Политропическими называются процессы, при которых

Л13
Политропические процессы
Политропическими называются процессы, при
которых теплоемкость тела остается постояной
dQ
C
 const
dT
Уравнение политропы для идеального газа
Уравнение для I начала термодинамики
или: CdT  CV dT  pdV
и
учитывая
pV  RT
pdV  Vdp  RdT получаем: C  CV
с учетом того, что CV  R  C p
dQ  dU  pdV
 R pdV  C  CV Vdp  0
и разделив на pV имеем
1
C  C p 
dV
dp
 C  CV   0
V
p
интегрируя
C  C p ln V  C  CV ln p  const.
введя обозначение
имеем
n
pV  const.
n
C Cp
C  CV
C Cp
C  CV
n
- уравнение политропы
- показатель политропы
2
При C=CV имеем
C  C p ln V  const.
откуда следует, что V в ходе процесса остается
постоянной. Т.о, процесс при C=CV является
изохорическим.
Показатель полиропы при изохорическом процессе n = 
Изопроцессы относятся к категории политропических
процессов.
Процесс
n
Изобарический
0
Изотермический
1
Адиабатический

Изохорический

3
Уравнение для теплоемкости идеального газа при
политропическом процессе
C
nCV  C p
n 1
Частными случаями политропического процесса
являются:
n=0; изобарический C = CР,
n=1; изотермический С = ±,
n=; изохорный C = CV,
n=; изоэнтропийный (адиабатический) С = 0.
4
уравнение политропы в переменных Т и V

C  Cp 
n
C  CV 
TV
n 1
 const
Исключая из него Т с помощью уравнения
состояния T = PV/R, находим
pV  const
n
при С = 0 n = , данное уравнение соответствует
уравнению адиабаты;
при С = ± n = 1, получаем уравнение изотермы;
при C = CP n = 0 – уравнение изобары;
при С = СV n = ± – уравнение изохоры.
5
продифференцируем уравнение политропы
n 1
TV
dT  V
n 1
 const
 T n  1V
n 2
dV  0
, откуда
dV
1 V
R


dT
n 1T
p(n  1)
Подставляя данное уравнение в
CdT  CV dT  pdV
имеем
dV
C  CV  p
dT
R
R
R
Cn  CV 


n 1  1 n 1
6
Работа газа при политропических процессах
Работу можно вычислить
с помощью формулы:
А
V2
 pdV
V1
Эту же работу можно вычислить с помощью I начала термодинамики:
À  Q  ΔU  Cn ΔT  CV ΔT  Cn  CV ΔT
где Т = Т2 – Т1
R
R
R


известно Cn  CV 
n 1  1 n 1
Для  молей имеем:
и
А
Cn  CV  R n  1
RT1  T2 
n 1
p1V1  p2V2

n 1
При политропических процессах работа газа
А  ΔU
7
Тепловая машина
Основными элементами любой тепловой машины являются
нагреватель, рабочее тело, холодильник
Q
Рабочее тело – это часть тепловой
машины, которая принимает тепло,
подводимое к тепловой машине в течение
каждого кругового процесса (цикла)
рабоче
е тело
Согласно первому началу термодинамики, все
количество тепла, подведенное к ТС за цикл,
расходуется на совершение работы
При этом, если Ao>0 , то цикл называют
прямым,
иначе – обратным (Ao<0)
Задачей тепловой машины, работающей по
прямому циклу (ТмП) является совершение
работы A над внешними телами за счет
подведенного тепла Q1
QO  AO
AO   PdV  0
AO   PdV  0
A   Q1
Величину η называют коэффициентом полезного действия ТмП
N1
8
Идеальная тепловая машина
Идеальной тепловой машиной называется тепловая машина, рабочее тело
которой совершает круговой процесс, описываемый циклом Карно
Цикл Карно – это круговой процесс, состоящий из:
двух изотерм - 1→2, 3→4
и двух адиабат -
P
2→3, 4→1
2
Изотермический процесс - идеален для
теплообмена (CT = ∞)
Адиабатический процесс - идеален для изменения
внутренней энергии рабочего тела (A = -ΔU)
4
Согласно диаграмме цикла Карно, для

N1
3
V
Q2
Идеальная ТмП
первое начало
Q1
1
ТмП
AO  QO  Q1  Q2

Q1  Q2
Q1
N2
коэффициент полезного
действия идеальной ТмП
9
Второе начало термодинамики
Второе начало определяет условия, при которых возможны
превращения одних видов энергии в другие , а также возможные
направления протекания процессов.
второе начало термодинамики
Клаузиус (1850): невозможен самопроизвольный переход тепла
от менее нагретого тела к более нагретому телу
Кельвин (1851): невозможны процессы, единственным конечным
результатом которых было бы превращение тепла целиком в
работу.
невозможен
вечный двигатель 2-го рода
или невозможно создать тепловой
двигатель с КПД η = 1
10
Энтропия
Q
при T = const, назовем
Q  , которую,
приведенным количеством тепла
T
Очевидно, при нагревании Q* > 0, а при охлаждении Q* < 0
Введем величину

 Q 
Обратимым термодинамическим процессом (ОТПр)
называют РТПр, в котором из любого конечного РТС
можно вернуться в начальное РТС
Q
T
1
2
Для любого кругового ОТПр
N5
*
rev
Q
 Q 
 
 0
 T  rev

Q
T
 dS
Функцию S называют
энтропией ТС
Важнейшее свойство энтропии
При любом термодинамическом процессе в
замкнутой термодинамической системе
энтропия не убывает
2
S12  
1
Q
T
0
N6
11
Энтропия и внутренняя энергия
Т.о., первое начало термодинамики для ОТПр принимает вид
Q  TdS  dU  A
Тогда для элементарной работы можно написать
A  dU  TdS  SdT  SdT   d (U  TS )  SdT   dF  SdT
где введено обозначение:
F  U  TS
– свободная энергия ТС
Из N7 очевидно, что при T = const
A  dF
N7
A  dF  SdT
следовательно
A12  F
при изотермическом процессе работа равна убыли свободной энергии
С помощью свободной энергии F, внутреннюю энергию U можно
найти, как
при этом произведение TS называют связанной
U  F  TS
энергией
Связанная энергия это та часть внутренней энергии TC, которая не
может быть передана TC в виде работы (при T = const)
12
Понятие энтропии было впервые
введено Рудольфом Клаузиусом в
1865 г.
Для обратимых процессов изменение
энтропии
ΔS обр  0, т.к.

dQобр
T
0
это выражение называется равенством
Клаузиуса.
13
Клаузиус
Рудольф Юлиус
Эмануэль
(1822 – 1888)
немецкий физиктеоретик, один из
создателей
термодинамики и
кинетической теории
газов.
14
Свойства энтропии
1. Энтропия — функция состояния. Если процесс
проводят вдоль адиабаты, то энтропия
системы не меняется. Значит адиабаты — это
одновременно и изоэнтропы.
2. Энтропия — величина аддитивная: энтропия
макросистемы равна сумме энтропии ее отдельных
частей.
3. Энтропия замкнутой (т. е. теплоизолированной)
макросистемы не уменьшается — она либо
возрастает, либо остается постоянной.
15
Теорема Нернста (1906)
при приближении температуры к абсолютному нулю
энтропия макросистемы также стремится к нулю:
S
 0 under T
 0
можно вычислять абсолютное значение энтропии по формуле
T
S  p ,T   
0
C p T dT
T
Отсюда следует, что при Т  0 теплоемкость Сp
всех макросистем должна тоже стремиться к нулю
Теорема Нернста не может быть логически
выведена из первых двух начал, поэтому ее часто
называют третьим началом термодинамики.
16
вычисление энтропии
Основное уравнение термодинамики: т.к.
dQ  TdS
TdS  dU  pdV
Энтропия идеального газа. Если начальное и
конечное состояния, газа 1 и 2, то
dT
dV
dS  CV
 R
T
V
здесь учтено
dU  CV dT ;
pV  RT
Взяв дифференциал логарифма от vRT = pV, получим
dT dp dV


T
p
V
и
dp
dV
dS  CV
 Cp
p
V
Проинтегрировав последнее выражение, имеем:
p2
V2
S 2  S1  CV ln
 C p ln
p1
V1
17
Цикл Карно
Карно рассмотрел цикл из двух
изотерм и двух адиабат. Данный цикл
является обратимым (если его
проводить бесконечно медленно).
Q2
 1
Q1
На S - T диаграмме цикл Карно имеет вид прямоугольника.
Полученное тепло
Q1  T1 S 2  S1 
равно площади под отрезком 1-2
Отданное Q  T S  S 
2
2 2
1
холодильнику тепло
равно площади под отрезком 4—3
Площадь прямоугольника, т. е. Q1  Q2 равна работе А,
совершаемой двигателем за цикл.
КПД цикла Карно:
T2
 1
T1
18
Третье начало термодинамики
Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно и,
следовательно, является обратимой ТС
Это означает, что для идеальной ТмП

Q
Q1 Q2

 const
0
T
T1 T2
формулу N2 для к.п.д. идеальной тепловой машины
можно записать в виде,
где T1 и
T2 - температуры нагревателя и холодильника,
соответственно
T1  T2

T1
S1
вечным двигателем 3-го рода называют тепловую машину,
температура холодильника которой равна нулю T2
=0K
Принцип Нернста При любом изотермическом процессе (T=const), проведенном при T→0
Формулировка
Планка
ΔST→0 = 0 (т.е. S = const  δQ = TdS = 0)
При температуре абсолютного нуля (T=0
невозможен такой ТП, в результате которого
тело можно охладить до температуры T
=0K
K) энтропия любой ТС S = 0
вечный двигатель 3-го рода
невозможен
19