Расчет присоединенной массы и коэффициента демпфирования для вибрирующего в цилиндрическом
реклама
УДК 532.5, 534 СОРОКИН Федор Дмитриевич профессор Расчет присоединенной массы и коэффициента демпфирования для вибрирующего в цилиндрическом канале жесткого цилиндра на основе численного интегрирования уравнений движения вязкой жидкости Ф.Д. Сорокин, Е.С.Крутько КРУТЬКО Евгений Сергеевич аспирант кафедры «Прикладная механика» (МГТУ им. Н.Э. Баумана) email: [email protected] Рассмотрено одномерное решение уравнений Навье – Стокса для рас чета присоединенной массы и коэффициента демпфирования при вибра циях жесткого цилиндра в цилиндрическом канале. Гармонический харак тер колебаний и круговая геометрия канала позволяют исключить две независимые переменные, что приводит к обыкновенному дифференци альному уравнению 4го порядка. Малая вязкость жидкости порождает узкие пограничные слои, вследствие чего полученное разрешающее уравне ние является жестким. Указанная численная проблема преодолевается повышением точности (60–80 десятичных знаков в числах пакета Mathematica) и подбором шага интегрирования. Построены зависимости коэффициентов присоединенной массы и демпфирования от вязкости жидкости. Ключевые слова: присоединенная масса, коэффициент демпфиро вания, цилиндрический канал. Added mass and damping coefficient calculation for the rigid cylinder vibrating in cylindrical channel based on viscous fluid motion equation numerical integration F.D. Sorokin, E.S. Krutko The onedimensional NavierStokes equations solution has been considered to perform the added mass and damping coefficient calculation during vibration of the rigid cylinder in the cylindrical channel. A harmonic type of oscillations and the cylindrical channel geometry allow to eliminate two independent variables, which leads to the fourthorder ordinary differential equation. Low liquid viscosity generates thin boundary layers, and consequently the derived resolving equation becomes stiff. This numerical problem can be solved by means of precision increasing (60–80 decimal digits in Mathematica software numbers representation) and appropriate integration step selection. The relations of added mass and damping coefficients on liquid viscosity have been plotted. Keywords: added mass, damping coefficient, cylindrical channel. 46 2012. ¹ 10 расчета частот и амплитуд колебаний Дляэлементов энергетических установок в жидкости должны быть известны значения присоединенной массы и коэффициента демп фирования. Задача определения присоединен ной массы и коэффициента демпфирования при колебаниях труб и трубных пучков в жид кости рассмотрена во многих эксперименталь ных и теоретических работах, в частности, в [1–3]. В работе [1] приведены приближенные аналитические выражения для расчета указан ных величин, которые обобщены для трубных пучков различной конфигурации. Целью данной статьи является расчет при соединенной массы и коэффициента демпфи рования на основе точного (точнее, численно точного) решения уравнений Навье — Стокса. В отличие от приближенных методик предла гаемая методика позволяет исследовать случай взаимного влияния пограничных слоев, что имеет место при очень малом зазоре между ци линдрами, либо при очень высокой вязкости. Достоинством численных точных решений уравнений Навье — Стокса является то, что на их основе удается проводить тестирование и настройку современных конечноэлементных методик, например, правильно выбирать раз мер конечного элемента и т.п. Рассмотрим движение жидкости в зазоре между двумя цилиндрами (рис. 1). Наружный цилиндр неподвижен, а внутренний совершает гармонические колебания по закону Acos(ωt). Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости для малых колебаний целесообразно рассматривать в постановке Лагранжа: ¶2u ¶u ρ 2 =-Ñp + μÑ 2 ; (1) ¶t ¶t Ñ× u = 0, где u — вектор малых перемещений частиц жидкости относительно неподвижной системы отсчета; ρ — плотность; μ — динамическая вязкость; p — давление; t — время. Постановка Лагранжа в рассматриваемой задаче более уме стна, так как частицы жидкости не уходят в бесконечность, как в постановке Эйлера, а ко леблются в окрестности исходного положения. Жидкость при этом в целом «макронеподвиж 2012. ¹ 10 Рис. 1. Гармонические колебания трубы в цилиндрическом канале, заполненном вязкой несжимаемой жидкостью на», т.е. среднее значение вектора скорости лю бой ее частицы стремиться к нулю п ри увеличении промежутка времени. Для исключения времени используем ком плексное представление перемещений и давле ния: u = u 0 (r ,ϕ)e iωt ; p = p 0 (r ,ϕ)e iωt , (2) где ω — круговая частота гармонических коле баний. Подстановка выражений (2) в (1) дает -ρω 2 u 0 =-Ñp 0 + iωμÑ 2 u 0 ; Ñ× u 0 = 0. (3) После перехода к проекциям в полярной системе координат уравнения (3) преобразуют ся к следующему виду: ì æ ¶2 ¶p 0 ¶ ¶2 ö ÷ + iωμç + + ï-ρω 2 u r =÷u ; ç 2 ¶r r¶r r 2 ¶ϕ 2 ø r è¶r ï ï æ ¶2 ï ¶p ¶ ¶2 ö ÷ í-ρω 2 u ϕ =- 0 + iωμç + ÷u ; (4) ç 2+ r¶r r 2 ¶ϕ 2 ø ϕ r¶ϕ è¶r ï ï¶u ¶u u ï r + r + ϕ = 0, ï ¶r r r ¶ϕ î где ur, uϕ — проекции вектора перемещений u0 на радиальное и окружное направления поляр ной системы координат, т.е. амплитуды ради ального и окружного перемещений. 47 Для исключения окружной координаты ϕ с учетом круговой геометрии и линейности зада чи представим все искомые величины в виде одной гармоники разложения в тригонометри ческий ряд (первая гармоника): u r = u r 1 (r )cos ϕ; u ϕ = u ϕ1 (r )sin ϕ; (5) p 0 = p1 (r )cos ϕ. Здесь индекс «1» соответствует первой гар монике. Обоснованием (5) служит то, что жест кое смещение внутреннего цилиндра в поляр ных координатах описывается аналогичным образом, т.е. в виде первой гармоники разложе ния в тригонометрический ряд: u r = A cosϕ, u ϕ =-A sin ϕ. Из (4) и (5) следует система обык новенных дифференциальных уравнений для компонент перемещений и давления: ì æd 2 u r 1 du r 1 u r 1 ö dp ï-ρω 2 u r 1 =- 1 + iωμç - 2÷ ÷; ç 2 + dr rdr dr r ø è ï ï æd 2 u ϕ1 du ϕ1 u ϕ1 ö ï p1 2 ÷ í-ρω u ϕ1 =+ + iωμç (6) ç dr 2 + rdr - r 2 ÷; r ï è ø ï ïdu r 1 + u r 1 + u ϕ1 = 0. ï r r î dr Полученная система дополняется гранич ными условиями, которые имеют смысл усло вий прилипания жидкости к наружному и внутреннему цилиндру: u r 1 (r1 )= A; u r 1 (r 2 )= 0; u ϕ1 (r1 )=-A; (7) u ϕ1 (r 2 )= 0. Таким образом, для определения перемеще ний частиц жидкости и распределения давле ния в зазоре достаточно проинтегрировать сис тему (6) с граничными условиями (7), т.е. зада ча является полностью поставленной. Однако, система (6) не имеет аналитических решений. Численное решение этой системы (6) с помо щью стандартных программ связано со следую щими трудностями. Вопервых, старшие про изводные в уравнениях (6) умножаются на ма лый множитель μ, что обычно приводит к 48 численным проблемам. Вовторых, структура (6) не позволяет непосредственно применять готовое программное обеспечение, что связано с кажущимся несовпадением порядка системы с количеством граничных условий. Если фор мально подсчитать сумму порядков старших производных в уравнение (6) с учетом dp1/dr, то получим тригонометрический ряд 5. Однако порядок системы равен 4 (в точном соответст вии с количеством граничных условий), но программа решения систем дифференциаль ных уравнений обнаружить это не может и вы дает сообщение об ошибке. Таким образом, для численного решения систему (6) необходимо преобразовать. Для этого все неизвестные в системе (6) выражают ся через одну неизвестную ur1(r) – амплитуду радиального перемещения: du u ϕ1 =-u r 1 - r r 1 ; dr 3 æ 2 d ur1 d 2 u r 1 du r 1 u r 1 ö ÷ (8) p1 = iωμç r r + 4 + ÷+ ç dr r ø dr 3 dr 2 è ö æ du +ρω 2çr 2 r 1 + ru r 1 ÷. dr ø è После исключения p1 и uϕ1 система (6) сво дится к одному дифференциальному уравне нию с одним неизвестным: d 4 ur1 d 3 u r 1 æ 4 iωρöd 2 u r 1 ÷ +6 +ç + μ ø dr 2 dr 4 rdr 3 èr 2 (9) æ 2 3iωρödu r 1 2u r 1 ÷ +ç- 3 + 4 = 0. μr ø dr r è r Порядок полученного разрешающего урав нения равен 4, следовательно, исходная систе ма (6) имеет 4й порядок. Граничные условия также были представле ны через радиальное перемещение: u r 1 (r1 )= A; u r 1 (r 2 )= 0; ½ du r 1½ = 0; dr ½r =r1 (10) du r 1½ ½ = 0. dr ½r =r2 2012. ¹ 10 Рис. 2. Действительная (а) и мнимая (б) составляющие радиального перемещения Уравнение (9) с граничными условиями (10) адекватно воспринимается компьютерными математическими пакетами, так как порядок уравнения и количество граничных условий те перь одинаковы. Для решения линейной крае вой задачи использована процедура NDSolve пакета Mathematica. Наличие малого параметра μ в знаменателях коэффициентов уравнения (9) делают уравнение «жестким», т.е. приводит к численным проблемам. Для решения пробле мы жесткости применялся самый простой вы числительный прием, не требующий значи тельных изменений в алгоритме расчета — была значительно повышена точность всех численных операций до 60—80 десятичных знаков. Пакет Mathematica позволяет выпол нять вычисления и с большей точностью, но эффективность (быстрота) при этом значи тельно падает. Шаг интегрирования подбирает ся процедурой NDSolve автоматически, при этом вблизи границ интервала интегрирования (т.е. в зоне пограничных слоев) шаг интегриро вания оказывается существенно меньшим, чем в других частях интервала интегрирования. Типичные графики составляющих радиаль ного и окружного перемещения представлены на рис. 2 и 3. Результаты получены при следую щих значениях исходных данных, которые Рис. 3. Действительная (а) и мнимая (б) составляющие окружного перемещения 2012. ¹ 10 49 примерно соответствуют параметрам тепловы деляющей сборки ядерного реактора ВВЭР440 из работы [2]: r 1 = 0,0745 м, r 2 = 0,08 м, μ = =0,001 Па·с, ω = 25 рад/с. Отличие заключается в геометрии канала. В [2] рассматривался канал шестиугольного сечения, а в данной работе ка нал имеет круглое сечение, поэтому соответст вие только приближенное. На рисунках 2, 3 хорошо видны погранич ные слои. Кроме того, отчетливо видно, что наибольшее значение имеет действительная составляющая окружного перемещения, кото рую можно оценить из простейших геометри ческих соображений, использован н ы х в работе [2]. Площадь сечения жидкости, вы давливаемая (ометаемая) одной четвертью внутреннего цилиндра радиусом r1 протекает через зазор h = r2 – r1, поэтому амплитуда сред него по зазору относительного окружного пе ремещения должна быть равна <Re(uϕ1)>/A = = r 1 /h = 0,08/0,0055 = 14,5. Примерно такое значение наблюдается в средней части графика Re(u ϕ1 ) на рис. 3. Заметна также небольшая асимметрия всех графиков относительно сере дины зазора, что и отличает рассматриваемое точное решение от приближенного из работы [2], где все решения либо строго симметричны, либо строго кососимметричны относительно середины зазора. При увеличении относитель ной ширины зазора отмеченная асимметрия значительно возрастает. Коэффициент присоединенной массы и ко эффициент демпфирования рассчитывались по формулам (11), аналогично работе [2]: α =- Re[ p1 (r1 )]πr1 =14,81; ρπr12 Aω 2 Зависимости коэффициента присоединен ной массы и коэффициента демпфирования от вязкости, найденные по предлагаемой методи ке, показаны на рис. 4, 5. Крайние правые точки на рис. 4 и 5 соответ ствуют вязкости в 100 раз большей, чем вяз кость воды. Большие вязкости, рассмотренные здесь, на практике встречаются очень редко. Однако следует учитывать, что цель примене ния результатов на практике для авторов статьи была не единственной. Авторы стремились также к получению максимально точных чис ленных решений, на которых далее планирует ся тестировать конечноэлементные методики решения аналогичных задач. С этой точки зре Рис. 4. Зависимость коэффициента присоединенной массы от вязкости (11) Im[ p1 (r1 )]πr1 Н×с . ξ= = 362,2 Aω м2 Приближенные формулы из работы [1] дают очень близкое к (11) значение для α и несколь ко отличающееся значение для ξ: α =14,88; ξ = 339,4 50 Н×с м2 Рис. 5. Зависимость коэффициента демпфирования от вязкости 2012. ¹ 10 ния, полученные результаты вполне удовлетво рительны, так как приближенные методики, основанные на рассмотрении пограничных слоев у каждого из цилиндров при больших вязкостях уже не применимы. Например, при ближенная методика из работы [1] при вязко сти жидкости μ = 0,1 Па·с и тех же размерах и частоте дает значение α, завышенное почти в 2 раза и значение ξ заниженное в 3 раза, что при тестировании, очевидно, неприемлемо. В то же время при малых вязкостях приближенная ме тодика из [1] дает практически точные значе ния α и ξ, что подтверждается и результатами авторов данной статьи. Выводы 1. Разработана методика численно точного решения задачи о колебаниях длинной трубы в цилиндрическом канале, заполненном вязкой несжимаемой жидкостью. 2. Приведены результаты численных расче тов коэффициента присоединенной массы и коэффициента демпфирования для парамет 2012. ¹ 10 ров, близких к параметрам тепловыделяющей сборки реактора ВВЭР440. 3. Полученные результаты являются чис ленно точными, поэтому они имеют не только практическое значение, но и являются хоро шими тестами для отладки конечноэлемент ных методик. Литература 1. Синявский В.Ф., В.С. Федотовский, А.Б. Кухтин, Л.В. Те реник. Инерционность и гидродинамическое демпфирова ние при колебаниях труб и трубных пучков жидкости // Ди намические характеристики и колебания элементов энерге тического оборудования: Сб. ст. М.: Наука, 1980. С. 86–97. 2. Солонин В.И., Перевезенцев В.В., Сорокин Ф.Д. Демпфирование колебаний пучка твэлов чехловых тепловы деляющих сборок водоохлаждаемых реакторов// Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2008. № 3. С. 75–85. 3. Шмелев В.Д., Драгунов Ю.Г., Денисов В.П., Василь ченко И.Н. Активные зоны ВВЭР для атомных электростан ций. Москва: ИКЦ «Академкнига», 2004, 220 с. Статья поступила в редакцию 27.08.2012 51
