Молекулярная физика. Термодинамика

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА.
ТЕРМОДИНАМИКА
Методические
указания
к выполнению контрольной работы № 2 по физике
для студентов
специальности
250403,65 «Технология
деревообработки»
Архангельск
2010
Министерство образования и науки Российской Федерации
Северный (Арктический) федеральный университет
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА.
ТЕРМОДИНАМИКА
Методические указания
к выполнению контрольной работы № 2 по физике
для студентов специальности
250403.65 «Технология деревообработки»
Архангельск
2010
Рассмотрены и рекомендованы к изданию методической комиссией
факультета механической технологии древесины
Архангельского государственного технического университета
7 мая 2010 года
Составитель
Л.В. Филимоненкова, доц., канд. техн. наук
Рецензент
А.В.Соловьев, доц., канд. техн. наук
УДК 539.1
Молекулярная физика. Термодинамика: методические указания к вы­
полнению контрольной работы № 2 по физике для студентов специальности
250403.65 «Технология деревообработки» / сост. Л.В Филимоненкова. - Ар­
хангельск: Северный (Арктический) федеральный университет, 2010. - 55 с.
Подготовлены кафедрой физики АГТУ.
Приведены основные понятия и формулы по разделу курса физики «Мо­
лекулярная физика. Термодинамика», примеры решения задач, варианты кон­
трольных заданий, а также необходимый справочный материал.
Предназначены для студентов специальности 250403.65 «Технология де­
ревообработки» очной и заочной форм обучения
Ил. 14. Табл. 4. Библиогр. 6 назв.
© Северный (Арктический)
федеральный университет, 2010
2
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Хорошее усвоение теоретического материала невозможно без решения
задач, помогающих лучше уяснить физический смысл явлений, законов, поня­
тий. При решении задач целесообразно руководствоваться следующими пра­
вилами.
1. Внимательно прочитать условие задачи, уяснить, какой физический
процесс или явление в ней рассматриваются.
2. Записать условие задачи в сокращенном виде, применяя обще­
принятые обозначения физических величин. При решении задач следует поль­
зоваться Международной системой единиц (СИ). Все числовые величины
должны быть приведены к этой системе. Следует проанализировать, все ли
данные, необходимые для решения задачи, приведены в её условии. Недос­
тающие данные надо взять из справочных таблиц. Необходимо записывать
также и те величины, числовые значения которых не задаются, но о них можно
судить по условию задачи. Например, если тело начинает двигаться из состоя­
ния покоя, то следует записать, что начальная скорость и = 0, если в задаче
0
сказано, что какой-то величиной х можно пренебречь, обязательно следует за­
писать, что х = 0 и т. д.
3. Задачу следует обязательно пояснять чертежом или рисунком (если
это возможно), выполняя их аккуратно с помощью чертежных принадлежно­
стей. Обозначения на чертеже и в пояснениях решений должны быть одинако­
выми. Не следует обозначать одну и ту же величину разными буквами, а также
обозначать различные величины одними и теми же символами.
4. Решение задачи должно сопровождаться пояснениями. В пояснениях
необходимо указывать те основные законы и формулы, на которых базируется
решение задачи.
5. Как правило, задача по физике решается сначала в общем виде, то
есть выводится формула, в которой искомая величина выражена через величи­
ны, заданные в условии задачи. При таком решении не происходит накопления
погрешностей, неизбежных при промежуточных расчетах. В тех случаях, когда
преобразования, необходимые для нахождения искомой величины в общем
виде, слишком громоздки (например, при расчете токов, текущих в разветв­
ленных цепях), допускается вычисление промежуточных величин.
6. Получив решение в общем виде, сделать анализ его размерности. Для
этого подставить в правую часть полученной рабочей формулы вместо симво­
лов величин обозначения единиц измерений, провести с ними необходимые
действия и убедиться в том, что полученная при этом единица соответствует
искомой величине.
3
7. Произвести вычисления путем подстановки заданных числовых вели­
чин в расчетную формулу. Все вычисления рекомендуется выполнять с помо­
щью микрокалькулятора. При вычислениях соблюдать правила приближенных
вычислений и округлений.
8. Оцепить правдоподобность ответа. Такая оценка в ряде случаев по­
зволяет обнаружить ошибочность ответа. Например, скорость тела не может
быть больше скорости света в вакууме, коэффициент полезного действия теп­
лового двигателя не может быть больше единицы и т.п.
9. Ответ должен быть записан с определенной степенью точности, соот­
ветствующей точности исходных данных.
1. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ
Основные понятия, законы и формулы
1.1. Количество вещества - число структурных элементов (молекул, ато­
мов, ионов и т.п.), содержащихся в теле или системе. Количество вещества вы­
ражается в молях. Моль равен количеству вещества системы, содержащей
столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в нуклиде С
массой 0,0012 кг.
Количество вещества однородного газа:
N
т
12
ИЛИ V =
V =
— ,
На
И
где N - число молекул газа в данном объеме; N
- постоянная Авогадро
л
23
4
(число молекул в одном моле), N = 6,02 • 10 м о л ь ; т - масса газа; д - мо­
лярная масса.
Если система представляет смесь нескольких газов, то количество веще­
ства системы:
N
N-,
N„
А
V = V , + V t + • • • + V „ =—-
K
Y
A
+— - + - - Ч — -
N
A
N
A
или
m, m
v =— +
0
iiL
m„
— + — + ••• + — ,
где v,-, N nij, \ij - соответственно количество вещества, число молекул, мас­
са, молярная масса / — ой компоненты системы (/ = 1,2,3...,//).
1.2. Молярная масса смеси газов:
(т, + т н— + т„)
д
=
—,
/ 3
7
=
4
где m - масса г- го компонента смеси; v, =
l
— количество вещества / -го
компонента, п - число компонентов смеси.
1.3. Массовая доля ю / - го компонента смеси газа (в долях единицы
или процентах):
т-.
со,- = — ,
т
где т - масса смеси; /и,- - масса / - г о компонента.
1.4. Концентрация молекул:
у
где N - число молекул, содержащихся в объеме V системы; V - объем одно­
го моля (V = —); р - плотность вещества.
Р
Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного
состояния вещества.
1.5. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева - Кла­
пейрона):
PV=—RT
или
PV = vRT,
И
где т - масса газа; ц - молярная масса газа; R = 8,31 ДжДмоль • К) - моляр­
ная (универсальная) газовая постоянная; У - термодинамическая температура;
v количество вещества.
1.6. Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравне­
ния Менделеева-Клапейрона для изопроцессов:
• закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс, Т = const, m = const):
PV = const
или для двух состояний газа
• закон Гей-Люссака (изобарический процесс, Р = const, m = const):
V
— = const
T
или для двух состоянии
Ух _ У2 .
закон Шарля (изохорический процесс, V = const, m = const):
Р
— = const
Т
или для двух состоянии
5
1\ 1±
=
1.7. Зависимость давления от концентрации молекул и температуры:
Р = пкТ,
-2
1
где k = R/N = 1,38 • Ю ' Дж/К - постоянная Больцмана; и - концентрация
молекул; У термодинамическая температура.
1.8. Закон Дальтона - давление смеси идеальных газов равно сумме пар­
циальных давлений входящих в неё газов:
P=P +
P +-+P„,
где P - парциальное давление / го компонента смеси; п - число компонен­
тов смеси.
Парциальное давление - давление, которое оказал бы компонент смеси,
если бы он один занимал объем, равный объему смеси при той же температуре.
1.9. Барометрическая формула, выражающая убывание давления газа с
высокой h над поверхностью Земли:
A
V
2
i
x
h
RT
р - р ,,-\ s i
где Р , - давление на высоте h; Р - давление на высоте h = О; Т - абсолют­
}
()
ная температура; g - ускорение свободного падения.
2. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
Основные понятия, законы и формулы
2.1. Средняя квадратичная скорость молекул:
где иД/ = 1,2..JV) - скорость /' -ой молекулы, N - число молекул.
2.2. Основное уравнение кинетической теории газов:
1
/
х2
„ 2
= - o{v )
или
Р = -w(e
,
F
nm
KS
n 0 C T /
где Р - давление газа; п - число молекул в единице объема (концентрация
/
ч
\
ш
о<0
2
молекул); т - масса одной молекулы; \ с
/ = ———
средняя кинетиче­
ская энергия поступательного движения одной молекулы.
2.3. Зависимость средней кинетической энергии поступательного движе­
ния молекул от температуры:
(}
п о с т
^ пост ) "2 ^ '
—
где к - постоянная Больцмана.
6
2.4. Число степеней свободы i - это число независимых величин, с по­
мощью которых может быть задано положение тела или частицы в простран­
стве.
Положение тела или частицы в пространстве определяется шестью неза­
висимыми координатами: тремя линейными (х,у, z), определяющих положе­
ние центра массы тела или частицы, и тремя угловыми (а, [3, у), определяющих
положение трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр
масс тела или частицы.
Если тело перемещается в пространстве совершенно произвольно, то это
перемещение всегда можно составить из шести одновременно независимых
движений: трех поступательных (вдоль трех осей системы координат) и трех
вращательных (вокруг трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих че­
рез центр масс тела или частицы).
Следовательно, число степеней свободы - это число независимых воз­
можных перемещений тела или частицы в пространстве.
У идеального газа:
• одноатомпая молекула имеет / = 3 степени свободы (молекулу одно­
атомного газа рассматривают как материальную точку, которой приписывают
три степени свободы поступательного движения);
• жесткая двухатомная молекула имеет / = 5 степеней свободы (три по­
ступательных и две вращательных, вращение вокруг оси молекулы для мате­
риальных точек лишено смысла);
• молекула из трех - и более жестко связанных атомов имеет / = 6 степе­
ней свободы (три поступательных и три вращательных, подобно абсолютно
твердому телу).
Если молекула упругая, то возможны колебания атомов в молекуле и не­
обходима ещё одна степень свободы. Её называют колебательной. При этом на
колебательную степень свободы должны приходиться в среднем по две поло­
винки кТ - одна в виде кинетической и одна в виде потенциальной энергии
(их средние значения одинаковы).
Тогда
'
—
^пост
^"вр
где / - сумма числа поступательных ( Z
n0CT
^^КОЛ '
) , вращательных ( Z ) и удвоенного
Bp
числа колебательных ( 7 ) степеней свободы.
2.5. Средняя кинетическая энергия:
приходящаяся на одну степень свободы
К0Л
-Л
приходящаяся на все степени своооды молекулы
Еп)
0у = -^кТ,
:
где к - постоянная Больцмана, Т - термодинамическая температура; /
ло степеней свободы молекулы.
чис­
7
3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНА
Основные понятия, законы и формулы
3.1. Вероятность. Средние значения.
Статистическая физика - это раздел физики, в котором изучают свойства
макросистем, исходя из индивидуальных свойств составляющих макросистему
частиц и взаимодействий между ними. Описание движения каждой частицы
макросистемы (системы, образованной огромным количеством молекул) за­
дача совершенно немыслимая. Вместо этого статистическая физика оперирует
со средними значениями параметров очень большого числа частиц.
Основу статистической физики составляет теория вероятностей. Вероят­
ность интересующего нас события характеризуется кратностью его повторе­
ния. Если в N случаях /-ое событие происходит N раз, то вероятностью Pэтого события называют величину
t
t
'
N
Для вычисления вероятности необходимо,чтобы N и А/, были достаточно
большими.
Сумма вероятностей всех возможных результатов равна единице:
(NA
{N )
Зная вероятности появления различных результатов измерения дискрет­
ной величины х, можно найти их среднее значение (л). По определению
среднего
3.2. Распределение Максвелла - закон распределения по скоростям мо­
лекул газа, находящегося в термодинамическом равновесии.
• Вероятность или относительное число молекул, модуль скорости кото­
рых заключен в интервале (гх, и + civ):
N
• Плотность вероятности / ( и ) или относительное число молекул, модуль
скорости которых заключен в единичном интервале скоростей, выбранном
около конкретной скорости и :
8
dP
dN
du
Ndv
• Плотность вероятности / ( D ) есть функция скорости, которая и пред­
ставляет собой закон распределения
Максвелла по модулю скорости:
/ ( D ) = 4TC
т.
2пкТ
3/2
v ехр
2/сГ
V
• Вид функции / ' ( D ) показан на
рис.1. Площадь под кривой функции
/ ( D ) в заданном интервале скоростей
(и,;!),) равна вероятности этих скоро'i •
стей
о
АР
= —
=
dP = /(i))di) =
d.-V
N
f/(l))dD,
1
Функция Максвелла нормирована на единицу:
/> = J/(i))du = l ,
т.е. полная площадь под кривой / ( D ) равна единице.
Замечания.
1. Следует отметить, что полученное Максвеллом распределение по ско­
ростям не зависит ни от структуры молекул, ни от того, как они взаимодейст­
вуют друг с другом. Поэтому оно применимо не только к газам, но и к другим
агрегатным состояниям вещества.
2. При подсчете вероятности в заданном интервале скоростей не всегда
следует прибегать к интегрированию. Если интервал очень мал (по сравнению
с самой скоростью), то решение сводится просто к умножению:
AP = f{u)Au.
3.3. Характерные скорости газовых молекул:
• наиболее вероятная скорость - скорость, которой соответствует макси­
мум функции распределения / ( D ) :
RT
• средняя арифметическая скорость:
-а
(D) =
JD / ( D )
'8 RT
dD =
О
•средняя квадратичная скорость:
тип.
К ц
= 13 * г =
з ^
1Щ "У Ц
9
3.4. Формула Максвелла в приведенном виде.
Решение ряда задач удобнее проводить, если выражать скорости и в от­
носительных единицах - единицах наиболее вероятной скорости и . Тогда от­
носительная скорость молекулы и = и / и .
При переходе к новой переменной распределение Максвелла примет вид:
f(a)= (4/4п)и ехр ( - и ) .
3.5. Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по ки­
нетическим энергиям поступательного движения:
в
в
2
2
/ ( е ) - ^ = (2/Л) ( W W ехр (-
е/кГ).
где функция /(e) определяет относительное число молекул <\N(s)/N ИЗ обще­
го числа N молекул, которые имеют кинетические энергии, заключенные в
интервале от 8 до е + ds .
3.6. Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле:
п - пе
н т
0
к 1
- ne
или
Q
п- пв
0
к т
,
где п и «(, - концентрации молекул на высоте h и Л = 0; г
р
- потенциальная
энергия молекулы во внешнем силовом поле (в поле силы тяжести е , = m gh).
()
4. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Основные понятия, законы и формулы
4.1. Среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой в
единицу времени:
2
(z) = 42nd п (и),
где d - эффективный диаметр молекулы; п - концентрация молекул;
(и) - средняя арифметическая скорость молекул.
4.2. Средняя длина свободного пробега молекулы газа (X) (путь, кото­
рый в среднем проходят молекулы между двумя последовательными столкно­
вениями):
M
1
кТ
l )
=
2
42nd п
2
42nd Р
4.3. Диффузия. Закон Фика.
Явление диффузии в простейшем одномерном случае в химически одно­
родном газе возникает, когда плотность (либо концентрация) зависит только от
одной координаты х, при этом перенос вещества осуществляется только вдоль
оси ох и подчиняется закону Фика:
dm =
-D^-dSdt,
dx
10
где dm - масса вещества, диффундирующего за время d/ через площадку dS,
dp
расположенную перпендикулярно направлению переноса вещества; — - граdr
диент плотности вдоль оси ох; Г) - коэффициент диффузии.
Плотность потока массы / ., - масса, переносимая в единицу времени
через единицу площади в направлении нормали к этой площадке в сторону
Л
убывания плотности:
Л
4.4. Явление теплопроводности. Закон Фурье.
Явление теплопроводности в простейшем одномерном случае возникает
в веществе, температура которого зависит только от одной координаты х, при
этом перенос внутренней энергии путем теплообмена осуществляется только
вдоль оси av и описывается законом Фурье:
dQ = -K — dSdt,
dx
где dQ - количество теплоты, которое передается вследствие теплопроводно­
сти за время d/ через площадку dS, расположенную перпендикулярно направ­
лению переноса внутренней энергии; К - коэффициент теплопроводности (теdT
плопроводность);
градиент температуры вдоль оси ох,
dx
Плотность теплового потока jg— количество теплоты, переносимое в
единицу времени через единицу площади в направлении нормали к площадке:
4.5. Явление внутреннего трения (вязкости). Закон Ньютона.
Явление вязкости возникает в тех случаях, когда на хаотическое тепло­
вое движение молекул накладывается упорядоченное движение. В этом явле­
нии через площадку S происходит перенос импульса в направлении, перпен­
дикулярном соприкасающимся слоям:
dp = -11 — S dt.
dz
Внутреннее трение (вязкость) связано с воз­
никновением сил трения между слоями газа или
жидкости, перемещающимися параллельно друг
другу с разными по модулю скоростями и. Силы
трения, которые при этом возникают, направлены
по касательной к поверхности соприкасающих сло­
ев. Для явления внутреннего трения справедлив за­
кон Ньютона:
du
S
dz
и
Рис.2
11
где F - касательная силы трения, действующая на поверхность слоя площа­
дью S; — - градиент скорости течения газа (жидкости) в направлении внешdz
ней нормали п к поверхности слоя (рис. 2);
- коэффициент внутреннего
трения (динамическая вязкость).
ч
Плотность потока импульса:
J =-4
du
P
dz"
Этот перенос импульса проявляется в том, что вдоль площади S действу­
ет вязкое касательное напряжение
F
du
г =—=ц — .
S
dz
4.6. Коэффициенты D, л , К для газов в уравнениях, описывающих яв­
ления переноса:
• диффузии
D = 1/3
;
• вязкости
п = 1/3 (•и)(А.)р;
• теплопроводности
К = 1/3
А.)р С\. ,
д v
где р - плотность газа; (и) - средняя арифметическая скорость теплового
движения
C
v
молекул;
(А.)
средняя длина свободного пробега
молекул;
- удельная теплоемкость при постоянном объеме.
4.7. Закон Стокса - сила сопротивления при малых скоростях и движения ша­
рика в вязкой среде:
F = 6nr\rv,
где г - радиус шарика; и его скорость; п коэффициент вязкости среды.
5. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
Основные понятия, законы и формулы
5.1. Первое начало термодинамики:
Q = AU + A,
где Q - количество теплоты, сообщенное системе или отданное ею; AU - из­
менение ее внутренней энергии; А - работа системы против внешних сил.
5.2. Первое начало термодинамики для малого изменения состояния сис­
темы:
6Q = dU + dA,
где dU - бесконечно малое изменение внутренней энергии системы;
dA - элементарная работа; dQ - бесконечно малое количество теплоты. В
12
этом выражении dU является полным дифференциалом, a dA и dQ таковыми
не являются.
5.3. Удельная теплоемкость измеряется количеством теплоты, необхо­
димой для нагревания единицы массы вещества на один кельвин:
с
_
Q
d
у д
mdT'
5.4. Молярная теплоемкость измеряется количеством теплоты, необхо­
димой для нагревания одного моля вещества на один кельвин:
с
= ^
"
vdT'
5.5. Связь между удельной и молярной теплоемкостями газа:
с
=^
где ц
молярная масса газа.
5.6. Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном
давлении:
(/ + 2)
R
С..,/ = R
2
где i - число степеней свободы.
5.7. Уравнение Майера:
С
5.8. Внутренняя энергия идеального газа:
in i
т
i
U =
RT = — C T = —PV.
ц 2
ц
2
5.9. Работа, совершаемая газом при элемен­
тарном изменении объёма газа:
dA = PdV.
5.10. Полная работа А , совершаемая газом
при изменении его объёма от \\ до V :
aV
12
2
A =\PdV.
Рис.3
l2
5.11. Графическое изображение работы. При увеличении объёма на dV
совершаемая газом работа PdV численно равна площади затонированной по­
лоски.
Полная работа, совершаемая газом при расширении от объема Р\ до объ­
ёма V численно равна площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, кривой
зависимости давление Р от объёма V и двумя изохорами \\ = const и
V = const (рис.3).
5.12. Работа идеального газа в политропических процессах:
• при изобарическом процессе
2
2
13
A =P(V -V,)
p
A
или
2
P
M
=
R(T -T );
2
]
P
при изотермическом процессе
m
А = —Rl l n ^ или
Ц
Ух
при изохорическом процессе
Л- = О
при адиабатном процессе
Т
Л
D T I
Л
A - = —Rl In —
Ц
AU = m
Р
или
А,
/-Г7 У"'
m RT,
ц у-1
у-1
отношение молярных (или удельных) теплоемкостей газа
где у
при постоянном давлении и постоянном ооъёме.
5.13. Уравнение адиабатного процесса (уравнение Пуассона):
V pl-7 _ const
Р\ = const, TV*' = const, VP
п
T
1
i+ 2
где у = с = —
показатель адиабаты.
5.14. Коэффициент полезного действия для кругового процесса (цикла):
л
й-|&|
C
p
;
где Q - количество теплоты, получаемое рабочим веществом; Q - отдавае­
мое количество теплоты; А - работа, совершаемая за цикл рабочим вещест­
вом.
5.15. Термический КПД цикла Карно, состоящего из двух изотерм и двух
адиабат:
x
2
Q\-\Qi\_T -T
V
2
Qx
где Q - количество теплоты, полученное газом при изотермическом расшире­
нии при температуре нагревателя Т \ Q
количество теплоты, отданное газом
при изотермическом сжатии при температуре холодильника Т .
5.16. Энтропия - функция термодинамического состояния системы:
x
х
2
2
dS = ^ ,
т
где dQ - элементарное количество теплоты, сообщаемое системе при малом
изменении ее состояния; Т - температура, при которой было получено это ко­
личество теплоты.
14
5.17. Изменение энтропии системы в любом обратимом процессе, пере­
водящем её из состояния 1 в состояние 2:
J
1 Т
1 т
5.18. Второе начало термодинамики: энтропия замкнутой системы при
любых происходящих в ней процессах не уменьшается - она возрастает при
необратимых процессах и остается постоянной в случае обратимых процессов,
т.е.
AS > 0.
5.19. Связь между энтропией S и статистическим весом D. (термодина­
мической вероятностью):
S = k\nQ,
где к - постоянная Больцмана.
Статистический вес макросостояния
это число различных микросо­
стояний, соответствующих данному макросостоянию.
1
1
6. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ
Основные понятия, законы и формулы
6.1. Уравнение состояния реального газа (уравнение Ван-дер-Ваальса):
2
а
p +v —
(V-vb) = vRT,
111
где v =
число молей, а и Ь - постоянные Ван-дер-Ваальса, различные для
Р
разных газов (их значения берутся из таблицы 4 в приложениях).
6.2. Внутреннее давление, обусловленное силами взаимодействия моле­
кул:
V
6.3. Собственный объем молекул:
V = у —.
4
6.4. Соотношения между параметрами критического состояния и посто­
янными Ван-дер-Ваальса:
3
*w= *;
где
р
* = ^
;
Т
к
=
ш -
- молярный критический объём газа; Р и Т - его критические давле­
к
к
ние и температура.
6.5. Внутренняя энергия моля ван-дер-ваальсовского газа:
U^C^yT-a/V^
15
где С
ц Г
= —R-
молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объ­
еме; V - молярный объём; а - поправка Ван-дер-Ваальса на силы межмоле­
кулярного притяжения.
7. ЖИДКОСТИ
Основные понятия, законы и формулы
7.1. Поверхностная энергия (добавочная энергия, которую имеют моле­
кулы, лежащие в поверхностном слое жидкости, по сравнению с молекулами
внутри жидкости):
AE = a-S,
где S - площадь поверхности жидкости; о - коэффициент поверхностного на­
тяжения.
7.2. Коэффициент поверхностного натяжения измеряется силой поверх­
ностного натяжения, действующей на единицу длины любого контура, ограни­
чивающего поверхность жидкости:
с = д/';/д/.
Силы поверхностного натяжения AF лежат в плоскости, касательной к по­
верхности жидкости, и перпендикулярны к элементу контура А / .
7.3. Формула Лапласа:
1
A/l = а
+
ПОБ
*2 J
N
n n
где АР
- избыточное давление (поверхностное давле­
ние), создаваемое в жидкости вследствие кривизны по­
верхности жидкости;
и R - радиусы кривизны двух
взаимно перпендикулярных нормальных сечений по­
верхности жидкости. При этом АР
положительно, ес­
ли поверхность жидкости выпуклая, и отрицательно, ес­
ли - вогнутая. В случае сферической поверхности избы­
точное давление равно
Рис.4
а
R
7.4. Высота подъема жидкости в капилляре:
2а
h =
cos 0
Р g г
где 9 - краевой угол (угол между касательными к поверхности жидкости и
твердого тела); г - радиус капилляра; р - плотность жидкости; g - ускорение
П0В
2
тв
16
свободного падения; R - радиус кривизны изогнутой поверхности жидкости :
мениска (рис. 4).
7.5. Высота поднятия жидкости в капилляре радиуса г при полном сма­
чивании:
.h
P f
7.6. Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными
плоскостями:
h=
^ ° cos9,
Р#^
где d - расстояние между плоскостями.
7.7. Уравнение Клапейрона-Клаузиуса:
Ф
dr
где <у,_-)
=
Ч\-г
T{V;-V;Y
удельная теплота фазового перехода; V[ и V ' - удельные объемы
фазы 1 и фазы 2 (объемы единицы массы,
2
м
/
); Т - температура перехода
(процесс изотермический).
17
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Какое количество кислорода выпустили из баллона емкостью
V = 100 л , если при этом показания манометра на баллоне изменилось от 14,0
С
до 6,0 ат, а температура понизилась от /] = 27 С до /? = 7 °С?
3
3
3
Дано: V = 10,0 л = 10,0• 10" м ; ц = 32 10" кг/моль; 7 3 0 0 K ; 2 = 2 8 0 К ;
7? = 8,31 Дж/(моль-К).
Манометр показывает разность давлений между давлением в баллоне и атмо­
сферным, поэтому, чтобы найти давления газа в баллоне F\ и Р , прибавим к
i =
2
2
показаниям манометра величину атмосферного давления, равную 1,0 ат.
1,0 ат (техническая атмосфера)=9,8 -10 Па.
4
5
4
5
р =(14,0 + 1,0)-9,8-10 = 14,7-10 Па; Р = (6,0 + 1,0)-9,8 • 10 = 6,9 • 10 Па .
Найти: Ат.
Решение. Масса выпущенного из баллона газа Ат равна разности между на­
чальной массой т кислорода в баллоне и его конечной массой т :
Ат = 1щ - т .
{
2
[
1
2
(1)
Так как условия, при которых кислород находится в баллоне, не слишком
сильно отличаются от нормальных, газ можно считать идеальным. Поэтому,
воспользовавшись уравнением состояния идеального газа, запишем его для
начального и конечного состояний газа в баллоне:
P V = ^-RT ,
L
B>V =
L
^ R T , .
(2)
Из уравнений (l), (2) получим:
Ат =
\lV(
Л
1±_^2_
R
(3)
Подставив числовые значения величин, входящих в формулу (3), получим:
32-10 - 10,0-10 " ^14,7-106,9-Ю ^
Ат =
= 9,4 • 10" кг = 94 г
8,31
300
280
3
5
2
Ответ: Ат = 94 г.
Пример 2. Определить среднюю арифметическую скорость молекул идеально­
го газа, плотность которого при давлении 35 кПа составляет 0,3 к г / м .
3
3
Дано: Р = 35 кПа = 35 • 10 Па; р = 0,3 кг/м^.
Найти: (и).
Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением молекулярнокинетической теории идеальных газов:
18
2
P = iwW7 ,{l) ) ,
(
KB
(1)
где n - концентрация молекул; т - масса одной молекулы; (и^,) - средняя
0
квадратичная скорость молекул.
Учитывая, что
(к) = 1^-
,
(х> ) = —
кв
,
(•и)
.'8Л-У я///,-,
ПГ
- ^ - =^ = = ^
= —.
Ч
получаем
7
Отсюда выразим среднюю арифметическую скорость через среднюю
квадратичную:
(2)
Среднюю квадратичную скорость найдем из уравнения (1), предвари­
тельно его преобразовав. Введем в уравнение (1) плотность газа:
т
Nm
P = —=
=п m,
V
V
где т - масса газа; V - его объем; N - число всех молекул газа, т - масса
молекулы газа, п - концентрация молекул.
Тогда уравнение (l) примет вид:
n
Q
к
{)
Р
^ =
1
А
/
-РКв
Отсюда
р
(3)
Подставив выражение (з) в формулу (2), получим выражение для средней
арифметической скорости через заданные физические величины:
„ > = £ ж
р.
V Зл у р
\ лр
(4)
Выполним вычисления, подставив числовые значения физических величин в
(4):
v
D)
7
J8-35-10
3
=J
V 3,14-0,3
.
= 545
С
С
,
м/с.
'
Ответ: (у) = 545 м/с .
19
Пример 3. В закрытом сосуде при температуре 300 К и давлении 0,1 МПа на­
ходится Юг водорода и 16г гелия. Считая газы идеальными, определить
удельный объем смеси.
Дано:
3
3
т = 10г = 10-10~ к г ;
3
щ = 2 • 10~ кг/моль;
{
3
т = 16г = 16-10~ кг;
2
6
ц = 4 • 10~ кг/моль; Р = 0,1 МПа = ОД • 10 Па .
2
Найти: У
(удельный объём - объем единицы массы вещества, т.е.
V^Vjm
).
Решение. Согласно закону Дальтона, давление Р смеси газов равно сумме
парциальных давлений:
Р = Р Р.
ш
1+
2
(1)
Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа - уравнением Мен­
делеева-Клапейрона, запишем его для состояния каждой из газовых компо­
нент, заключенных в объеме смеси V:
пи
P V = -^RT
и
P,V
=
^RT,
Mi
где / ] , Р - парциальные давления.
Найдя отсюда парциальные давления 1\ и Р и подставив в уравнение (l), по­
лучим:
]
2
2
Р \0±!К
=
т
+
К
2
Т
или
PV = — + — RT.
VШ
И2 J
(2)
Из соотношения (2) выразим объем сосуда, в котором находится смесь газов:
^Ш\ пг-> ^
V = — + — RT/P.
М-1
Й2 )
Удельный объем смеси
V
г
=
см
V
_ (///, и| + т / и )RT
т +т
(ш| + т ) Р
2
х
2
2
2
(3)
Подставляя числовые значения физических величин, входящих в (з), получа­
ем:
3
Уем =
Ответ: V
QM
1
3
3
3
10-10 / 2 - 1 0 + 16-10 /4-10 8,31-0,1 -10
Г
U
:
:
б
=
8
'
6 3
,
"'
М
кг,
=8,63 м / к г .
20
Пример 4. Найти относительное число молекул
AN
—— со скоростями, отличающимися от наиболее
вероятной не более, чем на г| = 1 % .
Дано: ii = l % = 0,01.
AN
Найти:
N
Решение: Изобразим график функции Максвелла
распределения молекул по скоростям. Площадь
тонированной полоски на рис. 5 - это вероят­
ность (относительное число молекул) того, что
скорости молекул лежат в интервале скоростей,
равном A D :
AN
(1)
Решение задачи сводим к нахождению площади полоски. Так как
A D « D , то площадь полоски можно найти приближенно, как площадь прямо­
угольника. Из рис. 5 получаем:
e
Д/' = ^
= /(г, )Д1>,
в
Л
(2)
где A D = 2 D , поскольку на г\% отклонения могут быть как в одну, так и в
другую сторону; / ( D ) - значение функции Максвелла для той скорости, око­
ло которой выбран интервал A D (по условию задачи скорость, около которой
2кТ
выбран интервал A D , есть наивероятнейшая D =
)4
b
B
B
Распределение молекул по скоростям выражается уравнением:
/(D) =
4л
Y
D~
2л AT J
е
' 2 AT
(з)
Выражение (3) подставляем в (2), с учетом, что D = D
2кТ
\l/2
B
m
V o J
A D = 2HD ,получаем:
b
AN
= 4л
N
m v;
0
m
(
ь'е
2kT
l k i
2 D
4
B
Гщ
= 8лл
U^/T
.3/2
vie
2 k T
nin 2/{'f
= 8Т|7Г
Mr
2 я/Т
у Щ j
e
m
0
2kT
0,08
= 165-10 " =1,65%
<?V7t
21
AN
Ответ:
= 1,65 %
N
Пример 5. Используя функцию распределения
молекул идеального газа по относительным
скоростям /(*/) =
-и-
2
с п , определить число
молекул, скорости и которых меньше 0,002
наиболее вероятной скорости, если в объеме
газа содержится N = 1,67 • 10 молекул.
24
Рис. 6
Дано:
f(u) = —j=e " гг,
u = v/x> ;
B
D, = 0;
*24
и = 0,002 и ; ^=1,67-10*
Найти: AN.
Решение. В условии задачи речь идет о молекулах, скорости которых заклю­
чены в интервале от и, =0 до и = 0,002 ц (рис. 6). Таким образом, условие
применимости закона распределения скоростей
АЛ = 7У/'(и)Ди
или в относительных скоростях
AN = Nf(u)Au,
2
в
2
в
Т
(1)
заключающееся в том, что Ах> « и или Аи « и, здесь не выполняется. Поэто­
му от уравнения в форме (l) надо перейти к дифференциальной форме этого
закона:
dN = (4/4n)Ne- ii du,
(2)
где N - полное число молекул в объеме газа, и - относительная скорость
ll2
2
("^АОПолное число A j V молекул, относительные скорости которых лежат в
заданном интервале от м, до
найдем, интегрируя правую часть (2) в этих
пределах:
AN =
4
/V J e T " V d « .
(3)
Уравнение (з) является общей формой записи закона распределения скоростей
молекул, справедливой для любых интервалов скоростей. Учитывая, что отно­
сительная скорость и = и/и и что в нашей задаче и, = 0 и и = 0,002и , полу­
чим: iiy = 0 и и = 0,002 « 1 . Так как интеграл (з) в конечном виде не берется,
воспользуемся методом приближенного интегрирования. Для этого разложим
Б
2
в
2
подынтегральную функцию е~" в ряд Маклорена:
22
Так как гг « 1 , то е~" « 1. Тогда выражение (3) примет вид:
[
AN = [4/m ti)N
jVdw.
(4)
Проинтегрируем выражение (4) по и в пределах от и =0 до и =0,002, най­
дем:
х
4.V
дд^ = (4/Vtt )
2
,
и-,
Зл/Я
Выполним вычисления AN, подставив в конечную
формулу числовые значения физических величин:
AN =
4-1,67-10 24
зДй
(0,002) =10 J6
3
о-
цо
1
Ответ: AN = \0
о
Пример 6. Узкую трубку длины / , один торец ко­
Рис. 7
торой запаян, вращают с постоянной угловой ско­
ростью со в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси ОС), прохо­
дящей через открытый конец трубки, (рис. 7). Это происходит в газе, состоя­
щем из молекул массы т , при температуре Т. Концентрация молекул у от­
крытого конца трубки равна « . Найти концентрацию молекул у запаянного
торца.
Дано: щ\ т ; 1\Т.
Найти: п.
Решение: Газ в трубке находится в поле центробежных сил инерции
0
0
0
•у
-^ц.б. Щ®>~
трубкой).
=
г
(имеется в виду система отсчета, связанная с вращающейся
Из механики известно, что консервативная сила равна градиенту потен­
циальной энергии частицы, взятой с обратным законом [F = -grad К ). В про­
екциях на направление перемещения dr :
F =
5/?„
дг
дЕ
где — р
частная производная потенциальной энергии по г
or
Воспользуемся последним соотношением для расчета потенциальной
энергии молекулы:
дЕ = -F dr = -m (a"r дг,
r
0
23
2
JE
E
= - J т ю гдг,
r=()
p
0
0
2 2
E -E =m G> l /2,
0
где E , E
0
p
(]
- потенциальные энергии, соответствующие открытому и закрыто­
му торцам трубки.
Будем считать, что Е =0,
где п = п , тогда
[}
{)
2
Е
2
= - /?7 со / /2.
0
Используя функцию Больцмана распределения молекул по потенциальным
энергиям, получим концентрацию молекул у запаянного торца:
кр
2кТ
п - n е кТ = п е
Q
Ответ: п = п ехр
{)
m
0
0
со /
1кТ
)
Пример 7. Какое количество теплоты те­
ряется ежечасно через окно за счет теп­
лопроводности воздуха, заключенного
между рамами? Площадь каждой рамы
2
Л' = 4 м , расстояние между рамами
Рис.8
d = 30 см.
Температура
помещения
18 °С, температура наружного пространства - 20 °С. Диаметр молекул возду­
ха принять равным 0,3 н м , температуру воздуха между рамами считать равной
среднему арифметическому температур помещения и наружного пространства.
Давление воздуха нормальное (Р = 760 мм рт. ст.).
Дано: воздух (состоит в основном из двухатомных молекул); / = 5 (число сте­
пеней свободы); d = 30 см = 0,30м; S = 4 м ; Д/ = 1 час = 3600 с; /, = 18 С ;
{)
2
Э
t =-20 С ;
Т\ =291 К ;
2
d
9
=0,3-10~ м ; ц = 29-10"
7 =253 К;
2
3
5
5
Р = 760 мм рт. ст. = 1,01 • 10 Па;
()
.
моль
Найти: A(J.
Решение. Согласно закона Фурье количество теплоты, переносимое через
площадь S за время At:
&0 = -K
— SAt.
Ах
0)
ДТ
градиент температуры (гради­
Ах
вектор, направленный в сторону уоыли температуры,
где К - коэффициент теплопроводности;
ент температуры
рис. 8).
24
По молекулярно кинетической теории коэффициент теплопроводности
для газов равен
А: = 1/з {D>{).) р с , „
у д
(2)
где (и) - средняя арифметическая скорость молекул; (X) - средняя длина сво­
бодного пробега молекул; р - плотность газа; Г
- удельная теплоемкость
у д ) /
газа при постоянном объеме (V = const).
Проведем расчет коэффициента теплопроводности, рассчитывая каждую фи­
зическую величину, входящую в выражение (2) отдельно.
1. Средняя арифметическая скорость молекул газа, заключенного между
рамами, определяется выражением:
ШР
7ГЦ
где Т
тура
_ Т
Т =
- температура воздуха между рамами (по условию задачи эта темпера­
равна среднему арифметическому температур Т
и Т
т.е.
+Т
291 + 253
^ ' =
2
^ ~~
Р
масса воздуха.
]
{
2
7
=
м о л я
н а я
Проведем расчет (и
.
ч
- = 446 м/с.
(3)
р,14-29-10^
2. Средняя длина свободного пробега молекул газа определяется выра­
жением:
кТ
v
и) =
8-8,31-272
А А Г
Ь
1
Х) =
2
л/2 л с1 фР'
где ^/ ф - эффективный диаметр молекулы, к - постоянная Больцмана
Э
21
= 1,38-Ю Дж/К).
Проведем расчет (X):
X) =
1 0
2
2
'f' " ^!
, = 933.10-м
л/2 - 3.14 - (о,3 -10~ ) -1,01 • 10
9 2
;
(4)
3. Плотность газа выразим из уравнения состояния идеального газа, учтя,
что m = р V :
PV = —RT
Р
или
Р =р— ,
Р
откуда
Р
RT
Проведем расчет р :
25
5
p=
3
l,01-10 -29-lQ-
/ з
= 1,30 кг/м .
M
5)
8,31-272
4. Удельная теплоемкость газа при V = const:
Г
^ " 2
й
-
Проведем расчет:
Г
5
=
8
3 1
' '
= 7 1 1 ^ .
(6)
'
2-29-10
кг-К
Подставив в (2) числовые значения (и), (Х) р , С / из (3), (4), (5), (б), полу­
чим числовое значение коэффициента теплопроводности воздуха для условий,
приведенных в данном примере:
ц Г
3
W
У
удГ
8
2
К = ^446-9,33-10~ • 1,30-711 = 1,28-10" Вт/(м К ) .
Найдем градиент температуры:
АТ _Т -Т т _ 253-291
1*1-то:
2
Ах~
]
d
~ 30-10
Подставив в (l) числовые значения К,
= -127К/м,
, S, At, полетим:
Ах
AQ = -1,28 • 10" (- 127)-4 • 3600 = 23,4• 10 Дж .
Ответ: AQ = 23,4 кДж,
2
3
7
Пример 9. Баллон емкостью I = 20,0 л с кислородом при давлении 1\ = 100 ат
и температуре t\=7 С нагревается до i =11 °С. Какое количество теплоты
при этом поглощает газ?
Дано: 1 = 5 (газ 0 двухатомный), F = 20,0-10~ м ; Ц = 100 - 9,8 -10 П а ;
71 =280 К ; 7 =300 К .
Найти: Q.
Решение. Поскольку коэффициенты теплового расширения для твердых тел
значительно меньше (приблизительно в сто раз), чем для газа, в условиях дан­
ной задачи можно пренебречь расширением баллона и считать процесс нагре­
вания газа изохорным.
Количество теплоты можно найти двумя способами, применяя первое
начало термодинамики или формулу, определяющую теплоемкость тела.
Первый способ. Применим к рассматриваемому газу первое начало термоди­
намики. Поскольку при изохорном процессе газ не совершает работы, то пер­
вое начало примет вид:
Q =А",
2
3
3
4
2
2
26
т.е. все сообщенное газу тепло идет на приращение его внутренней энергии.
ш
Используя уравнение газового состояния PV =— RT, выразим внутреннюю
Р
энергию газа:
U = -—RT = -PV.
2ц
2
Отсюда изменение внутренней энергии при переходе газа из состояния 1 в со­
стояние 2 равно
(]>
\
-I
2 V
~ --T\V
2
2~ ~ -1\) V =2-1\У V •1
АН = и -II = -P
= -{Р
Заменяя по закону Шарля для изохорного процесса отношение давлений
Р /Р\ отношением абсолютных температур Т /Т\ , получим
1
w
1
2
{
2
2
2
2
/
Q = MJ=-P V
2
(г
Л
{
^
.
(l)
j
dQ_
Второй способ. Из определения молярной теплоемкости (".' = — ^ следует
vdT
что элементарное количество теплоты, сообщенное телу при повышении тем­
пературы на d Т, равно
dQ = v() dT.
(2)
1
m
Число молей v = — найдем из уравнения Менделеева - Клапейрона для на¬
Р
m
чального состояния газа {P V = —Ш\):
Р
m PV
р. Я 7]
V
Так как газ нагревается при постоянном объеме, то
ставив выражения для v и С
v
= С^у = -^R. Под­
в (2), получим:
!El*4T=L!£dT.
(з)
RT 2
2
Проинтегрировав (3) и учтя при этом, что все величины i, Р , 7\, V - постоян­
ные, получим полное количество теплоты, поглощенное газом при нагревании
от У\ до Т :
iQ=
w
X
}
2
Q ^ ' ^ - h l
(4)
что совпадает с выражением (l).
Выполним вычисления:
5 9,8.10^.20,0.102
280
8
0
)
=
1
Q
4
27
Ответ: Q = 35 кДж.
Пример 10. Один моль идеального газа из жестких двухатомных молекул со­
вершает цикл Карно. Температура нагревателя !\ = 400 К . Найти КПД цикла,
если при адиабатическом сжатии затрачивается работа А' = 2,0 кДж.
Дано: v = 1 моль; газ двухатомный; 1\ = 4 0 0 К ; А' = 2,0кДж.
Найти: л (КПД) цикла Карно (рис. 9).
Решение. В адиабатическом процессе (Q = 0) работа, совершаемая газом
A = -All=-vC AT
=
-vC (l -T ).
llV
liV
2
l
Работа, совершаемая над газом А' = - А , тогде
^' = v C V ( 7 i - r ) .
(1)
2
Выполним преобразования выражения (l), домножим и разделим на 1\:
А'
Величина
' . _
T
l -
T
в круглых
2 _
T
2^
l
... .,, ( / , - / 0
скобках
...
г
выражения
1-й]
(2)
(2)
КПД цикла
Карно
Поэтому выражение (2) примет вид:
А'=
у1\С\, Ц.
(3)
Г
Из (3) следует, что
А'
4 = v^777
7\(\
F
Поскольку число молей v = —= 1, C\ =—R - молярная теплоемкость при
ц
2
V = const, то
2Л'
Л=
/Л7'
где / = 5 (газ двухатомный, молекула жесткая).
Выполним вычисления:
lV
// =
2-2-10
3
= 0,24
5 • 8.3 1 • 400
Ответ: г\ = 24 %.
Пример 11. Идеальный трехатомный газ со­
вершает цикл, состоящий из двух изохор и
двух изобар (рис. 10). Определить КПД (л)
цикла,
если
К 1,00л,
К =2,00л;
1\ = 1,0 атм, Г = 2,0 атм.
1 =
2
а
д
и
а
б
^
адиабата
2
Q V
2
Рис.^ис.Ю
2
Гц
Дано:
газ идеальный,
3
трехатомный;
1 =6 -
3
число
3
степеней
свободы;
3
5
Vy = 1,00 л = 1,00 • 10" м ; У = 2,00 л = 2,00 • 10" м ; 1\ = 1,0 атм = 1,0 • 10 П а ;
2
5
Р =2,0атм = 2,0-10 Па.
Решение. Изображенный на рис. 10 цикл состоит из четырех последовательно
протекающих процессов. Коэффициент полезного действия тепловой машины,
работающей по замкнутому циклу:
2
. . A . C H f t l ,
( | )
где А - работа, совершаемая рабочим веществом, (в данном случае газом), в
течение цикла; Q - количество теплоты, полученное газом в течение цикла;
{
Q - отдаваемое тепло.
Выясним, на каких участках газ получает тепло, а на каких - отдает.
1. Участок 1 - 2 . Объем V сохраняется, при этом давление газа увеличи­
вается от Р до Р . Так как при изохорном процессе давление пропорциональ­
но абсолютной температуре, повышение давления вызвано повышением тем­
пературы. Следовательно, газ при этом получает количество теплоты Q _
2
{
{
2
A
2
(01-2 > о)Согласно первому закону термодинамики исходное количество теплоты
Q, требуемое при нагревании, равно
Q = M! +А.
Так как в изохорическом процессе работа газом не совершается А _ =0, то
все тепло идет на изменение внутренней энергии:
Lh-2=^U_ =(l! -l} ).
(2)
2. Участок 2 - 3 . Давление Р газа сохраняется, объем увеличивается от
У до У . Так как при изобарическом процессе объем газа пропорционален
температуре, то увеличение объема вызвано повышением температуры. Сле­
довательно, и здесь газ получает количество теплоты £) -з ((?2-я > О). В изоба­
рическом процессе количество теплоты идет на изменение внутренней энергии
и на совершение работы самим газом Q _ =
^г-ъ (^з ~ U )+ А -ъ.
Работа газа в изобарическом процессе на участке 2 - 3 :
A _,=P (V -V ).
(3)
Количество теплоты, полученное газом на участке 2 - 3 :
Q -i={Us-U )+P {y -V ).
(А)
х
2
2
2
{
2
{
2
2
+
2
2
2
2
3
2
=
2
2
{
2
2
2
x
3. Участок 3 - 4 . Процесс идет изохорно (v = const), давление уменьша­
2
ется от Р до Р , понижается и температура. В этом процессе газ отдает коли­
2
}
чество теплоты Q _
3
4
((?V4 < 0) -
4. Участок 4 - 1. Процесс идет изобарно (Р = const), газ сжимается от
}
объема У до У , температура газа понижается. Следовательно, здесь газ отда2
х
29
ет некоторое количество теплоты Q _ ((^ _ <0). В этом изобарном процессе
над газом совершается работа:
4
}
4
1
7
4 н = ПО , -У ) = -iWi-У,)(5)
Теперь приступаем к вычислению КПД (л) цикла по формуле (l).
Учитывая, что газ получает теплоту на участках 1 - 2 и 2 - 3, то количе­
ство теплоты Q , сообщенное газу при нагревании:
2
]
Qi = Q1-2 + Qi-ъ •
(6)
Подставив в (б) вместо (9,_ и (Л-з их выражения (2) и (4), получим:
2
Q = (U -11,)+ (II, - и
v
2
2
) + 1> (У
2
-V ) = (U, -(/,)+
2
Р (V
v
2
2
-У ).
(7)
{
Изменение внутренней энергии АС/-,_з = I/ - [/. при переходе газа из состоя­
ния 1 в состояние 3
/т
iт
AU^ =
--Rl^---Rl
2 ц.
2ц
или на основании уравнения состояния газа - уравнения Менделееват
Клапейрона PV = — RT:
И
3
{
MJ^=L{P V -P V\).
2
2
(8)
{
Подставив в (7) вместо AIJ _^ выражение (8), получим:
X
Gi=^(^2-W)+^(^-^i)-
()
9
Работа газа, совершаемая им на участках 2 - 3 и 4 - 1, равна, согласно (3) и
(4):
А = А_
2
3
+ А _ = Р (У
4
{
2
2
-У )-
Р (У
{
у
2
-У,) = (Р - Р )(У
2
{
-У ).
2
{
(10)
Эту же формулу работы можно получить сразу, если учесть, что работа газа,
совершенная за цикл, численно равна площади фигуры, ограниченной замкну­
той линией - графиком цикла в системе координат (/ ; У). В данном случае эта
работа равна площади прямоугольника 1 - 2 - 3 - 4.
Наконец, подставляя в (l) выражения А и Q из (9) и (10), найдем КПД
цикла:
J
}
' {Р У -Р Уу)+Р {У2-Уу)
2
2
2
{
2
Выполним вычисления КПД, подставив в (l l) числовые значения физических
величин в единицах СИ:
5
5
3
3
_
(2-Ю -Ь10 )(2-10- -1-10- )
6/2 ( 2 - Ю - 2-Ю" - 1 - Ю •1-10" )+2-10'(2-10"
Ответ: л, = 9 % .
л
5
3
5
3
, 009 = 9о/
-1-Ю" ]
=
3
0
3
30
Пример 12. Один моль идеального газа, состоящего из одноатомных молекул,
находится в сосуде при температуре 7 = 300 К . Как и во сколько раз изменит­
ся статистический вес (термодинамическая вероятность) этой макросистемы,
если ее нагреть изохорически на AT = 1,0 К ?
Дано: газ одноатомный, / = 3 (число степеней свободы), у = 1моль;
Т = 300 К ; процесс изохорический (V = const).
Найти: Q / Q .
Решение. Воспользуемся формулой Больцмана связи энтропии S и статисти­
ческого веса Q. макросистемы:
S = kinQ,
где к - постоянная Больцмана.
Исходя из этой формулы, имеем:
0
()
0
AS = S -S
=kin£l-k
0
0)
In Q = k(h\Q - 1пП ) = к In
0
0
Из соотношения (l) видно, что решение сводится к нахождению приращения
энтропии макросистемы AS. Как известно, изменение энтропии выражается
формулой:
(2)
, 1
Согласно первому началу термодинамики для изохорического процесса
(dA = О) количество теплоты d(J идет только на изменение внутренней энергии
макросистемы:
dQ = dlJ.
(3)
Изменение внутренней энергии идеального газа для одного моля (v = 1 моль):
3
dU=-R6T.
2
Перепишем выражение (2) с учетом (з) и (4) в виде:
г i dT
AS = — R —
2 T
A V
п
/
dT i
Т
R\ — = — R\n
2 IJ
2
T
(4)
T + AT
r
i
n
= —
u
2
T,
AT
Л In 1 +
Т,о
(5)
у
где температура конечного состояния Т = (Т + AT)
Из сопоставления формул (l) и (5) получим:
{)
In
Q
/R
= --ln
Q
2к
n
R
где — = N
к
A
1+
А7'
= -N
То J 2
In
A
А
1+
AT
'о;
(6)
- число Авогадро.
31
« 1, то, разложив функцию In
Так как по условию задачи
Т
в ряд,в
.
0
первом приближении можно принять, что In
AJ
, тогда выражение
Т
1+ .
J
V
То)
(б) примет вид:
, П
i . AT
In — *-N
—.
Q
2
T
Выполним вычисления натурального логарифма отношения вероятностей:
т
K
0
0
3
23
21
In — * 6,023 • I О — = 3 • 10 .
Q
2
300
Из последнего соотношения находим:
0
^
= £ ?
3-L0
2 1
_ ^qL3-10
21
^ 0
Эта величина чудовищно огромная даже при таких скромных изменениях тем­
пературы.
Ответ: П / ^ = с = 1 0 ' ,21
Ш ) 2 1
и
1 0 2
( )
Пример 13. Найти давление, при котором плотность углекислого газа при
температуре Т = 300 К окажется равной р = 500 к г / м .
3
3
Дано: Газ С О , , молярная масса которого р = 44• 10" кг/моль, Г = 3 0 0 К ,
3
р = 500 к г / м
Найти: Р.
Решение. Оценим плотность газа, считая его идеальным и находящимся при
нормальных условиях [р = 10"^ Па;Т = 273 к ] . Для этого воспользуемся урав(]
нением состояния идеального газа
(
m Л
PV = —R1 . Решая его относительно
плотности, получим:
Р
О)
Отсюда
5
-3
P
1 о -44-Ю
j ,
р =— =
= 1,94 кг/м" .
RT
8,31-273
Так как плотность газа по условию задачи во много раз больше плотности его
при нормальных условиях, то, очевидно, что газ необходимо рассматривать
как реальный, параметры которого связаны уравнением состояния Ван-дерВальса
VV
л
п
л
1
32
2
\
р+ v а (V-vb)=vRT.
Т "
Решив его относительно давления Р, получим:
2
l
va
у
in
m
На основании определения плотности p = — и, имея в виду, что v = —, полу­
V
Р
Р
vRT
V-vb
чим:
Р=
а
s
pRT
ap
р-рб
|Г
(2)
Взяв из таблиц в приложениях значения постоянных
и b для углекислого газа а = 0,367 Па • м / м о л ь ,
6
-3
Ъ = 4,3 • 10~~ м'Умоль и р = 44 • 1 0 кг/моль,
вычисления давления по формуле (2):
2
выполним
р
и с
у±
2
500-8,31-300
0,367-(500)
s
Р=
—
V =80-10- Па.
44 • 10" - 500 • 4,3 • 10~
(44-10
Расчет давления по формуле состояния идеального газа (l) дает резуль­
Q
3
5
n
i
n
n
1 2
тат:
1-Я
//
44-10"
Различие в давлениях весьма значительное.
Ответ: Р = Ъ0Л0 Па.
5
Пример 14. Какую работу против сил поверхностного натяжения надо совер­
шить, чтобы выдуть мыльный пузырь радиусом 5,0 см ? Чему равно избыточ­
ное давление внутри пузыря? Коэффициент поверхностного натяжения мыль­
ной воды а = 40 • 10~ Н / м .
3
3
Дано: R = 5,0 см, а = 40• 10 Н / м .
Найти: А ; АР.
Решение. Мыльный пузырь представляет собой очень тонкую пленку мыль­
ной воды приблизительно сферической формы. Эта пленка имеет две поверх­
ности - наружную и внутреннюю, рис. 11. Пренебрегая толщиной пленки и
считая радиусы обеих сфер одинаковыми, найдем их общую площадь:
S = 4nR +4nR
= SkR .
(l)
Так как до образования пузыря поверхность мыльной воды, из которой он
выдут, очень мала, то можно считать, что соотношение (l) выражает измене­
ние (увеличение) площади AS поверхности мыльной воды.
2
2
2
33
Увеличение поверхности жидкости на AS приводит к приросту поверх­
ностной энергии АЕ:
AE = oAS,
(2)
где а коэффициент поверхностного натяжения.
Совершаемая при выдувании пузыря работа против сил поверхностного
натяжения идет на увеличение поверхностной энергии АЕ. Таким образом, из
(l) и (2) получим:
2
A = AE = cAS = SnR a.
(3)
Избыточное давление внутри пузыря, вызванное кривизной поверхности,
т.е. давление, производимое каждой сферической поверхностью, находим по
формуле Лапласа:
Д/j = о — + —
,
где R и R - радиусы кривизны двух взаимно перпенди­
кулярных нормальных сечений поверхности жидкости
(для сферы R =R =R);
АТ\ - избыточное давление,
производимое одной поверхностью.
Таким образом, избыточное (по сравнению с наруж­
ным) давление воздуха внутри пузыря, учитывая две сфе­
рические поверхности:
{
2
l
2
А1' = 2А1] =2о
(4)
Подставив в (3) и (4) числовые значения, получим:
2
Л = 8 • 3,14-(5,0-10 )
АР =
2
40-10
3
3
= 2,5-10~ Дж = 2,5мД
4-40-10
— = 3,2 П а .
5 0 -10 ^
Ответ: А = 2,5 мДж, A1 = 3,2 Па
J
Пример 15. Вертикальный капилляр привели в соприкосновение с поверхно­
стью воды. Какое количество теплоты выделится при поднятии воды по ка­
пилляру? Смачивание считать полным, поверхностное натяжение равно а .
Дано: вертикальный капилляр; а - коэффициент поверхностного натяжения.
Найти: Q.
Решение. Работа А, совершаемая силами поверхностного натяжения при под­
нятии жидкости, идет на сообщение ей потенциальной и кинетической энер­
гии:
А = АЕ р +АЕ,..
п
Л
Если бы не было сил трения, уровень жидкости в капилляре совершал бы гар­
монические колебания около равновесного положения. Благодаря трению, ки-
34
нетическая энергия АН переходит во внутреннюю энергию, т.е. выделяется
теплота Q - АЕ .
Работа А , совершаемая силами поверхностного натяжения:
к
к
A =r h
0)
где А - сила поверхностного натяжения, действующая на контур / , ограни­
чивающий поверхность жидкости; h - высота подъема жидкости в капилляре
(рис. 12).
Силы поверхностного натяжения действуют по касательной к поверхно­
сти жидкости и перпендикулярно к границе жидкости с поверхностью капил­
ляра, в нашем случае / = 2nR. Поэтому результирующая сила поверхностного
натяжения:
7-' = а / = а 2 я Л .
(2)
Высота поднятия жидкости в капилляре радиуса R при полном смачивании:
aM
t
п н
h
— » PgR
Учитывая формулы (2) и (з), выражение для работы А примет вид:
A = l- h = a-2nR
- =
mK
PgK
(
3
)
.
Pg
Приращение потенциальной энергии:
№ =mgh/2,
(4)
p
где m = pV = piiR~h - масса жидкости в капилляре. Подставив в (4) выраже­
ния массы и высоты столба жидкости в капилляре (3), приращение потенци­
альной энергии примет вид:
2
АЕ
р
2
2
= pnR h • gh/2 = ^nR h pg
2
= ~^^
^°„1
\pgRJ
=
П0
Рё ^
pg
В результате получим:
Q = A-AE
p
">
9
=4па~
2по
Pg
Pg
9
2па~
Р
7ГС
Ответ: О = ^ *
Qg
ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
Контрольная работа включает решение одиннадцати задач. Вариант кон­
трольной работы задается преподавателем, номера задач берутся из табли­
цы 1. Справочные материалы приведены в приложениях.
Таблица 1
Вариант
Номера задач
91
1
1
16
31
46
61 | 76
106 121
136 151
35
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
1. Плотность газа при давлении Р = 96 кПа и температуре / = 0 °С равна
1,35 г/л. Найти молярную массу р. газа, р = 32 • 10 кг/моль
3
2. При температуре 50 С упругость насыщенных водяных паров равна
12,3 кПа . Чему при этом равна плотность водяных паров? [р = 0,083 к г / м
3
3. Найти плотность водорода при температуре
15 °С и давлении
70 мм рт. ст. р = 0,081 кг/м
4. Плотность некоторого газа при температуре
0,2МПа
равна
3
0,34кг/м .
Чему
равна
молярная
10 °С и давлении
масса
этого
газа?
р = 4 -10 кг/моль
5. Чему равна плотность воздуха в сосуде, если сосуд откачан до наи­
высшего разряжения, создаваемого современными лабораторными способами
(р = 10" мм рт. ст.)? Температура воздуха равна 15 °С. р = 1,6 • 10~ к г / м
11
14
-3
3
3
6. 12 г газа занимают объем 4 -10 м при температуре 7 °С. После на­
гревания газа при постоянном давлении его плотность стала равна
6 Ю г / м . До какой температуры нагрели газ? [ 1400 К ]
7. Найти массу сернистого газа ( S 0 ) , занимающего объем 25 л при
- 4
3
2
температуре 27 °С и давлении 760мм рт.ст. [т = 0,065 кг]
8. Какое число молекул содержится в 1 г водяного пара? 3,3 -10"
9. В сосуде емкостью 4 л находится 1г водорода. Какое число молекул
содержится в 1 см этого сосуда? N = 7,5 • 10 см" J
3
19
3
10. Какое число молекул находится в комнате объемом 80 м при темпе­
ратуре 17 °С и давлении 750 мм рт. ст.? /V = 2 10
11. Найти плотность р азота при температуре Т = 400 К и давлении
Р = 2 МПа
р = 8,4 кг/ м J
3
36
12. Вычислить плотность р азота, находящегося в баллоне под давлени­
ем
= 2 МПа и имеющего температуру Т = 400 К .
р = 16,8 к г / м
3
?1
13. Вода при температуре 7 = 4 °С занимает объем V = \см . Опреде­
лить количество вещества v и число Л молекул воды.
v = 5,5 • 10 кмолей, N = 33 • I О молекул
14. Определить количество вещества v и число N молекул кислорода
массой m = 0,5 кг v = 15,625 молей, N = 9,4 • 10 молекул
15. В баллоне объемом ¥ = 3л содержится кислород массой ш = 10г
Определить концентрацию п молекул газа. п = 6,3 • 10 1м"
16. В сосуде находится углекислый газ. При некоторой температуре сте­
пень диссоциации молекул углекислого газа на кислород и окись углерода
равна 25%. Во сколько раз давление в сосуде при этих условиях будет больше
того давления, которое имело бы место, если бы молекулы углекислого газа не
были диссоциированы? [l\/l = 1,25]
7
5
21
24
25
J
17. Считая, что в воздухе содержится 23,6% кислорода и 76,4 % азота
(по массе), найти плотность воздуха при давлении 750 мм рт. ст. и температуре
Э
13 С . Найти парциальные давления кислорода и азота при этих условиях.
р = 1,2 к г / м , 7 j = 21кПа,/> = 7 9 к П а
18. В сосуде находится смесь из Юг углекислого газа и 15г азота. Най­
ти плотность этой смеси при температуре 27 ° С и давлении 150кПа.
р = 1,98 кг/ м
19. Давление воздуха внутри плотно закупоренной бутылки при темпе­
ратуре 7 С было равно ЮОкПа. При нагревании бутылки пробка вылетела.
Найти, до какой температуры нагрели бутылку, если известно, что пробка вы­
летела при давлении воздуха в бутылке 130 кПа. Г = 364К = 9 1 ° С
20. Молекула аргона, летящая со скоростью 500 м/с, упруго ударяется о
3
2
3
Э
стенку сосуда под углом 60° к нормали, проведенной к стенке сосуда. Найти
импульс силы, полученный стенкой сосуда за время удара. 3,3-10 " Н е
21. В баллоне находилось 10 кг газа при давлении 10 МПа . Найти, ка­
кую массу газа взяли из баллона, если окончательное давление стало равно
2,5 МПа . Температуру газа считать постоянной. [Am = 7,5 кг]
22. В запаянном сосуде находится вода, занимающая объем, равный по­
ловине объема сосуда. Найти давление и плотность водяных паров при темпезатуре 400 С , зная, что при этой температуре вся вода обращается в пар.
С
3
Р = 155 МПа, р = 500 к г / м
23. Два сосуда одинакового объема содержат кислород. В одном сосуде
давление Р\=2 МПа и температура 7] = 800 К ; в другом - Р = 2,5 МПа и
7 = 200 К . Сосуды соединили трубкой и охладили находящийся в них кисло2
2
37
род до температуры Т = 200 К . Определить установившееся в сосудах давле­
ние 7\ [7 = l,5MIia]
24. В баллоне вместимостью V = 15 л находится смесь, содержащая
m = 10 г водорода, гщ = 54 г водяного пара и т = 60 г окиси углерода. Темпе­
ратура смеси 7' = 27 °С. Определить давление. [ Р = 1,69 МПа]
J
2
25. 6 г углекислого газа ( С 0 ) и 5 г закиси азота ( N 0 ) заполняют со¬
2
суд объемом 2-10
2
м' . Каково общее давление в сосуде при температуре
127 °С? [ Р = 415кПа]
26. В закрытый сосуд, наполненный воздухом, вводится диэтиловый
эфир ( С Н О С Н ) . Воздух находится при нормальных условиях. После того
2
5
2
5
как весь эфир испарился, давление в сосуде стало равным 0,14 МПа . Какое ко­
_3
личество эфира было введено в сосуд? Объем сосуда V = 2 л . т = 2,5 • 10 кг
27. Баллон объемом К = 20л заполнен азотом при температуре
Т = 400 К . Когда часть газа израсходовали, давление в баллоне понизилось на
А7 = 200кПа. Определить массу израсходованного азота. Процесс изотерми­
ческий. [Am = 0,034 кг]
28. В сосуде находится смесь из 14г азота и 9г водорода при темпера­
туре 10 °С и давлении 1 МПа. Найти: I) молярную массу смеси, 2) объем со­
суда. [|i = 4,6-10" кг/моль, V = 1 1,7 • 10" м
29. В сосуде объемом К = 10л при температуре 7'= 450 К находится
смесь азота массой пц = 5 г и водорода массой т = 2 г. Определить давление
>
3
3
3
2
5
Р смеси, [ л = 4,4-10 Па
3
30. Оболочка аэростата вместимостью V = 1600 м , находящегося на по­
верхности Земли, на 7/8 наполнена водородом при давлении ЮОкПа и тем­
пературе 290 К. Аэростат подняли на некоторую высоту, где давление 80 кПа
и температуре 280К. Определить массу водорода, вышедшего из оболочки аэ­
ростата при его подъеме. [ Ат = 6,16 кг]
31. Максимальные значения функции распределения молекул по скоро­
стям для азота и гелия равны между собой. Найти температуру гелия, если
температура азота равна 400 К. [ 57 к]
32. Найти вероятность того, что данная молекула идеального газа имеет
скорость, отличную от наивероятнейшей и не более чем на 2 % . [з,3 • Ю J
33. Определить температуру газа, для которой средняя арифметическая
скорость молекул кислорода больше их наивероятной скорости на
Аи = 40,0 м/с. [7'= 187К]
34. Зная распределение Максвелла по кинетическим энергиям, найти
наиболее вероятное значение кинетической энергии. [ е =кТ/2]
35. Покажите, что доля молекул, скорости которых лежат в интервале от
средней арифметической скорости до средней квадратичной, не меняется при
изменении температуры.
- 2
в
в
38
36. Найти вероятность того, что данная молекула идеального газа имеет
скорость, отличную от 2 и не более чем на 1 % . 6,62 -10
37. Найти температуру газообразного азота, при которой скоростям мо­
лекул и, =300 м/с и и =600 м/с соответствуют одинаковые значения функ­
ции распределения молекул по скоростям - функции Максвелла. ['/' = 330 К]
38. Какова вероятность того, что данная молекула идеального газа имеет
скорость, отличную от и / 2 не более чем на 1 % ? [4,39 • 10
в
2
_3
в
39. Определить, какая часть молекул азота при температуре 27 °С обла­
дает скоростями, модули которых лежат в интервале от 210 до 215 м/с.
3
5,3-10"
40. Во сколько раз изменится значение максимума функции / ( о ) рас­
пределения молекул идеального газа по скоростям, если температура Т газа
увеличится в 2 раза? Решение пояснить графически. Уменьшится V2 J
41. Зная функцию распределения молекул по скоростям в некотором мо­
лекулярном пучке /'(и) =
1/Ю
2кТ и , найти выражение для наиболее ве­
/77*
2
3
2
2А- Т
\ЪкТ
роятной скорости о в этом молекулярном пучке.
в
/77,
42. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул во­
дорода больше их наиболее вероятной скорости на Ли = 400 м/с ? [ Т = 380 к]
43. Какая часть молекул кислорода при 0 °С обладает скоростью от
100м/с до 110м/с? [0,4 %]
44. Определить скорость и молекул азота, при которой значение функ­
ции / ( о ) - функции Максвелла при температуре 7 будет таким же, как и для
0
температуры, в ц раз оолыпеи.
и
ЗАг'/р j л
Щ)
М
Дл-'О
45. При какой температуре функция распределения по скоростям моле­
кул водорода будет совпадать с функцией распределения по скоростям моле­
кул азота при комнатной температуре, равной 21 °С? [ Г = 21 к]
46. На какой высоте /? давление воздуха составляет 40 % от давления на
с
уровне моря? Температуру воздуха считать постоянной и равной г = 0 С ?
[7,2 км]
47. Пылинки массой /77 = 10 ' г взвешены в воздухе. Определить тол­
щину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не
более чем на 1 % . Температура /'воздуха во всем объеме одинакова и равна
3 3 0 К . [/? = 0,41м]
39
48. На какой высоте плотность воздуха составляет 50% от плотности
его на уровне моря? Температуру считать постоянной и равной
[ h = 5,5 км]
0 °С.
49. Сколько весит 1м~ воздуха: 1) у поверхности Земли; 2) на высоте
4 км от поверхности Земли? Температуру воздуха считать постоянной и рав­
ной 0 °С. Давление воздуха у поверхности Земли принять равным 10 П а .
[12,5Н; 7,6 Н]
50. Найти плотность воздуха: а) у поверхности Земли; б) на высоте
h = 4 км от поверхности Земли. Температуру воздуха считать постоянной и
5
равной
/ = 0 ° С . Давление воздуха у поверхности Земли
3
Р =100кПа.
(
3
а) 1,28кг/м ;б) 0,77 к г / м
51. Определить отношение давления воздуха на высоте 1 км к давлению
на дне скважины глубиной 1 км. Воздух у поверхности Земли находится при
нормальных условиях, и его температура не зависит от высоты. [0,78]
52. На какой высоте плотность воздуха в е раз (е - основание натураль­
ного логарифма) меньше по сравнению с его плотностью на уровне моря?
Температуру воздуха и ускорение свободного падения считать не зависящими
от высоты. [ 7,98 км]
53. Каково давление воздуха в шахте на глубине 1км, если считать, что
температура по всей высоте постоянная и равна 22 С , а ускорение свободно­
го падения не зависит от высоты? Давление воздуха у поверхности Земли при­
нять равным Р = 1,01 • 10 П а . Выразить давление в мм рт.ст.
5
5
ЦЗ-10 П а * 8 5 0 м м р т с т
54. На какой высоте давление в четыре раза меньше по сравнению с дав­
лением на уровне моря? Температуру воздуха считать постоянной и равной
0 °С. [8,2 км]
- 1 9
55. Масса т каждой из пылинок, взвешенных в воздухе, равна Ю г .
Отношение концентрации пылинок на высоте 1 м к концентрации их на высо­
те /? = 0 равно 0,787. Температура воздуха 3 0 0 К . Найти по этим данным
()
0
23
значение постоянной Авогадро N . 5,97 • 10 1/моль]
56. Определить массу частицы, находящуюся во внешнем поле силы тя­
жести, если отношение njn
концентраций частиц на двух уровнях, отстоя­
щих друг от друга на 1 м , равно е (е- основание натурального логарифма).
Температуру газа
Г = 300 К
считать везде одинаковой,
g = const.
4
2
2 2
4,22 -10 кг]
57. Ротор центрифуги, заполненной радоном, вращается с частотой
п = 50 с" . Радиус ротора равен 0,5 м . Определить давление Р газа на стенки
ротора, если в его центре давление Р равно нормальному атмосферному.
1
0
40
Температуру Т по всему объему считать одинаковой и равной 3 0 0 К . Относи­
тельная молекулярная масса радона Mr = 222. [304 кПа]
58. Ротор центрифуги вращается с угловой скоростью со. Используя
функцию распределения Больцмана, установить распределение концентрации
п частиц массой m , находящихся в роторе центрифуги, как функцию расстоя­
ния г от оси вращения, [п = п ехр ( / н ю г / 2 ^ г ) , я - концентрация частиц на
оси ротора]
59. Найти изменение высоты Ah, соответствующее изменению давления
на АР = 100 Па, в двух случаях: I) вблизи поверхности Земли, где температура
7J = 290 К, давление / ^ Ю О к П а ; 2) на некоторой высоте, где температура
Т = 220 К, давление Р = 25 кПа . [8,75 м; 2) 25,8 м]
60. Считая, что воздух на поверхности Земли находится при нормальных
условиях, определить отношение давления воздуха на высоте 2 км к давлению
на дне шахты глубиной 2 км. Температура воздуха от высоты не зависит и
равна 273 К. [l,67]
61. Пространство между двумя параллельными пластинами площадью
Q
2
()
2
0
0
2
•у
150 см~ каждая, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга, заполнено
кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре 17 °С, другая при температуре 27 С. Определить количество теплоты, прошедшее за 5 мин
посредством теплопроводности от одной пластины к другой. Кислород нахо­
дится при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода
считать равным 0,36 нм. Температуру кислорода между пластинами считать
равной среднему арифметическому температур пластин. [76,4 Дж]
62. Определить коэффициент теплопроводности К азота, находящегося
в некотором объеме при температуре 2 8 0 К . Эффективный диаметр молекул
азота принять равным 0,38 нм. [8,25 • 10~ Вт/(м • K ) J
63. Определить массу азота, прошедшего вследствие диффузии через
площадку 50 см" за 20 с, если градиент плотности в направлении, перпенди­
кулярном площадке, равен 1 к г / м . Температура азота 290 К, а средняя длина
свободного пробега его молекул 1 мкм. [ 15,6 мг]
64. Определить коэффициент диффузии Г) кислорода при нормальных
условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода принять равным 0,36нм.
3
4
6
2
9,18 10" m /cJ
65. Определить коэффициент теплопроводности К азота, если коэффи­
циент динамической вязкости л для него при тех же условиях равен
3
10 мк Па • с . [7,42 • 10" Вт/(м • К)]
66. Азот находится под давлением ЮОкПа при температуре 2 9 0 К . Оп­
ределить коэффициенты диффузии Г) и внутреннего трения п. Эффективный
диаметр молекул азота принять равным 0,38 нм.
6
2
/) = 9,74-1 ( Г м / с
5
ч
= ],13 10- Па-с]
41
67. Ниже какого давления можно говорить о вакууме между стенками
сосуда Дьюара, если расстояние между стенками сосуда равно 8 мм, а темпе­
ратура 17 С ? Эффективный диаметр молекул воздуха принять равным
0,27 нм. [ Л < 1,55 Па]
68. Коэффициенты диффузии и внутреннего трения водорода при неко­
торых условиях равны соответственно D = 1,42 • 10~ м / с и п = 8,5 • 10~ Па • с.
С
4
2
6
3
3
Найти число молекул водорода в 1 м" при этих условиях, [п = 1,8 • Ю" 1/м ]
69. Какой наибольшей скорости может достичь дождевая капля диамет­
ром 0,3мм? Диаметр молекулы воздуха принять равным 0,30нм; температуру
воздуха - 0 °С. Считать, что для дождевой капли справедлив закон Стокса.
[и = 2.72 м/с]
70. Самолет летит со скоростью 360 км/ч. Считая, что слой воздуха у
крыла самолета, увлекаемый вследствие вязкости, равен 4 см, найти касатель­
ную силу, действующую на каждый квадратный метр поверхности крыла.
Диаметр молекулы воздуха принять равным 0,30нм. Температура воздуха
Э
3
0 С. [ г = 45-10" н]
71. Пространство между двумя большими параллельными пластинами,
расстояние d между которыми равно 5 м м , заполнено гелием. Температура Ч\
одной пластины поддерживается равной 2 9 0 К , другой - У = 3 1 0 К . Вычис­
лить плотность теплового потока. Давление Р гелия равно 1 МПа. Температу­
ру гелия между пластинами считать равной среднему арифметическому температур пластин. 35 м В т / м
72. В ультраразряженном азоте, находящемся под давлением Р = 1 мПа и
при Т = 3 0 0 К , движутся друг относительно друга две параллельные пластины
со скоростью и = 1 м/с. Расстояние между пластинами не изменяется и много
меньше средней длины свободного пробега молекул. Определить силу F
внутреннего трения, действующую на поверхность пластины площадью
S = 1 м . Эффективный диаметр молекул азота 0,38 нм. [р = 0,89 мк н ]
2
2
2
73. Средняя длина свободного пробега (л) молекулы углекислого газа
при нормальных условиях равна 4 0 н м . Определить среднюю арифметиче­
скую скорость (о) и среднее число (z) соударений, которые испытывает еже­
9
1
секундно каждая молекула, (у) = 362 м/с; (г) = 9,05 • 10 с" J
_
74. В сосуде объемом V = 2 л находится N = 4 • 10~ молекул двухатом­
ного газа. Коэффициент теплопроводности газа равен К = 0,014 В т Д м К ) .
- 5
2
Найти коэффициент диффузии газа при этих условиях. 1) = 2 Ю
м /с]
75. Толщина деревянной стенки 12см. Какой должна быть толщина
кирпичной стенки, чтобы она обладала такой же теплопроводностью, как де­
ревянная? Коэффициенты теплопроводности дерева (поперек волокон)
К = 0,20 Вт/(м • К) и кирпича К = 0,80 Вт/(м • К). [48 см]
д
к
42
76. Найти удельную теплоемкость при постоянном давлении следующих
газов: 1) хлористого водорода, 2) неона, 3) окиси азота, 4) окиси углерода.
[1)800 Дж/(кг • К); 2) 1025 Дж (кг • К); 3) 970 Дж/(кг • К); 4) 1040 Дж (кг • K)J
77. Найти давление, которое некоторый газ оказывает на стенки сосуда.
Плотность газа равна 6-10 " кг/м~ , средняя квадратичная скорость молекул
я
этого газа равна 500 м/с. Р = 5 • 10 Па]
78. Чему равны удельные теплоемкости С ,- и С
уд(
у д Р
некоторого двух­
атомного газа, если плотность этого газа при нормальных условиях равна
3
1,43 к г / м ? [(' у = 650 Дж/(кг К); С
уд
у д р
= 910 Дж (кг• K)J
79. Найти удельные теплоемкости С
v
, С
некоторого газа, если из­
г
вестно, что молярная масса этого газа равна р = 0,03 кг/моль и отношение
C - V A V
=1
>'
4
К'уд.к = 6 9 3 Д ж / ( к г . К ) ; Г , = 9 7 0 Д ж / ( к г - К ) ]
уд/
80. В сосуде объемом 2 л находится Юг кислорода под давлением
90,44кПа. Найти: 1) среднюю квадратичную скорость молекул газа, 2) число
молекул, находящихся в сосуде, 3) плотность газа.
[<г> ) = 230 м/с; /V = 1,9 • 10 ; р = 5,0 кг/м ]
81. Найти удельную теплоемкость при постоянном давлении газовой
смеси, состоящей из аргона (Зкмоль) и азота (2 кмоль).
[ С . = 685Дж/(кг-К)]
23
3
кв
уд
Р
82. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа равна
450 м/с. Давление газа равно 50 кПа. Найти плотность газа при этих условиях.
р = 0,74 к г / м
3
83. Найти отношение Г > / ( "
уд/
гелия и 16г кислорода. [ б '
у д Л
/('
у д у
г
для газовой смеси, состоящей из 8 г
= 1,59]
84. 1) Найти среднюю квадратичную скорость молекул газа, плотность
_-]
(
т
которого при давлении 99,75 кПа равна 8,2-10 " кг/м . 2) Чему равна моляр­
ная масса этого газа, если значение плотности дано для температуры 2 9 0 К ?
= 1900м/с; ц = 2 • 10" кг/моль
85. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа при нор­
мальных условиях равна 461м/с. Какое число молекул содержится в 1 г этого
3
газа?
N = 1,88 • 10
молекул
86. Чему равна энергия теплового движения 20 г кислорода при темпе­
ратуре 10 °С? Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного
движения и какая часть на долю вращательного?
[ W = 3,7 кДж; W
= 2,2 кДж; W = 1,5 кДж]
n 0 C T
B p
43
87. Разность удельных теплоемкостей (С
Р
-С
г
) некоторого двух­
атомного газа равна 269 Дж/(кг • К). Найти молярную массу газа и его удель­
ные теплоемкости.
3
[р. = 3 2 - 1 0 " к г / м о л ь ; С
удv
= 649Дж (кг• К ) ; С
= 909Дж/(кг• К)]
у д р
88. Определить удельные теплоемкости С
некоторый
газ
при
нормальных
Г = 0,7 м-'/кг. Что это за газ? Г С
у д ( /
условиях
и С
и
, если известно, что
имеет
удельный
объем
= 649 Дж/(кг • К); С
= 909 Дж, (кг • К)
I
j
'
yдJ
• \
89. В закрытом сосуде находится смесь из азота массой т = 56 г и ки­
слорода массой т = 64 г. Определить изменение внутренней энергии этой
смеси, если ее охладить на 20 С . [ 1,66 Дж]
90. Определить показатель адиабаты y^C jC
для смеси газов, содер­
УД
у д !
v
Р
V
А
2
С
p
v
жащей гелий массой m = 8 г и водород массой т = 2 г. [ у = 1,55]
91. При изобарическом расширении 6,5 г водорода при температуре
27 °С его объем увеличился в два раза за счет притока тепла извне. Найти:
1) работу расширения; 2) изменение внутренней энергии газа; 3) количество
теплоты, сообщенное газу. [ А = 8,1 кДж; AU = 20,2 кДж; Q = 28,3 кДж]
92. Два киломоля углекислого газа нагреваются при постоянном давле­
нии на 50 °С. Найти: 1) изменение его внутренней энергии; 2) работу расши­
рения; 3) количество теплоты, сообщенное газу.
[АН = 2500кДж; А = 830кДж; Q = 3330кДж]
93. Автомобильная шина накачена до давления Г = 220 кПа при темпе­
ратуре 7] = 290 К . Во время движения она нагрелась до температуры
Т =330 К и лопнула. Считая процесс, происходящий после повреждения ши­
ны, адиабатным, определить изменение температуры Д7' вышедшего из нее
воздуха. Внешнее давление Р воздуха равно 100 кПа. [76К]
94. При изобарическом расширении двухатомного газа была совершена
работа 157 Д ж . Какое количество теплоты было сообщено газу? [Q = 550 Дж]
95. В сосуде под поршнем находится 1 г азота. 1) Какое количество теп­
лоты надо затратить, чтобы нагреть азот на 10 °С? 2) На сколько при этом
поднимается поршень? Масса поршня 1 кг , площадь его поперечного сечения
10 с м . Давление азота под поршнем 100 кПа. [ Q = 10,4 Дж; Ah = 2,8 см]
96. В закрытом сосуде находится 14 г азота под давлением 0,1 МПа и
v
2
{
0
{)
2
Э
при температуре 27 С . После нагревания давление в сосуде повысилось в 5
раз.
Найти: 1) до какой температуры был нагрет газ; 2) каков объем сосуда; 3) ка­
кое количество теплоты сообщено газу? [У = 1500 К, У = 12,4 л , Q = 12,4кДж]
2
3
97. Для нагревания некоторой массы газа на 50 С при постоянном дав­
лении необходимо затратить 160кал (1 кал = 4,19 Дж). Если эту же массу газа
44
охладить на 100 °С при постоянном объеме, то выделится 240кал. Какое ко­
личество степеней свободы имеют молекулы этого газа? [i = б]
98. Какое количество теплоты Q выделится, если азот массой т = \г,
взятый при температуре 7 = 280 К под давлением Р =0,1 МПа, изотермически
сжать до давления Р = 1 МПа ? [ Q = 191 Дж]
99. При адиабатном расширении кислорода с начальной температурой
Г, =320 К внутренняя энергия уменьшилась на ДГ/ = 8,4кДж, а его объем
увеличился в п = 10 раз. Определить массу кислорода, [т = 67,2 г]
100. При адиабатном сжатии кислорода массой т = 20 г его внутренняя
энергия увеличилась на Д(7 = 8 кДж и температура повысилась до Т = 900 К.
Найти: 1) повышение температуры А 7; 2) конечное давление газа Р , если на­
чальное давление Р = 200 кПа. [ А7 = 616 К; Р = 11,4 МПа]
{
2
2
2
{
2
101. В цилиндре под поршнем находится азот массой ш = 0,6кг, зани¬
мающий объем V =1,2м" при температуре 7 = 560К. В результате подвода
{
3
теплоты газ расширился и занял объем V = 4,2 м , причем температура оста­
лась неизменной. Найти: 1) изменение внутренней энергии; 2) совершенную
им работу; 3) количество теплоты, сообщенное газу. [0; 126кДж; 126 кДж]
2
102. Кислород занимает объем F J = 1 M И находится под давлением
Л = 2 0 0 к П а . Газ нагрели сначала при постоянном давлении до объема
1
3
У = 3 м , а затем при постоянном объеме до давления 1 = 500кПа. Постро­
ить график процесса и найти: 1) изменение AU внут­
ренней энергии газа; 2) совершенную им работу А; 3)
количество
теплоты
Q,
переданные
газу.
[А/У = 3,25 МДж; А = 0,4 МДж; Q = 3,65 МДж]
103. Азот массой т = 50г находится при темпе­
ратуре 71 = 280 К. В результате изохорного охлаждения
его давление уменьшилось в два раза, а затем в резуль­
тате изобарного расширения температура газа в конеч­
ном состоянии стала равной первоначальной. Постро,
1л
^Рис. 13
ить график
процесса и найти:
1)
раооту,
совершенную
газом; 2) изменение внутренней энергии. [ 1) 2,08 кДж; 2) 0]
104. Кислород, занимающий при давлении 7 ] = 1 М П а объем ^ = 5 л ,
расширяется в п = 3 раза. Определить конечное давление и работу, совершен­
ную газом. Рассмотреть следующие процессы: 1) изобарический; 2) изотерми­
ческий; 3) адиабатный.
[ 1) 1 МПа, 10 кДж; 2) 0,33 МПа, 5,5 кДж; 3) 0,21 МПа, 4,63 кДж]
105. В вертикальном цилиндре под невесомым поршнем П находится
один моль идеального газа при температуре 7 = 300 К . Пространство над
поршнем сообщается с атмосферой (рис. 13). Р, = 1 , 0 Ы 0 Па . Какую работу
2
2
5
п
45
необходимо совершить, чтобы, медленно поднимая поршень, изотермически
увеличить объем газа под ним в п = 2 раза ? [ А' = 1П\п -1 - In п) = 765 Дж]
106. Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно, при этом в
процессе адиабатного расширения объем газа увеличился в п = 4 раза. Опре­
делить термический КПД цикла, [л = 37 %]
107. Рабочее тело (идеальный газ) теплового двигателя совершает цикл,
состоящий из последующих процессов: изобарического, адиабатического и
изотермического. В результате изобарного процесса газ нагревается от
7] = 3 0 0 К и Т = 6 0 0 К . Построить график цикла и определить термический
КПД теплового двигателя, [п = 30,7 %]
108. Идеальный двухатомный газ, занимающий объем V = 2 л , подвер­
гают адиабатному расширению, в результате которого его объем возрос в
п = 5 раз. После этого газ подвергают изобарному сжатию до первоначального
объема, а затем в результате изохорного нагревания возвращают в первона­
чальное состояние. Построить график цикла и определить термический КПД
цикла, [п = 34,3 %]
109. Идеальный двухатомный газ (у = 3моль), занимающий объем
\\ = 5 л и находящийся под давлением \\ = I МПа, подвергают изохорному на­
греванию до Т = 500 К . После этого газ подвергают изотермическому расши­
рению до начального давления, а затем в результате изобарного сжатия воз­
вращают в первоначальное состояние. Построить график цикла и определить
термичексий КПД цикла, [п = 15,3 %]
2
x
2
110. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 70 % количества тепло­
ты, полученной от нагревателя, отдает холодильнику. Количество теплоты,
полученное от нагревателя, равно 5кДж. Определить: 1) термическтий КПД
цикла; 2) работу, совершенную при полном цикле. [ 1) 30 %; 2) 1,5 кДж]
111. Идеальный газ совершает цикл Карно, термический КПД которого
равен 40%. Определить работу изотермического сжатия газа, если работа изо­
термического расширения составляет 400 Дж . [-240 Дж]
112. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества
v = 1 моль, находится под давлением Г] = 250 кПа и занимает объем V = 10 л.
Сначала газ изохорно нагревают до температуры 7 = 400 К. Далее, изотерми­
чески расширяя, доводят его до первоначального давления. После этого путем
изобарного сжатия возвращают газ в начальное состояние. Определить терми­
ческий КПД цикла. [4,1 %]
113. Водород совершает цикл Карно. Найти КПД цикла, если при адиа­
батном расширении объем газа увеличивается в и = 2 раза. [г| = 25 %]
114. Водород совершает цикл Карно. Найти КПД цикла, если при адиа­
батном расширении давление газа уменьшается в п = 2 раза . [л = 18 %]
115. Один моль идеального газа из жестких двухатомных молекул со­
вершает цикл Карно. Температура нагревателя Т = 400 К . Найти КПД цикла,
{
2
{
46
если при адиабатическом сжатии затрачивается
работа А'= 2,0 кДж. [л = 24 %]
116. Идеальный многоатомный газ совер­
2(P V T )
шает цикл, состоящий из двух изохор и двух
изобар, причем наибольшее давление газа в два
раза больше наименьшего, а наибольший объем
в четыре раза наименьшего. Определить терми­
ческий КПД цикла. [ 11 %]
117. Идеальный двухатомный газ совер­
шает цикл Карно. Объем газа в адиабатном рас­
Рис.14
ширении увеличивают от 12л до 16л. Найти
термический КПД цикла. [ 10,9 %]
118. Наименьший объем \\ газа, совершающего цикл Карно, равен
153л. Определить наибольший объем К , если объем V в конце изотермиче­
ского расширения и V в конце изотермического сжатия равны соответственно
2
3
2
:
2
4
3
600 и 800 л (рис. 14). [ 0,74 м
119. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества
v = 1 моль, совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Наи­
меньший объем F
= 10 л , наибольший F
= 20 л , наименьшее давление
P
= 246 кПа , наибольшее давление Р . =410кПа . Построить график цик­
ла. Определить температуру /' газа для характерных точек цикла и его терми­
ческий КПД. [300К; 500 К; 1000 К; 605 К; 8,55 %]
120. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества
у 1 моль и находящийся под давлением Л] =0,1 МПа при температуре
7j = 300 К, нагревают при постоянном объеме до давления Р = 0,2 МПа. По­
сле этого газ изотермически расширился до начального давления и затем изобарно был сжат до начального объема V . Построить график цикла. Опреде­
лить температуру Т газа для характерных точек цикла и термический КПД.
[Т = 7 = 600 К; ц = 9,9 %]
121. Какое количество теплоты необходимо сообщить макроскопической
системе, находящейся при температуре Т = 290 К, чтобы при неизменном объ­
еме ее статистический вес увеличился на Ал = 1,0% ?
m i n
m a x
mill
Ш 1Х
2
{
2
3
2 3
AQ = k Г Ал = 4-10
Дж
122. Один моль идеального газа, состоящего из одноатомньтх молекул,
находится в сосуде при температуре Т = 300 К. Как и во сколько раз изменит­
ся статистический вес этой системы (газа), если ее нагреть изохорически на
0
АТ = 1,0К? QJQ
2
2
А
= (\ + АТ/Т ) *
0
= \0
47
123. Гелий массой т = 1,7 г адиабатически расширили в п = 3,0 раза и за­
тем изобарически сжали до первоначального объема. Найти изменение энтро­
пии газа в этом процессе. [ AS = -10 Дж/к]
124. Кусок льда массой т = 0,1 кг, имеющий температуру 7] = 2 4 0 К ,
превращен в пар при температуре 7 = 273 К . Определить изменение энтропии
AS, полагая, что давление Л = 100Па оставалось неизменным. Удельная теп­
лоемкость льда С | = 1,8-10 Дж/(кг-К), удельная теплоемкость воды
2
3
у д
3
С ' 2 = 4,19 • 10 Дж/(кг • К),
уд
удельная
теплота
плавления
льда
г = 3,35 • 10 Д ж / К , удельная теплота парообразования X = 2,25 • 10 Д ж / К .
[ДЛ' = 882,4 Дж/К]
125. Найдите приращение энтропии водорода при расширении его от
объема V до 2 V: а) в вакууме; б) при изотермическом процессе. Масса газа
5
6
3
т = 2 кг. [а,б: AS = {mj\i)R In 2 = 5,73 • 10 Дж/К J
126. Водород массой /и = 100 г был изобарно нагрет так, что объем его
увеличился в п = 3 раза, затем водород был изохорно охлажден так, что давле­
ние его уменьшилось в п = 3 раза. Найти изменение АЛ энтропии в ходе ука­
занных процессов. [АЛ = 457Дж/к]
127. Кислород массой т = 2 кг увеличил свой объем в п = 5 раз один раз
изотермически, другой - адиабатно. Найти изменение энтропии в каждом из
указанных процессов. \AS = 836 Дж/К,ДЛ' =0]
1
1
{
2
3
128. При очень низких температурах теплоемкость кристалла Г = а 7 ' ,
где а - постоянная. Найти энтропию кристалла как функцию температуры в
этой области. Л' = а7' /з]
129. Во сколько раз следует увеличить изотермически объем идеального
газа в количестве v = 4,0 моль, чтобы его энтропия испытала приращение
АЛ'= 23 Дж/К ?[2,0]
130. Найти приращение энтропии двух молей идеального газа с показа­
телем адиабаты у = 1,30, если в результате некоторого процесса объем газа
увеличился в а = 2,0 раза, а давление уменьшилось |3 = 3,0 раза.
3
1
АЛ = — [у In а - In р] = -11 Дж/К
У~
131. Найти приращение энтропии одного моля углекислого газа при уве­
личении его термодинамической температуры в п = 2 раза, если процесс на­
гревания изобарический. Газ считать идеальным (следует учесть, что, хотя мо­
лекула углекислого газа состоит из трех атомов ( С 0 ) , она имеет линейную
структуру - все ее атомы находятся на одной прямой). [ АЛ = 20,1 Дж/к]
1
2
1
132. Вода массой т = 2,00 кг нагревается от ^ = 10°С до / = 1 0 0 ° С ,
при температуре / обращается в пар. Найти изменение энтропии. Удельная
2
2
48
теплоемкость и удельная теплота парообразования воды соответственно равны
С
3
у д
6
= 4,2 • 10 ДжДкг -К),Х = 2,25 • 10 Дж/кг . [ AS = 23,1 Дж/К]
133. Найти приращение энтропии одного моля углекислого газа С 0
при увеличении его термодинамической температуры в п = 2 раза, если про­
цесс нагревания изохорический. Газ считать идеальным (следует учесть, что,
хотя молекула углекислого газа состоит из трех атомов, она имеет линейную
структуру - все ее атомы находятся на одной прямой). [AS = 14,3 Дж/К]
134. Определить изменение энтропии при изотермическом расширении
кислорода массой /и = 10 г от объема У =25 л до объема 1 = 1 0 0 л .
[ AS = 3,60 Дж/К]
135. В результате изохорного нагревания водорода массой т = 1 г давле­
ние / ' газа увеличилось в два раза. Определить изменение AS энтропии газа.
[ДЯ = 7,2Дж/К]
136. Какую температуру Т имеет кислород массой /и = 3,5г, занимаю­
щий объем У = 9 0 с м при давлении И = 2,84 МПа? Газ считать ван-дерваальсовским. ['Г = 289 к]
137. В сосуде объемом V = 5 л находится десять молей кислорода. Опре­
делить: 1) внутреннее давление газа; 2) собственный объем молекул.
54,4 мПа; 76 см
2
/
{
2
3
3
3
138. Плотность азота р = 1 4 0 к г / м , его давление /> = 10МПа. Опреде­
лить температуру газа, если: 1) газ реальный; 2) газ идеальный.
[1) 260/Г; 2) 241 К]
139. Анализируя уравнение состояния реальных газов, определить вели­
чины поправок а и Ъ для азота. Критические давление и температура азота
соответственно равны 3,39 МПа и 126 К .
6
2
-5
3
а = 0,136 Па - м / м о л ь ; Ъ = 3,86-Ю м /моль]
140. Кислород массой т = 100г расширяется от объема 5 л до объема
Юл. Определить работу межмолекулярных сил притяжения при этом расши­
рении. Поправку а принять равной 0,136 П а - м / м о л ь . [|ЗЗДж]
141. Углекислый газ массой 88г занимает при температуре 290 К объем
1000 с м . Определить внутреннюю энергию газа, если: 1) газ идеальный; 2) газ
реальный. [ 1) 14,5 кДж; 2) 13 кДж]
142. Углекислый газ массой 6,6 г при давлении 0,1 МПа занимает объем
г,
2
3
3
3,75 м . Определить температуру газа, если: 1) газ реальный; 2) газ идеальный.
[1)302 К; 2)301 К]
143. Углекислый газ массой 2,2 г находится при температуре 290 К в
сосуде вместимостью 30 л. Определить давление газа, если: 1) газ реальный;
2) газ идеальный. [ 1) 3,32 МПа; 2) 4,02 МПа]
49
3
144. Некоторый газ [у = 0,25 кмоль) занимает объем V = 1 м . При рас­
{
3
ширении газа до объема У = 1,2 м была совершена работа против сил межмо­
2
лекулярного притяжения, равная 1,42 кДж . Определить поправку а, входя­
6
2
щую в уравнение Ван-дер-Ваальса. [0,136 Па • м / м о л ь
145. Кислород (у = 2моль) занимает объем \\ =1 л . Определить измене­
ние температуры кислорода, если он адиабатически расширяется в вакууме до
объема У = 10 л . Газ считать ван-дер-ваальсовским. [-11,8 Кл]
146. Азот (у = 2моль) адиабатически расширяется в вакууме. Темпера­
тура газа при этом уменьшается на I К. Определить работу, совершаемую га­
зом против межмолекулярных сил притяжения. [83,1 Дж]
147. Определить давление Р водяного пара массой т = 1 кг, взятого при
температуре Г = 380К и объеме Ю л . Водяной пар считать ван-дерваальсовским. [3,94 МПа]
148. Определить наибольшее давление Р , насыщенных водяных паров.
2
т и
6
2
Поправки а и b для водяного пара равны соответственно 0,545 П а - м / м о л ь ;
5
3
3,04 • 10" м /моль . [21,8 МПа]
149. Критическая температура аргона равна 151К и критическое давле­
ние 4,86МПа. Определить по этим данным критический молярный объем ар­
гона. 96,8см /моль
150. В цилиндре под поршнем находится хлор массой т = 20 г . Опреде­
лить изменение All внутренней энергии хлора при изотермическом расшире­
нии его от ^ = 2 0 0 с м до К 500 с м . Газ считать ван-дер-ваальсовским.
[AU = 154 Дж]
151. Из мыльного раствора, поверхностное натяжение которого
а = 4 1 0 ~ Н / м , образовался мыльный пузырь диаметром
=8 мм. Опреде­
лить работу, которую необходимо совершить, чтобы вдвое увеличить диаметр
пузыря. Процесс образования пузыря считать изотермическим. [А = 24мкДж]
152. Какая энергия выделяется при слиянии маленьких капель ртути ра­
диусом г = 2-10~ мм в одну каплю радиусом У? = 2 мм? Коэффициент по¬
верхностного натяжения ртути а = 0,48 Дж/ м" . АР = 24-10" Дж
153. Из капиллярной трубки радиусом г = 1мм, расположеной верти­
кально, капает спирт. Определить поверхностное натяжение спирта а , если в
момент отрыва капля имеет форму сферы радиусом г = 1,6 мм. Плотность
3
3
=
3
2
2
3
_
х
3
3
2
спирта р = 0,8 • 10 к г / м . [<г = 2,14-10~ Н/м
154. Две пластины погружены в спирт. На какую высоту поднимется
уровень спирта, если расстояние между пластинами уменьшится с 1,0мм до
0,5 мм?
Смачивание
пластин
считать
полным.
Плотность
спирта
50
3
3
р = 0,8 • 10 к г / м .
Поверхностное
натяжение
спирта
принять
равным
2
а = 2,2 • 10~ Н / м . [ Ah = 5,62 мм]
155. Определить радиус пузыря воздуха, находящегося непосредственно
3
под поверхностью воды, если плотность воздуха в пузыре р = 260 к г / м , по­
верхностное натяжение для воды с = 7 2 - Ю
5
-3
Н / м , атмосферное давление
9
Р = 1 • 10 Па , температура 290 К. [г = 6,6 • 10~ м
156. В одной и той же капиллярной трубке вода поднимается на высоту
/?! = 55 мм, а керосин на h = 26 мм. Определить поверхностное натяжение ке{)
2
зосина
а,
если
2
поверхностное
натяжение
воды
3
aj = 72• 10 П / м .
3
а = 27 • 10 Н/м
157. Капиллярная трубка внутренним диаметром d = 6 • 10~ м наполнена
водой, часть воды нависла внизу трубки в виде капли, имеющей сферическую
поверхность радиусом г = 3-10 м. Определить высоту столба воды h в ка­
пиллярной трубке. Плотность воды р = 1 • 10 к г / м , поверхностное натяжение
2
4
_3
3
3
3
2
воды а = 72 • 10" Н/м . [л = 5,4-10" м
158. Капиллярная трубка опущена в воду. Какое количество теплоты Q
выделится при поднятии жидкости по капилляру? Температура воды 20 °С.
Плотность
воды
_3
3
3
р = 1 • 10 к г / м .
Поверхностное
натяжение
воды
2
a = 72 • 10 Д ж / м . Смачивание считать полным. [() = 3,3мкДж]
159. Спирт по каплям вытекает из сосуда через вертикальную трубку
внутренним диаметром d = 2 мм . Капли отрываются через время Ат = 1 с одна
после другой. Через какое время т вытекает т = \0г спирта? Диаметр шейки
капли в момент отрыва считать равным внутреннему диаметру трубы. Коэф­
фициент поверхностного натяжения спирта, принять равным a = 20 • 10 Н/м.
[т = 13 мин]
160. С помощью пипетки отмерено 40 капель воды. Найдите поверхно­
стное натяжение о воды, если масса отсчитанных капель т = 1,84 г, а диаметр
3
шейки пипетки d = 2 мм. a = 72 • 10 ' Н/м
161. Тонкое алюминиевое кольцо радиусом г = 10 см опускают на по­
верхность воды. Определить минимальную силу F, с помощью которой мож­
но оторвать кольцо от поверхности воды, если масса кольца т = 5,6 г. Темпе­
ратура воды 20 ° С . Поверхностное натяжение воды a = 7 2 - Ю Н/м .
[F = 0,15U]
162. Соломинка массой т = 1 г и длиной / = 4 см плавает на поверхности
воды. По одну сторону от соломинки осторожно налили мыльный раствор. С
каким ускорением а начнет двигаться соломинка? Сопротивлением воды пре-3
51
небречь. Коэффициенты
поверхностного
натяжения мыльной
воды
<7 = 38 • 10 Н/м, чистой воды а = 72 - Ю Н/м . а = 1,36 м / с J
163. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром
d = 10см. Определить также работу, которую нужно совершить, чтобы выдуть
этот пузырь. Поверхностное натяжение мыльной воды с = 4 0 - Ю Н/м.
[АР = 3,2 Па; А = 2,5 мДж]
164. Какую работу против сил поверхностного натяжения надо совер­
шить, чтобы выдуть мальный пузырь радиусом 7 см? Чему равно избыточное
давление внутри пузыря? Поверхностное натяжение мыльной воды
а = 32 • 10" Н/м . [3,9 мДж, 1,83 Па]
165. Кольцо внутренним диаметром d =25 мм и внешним диаметром
d = 26 мм подвешено на пружине и соприкасается с поверхностью жидкости.
_3
-3
{
2
2
- 3
3
x
2
7
Жесткость пружины К = 9,8-10 Н/м . При опускании поверхности жидкости
кольцо оторвалось от нее при растяжении пружины на Д/ = 5,Змм. Найти по­
верхностное натяжение а жидкости.
3
32 • 10" Н/м]
52
ПРИЛОЖЕНИЯ
Основные физические постоянные
(округленные значения)
Таблица 2
Обозначение и числовое зна­
чение, единица измерения
3,14
Физическая постоянная
Число к
Ускорение свободного падения на Земле
g = 9,81м/с
Число Авогадро
N = 6,02 • 10 1/моль
Универсальная газовая постоянная
Д = 8,31 ДжДмоль-К)
Постоянная Больцмана
Объем одного моля идеального газа при
нормальных условиях
к = 1,38-10" Д ж / К
2
23
A
23
У = 22,4 - Ю
- 3
3
м /моль
0
?
Л = 1,0Ы0 Па,
У = 273 К
Нормальные условия
Молярная масса некоторых газов
Таблица 3
Газ
Азот
Числовые значения
JLI = 28 -10 кг/моль
Водород
р = 2 • 10~ кг/моль
Воздух
р = 29 • 10~ кг/моль
3
3
3
Газ
Гелий
Числовые значения
4 • 10 кг/моль
3
Кислород
32 • 10~ кг/моль
Углекислый газ
44 • 10~ кг/моль
3
3
Критические параметры и поправки Ван-дер-Ваальса
Таблица 4
53
Газ
Критиче­
ская темпе­
ратура,
V
Азот
Кислород
Углекислый газ
Водяной пар
Хлор
Аргон
Критическое
давление,
Поправки Ван-дер Ваальса
а,
Па • м / м о л ь
6
K
126
155
304
647
417
151
3,39
5,08
7,38
22,1
7,71
4,86
0,135
0,136
0,361
0,545
0,650
0.134
5
2
в-10 ,
м /моль
3
3,86
3,16
4,28
3,04
5,62
3,22
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Волькенштейн, B.C. Сборник задач по общему курсу физики [Текст]: учеб.
пособие для вузов / Волькенштейн B.C. - СПб.: Специальная литература,
1999.
2. Детлаф, А.А. Курс физики [Текст]: учеб. пособие / А.А. Детлаф, Б.М. Явор­
ский. - 4-е изд., испр. - М.: Высш. шк., 2002.
3. Савельев, И.В. Курс общей физики [Текст]: учеб. пособие / Савельев, И.В. В
2т. - 7-е изд., стер. - СПб.: Изд-во Лань, 2007.
4. Трофимова, Т.П. Курс физики [Текст]: учеб. пособие для вузов/ Т.И. Тро­
фимова. - 7-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2002.
5. Чертов, А.Г. Задачник по физике [Текст]: учеб. пособие для втузов /
А.Г. Чертов, А.А. Воробьёв. - 8-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во физ.-мат.
лит., 2006.
6. Фиргант, Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики
[Текст]: учеб. пособие для вузов испр. / Фиргант Е.В. - СПб.: Изд-во Лань,
2008.
54
ОГЛАВЛЕНИЕ
Рекомендации по решению задач
3
1. Молекулярная физика. Газовые законы
4
2.
6
Кинетическая теория газов
3. Статистическая физика. Распределение Максвелла и Больцмана
8
4. Явление переноса
5. Основы термодинамики
Ю
17
6. Реальные газы
15
7.
I
/ть-п/>ты
Примеры решения задач
18
Задачи к контрольной работе
35
Приложение
Библиографический список
^
54
55
Филимоненкова Людмила Васильевна
МОЛЕКУЛЯРНАЯ
ФИЗИКА.
ТЕРМОДИНАМИКА
Методические
указания
к выполнению контрольной работы № 2 по физике
для студентов
специальности
250403.65 «Технология
деревообработки»
Подписано в печать 23.06.2010. Формат 70x84/16
Усл. печ. л. 4,09. Тираж 100 экз. Заказ № 136.
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленного оригинал-макета
в Северном (Арктическом) федеральном университете
163002, г. Архангельск, наб. Северной Двины, 17