответ: ν = r 2 p0γ / 2mV0 = 37 Гц.
4. Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра находится
легкоподвижный поршень. Первоначально поршень делит цилиндр на две
равные части, каждая объёмом V0 , в которых находится идеальный газ
одинаковой температуры под одним и тем же давлением p0 . Какую работу
необходимо совершить, чтобы, медленно двигая поршень, изотермически
увеличить объём одной части газа в n раз по сравнению с объёмом другой
части? [5, 2.35]
Ответ: A = p0V0 ln[(n + 1) 2 / 4n].
Домашнее задание
1. В закрытом сосуде объемом 2 л находится азот, плотность которого
1,4 кг/м3. Какое количество теплоты надо сообщить азоту, чтобы нагреть его на
100 К. [1, 5.87]
Ответ: Q = CmV ρV∆T / M = 208 Дж.
2. Азот находится в закрытом сосуде объемом 3 л при температуре 27 °С и
давлении 0,3 МПа. После нагревания давление в сосуде повысилось до 2,5 МПа.
Найти температуру азота после нагревания и количество теплоты, сообщенное
азоту. [1, 5.88]
Ответ: T2 = T1 p2 / p1 = 2500 К; Q = CmV V∆p / R = 16,5 кДж.
3. Для нагревания некоторой массы газа на 50 °С при p = const
необходимо затратить количество теплоты 670 Дж. Если эту же массу газа
охладить на 100 °С при V = const , то выделяется количество теплоты 1005 Дж.
Какое число степеней свободы имеют молекулы этого газа? Чему равен
показатель адиабаты? [1, 5.89]
Q ∆T2
= 4/3; i = 6.
Ответ: γ = 1
Q2 ∆T1
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
14
§10. Процессы в газах и тепловые машины
1. В каком случае КПД цикла Карно повысится больше: при увеличении
температуры нагревателя на ∆T , при уменьшении температуры холодильника
на ∆T . [5, 2.123]
Ответ: при уменьшении температуры холодильника.
2. Тепловая машина работает по циклу Карно. Температуры нагревателя и
холодильника равны соответственно 673 К и 293 К. Рабочим телом служит
воздух массой 2 кг. Зная, что давление воздуха в конце изотермического
расширения равно давлению в начале адиабатического сжатия и цикл протекает
1 с, определите мощность: а) подводимую к машине; б) самой машины.
[2, 15.46]
⎛ T ⎞
m RT1 γ
T
ln 1 = 1,12 МВт; б) N = ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ N1 = 0,635 МВт.
Ответ: а) N1 =
M ∆t γ − 1 T2
⎝ T1 ⎠
3. На рисунке показан цикл 1 кмоля газа. Какова
p 1
2
температура газа в конце изобарического сжатия, если
температуры газа в точках 1, 2, и 3 равны соответственно
300, 600 и 400 К? Чему равна работа газа за цикл? [2, 15.51]
Ответ: T4 = T1T3 / T4 = 200 К; A = νRT (T2 −T1−T3 +T4 ) = 831 кДж.
4
3
5. Идеальная тепловая машина работает по циклу 0
V
Карно. При этом 80 % количества теплоты, получаемого от
нагревателя, передаётся холодильнику. Машина получает от нагревателя
количество теплоты Q1 = 6,28 кДж. Найти КПД цикла и работу, совершаемую за
один цикл. [1, 5.198]
Ответ: η = 20 %; A = 1,26 кДж.
6. В холодильник, потребляющий мощность 200 Вт, поместили воду массой
2,0 кг при температуре 301 К. Через 30 мин вся вода превратилась в лед при
температуре 268 К. Сколько теплоты рассеивал холодильник в окружающее
пространство за это время? Удельные теплоемкости воды и льда равны
соответственно 4,182 и 2,1 кДж/(кг·К). Удельная теплота плавления льда равна
335 кДж/кг. [2, 15.2]
Ответ: Q = 1,29 МДж.
Домашнее задание
1. В сосуде под поршнем находится 1 г азота. Какое количество теплоты
надо затратить, чтобы нагреть азот на 10 К? На сколько при этом поднимется
поршень? Масса поршня 1 кг, площадь его поперечного сечения 10 см2.
Давление над поршнем 100 кПа. [1, 5.168]
m
R∆T
7 m
R∆T = =10,4 Дж; ∆h =
= 2,7 см.
Ответ: Q =
M ( p0 S + mп g )
2M
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
15
2. При изотермическом расширении 10 г азота, находящегося при
температуре 17 °С, была совершена работа 860 Дж. Во сколько раз изменилось
давление азота при расширении? [1, 5.171]
p
⎛ AM ⎞
Ответ: 1 = exp⎜
⎟ = 2,72.
p2
⎝ mRT ⎠
3. 1 кмоль азота, находящегося при нормальных условиях, расширяется
адиабатически от объема V1 до V2 = 5V1 . Найти изменение внутренней энергии
газа и работу, совершенную газом при расширении. [1, 5.184]
γ −1
RT1 ⎡ ⎛ V1 ⎞ ⎤
Ответ: A = ν
⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ = 2,69 МДж; ∆U = -2,69 МДж.
γ − 1 ⎣⎢ ⎜⎝ V2 ⎟⎠ ⎦⎥
§11. Тепловые машины
1. Идеальный газ (с известным γ ) совершает круговой процесс, состоящий
из двух изотерм и двух изохор. Изотермические процессы протекают при
температурах T1 и T2 ( T1 > T2 ), изохорические - при объемах V1 и V2 ( V2 в е раз
больше V1 ). Найти КПД цикла и сравнить его с КПД цикла Карно. [4, 2.157]
(γ − 1)( Т 1 − Т 2 )
Ответ: η =
; η < η Карно .
γТ 1 − Т 2
2. В цикле Карно рабочим веществом служит идеальный двухатомный газ.
Объем газа в состояниях 1 и 2 соответственно V1 = 1,00·10-2 м3 и V2 = 2,00·10-2 м3.
Температура T1 = 500 К. Работа, совершаемая за цикл, A = 7,20 кДж. Вычислить
работу A4 1 , совершаемую газом в ходе процесса 4-1. Колебательные степени
свободы молекул не возбуждаются. [4, 2.156]
Ответ: A4 1 = − CmV A = -26,0 кДж.
R ln V2
V1
3. Тепловая машина работает по циклу Карно. Рабочим телом является
воздух, который при давлении p1 = 708 кПа и температуре t1 = 127 °С занимает
объем V1 = 2 л. После изотермического расширения воздух занял объем V2 = 5 л;
после адиабатического расширения объем стал равным V3 = 8 л. Найти:
а) координаты пересечения изотерм и адиабат; б) работу, совершаемую на
каждом участке цикла; в) полную работу А, совершаемую за весь цикл; г) КПД
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
16
цикла; д) количество теплоты Q1 , полученное от нагревателя за один цикл;
е) количество теплоты Q2 , отданное холодильнику за один цикл. [1, 5.199]
p1 = 708 кПа;
V2 = 5 л;
p2 = 283,2 кПа;
V3 = 8 л;
Ответ: а) V1 = 2 л;
p3 = 146,66 кПа; V4 = 3,2 л; p4 = 366,65 кПа; б) A1 2 = 1300 Дж; A2 3 = 607 Дж;
A3 4 = -1075 Дж;
A4 1 = -607 Дж; в) A = 222 Дж; г) η = 0,171; д) Q1 = 1300 Дж;
е) Q2 = 1075 Дж.
Домашнее задание
1. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, совершает за
один цикл работу 73,5 кДж. Температура нагревателя 100 °С, температура
холодильника 0 °С. Найти КПД цикла, количество теплоты, получаемое
машиной за один цикл от нагревателя, и количество теплоты, отдаваемое за
один цикл холодильнику. [1, 5.197]
Ответ: η = 27 %; Q1 = 274 кДж; Q2 = 200 кДж.
2. Паровая машина мощностью 14,7 кВт потребляет за 1 ч работы 8,1 кг
угля с удельной теплотой сгорания 33 МДж/кг. Температура котла 200 °С,
температура холодильника 58 °С. Найти фактический КПД машины и сравнить
его с КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно между
теми же температурами. [1, 5.206]
Ответ: η ф = 20 %; η = 30 %.
3. Некоторая масса кислорода занимает объём V1 4 = 3 л при температуре
t1 = 27 °С и давлении p1 2 = 820 кПа (см. рисунок). В
другом состоянии газ имеет параметры V2 3 = 4,5 л и
p
1
2
p3 4 = 600 кПа. Найти количество теплоты Q, полученное
газом, работу А, совершенную газом при расширении, и
4
3
приращение ∆U внутренней энергии газа при переходе
0
V
газа из одного состояния в другое: а) по участку 1–4–3;
б) по участку 1–2–3. [1, 5.194]
A = 0,92 кДж, ∆U = 0,63 кДж; б) Q = 1,88 кДж,
Ответ: а) Q = 1,55 кДж,
A = 1,25 кДж, ∆U = 0,63 кДж.
§12. Энтропия
1. Энтропия 1 г азота при температуре 25 °С и давлении 1,00·105 Па равна
S1 = 6,84 Дж/К. Определить энтропию 2 г азота при температуре 100 °С и
давлении 2,00·105 Па. [4, 2.125]
Ответ: S 2 = 14,14 Дж/К.
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
17
2. Круговой процесс состоит из изотермы, адиабаты и
p 1
двух изобар (см. рисунок). Изобразить этот процесс на
диаграмме Т, S. [4, 2.153]
Ответ: см. рисунок.
3. Сосуд разделен на 2 равные части перегородкой с
закрытым пробкой отверстием. В одной из половин
0
содержится моль идеального газа, в другой половине
сосуда – вакуум. Пробку удаляют, и газ распространяется T
на весь объем. Считая процесс адиабатическим, найти
изменение внутренней энергии и энтропии. [4, 2.138]
1
Ответ: ∆U = 0, ∆S = νR ln 2 = 5,76 Дж/К > 0.
4. Найти приращение ∆S энтропии при плавлении
1 кг льда при t п = 0 °С. Удельная теплота плавления льда 0
равна 335 кДж/кг. [1, 5.218]
Ответ: ∆S = λm / T = 1,23 кДж/К.
2
3
4
V
2
4
3
S
Домашнее задание
1. Найти приращение ∆S энтропии при превращении массы m = 10 г льда
( t = -20 °C) в пар ( t п = 100 °С). Удельные теплоёмкости воды и льда равны
соответственно 4200, 2100 Дж/(кг·К). Удельная теплота плавления льда равна
33 кДж/кг. [1, 5.216]
Ответ: ∆S = 88 Дж/К.
§13. Контрольная работа №2 «Законы термодинамики»
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
18
Молекулярная физика
§14. Основное уравнение МКТ. Квадратичная скорость
1. Какое число молекул газа содержит единица объема сосуда при н/у.
[1, 5.41]
p
= 2,6861·1025 м-3 (число Лошмидта).
Ответ: n =
kT
2. Найти молярную массу и число степеней свободы молекул газа, если
известны его удельные теплоемкости cV = 650 Дж/(кгּК); c p = 910 Дж/(кгּК).
[5, 2.72]
2cV
R
= 32 г/моль (кислород); i =
= 5.
c p − cV
c p − cV
3. 15 г азота находится в закрытом сосуде при температуре 300 К. Какое
количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы средняя квадратичная
скорость его молекул возросла в 2 раза. [5, 2.79]
mi
Ответ: Q =
RT1 (n 2 − 1) = 10 кДж.
µ2
4. Найти импульс молекулы водорода при температуре 20 °С. Скорость
молекулы считать равной средней квадратичной. [1, 5.52]
Ответ: P = 3kmT = 6,36·10-24 кг·м/с.
5. Средняя
энергия
молекул
одноатомного
идеального
газа
5
−21
ε = 6,00 ⋅ 10 Дж. Давление газа p = 2,00·10 Па. Найти число молекул газа в
единице объёма. [4, 2.73]
3p
= 5,00·1025 м-3.
Ответ: n =
2ε
6. При температуре T = 1000 К у четырёхатомных молекул некоторого
идеального газа оказываются возбужденными все степени свободы (включая и
колебательные). Определить внутреннюю энергию одного моля этого газа.
[4, 2.71]
i
Ответ: U = ν RT = 74,8 кДж, где i= 18.
2
7. Сосуд наполнен аргоном ( 4018 Ar ) c относительной атомной массой 39,948.
Температура газа равна 0 °C. Сосуд сначала движется со скоростью v0 = 100 м/с,
затем внезапно останавливается. Пренебрегая теплообменом между газом и
стенками сосуда, определить температуру газа после остановки сосуда. [4, 2.72]
mv 2
Ответ: T = T0 + 0 = 289 K = 16 °С.
3k
Ответ: M =
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
19
Домашнее задание
1. Молекула аргона
(
40
18
Ar ) c относительной атомной массой 39,948, летящая
со скоростью 500 м/с, упруго ударяется о стенку сосуда. Направление скорости
молекулы и нормаль к стенке сосуда составляют угол 60°. Найти импульс силы
F ⋅ ∆t , полученный стенкой сосуда за время удара. [1, 5.36]
Ответ: ∆p = 2mv cos α = 3,34·10-23 кг·м/с.
2. Найти среднюю квадратичную скорость молекул воздуха
температуре 17 °С. Молярная масса воздуха 0,029 кг/моль. [1, 5.46]
при
3RT
= 500 м/с.
M
3. Плотность некоторого газа 0,06 кг/м3, средняя квадратичная скорость его
молекул 500 м/с. Найти давление, которое газ оказывает на стенки сосуда.
[1, 5.50]
1
Ответ: p = ρ v 2 = 5 кПа.
3
Ответ: vкв =
§15. Функции распределения
1. На рисункaх приведены графики четырёх различных функций
распределения вероятностей значений некоторой величины x. Для каждого из
графиков найти значение нормировочной константы A , вычислить средние
значения x и x 2 . [4, 2.76]
F(x) A
F(x)
F(x)
F(x) A
A
A
a
0
a)
a x
Ответ: а ) A = 1 2a ,
0
б)
x = 0,
2
a
x
x 2 = a 2 3,
a
0
в)
a x
x = a 2;
0
г)
б ) A = 1 2a ,
2
a
x
x = a,
x 2 = 4a 2 3; в ) A = 1 a , x = 0, x 2 = a 2 6 ; г ) A = 1 a, x = a, x 2 = 7 a 2 6.
2. Вычислить наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную
скорости молекул кислорода при 20 °С. [4, 2.83]
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
20
Ответ: vв = 390 м/с; v = 440 м/с; vкв = 478 м/с.
3. Найти сумму модулей импульсов молекул, содержащихся в моле азота
(N2) при температуре 20 °С. [4, 2.86]
Ответ:
8
∑ m v = ν π RM T
i
i
= 13,2 кг·м/с.
F(u)
4. Преобразовать функцию распределения Максвелла
по абсолютным скоростям, перейдя от переменной v к
переменной u = v / vв ., где vв .– наиболее вероятная
скорость молекул. Построить график F (u ) .[4, 2.81]
Ответ: F (u ) =
4
π
2
e −u u 2 .
0
1
2
3 u
Домашнее задание
1. Найти температуру, при которой средняя квадратичная скорость молекул
азота (N2) больше средней скорости на 50,0 м/с. [1, 5.94] [4, 2.79]
M ∆v 2
1
= 453,5 К.
Ответ: T =
2
R ⎛
8⎞
⎜⎜ 3 −
⎟⎟
π
⎝
⎠
2. В сосуде объемом 2 л находится масса 10 г кислорода при давлении
90,6 кПа. Найти среднюю квадратичную скорость молекул газа, число молекул,
находящихся в сосуде, и плотность газа. [1, 5.53]
m
3 pV
m
= 233 м/с; N =
N A = 1,9·1023; ρ = = 5 кг/м3.
V
M
m
3. Энергия поступательного движения молекул азота, находящегося в
баллоне объемом 20 л, 5 кДж, а средняя квадратичная скорость его молекул
2000 м/с. Найти массу азота в баллоне и давление, под которым он находится.
[1, 5.62]
2E
2E
= 167 кПа.
Ответ: m = 2 = 2,5 г; p =
vкв
3V
Ответ: vкв =
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
21
§16. Распределения
1. Азот (N2) находится в равновесном состоянии при T = 421 К. Найти
значение наиболее вероятной скорости молекул vв . Определить относительное
число ∆N / N молекул, скорости которых заключены в пределах: а) от 249,9 до
250,1 м/с; б) от 499,9 до 500,1 м/с; в) от 749,9 до 750,1 м/с; г) от 999,9 до
1000,1 м/с. [4, 2.91]
Ответ: vв = 500 м/с; а) 1,76·10-4; б) 3,32·10-4; в) 2,14·10-4; г) 0,66·10-4.
2. При какой температуре средняя кинетическая энергия поступательного
движения молекулы равна 1 эВ? При какой температуре 50 % всех молекул
имеют кинетическую энергию поступательного движения больше 1 эВ.
Написать функцию распределения Максвелла по абсолютным скоростям,
используя в качестве переменной кинетическую энергию поступательного
движения молекул. [1, 5.104]
E
mv 2
2 −x
, где E =
Ответ: T = 7730 K; T = 9826 K; f ( x ) =
.
e x , где x =
kT
2
π
3. Средняя энергия молекул гелия (He)
ε = 3,92·10-21 Дж. Определить
среднюю скорость v молекул гелия при тех же условиях. [4, 2.90]
16 ε
= 1000 м/с.
3π m
4. В запаянном стеклянном баллоне заключен моль одноатомного газа при
температуре T0 = 293 К. Какое количество теплоты Q нужно сообщить газу,
Ответ: v =
чтобы средняя скорость его молекул увеличилась на 1 %? [4, 2.82]
Ответ: Q = (i / 2)νRT0 ((1 + n) 2 − 1) = 73,45 Дж.
5. При какой температуре Т воздуха средние скорости молекул азота (N2) и
кислорода (О2) отличаются на 30,0 м/с? [4, 2.80]
π ∆v 2 ⎛⎜ 1
−2
1 ⎞⎟
−
Ответ: T =
= 286 К.
8 R ⎜⎝ M 1
M 2 ⎟⎠
6. Определить, исходя из классических представлений, среднеквадратичную
угловую скорость вращения молекул азота (N2) при Т=300 К. Расстояние между
ядрами молекулы l = 3,7·10-10 м. [4, 2.87]
Ответ:
ω2 =
8RT
= 2,3·1012 рад/с.
2
Ml
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
22
Домашнее задание
1. Найти среднюю арифметическую, среднюю квадратичную и наиболее
вероятную скорости молекул газа, который при давлении 40 кПа имеет
плотность 0,3 кг/м3. [1, 5.93]
Ответ: vв = 516 м/с; v = 583 м/с; vкв = 632 м/с.
2. Какая часть молекул азота при температуре 150 °С обладает скоростями
от 300 до 325 м/с? [1, 5.96]
Ответ: 2,8 %.
3. Во сколько раз доля молекул, скорости которых лежат в интервале от vв
до vв + ∆v ,больше доли молекул, скорости которых лежат в интервале от vкв до
vкв + ∆v . [1, 5.98]
2
vкв
∆N в
= ev
Ответ:
∆N кв
2
в
−1
vв2
e
=
= 1,1.
2
vкв 1,5
§17. Молекулярно-кинетическая теория
1. В момент взрыва атомной бомбы развивается температура до 10
миллионов градусов. Считая, что при такой температуре все молекулы
полностью диссоциированы на атомы, а атомы ионизованы, найти среднюю
квадратичную скорость иона водорода. [1, 5.48]
3kT
Ответ: vкв =
= 499 км/с.
m
2. При какой температуре энергия теплового движения атомов гелия вблизи
поверхности Земли будет достаточна для того, чтобы атомы гелия преодолели
земное тяготение и навсегда покинули земную атмосферу. Решить аналогичную
задачу для Луны. Радиус Земли 6378 км, радиус Луны 1737 км, масса Земли в
81 раз больше массы Луны. [1, 5.63]
M R
2
mHe gRЗ = 20000 К; Tл = TЗ л 3 = 900 К.
Ответ: TЗ =
3k
M 3 Rл
3. Найти число атомов в молекуле газа, у которого при “замораживании”
колебательных степеней свободы постоянная γ увеличивается в n = 1,20 раза.
[5, 2.71]
Ответ: N = 2(2 − n) /(4 − 3n) = 4 .
4. Идеальный газ из N- атомных молекул расширяют изобарически. Считая,
что у молекул возбуждены все степени свободы (поступательные,
вращательные и колебательные), найти какая доля теплоты, сообщаемой газу в
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
23
этом процессе, расходуется на работу расширения. Считать молекулы
нелинейными. [5, 2.70]
A
1
.
Ответ: =
Q 3N − 2
Домашнее задание
1. Плотность некоторого газа 0,082 кг/м3 при давлении 100 кПа и
температуре 17 °С. Найти среднюю квадратичную скорость молекул газа.
Какова молярная масса этого газа? [1, 5.56]
p
ρRT
Ответ: vкв = 3 = 1913 м/с; M =
= 2 г/моль.
ρ
p
2. Средняя квадратичная скорость молекулы газа при н/у 461 м/с. Какое
число молекул содержит единица массы этого газа. [1, 5.57]
N
vкв2
=
= 1,87ּ1025 кг-1.
Ответ:
m 3kT
§18. Барометрическая формула
1. В опыте, посредством которого Перрен определил постоянную
Больцмана, использовалась эмульсия (или взвесь) шариков гуммигута2
( ρ = 1,254 г/см3) в воде ( ρ в = 1,00 г/см3). Температура взвеси равнялась 20 °C.
Радиус шариков r = 0,212 мкм. При перемещении тубуса микроскопа на
∆h = 30 мкм число шариков, наблюдавшихся в микроскоп, изменялось в
2,1 раза. Исходя из этих данных, определить постоянную Больцмана. [4, 2.94]
4π r 3 (ρ − ρ в )g∆h
Ответ: k =
= 1,37·10-23 Дж/К.
n
3
T ln 1
n2
2. Считая атмосферу изотермической, а ускорение свободного падения не
зависящим от высоты, вычислить давление: а) на высоте 5 км; б) на высоте
10 км; в) в шахте на глубине 2 км. Расчёт произвести для T = 293 К. Давление на
уровне моря принять равным 1 атм. [4, 2.95]
Ответ: а) p = p0 ⋅ e
−
Mgh
RT
= 0,56 p0 ; б) p = 0,33 p0 ; в) p = 1,26 p0 .
2
Гуммигут – сгущенный млечный сок, полученный при подсечке коры некоторых деревьев
семейства клюзиевых (Южная Азия). Применяется для изготовления лаков и желтой
акварельной краски.
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
24
3. Вблизи поверхности Земли отношение объёмных концентраций
кислорода (О2) и азота (N2) в воздухе η 0 = 20,95/78,08= 0,268. Полагая
температуру атмосферы равной 0 °С, ускорение свободного падения равным
9,81 м/с2 и не зависящими от высоты, определить это отношение (η ) на высоте
h = 10 км. [4, 2.96]
gh
Ответ: η = η 0 ⋅ exp(( M N − M O )
) = 0,225.
RT
4. В длинном вертикальном сосуде находится газ, состоящий из двух сортов
молекул с массами m1 и m2 , причём m2 > m1 . Концентрации этих молекул у дна
сосуда равны соответственно n1 0 и n2 0 , причём n2 0 > n1 0 . Считая, что по всей
2
2
высоте поддерживается одна и та же температура Т и ускорение свободного
падения равно g, найти высоту h, на которой концентрации сортов молекул
будут одинаковы. Считая, что эти газы– водород (Н2) и углекислый газ (СО2), у
которых отношение объёмных концентраций как в атмосфере Земли:
0,00005 %/0,03 %= 0,00167, температура равна 0 °С, дать числовой ответ.
[5, 2.113]
n
kT
Ответ: h =
ln 2 0 = 35,2 км.
(m2 − m1 ) g n1 0
5. Полагая температуру воздуха и ускорение свободного падения не
зависящими от высоты, определить, на какой высоте h над уровнем моря
плотность воздуха меньше своего значения на уровне моря: а) в два раза, б) в е
раз. Температуру воздуха принять равной 0 °С. [4, 2.98]
RT ρ 0
Ответ: а) h =
ln
= 5,5 км; б) h = 8,0 км.
Mg ρ
Домашнее задание
1. Обсерватория расположена на высоте 3250 м над уровнем моря. Найти
давление воздуха на этой высоте. Температуру воздуха считать постоянной и
равной 5 °С. Молярная масса воздуха 0,029 кг/моль. Давление воздуха на
уровне моря 101,3 кПа. [1, 5.106]
⎛ Mgh ⎞
Ответ: p = p0 ⋅ exp⎜ −
⎟ = 0,67 p0 = 67,9 кПа.
RT
⎝
⎠
2. На какой высоте давление воздуха составляет 75 % от давления на уровне
моря? Температуру воздуха считать постоянной и равной 0 °С. [1, 5.107]
p
RT
Ответ: h =
ln 0 = 2,3 км.
Mg
p
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
25
3. Пассажирский самолет совершает полеты на высоте 8300 м. Чтобы не
снабжать пассажиров кислородными масками, в кабине при помощи
компрессора поддерживается постоянное давление, соответствующее высоте
2700 м. Найти разность давлений внутри и снаружи кабины. Температуру
наружного воздуха считать равной 0 °С. [1, 5.108]
⎛
⎛ Mgh2 ⎞
⎛ Mgh1 ⎞ ⎞
Ответ: ∆p = p0 ⎜ exp⎜ −
⎟ − exp⎜ −
⎟ ⎟ = 36,4 кПа.
RT
RT
⎝
⎠
⎝
⎠⎠
⎝
§19. Барометрическая формула
1. Установленная вертикально закрытая с обоих концов труба наполнена
газообразным кислородом (О2). Высота трубы h = 200 м, объём V = 200 л.
Стенки трубы имеют всюду одинаковую температуру T = 293 К. Давление газа
внутри трубы вблизи её основания равно p0 = 1,00·105 Па. Определить:
а) давление р в трубе вблизи её верхнего конца, б) Количество N молекул
кислорода, содержащихся в трубе. [4, 2.97]
p VN ⎛
⎛ Mgh ⎞ ⎞
⎛ Mgh ⎞
24
Ответ: p = p0 ⋅ exp⎜ −
⎟ ⎟ = 4,9·10 .
⎟ = 0,975 p0 , N = 0 A ⎜1 − exp⎜ −
Mgh ⎝
⎝ RT ⎠ ⎠
⎝ RT ⎠
2. Закрытая с одного конца труба длиной l = 1,00 м вращается вокруг
перпендикулярной к ней вертикальной оси, проходящей через открытый конец
трубы, с угловой скоростью ω = 62,8 рад/с. Давление окружающего воздуха
p0 = 1,00·105 Па, температура t = 20 °С. Найти давление р воздуха в трубе
вблизи закрытого конца. [4, 2.99]
⎛ Mω 2 r 2 ⎞
Ответ: p = po ⋅ exp⎜
⎟ = 1,023 p0 .
⎝ 2 RT ⎠
3. На какой высоте учет зависимости ускорения свободного падения от
высоты приводит к отличию от расчета по обычной барометрической формуле
на 10 %. Температуру считать постоянной, условия– нормальными.
4R ⎞
α⎛
RT
p + ∆p
.
Ответ: h = ⎜⎜1 + 1 + 3 ⎟⎟ = 70 км, где α =
ln
2⎝
α ⎠
Mg
p
Домашнее задание
1. Используя условие задачи § 18- ДЗ №3, найти во сколько раз плотность
воздуха внутри самолета больше плотности воздуха вне его, если температура
наружного воздуха -20 °С, а температура воздуха внутри +20 °С. [1, 5.109]
⎛ Mg
⎞
ρ T
(h1 − h2 ) ⎟⎟ = 1,74.
Ответ: 2 = 1 exp⎜⎜
ρ1 T2
⎝ RT0
⎠
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
26
2. Найти плотность воздуха: а) у поверхности Земли; б) на высоте 4 км от
поверхности Земли. Температуру воздуха считать постоянной и равной 0 °С.
Давление воздуха у поверхности Земли 100 кПа. [1, 5.110]
pM
⎛ Mgh ⎞
3
Ответ: а) ρ 0 = 0 = 1,28 кг/м3; б) ρ = ρ 0 ⋅ exp⎜ −
⎟ = 0,606 p0 = 0,774 кг/м .
RT
⎝ RT ⎠
3. На какой высоте плотность газа вдвое меньше его плотности на уровне
моря? Температуру газа считать постоянной и равной 0 °С. Задачу решить для:
а) воздуха, б) водорода. [1, 5.111]
RT ρ 0
Ответ: h =
ln ; а) 5,5 км; б) 80 км.
Mg ρ
§20. Контрольная работа №3 «Молекулярно-кинетическая теория»
§21. Столкновения. Явления переноса
1. Кислород находится при температуре T = 300 К под давлением
p = 1,00·105 Па. Определить: а) среднюю длину свободного пробега молекул
l , б) среднюю скорость молекулы кислорода, в) среднее время свободного
пробега молекулτ . Сравнить l со средним расстоянием между молекулами
a = 3,3 нм (см. задачу 3, §1). Эффективный диаметр молекулы кислорода
0,35 нм. [4, 2.200]
kT
8RT
-8
Ответ: а) l =
=
7,6·10
м,
l
=
23
a
;
б)
v
=
= 450 м/с;
πM
2πd 2 p
в) τ =
l
= 1,71·10-10с.
v
2. Найти число столкновений за одну секунду между молекулами азота,
содержащимися в 1 м3 при p = 1,00·105 Па и T = 300 К. Эффективный диаметр
молекулы азота 0,37 нм. [4, 2.201]
⎛ pd ⎞ πRT
= 8,4·1034 ·с-1.
Ответ: z = 2V ⎜
⎟
M
⎝ kT ⎠
3. Коэффициент самодиффузии кислорода при t = 0 °C и p = 1013 гПа равен
2
D = 1,8·10-5 м2/с. Оценить среднюю длину свободного пробега
l
молекул
кислорода при тех же условиях. Сравнить со средним расстоянием a = 3,3 нм
между молекулами (см. задачу 3, §1). [4, 2.203]
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
27
3D
= 1,3·10-7 м, l = 39 a .
8 RT
πM
4. Коэффициент теплопроводности гелия при t = 0 °C и p = 1013 гПа равен
Ответ: l =
κ = 0,143 Вт/(м·К). Считая числовой коэффициент в выражениях для D, κ и η
равным 1 / 3 , оценить коэффициенты самодиффузии D и вязкости η гелия при
тех же условиях. Сравнить полученные значения с табличными (полученными
экспериментально) Dэ = 1,62·10-4 м2/с, η э = 2,07·10-5 Па·с. [4, 2.202]
Ответ: D = κ
2M
2T
= 4,6·10-5 Па·с.
= 2,6·10-4 м2/с,η = κ
iR
ip
5. Между двумя параллельными плоскими очень большими пластинами
имеется зазор a = 1,00 см. Между пластинами поддерживается разность
температур ∆T = 1,00 К (от T1 = 299,5 К до T2 = 300,5 К). Зазор заполнен
аргоном
(
40
18
Ar ) c относительной атомной массой 39,948. Оценить плотность
потока тепла δQ / dtdS в случае, если давление аргона равно: а) 1,00·105 Па,
б) 1,00·104 Па, в) 1,00·10-1 Па, г) 1,00·10-2 Па. Эффективный диаметр молекулы
аргона 0,35 нм.
Примечание. Следует иметь в виду, что формула κ = 13 ρ v l cV даёт лишь
порядок величины коэффициента теплопроводности газов. Числовое значение
κ , определённое по этой формуле, может отличаться от экспериментального
значения в несколько раз. [4, 2.205]
δQ 1 ∆T
8 RT
i k
RT ∆T
2
0,5
Вт/м
=
,
в)
=
p
=
πM
dtdS 3 πd 2 πM a
dtdS 4 T
=0,03 Вт/м2, г) 0,003 Вт/м2.
Ответ: а- б)
δQ
=
Домашнее задание
1. Найти среднюю длину свободного пробега атомов гелия, если известно,
что плотность гелия 0,021 кг/м3. Эффективный диаметр молекулы гелия
0,35 нм. [1, 5.121]
Ответ: l = 1,78 мкм.
2. При некоторых условиях средняя длина свободного пробега молекул газа
160 нм; средняя арифметическая скорость его молекул 1,95 км/с. Найдите
среднее число столкновений в единицу времени молекул этого газа, если при
той же температуре давление газа уменьшить в 1,27 раза. [1, 5.124]
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
28
Ответ: z = 9,6·109 с-1.
3. Какое предельное число молекул газа должно находится в единице
объема сферического сосуда, чтобы молекулы не сталкивались друг с другом?
Диаметр молекул газа 0,3 нм, диаметр сосуда 15 см. [1, 5.129]
Ответ: n = 1,66ּ1019 м-3.
§22. Столкновения. Явления переноса
1. В сосуде объемом 100 см3 находится 0,5 г азота. Найти среднюю длину
свободного пробега молекул азота. Эффективный диаметр молекулы азота
0,37 нм. [1, 5.125]
MV
= 15 нм.
Ответ: l =
2πd 2 mN A
2. В сосуде находится углекислый газ, плотность которого 1,7 кг/м3.
Средняя длина свободного пробега его молекул 79 нм. Найти эффективный
диаметр молекул газа. [1, 5.126]
Ответ: d =
m0
= 0,35 мкм.
2π l ρ
3. Расстояние между катодом и анодом в разрядной трубке 15 см. Какое
давление нужно создать в разрядной трубке, чтобы электроны не сталкивались
с молекулами воздуха на пути от катода к аноду. Температура воздуха 27 °С.
Эффективный диаметр молекул воздуха 0,3 нм. Средняя длина свободного
пробега электрона в газе приблизительно в 5,7 раза больше средней длины
свободного пробега молекул самого газа. [1, 5.131]
akT
Ответ: p ≤
= 0,39 Па.
2πd 2 l
4. Найти массу азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку
0,01 м2 за 10 с, если градиент плотности в направлении перпендикулярном
площадке 1,26 кг/м4. Температура азота 27 °С. Средняя длина свободного
пробега молекул азота 0,1 мкм. [1, 5.137]
1
8RT ∂ρ
S∆t = 2 мг.
Ответ: m = l
3
πM ∂x
5. Какой наибольшей скорости может достичь дождевая капля диаметром
0,3 мм. Температура воздуха 0 °С. Считать, что применима формула Стокса.
Коэффициент вязкости воздуха 1,8·10-5 Па·с. [1, 5.147]
ρd 2 g
= 2,72 м/с.
Ответ: vmax =
18η
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
29
6. Самолет летит со скоростью 360 км/ч. Считая, что толщина увлекаемого
слоя воздуха у крыла самолета равна 4 см, найти касательную силу,
действующую на единицу поверхности крыла. [1, 5.148]
F
dv
Ответ:
=η
= 4,5·10-2 Н/м2.
dS
dx
7. Какое количество теплоты теряет помещение за 1 час через окно за счет
теплопроводности воздуха, заключенного между рамами. Площадь каждой
рамы 4 м2, расстояние между ними 30 см. Температура внутри 18 °С,
температура снаружи –20 °С. Диаметр молекул воздуха 0,3 нм. Температуру
воздуха между рамами считать равной среднему арифметическому крайних
температур. Атмосферное давление нормальное. [1, 5.157]
Ответ: 23,7 кДж.
8. На некоторой высоте концентрация частиц газа в атмосфере 1015 м-3.
Найти среднюю длину свободного пробега частиц газа на этой высоте.
Эффективный диаметр молекул воздуха 0,3 нм. [1, 5.114]
Ответ: 5,6 км.
9. Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при н/у.
Эффективный диаметр молекулы воздуха 0,3 нм. [1, 5.115]
Ответ: 93 нм.
Домашнее задание
1. Сосуд с воздухом откачан до давления 1,33⋅10-4 Па. Найти плотность
воздуха в сосуде, число молекул в единице объема сосуда и среднюю длину
свободного пробега молекул. Диаметр молекулы воздуха 0,3 нм. Молярная
масса воздуха 0,029 кг/моль. Температура воздуха 17 °С. [1, 5.128]
Ответ: 1,60ּ10-9 кг/м3; 3,3ּ1016 м-3; 75,6 м.
2. Коэффициент диффузии и вязкость кислорода при некоторых условиях
равны 1,22⋅10-5 м2/с и 19,5 мкПа⋅с. Найти плотность кислорода, среднюю длину
свободного пробега и среднюю арифметическую скорость его молекул.
Эффективный диаметр молекулы кислорода 0,3 нм. [1, 5.146]
Ответ: 1,6 кг/м3; 83,5 нм; 440 м/с.
3. Между двумя пластинами, расположеными на расстоянии 1 мм друг от
друга, находится воздух. Между пластинами поддерживается разность
температур 1 К. Площадь каждой пластины 0,01 м2. Какое количество теплоты
передается за счет теплопроводности от одной пластины к другой за время
10 мин? Считать, что воздух находится при нормальных условиях. Диаметр
молекул воздуха 0,3 нм. [1, 5.158]
Ответ: 78 Дж.
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
30
§23. Реальные газы. Газ Ван-дер-Ваальса
1. Моль азота охлаждён до температуры -100 °С. Определить давление р,
оказываемое газом на стенки сосуда, если объём V, занимаемый газом, равен:
а) 1,00 л, б) 0,100 л. Сравнить р с давлением pид , которое имел бы азот, если бы
сохранил при рассматриваемых условиях свойства идеального газа.
Постоянные Ван-дер-Ваальса для азота a = 0,135 Па·м6/моль2, b = 3,9ּ105 3
м /моль. [4, 2.162]
νRT
νRT
a
− ν 2 2 , pид =
; а) p = 1,36·106 Па = 0,95 pид ;
Ответ: p =
V
V − νb
V
6
б) p = 10,0·10 Па = 0,69 pид .
2. Моль азота расширяется адиабатическим путем в пустоту, в результате
чего объём газа увеличивается от V1 = 1,00 л до V2 = 10,0 л. Определить
изменение температуры газа ∆T . Постоянная Ван-дер-Ваальса для азота
a = 0,135 Па·м6/моль2. [4, 2.165]
a ⎛1 1⎞
⎜ − ⎟ = -5,9 К.
Ответ: ∆T =
Cm V ⎜⎝ V2 V1 ⎟⎠
3. Два моля водорода расширяются в пустоту, в результате чего объём газа
увеличивается от V1 = 2,00 л до V2 = 10,0 л. Какое количество тепла Q нужно
сообщить газу, чтобы температура его не изменилась? Постоянные Ван-дерВаальса для водорода a = 0,024 Паּм6/моль2, b = 2,7ּ10-5 м3/моль. [4, 2.166]
⎛1 1⎞
Ответ: Q = ∆U = −ν 2 a⎜⎜ − ⎟⎟ = 38,4 Дж.
⎝ V2 V1 ⎠
4. Получить выражение для работы А, совершаемой газом Ван-дер-Ваальса
при изотермическом расширении от объёма V1 до объёма V2 . Температура газа
Т, постоянные Ван-дер-Ваальса а и b. Сравнить полученное выражение с
аналогичным выражением для идеального газа. [4, 2.167]
⎛1 1⎞
V
V − νb
Ответ: A = νRT ln 2
+ ν 2 a⎜⎜ − ⎟⎟ , Aид = νRT ln 2 .
V1
V1 − νb
⎝ V2 V1 ⎠
5. Моль кислорода, занимавший первоначально объём V1 = 1,00 л при
температуре t = -100 °С, расширился изотермически до объёма V2 = 10,0 л.
Найти: а) изменение внутренней энергии газа; б) работу, совершенную газом
(сравнить ее с работой Aид , вычисленной по формуле для идеального газа);
в) количество полученного газом тепла Q. Постоянные Ван-дер-Ваальса для
кислорода a = 0,136 Па·м6/моль2, b = 3,2ּ10-5 м3/моль. [4, 2.168]
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
31
⎛1 1⎞
⎛1 1⎞
V − νb
Ответ: а) ∆U = −ν 2 a⎜⎜ − ⎟⎟ = 122 Дж,
б) A = νRT ln 2
+ ν 2 a⎜⎜ − ⎟⎟ =
V1 − νb
⎝ V2 V1 ⎠
⎝ V2 V1 ⎠
V − νb
= 3,35 кДж.
=3,23 кДж = 1,012 Aид , в) Q = νRT ln 2
V1 − νb
6. Для определения постоянных Ван-дер-Ваальса некоторое количество газа,
занимающее при T1 = 300 К и p1 = 1,00·107 Па объём V1 = 6,79·10-4 м3, было
изотермически сжато до объёма V2 = 4,00·10-4 м3, в результате чего давление
возросло до значения p2 = 1,65·107 Па. Затем газ был охлаждён при неизменном
объёме до температуры T2 = 200 К. Давление при этом уменьшилось до
значения p3 = 0,819·107 Па. Воспользовавшись этими данными, вычислить
значение констант а и b для этого газа. [4, 2.164]
Ответ: a = 0,15 Па·м6/моль2, b = 3,33·10-5 м3/моль.
Домашнее задание
1. Для водорода критическое давление 1,3 МПа, критическая температура
33 К, для кислорода критическое давление 5,07 МПа, критическая температура
154 К, для водяного пара критическое давление 22 МПа, критическая
температура 647 К. Определить константы Ван-дер-Ваальса для этих газов.
[1, 6.2]
Ответ: a H = 0,0244 Па·м6/моль2; aO = 0,136 Па·м6/моль2; a H O = 0,556 Па·м6/моль2;
2
2
3
2
3
3
bH = 26,3 мкм /моль; bO = 31,6 мкм /моль; bH O = 30,6 мкм /моль.
2
2
2
2. Какую температуру имеют 2 г азота, занимающие объем 820 см3 при
давлении 0,2 МПа? Газ рассматривать как: a) идеальный; б) реальный.
a = 0,135 Паּм6/моль2,
Постоянные
Ван-дер-Ваальса
для
азота
b = 3,9 ⋅ 10 −5 м3/моль. [1, 6.3]
Ответ: Т = 277 К, Tид = 276 К.
3. 1 кмоль углекислого газа находится при температуре 100 °С. Найти
давление газа, считая его: реальным и идеальным. Задачу решить для объемов
а) 1 м3 и б) 0,05 м3. Постоянные Ван-дер-Ваальса для углекислого газа
a = 0,364 Паּм6/моль2, b = 4,3ּ10-5 м3/моль. [1, 6.6]
Ответ: а) 2,87 МПа и 3,09 МПа; б) 273 МПа и 61,8 МПа.
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
32
§24. Реальные газы. Газ Ван-дер-Ваальса
для
газа
Ван-дер-Ваальса разность молярных
1. а) Определить
теплоёмкостей Cm p − Cm V . б) Вычислить значение этой разности для 1 моля
азота при V = 1,00 л и температуре равной –100 °С (выразить её через R).
a = 0,135 Паּм6/моль2,
Постоянные
Ван-дер-Ваальса
для
азота
b = 3,9 ⋅ 10 −5 м3/моль. [4, 2.170]
R
Ответ: Cm p − Cm V =
= 1,23R .
2νa
2
(V − νb )
1−
RTV 3
2. Получить для газа Ван-дер-Ваальса уравнение адиабаты в переменных V
и T, а также в переменных p и V. Сравнить полученные уравнения с
аналогичными уравнениями для идеального газа. [4, 2.169]
R
R
a ⎞
+1
⎛
Ответ: T (V − νb )C = const , ⎜ p + ν 2 2 ⎟(V − νb )C
= const .
V ⎠
⎝
3. Получить для газа Ван-дер-Ваальса выражение для энтропии в
переменных T и V. Сравнить полученное выражение с аналогичным
выражением для идеального газа. [4, 2.176]
Ответ: S = ν (Cm V ln T + R ln(V − νb) + const ) , S ид = ν (Cm V ln T + R ln V + const ) .
mV
mV
4. 1 кмоль кислорода находится при температуре 27 °С и давлении 10 МПа.
Найти объем кислорода, считая, что он ведет себя как реальный газ.
Постоянные
Ван-дер-Ваальса
для
азота
a = 0,135 Паּм6/моль2,
b = 3,9 ⋅ 10 −5 м3/моль. [1, 6.8]
Ответ: задача решается методом последовательных приближений; V = 231 л.
5. Найти эффективный диаметр молекулы азота двумя способами: а) по
данному значению средней длины свободного пробега молекул при
нормальных условиях 95 нм; б) по известному значению постоянной b в
уравнении Ван-дер-Ваальса. Постоянные Ван-дер-Ваальса для азота
a = 0,135 Паּм6/моль2, b = 3,9 ⋅ 10 −5 м3/моль. [1, 6.11]
Ответ: а) d =
3b
kT
= 0,297 нм; б) d = 3
= 0,313 нм.
2πN A
2πp < l >
Домашнее задание
1. Какую температуру имеет 3,5 г кислорода, занимающего объем 90 см3
при давлении 2,8 МПа? Газ рассматривать как: а) идеальный; б) реальный.
[1, 6.4]
Ответ: а) Т ид = 281 К; б) Т = 289 К.
2. В закрытом сосуде объемом 0,5 м3 находится 0,6 кмоль углекислого газа
при давлении 3 МПа. Во сколько раз надо увеличить температуру газа, чтобы
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
33
давление увеличилось вдвое. Газ рассматривать как: а) идеальный; б) реальный.
[1, 6.7]
Ответ: а) в 2 раза; б) в 1,85 раза.
3. Найти эффективный диаметр молекулы кислорода, считая известными
для кислорода критические значения давления 5,07 МПа и температуры 154 К.
[1, 6.10]
Ответ: 0,294 нм.
§25. Поверхностные свойства жидкости. Капилляры
1. Рамка с подвижной медной перекладиной затянута мыльной пленкой.
Каков должен быть диаметр перекладины, чтобы она находилась в равновесии.
Найти длину перекладины, если известно, что при ее перемещении на 1 см
совершается изотермическая работа 45 мкДж. Коэффициент поверхностного
натяжения мыльного раствора 0,045 Н/м. Плотность меди 8600 кг/м3. [1, 7.35]
A
2σ
Ответ: d = 2
= 1,16 мм; l =
= 5,00 см.
2σ∆h
πρg
2. Какую силу нужно приложить к горизонтальному алюминиевому кольцу
высотой 10,0 мм, внутренним диаметром 50,0 мм и внешним диаметром
52,0 мм, чтобы оторвать его от поверхности воды. Коэффициент
поверхностного натяжения воды 0,073 Н/м. Плотность алюминия 2700 кг/м3.
[1, 7.33]
Ответ: F = π (d 2 + d1 )[ρh(d 2 − d1 ) g / 4 + σ ] = 65 мН.
3. Какую работу против сил поверхностного натяжения нужно совершить,
чтобы выдуть мыльный пузырь диаметром 4,00 см. Коэффициент
поверхностного натяжения раствора 0,045 Н/м. [1, 7.43]
Ответ: A = 2σπd 2 = 452 мкДж.
4. На сколько нагреется капля ртути, полученная от слияния двух капель
ртути радиусом 1 мм каждая. Коэффициент поверхностного натяжения ртути
0,470 Н/м. Плотность ртути 13600 кг/м3, удельная теплоемкость ртути
138 Дж/кгּК. [1, 7.40]
3σ
1
Ответ: ∆T =
(1 − 1 ) = 0,000155 К.
cρr
23
5. U– образный сосуд состоит из сообщающихся широкой и узкой
цилиндрических трубок. При заливании в сосуд воды между её уровнями в
узкой и широкой трубках устанавливается разность высот h = 80,0 мм.
Внутренний радиус широкой трубки r2 = 5,00 мм. Считая смачивание полным,
найти радиус узкой трубки r1 . Коэффициент поверхностного натяжения воды
0,073 Н/м. [4, 2.183]
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
34
Ответ: r1 =
1
= 0,18 мм.
1 ρgh
+
r2 2σ
6. В стеклянную трубку с внутренним диаметром d1 = 20,00 мм вставлена
коаксиально стеклянная палочка диаметром d1 = 19,00 мм. Считая смачивание
полным, определить высоту h капиллярного поднятия воды в кольцевом зазоре
между трубкой и палочкой. Коэффициент поверхностного натяжения воды
0,073 Н/м. [4, 2.184]
4σ
Ответ: h =
= 29,8 мм.
ρg (d1 − d 2 )
7. Капля ртути объема
V = 22,5 мм3 помещена между двумя
расположенными горизонтально стеклянными пластинками. С какой силой
нужно прижимать друг к другу пластинки, чтобы установить между ними зазор
a = 3,00 мкм. Несмачивание ртутью пластин считать полным. Коэффициент
поверхностного натяжения ртути 0,470 Н/м. [4, 2.185]
2σV
Ответ: F = 2 = 2,35 кН.
a
Домашнее задание
1. Кольцо внутренним диаметром 25,0 мм и внешним диаметром 26,0 мм
подвешено на пружине и соприкасается с поверхностью жидкости. Жесткость
пружины 980 нН/м. При опускании поверхности жидкости кольцо оторвалось
от нее при растяжении пружина на 5,30 мм. Найти коэффициент
поверхностного натяжения жидкости. [1, 7.34]
k∆l
Ответ: σ =
= 0,032 Н/м.
π ( d1 + d 2 )
2. Спирт по каплям вытекает из сосуда через вертикальную трубку
внутренним диаметром 2 мм. Капли отрываются через 1 с одна после другой.
Через какое время вытечет 10,0 г спирта. Диаметр шейки капли в момент
отрыва считать равным внутреннему диаметру трубки. [1, 7.36]
mg
Ответ: ∆t =
τ = 780 с.
πdσ
3. Какую работу против сил поверхностного натяжения надо совершить,
чтобы разделить сферическую каплю ртути радиусом 3,00 мм на две
одинаковые капли. Коэффициент поверхностного натяжения ртути 0,470 Н/м.
[1, 7.41]
Ответ: A = 14,7 мкДж.
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
35
§26. Капиллярные явления
1. Две вертикальные параллельные друг другу стеклянные пластины
погружены частично в воду. Зазор между пластинами 0,5 мм, размер пластин по
горизонтали 10,0 см. Считая смачивание полным, определить высоту, на
которую поднимается вода в зазоре. Коэффициент поверхностного натяжения
воды 0,073 Н/м. [4, 2.187]
Ответ: h = 3,0 см.
2. После покрытия слоем парафина радиус отверстий решета стал равен
r = 1,50 мм. Приняв во внимание, что вода не смачивает парафин, определить
высоту h слоя воды, который можно носить в решете так, чтобы вода не
пролилась через отверстия. Коэффициент поверхностного натяжения воды
0,073 Н/м. [4, 2.189]
Ответ: h = 2σ / ρgr = 10,0 мм.
3. С какой силой притягиваются две вертикальные параллельные пластины,
частично погруженные в воду так, что расстояние между ними d. Ширина
пластинки l. Коэффициент поверхностного натяжения воды σ . Вычислить эту
силу для воды, если d = 5 мм, l = 10 см, Коэффициент поверхностного
натяжения воды 0,073 Н/м. Смачивание считать полным. [11, стр. 430; 4, 2.187,
ч.2]
2σ 2 cos 2 Θ
Ответ: F =
l = 4 мН.
ρgd 2
4. Две стеклянные пластины сложены так, что зазор между ними образует
вертикально расположенный клин с очень малым углом при вершине.
Пластины погружают частично в жидкость с известной плотностью. Считая
смачивание полным, определить уравнение кривой, по которой пересекается
каждая из пластин с поверхностью жидкости в зазоре. Коэффициент
поверхностного натяжения воды σ . Ось ОY направить вверх по ребру клина,
ось ОХ направить горизонтально вдоль внутренней поверхности пластины,
расположив эту ось на уровне жидкости вне клина. [4, 2.188]
2σ
Ответ: xy =
.
ρg ϕ
5. Определить, на какой глубине образуются пузырьки газа в воде, если при
всплытии пузырьков их радиус увеличивается в 1,10 раза, достигая на
поверхности значения 1,00 мм. Атмосферное давление нормальное. Считать,
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
36
что температура газа в пузырьке во время всплытия не изменяется.
Коэффициент поверхностного натяжения воды 0,073 Н/м. [4, 2.190]
1 ⎡
2σ
⎤
3
2
Ответ: h =
p
(
η
−
1
)
+
η
(
η
−
1
)
⎥⎦ = 7 м.
r
ρg ⎢⎣
6. Водомерка бегает по поверхности воды. Найдите массу водомерки, если
известно, что под каждой из 6 лапок насекомого образуется ямка, равная
полусфере радиусом 0,100 мм. Коэффициент поверхностного натяжения воды
0,073 Н/м. [1, 7.64]
Ответ: m = 2σπrn / g = 28 мг.
Домашнее задание
1. Каким должен быть внутренний диаметр капилляра, чтобы при полном
смачивании вода в нем поднималась на 2,00 см. Решить задачу, если капилляр
находится: а) на Земле; б) на Луне. Коэффициент поверхностного натяжения
воды 0,073 Н/м. [1, 7.51]
Ответ: а) 1,5 мм; б) 8,8 мм.
2. Какую относительную ошибку мы допускаем, вычисляя атмосферное
давление 101,3 кПа по высоте ртутного столба, если внутренний диаметр
барометрической трубки равен: а) 5,00 мм; б) 10,0 мм Коэффициент
поверхностного натяжения ртути 0,470 Н/м. [1, 7.59]
H −h
Ответ: x =
; а) 0,4 %, б) 0,2 %.
h
3. На поверхность воды положили жирную (полностью несмачиваемую
водой) стальную иголку. Каков наибольший диаметр иголки, при котором она
еще может держаться на воде. [1, 7.60]
8σ
= 1,6 мм.
Ответ: d ≤
πρg
§27. Твердое тело. Фазовые переходы
1. Изменение энтропии при плавлении 1 моля льда равно 22,2 Дж/К. На
сколько изменяется температура плавления льда при увеличении внешнего
давления на 100 кПа. [1, 8.1]
Ответ: ∆T = 0,009 K.
2. Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти из какого материала сделан
металлический шарик массой 0,025 кг, если известно, что для его нагревания от
10 °С до 30 °С потребовалось затратить 117 Дж теплоты. [1, 8.5]
Ответ: µ = 0,107 кг/моль, серебро.
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
37
3. Свинцовая пуля, летящая со скоростью 400 м/с, ударяется о стенку и
входит в нее. Считая, что 10 % кинетической энергии пули идет на ее
нагревание, найти на сколько нагрелась пуля. Удельную теплоемкость свинца
найти по закону Дюлонга и Пти. [1, 8.7]
Ответ: ∆T = 66 K.
4. Наружная поверхность стены имеет температуру –20 °С, а внутренняя –
температуру 20 °С. Толщина стены 40 см. Найти теплопроводность материала
стены, если через единицу ее поверхности за 1 час проходит количество
теплоты 460,5 кДж. [1, 8.9]
Ответ: λ = 1,28 Вт·м·К.
5. При нагревании некоторого металла от 0 °С до 500 °С его плотность
уменьшается в 1,027 раза. Найти для этого металла коэффициент линейного
расширения, считая его постоянным в данном интервале температур. [1, 8.18]
Ответ: а = 1,8·10-5 К-1.
Домашнее задание
1. Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти удельную теплоемкость:
а) меди; б) железа; в) алюминия. [1, 8.4]
Ответ: cCu = 390 Дж/(кг·К), cFe = 450 Дж/(кг·К), cAl = 930 Дж/(кг·К).
2. Какую длину должны иметь при температуре t 0 = 0 °С стальной и
медный стержни, чтобы при любой температуре стальной стержень был
длиннее медного на ∆l = 5 см. [1, 8.19]
Ответ: l0 Fe = 11 см, l0 Cu = 16 см.
3. При давлении p1 = 100 кПа температура плавления олова t1 = 231,9 °С,
а при давлении p2 = 10 МПа она равна t 2 = 232,2 °С. Плотность жидкого олова
ρ = 7,0·10-3 кг/м3. Найти изменение энтропии ∆S при плавлении ν = l кмоль
олова. [1, 8.2]
Ответ: ∆S = 15,8 кДж/К.
§28. Контрольная работа №4 «Столкновения. Газ Ван-дер-Ваальса.
Поверхностные свойства жидкости» или «Итоговая контрольная
работа»
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
38
Рекомендуемые задачники
1. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука,
1990, 400 с.
2. Балаш В.А. Сборник задач по курсу общей физики. М.: Просвещение,
1978, 208 с.
3. Сборник задач по курсу общей физики /Под ред. М.С. Цедрика, М.:
Просвещение, 1989, 271 с.
4. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. М.: Наука,
1988, 288 с.
5. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: Наука, 1988, 416 с.
6. Сахаров Д.И. Сборник задач по физике. М.: Просвещение, 1967, 287 с.
7. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики. М.: Высш. шк., 1991,
303 с.
8. Бабаджан Е.И., Гервидс В.И., Дубовик В.М., Нерсесов Э.А. Сборник
качественных вопросов и задач по общей физике. М.: Наука, 1990, 400 с.
9. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М.: Высш. шк., 1987, 360 с.
10. Коган Л.М. Учись решать задачи по физике. М.: Высш. шк., 1993, 368 с.
11. Сивухин Д.В. Общий курс физики. М.: Наука, 1975, 552 с.
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
39
Содержание
Законы идеального газа
1.
2.
3.
4.
5.
Физические параметры атомов и молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Законы идеального газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Законы идеального газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Законы идеального газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
К/Р №1 «Законы идеального газа» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
6
8
9
Законы термодинамики
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Уравнение теплового баланса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Первое начало термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Процессы в газах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Процессы в газах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Процессы в газах и тепловые машины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Тепловые машины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Энтропия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
К/Р №2 «Законы термодинамики» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Молекулярная физика
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Основное уравнение МКТ. Квадратичная скорость . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Функции распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Молекулярно-кинетическая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Барометрическая формула . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Барометрическая формула . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Контрольная работа №3«Молекулярно-кинетическая теория» . . . . . . . . . 27
Столкновения. Явления переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Столкновения. Явления переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Реальные газы. Газ Ван-дер-Ваальса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Реальные газы. Газ Ван-дер-Ваальса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Поверхностные свойства жидкости. Капилляры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Капиллярные явления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Твердое тело. Фазовые переходы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Контрольная работа №4 «Столкновения. Газ Ван-дер-Ваальса.
Поверхностные свойства жидкости» или «Итоговая контрольная
работа» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Рекомендуемые задачники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
40
Учебное издание
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Сборник задач
Составители
ГРИБКОВ Александр Иванович
РОМАНОВ Роман Васильевич
Оригинал-макет предоставлен авторами.
Подписано в печать 27.01.2005. Формат 60х90/16.
Бумага офсетная. Печать трафаретная.
Усл.-печ. л. 2,5. Уч.-изд. л. 2,3. Тираж 100 экз. Заказ 05/014.
Отпечатано в Издательском центре
Тульского государственного университета им. Л. Н. Толстого.
300026, Тула, просп. Ленина, 125.
«Молекулярная физика и термодинамика» Сборник задач. А.И. Грибков, Р.В. Романов
41