Лекция № 5 Гидродинамика (механика жидкости)

Лекция № 5
Гидродинамика (механика жидкости)
I. Особенности расположения молекул в жидкости
Жидкость - одно из трёх агрегатных состояний вещества (не считая 4-го
состояния, называемого "плазма", в котором пребывает "всего" 99,5% вещества во Вселенной в виде звёзд). Все агрегатные состояния вещества различаются организацией молекул. В отличие от твёрдого (кристаллического) состояния, характерного строго упорядоченным расположением частиц вещества, в жидкости нет дальнего (распространяющегося на весь кристалл) порядка расположения атомов (молекул). Для организации молекул жидкости
характерен виртуальный (т.е. недолговечный) "ближний порядок". Это значит, что в жидком состоянии вещества молекулы группируются небольшими
"коллективами", причём время жизни молекулы в данном "коллективе" очень
непродолжительно (~10-11с). Затем следует переход в другой "коллектив".
Жидкое состояние является промежуточным между твёрдым и газообразным состояниями вещества. Расстояние между молекулами в газах во много
раз превышает размеры молекул; в жидкости молекулы размещены вплотную
друг к другу, со средним расстоянием между их центрами δ порядка размера
молекулы (т.е. δ ≈10÷100 Å =(10÷100)⋅10-10 м. Поэтому, плотности жидкостей
на несколько порядков больше плотностей газов (при нормальном давлении)
и почти не отличаются от плотностей твёрдых тел; так, плотность металлов
при плавлении меняется (уменьшается) в среднем на 3%.
Основные свойства жидкостей:
1) текучесть; объясняется преимущественными перескоками молекул из
одного "коллектива" в другой в направлении действия внешней силы (например, силы тяжести); если внешние силы скомпенсированы, то перескоки молекул из одного положения равновесия ("коллектива") в другое происходят с
одинаковой частотой и жидкое тело сохраняет свою форму;
49
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
2) несжимаемость (по сравнению с газами); объясняется достаточно
плотным расположением молекул в жидкости. Примеры: а) удар молотом по
полому металлическому ядру, заполненному жидкостью ⇒ поверхность ядра
покрывается "испариной"; б) "потение" цилиндров гидравлических машин;
в) при оказании на воду давления в 100 атмосфер (что имеет место в морях на
глубине ∼1 км) её плотность увеличивается всего на 0,5%.
II. Уравнение неразрывности струи
Различают два вида течения реальной жидкости: 1) ламинарное (слоистое),
когда в потоке жидкости её слои, скользя относительно друг друга, не перемешиваются между собой; 2) турбулентное (вихревое), когда в потоке жидкости происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание слоёв.
Линии тока – линии, касательные к которым в каждой точке потока совпаr
дают с направлением скорости ϑ частиц жидкости; поэтому при ламинарном
течении траектории частиц жидкости совпадают с линиями тока. Свойство линий тока: они не пересекаются между собой (иначе получилось бы, что в точке
их пересечения частица жидкости имеет два направления движения). Значит,
жидкость не проникает сквозь поверхность, образованную линиями тока.
Трубка тока - объём жидкости, ограниченный линиями тока.
Рассмотрим такую трубку тока идеальной жидкости, в произвольном поr
перечном сечении которой скорость ϑ частиц жидкости одинакова. Выберем
r
два любых сечения такой трубки тока: S1 , характеризуемое скоростью ϑ1 , и
r
S 2 , характеризуемое ϑ2 . Так как идеальная жидкость несжимаема, а её поток
неразрывен и не проходит через боковую поверхность трубки, то за время ∆t
через оба сечения пройдут одинаковые объёмы V жидкости:
V1 = V2 ⇒ S1 ⋅ ϑ1 ⋅ ∆t = S 2 ⋅ ϑ 2 ⋅ ∆t , т.е. S1 ⋅ ϑ1 = S 2 ⋅ ϑ2 .
(∗)
Выражение (∗) называют уравнением неразрывности струи; оно хорошо
применимо и для реальных каналов с вязкой жидкостью.
Вывод: при сужении канала скорость течения жидкости в нём увеличивается, при расширении - уменьшается.
50
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
III. Уравнение Бернулли (1738 г., Швейцария)
Как и уравнение неразрывности, оно получено для идеальной жидкости,
т.е. абсолютно несжимаемой жидкости, между молекулами которой нет сил
притяжения. Выделим в ламинарном потоке жидкости наклонную трубку тока, а в ней область, ограниченную сечениями S1 и S2. Определим изменение
механической энергии ∆W , происходящее в этой области за ∆t . За это время
r
ϑ2
S2
в выделенную область втекает
r
F2
S 2'
масса жидкости, ограниченная се-
ϑ 2 ⋅ ∆t
⋅∆
чениями S1 S1' и вытекает - S 2 S 2' .
Тогда:
s
ϑ1
∆W = (Wk +Wп )2 − (Wk +Wп )1.
h2
S1'
В силу непроницаемости для
ϑ1 ⋅ ∆ t
r
F1
жидкости
h1
стенок трубки
тока,
имеем ∆m1 = ∆m2 = ∆m . Тогда мож-
S1
но записать:
∆m ⋅ ϑ 22
∆m ⋅ ϑ12
∆W=
+ ∆m ⋅ g ⋅ h2 −
- ∆m ⋅ g ⋅ h1 .
2
2
(∗∗)
Но, согласно закону сохранения энергии, ∆W равно работе А внешних
r
r
сил (давления) F1 и F2 по перемещению массы жидкости ∆m внутри выделенного объёма: А = А1 + А2, где А1 = F1 ⋅ ϑ1 ⋅ ∆t , А2 = − F2 ⋅ ϑ2 ⋅ ∆t (знак ‘-‘
r
учитывает тот факт, что сила F2 направлена навстречу потоку жидкости).
Учитывая, что F = p ⋅ S (где р - давление), получим :
A = p1 ⋅ S1 ⋅ ϑ1 ⋅ ∆t - p2 ⋅ S 2 ⋅ ϑ2 ⋅ ∆t = p1 ⋅ ∆V − p2 ⋅ ∆V ,
∆V
(∗∗∗)
∆V
Приравнивая (∗∗) и (∗∗∗), получим:
∆m ⋅ ϑ 22
2
+
∆m ⋅ g ⋅ h2 + p2 ⋅ ∆V =
∆m ⋅ ϑ12
2
+
∆m ⋅ g ⋅ h1 + p1 ⋅ ∆V .
51
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Разделим обе части последнего уравнения на ∆V и учтём, что
ρ ⋅ ϑ22
ρ ⋅ ϑ12
+ ρ ⋅ g ⋅ h2 + p2 =
+ ρ ⋅ g ⋅ h1 + p1 .
2
2
Так как сечения S1 и S2 были выбраны произвольно, то:
Тогда получим:
ρ⋅ϑ
∆m
=ρ .
∆V
плотность
Уравнение Бернулли
2
+ ρ ⋅ g ⋅ h + р = const
(∗∗∗∗)
2
О физическом смысле слагаемых, входящих в уравнение Бернулли:
ρ ⋅ ϑ2 2 - кинетическая энергия единицы объёма жидкости;
ρ ⋅ g ⋅ h - потенциальная энергия единицы объёма жидкости в гравитационном
поле планеты (Земли);
р - потенциальная энергия единицы объёма жидкости, обусловленная силами
внешнего давления.
С другой стороны, так как единицы измерения всех слагаемых уравнения
Бернулли - Па(скаль), то эти слагаемые можно рассматривать как давления:
ρ ⋅ ϑ2 2 - динамическое, ρ ⋅ g ⋅ h - гидравлическое, р - статическое.
Вывод (из уравнения Бернулли): в установившемся потоке жидкости
полное давление одинаково в любом поперечном сечении потока.
Замечание: несмотря на то, что уравнения Бернулли и неразрывности струи
получены для идеальной жидкости, они хорошо применимы не только к реальным жидкостям, но и к газам (правда, при дозвуковых скоростях ϑ < 340 м/с ).
Частные случаи применения уравнения Бернулли
1) Горизонтальная труба переменного сечения (h1=h2, S1≠S2). В этом случае
уравнение Бернулли принимает вид:
r
ϑ2
r
ϑ1
S1
ρ ⋅ ϑ12
ρ ⋅ ϑ22
+ p1 =
+ p2 .
2
2
S2
52
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
r
Так как модуль скорости ϑ зависит от площади поперечного сечения S, то
величину S можно выбрать столь малой, что динамическое давление ρ ⋅ ϑ2 2
значительно возрастёт, а статическое давление р станет меньше атмосферного
ро, и такая труба начнёт всасывать воздух, т.е. в сужениях (где скорость увеличивается) горизонтального канала статическое давление понижается. На этом
принципе работают водоструйные насосы, ингаляторы, пульверизаторы.
2) Измерение скорости жидкости трубкой Пито. Давления на входных
отверстиях прямой и изогнутой трубок
Трубка
Пито
отличаются на величину динамического
∆h
h2
давления ρ ⋅ ϑ2 2 , которое уравновеши-
h1
вается дополнительным гидростатиче-
r
ϑ
ским давлением более высокого столба
жидкости ∆р = ρ ⋅ g ⋅ ∆h . Из равенства этих давлений ( ρ ⋅ ϑ2 2 = ρ ⋅ g ⋅ ∆h )
получим: ϑ = 2 ⋅ g ⋅ ∆h .
3) Истечение жидкости из отверстия. Формула Торричелли.
Так как S1 >> S 2 , то, в силу уравнения
S1
неразрывности струи, ϑ1 << ϑ 2 и можно
r
ϑ1
положить ϑ1 ≈ 0 . Кроме того, учтём, что
∆h
внешнее давление (атмосферное давлеS2
r
ϑ2
ние) на уровнях 1 и 2 практически одинаковое, т. е. p1 ≈ p2 . Тогда из уравнения
Бернулли имеем: ρ ⋅ g ⋅ h1 = ρ ⋅ ϑ 2 2 +
ρ ⋅ g ⋅ h2 ,
откуда
получаем
формулу
Торричелли:
ϑ2 = 2 ⋅ g ⋅ (h1 − h2 ) =
2 ⋅ g ⋅ ∆h , согласно которой скорость вытекающей струи равна скорости
свободно падающего с высоты ∆h тела.
53
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Некоторые приложения уравнения Бернулли
1. Гидротурбина.
Сопло
Потенциальная энергия воды (водохранилища) переходит в сóпле в кинетическую энергию струи, приводящую во вращение турбину и сопряжённый с ней ротор
•
электрогенератора.
2. Гидротаран. При опускании заслонки динамическое давление падает до
нуля, поэтому статическое давление резко возрастает,
Резервуар
перегоняя часть жидкости, текущей по трубе, в расположенный наверху резервуар. Таким образом, работа
совершается за счёт поставщика жидкости.
Примеры (гашения) гидротарана: 1) в водопроводах
Подвижная
заслонка
винтовые краны (а не поворотные, как у самовара);
2) изгибы трубопроводов (для уменьшения кинетической энергии перегоняемой по ним жидкости).
3. Водоструйный насос. Создаёт разрежение в откачиваемом сосуде до 90 Па.
Откачиваемый резервуар
с газом
Вода
Вода + газ
4. Подъёмная сила крыла самолёта. В 1904 году русским инженером Н.Е.Жуr
ковским был предложен изображёнϑо
r r r
ϑ = ϑо +ϑцирк
ный на рисунке профиль поперечного сечения крыла самолёта. При таком профиле крыла вокруг него возr
ϑцирк
никает циркулирующий воздушный
поток. В результате, над крылом ско-
r r r
ϑ = ϑо − ϑцирк
рость надвигающегося на самолёт
r
Fподъём.
54
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
воздушного потока складывается со скоростью циркуляции, а под крылом вычитается. Различие скоростей воздушной струи под и над крылом порождает разность статических давлений, направленную снизу вверх и создаюr
щую подъёмную силу Fподъём . .
5. Аэрация почвы после вспашки (сопровождается обогащением почвы
кислородом). Воздушные горизонтальные потоки над неровной поверхностью земли образуют трубки тока переменного сечения, что приводит к перепадам статического давления и образованию вертикальных вихрей.
6. "Кручёный мяч" в футболе (эффект Магнуса). Удар по мячу наносят в
точку, смещённую от его центра, в результате мяч приобретает не только поступательное, но и вращательное движение. Слои воздуха, прилегающие к мячу, увлекаются им. Поэтому справа от мяча результирующая скорость воздуха
s
меньше, чем ϑо , а слева – больше; статическое же давление, в соответствии с
уравнением Бернулли, наоборот, справа от мяча больше, а слева – меньше.
r
ϑо
Надвигающийся
воздушный поток
Траектория полёта
r r r
ϑ = ϑо − ϑцирк
Удар
r r r
ϑ = ϑо + ϑцирк
IV. Течение вязкой жидкости
Вязкость (η) - это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой. Вязкость является результатом притяжения молекул жидкости и их переходов из одного
слоя в другой. При перемещении одних слоёв
z
r
Fтр
S
r
ϑ2
S
r
Fтр
r
ϑ1
реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направх
ленные по касательной к поверхности слоёв.
55
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Сила внутреннего трения между слоями жидкости выражается эмпирической
r
r
dϑ
⋅ S , где коэффициент η, зависящий от
формулой Ньютона: Fтр = − η ⋅
dz
природы жидкости, называется динамической вязкостью (или просто вязкостью).
Единица измерения вязкости в СИ - Паскаль-секунда (Па⋅с), в СГС [η] =
1 П(уаз); причём 1 П = 0,1 Па⋅с. Для жидкостей η~ T −1 . Например, для воды η(0 o ) = 1,8 ⋅ 10−3 Па ⋅ с , а η(90o ) = 3,2⋅10-4 Па⋅с. Особенно сильно вязкость η
зависит от температуры для масел.
Формула Пуазейля
Это также эмпирическая формула, описывающая распределение скорости
вязкой жидкости по поперечному сечению трубы при ламинарном течении:
r
ϑ
r
p1
ϑ(r ) =
p2
R
p1 − p2
⋅ (R2 − r 2 )
4⋅l ⋅η
,
где r – расстояние от оси трубы до
данной (произвольной) точки сечения.
l
Откуда средняя скорость потока, достигаемая при r = R
2 , может быть рас-
p1 − p2 R 2
.
считана по формуле: ϑср =
⋅
l
8⋅ η
Тогда объём жидкости V, протекающей через круглое поперечное сечение
S за ∆t = 1с, равен:
V = S ⋅ ϑср ⋅ ∆t =
где χ =
p1 − p2 π ⋅ R 4 ∆p
⋅
=
l
8 ⋅η
χ ,
8⋅η⋅l
- гидравлическое сопротивление канала (~ R −4 ).
4
π⋅R
Зная R, l, задавая ∆р=(р1-р2) и измеряя V, Пуазейль определял η.
Характер течения (ламинарный или турбулентный) определяют, оценив
значение безразмерной величины Re, называемой числом Рейнольдса:
56
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Re =
ρ ⋅ ϑср ⋅ d
η
=
ϑср ⋅ d
ν
, где ν = η ρ - кинематическая вязкость, d - диаметр
трубы. При Re ≤ 1000 течение считают ламинарным, при 1000 ≤ Re ≤ 2000 говорят о переходе от ламинарного к турбулентному течению, а при Re ≥ 2300
течение - турбулентное.
Определение динамической вязкости по методу Стокса
Сила сопротивления равномерному движению тела
r
FA
r
Fc
r
ϑ
сферической формы в реальной жидкости описывается
эмпирической формулой Стокса и носит его имя:
r
r
Fc = − 6 ⋅ π ⋅ r ⋅η ⋅ ϑ
r
Fт
Справедлива только при ламинарном обтекании тела жидкостью.
r
Сила Стокса Fc всегда направлена в сторону прor
тивоположную направлению скорости ϑ движения тела.
y
При равномерном погружении, а оно неизбежно наступает, так как Fc ~ ϑ ,
r
имеем a =0. Тогда, уравнение движения тела (в проекции на ось у) имеет вид:
Fт − Fc − FА = 0 , где Fт = mм ⋅ g = V ⋅ ρ м ⋅ g =
4
3
⋅ π ⋅ r 3 ⋅ ρ м ⋅ g - сила тяжести, ρм -
плотность материала шарика, FА = mж ⋅ g = V ⋅ ρ ж ⋅ g = 43 ⋅ π ⋅ r 3 ⋅ ρ ж ⋅ g - (выталкивающая) сила Архимеда, ρ ж - плотность жидкости. Подставив выражения
для всех сил (с учётом их направления), получим:
4
3
⋅ π ⋅ r 3 ⋅ ρ м ⋅ g - 6 ⋅ π ⋅ r ⋅ η ⋅ ϑ - 43 ⋅ π ⋅ r 3 ⋅ ρ ж ⋅ g = 0.
Откуда имеем:
η=
2 ⋅ r 2 ⋅ g ⋅ (ρ м − ρ ж )
.
9⋅ϑ
V. Меандры рек
Меандрами называют периодические изгибы равнинных рек. Происхождение этого термина связано с древнегреческим названием «Меандр» известной своими изгибами реки в Малой Азии. Почему же русло реки даже на
равнине с однородной почвой изгибается? Ответ на этот вопрос впервые был
дан А. Эйнштейном в докладе ″Причина образования извилин в руслах рек и
57
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
так называемый закон Бэра″, представленном Прусской академии наук в 1926
году. При этом Эйнштейн использовал наглядную аналогию движения вращающейся воды в стакане чая и в русле рек. Последуем примеру Эйнштейна.
Движение чаинок в стакане
Как ведут себя чаинки при размешивании сахара в стакане? Пока ложечка
движется, они следуют за ней. Когда же ложечка изымается из стакана, то
вода постепенно останавливается, а чаинки собираются в центре дна стакана.
Почему? Чтобы ответить на этот вопрос, выясним сначала, какую форму
принимает свободная поверхность воды, вращающейся в стакане.
Из опыта известно, что поверхность воды при этом искривляется, принимая форму параболоида. Покажем необходимость искривления свободной
поверхности вращающейся воды. Для вращения частичек воды в стакане, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил,
r
ω
действующих на каждую частичку, создавала
центростремительное ускорение. Выделим мысленно внутри жидкости на расстоянии r от оси
h1
r
F
1
вращения кубик массой ∆m . При равномерном
h2
F2
вращении кубик испытывает центростремительное ускорение ω2 ⋅ r , создаваемое разностью сил
гидравлического давления, действующего на его
r
боковые грани. Следовательно: ∆m ⋅ ω2 ⋅ r
=
F1 − F2 = ( p1 − p2 ) ⋅ ∆S , где ∆S - площадь боковой грани кубика.
Но давления p1 = ρ ⋅ g ⋅ h1 и p2 = ρ ⋅ g ⋅ h2 определяются расстояниями h1 и h2
до свободной поверхности жидкости, поэтому: ∆m ⋅ ω2 ⋅ r = ρ ⋅ g ⋅ ∆S ⋅ (h1 − h2 ) .
Поскольку левая часть последнего уравнения больше нуля, то, следовательно: h1 > h2 . То есть свободная поверхность жидкости не горизонтальна и,
чем больше угловая скорость ω , тем сильнее искривление поверхности.
58
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
После изъятия из стакана ложечки, вращавшей жидкость, скорость её
вращения уменьшается, и поверхность жидкости выпрямляется. При этом
внутри жидкости возникают вихревые потоки, направление которых показано на рисунке. Происхождение вихревых потоков связано с неодинаковым
торможением жидкости у дна стакана и у свободной поверхности. На глубине, вследствие большого трения о дно стакана, жидкость тормозится сильнее,
чем у поверхности. Поэтому у частичек жидкоr
ω
сти, находящихся на одинаковых расстояниях от
оси вращения, оказываются разные скорости,
чем ближе к дну стакана, тем меньше скорость.
Равнодействующая же сил «бокового» давления,
обусловленная искривлённостью свободной поверхности и действующих на равноудалённые от
оси частицы, одна и та же. Она сообщает необходимое центростремительное ускорение только
частицам верхних слоёв жидкости и поэтому они продолжают кружиться вокруг оси, для частиц же нижних слоёв эта сила оказывается избыточной, и
они устремляются к центру стакана. В результате возникают вихри, направленные у дна к оси, а у свободной поверхности жидкости – от оси.
Как меняются русла рек
Рассмотрим характер движения воды в
реке при повороте русла. При этом возникает
картина, похожая на движение воды в стакане. Вода верхних слоёв набегает с большой
Ближний берег
скоростью на дальний (с точки зрения центра кривизны русла реки) берег, и, в резуль-
тате действия центробежной силы, свободная поверхность воды искривляется,
приподнимаясь у дальнего берега и опускаясь у ближнего. Тормозимые же
дном нижние слои испытывают действие гораздо меньшей центробежной силы.
Поэтому в поперечном сечении реки возникает вихрь, направленный у дна к
59
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
ближнему берегу, а у поверхности – к дальнему. Такая циркуляция воды приводит к эрозии (разрушению) почвы. В результате дальний берег разрушается
(подмывается), а у ближнего берега постепенно осаждается всё больший слой
почвы (как чаинки в стакане). Эрозия почвы у дальнего берега и её осаждение у
ближнего приводит к постепенному смещению русла реки в сторону от центра
поворота и, тем самым, к увеличению изгиба реки. Таким образом, даже небольшой начальный изгиб, возникший по случайной причине (обвал почвы, падения дерева), со временем увеличивается, – образуется меандр.
О реках и озёрах
Легенда гласит: ″...У богатыря Байкала было более трёхсот сыновей и
только одна дочь – красавица Ангара...″. Действительно в озеро Байкал втекают 336 рек, а вытекает только одна – Ангара. Но оказывается, этим славен не
только Байкал. Например, много рек втекает в Ладожское озеро, а вытекает из
него только Нева, из Онежского озера вытекает одна Свирь и т.д. Сколько бы
рек ни втекало в озеро, вытекает из него, как правило, всего одна. Почему?
Это явление объясняют так. Пусть из озера вытекает несколько рек с разным уровнем дна. Со временем река с более глубоким руслом, в которой
средняя скорость течения больше, будет размываться быстрее. Это повлечёт
за собой увеличение сброса воды и понижение её уровня в озере. Сток воды
через более мелкие речки уменьшится, и постепенно они заилятся. Таким образом, «выживает» только самая глубокая из вытекающих рек.
Аналогичные явления происходят при течении рек. Известно, что реки
охотно сливаются, а вот раздвоение рек наблюдается сравнительно редко.
Река в каждом месте течёт по кривой максимального уклона, и маловероятно,
чтобы в какой-то точке произошло раздвоение этой кривой. Если же раздвоение (бифуркация) и происходит, то, аналогично вытекающим из озера рекам,
более мелкое русло вскоре заиливается и заболачивается, а более глубокое
ещё больше размывается. В дельте реки ситуация, однако, меняется. Движущиеся потоки речной воды, несущие тонны донного песка и мусора, врезаются в покоящиеся воды моря. Песок и мусор образуют острова, и русло реки распадается на множество рукавов.
60
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com