Методические указания к выполнению контрольных работ. Ниже

Методические указания к выполнению контрольных работ.
Ниже приведены образцы
решения некоторых типичных задач для
подготовки к контрольным работам, а также задания для самостоятельного
решения.
ЗАДАЧА №1. Для кривой, заданной параметрически, найти:
1. Векторы сопровождающего трехгранника в точке t = t0;
2. Плоскости и прямые сопровождающего трехгранника в точке t = t0;
3. Касательные прямые, параллельные координатным плоскостям;
4. Соприкасающиеся плоскости, перпендикулярные координатным осям;
5. Кривизну и кручение кривой в точке t = t0.
Вариант
x(t)
1.
6t
2.
3.
sht
2  t  sin 2t
2 sin t
t
cos t
4.
5.
2t3
3 t
3t2
3 sin t
сh2t
3 cos t
sh2t
 t
3 t
2 cos 2 t
3t2
2  t  sin 2t
3 t
2  sin t
8t
sh3t
6  sin t
сh3t
6 cos t
2t
2 cos 2 t
4  t  2  sin 2t
2  sin t
6t
12  t
16  t 3
4 cos t
2  sht
3 t
2  cht
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
2
16.
17.
18.
19.
20.
cos t
5t2
y(t)
3  sin
t
2
cht
2
t
t0
z(t)
2
1
 sin 2t
2
3t3
3  cos
t
2
2t3
4  sin t
2t
sin t
3 t
15  (  t )
20  cos(  t )
20  sin(   t )
3 t
5  sht
5  cht
cos t
12  t 2
2 sin 2 t
16  t 3
2  t  sin 2t
6t

4
0

4
1

4
0

4
1

4
0

4
1

4
0

4
1

4
0

4
1
ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №1.
Кривая задана параметрическими уравнениями:
 x(t )  2 cos 2 2t


, t0  .
 y (t )  2 sin t
4
 z (t )  2t  sin 2t

(1)
ЗАМЕЧАНИЕ. Все вычисления будут проведены в системе компьютерной
математики Mathcat. Поэтому в некоторых вычислениях математическая
символика будет несколько отличаться от общепринятой. Но для человека,
знакомого с «азами» высшей математики и некоторыми системами компьютерной
математики не составит большого труда понимание нижеприведенного текста.
Проверим является ли параметризация кривой естественной. Для этого

найдем длину вектора r (t ) . Вычислим производные функций (1):
d
x( t)
dt
8  cos ( 2  t)  sin( 2  t)
d
y ( t)
dt
2  cos ( t)
d
z( t) 2  2  cos ( 2  t)
dt
d
d
y( t) 2  cos ( t)
z( t)

Тогда длина вектора r (t ) dравна:
t
dt
2
2
 d x( t)    d y( t)    d z( t) 

 
 

 dt   dt   dt 
2
(2)
2  2  cos ( 2  t)
 64  cos ( 2  t) 2  sin( 2  t) 2  4  cos ( t) 2  ( 2  2  cos ( 2  t) ) 2
 1 
 2
Мы видим, что длина этого вектора не равна единице. Стало быть,
параметризация кривой не является естественной.
1. Найдем векторы подвижного трехгранника кривой. Они находятся по
формулам:

 r (t )
t  
;
r (t )



 (r (t )  r (t ))  r (t )
n 
;


(r (t )  r (t ))  r (t )
 r (t )  r (t )
b 
.

r (t )  r (t )
(3)
Вычислим вторые производные функций (1):
d2
dt
2
x( t)
2
32  cos ( 2  t)  16
2
.
d2
dt
d2
dt
2
2
(4)
y( t)
z( t)
2  sin ( t)
4  sin ( 2  t)
 
 
Вектор r ( ) имеет координаты (0, 2 ,2) , а вектор r ( )  (16, 2 ,4). Их
4
4
векторное произведение равно:
 
 
r ( )  r ( )  (2 2 ,32,16 2 ).
4
4
 
 
 
Вектор (r ( )  r ( ))  r ( ) равен (96,4 2 ,4).
4
4
4
Найдем длины этих векторов:
 
r ( )  6 ;
4
 
 
r ( )  r ( )  2 386;
4
4
 
 
 
(r ( )  r ( ))  r ( )  4 579 .
4
4
4
(5)
(6)
Тогда векторы сопровождающего трехгранника кривой (1) в точке t0 имеют
координаты:
 
r ( )
 
4  (0, 3 , 6 );
t( )
 
4
3 3
r ( )
4
   
 
(r ( )  r ( ))  r ( )
 
4
4
4  ( 8 579 , 1158 , 579 );
n( ) 
(7)
   
 
4
193
579
579
(r ( )  r ( ))  r ( )
4
4
4
   
r ( )  r ( )
 
4
4  ( 193 , 8 386 , 193 ).
b( ) 
   
4
193
193
193
r ( )  r ( )
4
4
2. Составим уравнения прямых подвижного трехгранника в точке t = t0.
Уравнения прямой, проходящей через точку A( x 0 , y 0 , z 0 ) и имеющей

направляющий вектор a (a1 , а 2 , а 3 ) , записываются следующим образом:
x  x0 y  y 0 z  z 0


.
а1
а2
а3
(8)
 

Вектор r ( ) имеет координаты (0, 2 ,  1).
2
4
3
Направляющим вектором касательной прямой в точке t 

4
является
 
 
 
 
вектор r ( ) , главной нормали – вектор (r ( )  r ( ))  r ( ) , а бинормали 4
4
4
4
 
 
r ( )  r ( ). Тогда с учетом (8) уравнения касательной прямой, главной нормали
4
4

и бинормали в точке t 
имеют соответственно вид:
4
x y 2


0
2
x
y 2


24
2
z (
z (

 1)
2
2

2
1
;
(9)
 1)
;

z  (  1)
y 2
2


.
16
 2
8 2
Составим уравнения плоскостей подвижного трехгранника в точке t = t0.
Уравнения плоскости, проходящей через точку A( x 0 , y 0 , z 0 ) и перпендикулярной

вектору n ( A, B, C ) , записывается следующим образом:
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0.
(10)
x
Нормальным вектором нормальной плоскости в точке t 

4
является вектор
 
 
 
 
r ( ) , спрямляющей плоскости – вектор (r ( )  r ( ))  r ( ) , а соприкасающейся
4
4
4
4
 
 
плоскости - r ( )  r ( ). Тогда с учетом (10) уравнения нормальной,
4
4
спрямляющей и соприкасающейся плоскостей в точке t 
соответственно вид:
2 ( y  2 )  2( z  (

2
24 x  2 ( y  2 )  ( z  (

4
имеют
 1))  0;

2
 1))  0;
(11)

 2 x  16( y  2 )  8 2 ( z  (  1))  0.
2

3. Условие параллельности прямой с направляющим вектором a (a1 , a 2 , a3 ) и
плоскости с

нормальным вектором n ( A, B, C ) имеет вид:
A  a1  B  a 2  C  a3  0.
(12)
С учетом последней формулы получим условие параллельности для

касательной прямой, имеющей направляющим вектором вектор r (t ) , и
4
координатной плоскости YOZ, нормальным вектором для которой может служить
вектор с координатами (1,0,0):
8  cos ( 2  t)  sin( 2  t)
(13)
0
Решая последнее уравнение относительно t, получим t 
k
, k  Z . Таким
4
образом, существует бесконечно много точек, в которых касательная прямая к
кривой (1) параллельна плоскости YOZ. Для одной из таких точек t 

4
уравнение
касательной составлено в пункте 2.
Получим также условие параллельности для касательной прямой, имеющей

направляющим вектором вектор r (t ) , и координатной плоскости XOY,
нормальным вектором для которой может служить вектор с координатами (0,0,1):
(14)
2  2  cos ( 2  t) 0.
Решая последнее уравнение относительно t, получим t 

2
 k , k  Z . Эти точки
 
являются особыми точками для кривой (1), поскольку r (  k )  (0,0,0). В этих
2
точках касательной прямой не существует.
Теперь не составляет труда решить аналогичный вопрос для плоскости
XOZ.
4. Найдем нормальный вектор соприкасающейся плоскости. Этим вектором может


служить вектор r (t )  r (t ). Его координаты равны:


r (t )  r (t )  (8 cos 2 t sin t ,64 cos 2 2t  32 cos 3 2t  32,192 cos 5 t  160 cos 3 t ).
(15)
Для того, чтобы соприкасающаяся плоскость была перпендикулярна одной
из координатных осей необходимо и достаточно, чтобы две из координат вектора
(15) были равны нулю, а третья координата была бы отлична от нуля.. Найдем
значения t, при которых каждая из координат обращается в ноль.
Первая координата вектора (15) обращается в ноль при

t  k , k  Z ; t   n, n  Z , вторая - при
2

1
1
1
1
1
1
t   n, n  Z ; t  arccos(
5  )  k , k  Z ; t  arccos( 
5  )  m, m  Z , тре2
2
2
2
2
2
2

30
)  2k , k  Z .
тья – при t   n, n  Z ; t   arccos(
2
6

Как отмечено выше точки t   k , k  Z являются особыми точками
2
кривой, в которых трехгранника Френе (подвижного трехгранника) не существует.


Вычислим координаты вектора r (t )  r (t ) в точках, полученных выше, при этом
вычисления проведем для t  0;2  в силу периодичности функций:


r (0)  r (0)  (0,64,32).


r ( )  r ( )  (0,64,32).
5
 1
 1
1
1
1
1
r ( arccos(
5  ))  r ( arccos(
5  ))  ( 0,0,  0).
2
2
2
2
2
2
 1
 1
1
1
1
1
r ( arccos(
5  )   )  r ( arccos(
5  )   )  ( 0,0,  0).
2
2
2
2
2
2
 1
 1
1
1
1
1
r ( arccos( 
5  ))  r ( arccos( 
5  ))  ( 0,0,  0).
2
2
2
2
2
2
 1
 1
1
1
1
1
r ( arccos(
5  )   )  r ( arccos(
5  )   )  ( 0,0,  0).
2
2
2
2
2
2


30
30
r ( arccos(
))  r ( arccos(
))  ( 0,  0,0).
6
6
(16)
ЗАМЕЧАНИЕ. Для некоторых векторов в (16) не выписаны численные
значения координат в силу их громоздкости.
Из (16) видно, что не существует точек на кривой (1), в которых
соприкасающаяся плоскость была бы перпендикулярна координатным осям.
5.Кривизна и кручение кривой вычисляются по формулам соответственно:


r (t )  r (t )
k
.

3
r (t )
(17)
 

(r (t )r (t )r (t ))
 
.

(( r (t )  r (t )) 2
t

4
(18)
Вычислим третьи производные функций (1) и их численное значение в точке
:
d3
dt
3
128  cos ( 2  t)  sin ( 2  t)
x( t)
d3
dt
d3
dt
3
3
2  cos ( t)
y( t)
(19)
8  cos ( 2  t)
z( t)
 
r ( )  (0, 2 ,0).
4
С учетом формул (17) – (19) в точке t 
k
 
 
r ( )  r ( )
4
4
 
r ( )
4
3

4
имеем:
(17)

2316
.
18
6
     
(r ( )r ( )r ( ))
4
4
4 4 2.

   
193
(( r ( )  r ( )) 2
4
4
(18)
ЗАМЕЧАНИЕ. Построим кривую (1) с помощью системы компьютерной
математики Mathcat. На графике видно, что кривая имеет особые точки.
Построение такого графика «вручную» вряд ли возможно.
G
ЗАДАЧА № 2. Для поверхности, заданной параметрически, найти:
1. Единичный вектор нормали в точке (u = u0, v = v0);
2. Уравнение касательной плоскости и нормали в точке (u = u0, v = v0);
3. Объем тетраэдра, образуемого касательной плоскостью в точке (u = u0, v =
v0) к данной поверхности и плоскостями координат;
4. Нормали, параллельные координатным плоскостям;
5. Первую квадратичную форму поверхности;
6. Вторую квадратичную форму поверхности;
7. Угол между координатными линиями поверхности в точке (u = u0, v = v0);
8. Гауссову и среднюю кривизну поверхности;
9. Эллиптические, гиперболические и параболические точки на данной
поверхности.
Вариант
x(u,v)
y(u,v)
z(u,v)
u0
v0
7
1.
2.
3.
4.
3u  4v
3u  4v
v
u 2  2v 2
u  2v
u 2  2vu
5u 3  4v 3
5uv
3
2u  3v 2 u
3 cos u cos v
3 cos usin v
5 sin u
3chu cos v
3chusin v
5shu
5.
0
6.
3shu cos v
3shu sin v
5chu
1
7.
3u cos v
8.
9.
10.
11.
12.
13.
3u sin v
5u
3u  2v
2u  v
3u 2  vu
u
4 cos sin v
2
u
4ch sin v
2
u
4 sh sin v
2
7u  2v
5uv
3
u  5v 2 u
u
3 sin
2
u
3sh
2
u
3ch
2
u sin v
 2u
2u 2  3v
u 2  2v 2 u
v
cos u sin
2
u
v
5ch sin
2
2
u
9 sh sin 2v
2
2
2
3
3
2
3u  7v
8u  v
v2
u
4 cos cos v
2
u
4ch cos v
2
u
4 sh cos v
2
18.
19.
1
1
1

3
0
0
1
14.
15.
16.
17.
1
1
1

3
0
4u  3v
v3
2
2
v
2
u
v
5ch cos
2
2
u
9sh cos 2v
2
cos u cos
ucos v
u 2v
2u 3  v 2 u
2 sin u
u
2
u
3ch
2
4 sh
1
1

6
0
0
1
20.
u cos 2v
u sin 2v
 3u
2
0
1
1

4

4

3

3
0
1
1

4

4

6

6
1
1

3

3

6

6
ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №2.
Поверхность задана параметрическими уравнениями:
u
v

 x(u , v)  3ch 2 cos 3

u

, u 0  0, v0   .
 y (u , v)  2 sh
2

u
v

 z (u , v)  3ch 2 sin 3

(19)
ЗАМЕЧАНИЕ. Все вычисления будут проведены в системе компьютерной
математики Mathcat. Поэтому в некоторых вычислениях математическая
8
символика будет несколько отличаться от общепринятой. Но для человека,
знакомого с «азами» высшей математики и некоторыми системами компьютерной
математики не составит большого труда понимание нижеприведенного текста.





Найдем векторы ru (u, v), rv (u, v), ruu (u, v), ruv (u, v), rvv (u, v) :

3 u
v
u 3 u
v
ru (u, v)  ( sh cos , ch , sh sin );
2 2
3
2 2 2
3

u
v
u
v
rv (u , v)  (ch sin ,0, ch cos );
2
3
2
3

3 u
v 1 u 3 u
v
ruu (u , v)  ( ch cos , sh , ch sin );
4 2
3 2 2 4 2
3

1 u
v 1 u
v
ruv (u, v)  ( sh sin ,0, sh cos );
2 2
3 2 2
3

1 u
v
1 u
v
rvv (u, v)  ( ch cos ,0, ch sin ).
3 2
3
3 2
3
(20)
1. Единичный вектор нормали к поверхности (19) находится по формуле:


ru (u, v)  rv (u, v)

n (u, v)  

ru (u, v)  rv (u, v)
(21)
и в текущей точке поверхности имеет координаты:

n (u, v) 
2
ch 2
(ch 2
u
u
(13ch 2  9)
2
2
u
v 3 u u
u
v
cos , sh ch , ch 2 sin ).
2
3 2 2 2
2
3
(22)
В точке u 0  0, v0   единичный вектор нормали имеет координаты:

1
3
n (0,  )  ( ,0,
).
2
2
(23)
2. Составим уравнения касательной плоскости и нормали поверхности (19) в
точке u 0  0, v0   .
Уравнения плоскости, проходящей через точку A( x 0 , y 0 , z 0 ) и

перпендикулярной вектору n ( A, B, C ) , записывается следующим образом:
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0.
(24)
3 3 3

). Нормальным вектором
Вектор r (0,  ) имеет координаты ( ,0,
2
2
касательной плоскости к поверхности (19) в точке u 0  0, v0   является вектор

1
3
n (0,  )  ( ,0,
). Тогда с учетом (24) это уравнение будет иметь вид:
2
2
9
3
3 3
( x  )  3( z 
)  0.
2
2
(25)
Уравнения прямой, проходящей через точку A( x 0 , y 0 , z 0 ) и имеющей

направляющий вектор a (a1 , а 2 , а 3 ) , записываются следующим образом:
x  x0 y  y 0 z  z 0


.
а1
а2
а3
(26)
3 3 3

). Направляющим вектором
Вектор r (0,  ) имеет координаты ( ,0,
2
2
нормали к поверхности (19) в точке u 0  0, v0   является вектор

1
3
n (0,  )  ( ,0,
). Тогда с учетом (26) это уравнение будет иметь вид:
2
2
3
3 3
z
y
2  
2 .
1
0
3
x
(27)
3. Поскольку касательная плоскость (25) параллельна оси ординат, то тетраэдра,
образованного касательной плоскостью в точке (u = u0, v = v0) к поверхности (19)
и плоскостями координат не существует.

4. Условие параллельности прямой с направляющим вектором a (a1 , a 2 , a3 ) и
плоскости с

нормальным вектором n ( A, B, C ) имеет вид:
A  a1  B  a 2  C  a3  0.
(28)
С учетом последней формулы получим условие параллельности для


нормальной прямой, имеющей направляющим вектором вектор ru (u, v)  rv (u, v) , и
координатной плоскости YOZ, нормальным вектором для которой может служить
вектор с координатами (1,0,0):
ch 2
u
v
cos  0.
2
3
(29)
Решая последнее уравнение относительно u и v, получим u – любое
3
 6k , k  Z . Таким образом, существует
действительное число, v  
2
бесконечно много точек, в которых нормальная прямая к поверхности (19)
параллельна плоскости YOZ. Составим уравнение нормальной прямой в одной из
3
таких точек, например, в точке с внутренними координатами (u = u0, v =  ).
2
10
u
u

3
Вектор r (u 0 , ) имеет координаты (0,2sh 0 ,3ch 0 ). Направляющим
2
2
2
3
вектором нормали к поверхности (19) в точке (u = u0, v =  ) является вектор
2
u
u
u

3 
3
3
ru (u0 , )  rv (u0 , )  (0, sh 0 ch 0 , ch 2 0 ). Тогда с учетом (26) это уравнение
2
2
2
2
2
2
будет иметь вид:
u0
u
z  3ch 0
x
2 
2 .

u0
3 u0
0
 sh
ch
2
2
2
y  2sh
(30)
Теперь не составляет труда решить аналогичный вопрос для плоскостей XOZ и
XOY.
5.Коэффициенты первой квадратичной формы поверхности вычисляются по
формулам:
2


2
E(u, v)  ru (u, v), F (u, v)  ru (u, v)  rv (u, v), G(u, v)  rv (u, v).
(31)
Тогда первая квадратичная форма поверхности (19) имеет вид:
13
u 9
u
ds 2  E (u, v)du 2  2 F (u, v)dudv  G (u, v)dv 2  ( ch 2  )du 2  ch 2 dv 2 .
4
2 4
2
(32)
6.Коэффициенты второй квадратичной формы поверхности вычисляются по
формулам:



ruu (u , v)  ru (u , v)  rv (u , v)
L(u , v) 
N (u , v) 
E (u , v)G (u , v)  F 2 (u , v)



rvv (u , v)  ru (u , v)  rv (u , v)
E (u , v)G (u , v)  F 2 (u , v)
, M (u , v) 



ruv (u , v)  ru (u , v)  rv (u , v)
E (u , v)G (u , v)  F 2 (u , v)
,
(33)
.
Тогда вторая квадратичная форма поверхности (19) имеет вид:
  L(u, v)du 2  2M (u, v)dudv  N (u, v)dv 2  (
3
2 13ch 2
u
9
2
)du 2 
u
2

dv 2 .
u
3 13ch 2  9
2
2ch 2
(34)
7. Угол между координатными линиями в точке (u = u0, v = v0) равен:
11
cos  
F (u 0 , v0 )
E (u 0 , v0 )  G (u 0 , v0 )
.
(35)
Учитывая формулы (32) и (35), получаем, что координатные линии поверхности
(19) в любой точке ортогональны.
8. Гауссова кривизна поверхности находится по следующей формуле:
K (u, v) 
L(u, v) N (u, v)  M 2 (u, v)
,
E (u, v)G (u, v)  F 2 (u, v)
(36)
а средняя кривизна вычисляется следующим образом:
H (u, v) 
E (u, v) N (u , v)  G (u, v) L(u, v)  2 F (u, v) M (u, v)
.
2( E (u, v)G (u, v)  F 2 (u, v))
(37)
С учетом формул (32), (34), (36), (37) получаем для поверхности (19):
4
,
2 u
2
(13ch
 9)
2
u
 (13ch 2  18)
2
H (u , v) 
.
2 u
3
3 (13ch
 9)
2
K (u , v) 
(38)
9. Так как гауссова кривизна поверхности в любой точке отрицательна (следует из
(38)), поверхность целиком состоит из гиперболических точек.
ЗАМЕЧАНИЕ. Построим поверхность (19) с помощью системы компьютерной
математики Mathcat. Рассматривая рисунок, можно сделать предположение, что
поверхность (19) – однополостный гиперболоид вращения. Это можно получить и
аналитически:
x2 y2 z2


 1.
9
4
9
(39)
12
G
13