ЛЕКЦИЯ 13 Столкновения молекул. Длина свободного пробега

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 13
ЛЕКЦИЯ 13
Столкновения молекул. Длина свободного пробега. Время
свободного пробега. Случайные блуждания. Диффузия. Уравнение непрерывности и закон Фика. Уравнение диффузии.
Столкновения молекул
До сих пор мы с вами изучали системы, находящиеся в термодинамическом равновесии. И хотя само равновесие устанавливается в результате взаимодействия между частицами, нам часто не нужно было знать
детальный механизм этого взаимодействия для вывода многих важных
результатов статистической физики. Примером может служить распределение Гиббса, которое в применении к идеальному газу приводит к
распределению Максвелла молекул газа по скоростям. Так, представим
себе ящик, в который мы поместили молекулы газа, которые не взаимодействуют друг с другом и сталкиваются со стенками ящика абсолютно
упругим образом. Тогда распределение молекул газа по модулю скорости будет все время оставаться неизменным, таким, какое мы создали
в начале, поместив молекулы в ящик и придав каждой из них какуюто скорость. Максвелловское распределение может установиться, либо
если столкновения молекул газа со стенками неупругие, т. е. молекулы
могут при столкновении обмениваться энергией с атомами стенки, либо
если молекулы газа сталкиваются друг с другом (пусть даже абсолютно упругим образом), перераспределяя свою кинетическую энергию (при
сохранении суммарной кинетической энергии и импульса).
Таким образом, время перехода неравновесной системы к равновесию
зависит от специфического характера взаимодействия между частицами.
А мы с вами уже видели на примере уравнения состояния неидеального
газа, как усложняется задача, если такое взаимодействие надо принимать во внимание. И тем не менее мы попытаемся понять сегодня какую
роль играет взаимодействие молекул и как его описывать на примере достаточно разреженного газа. Как мы уже говорили в лекции 8, если газ
достаточно разрежен, то эффекты взаимодействия сводятся к парным
столкновениям молекул газа. Поэтому давайте сегодня рассмотрим эти
столкновения более подробно. И для начала, составим себе представление о характерных длинах и временах, входящих в задачу.
Первое, раз речь идет о взаимодействии, это размеры взаимодейству1
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 13
ющих частиц. Обычно эта величина порядка 2 − 4 Å, если речь идет об
отдельных атомах (например, диаметр атома He равен 2.2 Å, а диаметр
атома Ar равен 3.6 Å). Оценим теперь среднее расстояние между молекулами газа. Так, если концентрация молекул равна n, то радиус сферы
r, в которой в среднем находится одна молекула, оценивается из условия
V n=
4π 3
r n≈1
3
(1)
(объем сферы, помноженный на концентрацию молекул приблизительно
равен единице). Считая, что каждая молекула находится примерно в
центре своей сферы — рис. 1, получаем, что среднее расстояние r между
молекулами определяется по формуле:
1 r
r
2
Рис. 1: Среднее расстояние между двумя молекулами 1 и 2: r = 2r.
Ã
3
r = 2r = 2
4πn
!1/3
≈ 1.24 n−1/3 .
(2)
Концентрацию n оценим для газа при нормальных условиях из уравнения состояния идеального газа P = nkT . Пусть давление газа равно
атмосферному: P = 1 ≈ 106 дин/см2 , а температура T = 300 K. Тогда
концентрация молекул равна
P
106
1020
n=
=
=
≈ 2.5 · 1019 см−3 .
−16
kT
1.36 · 10 · 300 4.08
Соответственно, среднее расстояние между молекулами
r ≈ 1.24 n−1/3 =
1.24
(25 ·
1018 )1/3
≈
1.24 −6
10 см ≈ 40 Å.
2.92
(3)
(4)
Таким образом, качественно картина выглядит следующим образом —
рис. 2, т. е. размеры молекул порядка 2−4 Å, а среднее расстояние между
ними порядка 40 Å, т. е. в 10 − 20 раз больше.
2
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 13
Рис. 2: Размеры молекул и среднее расстояние между ними в газе при нормальных условиях. Cтрелки показывают направления скорости.
Длина свободного пробега
Нас сейчас будет интересовать вопрос о том, как часто та или иная молекула (или атом) в среднем сталкивается с другими молекулами. Для
простоты сначала будем говорить об атомах и считать, что они имеет
сферическую форму. Тогда понятно, что два атома диаметром d столкнутся друг с другом, если расстояние между их центрами будет меньше
чем d — рис. 3. Поэтому, при движении какого-то выделенного атома, он
d
Рис. 3: Столкновение двух атомов.
столкнется со всяким атомом, центр которого попадет внутрь цилиндра
радиуса d — рис. 4.
Средняя длина свободного пробега l — это средний путь, который
атом пролетает без столкновений с другими атомами. Он определяется из
условия, что в среднем в цилиндре радиуса d и высоты l будет находится
3
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 13
один атом:
1
1
=
,
(5)
πd2 n σn
где σ = πd2 — сечение рассеяния. Если взять в качестве диаметра
V n = πd2 ln = 1,
=⇒
l=
l
d
Рис. 4: Столкновение двух атомов диаметром d. Длина свободного пробега l.
атома значение d = 2 Å, а для концентрации n = 2.5 · 1019 см−3 (см.
формулу (3)), то для средней длины свободного пробега l получим оценку
1
1
=
≈ 3 · 10−5 см = 3000 Å,
(6)
2
−16
19
πd n 3.14 · 4 · 10 · 2.5 · 10
что примерно на два порядка больше среднего расстояния между атомами.
Для оценки среднего времени между столкновениями (времени свободного пробега) τ нам нужно знать характерную скорость атомов v,
поскольку
l
(7)
τ= .
v
Среднюю скорость можно оценить из условия:
l=
mv 2
3
≈ kT.
2
2
(8)
Так, если молекула газа — кислород, с массой mO2 = 32 · 1.7 · 10−24 г ≈
0.5·10−22 г, то ее характерная скорость при комнатной температуре (T =
300 K):
v≈
v
u
u 3kT
t
m
=
v
u
u3
t
· 1.4 · 10−16 · 300
≈ 5 · 104 см/сек = 500 м/сек.
0.5 · 10−22
4
(9)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 13
В результате, среднее время между столкновениями — время свободного
пробега
l
3 · 10−5
τ= ≈
= 0.6 · 10−9 сек.
(10)
4
v
5 · 10
Проблема случайных блужданий. Диффузия
Выше мы оценили тепловую скорость молекул кислорода при комнатной
температуре и получили значение v ≈ 500 м/сек. Однако это вовсе не
значит, что молекула пролетает 500 м за 1 сек. Это означало бы, что из
одного конца комнаты она добиралась бы до другого конца, отстоящего
на расстояние L = 3 м, за 6 тысячных долей секунды. В действительности возможность продвижения молекулы в пространстве сильно ограничена из-за столкновений с другими молекулами, которые все время
сбивают ее с правильного курса. Поэтому, из-за столкновений, на преодоления расстояния в 3 м (по прямой) молекуле требуется около 2/3
суток, т. е. около 16 часов! За это время молекула испытает порядка 1014
Рис. 5: Диффузионная траектория молекулы.
(сто тысяч миллиардов) столкновений с другими молекулами. Примерная траектория молекулы после '200 столкновений показана на рис. 5.
Ясно, что это очень нелегкий путь для молекулы, желающей добратся
от одной стенки до другой.
Как оценить это время? Давайте сначала для простоты рассмотрим
следующую задачу о случайных блужданиях частицы. Предположим,
5
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 13
что блуждание происходит по прямой, а точнее по одномерной решетке
с периодом a — рис. 6. В начальный момент времени, t = 0, частица
-3a -2a -a
a
0
2a
3a
Рис. 6: Одномерные случайные блуждания по решетке.
находится в начале координат, x = 0. Затем каждый раз через время τ
она совершает прыжок на соседний узел с вероятностью 1/2 вправо или
влево. Спрашивается, как далеко в среднем частица уйдет от начала
координат за время t = N τ , совершив при этом N прыжков.
Ее координату x после N прыжков можно представить в виде суммы:
x=
N
X
xi ,
(11)
i=1
где каждое слагаемое этой суммы xi — случайная величина, равная
±a.
D E
Вычислим среднее значение квадрата случайной величины x, т. е. x2 1 .
Запишем
D
E
x2 =
* N
X

i=1
xi
2+

D
E
= x21 + x22 + . . . + x2N + 2x1 x2 + 2x1 x3 + . . . .
(12)
Среднее значение каждого из квадратичных слагаемых равно квадрату
постоянной решетки:
D
E
D
E
D
E
x21 = x22 = . . . = x2N = a2 .
(13)
Среднее значение произведений типа
hxi xj i = hxi i hxj i = 0,
для i 6= j,
(14)
поскольку разбивается на произведение средних различных hxi i = 0
ввиду статистической независимости отдельных прыжков. В результате среднее значение квадрата смещения частицы из начала координат
равно
D
x
2
E
=
N D E
X
x2i
i=1
= N a2 .
(15)
Характерное среднее квадратичное смещение ∆x определяется квадратным корнем из этой величины
q
√
2
∆x = hx i = a N .
(16)
1
Среднее значение hxi = 0 и поэтому не дает необходимой информации о случайных блужданиях.
6
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 13
Если учесть, что за время t частица сделает N = t/τ прыжков, то формулу (16) можно переписать в виде
v
u
ut
t
∆x = a
τ
=
v
u 2
ua
t
τ
·t=
√
Dt,
где
a2
D≡ .
τ
(17)
Полученные выше результаты легко обобщить на двухмерный и трехмерный случай. Например, в двухмерном случае блужданий на квадратной решетке — рис. 7, радиус вектор смещения частицы из начала
координат можно представить в виде
N
X
r=
ri ,
(18)
i=1
где отдельные слагаемые в этой формуле — отдельные прыжки части-
a
-a
a
0
-a
Рис. 7: Диффузия на квадратной решетке.
цы по узлам квадратной решетки. Каждый прыжок с вероятностью 1/4
происходит либо вверх, либо вниз, вправо или влево на соседний узел.
Таким образом, длина каждого прыжка одинакова и равна постоянной
решетки a. Поэтому, аналогично предыдущему случаю, имеем
D
E
r2 =
* N
X

ri
2+

i=1
=
N D E
X
ri2
i=1
= N a2 .
(19)
для i 6= j
(20)
Средние значения
hri · rj i = hri i · hrj i = 0,
в силу статистической независимости отдельных прыжков (среднее от
произведения разбивается на произведение средних) и того, что среднее
значение вектора смещения hri i = 0 при каждом прыжке. Таким образом, так же как и одномерном случае, характерное среднее квадратичное
7
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 13
смещение определяется выражением
q
√
∆r ≡ hr2 i = a N .
(21)
Ясно, что точно такой же результат будет справедлив и при блуждании по трехмерной решетке. Во всех этих случаях для среднего квадратичного смещения частицы в пространстве L за время t справедлива
формула
√
a2
где
D= .
L = Dt,
(22)
τ
Величину D — называют коэффициентом диффузии. Он равен отношению квадрата длины одного прыжка a2 к характерному времени τ
между прыжками.
В случае с молекулами газа для порядковых оценок длины диффузии
L в качестве длины прыжка нужно взять длину свободного пробега l, а
в качестве времени между прыжками — время свободного пробега τ . В
результате для времени диффузии молекулы газа на расстояние L имеем
L2
L2 τ
L2 τ
L L
t=
= 2 = 2 2= · .
(23)
D
l
v τ
v l
Отсюда видно, что время диффузии t на расстояние L À l гораздо
больше времени "прямого пролета"L/v. Отношение этих времен равно
большому числу L/l — отношению длины диффузии к длине свободного пробега молекулы. Давайте оценим величину t. Пусть L = 3 м,
v = 500 м/сек, и l = 3000 Å. Тогда L/v = 0.006 сек, а L/l = 107 . В
результате
L L
· = 0.006 сек · 107 = 6 · 104 сек = 103 мин ≈ 17 часов ≈ 2/3 суток.
v l
(24)
Для оценок в качестве коэффициента диффузии мы взяли величину
t=
D=
(vτ )2
l2
=
= vl.
τ
τ
(25)
Размерность коэффициента диффузии (в системе СГС) равна
см2
[D] =
.
сек
А его численное значение для нашего газа составляет величину
D = vl = 1.5 см2 /сек.
8
(26)
(27)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 13
Более точные расчеты показывают, что в формуле для коэффициента
диффузии имеется еще численный коэффициент 1/3:
1
hvi l.
(28)
3
Однако для его нахождения надо все-таки дать четкое определение коэффициента диффузии.
D=
Уравнение непрерывности и закон Фика
Так, если речь идет об отдельно взятой молекуле, то нам нужно расчитать плотность вероятности P (r, t) обнаружить ее в точке с координатами r в момент времени t, если в начальный момент времени t = 0 эта
молекула находилась в начале координат, в точке r = 0. Если же молекул
много, то речь идет о плотности молекул n(r, t), зависящей от координат
и времени. Именно для последней величины мы и получим уравнение.
Она связана с вероятностью P (r, t) соотношением: n(r, t) = N P (r, t), где
N — полное число молекул.
Поскольку молекулы газа движутся в пространстве таким образом,
что никуда не исчезают и ни откуда не рождаются, то должен существовать закон сохранения числа частиц, выраженный, как мы уже видели
при выводе теоремы Лиувилля, уравнением непрерывности:
∂n
+ div j = 0,
∂t
(29)
где n = n(r, t) — концентрация, а вектор j = j(r, t) — это плотность
потока числа частиц (число частиц, пересекающих в единицу времени
единичную площадку, расположенную перпендикулярно вектору j). Это
уравнение, записанное в интегральной форме,
Z
I
∂ Z
n dV = − div j dV = − j · ds,
∂t V
V
S
(30)
и выражает вышеупомянутый закон сохранения: скорость уменьшения
числа частиц в объеме V равно суммарному потоку вектора j через поверхность S, ограничивающую этот объем.
Если частицы распределены в пространстве равномерно и никаких
макроскопических движений нет, то плотность потока j = 0. Однако,
если распределение концентрации n(r, t) неоднородно в пространстве,
9
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 13
т. е. n(r, t) зависит от r, то появляется так называемый диффузионный поток, который при малой степени неоднородности пропорционален пространственным производным функции n(r, t) (по координате r).
Его можно рассматривать как первый неисчезающий член разложения
функции n(r, t) в ряд Тейлора. Этот поток можно представить в виде:
j = −D grad n = −D∇ n(r, t),
(31)
где D — некоторый коэффициент пропорциональности. Знак (-) в этой
формуле говорит, что диффузионный поток направлен в сторону уменьшения концентрации частиц. Частицы переходят из области с большей
концентрацией в область с меньшей концентрацией. Формулу (31) иногда
еще называют законом Фика.
Поскольку размерности j и n равны соответственно
1
1
,
[n]
=
,
см2 · сек
см3
размерность коэффициента D получается следующей
[j] =
[D] =
[j]
см−2 сек−1
см2
=
=
,
[grad n]
см−3 см−1
сек
(32)
(33)
что совпадает с размерностью коэффициента диффузии, введенного нами ранее (см. формулу (26)). Оказывается, что это он и есть.
Действительно, рассмотрим в газе некоторую плоскость z = const —
рис. 8, и пусть концентрация молекул зависит только от координаты z:
Z
z+l
z
z-l
Рис. 8: К выводу коэффициента диффузии.
n = n(z). Тогда среднее число молекул, пересекающих единицу площади
в единицу времени снизу вверх, равно
1
hvi n(z − l),
6
10
(34)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 13
а сверху вниз
1
hvi n(z + l).
(35)
6
Коэффициент 1/6 отражает тот факт, что лишь 1/6 часть всех молекул в среднем летит в заданном направлении (вперед-назад, вверх-вниз,
влево-вправо). Сдвиг ±l в аргументе функции n(z) означает, что молекула летит практически без столкновений лишь участок пути длиной l —
равной длине свободного пробега. Поэтому результирующая плотность
потока определяется выражением
1
1
hvi n(z − l) − hvi n(z + l).
(36)
6
6
Учитывая, что длина свободного пробега молекул l обычно мала по сравнению с пространственными масштабами, на которых заметным образом
меняется функция n(z), мы можем разложить функцию n(z ± l) в ряд
Тейлора
∂n
.
(37)
n(z ± l) = n(z) ± l
∂z
Подставляя ее в (36), получим закон Фика
jz =
∂n
1
∂n
jz = − hvi l
= −D
,
∂z
|3 {z } ∂z
где
D=
1
hvi l
3
(38)
D
— есть коэффициент√диффузии.
Поскольку hvi ∝ T , а l ∝ 1/σn, то коэффициент диффузии
√
T
T 3/2
D∝
∝
,
(39)
n
P
где мы воспользовались уравнением состояния идеального газа P = nT .
Численно, при комнатной температуре и атмосферном давлении коэффициент диффузии равен
1
м
см2
1
−5
· 3 · 10 см ≈ 0.5
.
D ≈ hvi l ≈ · 500
3
3
сек
сек
(40)
Уравнение диффузии
Если закон Фика (31)
j = −D grad n
11
(41)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 13
подставить в уравнение непрерывности (29), то получим следующее уравнение для концентрации n(r, t):
∂n
∂n
+ div j = 0
=⇒
= D div (grad n).
(42)
∂t
∂t
Дивергенция градиента от скалярной функции n может быть приведена
к виду
div (grad n) = ∇ · (∇n) = (∇ · ∇) n ≡ ∆ n,
(43)
где скалярное произведение двух операторов ∇ равно
Ã
∇·∇ =
!
Ã
!
∂
∂
∂
∂
∂
∂
i+ j+ k ·
i+ j+ k =
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
∂2
∂2
∂2
=
+
+
≡∆
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
(44)
и называется лапласианом или оператором Лапласа. В результате
уравнение (42) приобретает вид
∂n
= D ∆ n,
∂t


∂n
∂ 2n ∂ 2n ∂ 2n
= D 2 + 2 + 2.
∂t
∂x
∂y
∂z
или
(45)
Это уравнение называется уравнением диффузии. Заметим, что это
есть уравнение в частных производных.
Уравнение диффузии (45) остается инвариантным при следующем масштабном преобразовании координат и времени
r = βr0 ,
t = β 2 t0 ,
(46)
где β — некоторый произвольный коэффициент. В этом легко убедиться,
если записать
1 ∂
∂
= 2 0
∂t β ∂t
и
∂2
1 ∂2
= 2 02
∂x2
β ∂x
и т. д..
(47)
В результате коэффициент 1/β 2 сокращается и в штрихованных переменных уравнение (45) выглядит точно так же как и в нештрихованных. Кроме того, будучи линейным, уравнение диффузии (45) очевидно
не изменится, если функцию n домножить на произвольную константу:
n = An0 . Все это позволяет искать решение уравнения (45) в автомодельном виде
 
r2
n(r, t) = At−α f   ,
(48)
t
12
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 13
в простейшем случае изотропного пространства. Показатель степени α
зависит от размерности пространства d и определяется условием нормировки. Оно гласит, что интеграл от n(r, t) по всему "объему"d-мерного
пространства должен быть равен полному числу частиц N :
Z
n(r, t) d d r = N.
(49)
Поскольку последнее от времени не зависит и d d r ∝ d(rd ), показатель
степени α в (48) должен равняться d/2:
d
α= .
(50)
2
Действительно, в этом случае под знаком дифференциала мы имеем инвариантную к изменению масштаба (46) комбинацию
!
Ã
dd r
r d
√
.
(51)
∝d
tα
t
Так, например, в одномерном случае, d = 1 и условие нормировки
имеет вид


2
Z∞ dx
x
A
f   = N.
(52)
α
t
t
−∞
Чтобы A и N не зависели от времени, необходимо
положить α = 1/2.
√
Тогда, выполняя замену переменных y = x/ t, получим
Z∞
A
dyf (y 2 ) = N
=⇒
A=
−∞
N
Z∞
.
(53)
2
dyf (y )
−∞
В одномерном случае уравнение диффузии имеет вид:
∂n
∂ 2n
= D 2.
∂t
∂x
Подставим сюда функцию n(x, t) в виде:

(54)

A  x2 
√
.
f
n(x, t) =
t
t
(55)
Поскольку
∂n
A
Ax2 0
= − 3/2 f − 5/2 f ,
∂t
2t
t
∂ 2n
2A 0 4Ax2 00
= 3/2 f + 5/2 f ,
∂x2
t
t
13
∂n 2Ax 0
= 3/2 f ,
∂x
t
(56)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 13
то для функции f (y), где на этот раз y = x2 /t, получаем уравнение


A
Ax2
2A
4Ax2
− 3/2 f − 5/2 f 0 = D  3/2 f 0 + 5/2 f 00  .
(57)
2t
t
t
t
Видно, что этому уравнению можно удовлетворить при одном и том же
условии
f = −4Df 0 ,
(58)
f 0 = −4Df 00 .
(59)
Благодаря условию (58), первый член в левой части уравнения (57) сокращает первый член в правой части этого же уравнения, а благодаря
второму условию (59), которое идентично первому условию (58), второй
член в левой части уравнения (57) сокращает второй член в правой части
того же уравнения.
Из условия (58) (или (59)) получаем функцию f (y) с точностью до
произвольного коэффициента (который определяется условием нормировки)
Ã
!
y
f (y) = exp −
.
(60)
4D
В итоге, концентрация n(x, t), нормированная на полное число атомов
N , равна


2
x
N
,
exp −
n(x, t) = √
(61)
4Dt
4πDt
так что
∞
Z
dx n(x, t) = N.
(62)
−∞
Решение (61) описывает ситуацию, когда в начальный момент времени
t = 0 все атомы находились в точке x = 0. Тогда, с течением времени,
плотность частиц расплывается, распределение становится все шире и
шире — рис. 9.
В момент времени t, характерная ширина распределения ∆x, на которой плотность частиц n(x, t) уменьшается в e раз, по сравнению со
значением в точке x = 0, согласно формуле (61) равна
√
∆x = 2 Dt.
(63)
С точностью до численного множителя, это совпадает с характерной длиной случайных блужданий (22). Обычно за длину диффузии L принимают выражение без дополнительных численных множителей
√
L = Dt,
(64)
14
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 13
n(x,t)
t=0
0 < t 1< t 2
t1
t2
Dx
x
Рис. 9: Эволюция со временем распределения n(x, t) в соответствии с формулой (61).
как это имеет место в формуле (22). На этой длине концентрация n
уменьшается всего в 1.3 раза по сравнению со своим значением в нуле. Ясно, однако, что выбор тех или иных численных множителей это
вопрос соглашения, не более.
В заключение к этой лекции хотелось бы добавить следующее. Хотя
к понятию диффузии и к уравнению диффузии мы пришли, рассматривая столкновения молекул в газе, оно оказывается справедливым и для
других фаз вещества — жидкого и твердого. Остается верной как оценка
(22) для коэффициента диффузии D, так и само уравнение диффузии
(45). Поскольку D ' vl, а скорость теплового движения атомов v одинакова (при одной и той же температуре) для газов, жидкостей и твердых
тел, то различие в коэффициентах диффузии в этих трех агрегатных
состояниях вещества в основном обусловлено различием в длинах свободного пробега l. Поскольку в газе l ∝ 1/n и газ — самая разреженная
субстанция, из перечисленных трех, то и диффузия в газах происходит
быстрее всего. В жидкостях коэффициент диффузии обычно на один,
два порядка меньше чем в газе. И еще меньше он оказывается в твердых
телах. Там, однако, для оценки коэффициента диффузии лучше использовать формулу D ' a2 /τ , где a — длина прыжка, а τ — время между
прыжками. Обычно a — порядка межатомного расстояния, а время τ
может меняться в широких пределах и сильно зависит от температуры
T.
15