Техническая термодинамика. Курс лекций.

Техническая термодинамика. Курс лекций.
Лекция 3. Теплоемкость газов ....................................................................................... 1
3.1. Общие определения ............................................................................................. 1
3.2. Истинная и средняя теплоемкости ...................................................................... 2
3.3. Теплоемкость смеси газов ................................................................................... 3
3.4. Отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении cp
и постоянном объеме cv........................................................................................ 4
Лекция 3. Теплоемкость газов
Теплоемкость – важная физическая величина, с помощью которой можно
определить количество теплоты, подведенное (отведенное) к термодинамическому
телу, изменение внутренней энергии тела.
Теплоемкость можно определить также методами молекулярно-кинетической
теории газов и квантовой механики. Данные методы не нашли широкого
распространения. Обычно в инженерных расчетах используют экспериментальные
значения теплоемкостей веществ.
3.1. Общие определения
Производная от количества теплоты по температуре в каком-либо
термодинамическом процессе называется теплоемкостью (Дж/К):
dQ
C
.
(1)
dT
Отношение теплоемкости вещества к его массе называют удельной
(массовой) теплоемкостью (Дж/(кг∙К)).
Объемной теплоемкостью c' (Дж/(м3∙К)) называют отношение теплоемкости
тела к его объему при нормальных условиях.
Молярной теплоемкостью µc (Дж/(моль∙К)) называют величину, равную
произведению массовой теплоемкости на молярную массу данного вещества.
Связь между теплоемкостями можно представить в виде:
c  c; c  c / 22,4 ,
3
где ρ (кг/м ) – плотность вещества при нормальных условиях, 22,4 м3/моль – объем
количества вещества 1 моль при нормальных условиях.
Рассмотрим зависимость теплоемкости от характера процесса. Массовую
теплоемкость можно представить в виде:
dq du  dl du dl
c



.
(2)
dT
dT
dT dT
Величина dl/dT представляет собой удельную работу, которая зависит от
характера процесса.
Рассмотрим два случая нагрева идеального газа:
 при постоянном объеме: v = const;
 при постоянном давлении: p = const.
Обозначим теплоемкости для этих процессов соответственно cv и cp.
1
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

Для процесса v = const (2) примет вид cv  u

. А т.к. внутренняя энергия
T v
идеального газа зависит только от температуры, то можно записать
cv  du ;
(3)
dT
т.к. dl = pdv, то при v = const второй член правой части (2) будет равен нулю.
Из (3) следует, что изменение внутренней энергии в любом процессе
идеального газа можно определить как
du  cv dT .
(4)
Для процесса p = const идеального газа (2) примет вид:
dq du RdT


;
(5)
dT dT
dT
т.к. при p = const из pv = RT, дифференцируя, получаем pdv = RdT.
Для процесса p = const теплоту можно представить в форме dqp = cpdT, тогда с
учетом этого (5) можно представить в виде:
dq p c p dT cv dT


R,
dT
dT
dT
откуда
c p  cv  R ,
или
c p  cv  R .
(6)
Значение газовой постоянной R > 0, поэтому из (6) следует, что cp > cv.
В процессе v = const для нагревания 1 кг газа на один градус требуется cv Дж
теплоты, которая вся идет на увеличение внутренней энергии.
В процессе p = const для нагревания 1 кг газа на один градус требуется cp Дж
теплоты, из которых cv Дж идет на увеличение внутренней энергии, а (cp – cv) Дж
или R Дж – на совершение работы.
Из этого следует, что газовая постоянная R есть работа 1 кг газа при
изменении его температуры на один градус в процессе постоянного давления.
Разность теплоемкостей идеальных газов (pv = RT) – величина постоянная, поэтому
достаточно определить только одну из теплоемкостей cp или cv, а другую можно
найти из (6).
Умножим все члены (6) на молярную массу, в результате получим:
c p  cv  R  R  8,314 Дж/(моль∙К).
(7)
В правой части уравнения (7) произведение µR представляет собой
универсальную газовую постоянную Rµ, поэтому разность всех молярных
теплоемкостей есть величина постоянная и одинаковая для всех идеальных газов.
3.2. Истинная и средняя теплоемкости
Теплоемкость идеального газа зависит от температуры, а реального и от
давления, поэтому различают истинную и среднюю теплоемкости.
Производная от количества теплоты, подводимого к телу в процессе нагрева,
по его температуре является истинной теплоемкостью (будем использовать
удельные величины):
2
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
c  dq
dt
,
откуда
dq  cdt
и для процесса с произвольным изменением температуры
(9)
2
q   cdt .
(10)
1
Количество теплоты можно определить, если известна зависимость c = f(t),
если для простоты принять c = const, то из уравнения (10) получим
q  c  t2  t1  .
(11)
Однако при условии c = const точность определения по (11) может оказаться
низкой. Поэтому в практических расчетах для определения количества теплоты по
формуле (11) в нее подставляют среднее значение теплоемкости для диапазона
температур t1 и t2.
Средней теплоемкостью данного процесса в интервале температур от t1 до t2
называют соотношение
q
t
c t2  1,2
(12)
1
t2  t1
количества теплоты q1,2 к разности температур t2 – t1.
t
Теплоемкость c t2 определяют по таблицам экспериментальных значений,
1
которые составлены для большинства веществ.
Формула для определения средней теплоемкости вещества в произвольном
диапазоне изменения температур от t1
до t2 на основании (12) и рис. 3.1
(экспериментальные результаты) имеет
вид
t
t
c 02 t2  c 01 t1
q
t2
ct 

.
(13)
1
t2  t1
t2  t1
Если из таблиц известны средние
t
t
теплоемкости c 02 и c 01 , то по (13)
можно
определить
теплоту,
подведенную (отведенную) к данному
Рис. 3.1. К определению средней
веществу. Обычно в таблицах даются
теплоемкости по формуле (13).
средние
значения
молярных
теплоемкостей для процесса p = const.
3.3. Теплоемкость смеси газов
При расчете тепловых двигателей, компрессоров, теплообменников и т.п.
приходится определять количество теплоты q1-2, подведенное (отведенное) к
смесям газов. Для определения q1-2 можно воспользоваться уравнением (10), если
известна теплоемкость заданной смеси газов cсм .
3
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Если состав смеси задан массовыми долями, то массовую теплоемкость смеси
можно определить по формуле
cсм  g1c1  g 2c2  ...  g n cn ,
(14)
где g1, g2, …, gn; c1, c2, …, cn – соответственно массовые доли и теплоемкости
компонентов газов, входящих в смесь.
Если объем задан объемными долями, то ее объемную или молярную
теплоемкость можно определить по формулам:
  r1c1  r2c2  ...  rn cn ,
cсм
(15)
где r1, r2, …, rn; c'1, c'2, …, c'n – соответственно объемные доли и объемные
теплоемкости компонентов газов, входящих в смесь;
cсм  r11c1  r2 2c2  ...  rnn cn ,
(16)
где r1, r2, …, rn; µ1c1, µ2c2, …, µncn – соответственно объемные доли и молярные
теплоемкости компонентов газов, входящих в смесь.
3.4. Отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении cp и постоянном
объеме cv
Отношение
k
cp

c p

cp
cv
(17)
cv cv
широко используется в термодинамике.
Величина k принимает различные значения для одно- (число степеней свободы
молекулы i = 3), двух- (i = 5), трех- (i = 6) и многоатомных (i =6) идеальных газов.
Представим отношение (17) в следующей форме (см. определение значений
теплоемкости согласно МКТ):
c
2
c 8,314
2
k p  v
 1  , или k  1  .
(18)
cv cv 4,16i
i
i
На основании (18) получим для одно-, двух- и трехатомных идеальных газов
соответственно следующие значения: k = 5/3 = 1,667; k = 7/5 = 1,4; k = 4/3 = 1,333.
Формула (18) получена в рамках классической кинетической теории газов в
результате допущений, упрощающих реальную физическую обстановку. Для
идеальных газов значения k будут совпадать с приведенными, но т.к. теплоемкости
всех реальных газов зависят от температуры, то экспериментальные значения k
будут значительно отличаться от приведенных выше.
Можно получить формулы для вычисления теплоемкости идеального газа,
используя (6) и (17), следующим образом:
c
c R
R
k p  v
1 ,
cv
cv
cv
откуда
R
cv 
,
(19)
k 1
а т.к. cp = kcv, то
k
cp 
R.
(20)
k 1
4
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Если значение k известно, то по формулам (19) и (20) можно вычислить
значения теплоемкостей реальных газов.
5
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)