АДИАБАТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС - Российский государственный

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА
Кафедра физики
Любутина Л.Г.
№ 182к − «АДИАБАТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС»
(КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
ПО МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ)
2
Лабораторная работа №182к
АДИАБАТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
Цель и содержание работы
Цель работы состоит в изучении адиабатического процесса для
идеального газа на компьютерной модели.
Содержанием работы является:
• Знакомство с компьютерной моделью, описывающей адиабатический
процесс в идеальном газе.
• Подтверждение закономерностей адиабатического процесса на основе
результатов, полученных при работе с данной моделью.
• Определение показателя адиабаты, количества степеней свободы и
структуры молекул газа в данной модели.
Краткая теория работы
Состояние макросистемы характеризуется величинами, которые
называют термодинамическими параметрами, или параметрами состояния
(давление p, объем V, температура T и др.). Если эти параметры имеют
определенные и постоянные значения для любой части макросистемы, то ее
состояние называют равновесным. На диаграммах состояния (p−V, V−T, p−T
и др.) равновесное состояние изображается точкой.
Процессом в термодинамике называют изменение состояния системы с
течением времени. Если вызывающее процесс внешнее воздействие
осуществляется достаточно медленно, то можно считать, что процесс
проходит через последовательность равновесных состояний. Такой процесс
называют равновесным или квазистатическим. На диаграммах состояния он
изображается соответствующей кривой.
Обратимым называется процесс, при реализации которого в обратном
направлении система проходит через ту же совокупность равновесных
состояний (т.е. по той же кривой), но в обратной последовательности. При
возвращении в исходное состояние никаких изменений ни в системе, ни в
окружающих телах не происходит. Равновесные процессы всегда обратимы.
Процессы, при которых один из параметров состояния не меняется,
принято называть изопроцессами. Наиболее важными изопроцессами
являются:
изотермический
(T=const),
изохорический
(V=const),
изобарический (p=const), адиабатический (S=const).
Важнейшей характеристикой макросистемы является внутренняя
энергия U.
3
Внутренняя энергия состоит из:
• суммарной кинетической энергии хаотического движения молекул;
• потенциальной энергии взаимодействия всех молекул системы;
• внутренней энергии частиц, составляющих систему: молекул, атомов,
ядер.
Внутренняя энергия является функцией состояния системы, т.е. не
зависит от предыстории системы. При изменении состояния приращение
внутренней энергии не зависит от вида процесса, а определяется только
конечным и начальным состояниями системы.
Отметим, что количество тепла Q, передаваемое системе, и работа А,
ею совершаемая, существенным образом зависят от процесса, т.е. являются
функциями процесса, а не функциями состояния макросистемы.
Работа, совершаемая системой при изменении ее объема, может быть
вычислена по формуле:
2
A 12 = ∫ pdV
(1)
1
Первое
начало
термодинамики
обычно
формулируется
следующим образом: количество теплоты, сообщенное системе, идет на
приращение ее внутренней энергии и на совершение системой работы над
внешними телами.
Q = ∆U + А
(2)
или в дифференциальной форме:
δQ = dU + δА
(2 * )
Внутренняя энергия идеального газа определяется средней энергией
молекул газа <ε > и их числом N = νNA , где ν − число молей, NA − число
Авогадро (NA = 6.02⋅1023моль-1):
U = N⋅ <ε >
Средняя энергия молекулы зависит только от температуры газа и числа
степеней свободы, которое равно числу независимых координат,
определяющих положение молекулы в пространстве. Одноатомная молекула
имеет только три степени свободы, соответствующие поступательному
движению: i=iпост=3. С вращательным движением связаны вращательные
степени свободы, число которых iвр равно двум для линейной молекулы
(двухатомной) и трем для многоатомной (нелинейной) молекулы. Для
молекул с упругой связью между атомами необходимо ввести колебательные
степени свободы: для N-атомной молекулы
iкол = 3N − (iпост+ iвр).
Согласно теореме о равнораспределении энергии по степеням
свободы, средняя кинетическая энергия, приходящаяся в условиях теплового
равновесия на одну степень свободы любой атомно-молекулярной системы,
равна ½ kT (к=1.38⋅10-23Дж/К − постоянная Больцмана).
4
Средняя энергия одной молекулы и внутренняя энергия газа
соответственно равны:
ikT
m iRT
iRT
< ε >=
U=
=ν
(3)
µ 2
2
2
Здесь m − масса газа, µ − его молярная масса, R=кNA=8.31 Дж/(К⋅моль) −
молярная газовая постоянная, i − сумма числа поступательных,
вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы
молекулы. (Удвоение числа колебательных степеней свободы обусловлено
тем, что колебательное движение связано не только с кинетической, но и
потенциальной энергией, так что на каждую колебательную степень свободы
должна приходится энергия kT).
i = iпост+ iвр+2iкол
(3* )
Уравнение состояния
Клапейрона) имеет вид:
идеального
pV =
m
µ
RT
газа
(уравнение
Менделеева(4)
Теплоемкость тела численно равна количеству тепла, которое нужно
сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один градус:
dQ
(5)
СТЕЛА =
dT
Различают теплоемкость единицы массы вещества, называемую
 Дж 
удельной теплоемкостью −  с ,
 , и теплоемкость моля вещества,
 кг ⋅ К 
Дж 

которая называется молярной теплоемкостью −  С ,
 . Удельная и
моль
⋅
К



С
 с =  .
молярная теплоемкости связаны соотношением:
µ

Теплоемкость (так же, как количество тепла, и работа), зависит от
условий, при которых происходит нагревание тела. Без указания процесса
выражение (5) не имеет смысла − теплоемкость является функцией процесса.
Особое значение имеют теплоемкости для двух процессов: при
постоянном объеме CV и при постоянном давлении Cp. Если тело не меняет
свой объем, то оно не совершает работы, поэтому при постоянном объеме
тела переданное телу тепло идет только на изменение его внутренней
энергии.
5
Теплоемкость при постоянном объеме:
молярная
CV
для ν молей CV
dQ 
dU
iR
= 
=
 =
dT
2
 dT V
dQ 
dU
iR
m iR
= 
= ν
=
 =
dT
2
µ 2
 dT V
(6)
(6*)
Теплоемкость при постоянном давлении:
dU
m ( i + 2 )R
 dQ 
 dV 
CP = 
+ P
 =
 =
2
 dT  P dT
 dT  P µ
dU
m ( i + 2 )R
 dQ 
 dV 
для ν молей C P = 
+ P
 =
 =
2
 dT  P dT
 dT  P µ
молярная
(7)
(7*)
Отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости
при постоянном объеме для данного газа является константой (в
определенном диапазоне температур). Эта константа называется
показателем адиабаты γ:
CP
2
γ=
(8)
= 1+
CV
i
Формула (8) устанавливает связь показателя адиабаты γ с числом
степеней свободы молекул газа i.
Внутренняя энергия моля идеального газа, выраженная через
показатель адиабаты, определяется формулой:
RT
1
UM =
pV
(9)
=
γ −1 γ −1
Адиабатическим называется процесс, происходящий без теплообмена с
окружающей средой (dQ = dU + dА = 0). Для его реализации необходимо
использовать либо теплоизолирующие (т.н. адиабатные) оболочки, либо
достаточно быстрые процессы, при которых теплообменом с внешней средой
можно пренебречь.
При адиабатическом расширении идеального газа работа совершается
за счёт изменения внутренней энергии газа (dA = − dU), что приводит к
понижению температуры газа. Наоборот, при адиабатическом сжатии газ
нагревается.
Уравнение адиабаты в переменных p, V называется уравнением
Пуассона:
PVγ = const
(10)
6
Сравнивая уравнение Пуассона с уравнением изотермы pV = const,
легко понять, что при изображении на диаграмме p, V пересекающихся
изотермы и адиабаты, адиабата должна идти более круто.
Уравнения адиабаты в переменных T, V и p, T имеют соответственно
вид:
-1
T γ p1-γ = const
(11)
TV γ = cons;t
Подчеркнем, что все эти формулы получены в предположении
обратимости процессов, что требует их достаточной медленности: скорость
изменения внешнего давления не должна превышать скорости установления
соответствующего давления газа. Анализ показывает, что это условие не
нарушается вплоть до скоростей, сравнимых со скоростью звука. Но даже
при прохождении звуковой волны поведение газа можно описывать
уравнением адиабаты, если рассматривать газ в достаточно малом объеме.
Обратимый адиабатический процесс называют также изоэнтропийным,
т.е. происходящим при неизменной энтропии. Термодинамическое
определение энтропии связывает ее элементарное приращение dS с
δQ
приведенным количеством тепла
:
T
обр .
dS =
δQ
(12)
T
Одно из важнейших свойств энтропии заключается в том, что энтропия
замкнутой макросистемы не уменьшается – она либо возрастает, либо
остается постоянной (когда все процессы имеют обратимый характер).
Принцип возрастания (не убывания) энтропии замкнутых систем
представляет собой одну из формулировок второго начала термодинамики.
При наличии необратимости энтропия системы всегда возрастает, в том
числе и при адиабатических процессах.
Методика и порядок измерений
Запустите программу. Выберите раздел «Термодинамика и
молекулярная физика», затем «Адиабатический процесс». Нажмите кнопку с
изображением страницы во внутреннем окне. Прочитайте теорию и запишите
необходимое в свой конспект лабораторной работы. Закройте окно теории,
нажав кнопку с крестом в правом верхнем углу внутреннего окна.
Внимательно рассмотрите картинку на нижеприведенном рисунке и
ответьте на следующие вопросы:
Каким образом реализуется условие адиабатичности процесса в данной
компьютерной
модели?
Какой
элемент
рисунка
иллюстрирует
7
теплоизолирующую (адиабатную) оболочку? Найдите математическую
формулировку условия теплоизоляции. Какой процесс изображается на
рисунке: адиабатическое расширение газа или его адиабатическое сжатие?
Что происходит с температурой газа? Ответ обоснуйте.
Получите у преподавателя допуск для выполнения измерений.
Выполнение эксперимента
1. Установите начальное значение объема V0 = 40 дм3 и начальную
температуру T0(1) газа, близкую к числам из таблицы 1. Для этого нажмите
кнопку «ВЫБОР» и установите курсор на кнопку регулятора температуры
или
. Последовательными короткими нажатиями на эти кнопки
установите заданную температуру.
2. Нажмите мышью кнопку «СТАРТ» на экране и наблюдайте перемещение
поршня на левой картинке модели и перемещение точки по красной
8
кривой теоретической адиабаты. Попробуйте останавливать процесс
нажатием
кнопки
«СТОП».
Последующий
запуск
процесса
осуществляется нажатием кнопки «СТАРТ».
3. После автоматической остановки процесса запустите его снова, нажав
кнопку «СТАРТ», и останавливайте, нажимая кнопку «СТОП», когда
крестик на теоретической адиабате (красная кривая) будет находиться
вблизи следующих значений объема: 10, 15, 20, 25, 30, 35 и 40 дм3 (всего 7
значений). Для каждого значения объема определите соответствующее
значения температуры и давления. Полученные данные запишите в
таблицу 2.
1.
Проведите аналогичные измерения (как в пунктах 1-3) еще для 3-5 адиабат, выбирая новые значения
(2)
(3)
(6)
начальных температур T0 , T0 ... T0
4. из таблицы 1. Начальный объем при этом остается прежним (V0 = 40
дм3). Полученные результаты запишите в таблицы 3-7, аналогичные
таблице 2.
Таблица 1.
Варианты начальных значений температур
(при V0 = 40 дм3)
№ варианта
1
2
3
4
5
Т0, К
T0(1)
50
60
70
80
90
T0(2)
100
110
120
130
140
T0(3)
150
160
170
160
180
T0(4)
200
210
200
190
220
T0(5)
250
260
240
230
270
T0(6)
300
290
280
290
300
9
Таблицы 2,3,4,5,6,7.
Результаты измерений (для адиабатического процесса)
V0 = 40 дм3,
Т0 =
№№
V, дм3
1
40
2
35
3
30
4
25
5
20
6
15
7
10
Т, К]
р, кПа
ln V
ln p
Дополнительное задание.
Сравнение адиабатического и изотермического процессов
• Запустите программу «Изотермический процесс». Прочитайте теорию,
ознакомьтесь с графиками, зарисуйте необходимое в свой конспект
лабораторной работы.
• Для получения изотерм выберите не менее 3-4 значений температур. Для
каждой температуры получите соответствующие зависимости давления от
объема. Результаты запишите в таблицу 8.
Таблица 8. Результаты измерений (изотермический процесс)
V, дм3
р, кПа
Т1 =
Т2 =
Т3 =
Т4 =
40
35
30
25
20
15
10
10
Обработка результатов измерений
1. Используя данные таблиц 2-7, постройте на диаграмме р − V графики
адиабат, указав начальные температуры.
2. Постройте аналогичные графики адиабат на диаграмме Т− V.
3. Найдите и запишите в таблицы 2-7 натуральные логарифмы величин
объемов (ln V) и давлений (ln р).
4. Постройте графики полученных зависимостей логарифма давления от
логарифма объема для всех адиабат (указав для каждой адибаты
начальную температуру).
5. Для каждой адиабаты определите по графику экспериментальное значение
показателя адиабаты, используя формулу γ = −
∆(ln p )
.
∆ (lnV )
6. Найдите среднее значение γ и погрешность ее определения.
7. Определите число степеней свободы молекулы газа, исследуемого в
данной компьютерной модели, используя формулу (8).
8. Подберите распространенный газ, структура молекул которого близка к
структуре молекул газа в данной модели.
9. Проанализируйте ответы и графики, сделайте выводы.
Дополнительное задание
1. Используя данные таблицы 8, постройте на диаграмме р− V графики всех
изотерм.
2. Определите, какие из полученных изотерм пересекаются с адиабатами
(см. основное задание), и изобразите пересекающиеся изотермы и
адиабаты на одном рисунке.
3. Используя данные таблицы 8, постройте на диаграмме Т− V зависимости
объема от температуры для любых трех фиксированных значений
давления.
4. Используя данные таблицы 8, постройте на диаграмме Т− р зависимости
давления от температуры для любых трех фиксированных значений
объема.
5. Проанализируйте все графики и сделайте выводы.
11
Контрольные вопросы
1. Что такое параметры состояния
равновесного состояния системы.
системы?
Дайте
определение
2. Дайте определение равновесного состояния системы.
3. Какой процесс называется обратимым? Что такое цикл?
4. Для какого физического газа можно применить модель «идеальный газ»?
5. Что такое уравнение состояния? Какому уравнению подчиняется
состояние идеального газа?
6. Дайте определения удельной и молярной теплоемкостей. Напишите
формулы для теплоемкости идеального газа при постоянном объеме и
постоянном давлении.
7. Что такое число степеней свободы? Сколько степеней свободы имеют
одноатомные, двухатомные и многоатомные молекулы?
8. Дайте определение
осуществить?
адиабатического
процесса.
Как
его
можно
9. Что такое показатель адиабаты? Напишите формулу связи показателя
адиабаты с числом степеней свободы для идеального газа.
10. Напишите уравнения адиабатического процесса.
11. Дайте определение изопроцесса. Перечислите известные изопроцессы.
12. Напишите уравнение и изобразите изотермический процесс на р−V
диаграмме.
13. Изобразите изотермический и адиабатический процессы на диаграммах:
р− V и Т− S .
Литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики, кн. 3. Молекулярная физика и
термодинамика. –М.: ООО «Издательство АСТ», 2005. §§ 1.3 ÷ 1.10, 2.5.
2. Иродов И.Е. Физика макросистем. –М.: Лаборатория базовых знаний,
2001. §§ 1.1 ÷ 1.6.
3. Сивухин Д.В. Общий курс физики, т.2. −М.: Наука, 2002. §§ 11 ÷ 15, 21.
4. Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. Механика
и молекулярная физика. −М.: Наука, 1969. § 59.