Дано: массы m , сила F, момент M, радиус R, AB=BC=a

Дано:
массы m1 , m2 ,
сила F, момент M,
радиус R,
AB=BC=a.
Требуется составить
уравнение движения по
обобщенной координате ϕ
Уравнение Лагранжа для данной обобщенной координаты имеет вид.
d  ∂T   ∂T 

−
 = Qϕ .
dt  ∂ϕ   ∂ϕ 
Два тела имеют массы, кинетическая энергия состоит из слагаемых
T = T1 + T2 . Здесь
1
1
3
3
m1 R 2
2
2
2
2
T1 = m1Vc + J1ϕ = J1ϕ = m1Vc
J1 =
2
2
2
4
2
1
1
3
3
m R2
T2 = m2VA2 + J 2ω 22 = J 2ω 22 = m2VA2
J2 = 2
2
2
2
4
2
Выразим скорости необходимые для нахождения кинетической энергии
через обобщенную скорость ϕ . Сначала составим граф ABСK
A 
→ B →
C 
→K
3π
2π −ϕ ,ω BC ,l
ϕ ,ϕ ,l
2
,ω BC , R
 3π 
VKX = VAX − ϕ l sin (ϕ ) − ω BC l sin ( 2π − ϕ ) − ω BC R sin  
 2 
 3π 
VKY = VAY + ϕ l cos (ϕ ) + ω BC l cos ( 2π − ϕ ) + ω BC R cos  
 2 
3π
В этих уравнениях VKX ,VAY ,VKY , cos   равны 0.
 2 
Из уравнения по Y находим ω BC = −ϕ
Из уравнения по X находим VAX = 2ϕ l sin (ϕ ) + ϕ R
Зная найденные скорости, мы можем сразу найти кинетическую
энергию, но составим еще один граф для нахождения обобщенной силы.
Для нахождения обобщенной силы нам необходимо найти скорость
точки В по оси Y и угловую скорость 2 тела. Угловая скорость ω BC уже
найдена, составляем граф
→B
A 
ϕ ,ϕ ,l
VBX = VAX − ϕ l sin (ϕ )
VBY = VAY + ϕ l cos (ϕ )
В этих уравнениях скорость VAY равна 0.
Из уравнения по Y находим скорость VBY = ϕ l cos (ϕ ) .
Теперь подставим найденные скорости в кинетическую энергию
2
3
3
J1ϕ 2 + m2 ( 2ϕ l sin (ϕ ) + ϕ R ) = Aϕ 2 + Bϕ 2 sin 2 (ϕ ) + Cϕ 2 sin (ϕ ) =
2
4
3
3
3
3
 2
2 2
2 2
2
 J1 + m2 R  ϕ +  m2 4l  ϕ sin (ϕ ) +  m2 4lR  ϕ sin (ϕ )
4
2

4

4

3
3
3
3
A = J1 + m2 R 2 ,
B = m2 4l 2 , C = m2 4lR
2
4
4
4
T=
Находим производные, необходимые для уравнения Лагранжа 2 рода
∂T
= ϕ 2 ( B 2sin (ϕ ) cos (ϕ ) + C cos (ϕ ) )
∂ϕ
∂T
= 2ϕ ( A + B sin 2 (ϕ ) + C sin (ϕ ) )
∂ϕ
d  ∂T 
2
2

 = 2ϕ ( A + B sin (ϕ ) + C sin (ϕ ) ) + 2ϕ ( B 2sin (ϕ ) cos (ϕ ) + C cos (ϕ ) )
dt  ∂ϕ 
Правая часть уравнения Лагранжа найдена, найдем обобщенную силу
Qϕ =
Nϕ FVBy − M ω BC FVBy − M ω BC Fϕ l cos (ϕ ) − M ( −ϕ )
=
=
=
= Fl cos (ϕ ) + M
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Таким образом, найдены все компоненты уравнения Лагранжа и
осталось их только подставить
2ϕ ( A + B sin 2 (ϕ ) + C sin (ϕ ) ) + 2ϕ 2 ( B 2sin (ϕ ) cos (ϕ ) + C cos (ϕ ) ) −
ϕ 2 ( B 2sin (ϕ ) cos (ϕ ) + C cos (ϕ ) ) = Fl cos (ϕ ) + M
Упростив уравнение, получим:
2ϕ ( A + B sin 2 (ϕ ) + C sin (ϕ ) ) + ϕ 2 ( B 2sin (ϕ ) cos (ϕ ) + C cos (ϕ ) ) = Fl cos (ϕ ) + M